Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening"

Transcriptie

1 Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5 In elk vn de figuren is ook een verticle lijn m getekend. De oppervlkte vn het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn de functie f en de lijn m, geven we n met F(), wrij de lijn m door het punt (, ) gt, wrij is. Zo is in de linker figuur F() gelijk n de oppervlkte vn het gekleurde driehoekje; we denken drij de lijn m door het punt (, ). Zodt in dit gevl: F () = = Opgve Bereken in de drie gevllen de wrde vn opvolgend F(), F(), F(), F(), F(). Hoe groot is in de drie gevllen F()? We zien dt de wrde vn F() fhnkelijk is vn (niet zo verwonderlijk overigens). Opgve Proeer in elk vn de drie gevllen een functievoorschrift voor F() te vinden; dus iets ls F() = 'uitdrukking in '. Is er drij een vernd tussen het functievoorschrift vn de functie F() en dt vn de functie f()? Zo j, welk vernd is dt dn? We doen vervolgens min of meer hetzelfde voor de functie f ( ) =. De oppervlkte vn het vlkdeel tussen de grfiek vn f, de positieve -s en de lijn m geven we ook nu n met F(). De wrden vn F(), F(), kunnen we (nog) niet direct erekenen. We geruiken drom de grfische rekenmchine (GR). Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm

2 In de drie figuren hieroven is GR-erekening vn de wrde vn F(5) geïllustreerd. Zo'n erekening kun je ps uitvoeren ls de grfiek vn de functie f op het gewenste domein, en hier is dt [; 5], op het scherm vn de GR stt (instellen met [WINDOW]). De erekening zelf doe je met [CALC]7:Sf()d, wrij je eerst de LowerLimit (de linker grens vn het intervl; hier dus ) invoert, en drn de UpperLimit (de rechter grens vn het intervl; in dit gevl dus 5). De GR geeft dn een enderde uitkomst; hier is dt,667. De ecte wrde is. Opgve Neem onderstnde tel over en vul de ontrekende wrden in. Zet drij lle wrden die je met de GR vindt, om in ecte wrden (dt kn in lle gevllen!). F() F() 5 Je kn een functievoorschrift voor F() vinden. Doe dt! Is er ook hier een vernd tussen de functievoorschriften vn F() en f()? Zo j, welk vernd is dt dn?. Tellen We kunnen tellen zols in Opgve ook direct met de GR mken vi Lijsten (LIST), mits we op de juiste mnier in het [Y=] scherm de te geruiken oppervlktefunctie vstleggen (we zullen lter zien hoe dt precies moet). Deze oppervlktefunctie vinden we in het [MATH] menu ls 9:fnInt(. Hierin moeten we enkele prmeters, gescheiden door komm's, toevoegen: - de 'formule' vn de functie f(); - de vriele die ij de functie f hoort; dt is ijn ltijd de X; - de ondergrens vn de te erekenen integrl, meestl een getl; - de ovengrens vn de te erekenen integrl, eveneens meestl een getl. Het direct erekenen vn ijvooreeld vn de oppervlkte ij de functie f ( ) = + op het intervl [; ] geeft dn met geruikmking vn fnint op het rekenscherm vn de GR (>>>): Opgve Bereken nu, ter oefening, op de mnier ls hieroven stt, ook de oppervlkte ij de onderstnde functies op het drij vermelde intervl. Mk vn elke functie ook een schets vn de grfiek op het etreffende intervl. Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm

3 . f ( ) = sin op [; ] c. h ( ) = sin op [; ]. g ( ) = op [; 9] d. k ( ) = op [-; ] Om geruik te kunnen mken vn de Lijsten vn de GR moeten we in het [Y=] menu twee functies definiëren: - de functie f ; hiervoor geruiken we meestl Y; - de oppervlktefunctie; deze pltsen we in Y, wrin we de Y- VARiele Y opnieuw geruiken. Merk op dt we voor de vierde prmeter vn fnint (dt is de ovengrens vn het intervl) hier de X geruiken! Kn je verklren wrom dit nodig is? Vooreeld. We geven ls vooreeld een toepssing met dezelfde functie f ls in Opgve, nmelijk f() = (zie de schermfdruk hieroven) We pltsen llereerst de te geruiken -wrden in lijst L (>>>): Dn kennen we n Lijst L de functie Y toe. Zet, om dt te doen, eerst de cursor op de nm L (het ovenste vkje) en typ dn chter 'L=' de uitdrukking Y(L) in het onderste deel vn het venster (>>>). N het drukken op [ENTER] worden de wrden erekend (>>>). In de lijst L stn dus voor =,,,,, de wrden vn F() = fnint(y,x,,).. Nottie en eigenschppen Voor de werkelijke oppervlkte vn het vlkdeel tussen de grfiek vn een functie f en de -s op het intervl [; ] schrijven we in het vervolg: f ( )d (Spreek uit ls: 'de integrl vn tot vn "ef-iks" "dee-iks" '.) Eigenschppen. Uit de figuur hiernst kunnen we fleiden: f ( )d = f ( )d f ( )d en c c f ( )d = f( )d + f ( )d Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm

4 . Een 'ewijs' vn de hoofdstelling Voor de functie F() die ls functiewrden de oppervlkte geeft vn het vlkdeel dt egrensd wordt door de grfiek vn de functie f(), de -s, de y-s en een lijn m door het punt (, ) en loodrecht op de -s, geldt, op sis vn wt we gezien heen in Opgve en Opgve : F ( ) = f( ) Dt dit vernd estt is uiterrd niet toevllig. Als een klein eetje ngroeit met Δ = h tot + h, dn groeit F() een eetje n met ΔF. We heen dn, volgens de definitie vn de fgeleide vn een functie: F( + h) F( ) ΔF( ) df lim = lim = = F ( ) h h Δ Δ d Bekijk nu nevenstnde figuur. Drin is Δ F de oppervlkte vn een verticle strook tussen de punten en + h op de -s. Die oppervlkte is (ongeveer) gelijk n de reedte (h =Δ ) ml de 'gemiddelde' hoogte vn de strook (het dikke lijnstuk in de strook), zodt: Δ F = lengte vn het dikke lijnstuk Δ Dit is ook het gevl ls de grfiek vn de functie f geen rechte lijn is (g dt n!). De lengte vn het lijnstuk ndert tot f() ls h steeds kleiner gekozen wordt. Dus: ls Δ ndert ΔF tot, dn ndert tot f(). Δ Δ F In formule: lim = f ( ) Δ Δ Conclusie: de functie f is de fgeleide vn de functie F, of wel: f ( ) = F ( ) Hoofdstelling. En hieruit volgt dn de zogenoemde hoofdstelling vn de integrlrekening: f ( )d = F ( ) F ( ) wrij voor de functie F() geldt, dt F'() = f (). De functie F is een zogenoemde primitieve functie of kortweg primitieve vn de functie f. Als het functievoorschrift vn de functie f gegeven is, dn wordt 'het vinden' vn het functievoorschrift vn de functie F ook wel primitiveren genoemd. Opgve 5 In Opgve zijn we uitgegn vn de functies f ( ) =, f ( ) = + en f ( ) = 5. Bijehorende primitieve functies F zijn opvolgend: F( ) =, F( ) = + en F( ) =. Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm

5 G dit n! Controleer nu met deze functies F de in Opdrcht gevonden wrden. Opgve 6 Gegeven is de functie f ( ) = sin+ cos. Wrom is de functie F ( ) = sin een primitieve functie vn de functie f? Wrom is ook de functie G ( ) = sin + 7 een primitieve functie vn f? Geef zelf nog een derde functie die ook een primitieve functie is vn de functie f. Hoeveel primitieve functies heeft de functie f dus? Afsprk. Als we vn een functie f (lleen) een primitieve functie F moeten opschrijven, dn noteren we dt ls volgt: f ( )d = F( ) + C We spreken het linker deel vn deze formule uit ls: 'een primitieve functie vn f()' of ook wel ls 'de oneplde integrl vn f() "dee-iks" '. Het getl C is hier de zogenoemde integrtieconstnte. Een integrl die voorzien is vn een onder- én ovengrens, heet wel eplde integrl. Opgve 7 In Opgve gingen we uit vn de functie F( ) =. G dit n! f ( ) =. Drij hoort een primitieve functie Vergelijk nu F(), F(), F(), F(), F(), F(), F() met de uitkomsten met die in de tel vn Opgve of die in het vooreeld n Opgve stn. Afsprk. We schrijven ij het integreren dt is het erekenen vn de integrl vk: f ( )d = [ F ( )] [ F ( )] stt drin dus voor F() F(). De functie f wordt soms integrnd (wt geïntegreerd moet worden) genoemd. Vooreelden. Willen we 8 7 d erekenen, dn schrijven we: d = [ ] = ( ) ( ) =.. sin d [-cos = ] = (-cos ) (-cos) = -(-) (-) = + =.. ( + )d = [ + ] = (6 + 6) ( + 8) = 8 = Integreren In de volgende opgve moeten de integrlen worden erekend zonder geruik te mken vn de GR. Indien gewenst mg de GR wel worden geruikt om het ntwoord te controleren. Opgve 8 Bereken de onderstnde integrlen; geef drij ecte ntwoorden. Werk je ntwoorden drij op dezelfde mnier uit ls in ovenstnde vooreelden. Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [5] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm

6 .. c. ( )d - d. 5 ( + )d d g. e. ( )d h. + d f. d i. + - cos( )d (sin sin )d 5 d 6. Vervolg integreren We ekijken nu de functie f ( ) = sin op het intervl [; ]. Berekening vn I sin d =, totl I = sin d geeft dn: I = sin d en vn I = [-cos ] = (-cos ) (-cos) = -(-) (-) = + = I = [-cos ] = (-cos ) (-cos ) = (-) () = Itotl = I + I = + ( ) = En dit ltste klopt ntuurlijk met: totl I = [-cos ] = (-cos ) (-cos) = (-) (-) = -+ = We zien dt de wrde vn de integrl I negtief is. Opgve 9 Verklr wrom sin d = -, dus negtief, is. Anwijzing: denk eventueel n de Riemnn-som wrop deze integrl geseerd kn worden. Verklr wrom sin d =. Uit Opgve 9 lijkt dus dt een integrl vn een functie die geheel onder de -s gelegen is, een negtieve wrde heeft. De wrde vn een dergelijke integrl geeft uiterrd geen oppervlkte weer! Om de oppervlkte ij zo'n functie te erekenen moeten we dus de solute wrde vn die functie eschouwen. Ligt de grfiek vn een functie oven én onder de -s, dn moeten we het integrtie-intervl splitsen. Voor de oppervlkte A vn het vlkdeel dt op het intervl [; ] gelegen is tussen de grfiek vn de functie f ( ) = sin en de -s, heen we: A= sin d + (- sin )d = sin d sind = (-) = Immers, op het intervl [; ] is sin = - sin. Bij de erekening vn oppervlktes ij functies is het dus n te evelen een schets vn de grfiek vn de functie te mken op het eschouwde intervl! Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [6] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm

7 Opgve Bereken de onderstnde integrlen zonder geruik te mken vn de GR (dus vi een primitieve vn de integrnd). G drij n of de erekende integrl een oppervlkte representeert. Zo niet, ereken dn eveneens de oppervlkte vn het vlkdeel ingesloten door de grfiek vn de integrnd en de -s op het eschouwde integrtie-intervl... ( )d c. - ( )d - d. - sin( )d - d Opgve Vn een zekere functie f is gegeven dt f ( )d = V onder- en ovengrens. Bewijs dn dt f ( )d = - V.. We verwisselen nu in de integrl de 7. Oppervlkte tussen twee grfieken We eschouwen nu de functies: f ( ) = + g ( ) = We willen drij de oppervlkte V erekenen vn het vlkdeel dt wordt ingesloten door de grfieken vn eide functies. Drtoe is het in de eerste plts noodzkelijk de -coördinten ( en ) vn de snijpunten A en B vn de grfieken te kennen. We lossen dus op: + = = ± + = = ± 5 zodt = 5 en = + 5. Opgve In vervolg op het ovenstnde. V f is de oppervlkte op het intervl [; ] vn het vlkdeel tussen de grfiek vn de functie f en de -s. V g is de oppervlkte op dt intervl tussen de grfiek vn g en de -s. In dit gevl is dn V = Vf Vg ; g dt n! Dn is: = ( + ) V ( ) ( ) d. Verklr deze uitdrukking. Bereken V met geruikmking vn de GR (ntwoord:,86). Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [7] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm

