3 Exponentiële functies en logaritmische functies

Transcriptie

1 Eponentiële functies en logritmische functies Bij wiskunde B heb je l eerder te mken gehd met eponentiële en logritmische functies. In dit hoofdstuk gn we er wt dieper op in en lten we een ntl toepssingen zien. Om eponentiële en logritmische functies goed te kunnen begrijpen is kennis en ervring nodig met mchten en eponenten. We geven drom eerst een korte herhling, wrin de belngrijkste definities en eigenschppen nog eens op een rijtje gezet worden.. Mchten en eponenten De begrippen mchten en eponenten zijn direct met elkr verbonden. is de derde mcht vn twee. De hierin wordt grondtl genoemd en de hierin heet eponent. Wnneer de eponent een ntuurlijk getl is (dus een positief, geheel getl), is mchtsverheffen niets nders dn herhld vermenigvuldigen ( = = 8). Anders wordt het wnneer de eponent niet meer geheel of zelfs negtief is. Soms spreekt men in zo n gevl vn een oneigenlijke mcht. Dit soort mchten komt in de toegepste wiskunde zeer vk voor. We zullen hiern mchten met verschillende soorten eponenten ndchtig bekijken... Mchten met ntuurlijke eponenten Voorbeeld. Volgens een oud verhl toonde de uitvinder vn het schkspel zijn vinding n de koning. Deze ws zo verrukt vn de schoonheid vn het spel, dt hij de mn vorstelijk wilde belonen. De uitvinder mocht zelf zijn beloning kiezen. Dit ws wt de slimmerik wenste: grnkorrel op het eerste veld; grnkorrels op het tweede veld; 4 grnkorrels op het derde veld; 8 grnkorrels op het vierde veld enzovoorts tot en met het vierenzestigste veld.. De koning ws verbsd over zoveel bescheidenheid, mr kwm dr snel vn terug. G n dt het elfde veld ongeveer 000 grnkorrels moet opleveren. b Lt zien dt bij het in vervulling lten gn vn de wens vn de uitvinder, het vierenzestigste veld ruw gescht grnkorrels moet opleveren. De mchtige vorst bleek niet bij mchte te voldoen n de wens vn de uitvinder. De overmcht vn de steeds terugkerende verdubbeling hd hij niet voorzien.

2 N bijvoorbeeld stppen is het ntl grnkorrels We noteren = De mcht is een fkorting vn. Bij is het grondtl en de eponent. Bovenstnde ketting wordt met mchten ldus: 4 0 N n stppen in de ketting krijgen we de n e mcht vn ( = ). We spreken f dt dit ook geldt voor n = en n = 0. Dus = en 0 = (n 0 stppen). Opmerking: In computertl wordt wel de nottie ^ gebruikt in plts vn. In het lgemeen kunnen we zo mchten definiëren met grondtl en eponenten 0,,,, 4 0 = = = = enzovoort. Hieruit volgen de volgende regels voor m = 0,,,, en n = 0,,,, : m n m n = + (.) m m n = (.) n m n mn n m = = (.) ( ) ( ) ( b) n = n b n (.4) b m = b m m (.5). Formuleer de bovenstnde vijf regels in je eigen woorden Hoe leg je n iemnd die regel (.) niet kent, uit dt =? En dt.5 Leg uit dt de fsprk 0 = in overeenstemming is met regel (.). ( ) 4 =?.6 Vereenvoudig met behulp vn bovenstnde regels:

3 b c d ( y ) 4 ( y ) ( ) 5 = = = 5 ( pq) pq =.7 Vereenvoudig met behulp vn regels (.) t/m (.5): 64 = 5 ( ) b c d ( y ) 4 8y = (( p ) ) 4 4 p p p = ( b ) 5 b b =.8 Schrijf ls één mcht vn ; k, m en n zijn ntuurlijke getllen. m m + m Voorbeeld: 8 = = k = n m m = = 8 k = 04 m n n k m k = 6 = 4 8 m = = ( ).9 Onderzoek welke vn de volgende beweringen wr zijn voor elk ntuurlijk getl n. n n n 9 = 7 b 9 n = n+ n c = ( ) 64 n n n d = e n + n = n+ n n n n+ f + + = Even terug nr de grnkorrels op het schkbord (zie het voorbeeld n het 6 begin vn deze prgrf). De uitkomst vn (het ntl korrels op het ltste veld) is een stronomisch getl. Voor zulke grote getllen wordt vk de wetenschppelijke nottie gebruikt. 6 Als je met de rekenmchine uitrekent, krijg je op het venster: 9.7 E 8 8 Dit betekent: 9,7 0. Voor de wetenschppelijke nottie vn een getl b kunnen we in het lgemeen schrijven: 0 wrbij een getl tussen en 0 is en b een gehele eponent vn mcht 0.

4 .0 De wetenschppelijke nottie wordt bijvoorbeeld gebruikt om fstnden in het heell n te geven. Zols je misschien weet is de snelheid vn het licht km/sec. Men zegt ook: 5 lichtseconde = 0 km ( lichtseconde is dus de fstnd die het licht in seconde flegt). 7 G n dt lichtminuut gelijk is n,8 0 km. b Hoeveel km is lichtjr? Geef je ntwoord in de wetenschppelijke nottie. 8 c De (gemiddelde) fstnd vn de rde tot de zon is, km. Hoeveel minuten heeft het licht vn de zon nodig om ons te bereiken? d De zon stt nr rdse begrippen ver vn ons weg, mr nr de mtstven vn het heell is dt nders. Vergelijk mr eens met de fstnd tot de ndere sterren. De dichtstbijzijnde ster (Proim Centuri) is 4, lichtjr vn ons verwijderd. Hoeveel km is dt?. Het totle ntl, door de uitvinder vn het schkspel gevrgde korrels op het schkbord is: Als je hier grnkorrel n toevoegt, wordt het totl korrels. b Toon dit n met behulp vn de bewering in vrg.8e. 000 grnkorrels wegen ongeveer 0 grm. De huidige wereldproductie grn is ruim, miljrd ton per jr. Onderzoek of de vrg vn de uitvinder vn het schkspel de wereldproductie vn nu overtreft (reken ton = 000 kg)... Mchten met gebroken eponenten Tot nu toe hebben we ons lleen met mchten beziggehouden met gehele, positieve (dus ntuurlijke) eponenten. We zullen hiern ook te mken krijgen met (oneigenlijke) mchten met gebroken eponenten. Een mooi voorbeeld is een formule uit de sterrenkunde, fkomstig vn de stronoom Kepler. Er bestt in ons zonnestelsel een verbnd tussen de omlooptijd vn een plneet en hr fstnd tot de zon. Dt verbnd luidt: T = 0, R (R is de fstnd tot de zon in miljoenen km, T is de omlooptijd in dgen).. Rdpleeg opgve.9c en g n dt voor de rde geldt: R = 49,5 De rest vn deze opgve doe je met je (grfische) rekenmchine, dus vervngen we de decimle komm door een punt. Toets in op je rekenmchine 49.5 ^.5 ENTER en vermenigvuldig de uitkomst met 0.. Is de formule voor de rde redelijk kloppend? b Sturnus ligt veel verder vn de zon dn de rde, bijn 0 keer zover, nmelijk 9, 47 0 km. Hoeveel dgen is de omlooptijd vn de plneet Sturnus volgens de formule? Hoeveel jr is dt ongeveer? 4

5 . Bereken met je rekenmchine: tot de mcht verheffen? 00 ; 64 ; 5 ;Wt is volgens jou de betekenis vn.4 Bereken met je rekenmchine: tot de mcht verheffen? 00 ; 64 ; 5 ;Wt is volgens jou de betekenis vn Uitgngspunt voor het mken vn fsprken over de betekenis vn mchten met een gebroken eponent is dt de regels (.) t/m (.5) geldig blijven: Letten we op regel (.) dn komt er voor m = en n = : = = = Het moet dus zo zijn dt tot de mcht levert. Evenzo bijvoorbeeld: 5 tot de mcht 5 levert..5 Bereken zonder (grfische) rekenmchine: 44 ; 5 ; ; 64 Er moeten ook fsprken gemkt worden voor mchten met eponenten ls ; 5 ;,4; enzovoort. Met ls uitgngspunt regel (.) spreken we f 4 (voor 0 ): n tot de n-de mcht levert ofwel n tot de n-de mcht levert ofwel n ( ) n n ( ) n = = n tot de n-de mcht levert ofwel enzovoort n ( ) n =.6 Bereken zonder rekenmchine: b Onderzoek nu of geldt: 64 ; ; 64 ; 64 ;

