2 De kracht van vectoren

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "2 De kracht van vectoren"

Transcriptie

1 De krcht vn vectoren

2 Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw n te tsten, oversln. * ij opgven met dit merkteken hoort een werkld. Inhoudsopgve 1 Vectoren 1 Op zoek nr evenwicht 11 3 De stelling vn Cev 19 4 Met coördinten 4 5 Smenvtting 36 6 ntwoorden 38 ij dit hoofdstuk hoort de ijlge Gelijkvormigheid Voorknt: lexnder Clder : Clder Unions (Rinow), Kenitic Moile, 001 Uitgve ugustus 011 Colofon 011 ctwo uteurs Leon vn den roek, Dolf vn den Homergh, Met medewerking vn Josephine uskes,richrd erends, Gert Dnkers, Sie Kemme, d Goddijn, Dick Klingens Illustrties Op dit werk zijn de eplingen vn Cretive Commons vn toepssing. Iedere geruiker is vrij het mterilen voor eigen, niet-commerciële doeleinden n te pssen. De rechten lijven n ctwo.

3 1 Vectoren Onderzoek De zijden vn een zeshoek zijn om en om grijs en zwrt gekleurd. Schuif de grijze zijden nr elkr toe, zodt ze op elkr nsluiten. Zo ook de zwrte zijden. ls de grijze zijden een gesloten driehoek vormen, vormen de zwrte zijden ook een gesloten driehoek. Onderzoek ovenstnde uitsprk met de Geogerpplet Zeshoek. Wt is je conclusie? Kun je deze conclusie onderouwen? In het onderzoek gt het om het evenwijdig verschuiven vn lijnstukken. Willim Hmilton Iers wiskundige, ntuurkundige en stronoom, introduceerde de term vector. Een verschuiving gt in een eplde richting over een eplde fstnd. Een pijl is het geschikte middel om zo'n verschuiving weer te geven. Hierij is de lengte vn de pijl de fstnd wrover verschoven wordt. Wr die pijl gepltst wordt, is niet vn elng. In het vervolg noemen we een verschuiving een vector. Ltijn: vector is sjouwer, iemnd die iets vn de ene nr de ndere plts drgt. v w Vectoren optellen Om vectoren vn getllen te onderscheiden, noteren we ze ls een letter met een pijl eroven, ijvooreeld v. * 1 Het pltje hiernst stt ook op het werkld. Twee vectoren v en w en een oject.. Het oject wordt eerst over v en drn over w verschoven. Teken de nieuwe plts vn het oject. 1 1 Vectoren

4 Teken ook de vector (met een pijl) die hoort ij de smengestelde verschuiving.. Je kunt het oject ook eerst over w en drn over v verschuiven. Teken de ijehorende vector. v w v w De som vn twee vectoren De verschuiving eerst over noteren we met v + w. v en drn over w P * Op het werkld stn drie vectoren en een punt P zols hiernst. Je kunt het punt P in zes verschillende volgordes volgens de drie vectoren verpltsen. Hieronder is er één getekend. Teken de ndere vijf. P Dt je in opgve in lle zes de gevllen hetzelfde resultt krijgt, is een gevolg vn de volgende regels die voor het optellen vn vectoren gelden. Regels voor het optellen vn vectoren ( c) ( ) c 3 Ollie en Stn duwen een zwre kst. Ollie duwt drie keer zo hrd ls Stn. Ollie duwt tegen de linkerzijknt en Stn duwt tegen de voorknt vn de kst. De krchten vn Ollie en Stn kun je voorstellen door vectoren. Mk de vector ij Stn 1 cm lng.. Hoe lng moet je de vector ij Ollie mken?. Teken in een ovennzicht heel precies de vector die hoort ij de krcht wrmee de kst verschoven wordt. De krcht vn vectoren

5 De vector die je in getekend het, wordt in de ntuurkunde de resultnte vn de vectoren ij de krchten vn Ollie en Stn genoemd. Het is de somvector vn de krcht wrmee Stn en de krcht wrmee Ollie duwt. * 4 Vier touwen zijn n elkr geknoopt. n elk vn de touwen trekt een krchtptser. De trekkrchten worden voorgesteld door de vectoren,, c en d. Hiervn zijn, en c l getekend. c. Welke vn de drie trekkrchten is het grootst? De vier krchtptsers houden elkr precies in evenwicht.. Teken de vector d. De nulvector is de enige vector die je niet met een pijl kunt ngeven. Hij correspondeert met de verschuiving die lles op zijn plts lt. De vector met lengte 0 geven we n met 0. We noemen dit de nulvector. Er geldt: v 0 v voor elke vector v. In opgve 4 geldt: + + c + d = 0. v -v Met de vector - v edoelen we de vector die dezelfde lengte heeft ls v, mr tegengestelde richting. Er geldt: v + - v = 0. We noemen - v de tegengestelde vector vn v. De vector die het punt nr het punt verpltst, noteren we met. 3 1 Vectoren

6 C 5. Wt kun je zeggen over C C?. Wt kun je zeggen over en? c. Welke vector is -C? In plts vn v -w schrijven we meestl v w. D C 6 CD is een prllellogrm. We korten f: v en D w. Druk C, C en D in v en w uit. 7 We komen terug op het onderzoek n het egin vn de prgrf. We noemen de hoekpunten vn de zeshoek,, C, D, E en F, zie pltje. D E F C. Wt kun je zeggen vn C CD DE EF F?. Wt kun je zeggen ls de grijze zijden een gesloten driehoek vormen (n verschuiven)? c. Trek je conclusie over driehoek met de zwrte zijden. Licht je ntwoord toe. Opmerking ij vrg c moet je C CD DE EF F schrijven ls CD EF C DE F. Hierij geruik je de twee regels voor het rekenen met vectoren op ldzijde. Nu he je een chthoek wrvn je de zijden om en om grijs en zwrt kleurt. Veronderstel dt de grijze zijden zo verschoven kunnen worden dt ze een gesloten vierhoek vormen. Kn dt dn ook met de zwrte zijden? d. Geef een ewijs vn je ntwoord. 4 De krcht vn vectoren

7 Misschien he je de conclusie vn je onderzoek n het egin vn de prgrf kunnen onderouwen, zonder vectoren te geruiken. Voor de chthoek in opgve 7d zl het ewijs je veel moeilijker vllen ls je geen vectoren tot je eschikking het. Vndr: De krcht vn vectoren. Verderop zullen we die krcht weer voelen. Ook ij een vierhoek kun je de zijden om en om zwrt en grijs kleuren. ls de grijze zijden een gesloten figuur vormen, doen de zwrte zijden dt ook. Dr he je nu geen vectoren voor nodig. e. G dt n. Vectoren met een getl vermenigvuldigen In plts vn v v v schrijven we 3 v en in plts vn - v -v schrijven we - v. De vector 3 v is 3 keer zo lng ls v en heeft dezelfde richting. De vector - v is keer zo lng ls v en heeft tegengestelde richting. De vector v is keer zo lng ls v en heeft tegengestelde richting. Enzovoort. 8 CD is een prllellogrm. P, Q, R en S zijn middens vn zijden en M is het snijpunt vn de digonlen. We korten f: v en D w. D R C S M Q P Druk de volgende vectoren in v en w uit. S, M, Q en RQ. 1 In opgve 8 kun je M zien ls 1 C = ( v w), mr 1 1 ook ls P + S = v w lijkr is ( v w) v w. 5 1 Vectoren

8 We vegen de regels ij elkr. Regels voor het rekenen met vectoren Voor lle getllen k en m en lle vectoren, en c geldt: ( c) ( ) c k ( ) k k k ( m ) ( k m) ls k=3 en m=, zegt de ltste regel: ls je de vector eerst keer zo lng mkt en drn 3 keer zo lng, komt dt op hetzelfde neer ls hem 3 ml zo lng te mken. De een n ltste regel volgt uit gelijkvormigheid, zie hiervoor de volgende opgve. 9 c p r q 1 De ene figuur hieroven is met fctor uitvergroot tot de ndere.. Druk de vectoren p en q in en uit.. Vector r kun je op twee mnieren schrijven, één keer door op te merken dt hij keer zo lng is ls c en één keer door hem ls som vn de vectoren p en q te schrijven. G n dt je zo een vooreeld vn de een n ltste regel krijgt. 6 De krcht vn vectoren