8 Als de grfieken vn de functies f en g elkr in meer dn twee punten snijden moeten we eenzelfde strtegie kiezen: we splitsen het integrtie intervl, mr nu in meerdere stukken, en op elk vn die stukken kijken we of de grfiek vn f oven die vn g ligt, of nders om. Vooreeld. Uitgnde vn de functies f ( ) = - + g ( ) = willen we de oppervlkte V vn het vlkdeel erekenen dt door de eide grfieken wordt ingesloten. Ook nu moeten we eerst de -coördinten,, c vn de snijpunten A, B, C erekenen. Door de vergelijking: + = te schrijven ls: - ( ) = ( ) 'zien' we dt: = -, =, c = - Opmerking. Uiterrd kunnen we die wrden (weliswr enderd) ook erekenen met de GR (vi [intersect]). V c = g ( ) f ( ) d + f ( ) g ( ) d c Voor V geldt nu: ( ) ( ) Opgve Geef een verklring voor de hieroven stnde formule vn V. Bereken V met geruikmking vn de GR (ntwoord:,9). Opgve Iemnd teken de grfiek vn de functie v ( ) = f( ) g ( ) Zie de schermfdrukken hiernst. Hij merkt drij op dt ook v ( )d de oppervlkte vn het edoelde vlkdeel V oplevert. Heeft deze persoon het ij het juiste eind? Verklr je ntwoord. Bereken v ( )d. Opgve 5 Bereken door geruik te mken vn primitieve functies (ect) de oppervlkte vn de eide vlkdelen die worden ingesloten door de grfieken vn de functies f ( ) = en g ( ) = +. Geef drij een volledig overzicht vn je erekeningen. 5 (Antwoord:,.) 6 Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [8] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm

9 8. Tot slot Opgve 6 Bereken de onderstnde integrlen door geruik te mken vn primitieve functies.. cos d c. d. + d d. d Opgve 7 Hiernst is de grfiek K getekend vn de functie f ( ) = en de lijn l met vergelijking y =. Het punt P is het snijpunt vn K met de -s. K heeft in het punt Q een top (de functie f heeft dr een mimum). Bereken de -coördinten p en q vn opvolgend P en Q. Door K, de lijn l en de verticle lijnen = p (door P) en = t (rechts vn P, dus met t > p) wordt een vlkdeel V met oppervlkte V(t) ingesloten. Bereken V(). Bereken de wrde(n) vn t wrvoor V() t =. Links vn de y-s ligt een gerceerd vlkdeel W met een 'onegrensde' omtrek. Onderzoek of W een egrensde oppervlkte heeft. Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [9] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Inhoud college 7 Basiswiskunde

Inhoud college 7 Basiswiskunde Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Kerstvkntieursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I chten vn een derdegrdsfunctie Gegeven is de functie 3 2 1 3 4 4 f ( x) x x op het domein [0, 3]. V is het gebied ingesloten door de grfiek vn f en de x-s. 5p 1 ereken lgebrïsch de excte wrde vn de oppervlkte

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2 Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen

Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen 1. Schrijf de formule vn de propositielogic Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentmen (23/01/13) ( ) volgens de officiële grmmtic uit de syllus, en geef de wrheidstel. De officiële schrijfwijze is De ijehorende

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

Continuïteit en Nulpunten

Continuïteit en Nulpunten Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

F G H I J. 5480

F G H I J. 5480 () Nm : Kls: Dtum: A. 06 Uit ln + ln( ) = ln volgt dt gelijk is n ) ) ) ) ) g.v.d.v. B. 77 + b ) b ) (+ is gelijk n b ) ) b) ).b b F. 7 kn ook geschreven worden ls ) e ) e ) e ( ) ln e ) ) e G. 7 9 Als

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt?

