2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c."

Transcriptie

1 Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht Uitwerkingen hoofdstuk Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos α = 0, α = cos 0, = 78,5 b. sin α = 0, α = sin 0, =,5 e. tn α = α = tn = 8,4 c. cos α = 0,8 α = cos 0,8 = 6,9 f. tn α = α = tn = 7,6. Gegeven is de driehoek vn figuur 0.0. Gevrgd worden hoek β en de zijden en c A c Figuur 0.0 β B A D B Hoek β = 80 ( ) = 45. Trek de hoogtelijn D vnuit, dn geldt: AD = = 0 en BD = 90 β = 45. We hebben nu AD met de verhoudingen : : en druit volgt: AD = en D = A 60 D D 45 B In BD zijn de verhoudingen : : (ofwel : : ) en met D = volgt: BD = D = en B = BD = = 6 Resultt: = 6, c = AD + DB = + en β = 45.

2 Uitwerkingen 0... De grfieken vn y = sin x en y = cos x in één figuur, met 0 x 90 en op de x-s 0 ls eenheid: y = sin x y = cos x ( ) 4. Bewijs (zie nevenstnd figuur): tn α = c = b ( ) = sin α c cos α b α b c 5. Bij deze opgve wordt gebruikgemkt vn figuur 0.0b uit het boek: b 90 α A c B Uit sin α = c, cos α = b c, tn α = b volgt: c = Hiermee zijn de opgven ls volgt op te lossen: sin α, c = b, = b tn α en b = cos α tn α.. α = 50 en b = 0 c = b cos α = 0 cos 50 5,56 en = b tn α = 0 tn 50,9 b. α = 55 en b = 0 c = b cos α = 0 cos 55 7,4 en = b tn α = 0 tn 55 4,8 c. cos α = 0,8 en b = c = b cos α = 0,8 =,75 en = c b =,75 =,5 d. sin α = 0,6 en = 4 c = sin α = 4 0,6 = 6 en b = c = e. tn α = en = b = tn α = 4 f. = 4 en b = c = + b = 4 + = 5 = 9 4 = 4 en c = + b = = (6 ) 4 = 5 + ( 9 4 ) = = 5 6 = 5 4 = 4

3 Uitwerkingen Gegeven is de scherphoekige driehoek in figuur 0.0c. Toon n: c = b cos α + cos β Bewijs: Zie de nevenstnde figuur. Trek de hoogtelijn D uit op AB. Dn geldt: cos α = AD b en cos β = BD Dus ook: AD = b cos α en BD = cos β Hieruit volgt: c = AD + BD = b cos α + cos β γ γ b b A α c β B A α c D β B Figuur 0.0c

4 4 Uitwerkingen Vn een driehoek zijn de lengtes vn de zijden 7, 4 en 5. Bepl de hoeken vn de driehoek. γ b α c β Noem de zijden, b en c (zie de figuur), met = 7, b = 4 en c = 5. De cosinusregel geeft voor zijde : = b + c bc cos α 7 = cos α 49 = cos α cos α = 5 00 = 0,96 Omdt α een scherpe hoek is, volgt hieruit: α = cos 0,96 = 6,. Voor zijde b geldt: b = + c c cos β 4 = cos β 576 = cos β cos β = = 0,8 Omdt β een scherpe hoek is, volgt hieruit: β = cos 0,8 = 7,7. Ten slotte zijde c: c = + b b cos γ 65 = cos γ cos γ = 0 Blijkbr geldt γ = 90! Het resultt is α = 6,, β = 7,7 en γ = 90. Dit klopt met de som vn de hoeken in een driehoek: α + β + γ = 6, + 7, = 80. Ook geldt + b = c (de stelling vn Pythgors), dus γ is inderdd exct een rechte hoek.

