Exact periode 2.2. Gemiddelde en standaarddeviatie Betrouwbaarheidsinterval Logaritme ph lettersommen balansmethode

Transcriptie

1 Exct periode. Gemiddelde en stndrddevitie Betrouwbrheidsintervl Logritme ph lettersommen blnsmethode 1

2 gemiddelde en stndrddevitie vn meetwrden. x en s Hieronder zie je twee getllenseries die hetzelfde gemiddelde (14) hebben. Toch zijn de series totl verschillend. Met de stndrddevitie wordt ngeduid hoe ver de wrden gemiddeld vn het gemiddelde fliggen. serie 1 serie x x 1 13, , , ,4 ntl 5 5 som gemiddelde stndrddevitie 1,6 0,9

3 Hieronder is een berekening vn de stndrddevitie vn serie 1 voorgedn. formule : ( ) x x s n 1 Het -teken geeft n:lles optellen, ook wel genoemd: de som. n is het ntl wrden. berekening: x x-xgem (x-xgem) (som) 10 som/(ntl-1),5 wortel 1,

4 Opdrcht: Bereken zelf de stndrddevitie vn serie x x-xgem (x-xgem) 13,6 13, ,1 14,4 som: som/(ntl-1): wortel: Oefenen: Bereken vn de volgende vier series het gemiddelde en de stndrddevitie: b. 6,5 6,17 6,30 c. d

5 Gemiddelde en stndrddevitie berekenen Csio fx-8 MS <mode> 1 ste wrde intypen <M+> de wrde intypen <M+>... Ltste wrde intypen <M+> Opmerking: Je ziet steeds stn hoeveel wrden ingevoerd zijn. Bijvoorbeeld n=3 <Shift> 1 < = > geeft het gemiddelde <Shift> 3 < = > geeft de stndrddevitie Opmerking: Nooit gebruiken <Shift> gevolgd door Testen: Drie getllen Het ntl is 3 Het gemiddelde is 5 De stndrddevitie is 1 5

6 TI 36X <nd> <DATA> < = > <DATA> 1 ste wrde intypen < > < > de wrde intypen < > < >... Ltste wrde intypen < > < > <STATVAR> < > n: ntl wrden x : gemiddelde Sx: stndrddevitie Nooit gebruiken: σ x Testen Drie getllen Het ntl is 3 Het gemiddelde is 5 De stndrddevitie is 1 6

7 <DATA> Wrden intypen gevolgd door <enter> N de ltste typ je <nd><data> Druk vier ml op <ENTER> Achter 1: zie je het ntl wrden (n) Achter : zie je het gemiddelde( x ) Achter 3: zie je de stndrddevitie (Sx) Testen Drie getllen Het ntl is 3 Het gemiddelde is 5 De stndrddevitie is 1 7

8 Ti-84 Plus Texs instruments (Met dnk n Jermine) 1 druk op stt kies edit 3 voer gegevens in met enter 4 druk op stt 5 g nr de de tbel clc 6 kies 1-Vr stts 7 druk op enter Je hebt nu de stndrddevitie en de ndere gegevens voor het invullen vn de formule voor de stndrddevitie. - X = gemiddelde S= stndrddevitie Testen Drie getllen Het ntl is 3 Het gemiddelde is 5 De stndrddevitie is 1 8

9 Het betrouwbrheidsintervl (b.i.) voorbeeld: Een ph-meting wordt 5 ml uitgevoerd. uitkomsten: 6,87 6,79 6,8 6,84 6,87 Het gemiddelde is x 6, 84 en de stndrddevitie: s= 0,034 De verschillen worden veroorzkt door toevllige fouten. We willen op grond vn deze metingen een voorspelling doen vn de werkelijke wrde :. (spreek uit: mu) Het betrouwbrheidsintervl geeft n tussen welke uitersten de werkelijke wrde wrschijnlijk zl zitten. Het betrouwbrheidsintervl wordt berekend met: t s n 6,89 6,88 De werkelijke wrde zl liggen tussen: t s x n n is het ntl metingen. De t-wrde lees je f uit de tbel, het ntl vrijheidsgrden = n - 1 en s is de stndrddevitie en t s x n < 6,87 6,86 6,85 6,84 6,83 Je vindt voor het 95%-betrouwbrheidsintervl in ons voorbeeld: (s = 0,034),78 0,034 0,04 5 6,8 6,81 6,8 6,79 6,78 9