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt? Opgve 1 Je ziet hier een eenvoudige ksson. Hoeveel dingen he je volgens de ksson gekoht? Hoeveel etl je in totl? Hoe kun je dt edrg nrekenen? Hoe ereken je het edrg dt je vn de 20 euro terug krijgt? Je

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Emenursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit

Nadere informatie

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is: Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

Primitieve en integraal

Primitieve en integraal Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen

Nadere informatie

ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011

ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011 ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN MEI ) (Andere ntwoorden zijn niet noodzkelijk (geheel) incorrect) () Enkelvoudig ontrd ofwel niet-ontrd. Niveu met energie C= heeft een deeltje

Nadere informatie

Lineaire formules.

Lineaire formules. www.betles.nl In de wiskunde horen bij grfieken beplde formules wrmee deze grfiek getekend kn worden. zijn formules die in een grfiek een reeks vn punten oplevert die op een rechte lijn liggen. In de vorige

Nadere informatie

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers? Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Snelstartgids Access Online: Betalingen en Rapportage

Snelstartgids Access Online: Betalingen en Rapportage Snelstrtgids Access Online: Betlingen en Rpportge Snel op weg met Access Online Voor het geruik vn de pplictie De meest geruikte functies in overzichtelijke stppen Snelstrtgids Access Online: Betlingen

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B II

Eindexamen vwo wiskunde B II Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

Wat doen we met de vuile was?

Wat doen we met de vuile was? Door Jn de Wrd Wt doen we met de vuile ws? Inleiding Gechte medewerkers, Ons edrijf komt de ltste tijd hels nogl negtief in het nieuws. Sommigen vn jullie mken zich lijkr schuldig n het [1] vn de vuile

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

Toepassingen op Integraalrekening

Toepassingen op Integraalrekening Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Toepassingen op Integraalrekening

Toepassingen op Integraalrekening Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes

Nadere informatie

100 sin(α) kn. 3,0 m. De horizontale en verticale componenten van de kracht van 100 kn worden in dit voorbeeld bepaald:

100 sin(α) kn. 3,0 m. De horizontale en verticale componenten van de kracht van 100 kn worden in dit voorbeeld bepaald: Werken met vectren In deze krte ntitie wrden sisvrdigheden vr het werken met vectren tegelicht met een pr vreelden. Het ek gt uit vn enige vrkennis m..t. vectren mr die vrkennis is niet vr iedere strtende

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I Onfhnkelijk vn mimumscore 5 f ' ( x) = e + ( + ) e f' ( x ) = 0 voor x = f ( ) = (dus P (, ) ) e e Hieruit volgt dt lle punten P dezelfde y-coördint hebben, dus liggen l deze punten op één (horizontle)

Nadere informatie

Henk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Henk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Jn vn de Crts Henk Pijls De kromme gevormd door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten NAW 5/9 nr. mrt 08 9 Jn vn de Crts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit vn Amsterdm j.vndecrts@uv.nl

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 5 De tweevoudige integrl collegejr : 8-9 college : 5 build : 27 ugustus 28 slides : 48 Vndg dubbel en De tweevoudige integrl en inhoud 2 Herhlde integrl 3 4 Poolcoördinten intro VA Wt is een integrl?

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

2) Kegelsneden (in basisvorm)

2) Kegelsneden (in basisvorm) ) Kegelsneden (in sisvorm) In dit hoofdstuk werken we ltijd in een Euclidisch geijkt ssenstelsel. ) De rool Definitie De rool is de meetkundige lts vn de unten wrvoor de fstnd tot een gegeven unt F gelijk

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

De standaard oppervlaktemaat is de vierkante meter. Die is afgeleid van de standaard lengtemaat, de meter.

De standaard oppervlaktemaat is de vierkante meter. Die is afgeleid van de standaard lengtemaat, de meter. Opgve 1 Dit is een roosterord. Elk roosterhokje is 5 m ij 5 m. Hoeveel edrgt de oppervlkte vn dit ord? Opgve 2 Welke oppervlktemten ken je l? Noem er zoveel mogelijk. De oppervlkte-eenheid is de vierknte

Nadere informatie

35 7 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO

35 7 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO Hoofdstuk 6 RECHTE LIJNEN 6 d 6.0 INTRO km kost,0: =,0 drnkje kost : =,0, dus de entrée is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls je nr rechts zou gn, zou je omhoog

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Herkansingscursus. Rekenregels voor vereenvoudigen

