Inhoud college 7 Basiswiskunde

Transcriptie

1 Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10 Primitiveren

2 2 Bsiswiskunde_College_7.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie = k 2 = 55 k=1 Voor n = 1, 2, 3, geldt dt n n = n k=1 k = n n+1 2 Voor n = 1, 2, 3, geldt dt n n 2 = k 2 = n k=1 n n+1 2n+1 6 Voor n = 1, 2, 3, geldt dt 1 + r + r r n-2 + r n-1 n = r k-1 = rn -1, r 1. k=1 r-1 n i = m + m+1 + m n-1 + n i=m n+m i = i=m n m+i i=0

3 5.1t/m3 Oppervlkte vn geied Bsiswiskunde_College_7.n 3 Y f x G X Geied G, niet l te ingewikkeld, rnd vn G estt uit eindig ntl gldde krommen Geied G heeft oppervlkte A = opp G Essentiële vrgen: Hoe kom je n opp G? Wrom is opp G elngrijk?

4 4 Bsiswiskunde_College_7.n 5.1t/m3 Oppervlkte vn (deel)geied Y f x G2 G 1 X Lt het geied G uit G 1 en G 2 estn. Dn opp G = opp G 1 + opp G 2

5 5.1t/m3 Oppervlkte eenvoudige geieden Bsiswiskunde_College_7.n 5 Eenvoudige geieden: c h r Rechthoek A = h Cirkel A =pr 2 Driehoek A = 1 2 csin

6 6 Bsiswiskunde_College_7.n 5.1/3 Riemnnsom Beschouw intervl, in D f. Intervl, wordt verdeeld in n deelintervllen x 0, x 1, x 1, x 2,, x n-1, x n. met = x 0 < x 1 < x 2 < < x n-1 < x n =. In ieder deelintervl x i-1, x i wordt een getl c i gekozen. x 1 x 2 x 3 x n-2 x n-1 c 1 c 2 c 3 c n-1 c n Riemnnsom RS: RS = f c 1 x 1 - x 0 + f c 2 x 2 - x f c n-1 x n-1 - x n-2 + f c n x n - x n-1 n RS = f ck x k - x k-1 k=1 Als D x k = x k - x k-1, dn RS = f ck Dx k n k=1 Als de functie f x 0 is voor x, dn is RS de som vn oppervlkten.

7 5.1/3 Riemnnsom grfisch 1 Bsiswiskunde_College_7.n 7 Y f x X De Riemnnsom is een endering voor de opp vn het geied onder de grfiek vn f oven de x-s tussen de lijnen x = en x =

8 8 Bsiswiskunde_College_7.n 5.1/3 Riemnnsom grfisch 2 Y f x X In hoe meer deelintervllen, is verdeeld, hoe eter de endering zl zijn, tenminste ls de lengte vn lle deelintervllen nr 0 gt.

9 5.1/3 Limietproces grfisch Bsiswiskunde_College_7.n 9 Op den duur zijn de lengten vn de deelintervllen zo klein, dt men geen fzonderlijke rechthoeken meer ziet. Y f x Out[6]= X

10 10 Bsiswiskunde_College_7.n 5.1/3 Limietproces Beschouw een functie f op het intervl, met een Riemnnsom. Als f c k < 0, dn geeft de rechthoek horend ij het intervl x k-1, x k een negtieve ijdrge n de Riemnnsom. RS = n f ck Dx k k=1 A = f x x Limietproces, n Ø, lengte deelintervllen Ø 0 Als de limiet A estt, dn is de functie f integreerr over het intervl,. We noemen A = f x x de eplde integrl vn f over,. Als f continu is op,, dn is f integreerr over, en estt f x x. Het uitrekenen vn de eplde integrl is in veel gevllen onmogelijk.

11 5.1/3 De eplde integrl Bsiswiskunde_College_7.n 11 Nottie In f x x heet de ondergrens, de ovengrens, f x de integrnd en x de integrtie-vriele. Er geldt f x x = f t t = f u u. De wrde vn f x x hngt lleen f vn ondergrens, ovengrens en de functie f. Belngrijk De onder- en ovengrens vn de eplde integrl mogen niet vn de integrtie-vriele fhngen.