6 () () = 64 + () 64 = 64 (4) = 64 (64 000) = Er kn bewezen worden dt de regels (.) t/m (.5) geldig blijven bij bovengenoemde fsprken vn mchten met gebroken eponenten. Die regels kunnen hndig worden gebruikt bij het berekenen vn mchten. Voorbeeld: 5 = (5 ) = 5 = 5 = 5.7 Bereken zonder rekenmchine: 4 7 ; 0000 ; 4 65 ; 0,6 7 ; 8.8 Vereenvoudig tot één mcht: ( ) ; b b b 6 ; ( ) c 6 c c c ; d d In het voorgnde heb je ontdekt dt In woorden: hetzelfde is ls is de (tweede-mchts)wortel uit. (wnt ( ) Evenzo wordt de derde-mchtswortel uit genoemd. Nottie: In het lgemeen geldt voor 0 : =. = ). n is de n-de mchtswortel uit ; n = n N.B. In het gevl dt n = schrijft men meestl (dus niet ).9 Wortels kun je dus schrijven ls mchten met breuk-eponenten. Voorbeelden: 4 4 = ( ) = en ( ) 4 y = y = y Schrijf ls mcht met breuk-eponent: ; b ; 4 5 c ; d 6

7 .0 Bereken zonder rekenmchine en gebruik de wetenschppelijke nottie voor je ntwoord: 6,44 0 ; ; ( ) ; 4 ( 65 0 ). Een regel ls b = b is een bijzonder gevl vn regel (.) voor het rekenen met mchten. Immers: ( b) = b. Verklr de volgende regels voor het rekenen met wortels uit de regels (.) t/m (.5): c y = y b 4 p = p b = b d c = c c Verklr dt voor elke 0 geldt: =. b Teken op het intervl [0,4] in één figuur de grfieken vn y =, y =.. Schrijf ls mcht vn met een breuk-eponent: ;.4. Teken de grfiek vn b c ; = op het intervl [0,]. Wt is je conclu- Vergelijk de grfiek met die vn y sie? Los op uit >. 9 ; y = op het intervl [0,9]. y = en Een voorbeeld vn een vergelijking wrin mchten met gebroken eponenten stn: = Oplossing: Breng zowel linker- ls rechterlid tot de mcht 6 om de breukeponenten weg te werken: 6 6 = = = 0 ( 64) = 0 = 0 = 64.5 Los de volgende vergelijkingen op voor 0 : = 4 e = 8 7

8 b c d = 4 f = g = = = 4 h =.6 Vn een kubus is de ribbe r, de totle oppervlkte O en de inhoud V. Druk O en V uit in r. b c Bewijs: O= 6 V Vn een kubus is de oppervlkte 4 cm. Bereken het volume (in één deciml nuwkeurig)..7 Het wrmteverlies vn een dier is fhnkelijk vn de huidoppervlkte. Biologen zijn drom geïnteresseerd in het verbnd tussen de huidoppervlkte H (in m ) en het lichmsgewicht G (in kg) voor de verschillende diersoorten. Dt verbnd wordt gegeven door de formule H = c G. De constnte c is per diersoort verschillend en fhnkelijk vn de vorm vn het dier. Een pr voorbeelden: koe: c = 0,09 egel: c = 0,075 p: c = 0, muis: c = 0,09 Voor de koe en de muis geldt dus bij bendering dezelfde formule: Een koe weegt gemiddeld 500 kg en een muis 0,05 kg. H = 0.09 G. b c Bereken de gemiddelde huidoppervlkte vn de koe en de muis. Hoe verhouden zich de lichmsgewichten vn koe en muis? En hoe hun huidoppervlkten? Grote dieren kunnen gemkkelijker etreme kou verdrgen dn kleine dieren. Hoe verklr je deze bewering?.8 Voor de mens heeft een zekere Dubois een formule opgesteld die het verbnd ngeeft tussen huidoppervlkte, lichmsgewicht en lichmslengte. 0,45 0,75 Die formule luidt: H = 0,007 G L. Hierbij geldt: H = huidoppervlkte in m G = gewicht in kg. L = lengte in m Bereken volgens deze formule je eigen huidoppervlkte. b Iemnd heeft een huidoppervlkte vn m en is 80 kg zwr. Hoe lng is die persoon? c Een mnier om de eponenten 0,45 en 0,75 in de formule te controleren is de volgende: Het is nnemelijk dt H evenredig is met L en dt G evenredig is met L (dus H = c L en G = d L ). Vul deze uitdrukkingen in de formule in en controleer of de eponenten vn de mchten vn L in linker- en rechterlid hetzelfde zijn. 8

9 .. Mchten met negtieve eponenten We hebben hiervoor kunnen zien hoe er betekenis kn worden gegeven n mchten met een gebroken eponent. Eponenten kunnen ook negtief zijn. Uitgngspunt is drbij dt de regels (.) t/m (.5) (zie de tweede bldzijde vn dit hoofdstuk) geldig blijven..9 Kijk eerst wt je (grfische) rekenmchine ervn zegt: Bereken met behulp vn de ^-knop: 0 ; 5 ; 4 ; b Wt, denk je, is de betekenis vn? c Bereken ook: 0 ; 5 ; 4 ; 0,5. d Wt zl de betekenis vn zijn? 0,5..0 Wt je in opgve.8 ontdekt hebt, is in overeenstemming met regel (.). Volgens die eigenschp zou moeten gelden: + = + = + = enzovoort. Hoe kun je hieruit de betekenis vn,,, enzovoort fleiden? b Wrom moet voldoen n de beperking 0? m m n. Bekijk regel (.): =. Kies m = 5 en n = 8. n Welke conclusie kun je trekken? Is dt in overeenstemming met wt je in de vorige opgve hebt ontdekt? m. Bekijk regel (.): ( ) n mn =. Kies m = en n =. Lt zien dt het resultt klopt met wt in opgve.9 over de betekenis vn tot de mcht - en tot de mcht - hebt ontdekt. We mken nu de volgende fsprk: Voor 0 geldt: is het omgekeerde vn, ofwel is het omgekeerde vn, ofwel is het omgekeerde vn, ofwel enzovoort. = = = Door deze fsprk blijven de regels (.) t/m (.5) geldig. 9

10 . Bekijk onderstnde ketting: Vul de pssende breuken in: = ; = ; = ; 4 = ;.4. Bereken eerst zonder rekenmchine en controleer drn je ntwoord: 5 0 ;. b Vul in: 64 = ; 5 65 = ; = ;, 5 = c Vul in: 0,000 = 0 ; 0,5 = ; 0,04 = 5 ; 0,008 = 5 5 = ; 5 ; 0 ;.5 Vereenvoudig: b b ; ( y) ( y ) ;.6 Hieronder zie je de grfiek vn ( c d) cd ; 4 y = voor > 0 (( p ) ) p p p Voor welke 0 geldt: b Voor welke 0 geldt: > 00? 0 < < 0, 000? 0