5 Uitwerkingen Vn AB is =, c = 5 en β = 45. Bereken zijde b, hoek α, de lengte vn de hoogtelijn uit en de oppervlkte vn de driehoek. Oplossing: Teken AB met drin de gegevens en teken ook de hoogtelijn h uit : b = h A α c = 5 45 B We berekenen b met de cosinusregel: b = + c c cos β = cos 45 = = 4,44 Dus b = 4,44 = 0,70 Nu kun je α berekenen met de sinusregel: sin α = b sin α sin 45, ofwel = sin 45 b en dt geeft: sin α = sin 45 b = 0,70 = 0,79 De rekenmchine geeft α = sin 0,79 = 5,. De oppervlkte vn een driehoek is gelijk n de hlve hoogte ml de bsis. Voor de hoogte h geldt: h = sin 45 = 6 en de bsis c = 5, dus: oppervlkte AB = h c = 5 = 45 6,64

6 6 Uitwerkingen 0... Lt zien dt voor γ = 90 uit de cosinusregel de stelling vn Pythgors ( + b = c ) volgt. Bewijs: Er geldt cos 90 = 0 en de cosinusregel geeft in dt gevl: c = + b b cos γ = + b 0 = + b En dt is de stelling vn Pythgors. 4. In figuur 0.4 stt een kubus getekend met ribbe. Gevrgd wordt om de lengte vn de digonl HB exct te berekenen. Teken drtoe eerst het vierknt ABD en bereken de lengte vn BD. Teken drn de rechthoek DBF H en bereken dn de lengte vn digonl HB drvn. Bereken ten slotte met behulp vn je rekenmchine de hoeken HBD en DHB. H G E F D A Figuur 0.4 B Oplossing: Zie de onderstnde figuren. De lengte vn BD volgt uit de stelling vn Pythgors: BD = AB + AD = + = Dus BD =. De lengte vn HB volgt ook uit de stelling vn Pythgors: HB = DB + DH = + = Dus HB =. HBD = tn = tn 5, en DHB = tn 54,7. D H F A B D B

7 Uitwerkingen α = π b. β = π c. γ = 6 π β = π α = π γ = 8 α = 0,5 O O Figuur γ = 6 π β = Figuur De hoeken zijn in figuur getekend. Hoek α correspondeert met 60, hoek β met 0. Hoek γ krijg je door met de klok mee nderhlf keer rond te drien plus nog 6 π (= 0 )... α = 0,5 b. β = c. γ = 8 De hoeken zijn in figuur getekend. Merk op dt γ π = 8 π,7 ( 98 ). Gegeven is een cirkelsector met middelpuntshoek π en strl cm. Teken deze sector en bepl de lengte vn de boog en de grootte vn de sectoroppervlkte. π O R = cm Figuur Zie figuur De lengte vn de boog is φ R = π = π cm (,4 cm). De sectoroppervlkte is φ R = π = π cm ( 4,7 cm ).

8 8 Uitwerkingen In de eenheidscirkel zijn de gevrgde hoeken ngegeven: 4 π 4 π 6 π 0 (4π) 6 π 5 π π ( π) Dit leidt tot de onderstnde tbel. In het boek stn bij het ntwoord op deze opgve drie fouten in de tbel: sin(5 π) = sin( π) = (en niet ) sin( 6 π) = sin(5 π) = sin( π) = (en niet ) tn( 6 π) = sin( 6 π) cos( 6 π) = = (en niet ) De correct ingevulde tbel: x π 0 4 π 5 π 6 π 4 π 6 π 4π π sin x 0 0 cos x 0 tn x 0 0

9 Uitwerkingen Gegeven is figuur 0.8. Punt P ligt in het xy-vlk op een cirkel met strl rond de oorsprong. De hoek tussen OP en de positieve x-s is 0,5. Bepl de coördinten vn P. 0 0,5 P y P 0 0,5 P x P Figuur 0.8 Oplossing: Zie de figuur ernst: x P is de projectie vn P op de x-s en y P is de projectie op de y-s. Dn is x P = cos 0,5,6 en y P = sin 0,5,44, dus P = (,6,,44).

10 0 Uitwerkingen De grfiek vn y = sin x is een stndrdgrfiek, die je zo moet kunnen tekenen: y = sin x π π π π 0 π π π π b. De grfiek vn y = sin x ontstt uit de grfiek vn y = sin x door deze met een fctor ten opzichte vn de y-s in te drukken. Je zou kunnen zeggen dt sin x twee keer zo snel loopt ls sin x. De grfiek vn y = + sin x ontstt uit die vn y = sin x door deze over een fstnd nr boven te schuiven. 4 y = + sin x π π π π 0 π π π π Het resultt is dus ontstn door eerst de grfiek vn de sinus met een fctor ten opzichte vn de y-s in te drukken en drn over een fstnd nr boven te schuiven.