9 S * 10 Het pltje hiernst stt ook op het werkld. We ekijken de punten X met: SX S k, wrij k lle mogelijke getllen kn zijn.. Teken op het werkld de punten X die horen ij k=-, -1, 0, 1 en.. ls je de punten ij elke wrde vn k zou tekenen, wt krijg je dn? Sien Sien Ontinden vn vectoren * 11 Sien zwemt in een eek met constnte snelheid en richting. De snelheidsvector wrmee Sien zwemt stt in het pltje. De eek heeft een constnte stroomsnelheid; die is ngegeven door de ndere pijl. Sien neemt n eide ewegingen tegelijk deel.. Teken op het werkld de snelheidsvector wrmee Sien eweegt. Sien verndert vn richting en snelheid. Op gegeven moment is de situtie zols hiernst. De snelheidsvector wrmee Sien eweegt is getekend. (De stroomsnelheidsvector vn de eek is hetzelfde.) De zwemrichting vn Sien is met een stippellijn ngegeven.. Teken nuwkeurig de vector die de snelheid en de richting ngeeft wrmee Sien zwemt. zwemrichting Sien * 1 v Teken twee vectoren, één op lijn en één op lijn, zó dt de som vn de vectoren die je getekend het de vector v in het pltje oplevert. De twee vectoren die je getekend het in opgve 1, heten de componenten vn v ten opzichte vn en. v is ontonden in zijn componenten ten opzichte vn de lijnen en. 7 1 Vectoren

10 u s 13 Een veeroot vrt loodrecht de rivier over, doordt de veermn de oot schuin tegen de stroom in stuurt. De stroomsnelheid vn de rivier is 3 km/u en wordt weergegeven door een vector s vn 3 cm. De pijl u dr loodrecht op is 3,75 cm lng.. Neem de figuur over en teken de vector v zó, dt s v u. ereken de lengte vn v in mm en de hoek die v met s mkt in grden nuwkeurig. Welke snelheid moet de veeroot uit zichzelf mken? Uit: Nollet, Leçons de Physique Experimentle, M.DCC.LIII Een jgpd of trekpd is een pd lngs een knl of rivier dt vroeger werd geruikt om schepen, gewoonlijk vrchtschepen, ls de wind niet gunstig ws, vooruit te trekken. Dit voorttrekken werd jgen genoemd, vndr de nm. Gewoonlijk geeurde dit door de schipper, zijn vrouw of smen met hun kinderen. Trekschuiten werden ltijd gejgd. ls er geld voor ws, kon voor het jgen een prd met egeleider ingehuurd worden. Uit: Wikipedi 14 Trekschuit Reinier Nooms rond 1650 vrrichting v De krcht wrmee het prd op het jgpd de schuit voorttrekt, loopt niet in de richting wrin de schuit zich verpltst. De trekkrcht vn het prd geven we weer met de vector v. Neem n dt deze een hoek mkt vn 30 met de richting wrin de schuit zich verpltst.. Ontind v in een vector u in de vrrichting en een vector w in de richting dr loodrecht op. De component w vn v drgt niet ij n de snelheid wrmee de schuit eweegt. Hij wordt 'opgevngen'. De component u eplt de snelheid vn de schuit. 8 De krcht vn vectoren

11 De lengte vn de vector v noteren we ls v.. epl u en w ls v = 3. * 15 Een rollende knikker Een knikker die op een hellend vlk ligt, rolt nr eneden door werking vn de zwrtekrcht. Hoe groter de helling vn het vlk, hoe sneller de knikker rolt. De zwrtekrcht werkt verticl. In het pltje hiernst is deze weergegevn door een vector.. Ontind de zwrtekrchtvector lngs de lijnen en. Lijn stt loodrecht op het vlk V wrlngs de knikker rolt. We noemen lijn een norml vn V. Een vector die loodrecht op een vlk stt noemen we norml-vector vn dt vlk. De component lngs die je in getekend het is een normlvector vn V. De component in de richting vn drukt op het vlk. We nemen n dt deze component geen invloed op de eweging vn de knikker heeft. (In de ntuurkunde zegt men: de rolweerstnd wordt verwrloosd.) De component in de richting vn zorgt voor de eweging vn de knikker. Deze component is groter nrmte de helling vn het vlk groter is. Hiernst is de helling vn het vlk wrop de knikker ligt 37. De lengte vn de zwrtekrchtvector is Leg uit dt de hoek tussen de zwrtekrchtvector en lijn ook 37 is en ender de component vn de zwrtekrchtvector lngs in twee decimlen. y v x De vector v in het pltje hiernst is ontonden in twee onderling loodrechte componenten x en y. Er geldt: x = v cos en y = v sin. 9 1 Vectoren

12 * 16 Een uto wordt een helling op getrokken. De trekkrcht en de zwrtekrcht die op de uto uitgeoefend worden, zijn weergegeven door pijlen.. Ontind de zwrtekrchtvector in een component in de richting vn het hellend vlk en in de richting vn een norml vn het vlk.. Vergelijk de lengte vn de pijlen. Krijgt hij de uto de helling op? (De rolweerstnd wordt verwrloosd.) 10 De krcht vn vectoren

13 Op zoek nr evenwicht Iemnd heeft zeven lokken op elkr gestpeld. De stpel helt gevrlijk nr rechts over. Mr hij vlt niet om! Hoe dt te egrijpen is, dr gt deze prgrf over. Mss s schuiven 1 Het moiel hieronder is in evenwicht. De zeven mss s zijn lleml even groot. De tweede situtie krijg je door twee vn de mss s in tegengestelde richting te verpltsen. De derde situtie krijg je door drn twee mss s tegengesteld n elkr te verpltsen over dezelfde fstnd en dt drn nog eens te doen. In de derde situtie zie je goed dt het moiel inderdd in evenwicht is. G deze twee verpltsingen n. Schuifprincipe Het evenwicht wordt niet verstoord ls je twee mss s tegengesteld n elkr verpltst: of Het schuifprincipe is ons uitgngspunt. ls je een lns tot je eschikking het, kun je experimenteel vststellen dt dit juist is. Uitgnde vn dit ntuurkundige principe, gn we wiskundig redeneren. 11 Op zoek nr evenwicht

14 De lengte vn de ophngtouwtjes is niet vn elng. * Zoek uit wr je de moielen moet ophngen opdt zij in evenwicht zijn. De moielen stn ook op het werkld. In plts vn één mss eenheden te verpltsen, kun je ook twee mss s 1 eenheid verpltsen (in dezelfde richting). In het ltste moiel vn de vorige opgve ws de fstnd tussen de linker en de rechter mss s 10. We verpltsen elk vn de linker mss s 3 pltsen nr rechts en elk vn de drie rechter mss s pltsen nr links. Dn houden we evenwicht. Doen we dt nog een keer dn hngen lle vijf de mss s op dezelfde plts. Die plts verdeelt de oorspronkelijke fstnd in stukken die zich verhouden ls 6:4. Het punt wr de stf met mss s moet worden opgehngen om de stf in evenwicht te krijgen, noemen we het zwrtepunt of mssmiddelpunt vn de stf met mss s. 1 De krcht vn vectoren

15 6 3. n een mssloze stf hngen twee mss s vn grootte en 6. Wr moet de stf worden opgehngen opdt hij in evenwicht is?. n een mssloze stf hngen twee mss s vn grootte en. Wr moet de stf moet worden opgehngen, opdt hij in evenwicht is? In en evinden zich twee mss's vn grootte en. Het zwrtepunt Z vn de twee mss s ligt op lijnstuk, zodt Z:Z = : n een mssloze stf hngen twee mss's vn grootte 3 en 7. epl de plts vn het zwrtepunt Z op twee mnieren:. door te schuiven. door ovenstnde stelling toe te pssen. Nu we weten hoe we het zwrtepunt vn twee mss s kunnen eplen, gn we een systeem vn drie mss s op één lijn npkken n een mssloze stf hngen drie mss s vn grootte 1, en 3 op onderling gelijke fstnden, en in deze volgorde.. Wr ligt het zwrtepunt?. En wr ls je de mss s vn grootte en 3 vn plts verwisselt? ij drie mss s kun je er eerst twee smennemen, en vervolgens het resultt vn die twee comineren met het derde mss. ijvooreeld: Het zwrtepunt vn 5 en 7 ligt op fstnd 5 vn 7. Dus vervngen we de situtie door: Op zoek nr evenwicht