11 De -s en de y-s zijn de zogenmde symptoten vn de grfiek vn y =. De grfiek ndert tot de -s (horizontle symptoot) ls heel groot wordt en ndert tot de y-s (vertikle symptoot) ls heel dicht bij 0 komt..7 Teken de grfiek vn y = voor > 0. Welke symptoten heeft de grfiek? 5 Als je uitrekent op je rekenmchine komt er.8059 E -. Dit is weer een voorbeeld vn de wetenschppelijke nottie en betekent:, Het eerste deel is een getl tussen en, het tweede deel een mcht vn 0. Deze nottie kn op deze wijze worden gebruikt om getllen, die dicht bij 0 liggen overzichtelijk te noteren. Nog een voorbeeld: 0, =, De mss vn één elektron is 9, 0 8 grm. Een wterstoftoom heeft een mss die ongeveer 00 keer zo groot is ls de mss vn een elektron. Bereken de mss vn een wterstoftoom en geef je uitkomst in de wetenschppelijke nottie. Tot nu toe zijn de negtieve eponenten geheel geweest. Uit regel (.) volgt onmiddellijk hoe je ook mchten met negtief-gebroken eponent zinvol kunt definiëren. 0 Bijvoorbeeld: = =, dus = =. Evenzo: = = Om problemen met wortels te voorkomen, stellen we voor het grondtl de beperkende voorwrde: > 0. Toelichting: Rekenen met mchten wrbij het grondtl negtief is, kn tot een tegensprk leiden: ( 4) = 4bestt niet, mr ( 4) = ( 4) = ( 4) = 6 =. Vndr dt negtieve grondtllen niet zijn toegestn. Als we met gehele mchten rekenen, mg het grondtl uiterrd wel negtief zijn, zo is: ( 4) = ( 4) ( 4) ( 4) = 64. Voor de gedefinieerde mchten gelden weer de regels (.) t/m (.5).

12 .9 Vereenvoudig: ; ( ) y ; p q q p ; u 5 5 v 4 5 ( uv).40 Een vorm ls kn worden geschreven ls één mcht met ls grondtl. Dt gt zo: = = Herleid elk vn de volgende vormen tot één mcht met ls grondtl: ; 5 ; ; ; 4 ;..4 Smenvtting.4 De (normle) hrtslg S vn een rustend zoogdier is fhnkelijk vn het lichmsgewicht G vn het dier. Die fhnkelijkheid wordt uitgedrukt door een formule met de gednte: S k G 4 =. Hierin is S het ntl slgen per minuut, G het gewicht in kg. De bioloog Sthl vond voor de constnte k de wrde 4. Het gewicht vn een volwssen olifnt is 4000 kg. Hoeveel slgen per minuut mkt het hrt vn een slpende volwssen olifnt? b Hoeveel weegt een zoogdier dt in rustende toestnd een keer zo snelle hrtslg heeft ls de in. bedoelde olifnt? p (p geheel of gebroken, positief of ne- In deze prgrf is de betekenis vn gtief) uit de doeken gedn. Voorbeelden vn mchten vn : = ; = ; = ; 4 4 = = = De belngrijkste eigenschppen voor het rekenen met mchten zijn: ) p q p q = + ) p q = p q p ) ( ) q pq q = = ( ) p

13 4) ( y) p = p y p p p 5) = p y y Deze eigenschppen zijn in elk gevl geldig voor positieve grondtllen en y. Als de eponenten p en q geheel zijn mogen en y ook negtief zijn..4 Schrijf ls mcht met ls grondtl: ; 64 ; ;.4 Los op uit: = ; = 000 ; = 0, ; 8 ; 8 ; = 0, ; = (0, ).44 Op verschillende hoogten op een seintoren is de windsnelheid gemeten. Het verbnd tussen de windsnelheid W (in m/sec) en de hoogte h (in m) wordt voor 0, h 50 gegeven door de formule: W =,9 h. Bereken de windsnelheid op een hoogte vn meter. b Op welke hoogte is de windsnelheid het dubbele vn de windsnelheid op het lgste meetpunt ( meter)?

14 . Eponentiële functies.45 In een grote vijver groeit een kwdrdig soort wterlelie. De lelie breidt zich zo snel uit, dt elke dg de oppervlkte vn het door de wterlelie overdekte deel vn de vijver wordt verdubbeld. Als de lelie ongestoord kn groeien, bedekt zij in 0 dgen de gehele vijver. Drbij zullen dn lle ndere levensvormen in de vijver verstikken. Kortom een ctstrofe dreigt. Geruime tijd ziet de toestnd in de vijver er echter lng niet verontrustend uit en mkt de tuinmn geen nstlten om in te grijpen. Ps ls de helft vn de vijver is bedekt, komt hij in ctie.. Hoeveel dgen heeft die tuinmn dàn nog de tijd om te voorkomen dt de vijver geheel overwoekerd rkt? b. En hoeveel dgen heeft hij werkeloos toegezien? Het verhl over de grnkorrels op het schkbord (prgrf..) en de vijver met het zich verdubbelende kroos (bovenstnde opgve) zijn klssieke voorbeelden vn wt men eponentiële groei noemt. In de jren 70 verscheen er een rpport vn een groep verontruste wetenschppers uit lle delen vn de wereld (de Club vn Rome ) getiteld: grenzen n de groei. In dt rpport werden problemen ngesneden die nog niets n ctuliteit hebben ingeboet, integendeel. Om er een pr te noemen: - de eplosief toenemende vervuiling vn het milieu - de groei vn de wereldbevolking; - de sterk stijgende behoefte n lndbouwgrond; - het sterk toenemende verbruik vn energie. Bij de gesignleerde problemen is er sprke vn een groei zols die bij het wterlelieprobleem of in het verhl vn de grnkorrels op het schkbord. Het lijkt een poos mee te vllen, mr ineens rijst het de pn uit... De groei vn de wterlelie in de vijver wordt beschreven door de functie ; dit is een zogenmde eponentiële functie. Een kenmerk vn zo n eponentiële functie is dt de toenme bij elke stp sterk wordt beïnvloed door de hoeveelheid die er l is. Er zijn ook ndere groeiprocessen wrbij de toenme sterker wordt, nrmte het bereikte niveu hoger is. Denk bijvoorbeeld n groei volgens mchtsfuncties zols:, enzovoort. 4

15 Grfiek stijgt sneller, nrmte y en ook groter wordt Toch is er een wezenlijk verschil tussen een mchtsfunctie ls en een eponentiële functie zols. Merk eerst op dt bij het grondtl vrieert en de eponent vst is; bij een eponentiële functie is het ndersom, grondtl is constnt, eponent vrieert. We vergelijken nu de twee functies voor 0. y Tbel bij y = y Tbel bij y =.46 Controleer beide tbellen. b Teken voor 0 7 in één figuur de grfieken vn ls eenheid op de -s cm en op de y-s mm. y = en y =. Neem 5

16 c Voor welke tussen 0 en 4 geldt: <? Lees je ntwoord uit de figuur en controleer de ongelijkheid voor een drietl wrden vn..47 In de tbel en in de grfiek zie je dt, het begin niet meegerekend, sneller groeit dn. Zo groeit op het intervl [0, ] met %, terwijl op dtzelfde intervl met 00% toeneemt. Hoe groot zijn de groeipercentges vn en op het intervl [00,0]? Er zijn verschillende mnieren om de groei vn twee functies te vergelijken. In opgve heb je dt gedn door het groeipercentge te nemen. Een nder instrument is de groeifctor. Op het intervl [, ] groeit vn nr 4, dt is met een groeifctor 4; op [, ] is de groeifctor vn op [, 4] is de groeifctor vn gelijk n 9 =, = 4 gelijk n 4, enzovoort..48 Hoe groot is de groeifctor vn op het intervl [0, ]? En op het intervl [00, 0]? b Op welk intervl [00, p] is de groeifctor vn gelijk n die op het intervl [0, ]? c Toon n dt de groeifctor vn op het intervl [, + ] gelijk is n + + d Wt gebeurt er met de groeifctor vn op [, + ] ls heel groot wordt? e Wt is de groeifctor vn e Wt weet je vn de groeifctor vn op de intervllen [,], [,], [,4]; enzovoort.? f Wt is de groeifctor vn f Wt gebeurt er met de groeifctor vn op [, + ] ls heel groot wordt? 0.49 Vergelijk de functies f ( ) = en g( ) = 0. Bereken de groeifctoren vn f op [,], [,], [,4], [4,5] en [5,6]. b Dezelfde opdrcht voor g. 0 Als je bij een mchtsfunctie (zols of ) de groeifctor meet over een ntl gelijke intervllen, dn zie je dt die groeifctor fneemt bij toenemende. Kenmerkend voor een eponentiële functie (zols groeifctor over gelijke intervllen constnt is. of 0 ) is dt de y = (opgve.45) kun je voortzetten nr links (dus voor negtie-.50 De grfiek vn ve ). 6