11 Uitwerkingen 0.5. c. De grfiek vn y = sin x ontstt uit de grfiek vn y = sin x door deze met een fctor in de y-richting uit te rekken. Alle y-wrden worden keer zo groot. y = sin x π π π π 0 π π π π Het resultt is dus ontstn door eerst de grfiek vn de sinus met een fctor ten opzichte vn de y-s in te drukken en drn met een fctor in de y-richting uit te rekken. d. Herschrijf de functie: y = sin(x π) = sin (x 4 π) De grfiek vn y = sin (x 4 π) ontstt uit die vn sin x door deze over een fstnd 4 π nr rechts te verschuiven. y = sin(x π) π π π π 0 π π π π Het resultt is dus ontstn door eerst de grfiek vn de sinus met een fctor in te drukken en drn over een fstnd 4π nr rechts te verschuiven.

12 Uitwerkingen Bij de onderstnde ntwoorden lten we de nduiding (k geheel) of (k Z) weg. Wr de letter k wordt gebruikt is steeds een geheel getl, een geheel veelvoud bedoeld. Dus k kn de wrden 0,,,,, nnemen... sin x = 0 {zie de grfiek vn de sinus} x = kπ Met de stndrdmethode krijg je x = 0 + kπ x = (π 0) + kπ en dt is equivlent met x = kπ x = π + kπ. Dit levert dezelfde verzmeling oplossingen op ls x = kπ. b. sin x = {zie de grfiek vn de sinus} x = π + kπ Met de stndrdmethode krijg je x = π + kπ x = (π π) + kπ. Omdt π π = π levert de tweede term hiervn geen nieuwe oplossingen op. c. cos x = 0 {zie de grfiek vn de cosinus} x = π + kπ Met de stndrdmethode krijg je x = π + kπ x = π + kπ en dt is hiermee equivlent. d. cos x = 0,5 {stndrdmethode, gebruik cos π = 0,5} x = π + kπ x = π + kπ e. tn x = 0 {stndrdmethode, gebruik tn 0 = 0} x = kπ f. tn x = {stndrdmethode, gebruik tn π = } x = π + kπ

13 Uitwerkingen sin(x + ) = 0 { sin x = 0 heeft x = kπ ls oplossing} x + = kπ {breng nr rechts} x = + kπ {deel door } x = + kπ b. + cos x = {breng nr rechts} cos x = {gebruik cos π = } x = π + kπ x = π + kπ {deel door } x = π + kπ x = π + kπ c. cos x = {gebruik cos 6 π = } x = 6 π + kπ x = 6π + kπ {ml } x = π + 4kπ x = π + 4kπ d. cos( x) = 0,5 {gebruik cos π = 0,5} x = π + kπ x = π + kπ { nr rechts} x = + π + kπ x = π + kπ {deel door, kπ of +kπ mkt niet uit} x = π + kπ x = + π + kπ e. tn x = {stndrdmethode, gebruik tn 4 π = } x = 4π + kπ {deel door } x = π + kπ f. tn x = {deel door } tn x = {stndrdmethode, gebruik tn 6 π = } x = 6π + kπ {deel door } x = 8 π + kπ