10 Dit betekent het volgende: We weten voor 95% zeker dt voor de werkelijke wrde vn de ph geldt: 6,84 0,04 dus tussen 6,80 en 6,88. ( In 95 vn de honderd gevllen klopt dit.) Opm: Indien bij opgven geen betrouwbrheidspercentge is gegeven neem je hiervoor 95%. Tbel vn t-wrden ntl vrijheidsgrden 90% 95% 99%

11 Oefeningen. 1. Bereken vn de metingen vn pg 1 het 90 en 99%- betrouwbrheidsintervl. Vul onderstnde tbel verder in: betrouwbrheidspercentge 90 % 95 % 99% t-wrde bij 4.78 vrijheidsgrden Betrouwbrheids intervl 0,04. Vier metingen vn de ph vn een bufferoplossing geven de volgende resultten: 5,1 5,0 5,15 5,17 Bereken het 95 %-betrouwbrheidsintervl vn het gemiddelde. 3. Een lbortoriumchef wil weten of een nieuwe methode de juiste resultten geeft. Hij mkt een monster vn 10, mmol.l -1. Hij lt 6 metingen doen. De nieuwe methode geeft de volgende resultten: 10,4 10,4 10,6 10,3 10,5 10,5 mmol.l -1. ) Bereken het gemiddelde, de stndrddevitie en het 95 %-betrouwbrheidsintervl vn het gemiddelde. b) Vlt de echte monsterwrde binnen of buiten het 95%-betrouwbrheidsgebied? 11

12 4. Rechts zie je 6 ph-meetwrden. Bereken het gemiddelde, de stndrddevitie en het 95% b.i. 4,76 4,7 4,86 4,88 4,67 4,51 1

13 Metingen vergelijken De concentrtie NOH in mol per liter kn met twee methodes worden bepld. Hieronder zie je de resultten. Methode 1 Methode 0,0956 0,0967 0,0957 0,0965 0,0959 0,0961 0,0960 0,0966 0,0958 0,0964 0,0963 Bepl vn beide methode het gemiddelde, de stndrddevitie en het betrouwbrheidsintervl (95%) G n of de uitkomsten vn de twee methodes met elkr kloppen; overlppen de betrouwbrheidsintervllen elkr? Formule: b.i. = ± t.s n Vrijheidsgrden 90% 95% 99% t 13

14 Oefenopgve exct lo41 periode Tbellen en formules: Tbel vn t-wrden ntl vrijheidsgrden 90% 95% 99% tbel met Q- wrden ntl wrnemingen 90% 95% 99% 4 0,76 0,83 0,93 5 0,64 0,7 0,8 6 0,56 0,6 0,74 7 0,51 0,57 0,68 8 0,47 0,5 0,63 9 0,44 0,49 0, ,41 0,46 0,57 Q Betrouwbrheidsintervl: Opgve: Een lbornt heeft de ph vn een oplossing 10 ml bepld.. G n of er een uitschieter tussen deze wrden zit. Als dt zo is moet je deze verwijderen. b. Bereken het gemiddelde c. Bereken de stndrddevitie d. Bereken het 95% betrouwbrheidsintervl. e. Tussen welke wrden ligt de ph (met 95% betrouwbrheid)? verdchte wrde nstliggende wrde spreiding t s n 5,54 5,56 5,49 5,50 5,57 5,71 5,60 5,55 5,59 5,58 14

15 Logritme (log) op zoek nr de mcht 1. De logritme met grondtl 10 Probeer de volgende problemen eens op te lossen. Vul de mcht vn 10 in: 100 = = = = 10. 0,1 = 10. 0,01 = 10. De gevrgde exponenten (mchten) zijn ook m.b.v. je rekenmchine te beplen. Je gebruikt de [log] toets log 100 = log 1000 =3 Eigenlijk moet er stn 10 log 100 =. Dit betekent: 10 = 100 de betekenis vn log (logritme) is dus: g log = x betekent: g x = we noemen: g: het grondtl : het rgument x :de exponent 15