17 Teken de grfiek voor (neem op de -s en y-s nu dezelfde eenheid). b Hoeveel eenheden moet je vnuit 0 op de -s nr links gn om een y-wrde kleiner dn 0,00 te vinden? c Welke symptoot heeft de grfiek vn y = (ls niet n grenzen gebonden is)?.5 In opgve.45 heb je gezien dt de grfieken vn y = en y = rechts vn de y-s elkr in twee mooie punten snijden: (,4) en (4,6). Links vn de y-s bevindt zich nog een derde snijpunt. Bepl met behulp vn je rekenmchine de -coördint vn dt snijpunt in decimlen nuwkeurig. Opmerking: Dt snijpunt is niet ect met lgebr te beplen..5 Teken met je GR in één figuur de grfieken vn y = en y =. b Welk snijpunt hebben die grfieken? c Lees de oplossingen vn de volgende ongelijkheden rechtstreeks f uit het pltje: < < ; < < ; < ; ( ) ( ) f = voor Neem onderstnde tbel over en vul in: y b Wt is de groeifctor vn f over de intervllen [-,-], [-,-],., [,] c Teken de grfiek vn f. 7

18 .54 Teken in één figuur de grfieken vn f ( ) = en g( ) = (Neem op de -s de schl keer zo groot ls op de y-s). b Wt is de groeifctor vn f op een intervl met lengte? c Voor welke f geldt: f ( ) < g( )?.55 Teken in één figuur de grfieken vn = en ( ) y y =. b Die grfieken zijn elkrs spiegelbeeld. Welke lijn is de spiegels? c Voor welke geldt:? En voor welke geldt:( )?.56 f ( ) = + en g ( ) =. Teken in één figuur de grfieken vn f en g. b Welke symptoten hebben die grfieken? 8

19 . Groei en vervl Eponentiële functies spelen een belngrijke rol bij het onderzoek nr groei of vervl. Dr gt deze prgrf over. We beginnen met een opgve:.57 Onder gunstige omstndigheden deelt een bcterie vn een zeker type zich ieder etml in tweeën: (4u) (4u) 4 (4u) 8 enzovoort. Hoeveel bcteriën brengt een bcterie voort in één week? b En hoeveel in t etmlen (t geheel)? Bij de bcteriën uit opgve.56 vindt er ieder etml plotseling verdubbeling vn het ntl plts. De grfiek vn deze sprongsgewijze groei zie je hieronder. In dezelfde grfiek zie je de toenme vn het ntl bcteriën wnneer de groei continu zou verlopen. De groei nr ntl verloopt sprongsgewijs, mr de groei nr volume of gewicht gt niet sprongsgewijs mr geleidelijk. Continue versus sprongsgewijze groei.58 Blsontsteking bij mensen wordt veroorzkt door coli-bcteriën (Eschirichi Coli). Een kolonie vn zulke bcteriën groeit snel: in een tijd vn 0 minuten is hun ntl verdubbeld. Stel bij een zeker persoon bevonden zich op het tijdstip t = 0 zo n 000 coli-bcteriën in de urinewegen. Het ntl bcteriën dt hij n t uur bij zich drgt noemen we N(t). t Verklr: N( t) = b De infectie wordt ps door de drger opgemerkt ls hij zo n 0 bcteriën bij zich heeft. G n dt dit ruim 5 uur n t = 0 het gevl is. 8 c Bij het legen vn een volle bls wordt 90% vn de 0 bcteriën uitgestoten. 8 Hoeveel tijd heeft de bcteriekolonie hiern nodig om weer op het peil vn 0 te komen? Omdt het moeilijk is om lleen door middel vn veel drinken vn een blsontsteking f te komen, wordt meestl een medicijn gebruikt. Stel dt door het gebruik vn 9

20 het medicijn de omvng vn een bcteriekolonie elk uur met 65% fneemt. M (t) is het ntl bcteriën, t uur n het eerste gebruik vn het medicijn en uitgnde vn 8 0 bcteriën op t = 0. 8 d Verklr de formule: Mt ( ) = 0 0,5 t e N hoeveel uur is de bcterie uitgeroeid? (bepl met je rekenmchine wnneer voor het eerst geldt dt M ( t) < ). In opgve.57 is er zowel sprke vn eponentiële groei (N ls functie vn t) ls vn eponentieel vervl (M ls functie vn t). In het eerste gevl is er sprke vn een groeifctor 8 per uur, in het tweede gevl is de groeifctor 0,5 per uur. Men spreekt in het ltste gevl ook vn negtieve groei..59 Een bekend voorbeeld vn negtief-eponentiële groei is de fnme vn de strlingsintensiteit vn een rdioctieve stof. Bij de kernrmp vn Tsjernobyl (986) kwmen voorl de rdioctieve elementen jodium (), cesium (7) en strontium (9) vrij. Jodium () heeft de eigenschp dt de strling snel fneemt, nmelijk met 8,% per 4 uur. Toon n dt de strling n 8 dgen gehlveerd is. Men zegt: de hlveringstijd (of hlfwrdetijd) vn jodium () is 8 dgen. b Vn cesium en strontium is bekend dt het schdelijke effect veel lnger in stnd blijft: de hlveringstijd is zo n 0 jr! De strling vn beide stoffen gedrgt zich volgens de formule: S( t) = S(0) r (t is de tijd in jren). Bepl r. t c Met hoeveel % per jr neemt de strling vn die stoffen f? Als n elke dg de hoeveelheid bcteriën in een kweekje keer zo groot t wordt, geldt Bt () B0 ( ) =, wrbij B 0 het ntl bcteriën is op tijdstip t = 0 en t in dgen is uitgedrukt (groeifctor ). Drukken we t in uren uit, dn is t ( ) ( ) 4 4 B( t) = B0 = B0 = B 0(,07079) De groeifctor is nu, t.60 In 960 telde de wereldbevolking circ miljrd mensen. In 970 ws dt ntl gegroeid tot,6 miljrd. Veronderstel dt de wereldbevolking groeit volgens een eponentiële functie. Hoe groot is de groeifctor per 0 jr? b Komt een groei vn 0% per 0 jr op hetzelfde neer ls een groei vn % per c jr? Verklr je ntwoord. Lt het ntl mensen op rde (in miljrden) op tijdstip t gelijk zijn n N(t). (t is de tijd in decenni (perioden vn 0 jr), t = 0 komt overeen met jnuri 960). Druk N(t) uit in t. d Bekijk vi zoekfuncties op het internet of de wereldbevolking in de jren 980, 990 en 000 inderdd overeenkomstig de formule voor N(t) is toegenomen. Indien je een fwijking constteert, ps dn de groeifctor n en reken drmee verder. t 0

21 .. Smenvtting Functies vn het type y = c p (c, p constnt, p > 0 en p ) worden eponentiële functies genoemd. We onderscheiden twee gevllen (we nemen voor c even ): p > 0 < p < p p Het grondtl p is de groeifctor over een intervl met lengte. De constnte c in de formule y = c p is de functiewrde bij = 0 (soms beginwrde genoemd). De grfiek vn y = c p heeft een horizontle symptoot. Dt betekent: De grfiek bendert de -s willekeurig dicht bij fnemende (in het gevl p > ) of bij toenemende (in het gevl 0 < p < )..6 Teken de grfiek vn f voor (Neem ls eenheid op de -s cm en op de y-s mm). b Als je de grfiek vn f spiegelt t.o.v. de y-s, krijg je de grfiek vn een functie g( ) = b. Bepl en b. c Voor welke geldt: f ( ) 50? En voor welke geldt: g ( ) 50? d De functie f beschrijft een eponentieel groeiproces. Controleer dt in een tijdsintervl met lengte 0,4 de groeifctor ongeveer is (Men zegt: de verdubbelingstijd is 0,4). e Hoe lng is de hlveringstijd vn de functie g?