Voorbereidende opgaven Herkansingscursus. Rekenregels voor vereenvoudigen Voorbereidende opgven Herknsingscursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t www. - - nfhnkelijk

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Examencursus

Voorbereidende opgaven Examencursus Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5 Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische

Nadere informatie

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO Hoofdstuk 6 RECHTE LIJNEN 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,9 drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls je nr rechts zou gn, zou je omhoog

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

3. BEPAALDE INTEGRAAL

3. BEPAALDE INTEGRAAL 3. BEPAALDE INTEGRAAL In dit hoofdstuk gn we op zoek nr een lgemene mnier om de oppervlkte vn een willekeurig vlkdeel te eplen. We ouwen onze redenering op vi ondersommen, ovensommen en Riemnnsommen om

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

Analyse Plus reader Hoofdstuk 5. Als we, zonder ons af te vragen of het eigenlijk mag, de integraal gaan berekenen vinden het volgende antwoord:

Analyse Plus reader Hoofdstuk 5. Als we, zonder ons af te vragen of het eigenlijk mag, de integraal gaan berekenen vinden het volgende antwoord: 5. Inleiding. We ekijken de inegrl - 4 d. Als we, zonder ons f e vrgen of he eigenlijk mg, de inegrl gn erekenen vinden he volgende nwoord: é ù d= ê- ú =- - =- 4 - ë û- He nwoord is negief. D is vreemd,

Nadere informatie

Breuken en verhoudingen

Breuken en verhoudingen WISKUNDE IN DE BOUW Breuken en verhoudingen Leerdoelen N het estuderen vn dit hoofdstuk moet je in stt zijn om: te rekenen met reuken en verhoudingen; reuken toe te pssen in erekeningen vn onder ndere

Nadere informatie

ANALYSE IN MEER VARIABELEN JUNI , 13:30-16:30

ANALYSE IN MEER VARIABELEN JUNI , 13:30-16:30 Docent: J. vn de Leur Assistent: J.L. vn der Leer Durn ANALYSE IN MEER VARIABELEN JUNI 6 03, 3:30-6:30 Exercise (5 pt) Lt T de torus in R 3 prmetristie zijn die gegeven wordt door de Φ(α, θ) = (( + cos

Nadere informatie

De formule van het opslagpercentage voor alle producten luidt:

De formule van het opslagpercentage voor alle producten luidt: 4.3 Verkoopprijs erekenen Om een product of een dienst met winst te verkopen, moet je eerst goed weten wt de kosten zijn. Als je dt weet, dn kun je de verkoopprijs eplen. Kosten De kostprijs vn een product

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

Antwoorden Natuurkunde Hoofdstuk 1

Antwoorden Natuurkunde Hoofdstuk 1 Antwoorden Ntuurkunde Hoofdstuk 1 Antwoorden door Dn 2719 woorden 3 pril 2016 4,3 2 keer eoordeeld Vk Methode Ntuurkunde Systemtishe ntuurkunde 1.1 Grootheden en eenheden Opgve 1 Kwntittieve metingen zijn

Nadere informatie

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,

Nadere informatie

Exact periode 2.2. Gemiddelde en standaarddeviatie Betrouwbaarheidsinterval Logaritme ph lettersommen balansmethode

Exact periode 2.2. Gemiddelde en standaarddeviatie Betrouwbaarheidsinterval Logaritme ph lettersommen balansmethode Exct periode. Gemiddelde en stndrddevitie Betrouwbrheidsintervl Logritme ph lettersommen blnsmethode 1 gemiddelde en stndrddevitie vn meetwrden. x en s Hieronder zie je twee getllenseries die hetzelfde

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

Route F - Desert. kangoeroerat

Route F - Desert. kangoeroerat Route F - Desert Voor deze route, moet je eerst nr de Bush. Dr moet je even zoeken nr de tunnel die nr de Desert leidt. Geruik onderstnd krtje voor de Desert. Begin ij nummer 1. 1 Kngoeroertten Kngoeroertten

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO

H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO H6 RECHTE LIJNEN VWO 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,0 (oude druk) km kost,0: =,9 (nieuwe druk) drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls

Nadere informatie