16 Zo kn je de exponent vn 10 berekenen die 1 oplevert 10. = 1 berekenen: 10 log 1 = 1, dus 10 1, = 1 Logritme is de mcht vn een grondtl die een bepld nder getl oplevert. Het is een soort omgekeerde berekening vn mchtsverheffen. De 10 log wordt o.. gebruikt bij het begrip ph. 16

17 Oefenopgven: log 1 =1,3 Hoe wordt 10 genoemd? Hoe wordt 1 genoemd? Hoe wordt 1,3 genoemd? 1. Bereken de volgende logritmen: log 5,6= log 141= log 0,0= log 1= log 1= 1.3 bereken de volgende mchten 10 3 = 10,1 = 10 1,5 = 10 0 = 17

18 . De ph definitie : ph = -log H + H + is de concentrtie vn de H + ionen uitgedrukt in mol per liter. voorbeeld 1 Er is 0,008 mol HCl opgelost in 1 liter wter. De ph vn de oplossing bedrgt dn: ph = -log H + ph= - log(0,008) ph=,6 Ook de omgekeerde berekening is belngrijk. Je gebruikt hierbij: g log = x betekent: = g x dus: log H + = - ph H + =10 -ph 18

19 voorbeeld De ph vn een oplossing is 4,1. Bereken de concentrtie vn de H + ionen (in mmol.l -1 ph = -log H + 4,1 = - log H + H + = 10 4,1 = 0, mol.l -1 = 0,079 mmol.l -1 Logritmische schlen worden vk gebruikt om hele kleine en hele grote getllen in een grfiek bij elkr te zetten. 19

20 Oefenopgven:.1 De H + -concentrtie vn een HCl-oplossing is 0,0056 mol.l -1 Bereken de ph.. Vn een HCL-oplossing is de concentrtie 0,3 mmol.l -1. Bereken de H + -concentrtie in mol.l -1 b. Bereken de ph vn de oplossing..3. Bereken de H + concentrtie vn de oplossingen met de volgende ph: ph H + (in mol. L -1 ) 6,1 5,1,1 0

21 Weegschl methode. De weegschlmethode wordt gebruikt om een vergelijking met één onbekende (x) op te lossen. 11b. Rdsel oplossen met weegschlmeth. 11c. Rdsel oplossen met weegschlmeth. Kijk nr bovenstnde presentties. Oefenen weegschlmethode x+3=15 3x-4=3 x-6=x+1 5x+3 = x x-4 = + 5x 3x = 5x 10 1 ½ x + = 1 /3 x+1 1

22 Lettersommen: Optellen en Aftrekken + = += = 4 +++= = 3 = Bij elkr nemen? + = p + = b :

23 vereenvoudig: +3p+b-p+3+b= losse cijfers kn je voorstellen ls Zes ppels en twee peren en 8 6 +p+8 Oefenen: Neem bij elkr wt bij elkr kn 1) b + p - 5b b 3 + p = ) 3 - b b 3 + p + p + 4b = 3

24 Lettersommen: Vermenigvuldigen Het oppervlk vn een rechthoek bereken je met Oppervlk = lengte*breedte Oppervlk: A (re) l b Als lettersom wordt dit: Anders geschreven: Of: A = l * b A = l b A = l b Als we een vierknt hebben met zijde z Krijg je A = z z= z Let op: z+z mg je niet smen nemen. Voorbeeld: +3p-b +b+3b-p+3b +4b= +3p-b +b+3b-p+3b +4b= 4

25 Oefenen: 1) + b p + b b + = ) 3b - b b + 3-4b= 3) Bereken de totle oppervlkte vn deze figuur: 5

26 6 Lettersommen vereenvoudigen : b b b p q p p p c c b c b b c c b

27 b b b b b b b b x s xy x s