16 Vervolgens eplen we het zwrtepunt vn 1 en 3, die een onderlinge fstnd 45 heen: 15 We vinden het zwrtepunt vn de oorspronkelijke drie mss s op fstnd 36 vn het rechter mss G n dt je dezelfde plek vindt ls je egint met de mss s 3 en 5 smen te nemen.. Ook ls je egint met de mss s 7 en 3 smen te nemen. Het kn nog nders. Splits de mss vn 7 in twee mss s vn 5 en : c. Neem nu eerst de twee mss s vn 5 smen en de mss s vn en 3. Vind je op deze mnier weer hetzelfde zwrtepunt? ij elk ntl mss s op een lijn vind je ltijd hetzelfde eindpunt, hoe je ook de tweetllen kiest die je chtereenvolgens smenneemt. Dt etekent dt je terecht kunt spreken vn het zwrtepunt. Verderop zul je met ehulp vn vectoren egrijpen wrom je ltijd hetzelfde eindpunt vindt. 7 epl het zwrtepunt vn: Hoe gt het ls de mss s niet op één lijn liggen? Ook dn verschuiven we mss s nr elkr toe, tot dt lles in een centrum smenklontert: ls dt punt weer ltijd hetzelfde is, mg dt het zwrtepunt heten. 1 3 * 8 We ekijken een vooreeld met drie mss s: 1, en 3. Voor het gemk heen we een driehoekjesrooster ngercht, wrij de fstnden tussen een tweetl mss s verdeeld is in 15 en.. epl op het werkld het zwrtepunt door eerst de mss s en 3 smen te nemen.. Ook door eerst 1 en smen te nemen. c. En door eerst 1 en 3 smen te nemen. 14 De krcht vn vectoren

17 Wrom vind je steeds hetzelfde punt? Wrom vind je ltijd hetzelfde eindpunt ls je mss s twee n twee smenneemt? De volgorde wrin je drij te werk gt, doet niet ter zke. Dit kun je egrijpen door met vectoren te werken! O We kiezen een vst punt O in het vlk. Dit noemen we de oorsprong. In het vervolg schrijven we voor O, O enzovoort:,, enzovoort ; dt is gemkkelijker. We noemen,, enzovoort de pltsvector vn,, enzovoort. O * 9. Druk uit in en. = C c Het punt C verdeelt het lijnstuk zó, dt C:C=3:.. Ontind c in de richtingen en en toon n dt 3 c. 5 5 Tip. Teken lijnen door C evenwijdig n O en O en geruik gelijkvormigheid. O Het punt D verdeelt lijnstuk zó dt D:D=3:5. c. Ontind d in de richtingen en en ereken de getllen k en m wrvoor geldt dt d k m. Z Het punt Z ligt op lijnstuk zó, dt Z:Z=:. We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong, dn: OZ = O + O. O M Gevolg In en evinden zich de mss's en. Het zwrtepunt Z is het eindpunt vn de vector OZ = O + O. Specil gevl Voor het midden M vn geldt: 1 OM 1 O O. O 15 Op zoek nr evenwicht

18 ewijs OZ = O + = O + (1 )O + O = (O O ) = O + O Opmerking Het specil gevl he je in opgve 1.8 l gezien. * 10 In de punten en evinden zich de mss's en. Geef op het werkld de plts vn het zwrtepunt n in de volgende gevllen.. = 0 en = 6. = 1 en = 5 c. = en = 4 d. = 3 en = 3 e. = 4 en = f. = 5 en = 1 g. = 6 en = 0 O Merk op dt de keuze vn de oorsprong O er niet toe doet. 11. Hoe luidt de stelling ls we voor O het punt kiezen?. Hoe luidt de stelling ls we voor O het punt Z kiezen? 1 Gegeven zijn vijf mss s in een vlk (of in de ruimte, of op een lijn):, 3, 5, 7 en 10, op de pltsen 1,, 3, 4 en 5. Kies een oorsprong O. Om het zwrtepunt te vinden kunnen we (ijvooreeld) ls volgt te werk gn: - epl het zwrtepunt Z 1 vn de mss s en 3, - epl het zwrtepunt Z 34 vn de mss s 5 en 7, - epl het zwrtepunt Z 345 vn het systeem met mss 1 in Z 34 en mss 10 in 5, - epl het zwrtepunt Z vn het systeem vn mss 5 in Z 1 en mss in Z 345. Welke vector OZ vind je op deze mnier, uitgedrukt in O 1, O, O 3, O 4 en O 5? OZ is een soort gemiddelde vector vn O 1, O, O 3, O 4 en O 5. Hoe "zwr" elk vn die vectoren in het gemiddelde meetelt, hngt f vn de grootte vn mss op de etreffende plts. We gn nu het lgemene gevl ekijken. 16 De krcht vn vectoren

19 Voor drie mss s Gegeven zijn drie mss s 1,, 3 op de pltsen 1,, 3. We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong en erekenen de som vn de mss s: = Dn vinden we het zwrtepunt Z ls volgt: OZ = 1 O 1 + O + 3 O 3. 1 Z 1 Z O 3 ewijs Stel dt we eerst de mss s 1 en smennemen. Die twee kunnen we vervngen door het mss = 1 + in hun zwrtepunt Z 1 met OZ 1 = 1 O 1 + O. Dit gecomineerd met mss 3 geeft het punt Z met OZ = = OZ ( O 3 3 O + O ) + 3 O 3 3 = 1 O 1 + O + 3 O 3. Omdt in het eindntwoord de drie mss s en de drie pltsen volkomen symmetrisch voorkomen, is de volgorde wrin de mss s zijn smengenomen kennelijk niet vn elng! Voor vier mss s Gegeven zijn vier mss s 1,, 3, 4 op de pltsen 1,, 3, 4. We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong en erekenen de som vn de mss s: = Dn vinden we het zwrtepunt Z ls volgt: OZ = 1 O 1 + O + 3 O O 4. ewijs Eerst nemen we de mss s in 1, en 3 smen. Die kunnen we vervngen door mss = in plts Z 13, wrij OZ 13 = 1 O 1 + O + 3 O 3. Dit nemen we smen met mss 4 in 4. Dt geeft ons het zwrtepunt Z, wrvoor: OZ = 4 OZ 13 + O 4 = ( 1 O 1 + O + 3 O 3 ) O 4 = 1 O 1 + O + 3 O O 4. Weer is het ntwoord volkomen symmetrisch in de vier mss s en pltsen. Kennelijk is de volgorde vn smennemen niet vn elng. 17 Op zoek nr evenwicht

20 En zo gt dt door voor vijf, zes, mss s. lgemeen vinden we voor elk ntl mss s 1,,, n op de pltsen 1,, n het zwrtepunt Z ls volgt: Stelling De mss s 1,,, n evinden zich op de pltsen 1,, n. Het zwrtepunt noemen we Z. Dn: OZ = 1 O 1 + O + + n Hierij is = n. O n. We zien dt OZ een soort gemiddelde vector is vn O 1, O,, O n. Hierij eplt een mss op een plts hoe zwr die plts meetelt. Het doet er niet toe in hoeveel dimensies we werken. De punten mogen est op een rechte lijn liggen, mr dt hoeft niet. En ls drie punten een driehoek in de ruimte vormen, hoeft de gekozen oorsprong niet in het vlk vn de driehoek te liggen. De werkwijze met vectoren is dus lgemeen geldig: de krcht vn vectoren nneke heeft chtereenvolgens de volgende cijfers voor wiskunde gehld: 7, 6, 5, 9, 9, 10, 6, 7, 7. Ze heeft de cijfers uitgezet op de getllenlijn. epl hr gemiddelde wiskundecijfer. Merk de nlogie op tussen het gemiddelde cijfer en het zwrtepunt. 18 De krcht vn vectoren