14 4 Uitwerkingen sin x = 0, { sin 0, = 0,0} x = 0,0 + kπ x = π 0,0 + kπ b. sin x = geen enkele x voldoet, wnt sin x c. cos x = 5 { cos 5 =,77} x =,77 + kπ x =,77 + kπ d. cos x =,5 geen enkele x voldoet, wnt cos x e. tn x = 00 { tn 00 =,56} x =,56 + kπ f. tn x = 0, { tn 0, = 0,0} x = 0,0 + kπ 4.. sin x = {sin 4 π = } x = 4 π + kπ x = π ( 4π) + kπ x = 4 π + kπ x = 5 4 π + kπ In de eerste reeks oplossingen (x = 4π + kπ) krijg je lleen voor k = 0 en k = wrden in het intervl [ π,π] en wel x = 4 π en x = 4 π. Voor bijvoorbeeld k = krijg je 4 π en voor k = krijg je 4π en die liggen buiten [ π,π]. In de tweede reeks oplossingen (x = 5 4π + kπ) krijg je lleen voor k = en k = 0 wrden in het intervl [ π,π] en wel x = 4 π en x = 4 π. Voor bijvoorbeeld k = krijg je 4 π en voor k = krijg je 5 4 π. Op het intervl [ π,π] zijn de oplossingen: x = 4 π x = 4 π x = 4 π x = 4 π De werkwijze is: kies gehele wrden voor k rond 0 (k = 0,,,,, ) en bekijk per uitkomst of het resultt nog in het intervl [ π,π] ligt.

15 Uitwerkingen b. cos x = {cos 4 π = } x = 4 π + kπ x = 4 π + kπ Invullen vn k = 0,, levert: x = 4 π x = 4 π x = 4 π x = 4 π c. sin x = {sin 6 π = } x = 6 π + kπ x = π ( 6π) + kπ x = 6 π + kπ x = 5 6 π + kπ Invullen vn k = 0 en k = levert: x = 5 6 π x = 6 π x = 6 π x = 5 6 π d. cos x = { cos =,} x =, + kπ x =, + kπ k = x =, π, 6,8 = 5,05 x =, π (vervlt, buiten [ π,π]) k = 0 x =, x =, k = x =, + π (vervlt, buiten [ π,π]) x =, + π, + 6,6 = 5,05 De oplossing is: x = 5,05 x =, x =, x = 5,05 e. tn x = {tn 4 π = } x = 4 π + kπ k = x = 4 π k = x = 4 π k = 0 x = 4 π k = x = 4 π De oplossing is: x = 4 π x = 4 π x = 4 π x = 4 π f. tn x = {tn 6 π = } x = 6 π + kπ k = x = 5 6 π k = x = 5 6 π k = 0 x = 6 π k = x = 6 π De oplossing is: x = 5 6 π x = 5 6 π x = 6 π x = 6 π

16 6 Uitwerkingen sin x = sin 8 π x = 8 π + kπ x = π 8 π + kπ x = 8 π + kπ x = 5 8 π + kπ b. cos x = cos 9 π x = 9 π + kπ x = 9 π + kπ c. sin x = sin(4x + ) x = 4x + + kπ x = π (4x + ) + kπ x = + kπ 5x = π + kπ x = + kπ x = π + 5 kπ (Merk op dt je voor kπ ook +kπ mg schrijven, k doorloopt de gehele getllen) d. cos(x ) = cos( x) x = x + kπ x = ( x) + kπ x = x + kπ x = + x + kπ 4x = + kπ 0 = 0 + kπ De tweede term is juist voor k = 0, ongecht de wrde vn x: elke wrde vn x voldoet n deze vergelijking. (Inderdd geldt cos(x ) = cos( + x) = cos[ ( x)] = cos( x), wnt cos w = cos( w)) onclusie: elke x R voldoet. e. tn x = tn 0 π x = 0 π + kπ f. tn x = tn x x = x + kπ x = kπ

17 Uitwerkingen sin x = sin 8π {gebruik sin( w) = sin w} sin x = sin( 8 π) x = 8 π + kπ x = π ( 8π) + kπ x = 8 π + kπ x = 8 π + kπ b. cos x = cos 9π {gebruik cos(w + π) = cos w} cos x = cos( 9 π) x = 9 π + kπ x = 9 π + kπ c. sin x = 4 {stndrdvergelijking z = A} sin x = sin x = {sin 6 π = en sin( 6 π) = } x = 6 π + kπ x = 5 6 π + kπ x = 6 π + kπ x = 6 π + kπ x = 6 π + kπ x = 6 π + kπ d. cos x = cos x {herleid op 0} cos x cos x = 0 {ontbind in fctoren} cos x(cos x ) = 0 {product is 0} cos x = 0 cos x = {zie de grfiek vn de cosinus} x = π + kπ x = kπ e. sin x = cos x {gebruik sin w = cos(w π)} cos(x π) = cos x x π = x + kπ x π = x + kπ x = π + kπ x = π + kπ x = π + kπ x = 6 π + kπ f. cos x = cos x {substitutie cos x = y} y = y {herleid op 0} y + y = 0 {los op met de bc-formule, discriminnt is 9} y, = ± 4 y = y = {y = cos x} cos x = cos x = {cos π = en cos π = } x = π + kπ x = π + kπ x = π + kπ

