Studiekeuzecheck wiskunde deeltijd Basisvaardigheden Algebra Hoofdstuk 1 t/m 4

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Studiekeuzecheck wiskunde deeltijd Basisvaardigheden Algebra Hoofdstuk 1 t/m 4"

Transcriptie

1 Studiekeuzecheck wiskunde deeltijd 08 Bsisvrdigheden Algebr Hoofdstuk t/m

2 Inhoudsopgve Hoofdstuk Rekenen met letters..... Formules..... Mchten.... Worteltrekken Delen door nul kn niet... 9 Hoofdstuk Toepssen vn de distributieve eigenschp Eindterm De distributieve eigenschp. Eindtermen 0_ en 0_.... Uitbreiding vn de distributieve eigenschp. Eindtermen 0_ en 0_.... Het ontbinden vn tweetermen. Eindtermen 0_ Het ontbinden vn drietermen. Eindterm 0_ Ontbinden met behulp vn merkwrdige producten. Eindterm 0_ Ontbinden in meer dn fctoren. Eindterm 0_... 9 Hoofdstuk Bewerkingen met breuken Eindterm Gelijknmig mken vn breuken en optellen vn breuken. Eindterm 0_.... Vereenvoudigen vn breuken. Eindterm 0_.... Vermenigvuldigingen en delingen met breuken. Eindterm 0_... Hoofdstuk Bewerkingen met mchten Eindterm Vermenigvuldigen ls herhld optellen Mchtsverheffen ls herhld vermenigvuldigen. Eindterm 0_ Eigenschppen vn mchten met positieve, gehele exponenten. Eindterm 0_ Het delen vn mchten. Eindterm 0_....5 De mcht vn een mcht. Eindterm 0_....6 De mcht vn een product. Eindterm 0_....7 De mcht vn een quotiënt. Eindterm 0_....8 Vervolg worteltrekken....9 Hogere mchts wortels en hun eigenschppen Mchten met negtieve en/of gebroken exponent... 9

3 Hoofdstuk Rekenen met letters.. Formules Met een formule kunnen we een bepld verbnd ngeven. Er is bijvoorbeeld een verbnd tussen lengte, breedte en oppervlkte vn een rechthoek: Oppervlkte_rechthoek = lengte * breedte ) Opgve Bereken de oppervlkte vn een rechthoek, wrvn de lengte 6 en de breedte ½ is. Oppervlkte rechthoek, lengte en breedte zijn de vribelen in deze formule. Vribelen worden vk fgekort, of zelfs door één letter weergegeven. Bijvoorbeeld: O=l*b of nog korter: O = lb Toch is er een verschil tussen de drie vribelen O, l en b. O heet ook wel de fhnkelijk vribele en l en b de onfhnkelijk vribelen. ) Opgve Wrom zou O de fhnkelijk vribele worden genoemd en wrom zijn l en b onfhnkelijk vribel? Voor rechthoeken wrvn de lengte ml zo groot is ls de breedte geldt de fomule: O=b² ) Opgve Lt zien dt die formule klopt. Onder de omtrek vn een figuur wordt verstn de fstnd die je flegt ls je er een keer heleml omheen gelopen bent. ) Opgve Lt zien dt voor de omtrek vn een rechthoek geldt: Omtrek = l + b 5) Opgve Vn een rechthoek is de lengte drie keer zo groot ls de breedte. Lt zien dt voor de omtrek geldt: Omtrek = 8b. 6) Opgve Lt zien dt voor een rechthoek met lengte l en breedte b geldt: l = ½ omtrek b

4 Een rechthoek heeft omtrek p en breedte b. Voor de oppervlkte O geldt: O = ½ bp - b² 7) Opgve Lt zien dt die formule klopt. 8) Opgve Vn een rechthoek is de lengte ½ ml zo groot ls de breedte. De oppervlkte vn die rechthoek is. Bereken de omtrek vn die rechthoek. 9) Opgve Vn een rechthoek met lengte 0 zijn de omtrek en de oppervlkte gelijk. Bereken de breedte. Een rechthoek wrvn de beide zijden even lng zijn heet een vierknt. 0) Opgve Lt zien dt voor de omtrek vn een vierknt met oppervlkte O geldt: Omtrek = O ) Opgve Vn een rechthoek is de oppervlkte 5 en de omtrek. Bereken de lengte en de breedte vn de rechthoek... Mchten Veronderstel dt een beplde mchine nu ƒ 500,- kost en dt verwcht wordt dt de prijs jrlijks verhoogd zl worden met %. We bereken de prijs n drie jr. We beginnen met de prijs n één jr. Die prijs krijgen we door 500 te vermenigvuldigen met.0 500*,0 De prijs n twee jr krijgen we door deze uitkomst weer te vermenigvuldigen met,0: 575*,0 De prijs n drie jr krijgen we door deze uitkomst weer te vermenigvuldigen met,0: 65.5*,0; Dit resultt kun je ls volgt in één keer krijgen: 500*,0*,0*,0;,0*,0*,0 wordt ook zo genoteerd:,0³ Dit is een mcht.,0 is het grondtl vn deze mcht en is de exponent vn deze mcht. Voorl bij lngere periodes is het hndig om met mchten te werken. De prijs n tien jr bij een gelijkblijvende jrlijkse verhoging vn % is in één keer ls volgt uit te rekenen: 500*,0 0 ) Opgve