21 3 De stelling vn Cev 1 C D E X De zijden C en C vn driehoek C zijn in vier gelijke stukken verdeeld. Twee vn de verdeelpunten zijn D en E; zie pltje. De lijn door C en het snijpunt vn D en E snijdt in X. Het lijkt erop dt X het midden vn is. In het volgende ewijzen we dt dit inderdd zo is. In het pltje hieronder is de lijn door C evenwijdig n lijn getekend.. ewijs dt FC en GC even lng zijn. Tip. Lt zien dt eide vn zijn.. Lt nu met gelijkvormigheid zien dt X=X. C F G D E S X Wt we hieroven heen gezien is een specil gevl vn de stelling vn Cev De stelling vn Cev

22 E C D Stelling vn Cev In driehoek C liggen punten D, E en F op de zijden C, C en. Dn komen de volgende twee dingen op hetzelfde neer. F D CE =1 F DC E F De lijnen D, E en CF gn door één punt. Giovnni Cev ( ) studeerde n de jezuïtische hogeschool in Miln en volgde een wiskundestudie n de universiteit vn Pis. In 1678 puliceerde hij het oek De lineis rectis se invicem secntius, sttic constructio wrin ook ovenstnde stelling te vinden is. Het is opvllend dt de stelling vn Cev ps zo lt in de geschiedenis is gevonden. De Snt Teres te Mntu Hier ligt Cev egrven. Lt zien dt je opgve 1 met de stelling vn Cev kunt ewijzen. 3 ewijs vn de stelling vn Cev In de punten, en C evinden zich mss s, en c. C D E F Het zwrtepunt vn de mss s en noemen we F, dt vn en c noemen we D en dt vn c en noemen we E. Het zwrtepunt vn de drie mss s, en c noemen we Z.. Leg uit dt Z op lijnstuk CF ligt. Evenzo ligt Z op de lijnstukken E en D, dus gn de lijnen D, E en CF door één punt.. Druk de volgende verhoudingen in, en c uit: F D CE, en. F DC E 0 De krcht vn vectoren

23 F D CE c. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. F DC E ls de lijnen D, E en CF door één punt gn, kun je er gewichten, en c ij verzinnen, en dn is F D CE =1. F DC E Het omgekeerde moet dn ook wr zijn omdt er mr X D CE één punt X op lijn is met =1. X DC E C y-s D - O - x-s 4 In (-,0), (4,0) en C(-1,3) evinden zich de mss s 4, en c. Het zwrtepunt vn de mss s in en is O. Het zwrtepunt vn de mss s in en C is D. D ligt op de lijn x=1.. ereken CD:D en vervolgens en c. Het snijpunt vn de lijnen OC en D is noemen we Z. Lijn Z snijdt lijn C in X.. ereken X:XC. c. ereken XZ:Z. 5 Hieronder zijn getekend (0,15), (36,0), D(9,0), E(0,6) en O(0,0). De lijnen OF, D en E gn door één punt.. ereken de coördinten vn F. F E O D. ereken de coördinten vn het snijpunt vn de lijnen OF, D en E. 1 3 De stelling vn Cev

24 6 In het pltje hieronder stn de punten (-9,-6), (9,0), C(-3,1), D(6,3) en E(-6,3). De lijnen CF, D en E gn door één punt X. C y-s E X F D x-s ereken de coördinten vn F en vn X. 7 Op de zijden C en C vn driehoek C liggen de punten E en D. Het snijpunt vn E en D is X. C D E X Lt zien: lijn CX gt door het midden vn E D. EC DC 8 De krcht vn vectoren

25 In de linker driehoek zijn de zijden in zes gelijke delen verdeeld en de verindingslijnen vn de hoekpunten nr de verdeelpunten getekend. Het lijkt erop dt er punten zijn die op drie verindingslijnen liggen. Om zeker te weten dt dt inderdd het gevl is, is een erekening nodig.. Lt met de stelling vn Cev zien dt het ngegeven punt op drie verindingslijnen ligt. In de rechter figuur is een indeling in zeven delen op de zijden gemkt.. Zijn er ook hier weer punten die op drie verindingslijnen vn hoekpunten met verdeelpunten liggen? Zoek dt uit. Motiveer je ntwoord. 9 Het meetkundige zwrtepunt vn een driehoek In de onderouw he je de volgende definitie gezien. Een zwrtelijn vn een driehoek gt door een hoekpunt en het midden vn de tegenoverliggende zijde. zwrtelijn Stelling De zwrtelijnen vn een driehoek C gn door één punt, het zwrtepunt Z vn de driehoek. Het zwrtepunt verdeelt de zwrtelijnen in de verhouding 1:. Er geldt: z c , wrij O enz., met willekeurige oorsprong O. ewijs de stelling. 3 3 De stelling vn Cev

26 4 Met coördinten Vectorvoorstelling vn een lijn O v * 1 In het pltje hiernst is O de oorsprong. De pltsvectoren vn en zijn, net ls in prgrf, geschreven ls en. Verder is er nog een vector v getekend.. Teken op het werkld de punten X met x t v voor lle mogelijke getllen t.. Teken op het werkld de punten X met x t v voor lle mogelijke getllen t. c. Teken op het werkld de punten X met x t voor lle mogelijke getllen t. In onderdeel krijg je de lijn door evenwijdig met de vector v, in de lijn door evenwijdig met de vector v en in c de lijn door evenwijdig met de vector. O q k p P Door in x p t q lle mogelijke getllen voor t in te vullen, krijg je de pltsvectoren vn lle punten op de lijn k door P evenwijdig met q. We noemen x p t q een vectorvoorstelling vn k. We noemen in deze schrijfwijze p de strtvector en q de richtingsvector vn k. * Het pltje nst het grijze hok stt ook op het werkld.. Teken op het werkld de lijnen met vectorvoorstelling: x p q t q x p t q x p t -q x p t q. Welke vectorvoorstellingen uit zijn een vectorvoorstelling vn k? Hoe komt het dt je in die gevllen dezelfde lijn krijgt (terwijl de vectorvoorstelling er nders uitziet)? 4 De krcht vn vectoren

27 * 3 Vlootschouw Tijdens een onderdeel vn de vlootschouw zijn drie schepen in ctie. De schepen en vren met constnte snelheid en richting (niet dezelfde). Schip C heeft vn de leiding de opdrcht gekregen op elk moment precies midden tussen de schepen en in te vren (om esthetische redenen). 0 en 0 zijn de strtposities vn en ; 1 en 1 de posities vn en n 1 minuut, enzovoort.. Zoek uit wr schip C zich n 1,, 3,... minuten evindt. Geef die pltsen op het werkld n met C 1, C, C 3,.... De plts C 0 is l ngegeven. Het ziet er nr uit dt schip C zich over een rechte lijn eweegt. We kunnen dit inzien door geruik te mken vn vectoren. Er is een oorsprong gekozen. De pltsvector vn 0 noemen we 0 en die vn 0 0, de snelheidsvector vn schip noemen we v en die vn schip w.. Druk de pltsvector vn het punt wr schip zich op tijdstip t evindt uit in t. Doe dt ook voor de schip. Nu kun je ook de pltsvector wr C zich op tijdstip t evindt in t uitdrukken c. Doe dt. Je krijgt zo een vectorvoorstelling vn een lijn. Welke vector is strtvector? En welke vector richtingsvector? d. Veronderstel dt twee keer zo snel gt ls en dt de richtingen wrin ze vren loodrecht op elkr stn. Hoeveel keer zo snel (exct) gt C ls? 5 4 Met coördinten