18 8 Uitwerkingen sin(x y) = sin(x + ( y)) {somregel voor de sinus} = sin x cos( y) + cos x sin( y) {cos( y) = cos y en sin( y) = sin y} = sin x cos y + cos x sin y = sin x cos y cos x sin y b. cos(x y) = cos(x + ( y)) {somregel voor de cosinus} = cos x cos( y) sin x sin( y) {cos( y) = cos y en sin( y) = sin y} = cos x cos y sin x sin y = cos x cos y + sin x sin y c. tn(x y) = tn(x + ( y)) {somregel voor de tngens} = = tn x + tn( y) tn x tn( y) tn x tn y + tn x tn y {tn( y) = tn y}.. sin(x + π) = sin x cos π + cos x sin π = sin x + cos x 0 = sin x b. sin(x π) = sin x cos( π) + cos x sin( π) = sin x + cos x 0 = sin x c. cos(x + π) = cos x cos π sin x sin π = cos x sin x 0 = cos x d. cos(x π) = cos x cos( π) sin x sin( π) = cos x sin x 0 = cos x Deze formules drukken uit dt verschuiven vn de grfieken vn de sinus en de cosinus over π nr links of nr rechts een spiegeling in de x-s vn deze grfieken geeft. Dt de ntwoorden vn de onderdelen. en b. en vn de onderdelen c. en d. onderling gelijk zijn, komt omdt de rgumenten (dt zijn de wrden wrvoor je de functie berekent) precies π verschillen. Zo hd je voor de fleiding vn onderdeel b. ook kunnen kiezen voor: sin(x π) = sin((x + π) π) = sin(x + π) = sin x

19 Uitwerkingen sin(x + π) = sin x cos π + cos x sin π = sin x 0 + cos x = cos x b. sin(x π) = sin x cos( π) + cos x sin( π) = sin x 0 + cos x = cos x c. cos(x + π) = cos x cos π sin x sin π = cos x 0 sin x = sin x d. cos(x π) = cos x cos( π) sin x sin( π) = cos x 0 sin x = sin x 4. tn(x + 4 π) = tn x + tn 4 π tn x tn 4 π = tn x + tn x = + tn x tn x = + sin x cos x sin x cos x = cos x + sin x cos x sin x 5. Gegeven: tn x = sin x cos x Te bewijzen: tn x = tn x tn x Bewijs: = = = = tn x sin x cos x sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin x cos x tn x tn x {gebruik tn x = sin x cos x } {verdubbelingsformules vn sinus en cosinus} {deel teller en noemer door cos x } {gebruik tn x = sin x cos x } tn x = + sin x cos x = cos x cos x + sin x cos x = cos x + sin x cos = x cos x b. sin(x 4 π) = [ sin x cos( 4 π) + cos x sin( 4 π)] = [ ] sin x + cos x = sin x cos x c. cos(x 4 π) = [ cos x cos( 4 π) sin x sin( 4 π)] = [ ] cos x sin x = sin x + cos x d. Delen vn de linkerzijde en rechterzijde vn onderdeel b. door die vn onderdeel c. geeft het resultt.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1 H GONIOMETRIE VWO.0 INTRO 6 km : 0.000 = cm b b Driehoek PQB is gelijkvormig met driehoek VHB, de 00 vergrotingsfctor is 0 = 7. Dus PQ = 680 = 0, dus zeilt ze 0 meter 7 in minuten. Dt is,8 km/u.. HOOGTE

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM HEREXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 008 VK : WISKUNE TUM : TIJ : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B (pilot) Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I Eindemen wiskunde B- vwo 007-I Beoordelingsmodel Podiumverlichting mimumscore 3 sin α = r 650 V 650 r r r 650 r = 9 + invullen geeft V = 9 + sin α = r r = 9 + V = 650 650 = 9+ 9+ 9 + mimumscore 5 650 00