5 Een rtikel kost ƒ 00,-. Verwcht wordt dt de prijs jrlijks met 5% zl dlen. Bereken de verwchte prijs n zes jr. ) Opgve Iemnd beweert: Als de prijs zes keer dlt met 5% betekent dit een dling vn totl 0%. dt deze bewering NIET juist is. Lt zien ) Opgve Iemnd beweert: Als de prijs keer stijgt met 5 procent dn is dit een stijging vn ongeveer,6 %. Lt zien dt deze bewering WEL juist is. 5 is een verkorte schrijfwijze voor ****. Dus 5 = 5) Opgve Bereken zonder gebruik te mken vn een rekenmchine: Het berekenen vn mchten zols in de vorige opgve heet ook wel mchtsverheffen. Wt betreft de volgorde vn bewerkingen gelden de volgende regels: Berekeningen tussen hkjes moeten eerst worden uitgevoerd. Vermenigvuldigen en delen hebben geen voorrng op elkr. Optellen en ftrekken hebben geen voorrng op elkr. Vermenigvuldigen en delen gn voor optellen en ftrekken. 5 Mchtsverheffen gt voor vermenigvuldigen, delen, optellen en ftrekken. 6 Als er geen voorrng is dn rekent men in de volgorde vn links nr rechts. 6) Opgve Bereken zonder een rekenmchine te gebruiken. ) * ³ b) ³ + 5 c) + 0*³ d) ( + ) e) 5²(² + ³) 0 f) g) ( ) h) ( ) 5 Berekeningen wrin mchten voorkomen zijn soms te vereenvoudigen. Drie voorbeelden: * kun je schrijven ls 7, wnt * =(**)*(***). Hierin kun je de hkjes weglten. 5, wnt teller en noemer vn deze breuk kun je delen door 5³ , wnt teller en noemer vn deze breuk kun je delen door ² ( ) 6, wnt ( ) In het lgemeen gelden de volgende rekenregels voor mchten: p q ( pq ) p ( pq ) q ( p ) q ( p q) In het tweede gevl kn niet nul zijn. In het vervolg zullen we een dergelijke opmerking doorgns 5

6 chterwege lten. 7) Opgve Welke vn de volgende beweringen zijn wr? 8 5 ) 5 * 5 = 5 6 b) 5 * c) d) 0 0 e) 5 7 f) * 5 = 0 g) 6 h) * = 6 i) ( ) 6 Met behulp vn de rekenregels voor mchten kun je llerlei lgebrïsche uitdrukkingen vereenvoudigen. Bijvoorbeeld: xy.x = 8 x²y ³b². 5²b³ = 5 5 b 5 (³b)² = 6 b 6 5 b 9 = ³ b 6 9 ² b³ 8) Opgve Vereenvoudig zo ver mogelijk:. x²y². 6 x³y f. (xy²)² - x²y b. - 5 b c. - b 5 c g. (xy²)² : x²y c. 7 x 8 y : 9 x y 6 h. (xy²)². x²y d. (-x² y³)². x²y² i. (xy²)² + x²y e. (-x³y³)² j. (xy²)² - - x² - y - x 5 y 6. Worteltrekken Het omgekeerde vn optellen is ftrekken. Bijvoorbeeld: 00+0 = 0 en dus 0-0 = 00. Het omgekeerde vn vermenigvuldigen is delen. Bijvoorbeeld: 6*5 = 90 en dus 90/5 = 6. Het omgekeerde vn mchtsverheffen is worteltrekken. Bijvoorbeeld: 5² = 5 en dus 5 = 5. In 5² is de exponent. We spreken ook wel vn 5 kwdrt. De omkering hiervn is de tweedemchtswortel. Omdt die het meest voorkomt spreekt men in plts vn over "tweedemchts wortel" kortweg over "wortel". Opmerkingen: Een tweedemchtswortel vn een negtief getl bestt niet. Bijvoorbeeld 5 kn niet wnt er is geen getl 6