28 O lijn 4 Zie het pltje hiernst.. Een richtingsvector vn lijn is. Dus x t ( ) is een vectorvoorstelling vn lijn. G dt n.. Wr liggen de punten X met x t ( ) ls je voor t lleen getllen neemt met 0t1? En ls je voor t lleen getllen neemt met t0? c. Vn welke lijn is x t ( ) een vectorvoorstelling? O k Door de regels voor het rekenen met vectoren te geruiken, kun je x t ( ) herschrijven ls: x (1 t) t, ofwel x s t, met s+t=1. d. G dt n. Een vectorvoorstelling vn lijn is: x t ( ) ook wel: x s t, met s+t=1. Een prmetervoorstelling vn een lijn y-s - - x-s In het vervolg werken we in een ssenstelsel, met drin een x-s en y-s. Elk punt in het vlk kn worden ngeven door een tweetl getllen (een getllenpr). Het getekende punt in het rooster heeft eerste coördint - en tweede coördint 1; we noteren het ls (-,1). Een vector geven we ook met een getllenpr, mr dn verticl genoteerd. Zo geven we de getekende 3 vector n met. De getllen 3 en -1 noemen we de -1 kentllen vn de vector. De pltsvector vn het punt (,) is. 6 De krcht vn vectoren

29 y-s w - - v x-s * 5 In het rooster hiernst is een ntl vectoren getekend. Verder is een roosterhokje grijs gemkt.. Geef de kentllen vn de vier vectoren en ereken vn elke vector de excte lengte. Het grijze hokje wordt verpltst over vectoren vn de vorm k v m w, wrij k en m gehele getllen zijn.. Geef op het werkld met grijs n welke hokjes ereikt worden. c. Ontind de vectoren en in componenten in de richtingen vn v en w en geef de getllen k en m zó dt k v mw, respectievelijk k v m w. 6 v en -1 3 w -. Teken de vectoren v, w en v w. Wt zijn de kentllen vn v w?. Teken v. Wt zijn de kentllen vn v? Vooreeld 1 ls en -1 3, dn ls je een vector met een getl vermenigvuldigt, moet je eide kentllen met dt getl vermenigvuldigen. ls je twee vectoren optelt, moet je de kentllen pltsgewijs optellen. In formules: ls v en c w en k een getl, dn: d c k v w en d k v. k 7 Op tijdstip t=0 wordt vnuit het punt P(0,1) een kogel fgeschoten. De kogel eweegt in een rechte lijn, per seconde 5 eenheden in de x-richting en eenheden in de y-richting. N t seconden is de kogel in X t. 7 4 Met coördinten

30 . Druk de vector OX t in t uit. Ergens tussen t= en t=3 komt de kogel tegen de wnd (de lijn x=14).. N hoeveel seconden precies? In welk punt? 0 5 Er geldt: OX t t, dus X t ( 5t,1 t ). 1 Het ntwoord op kun je ook ls volgt vinden. De kogel komt op de wnd ls zijn eerste coördint 14 is, dus 5t=14, dus t=. Het punt wr de kogel zich dn evindt, vind je door t= in te vullen in (5t,1+t). Je vindt het punt (14,6 53 ). We noemen (x,y)= (0,1)+t(5,) of (x,y)=(5t,1+t) een prmetervoorstelling (pv) vn de lijn wrlngs de kogel eweegt. We noemen t de prmeter. x 5t We schrijven de pv ook wel ls:. y 1 t 8. Teken in een rooster de punten (-,1) en (1,).. Geef een pv vn de lijn. Het punt (-17,-4) ligt op lijn. c. Hoe zie je dt met ehulp vn de pv vn lijn? Een punt vn de lijn is (-+3t,1+t). ls je in een ndere pv het gegeven, controleer dn dt deze pv ook goed is. d. Voor welke wrde vn t is (-+3t,1+t) een punt vn de x-s? En voor welke wrde vn t een punt vn de y- s? Wt zijn dus de coördinten vn de snijpunten vn lijn met de x-s en de y-s? 8 De krcht vn vectoren

31 9 k is de lijn met pv (x,y)=(,1)+t (1,-)=(+t,1 t) en m de lijn met pv (x,y)=(,0)+t (-,4)=( t,4t).. Teken de lijnen k en m in een rooster, door eerst wt punten vn die lijnen te erekenen.. De lijnen k en m zijn evenwijdig. Dit kun je n de pv vn die lijnen zien. Hoe? c. Geef een pv vn de lijn door (,3) evenwijdig n k en m. d. Teken de lijn met pv (x,y)=(0,4)+t(-1,). De lijn die je in d getekend het is m. Verschillende pv's kunnen dus dezelfde lijn voorstellen. We zeggen dt twee vectoren, eide niet 0, (onderling) fhnkelijk zijn ls ze dezelfde of tegengestelde richting heen. In het pltje zijn v en w fhnkelijk, u en w niet. 10. Voor welk getl zijn de vectoren en 4 fhnkelijk? Voor welk getl zijn de vectoren - 8 en fhnkelijk? 4. Voor welk getl zijn de vectoren en - 5 fhnkelijk? Voor welk getl zijn de vectoren en 7 5 fhnkelijk? Twee vectoren, eide niet 0, zijn fhnkelijk ls de ene een veelvoud vn de ndere is. In formule: v en w, eide niet 0, zijn fhnkelijk ls er een getl k is zó, dt v =kw. c en zijn fhnkelijk d c=0 d 9 4 Met coördinten

32 11 ewijs dit. Vooreeld 1 In opgve 8 heen we de lijnen k en m met pv (x,y)=(,1)+t(1,-) en (x,y)=(,0)+t(-,4) ekeken. 1 k en m zijn evenwijdig, wnt de richtingsvectoren - - en vn de ijehorende vectorvoorstellingen zijn 4 fhnkelijk. Vooreeld Een pv vn de lijn door (3,3) en (,0) vind je zo. 3 1 Een richtingsvector is x 1 Een vectorvoorstelling is: t y 0 3 x t Een pv is dn: (x,y)=(,0)+t (1,3) ofwel:. y 3t Vooreeld 3 De lijn p heeft pv (x,y)=(0,)+t (3,1). Een pv vn de lijn n door (3,3) evenwijdig met p: is (x,y)=(3,3)+t (3,1). Je kunt voor p en n dezelfde richtingsvectoren nemen. 1 Lijn k snijdt de x-s in (3,0) en de y-s in (0,).. Geef een pv vn k. m gt door (,) en is evenwijdig met k.. Geef een pv vn m. c. ereken de coördinten vn de snijpunten vn m met de x-s en de y-s. 1 ( ) M In prgrf, opgve 8 he je gezien: 1 ( ) is pltsvector vn het midden vn. Hieruit volgt: Het midden vn lijnstuk met, ) en, ) ( is het punt, ). ( 1 ( 1 30 De krcht vn vectoren

33 y-s - - x-s Loodrechte stnd 13. Geef de twee vectoren die loodrecht op de vector (3,-1) stn en even lng zijn ls (3,-1).. Geef de twee vectoren die loodrecht op de vector (1,) stn en even lng zijn ls (1,). c. Geef de twee vectoren die loodrecht op de vector (87,100) stn en even lng zijn ls (87,100). - v L en v R stn loodrecht op - v. v L krijg je door v 90 linksom te drien en v R door v 90 rechtsom (met de wijzers vn de klok mee) te drien. Wrom dt zo is, zie je in het pltje hieronder. v v v R v L ( en zijn de lengten vn zijden wr ze ij stn.) 14 en zijn twee (willekeurig gekozen) vectoren en t is een willekeurig getl. Geldt R R ( ) R? Geldt ( t ) t? R Wt kun je zeggen vn ( )? R R R De vectoren c en 0, eide niet d stn loodrecht op elkr 0 c+d=0. 15 Toon n dt ovenstnde juist is Met coördinten