12 12 Bsiswiskunde_College_7.n 5.1/3 De wrde vn de eplde integrl Y 1 Y 2 Y 3 f x f x X X X f x In lle gevllen is de oppervlkte vn het lichtgele geied oven de x-s en de oppervlkte vn het lichtrode geied onder de x-s. In ieder gevl zijn 0 en 0. Gevl (1): f x x = Gevl (2): f x x =- Gevl (3): f x x =-

13 Bsiswiskunde_College_7.n /3 Vooreeld 1 2 Wt is de wrde vn x 2 x? Bedenk dt ls y = 4 - x 2, dt dn x 2 + y 2 = 4. De integrl is de oppervlkte vn een hlve cirkel met strl 2 2 Dus 4 - x 2 x = 2 p

14 14 Bsiswiskunde_College_7.n 5.1/3 Vooreeld 2 3 Wt is de wrde vn x x? Teken een pltje vn de grfiek en herken een De integrl is de oppervlkte vn een trpezium of de oppervlkte vn een rechthoek en een driehoek Dus x + 1 x = ÿ 3 ÿ 3 =

15 5.1/3 Vooreeld 3 Bsiswiskunde_College_7.n 15 1 Wt is de wrde vn x 3 x? -1 Bedenk dt het intervl -1, 1 symmetrisch is rond 0 en de integrnd is oneven. 1 Dus x 3 x = 0. Zie de grfiek vn de integrnd

16 16 Bsiswiskunde_College_7.n 5.4 Inleiding eigenschppen vn eplde integrlen De eplde integrlen f x x zijn nu geïntroduceerd. Het uitrekenen vn eplde integrlen komt lter. Stelling 3 evt een lijst vn eigenschppen vn eplde integrlen. Deze mken het mogelijk om iets over een integrl f x x te zeggen zonder hem uit te rekenen. De meeste integrlen f x x zijn niet uit te rekenen, mr er zijn llerlei technieken om deze integrlen te enderen. In Bsiswiskunde komen die niet n de orde. Nummering vn eigenschppen is ls in stelling 3.

17 5.4 Eigenschppen met integrtie-intervl Bsiswiskunde_College_7.n 17 Lt f integreerr zijn over een intervl dt punten, en c evt. () f x x = 0 () f x x =- f x x (d) c f x x + c f x x = f x x Eigenschp () is intuïtief duidelijk. Hij volgt ook uit (). Eigenschp () is geseerd op Riemnnsommen. Als > dn geldt = x 0 > x 1 > x 2 > > x n-1 > x n = en dus D x k < 0. Eigenschp (d) is intuïtief duidelijk ls < < c. Hij geldt ook in lle ndere gevllen. Y f x c X

18 18 Bsiswiskunde_College_7.n 5.4 Eigenschp lineriteit (c) Lt f en g integreerr zijn over intervl, en C een constnte, dn f x x + g x x = f x + g x x en Cf x x = C f x x Eigenschp is geseerd op Riemnnsommen. Er geldt dt en n f ck + g c k Dx k = f ck Dx k + g ck Dx k k=1 n n k=1 Cf ck Dx k = C f ck Dx k k=1 n k=1 n k=1

19 5.4 Eigenschp met ongelijkheid Bsiswiskunde_College_7.n 19 (e) Lt f en g integreerr zijn over intervl, en f x g x voor x, dn f x x g x x Y g x f x X 1 Vooreeld: De integrl x x is niet met pen en ppier uit te rekenen. 2+x 5 0 Geef een intervl met lengte hooguit 1 n wrinnen de integrl ligt. 6 Merk op dt x 3 x x 2+x 5 2 voor 0 x Dus x x x x x 3 2+x 5 x ofwel 1 1 x x x

20 20 Bsiswiskunde_College_7.n 5.4 Eigenschp met solute wrde (f) Beschouw en in R met <. Lt f integreerr zijn over intervl,. Dn f x x f x x In pltje (1) is de grfiek vn een functie f getekend en in (2) de grfiek vn f. Lt de oppervlkte vn lichtgele geied en de oppervlkte vn lichtrode geied in pltje (1) zijn. Dn f x x = - += f x x.