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. (en dit is gelijk aan fa. is een primitieve functie van f a ) 1

Vraag Antwoord Scores. (en dit is gelijk aan fa. is een primitieve functie van f a ) 1 Beoordelingsmodel Vrg Antwoord Scores Onfhnkelijk vn mximumscore x x F'x ( ) = e + x e Dit geeft F ( ) ( ) e x ' x = x (en dit is gelijk n f ( x ), dus F is een primitieve functie vn f ) mximumscore 5

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B I

Eindexamen vwo wiskunde B I Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 99 993 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel

Nadere informatie

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10 Toetsopgven vwo deel 3 hoofdstuk 10 Opgve 1 In de figuur hiernst zie je 15 kubusjes met ribbe. e punten,, en zijn hoekpunten vn een kubusje, punt is het midden vn een ribbe en de punten en delen een ribbe

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

5.1 Rekenen met differentialen

5.1 Rekenen met differentialen Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 5 Substitutie We hebben gezien dt de productregel voor de fgeleide een mnier geeft, om voor zeker functies een primitieve te vinden,

Nadere informatie

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica de Bchelor IR de Bchelor Fysic jnuri 4 Er worden 5 vrgen gesteld. Vul o ieder bld je nm in. Motiveer of bewijs iedere uitsrk. Los lle vrgen o, o een rt bld! Het exmen duurt u. Veel succes!. Bereken lle

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Formulekaart VWO 1. a k b n k. k=0

Formulekaart VWO 1. a k b n k. k=0 Formulekrt VWO 1 Formulekrt VWO Knsrekening Tellen n! = n (n 1)... 1 0! = 1 ( ) n n! = k k!(n k)! Binomium vn Newton: ( + b) n = n k=0 ( ) n k b n k k Knsrekening Voor toevlsvribelen X en Y geldt E(X +

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Over de tritangent stralen van een driehoek

Over de tritangent stralen van een driehoek Over de tritngent strlen vn een driehoek Dick Klingens mrt 004 Inleiding. Het bijvoeglijk nmwoord 'tritngent' gebruiken we ls we spreken over de incirkel (ingeschreven cirkel) en de uitcirkels (ngeschreven

Nadere informatie

Hertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar.

Hertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar. Hertentmen Elektriciteit en Mgnetisme 1 Woensdg 14 juli 2011 09:00-12:00 Schrijf op elk vel uw nm en studentnummer. Schrijf leesbr. Mk elke opgve op een prt vel. Dit tentmen bestt uit 4 vrgen. Alle vier

Nadere informatie

Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid

Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Hoofdstuk 4 Meetkunde (V4 Wis B) Pagina 1 van 8 Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Les 1 : Gelijkvormigheid Definities sin( A) = Overstaande Schuine cos( A) = Aanliggende Schuine = O S = A S tan( A) = Overstaande

Nadere informatie

Resultatenoverzicht wiskunde B

Resultatenoverzicht wiskunde B Resulttenoverzicht wiskunde B In dit document zijn door dpt Wiskunde lle resultten vn het VWO-eindexmenprogrmm beknopt smengevt m.u.v. het domein Voortgezette Meetkunde. Kijk voor meer informtie op: www.dptwiskunde.nl.

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde

Nadere informatie

Toepassingen op Integraalrekening

Toepassingen op Integraalrekening Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Formularium Wiskunde 1 ste graad

Formularium Wiskunde 1 ste graad Kls: Nm: Formulrium Wiskunde 1 ste grd Vkwerkgroep Wiskunde T. I. SINT-LAURENS MARIA MIDDELARES Ptrongestrt 51 9060 Zelzte Tel. (09)45 7 1 Fx (09)45 40 65 Internet: http://tislmm.pndor.be E-mil: so.tislmm.zelzte@frcrit.org