34 Opmerking ls c of 0 wel d is, kun je niet over loodrechte 0 stnd vn de vectoren spreken. Vooruitlik Het getl c+d ij de vectoren v en c w d zegt dus iets over de hoek tussen die vectoren. We noemen c+d het inproduct vn v en w. We noteren het inproduct vn v en w met v w. In het volgende hoofdstuk zullen we zien hoe je met het inproduct de hoek tussen vectoren kunt erekenen. 16 Wt is het vernd tussen v v en v? ls v en c w, dn is: v w = c+d het d inproduct vn v en w. ls v en w eide niet 0, dn geldt: v w =0 v en w stn loodrecht op elkr. v v = v 17 Gegeven zijn de punten =(-1,3) en (7,4). Op de x-s ligt een punt P zó, dt hoek P recht is. ereken de coördinten vn P (twee mogelijkheden). Vierknten C D 18 In de volgende drie opgven ekijken we vierknten CD. De letters,, C en D stn steeds linksom in volgorde ij de hoekpunten. epl de coördinten vn C en D in de volgende gevllen. Mk eventueel een tekening op roosterppier.. =(1,) en =(4,3);. =(1,) en =(4,0); c. =(11,0) en =(7,83). 3 De krcht vn vectoren

35 61 In c kun je ls volgt te werk gn:, dus C krijg je door te verschuiven over, 61 dus C=(7+-63,83+61)=(9,144). d. Mk een soortgelijke erekening voor de coördinten vn D, ls =(11,0) en =(7,83). Schrijf je erekening op. e. ereken de coördinten vn C en D ls =(-11,0) en =(50,10). Schrijf je erekening op. 19 ls =( 1, ) en =( 1, ), krijg je: dusc=, ,. Schrijf de coördinten vn C zonder hkjes, zo eenvoudig mogelijk.. Schrijf een erekening op voor de coördinten vn D. Schrijf die coördinten zonder hkjes, zo eenvoudig mogelijk. 0 epl de coördinten vn en D in de volgende gevllen.. =(-1,-) en C=(3,6).. =(-110,115) en C=(4,-1). Tip. epl eerst het midden M vn lijnstuk C. De coördinten vn de punten en C kun je dn vinden door M over MR respectievelijk ML te verschuiven. 1 Twee stven vn lengte vormen een Grieks kruis (dt wil zeggen dt de stven elkr loodrecht middendoor delen). Vn één vn de stven ewegen de eindpunten over de x-s en de y-s. Noem die eindpunten (,0) en (0,).. Wt kun je zeggen over +?. Druk de coördinten vn het centrum vn het kruis uit in en. c. eschrijf de n vn het centrum. d. Druk de coördinten vn de eindpunten vn de ndere stf uit in en. e. epl de n vn de eindpunten vn de ndere stf. Tip. Vergelijk de x- en de y-coördint vn die eindpunten Met coördinten

36 45 45 v 1 Gegeven is de vector v. Met ehulp vn v L en v R kun je ook vectoren en vinden die hoeken vn 45 met v mken, zie pltje.. Doe dt. Hoe lng zijn de vectoren die je gevonden het?. Geef de kentllen vn de vector die je krijgt door v 45 met de wijzers vn de klok mee te drien. 34 De krcht vn vectoren

37 Schtgrven op Teleurstellingseilnd 3 Op een onooglijk stukje vergeeld ppier dt nne in een oude kist vindt, stt het volgende. Ze trekt zich niets n vn de gruwelverhlen op Het eilnd ligt op Z, OL.: Disppointment Islnd; een vn de onewoonde ucklnd Islnds ten zuiden vn Nieuw Zeelnd. Onewoond? Op visverwerkende witkopltrossen n! nne heeft vst een pln gemkt, voor ls ze de stenen en de stronk eenml heeft gevonden. hier ligt de scht stronk vn de oude eik steen 1 steen Op Teleurstellingseilnd ngekomen, vindt ze wel de twee stenen, mr de stronk vn de oude eik is vergn.. Neem een stuk ppier en teken drop twee punten. Dr liggen de stenen. Kies nu een willekeurig derde punt voor de positie vn de stronk en voer de zoekctie uit met je geodriehoek. Kies nog een nder punt voor de stronk en voer de zoekctie nog eens uit. Je kunt de zoekctie ook ekijken met de GeoGer pplet Schtzoeken. Het lijkt wel of de plts vn de scht niet vn de plts vn de stronk fhngt! P(,) (-,0) Q (,0) R Dt dit inderdd zo is, kun je ls volgt inzien. Neem een ssenstelsel zo dt de stenen in de punten (-,0) en (,0) liggen. Zeg dt de eik in P(,) stond.. Druk de coördinten vn de punten Q en R (zie pltje) in en uit. c. Lt zien dt het midden M vn PR niet fhngt vn en. 35 Met coördinten

38 5 Smenvtting Regels voor het rekenen met vectoren Voor lle getllen k en m en lle vectoren, en c geldt: ( c) ( ) c k ( ) k k k ( m ) ( k m) Wt is het verschil tussen 0 en 0? Wt is v -? is de vector die het punt nr het punt verpltst. We zeggen dt twee vectoren, eide niet 0, (onderling) fhnkelijk zijn ls ze dezelfde of tegengestelde richting heen P Ontind de vector OP in zijn componenten lngs de lijnen O en O. Er geldt: p, voor zekere getllen en. Wt zijn die getllen en ls P=6 en P=4? O De lengte vn de vector v noteren we met I v Het zwrtepunt vn mss s De mss s 1,,, n evinden zich op de pltsen 1,, n. Het zwrtepunt noemen we Z. Dn: OZ = 1 O 1 + O + + n Hierij is = n. O n. C E 3 3 F D 4 5 Stelling vn Cev In driehoek C liggen punten D, E en F op de zijden C, C en. De lijnen D, E en CF gn door één punt. De lengte vn 5 vn de 6 stukken wrin de punten D, E en F de zijden verdelen stn in het pltje. ereken de lengte vn het zesde stuk. De zwrtelijnen vn een driehoek C gn door één punt, het zwrtepunt Z vn de driehoek. Het zwrtepunt verdeelt de zwrtelijnen in de verhouding 1:. Er geldt: z c. 36 De krcht vn vectoren

39 O q p k P Door in x p t q lle mogelijke getllen voor t in te vullen, krijg je de pltsvectoren vn lle punten op de lijn k door P evenwijdig met q. Hierij is q 0. We noemen x p t q een vectorvoorstelling vn k. We noemen in deze schrijfwijze p de strtvector en q de richtingsvector vn k. O lijn E en vectorvoorstelling vn lijn is: x t ( ) ook wel: x s t, met s+t=1. In een ssenstelsel v L v v R c en zijn fhnkelijk d c=0 d en niet eide 0 en c en d niet eide 0. - v L en v R stn loodrecht op - v. v L krijg je door v 90 linksom te drien en v R door v 90 rechtsom te drien. Hoe ereken je het inproduct v w vn twee vectorenv en w? ls v en w eide niet 0, dn geldt: v w =0 v en w stn loodrecht op elkr. Wt is het vernd tussen v v en v? De punten (1 + 3t, + 4t) vormen een rechte lijn. We schrijven ook wel: x 1 3t y 4t en noemen dit een prmetervoorstelling vn die lijn (t is de prmeter). Gegeven zijn de punten (0,1), (-3,4) en C(0,-). Geef een prmetervoorstelling vn lijn. Geef een prmetervoorstelling vn de lijn door evenwijdig met de lijn C. Gegeven zijn de punten (0,1), (-3,4) en C(0,-). In die punten zitten mss s, 3 en 1. ereken de coördinten vn het zwrtepunt met dit msssysteem? 37 5 Smenvtting

40 1. 6 ntwoorden Prgrf 1 Vectoren v w. Die is hetzelfde 3. 3 cm. Stn resultnte Ollie 4. c. c d 5. is de 0-vector, dus De krcht vn vectoren

41 . Die zijn tegengesteld. c. C 6 - w, v w, w v CD EF 0 c. Dus C DE F 0 d. Het ewijs gt net zo. e. Dn zijn de grijze zijden evenwijdig en even lng, dus he je een prllellogrm, dus zijn de zwrte zijden ook evenwijdig en even lng. 8 w , v w, v w, v w 9. p 1 en q 1. Enerzijds: r 1 c en c, nderzijds: 1 1 r p q, invullen geeft: 1 ( ) 10 k=- k=-1 k=0 k=1 k= S 11, Sien evenwijdig Sien zwemrichting Sien 1 v 39 6 nwoorden