21 5.4 De middelwrdestelling voor integrlen Bsiswiskunde_College_7.n 21 Beschouw en in R met <. Lt f continu zijn op intervl,. Dn estt er een c in het intervl, met f x x = - f c. Y M h f x m c 1 c 2 X Voor het gemk nemen we functie f met f x 0. De functie f is continu en neemt een minimum m en een mximum M n op,. Dus m - f x x M -. Er estt getl h zodnig dt h - = f x x. Nu geldt m h M. Dus er is c met h = f c met c.

22 22 Bsiswiskunde_College_7.n 5.4 De gemiddelde wrde Het gemiddelde vn twee functiewrden: f x 1 +f x 2 2 Het gemiddelde vn drie functiewrden: f x 1 +f x 2 +f x 3 3 Het gemiddelde vn een integreerre functie f op een intervl, : f = 1 ÿ f x x - Als f continu is op het intervl,, dn f = f c voor een zekere c tussen en.

23 5.4 Integrl met stuksgewijs continue integrnd Bsiswiskunde_College_7.n 23 Beschouw en in R met <. Lt f stuksgewijs continu zijn op intervl,, dus er estn eindig ntl deelintervllen x 0, x 1,, x n-1, x n met continue functies h i op x i-1, x i en = x 0 < x 1 < x 2 < < x n-1 < x n = zodnig dt f x = h i x voor x œ x i-1, x i. x 1h1 x 2h2 x n Dn f x x = x x + x x + + hn x x. x 0 x 1 x n-1 Hieronder stt een vooreeld vn stuksgewijs continue functie f met drie deelintervllen in intervl, : Y f x x 1 x 2 X

24 24 Bsiswiskunde_College_7.n 5.5 De hoofdstelling 1 Stelling 5 (Deel 1) Gegeven en in R, <, en een functie f continu op,. Y f t x x + h T x Dn estt voor lle x œ, de functie H met H x = f t t en er geldt dt H x = f x. Omdt f continu is, is H x voor lle x œ, gedefinieerd. Merk op dt H x + h - H x = H x+h -H x Dus lim hø0 h x+h = lim f c h = f x hø0 x f t t = hf c h voor zekere c h tussen x en x + h.

25 5.5 De hoofdstelling 2 Bsiswiskunde_College_7.n 25 Stelling 5 (Deel 2) Gegeven getllen en in R, <, een functie f continu op, en een functie F met F x = f x voor lle x, x. Y f t T Dn geldt dt f t t = F - F. Voor de functie H uit deel 1 geldt d d x H x - F x = H x - F x = f x - f x = 0. Dus er estt constnte d met H x - F x = d. Invullen vn x = geeft -F = d, dus H x = F x - F. Invullen vn x = geeft H = f t t = F - F.

26 26 Bsiswiskunde_College_7.n 5.5 Opmerkingen ij de hoofdstelling é Voor het uitrekenen vn f x x moet er een functie F gezocht worden met F = f. De functie F heet een primitieve vn f. é Bij het uitrekenen vn f x x wordt het evlutiesymool F x geruikt, dus f x x = F x = F - F. é Voor functies g en h geldt dt d d x wnt d d x h x f t t g x h x f t t g x = f h x h x - f g x g x, = d d x F h x - F g x = F h x h x - F g x g x. Voor het vereenvoudigen vn d d x niet epld te worden. h x f t t hoeft de integrl of de functie F g x

27 5.5 Vooreelden 1 Bsiswiskunde_College_7.n 27 1 p (1) Bereken 1 t ; (2) Bereken 1+t sin x 3+cos x x. (1) Er geldt dt rctn t = 1. 1+t 2 1 Dus 1 t = rctn t 1+t = rctn 1 - rctn 0 = p 4 0 (2) Er geldt dt d d x -ln 5 + cos x gelijk is n sin x 5+cos x. p Dus sin x x = -ln 5 + cos x 3+cos x 0 p =-ln 4 + ln 6 = ln 3 2 0

28 28 Bsiswiskunde_College_7.n 5.5 Vooreelden 2 (1) Vereenvoudig d d x x+1 2 -t t ; (2) Vereenvoudig d 1+t 2 d x 0 2 -t t 2+t sin x (1) d d x (2) d d x x+1 2 -t 1+t 0 2 -t 2+t sin x t = - x+1 2 x + 1, x+1 t =- -sin x 2+sin x cos x 2