22 .4 Eponentiële grfieken en vergelijkingen Bij het tekenen vn grfieken en oplossen vn vergelijkingen wrbij eponentiële functies optreden, kn vk gebruik worden gemkt vn de eponentiële eigenschppen: t + t ) p p = p p t = p t ) p ( ) t t ) p = p 4) ( pq) = p q A B Voorbeeld Uit de grfiek vn y = (A) kn de grfiek vn y = (B) worden verkre- gen door de punten vn A in verticle richting met te vermenigvuldigen. Uit de grfiek vn y = (A) kn de grfiek vn y = (C) worden verkregen door de punten vn A in horizontle richting nr rechts te verschuiven. Het lijkt erop in de pltjes dt B en C dezelfde grfieken zijn.

23 A C Dt is ook zo. Kijk mr: = = = f ( ) = en g= ( ) 8 Teken in één figuur de grfieken vn f en g. b De grfiek vn g is op te vtten ls het resultt vn een horizontle verschuiving, toegepst op de grfiek vn f. Toon dit n. c Teken in dezelfde figuur ook de grfiek vn h ( ) = +. d De grfiek vn h kn worden gevonden door de grfiek vn f in verticle richting te vermenigvuldigen. Toon dit n. = f ( ) = en g( ) Teken in één figuur de grfieken vn f en g. b Bereken de coördinten vn het snijpunt vn beide grfieken. f ( ) = 4 en g ( ) = + Teken in één figuur de grfieken vn f en g.

24 b Het snijpunt vn beide grfieken heeft de -coördint door substitutie. =. Controleer dit Het opsporen vn het snijpunt vn de grfieken vn f en g uit opgve.6 leidt + tot de eponentiële vergelijking 4 =. Bij het oplossen vn een dergelijke vergelijking is het zk om linker- of rechterlid zo te herleiden dt de grondtl- len gelijk worden. Hier komt er dn: ( ) + + = =. Nu de grondtllen gelijk zijn moeten ook de eponenten gelijkgemkt worden, dus = + = =.65 Werk in elk vn de volgende vergelijkingen er nrtoe dt in linker- en rechterlid mchten vn hetzelfde grondtl komen. Los vervolgens de vergelijking op door de eponenten n elkr gelijk te stellen. 6 = e 0 = 00 5 b 6 = f 00 = 000 c 4 = 8 g 5 = 5 + d 4 = 8 h 0, = Teken in één figuur de grfieken vn f( ) + = en g= ( ) 0,5. b De grfieken vn f en g snijden de lijn y = 8 respectievelijk in A en B. c Bereken de lengte vn AB. d Voor welke geldt f ( ) < g( )?.67 Hieronder zie je de grfiek vn f( ) = 5 voor > 0. De grfiek heeft twee symptoten: De y-s en de horizontle lijn door (0,). 4

25 Hoe kun je dit verklren? b Los op uit f( ) = 5. c Verklr: Als de negtieve getllen doorloopt, dn bereikt f ( ) lle wrden tussen 0 en. d Teken de grfiek vn f voor < 0 sin.68 Teken de grfiek vn f( ) = voor 0 4π op je grfische rekenmchine. Welk intervl is het bereik vn f? b Voor welke tussen 0 en 4π geldt: f( ) =? c cos Teken de grfiek vn g= ( ) voor π π. d Voor welke tussen π en π geldt: g= ( )?.4. Smenvtting De eigenschppen die gebruikt worden bij de lgebr vn eponentiële functies zijn: t + t ) p p = p p t ) = p t p t t ) ( p ) = p 4) ( pq) = p q Bij eponentiële vergelijkingen is het streven gericht op het gelijkmken vn de grondtllen. Drn worden de eponenten n elkr gelijk gesteld. Opmerking: We kunnen eponentiële vergelijkingen vk ook oplossen met behulp vn logritmen. Zie hiervoor de volgende prgrfen..69 f( ) + = en g= ( ) Teken in één figuur de grfieken vn f en g. b Teken in dezelfde figuur ook de grfieken vn de verschilfunctie v ( ) = f( ) g ( ). c De functie v is ook een eponentiële functie met grondtl : v ( ) = c. Hoe groot is c? d Los op uit: = Los elk vn de volgende vergelijkingen op: 6 ( ) b 6 + = c 5 = 5 6 = 6 6 d + 5 = 5 5

26 .5 Logritmen Hiernst zie je de grfiek vn een eponentieel groeiende wterplnt in een vijver, uitgnde vn m wterplnt. Het oppervlk (in m ) dt de wterplnt inneemt wordt voorgesteld door y; de tijd (in weken) door. Zols je in de grfiek kunt zien is de verdubbelingstijd vn de wterplnt week. Uit de grfiek kun je schtten dt n 4, weken de hoeveelheid wterplnten 0 m is. Controleer dit. b N hoeveel weken ligt er dus 40 m wterplnt in de vijver? En n hoeveel weken 80 m? c Het verbnd tussen oppervlkte en tijd (in weken) kun je vstleggen in een tbel: Oppervlkte (y) Tijd in weken () 4, d Wt is er opmerkelijk in de tbel? e Controleer met je rekenmchine dt n 5,6 weken ( = 5,6 ) de hoeveelheid plnten, nr beneden fgerond, 48 m is. f Neem onderstnde tbel over en vul in: Oppervlkte (y) Tijd in weken () 5,6 De functie die bij een gegeven tijdstip de oppervlkte vn de nwezige hoeveelheid wterplnten (in m ) geeft, is een eponentiële functie en wel de functie. De functie die bij een gegeven oppervlkte n wterplnten het bijbehorende tijdstip geeft, is een zogenmde logritmische functie. Voor een logritmische functie gebruikt men de fkorting log. 6

27 Om n te geven dt het hier om groeifctor gt, noteren we log. Dus: Voorbeeld (zie opgve 70): ofwel log 48 = 5,6 ; spreek uit: de -logritme vn 48 is 5,6..7 Het tijdstip wrop de oppervlkte vn de wterplnt 64 m bedrgt, is 6. Anders gezegd:de -logritme vn 64 is 6. Kortweg: log 64 = 6. Vul nu in: log8 = log 4 = log = log8 = log = log6 = log = log =.7 De logritmen in opgve.7 komen lleml mooi uit. Meestl is dt niet zo. Bijvoorbeeld: log 7 =,807.,807 Controleer dt ongeveer gelijk is n 7. b Lt zien dt hieruit volgt: log4,807 c Bereken ook: log 8 ; log 56 ; log,5 Uit het voorgnde volgt: Als t log 5 = t, dn = 5 Anders gezegd: t log5 is de oplossing vn de vergelijking = 5 Het getl wordt ook het grondtl vn de logritme genoemd. Een regel ls hierboven kn ook voor ndere grondtllen worden opgeschreven. Zo geldt: 5 t log5 = t 5 = 5. Hieruit volgt onmiddellijk: 5 log5 =..7 Geef bij elk vn de volgende logritmen een pssende vergelijking en vervolgens een uitkomst: logritme vergelijking uitkomst 5 log 5 t 5 = 5 log8 0 log000 4 log 64 6 log 0 log 0, log 0, 5 5 log 0,04 7

28 .74 Geef de uitkomsten vn de volgende logritmen: 7 log 49 ; 6 log ; log6 ; log ; 5 log5 ; 0, log5.75 Gegeven: is een ntuurlijk getl, groter dn. Bereken: log ; log ; log ; log ; log Terug nr de wterplnten n het begin vn deze prgrf. De functies tijd oppervlkte en oppervlkte tijd werken precies omgekeerd. We zeggen: die functies zijn elkrs inverse. Als je die functies direct n elkr toepst op t, is de invoer gelijk n de uitvoer. Ofwel: logt = t log ( t ) = t en. De -logritme neutrliseert de -mcht. Hieronder zie je nst elkr de grfieken vn beide functies (we hebben voor de vribele tijd tijdelijk negtieve wrden toegestn). De linkergrfiek is die vn opp = tijd en de grfiek hieronder is die vn tijd = log( opp)..76 Teken in één figuur de grfieken vn y = en y = log. b De grfieken zijn elkrs spiegelbeeld. Ten opzichte vn welke s? c Voor welke geldt log = 0? En voor welke geldt log = 0? d Welke symptoot heeft de grfiek vn y = log? log? En vn log? e Wt is de uitkomst vn ( ) 8