42 13. u v s. v = 3 3,75 4,8 De veeroot moet zelf 4,8 km/h vren. 14. vrrichting u w v. u 1,73, w = = 90 + = 90 = De component lngs heeft lengte 1cos(37) 9, j 40 De krcht vn vectoren

43 Prgrf Op zoek nr evenwicht 1 Zelf doen. Eerste: 6 vnf de linkse Tweede: 8 vnf de linkse Derde: 8 vnf de linkse Vierde: 6vnf de linkse 3. vn de fstnd vnf links. vn de fstnd vnf links vnf 1. 1 vnf 1 6 Zelf doen vn de fstnd vnf links. 7 Dn komt het zwrtepunt op 1 rechts vn 7. 8,, c. 1 3 P C c O Q 9. Zie pltje. De driehoeken PC en O zijn OP gelijkvormig., dus OP O O 5 5. OQ 3 3 Evenzo:, dus OQ O O 5 5. Dus: OC c. OD 41 6 nwoorden

44 10. g. f. e. d. c... O 11. Z =. 0 = Z + Z 1 OZ = 7 3 O O + 7 O O O Het gemiddelde is 7,3, Prgrf 3 De stelling vn Cev 1. De driehoeken FDC en D zijn gelijkvormig, dus FC CD 1 GC CE 1. Net zo is. D 3 E 3. De driehoeken FSC en SX zijn gelijkvormig, dus FC CS GC CS FC GC. Net zo is. Dus. X SX X SX X X Uit volgt dn dt X=X. X D CE D CE X =1, verder =1, dus =1 X DC E DC E X 3. Je kunt het zwrtepunt Z eplen door eerst de mss's in en smen te nemen. Het zwrtepunt vn die twee ligt in F. Vervolgens moet je de mss's in C en F smennemen. Dus Z ligt op lijnstuk CF. F D c CE., en, dus: F DC E c F D CE c = 1. F DC E c 4. O 1, dus =. O 4 CD, dus c=3. D 3 c c 4 De krcht vn vectoren

45 . X is het zwrtepunt vn de mss's in en C, dus X 3. XC 4 c. Z is het zwrtepunt vn de mss's 7 in X en in. XZ Dus. Z 7 E OD F 9 9 F 5. 1, dus EO D F 6 7 F F 1 3 F. F 1 =(1,-5), dus F=(0+1,15 5)=(1,10).. Noem het snijpunt Z. We leggen in O, en geschikte mss's, ijvooreeld 1 in, in en 3 in O. Dn is Z het zwrtepunt vn de drie mss's. Neem de mss's in en smen. Dt geeft mss 3 in F. Z is dn het zwrtepunt vn de mss's 3 en 3 in O en F, dus het midden vn OF. Dus Z=(6,5). 6 D 1 CE 1 F D CE en, 1, dus DC 3 E 1 F DC E F 3, dus F 1 F 1 4 =(-4,-1), dus F=(9 4,0 1)=(4,-1). Om de coördinten vn X te vinden, leg je weer geschikte mss's in, en C, resp. 1, 3 en 1. reng ijvooreeld eerst de mss's in en C ij elkr in D. X is dn het zwrtepunt vn een mss 1 in en een mss 4 in D, dus DX 1 5 D (-3, ), dus X=(3, 1 ) Het snijpunt vn CX met noemen we F. Dn CX gt F door het midden vn =1. F F D CE D CE Verder: 1, dus 1, dus F DC E DC E D E =. DC CE C 8. E D F 43 6 nwoorden

46 Noem de hoekpunten vn de driehoek, en C en de specile verdeelpunten (zie pltje), D, E en F. F D CE 4 3 Dn geldt: 1, dus gn de F DC E 3 4 lijnen D, E en CF door één punt.. G zo te werk ls in. Je moet dn positieve gehele x y z getllen x, y en z zoeken zó, dt 1. 7 x 7 y 7 z N wt proeren, zie je dt dt niet gt. Je kunt ook wel ewijzen dt die x, y en z te vinden zijn ls volgt: Dn moet xyz 43 7xy 7xz 7yz 47x 49y 49z xyz oftewel: xyz 43 7xy 7xz 7yz 47x 49y 49z De rechterknt vn de ltste vergelijking is deelr door 7. De linkerknt moet dn ook deelr zijn door 7. Dit kn lleen ls x, y of z=7. 9 Leg mss's 1 in de hoekpunten! Prgrf 4 Met coördinten 1. v. O v c. O O. k x p q t q x p t q O q p P O q p P 44 De krcht vn vectoren

47 k x p t -q k x p t q O p P O p P q q. lleen de tweede niet. x p q t q = x p ( t 1) q x p t - q p -t q x p t q p t q En ls t lle mogelijke getllen is, dn t+1, -t en t ook C 0 3 C 1 C C v w v w. x 0 t v, x 0 t w c. x 1 ( 0 t v 0 t w ) 1 1 ( 0 0 ) t ( v w ), 1 strtvector ( 0 0 ) en richtingsvector 1 ( ) v w. 1 d. 5, zie pltje, wnt v w is 5 keer zo lng ls v 4. Tussen en ; lle punten rechts vn op de lijn c. Vn de lijn 45 6 nwoorden

48 w 3 lengte 9, 37, 1, y-s - w - v x-s c. 3 v 1 w 3, 7 v w w v v v w 5t 7. 1 t. t= in (14,6 53 ) 8. (x,y)=(-+3t,1+t) c. y=1+t=-4 ls t=-5, dn x=-+3-5=-17 d. t=-1, t=. Met de x-s : (-5,0), met de y-s : (0,1). 9. m k. De vectoren - en -1 zijn tegengesteld gericht. 4 c. (x,y)=(,3)+t(1,-) of (x,y)=(,3)+t(-1,) of d. Dezelfde lijn ls m. 46 De krcht vn vectoren

49 10. =1, =-4. =-, = c 11 Dn t voor een zekere wrde vn t. d We veronderstellen dt c0 (nders d0 en dn gt het net zo). Dn zie je door de ovenste kentllen te vergelijken: t, dus (onderste kentllen): d c d. c c Omgekeerd (we veronderstellen weer dt c0: ls c d, neem dn t c, dn c t. d 1. (x,y)=(3,0)+t(3,-) of (x,y)=(0,)+t(3,-) of. (x,y)=(,)+t(3,-) of c. (x,y)=(,)+t(3,-)= (+3t, t)is pv vn m. Snijpunt met de x-s: dn y=0 t=0 t=1. Dit geeft het punt (5,0) Snijpunt met de y-s: dn x=0 +3t =0 t=-. Dit geeft het punt (0,3). 13. (1,3) en (-1,-3). (,-1) en (-,1) c. (100,-87) en (-100,87) 14 j, j, ( ) R R - 15 Vergelijk de werkwijze met opgve 11. c - Dn c t. Veronderstel 0, dn t -, dus d c d - d -c. Omgekeerd, ls d -c mogen we wel weer veronderstellen dt 0. Neem dn c t -, dn c - t. d 16 v v = v 17 Het punt P is (x,0), dn P x 1-3 en x 7 P. - 4 x x - 4 x x x=1 of x= nwoorden

50 Dus (1,0) en (5,0) 18 Schetsjes ij, en c: C D D C D C (7,83) (1,) v (4,3) (1,) v (4,0) (11,0) 3. v, C=(4 1,1+3)=(3,4);D=(3 3,4 1)=(0,3) 1 3. v, C=(4+,0+3)=(6,3); - D=(6 3,3+)=(3,5) 61 c. v, C=(7 63,83+61)=(9,144); 63 D=(9 61,144 63)=(-5,81) d. Zie c. 61 e., dus C=(50+10,10+61)=(60,71) en -10 D=(60 61,71+10)=(-1,81). 19. ( 1,- 1 1 ). ( 1 ( 1 1 ),- 1 1 ( ))= ( 1, 1 1 ) 0 M is het midden vn C.. M=(1,), M, dus =(1+4, )=(5,0); 4 D=(1 4,+)=(-3,4). 57. M=(-53,57), M, dus - 58 =(-53 58,57 57)=(-111,0); D=(-53+58,57+57)=(5,114) 1. + =4. (,) c. () +() =4=1, dus het centrum eweegt over een cirkel met strl 1 en middelpunt (0,0). d. Zeg =(,0), =(0,). Het midden M vn is dn 1 - (,). M. Noem de eindpunten vn de 1 ndere stf C en D, dn C=(, ) en D=(+,+). v 48 De krcht vn vectoren

51 De y-coördint vn Cistegengesteld n de x-coördint vn C; De y-coördint vn Dis gelijk nde x- coördint vn C. Dus C loopt over de lijn y=-x en D over de lijn y=x.. v - L en 1 v R. Vectoren die een hoek -1 vn 45 met v mken zijn v + v L = -1 en 3 v + v R = 3. Deze zijn keer zo lng ls v P, dus Q=(-+,0 )= - 4 (-+,- ). Dn Q en R=(,0+4 )=(-,4 ). c. Het midden vn PR is dn (+-,+(4 )) =(0,), hngt dus niet f vn en nwoorden

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan.