29 5.5 Vooreelden 3 * Bsiswiskunde_College_7.n 29 Lt zien dt x 4 + x 8 x zonder de integrl uit te rekenen. Merk op dt voor 0 x 1 geldt dt x 2 x 4 + x 8 x 4 + x 4 = x Dus x 2 1 x 0 0 x 4 + x 8 1 x x x ofwel x 4 + x 8 x

30 30 Bsiswiskunde_College_7.n 2.10 Primitiveren Beschouw een functie f. De functie F met de eigenschp dt F x = f x heet een primitieve (ntiderivtive) vn f. Het eplen vn F heet primitiveren. Differentiëren f x, gegeven f x, gevrgd ø eenvoudige regels, tel ø weinig fouten in wiskundige pkketten Primitiveren F x, gevrgd, F x = f x f x, gegeven ø lstig, tel ø veel fouten in wiskundige pkketten

31 2.10 Oneplde integrl Bsiswiskunde_College_7.n 31 Beschouw een functie f. De functie F met de eigenschp dt F x = f x heet een primitieve (ntiderivtive) vn f. Het eplen vn F heet primitiveren. Beschouw een functie f met een primitieve F op een intervl I. De lgemene primitieve is F x + c met c een constnte. De oneplde integrl vn f x op een intervl I is f x x = F x + c De constnte c heet de integrtieconstnte. Soms wordt F x ook met f x x ngegeven, mr dit leidt tot fouten. De nottie vn de oneplde integrl is hndig ij eplen vn primitieven.

32 32 Bsiswiskunde_College_7.n 2.10 Eigenschppen vn oneplde integrl Beschouw functies f en g en constnte c. Dn geldt () f x + g x x = f x x + g x x () cf x x = c f x x Toelichting F x + G x = f x + g x en cf x = cf x

33 2.10 Anpk primitiveren Bsiswiskunde_College_7.n 33 ø Gokken met uitproeren ø Tel, zie Zorg ervoor dt u de structuur vn de linkerhelft in uw hoofd zit. ø In stukken splitsen en per stuk fwerken ø Herschrijven ø Elektronische hulpmiddelen

34 34 Bsiswiskunde_College_7.n 2.10 Vooreelden 1 Bepl f x x met (1) f x = 1 ; (2) f x = x 3 xn ; (3) f x = 3 x + 1. x (1) Met gok f x x =- 1 + c; Inderdd d c = 1 2 x 2 d x 2 x 2 x 3 1 (2) Met gok x n x = n+1 xn+1 + c, n -1 ln x + c, n =-1 (3) 3 x + 1 x = 3 x x + 1 x = 3 x x 2 x2 + ln x + c

35 Bsiswiskunde_College_7.n Vooreelden 2 Bepl f x x met (1) f x = cos 3 x + 1 ; (2) f x = sin 2 x ; (3) f x = sin 3 x ; (1) cos 3 x + 1 x = sin 3 x c; (2) sin 2 x x = cos 2 x x = 1 2 x sin 2 x + c; (3) sin 3 x x = sin x - cos 2 x sin x x =-cos x + cos3 x 3 + c

36 36 Bsiswiskunde_College_7.n 2.10 Vooreelden 3 (1) Bepl x 6 x (2) Bepl 1+ 1+x2 1+x 2 x (1) x 6 x = 1+2 x c; 1+ 1+x2 (2) x = 1+x 2 Zie de tel x 2 1+x 2 x = rctn x + ln x + x c

37 2.10 Prtytip * Bsiswiskunde_College_7.n 37 Pk tijdens studentenfeestje oek vn Adms en doe spel Wie vindt het eerst een primitieve? met een punt voor degene die het snelst het goede ntwoord vindt. Bij het sommetje Bepl x cos x x vindt Piet x sin x + cos x + c. Wt doen de nderen? Ze controleren het ntwoord vi differentiëren. Nu is d x sin x + cos x + c = sin x + x cos x - sin x = x cos x, d x dus Piet heeft een punt verdiend.