29 Teken in één figuur de grfieken vn y = en log = ; b Vul in: ( ) c log = y = log. De lijn y = snijdt de grfiek vn y = in A en die vn Bereken de lengte vn lijnstuk AB. y = log in B..77 Teken in één figuur de grfieken vn y = 0,5 en y = 0,5 log. b Voor welke geldt: 0,5 log = 5? En voor welke geldt: 0,5 log = 6? c Teken de grfiek vn. Verklr wrom het niet zinvol is te spreken vn een logritme met grondtl. An de grfieken vn de opgven.76 t/m.78 zie je dt het domein vn de functies uitsluitend positieve getllen bevt. We zeggen ook: log, 0,5 log, log, enzovoorts, zijn lleen gedefinieerd voor > 0. Bovendien moet het grondtl positief zijn en. Kortom: log is lleen gedefinieerd voor > 0, en > 0 0,5 log.78 Bekijk de functie log( ). Bereken de uitkomst bij de invoerwrde respectievelijk:, 5, 4, b Voor welke -wrden is log( ) gedefinieerd? c Teken de grfiek vn y = log( ) d Welke lijn is de symptoot vn die grfiek? e Voor welke geldt: log( ) = 4?, Een voorbeeld vn een logritmische functie in de prktijk is de stndrdbrndkromme. Bij voorzieningen voor de brndveiligheid vn een gebouw is het vn belng te weten hoe de hitte bij een stndrdbrnd zich ontwikkelt. Op de vertikle s is fgezet de tempertuurstijging T T0 in grden Celsius, wrbij T 0 de tempertuur is op het moment dt de brnd ontstt, en T de tempertuur zelf. Op de horizontle s is fgezet de tijd t in minuten. Bekijk de formule bij de grfiek. Controleer dt T = T0 op tijdstip t = 0. b In de grfiek zie je dt in het vierde hlve uur n het ontstn vn de brnd de tempertuur met 000 C is opgelopen. Bereken met de formule n hoeveel minuten dt is. 9

30 T T = t log(8 ).5. Smenvtting De -logritme vn b wordt genoteerd ls log b. Als logb = t, dn t = b Ofwel log b is de oplossing vn de vergelijking t = b log b is lleen gedefinieerd ls en b beide positief zijn en ls bovendien. De functies en log zijn elkrs inverse. De grfieken vn y = en y = log zijn elkrs spiegelbeeld ten opzichte vn de lijn y =. 0

31 De grfiek vn y = log heeft een vertikle symptoot, nmelijk de y-s..80 Bereken: log; 4 log ; 8 log 4 ; 6 log8. b Bereken: log( 0 ) ; log(9 0 ) ; 9 log( 0 ) ; 9 log(9 0 ) c d In welk punt snijdt de grfiek vn y = log( + 4) de -s? Teken de grfiek vn y = log( + 4) en los op: log( + 4) < 4 (denk n de beperkende voorwrde voor!).

32 .6 Logritmen met grondtl 0 De functies en log (grondtl > 0, ) behoren tot de groep stndrdfuncties. Welke toetsen op de rekenmchine pssen bij deze functies? Voor de eponentiële functies kun je drie knoppen vinden: Te gebruiken voor lle eponentiële functies, met welk grondtl dn ook. Bijvoorbeeld ^0.5 (levert.4456) Te gebruiken voor eponentiële functies met grondtl 0. Te gebruiken voor eponentiële functies met grondtl,788.. (= e). We zullen zien dt grondtl e heel bijzondere eigenschppen en toepssingmogelijkheden kent (zie prgrf.9.). Voor de logritmische functies hebben we op de rekenmchine twee toetsen: Te gebruiken voor de logritmische functies met grondtl 0. Te gebruiken voor de logritmische functies met grondtl e. We noemen deze logritme ook wel de ntuurlijke logritme (zie prgrf.9.) We zullen in dit hoofdstuk vrijwel uitsluitend de toets voor de 0-logritme gebruiken. We gebruiken ook de kortere nottie log in plts vn 0 log. Met behulp vn de 0-logritme kun je ook logritmen met een nder grondtl berekenen, zols je in deze prgrf zult leren..8 Bereken met je rekenmchine het rijtje: log, log0, log00, log000 b Bereken ook het rijtje: log 5, log 50, log 500, log Met je rekenmchine vind je: log 0, 477. Dt betekent: de eponent vn de 0-0,477 mcht met uitkomst is ongeveer 0,477. Kortweg: 0. Controleer dit ltste op je rekenmchine. b Vul pssende eponenten, fgerond op 4 decimlen, in: 0 ; 5 0 ; 5 0 ; , 0 ; 50 0 ;, 99 0 ; Bereken log 4 log 0,477 log b Wt is de uitkomst vn 0? c Bereken zonder rekenmchine: log 0 ; log log 0 ; log + log 0 ; log 4 en vervolgens log log5 0 ; ( ) log6 0 ; log0 6 0 ; log 4 0. Verrssing? log 0 ; log 00 ; log 0 ; De log-toets kn worden gebruikt voor eponentiële vergelijkingen die niet mooi uitkomen:

33 Voorbeeld: = 6 Oplossing: Schrijf en 6 ls mchten vn 0. Met je rekenmchine vind je: Bij bendering geldt nu: 0,00 0,778 0, 778 ( 0 ) = 0 = =, 850 0,00 Je kunt de oplossing ook ls volgt noteren: = 6 log log 6 ( 0 ) = 0 log 6 0,778 (log ) = log 6 = = =, 850 log 0,00 0,00 0,778 0, 778 ( 0 ) = 0 = =, 850 0,00 0,00 0 en 0, Controleer met je rekenmchine dt,5850 ongeveer gelijk is n Bender de oplossingen in 4 decimlen nuwkeurig vn: = 5 d 5 = 0,0 b 5 = e 5 = 0,0 c 0 = 8 f = log 6.85 Uit bovenstnd voorbeeld volgt: log 6 =. log Toon dit n. b Hoe kun je log b uitdrukken in 0-logritmen? b Bereken in vier decimlen nuwkeurig: log 5 ; 0 log 50 ; log 0, ; 0,5 log 0,0.86 Bentwoord zonder rekenmchine: Tussen welke twee opvolgende gehele getllen ligt log00? En log00? b Bereken log00 en log00 met je rekenmchine. Bij eponentiële groei is men vk geïnteresseerd in de zogenmde verdubbelingstijd.

34 Voorbeeld: Een wterhycint in een meer groeit eponentieel met 5% per jr. De groeifctor is dus,5 (per jr). In t jr groeit de wterplnt met fctor (,5) t. t De verdubbelingstijd wordt gevonden uit de vergelijking:,5 =.,5 log Dit geeft: t = log =, log,5 De verdubbelingstijd is dus zo n, jr. wterhycint.87 Iemnd zet een flinke geldsom vst op de sprbnk tegen een rente vn 5% per jr. De rente die jrlijks wordt bijgeschreven levert ook weer rente op. Kortom: het kpitl groeit eponentieel met 5% per jr. N hoeveel jr is het kpitl verdubbeld?.88 De strlingsintensiteit vn een zekere rdioctieve stof neemt eponentieel f met 0% per mnd. Hoeveel mnden is de hlfwrdetijd, d.w.z. de tijd die nodig is om de strlingsintensiteit te hlveren?.89 Geef een benderende oplossing vn b Ook vn = 7. 7 =. log.90 Gegeven is de functie f( ) = ( > 0, ). log Bereken f ( ) voor enkele wrden vn. b Wt vlt je op? Verklr dt. 4