Nadere informatie

Primitieve en integraal

Primitieve en integraal Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

ELEKTROMAGNETISME 1-3AA30

ELEKTROMAGNETISME 1-3AA30 ELEKTROMAGNETISME - 3AA3 9 rt 8, 4. 7. uur Geef bij iedere toepssing vn een kring- of oppervlkte-integrl duidelijk n lngs welke weg of over welk oppervlk wordt geïntegreerd Het forulebld en beoordelingsforulier

Nadere informatie

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie

Nadere informatie

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is: Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b

Nadere informatie

S3 Oefeningen Krachtenleer Hoofdstuk II II-3. II-3 Grafisch: 1cm. II-3 Analytisch. Sinusregel: R F 1

S3 Oefeningen Krachtenleer Hoofdstuk II II-3. II-3 Grafisch: 1cm. II-3 Analytisch. Sinusregel: R F 1 S3 Oefeningen Krachtenleer Hoofdstuk II II-3 Bepaal grafisch en analytisch de richting en grootte van de resultante, in volgende gevallen; F 1 = 4 kn F = 7 kn : 1) α = 30 ) α = 45 F 1 3) α = 90 α 4) α

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS VWO 17.0 INTRO 1 b C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 cm is. Dus alle vier de zijden

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO Hoofdstuk 6 RECHTE LIJNEN 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,9 drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls je nr rechts zou gn, zou je omhoog

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde Hoofdstuk 1 Introductie Anlytische Meetkunde 1.1 Wr ligt de scht? Op een zolder heb je een oude krt gevonden. Op een onbewoond Crïbisch eilnd is een scht begrven. De beschrijving is heel duidelijk: Loop

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

Basiswiskunde Een Samenvatting

Basiswiskunde Een Samenvatting Bsiswiskune Een Smenvtting Verzmelingen N: ntuurlijke getllen, nl.,, 3,... Z: gehele getllen, nl....,,, 0,,,... Q: rtionle getllen,.w.z. breuken vn gehele getllen R: reële getllen, us lle getllen op e

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 42 8 5 3 53 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4 24

Nadere informatie

Getal & Ruimte. Uitwerkingen. vwo. complexe getallen. J. v.d. Meer H. v. Tilburg

Getal & Ruimte. Uitwerkingen. vwo. complexe getallen. J. v.d. Meer H. v. Tilburg J vd Meer H v lurg Getl & Rumte vwo complee getllen Utwerkngen Hoofdstuk Complee getllen Neuwe getllen ( ( ( ( c ( ( ( d ( 7 7 e f ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( c ( ( ( 9 d ( ln(,9, ( ln,77, c e d, 7 ( en, en

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

De cirkel M22. het middelpunt een koorde de straal de diameter een middelpuntshoek een middellijn. 2 cm 4 cm. Cirkel en elementen van een cirkel

De cirkel M22. het middelpunt een koorde de straal de diameter een middelpuntshoek een middellijn. 2 cm 4 cm. Cirkel en elementen van een cirkel M De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde de strl de dimeter een middelpuntshoek een middellijn O:... [XY]:... OS

Nadere informatie

Formularium goniometrie

Formularium goniometrie Jr 6 : Formulrium 6u en 7u Formulrium goniometrie sin α cos α Definities : tn α cot α secα cscα cos α sin α cos α sin α Gevolg : tn α cot α cot α tn α Hoofdformule : cos sin Gevolg : tn sec cot csc α α

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

wiskunde B havo 2015-II

wiskunde B havo 2015-II Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid

Nadere informatie

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS HAVO 17.1 INTRO 1 b c 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine

Nadere informatie

H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO

H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO H6 RECHTE LIJNEN VWO 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,0 (oude druk) km kost,0: =,9 (nieuwe druk) drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls

Nadere informatie

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules.. Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2 Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30

Nadere informatie

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders MEETKUNDE 5 Cirkels en ilinders M22 De irkel 254 M23 De ilinder 262 253 M22 De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde

Nadere informatie

3 Rekenen aan lijnen

3 Rekenen aan lijnen 3 Rekenen n lijnen Dit is een bewerking vn Meetkunde et coördinten Blok Lijnen, richtingen en wiers vn Ad Goddijn ten behoeve vn het nieuwe progr (014) wiskunde B vwo. Opgven et dit erkteken kun je zonder

Nadere informatie