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan. 2 Verschuiven Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten Blok Punten met gewicht vn Ad Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (2014) wiskunde B vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10 Toetsopgven vwo deel 3 hoofdstuk 10 Opgve 1 In de figuur hiernst zie je 15 kubusjes met ribbe. e punten,, en zijn hoekpunten vn een kubusje, punt is het midden vn een ribbe en de punten en delen een ribbe

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Havo B deel 1 Uitwerkingen blok 1 Moderne wiskunde

Havo B deel 1 Uitwerkingen blok 1 Moderne wiskunde Hvo B deel Uitwerkingen lok Moderne wiskunde Blok Vrdigheden ldzijde 0 l gt door (0, ) dus strtgetl l gt door (0, ) en (, ), dus nr rehts en omlg ofwel nr rehts en 0, omlg. Het hellingsgetl is dn 0, y

Nadere informatie

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1)

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1) Hoofdstuk : Comintoriek.. Telprolemen visuliseren Opgve :. ;. voordeel: een wegendigrm is compcter ndeel: ij een wegendigrm moet je weten dt je moet vermenigvuldigen terwijl je ij een oomdigrm het ntl

Nadere informatie

wiskunde D Zwaartepunten

wiskunde D Zwaartepunten wiskunde D Zwrtepunten Inhoudsopgve Zwrtepunten Op zoek nr evenwicht Het elng vn het zwrtepunt 9 3 Met ehulp vn vectoren 3 4 Appendix 9 Antwoorden 39 experimentele uitgve, jn 009 Colofon 008 Stichting

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv ICT - Grfieken met VU-grfiek ldzijde 64 1 De snijpunten met de x-s zijn ( 3, ), (4, ) en (5, ). f( 3) =, 5 ( 3) 3 ( 3) 35, 3+ 3= f( 4) =, 5 ( 4) 3 ( 4) 35, 4+ 3= f( 5) =, 5 ( 5) 3 ( 5) 35, 5+ 3= Met de

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons

Nadere informatie

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

Breuken en verhoudingen

Breuken en verhoudingen WISKUNDE IN DE BOUW Breuken en verhoudingen Leerdoelen N het estuderen vn dit hoofdstuk moet je in stt zijn om: te rekenen met reuken en verhoudingen; reuken toe te pssen in erekeningen vn onder ndere

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen. Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme CIRKELS EN BOLLEN Kls 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme INHOUDSOPGAVE. DE VERGELIJKING VAN EEN BOL.... DE SNIJCIRKEL VAN EEN BOL EN EEN VLAK... 5. DE CIRKEL DOOR PUNTEN... 7. DE BOL DOOR GEGEVEN PUNTEN...

Nadere informatie

De noodzakelijke voorwaarden voor een evenwicht kunnen derhalve samengevat worden als: F = 0 geen resulterende kracht in x richting.

De noodzakelijke voorwaarden voor een evenwicht kunnen derhalve samengevat worden als: F = 0 geen resulterende kracht in x richting. 1. EVENWICHT Zols in het eerste gedeelte over krchten en momenten reeds n de orde is gesteld werken op een lichm meestl meerdere krchten tegelijkertijd. We zeggen dt het lichm onderhevig is n een stelsel

Nadere informatie

Werken met. vectoren. Hoofdstuk 1 Werken met vectoren 9

Werken met. vectoren. Hoofdstuk 1 Werken met vectoren 9 Hoofdstuk Werken met vectoren 9 Werken met vectoren In Lthen in Duitslnd evindt zich de testn vn de Trnsrpid, een mgneettrein die over een specile n zweeft Stukken mgnetisch weekijzer in de n en elektromgneten

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de

Nadere informatie

2 Formules herschrijven

2 Formules herschrijven Formules herschrijven Verkennen www.mth4ll.nl MAThADORE-bsic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Werken met formules Formules herschrijven Inleiding Verkennen Probeer de vrgen bij Verkennen zo goed mogelijk te bentwoorden.

Nadere informatie

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules.. Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.

Nadere informatie

4 Vectoren en zwaartepunten

4 Vectoren en zwaartepunten 4 Vectoren en zwrtepunten I Vectoren Uit: M.C.Escher Cleidocycli door Doris Schttschneider en Wllce Wlker * 1 De Nederlndse grficus en kunstenr M.C.Escher (1898-1972) is bekend om zijn vlkvullende tekeningen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel

Nadere informatie

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Kerstvkntieursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem

Nadere informatie

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers? Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

Het bij een lichtsein door wit licht gevormd getal geeft de snelheid aan in tientallen kilometers per uur.

Het bij een lichtsein door wit licht gevormd getal geeft de snelheid aan in tientallen kilometers per uur. Bijlge 4, ehorende ij rtikel 24 vn de Regeling spoorverkeer Hoofdstuk 1. Het ij een lichtsein door wit licht gevormd getl geeft de snelheid n in tientllen kilometers per uur. 1. Lichtseinen. 1.1 Hoofdseinen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling 3 Gehele getllen: vermenigvuldiging en deling Dit kun je l 1 ntuurlijke getllen vermenigvuldigen 2 ntuurlijke getllen delen 3 de commuttieve en de ssocitieve eigenschp herkennen 4 de rekenmchine gebruiken

Nadere informatie

MET VOLLE KRACHT VOORUIT

MET VOLLE KRACHT VOORUIT MET VOLLE KRACHT VOORUIT VERSIE PR O EF KRACHT, ENERGIE EN VERMOGEN WEZO3_1u_them4.indd 3 15/04/16 09:48 HOOFDSTUK 1 KRACHTEN 1.1 Uitwerking vn een krcht p 5 1.2 Meten vn een krcht p 7 1.3 Kenmerken vn

Nadere informatie

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO Hoofdstuk 6 RECHTE LIJNEN 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,9 drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls je nr rechts zou gn, zou je omhoog

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt?

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt? Opgve 1 Je ziet hier een eenvoudige ksson. Hoeveel dingen he je volgens de ksson gekoht? Hoeveel etl je in totl? Hoe kun je dt edrg nrekenen? Hoe ereken je het edrg dt je vn de 20 euro terug krijgt? Je

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

Een feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a

Een feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a Werkbld Een feestml Nm: Ieder lnd en iedere cultuur kent specile dgen. Dn gn fmilies bij elkr op bezoek. Op die specile dgen is er meestl extr ndcht voor het eten. Hier zie je wt voorbeelden vn feesten

Nadere informatie

100 sin(α) kn. 3,0 m. De horizontale en verticale componenten van de kracht van 100 kn worden in dit voorbeeld bepaald:

100 sin(α) kn. 3,0 m. De horizontale en verticale componenten van de kracht van 100 kn worden in dit voorbeeld bepaald: Werken met vectren In deze krte ntitie wrden sisvrdigheden vr het werken met vectren tegelicht met een pr vreelden. Het ek gt uit vn enige vrkennis m..t. vectren mr die vrkennis is niet vr iedere strtende

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in

Nadere informatie

H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO

H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO H6 RECHTE LIJNEN VWO 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,0 (oude druk) km kost,0: =,9 (nieuwe druk) drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls

Nadere informatie

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5 Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische

Nadere informatie