35 .7 Logritmische eigenschppen.9 Bereken in deciml nuwkeurig: log, log 5 en log5. b Welk verbnd lijkt er tussen deze drie logritmen te bestn? c Iemnd beweert: log + log 5 = log8. Klopt dt? Het verbnd dt je in opgve.9 hebt gezien, kn worden uitgelegd met behulp vn de groeiende wterplnt vn prgrf.5 (groeifctor bij tijdsintervl met lengte ). Er geldt: log = lengte tijdsintervl wrin groeifctor is log5 = lengte tijdsintervl wrin groeifctor 5 is log5 = lengte tijdsintervl wrin groeifctor 5 is Schemtisch: 5 b c log log tijd log 5 log5.9 Verklr uit bovenstnd schem: log 5 + log = log5 b Je kunt de betrekking ook met lgebr fleiden: Stel log =, log 5 = b en log5 = c. Er geldt dus: =, b = 5 en c = 5. Hoe volgt nu: log 5 + log = log5? In opgve.94 is het bewijs geleverd vn de zogenmde hoofdeigenschp vn logritmen: log p + log q= log( pq) In woorden: de som vn twee logritmen (met grondtl ) is de logritme vn het produkt. Deze eigenschp geldt ntuurlijk ook voor ndere grondtllen dn. Algemeen geformuleerd luidt de eigenschp: log p + log q= log( pq) 5

36 .9 Vul in: 6 log log 9 = 6 log = b Vul in: log + log 7 = log = c Vul in: log 40 + log = log000 =.94 Bekijk nog eens de tweede ingevulde tbel bij opgve.70: Oppervlkte (y) Tijd in weken (),6,6,6 4,6 5,6 6,6 Uit de tbel zie je bijvoorbeeld: log 6 + = log. Wt heeft dit te mken met de hoofdeigenschp: log p + log q= log( pq)? b Hoe volgt log + = log 96 uit de hoofdeigenschp? In de tbel hierboven zie je ook log 48 log = log 4 en log 6 log = log. Kortom: log p log q= log p q Deze regel volgt onmiddellijk uit de hoofdeigenschp (kijk ook nr opgve.95c). In woorden luidt de regel: Het verschil vn twee logritmen (met grondtl ) is de logritme vn het quotiënt. In formule: log p log q= log q p.95 Bereken zonder rekenmchine: log 7 log 9 c log + log 4 + log 5 + log 5 b log 40 log log 5 d log 6 log 5 log 4 log + log Voorbeeld: Los op uit: log + log 8 = log Oplossing: log(8 ) = log 8= = Immers ltijd geldt: Als log( ) = log( b) = b.96 Los op uit: log + log 5 = log 95 d log + log 40 = 4 b log = log 4 + log 0,5 e log log 5 = log 4 + log 7 c log log = log 7 f log log = log log 6

37 .97 Hoe presteert een lnge-fstndsloper op een korte fstnd? En wt is een sprinter wrd op bijvoorbeeld de 5000 m? Emil Ztopek (zie foto hiernst, bijnm: de lokomotief ) liep hlverwege de vorige eeuw, zowel de mrthon ls verschillende kortere fstnden en oogstte drbij veel succes. Iemnd beweert een formule te hebben gevonden wrmee uit een presttie op een beplde fstnd de presttie op een ndere fstnd kn worden voorspeld. Die formule luidt: v v = log s log s. Hierin zijn s respectievelijk s fstnden in meters en v respectievelijk v de bijbehorende gemiddelde snelheden in km per uur. Een lnge-fstndsloper loopt de 0 km in 0 minuten. Hij gebruikt de formule om een voorspelling te kunnen doen over zijn presttie op de 400m. b c Bereken zijn gemiddelde snelheid in km per uur op de 400 m. Rond je ntwoord f op een geheel getl. Hoe kun je in de formule zien dt bij een lngere fstnd een lgere gemiddelde snelheid hoort? Wt voor effect heeft verdubbeling vn de fstnd op de gemiddelde snelheid? Er is nog een derde formule die belngrijk is bij het rekenen met logritmen. Kijk eens nr: log + log + log = log( ), ofwel log = log( ). Dit is (n verwisseling vn linker- en rechterlid) een bijzonder gevl vn de regel: log ( ) = r log r In woorden: De -logritme vn een mcht vn is gelijk n de eponent vn die mcht, vermenigvuldigd met de -logritme vn. Een pr voorbeelden vn deze regel: log = log = log log = log ( ) = log = log.98 Hoe kun je het ltste resultt ook uit een ndere regel verkrijgen?.99 In deze opgve bewijs je de regel log ( ) Stel log = p en druk en = r log voor het gevl = 0. r r beide uit in p. 7

38 r b Stel log ( ) = q en druk r uit in q. c Lt zien dt uit de resultten vn. en b. volgt q= rp ofwel log r ( ) = r log.00 Gegeven is log b = 5 en log Bereken chtereenvolgens: b log ( b ); log c c =. b c ; ; log ( ) log c ; log bc ; log b ( ) ; log ( c ) ; log ( ) bc.0, b en c zijn positieve getllen. Bewijs: log( b) + log( bc) + log( c) = log( bc) b Bewijs: log + log b + log c = 0 b c.0 Los op uit: log = log 6 c log log 4 = b log = log6 d log 6 + log = log.0 f = en g ( ) log = +. ( ) log Teken in één figuur de grfieken vn f en g. Bereken de ecte coördinten vn het snijpunt vn beide grfieken. Voor welke geldt: f( ) g( ) >.04 f( ) = log Teken de grfiek vn f. b Los op uit: f( ) >.7. Smenvtting Voor het rekenen met logritmen zijn de volgende regels vn belng: () log + log y = log( y) () log log y = log y 8

39 () log ( ) (4) = r log r log log = log Regel (4) stelt je in stt om logritmen met een willekeurig grondtl terug te brengen tot logritmen met grondtl 0. Bij logritmische vergelijkingen werk je vk toe nr een vergelijking wrin zowel in linker- ls rechterlid een logritme stt met hetzelfde grondtl: log A= log B A= B. Stel dt de log-knop op je rekenmchine niet werkt. Hoe kun je dn toch met behulp vn log 0,00 de volgende logritmen vinden in twee decimlen nuwkeurig: 8 log 4 0 log log ; log 0, 5 ; ( ) ; ( ) b Als je met je rekenmchine 00 uitrekent krijg je de uitkomst in de nottie e0. Verklr de eponent 0 uit het gegeven vn. c Voor welke > geldt: 4 log( ) + 4 log( + ) =? d Tussen de vribelen en y bestt het verbnd: log y = log. Teken de grfiek vn y ls functie vn. e Bewijs dt log en log elkrs omgekeerde zijn. 9

40 .8 Logritmische trnsformties Je ziet zes momentopnmen vn de groei vn een zeester. Vn elke zeester is de rmlengte gemeten (vnuit het midden vn de ster). Het resultt vind je in onderstnde tbel: nummer dtum rmlengte 6 juli 9 mm ugustus mm 8 ugustus 6 mm 4 september 6 mm 5 6 september 4 mm 6 9 oktober 57 mm.05 Om n te gn of er sprke is vn eponentiële groei g je een grfiek mken. Neem t = 0 op 6 juli en neem ls tijdeenheid 0 dgen. Teken een grfiek vn de rmlengte ls functie vn de tijd t. b Angenomen dt er sprke is vn eponentiële groei, hoe groot is dn (ongeveer) de groeifctor per 0 dgen? 40

41 De kromme die je bij opgve.08 krijgt, lijkt wel wt op een eponentiële kromme. Erg overtuigend klinkt dit niet; het is nu eenml lstig om n de kromme te zien tot welke fmilie zij behoort. Er is een hndige mnier om meer zekerheid te krijgen. Met logritmen kun je een eponentiële functie nmelijk omvormen tot een lineire functie. Dt gt zo: G uit vn y = c p en neem links en rechts de 0-logritme. Volgens de eigenschppen vn de logritme komt er: y = c p y = c+ p log log log ( ) log y = log c+ log p Omgekeerd volgt de bovenste regel uit de onderste. Dus y is een eponentiële functie vn ls log y een lineire functie vn is. Omdt de grfiek vn een lineire functie wel direct herkenbr is (rechte lijn!), is het hndig om in het gevl vn de zeester log uit te zetten tegen t..06 Vul met de gegevens vn de groeiende zeester onderstnde tbel in: nummer t log 0 0,7, 4 4,8 5 6, 6 8,5 b Lt zien dt de grfiek vn log ls functie vn t goed benderd wordt door een rechte lijn. De hellingscoëfficiënt vn de rechte lijn die je in opgve.09 gevonden hebt, kn worden gescht op 0,094. De betrekking tussen log en t wordt dn: log = 0,95 + 0, 0094 t 0,95+ 0,0094 t Druit volgt: = 0 = 0 0 ( ) 0,95 0,094 t t = 9,4 Kortom: groeit eponentieel met een groeifctor (per 0 dgen) die ongeveer gelijk is n,4. 4

42 .07 De oppervlkte en het gewicht vn een zeester groeien ook volgens eponentiële functies. Hoe groot is de groeifctor (per 0 dgen) vn de oppervlkte? b En vn het gewicht?.08 Onderstnde tbel geeft het verbnd tussen de omlooptijd vn een plneet en de fstnd tot de zon. Plneet Omlooptijd T (in dgen) 6 Gemiddelde fstnd tot de zon R (km 0 ) Mercurius 88 57,9 Venus 5 08, Arde 65 49,6 Mrs 687 7,7 Jupiter , Sturnus ,0 Urnus ,0 Neptunus ,0 Pluto ,0 Mk een tbel vn logt tegen log R. plneet logt log R Mercurius,94 b Zet in een grfiek logt uit tegen log R. c Uit de grfiek blijkt dt er een lineir verbnd bestt tussen logt en log R, dus logt = log R+ b. Bepl en b. d In prgrf. (bij Mchten met gebroken eponenten) werd ls formule meegedeeld: T = 0, R. Controleer of deze formule in overeenstemming is met,5 de resultten vn vrg c..09 De (verwchte levensduur vn een zoogdier in gevngenschp (de mens niet meegerekend) is fhnkelijk vn de grootte vn het dier. Schs vond de benderende formule logt =,07 + 0, 0 log G (T is de levensduur in jren, G is het lichmsgewicht in kg.). Bereken de verwchte levensduur vn een olifnt in Artis vn 4000 kg. b De formule drukt logt uit in en log G. Je kunt ntuurlijk ook T uitdrukken in G. Welke formule krijg je? 4

43 .9 De fgeleide vn eponentiële en logritmische functies.9. De fgeleide vn een eponentiële functie We bekijken de rklijn n de eponentiële functie y = f( ) = in het punt met = 0 en nemen voor chtereenvolgens de wrden en. Hieronder zijn de beide functies nst elkr geplot, met gelijke schl op -s en y-s. Wnneer je in beide tekeningen de hoeken die de rklijnen met de -s (nr rechts vnf het snijpunt) mken, of bepl je direct de richtingscoëfficiënten vn de beide rklijnen, dn krijg je voor de eerste tekening ( y = ): - de hoek is ongeveer 5 en de richtingscoëfficiënt is dn ongeveer 0,70. - In de tweede tekening ( y = ) zijn de ntwoorden respectievelijk 48 en,. We zien dt bij een toenemend grondtl ook de richtingscoëfficiënt stijgt. Het ligt voor de hnd dt er een eponentiële functie met grondtl tussen en is, zodnig dt de richtingscoëfficiënt vn de rklijn n de grfiek in het snijpunt met de y-s gelijk is n. De fgeleide vn deze eponentiële functie is dus in het punt met -coördint 0. De richtingshoek is dn ect 45. Het grondtl wrbij deze richtingshoek vn 45 hoort, is het reeds eerder genoemde getl e en is genoemd nr de wiskundige Euler. In de wiskunde en zeker ook in vele toepssingen komt dit getl veelvuldig voor. Het belng ervn is minstens even groot ls vn het beroemde getl π. We kunnen dus meteen zeggen dt de fgeleide vn de functie y = e voor = 0 gelijk is n. Anders gezegd: het differentilquotiënt vn de functie y = e is gelijk n ls = 0. Zols we gezien hebben in hoofdstuk geldt voor het differentilquotiënt dy in het lgemeen dt deze de limiet is vn het differentiequotiënt d 4

44 Δy Δ, wrbij Δ ndert tot 0. In dit gevl geldt dus dt de limiet vn 0+Δ 0 Δ Δy e e e = = voor Δ nderend tot 0 gelijk is n. Δ Δ Δ = 0.0 Mk zelf met de GR of met TI-interctive of VUgrfiek een soortgelijke tekening ls hierboven voor grondtl,5 en g n dt de richtingshoek nu iets kleiner is dn 45. Concludeer hieruit dt e groter is dn,5. Herhl deze opdrcht voor de grondtllen,6;,7; en,8. Probeer door het grondtl nog nuwkeuriger te vriëren in de buurt vn de werkelijke wrde vn e te komen.. Mk een tbel in met TII, VUgrfiek of EXCEL voor het differentiequotiënt e Δ. Δ Zet hierbij Δ in de eerste kolom met wrden 0,; 0,0; 0,00; 0,000; -0,000; -0,00; -0,0 en -0,. Bereken de bijbehorende wrden vn e Δ in de tweede kolom. Concludeer hieruit dt de fgeleide vn y = e in = 0 inderdd gelijk n Δ is. Uit opgve. blijkt dt e in de buurt vn,7 ligt. De ecte wrde vn e is niet in een deciml getl uit te drukken. Wel kunnen we e benderen: e, (in 0 decimlen). Meestl kunnen we met wt minder decimlen volstn: e,7. De fgeleide vn de functie f( ) = e is de bsis voor de fgeleiden vn enkele functies die we in deze prgrf zullen tegenkomen. Δ ( ) +Δ Δy e e e e Voor y = e is het differentiequotiënt = = ( is hierbij Δ Δ Δ willekeurig gekozen, voor = 0 krijg je weer e Δ ). Δ Voor het differentiequotiënt vn y = e in = 0 geldt dus 0 Δ e ( e Δ Δy ) e = =. Δ = 0 Δ Δ Nu weten we dt de limiet vn e Δ voor Δ nderend nr 0 gelijk is n Δ (zie de conclusie vn opgve.4). Concluderend kunnen we zeggen dt voor y = e (met willekeurig gekozen) het differentiequotiënt ( Δ ) Δ y e e = Δ Δ ndert tot e = e. 44

45 Anders gezegd: Als f( ) = e d dn is f ( ) = e e d =. De fgeleide vn f( ) = e is dus gelijk is n de functie zelf. We beplen nu de fgeleide vn f ( ) =. Omdt het nemen vn een e-mcht en het nemen vn de ntuurlijke logritme (dit is de logritme met grondtl e) elkrs inverse zijn geldt: ( ln ) ln = e = e. ln Dus kunnen we het voorschrift vn f ls volgt herschrijven: f( ) = e Er volgt (met behulp vn de kettingregel) d ln ln d ln f ( ) = e e [ ln] e ln ln d = = =. d In de één n ltste stp is gebruikt dt ln een constnte is en in de ltste ln stp is e weer vervngen door. Conclusie Als f ( ) = dn f ( ) = ln Bereken de richtingscoëfficiënt vn de rklijn n de grfiek vn y = f( ) = in het snijpunt met de y-s met behulp vn de fgeleide en vergelijk deze met de gemeten wrde n het begin vn deze prgrf. b Lt zien dt formule f ( ) = ln een bijzonder gevl is vn formule f ( ) = e. c Bepl de fgeleide vn y f( ) ( ) = = en de fgeleide vn y = g( ) = (denk om de kettingregel!); toon n dt f ( ) = g ( ) en verklr dt. d Toon n dt de fgeleide vn de functie f ( ) = voor een grondtl tussen 0 en voor elke wrde vn negtief is en voor een grondtl groter dn voor elke wrde vn positief is. Geef hiervoor een verklring. e Differentieer onderstnde functies vn, wrbij steeds een constnte voorstelt. - f ( ) = - f ( ) = - f ( ) = We gn nu functies smenstellen met behulp vn een eponentiële functie en vervolgens differentiëren. Voorbeeld De fgeleide vn y = e beplen we met de kettingregel (stel u = ): 45