7 wrvn het kwdrt -5 is. Verder geldt de fsprk dt de uitkomst vn een tweemchtswortel positief is. Dus bijvoorbeeld niet -5. In het lgemeen geldt dus: 5 5 en bestt lleen ls positief of nul is en is het positieve getl wrvn het kwdrt gelijk is n. Wortels zijn bijzondere getllen. Alle positieve gehele getllen zijn eigenlijk ook wortelgetllen. Wnt neem bijvoorbeeld het getl 6. Dt is te schrijven ls een wortelgetl. 9) Opgve Vul in : 6 =. Niet elk wortelgetl is evenwel een geheel getl. Zo is bijvoorbeeld 6 geen geheel getl. De wrde vn 6 is lleen bij bendering vst te stellen. 0) Opgve Tussen welke twee gehele getllen zit de wrde vn 6? ) Opgve Bender zonder de rekenmchine te gebruiken 6 in één deciml nuwkeurig. De vrg is of je met wortels dezelfde bewerkingen kunt uitvoeren ls met gehele getllen. Dus de vrg is of je bijvoorbeeld wortels kunt optellen, ftrekken, vermenigvuldigen of delen. ) Opgve Onderzoek of + b = (+b). Zo n vrg pkt een wiskundige meestl ls volgt n:. Hij gt wt proberen door voor en b zo mr eens wt getllen in te vullen en hij gt kijken of het klopt. Dn zijn er twee mogelijkheden: het klopt wel het klopt niet. In het ltste gevl ben je snel klr. Zodr je een getllenvoorbeeld hebt gevonden wrvoor de uitsprk niet klopt, dn geldt de regel dus niet lgemeen. In het eerste gevl is hij nog niet klr. Integendeel. De uitsprk mg dn kloppen voor dt toevllige getllenvoorbeeld, mr wellicht zijn er ndere voorbeelden te noemen wrvoor de regel niet klopt.. Hij gt nog eens enkele getllenvoorbeelden uitproberen. 7

8 Mochten l die getllenvoorbeelden kloppen dn neemt hij de volgende stp.. Het begint nu de moeite wrd te worden om de regel te bewijzen. Dt wil zeggen hij gt een logische redenering bedenken wrmee de wrheid vn de uitsprk onomstotelijk komt vst te stn.. Als dt lukt dn kn hij iedereen met zijn redenering overtuigen. Lukt het niet dn heeft de uitsprk geen lgemene geldigheid. ) Opgve Nog even terug nr de vorige opgve. G n dt er oneindig veel voorbeelden voor en b te bedenken zijn, wrvoor de uitsprk klopt. G ook n dt er in ieder gevl één voorbeeld is te noemen wrvoor de uitsprk niet geldt. Wt is je conclusie? ) Opgve Er geldt dus niet + b = ( + b). Misschien kun je wortels op een ndere mnier bij elkr optellen, bijvoorbeeld + b = (b). Onderzoek of dit zo goed is. Wt je ook probeert: de som vn twee wortels is niet ls één wortel te schrijven. Hoe ligt dt bij de bewerking ftrekken? 5) Opgve Onderzoek of - b = (-b). En hoe zit het met vermenigvuldigen? 6) Opgve Onderzoek of * b = (*b). 7) Opgve Bewijs: * b = (*b). 8) Opgve Bewijs: : b = (:b). Conclusies uit de voorgnde opgve:. De som vn twee wortels kun je niet schrijven ls één wortel. Hetzelfde geldt voor het verschil vn twee wortels.. Het product (ofwel vermenigvuldiging) vn twee wortels kun je wel ls één wortel schrijven. Dt geldt ook voor het quotiënt vn twee wortels. * b = (*b). / b = (/b). Die ltste eigenschppen kun je gebruiken om wortelgetllen te vereenvoudigen. Bijvoorbeeld: 8

9 = *6 = *6 of eenvoudigweg 6 9) Opgve G n dt de rekenmchine voor en 6 dezelfde uitkomst geeft. 0) Opgve Vereenvoudig zo ver mogelijk de volgende wortels.. 80 b. 8 c. 90 d. 7 e. 5 f. 80 g. 5. Delen door nul kn niet De bewerkingen optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen kun je uitvoeren met elk willekeurig tweetl getllen, echter met één uitzondering: Je kunt een getl niet delen door nul Als je dit toch probeert in op een rekenmchine op de computer krijg je doorgns een foutmelding, bijvoorbeel Erro, division by zero. Dt delen door nul niet kn, is een gevolg vn het feit dt een getl vermenigvuldigd met nul ls uitkomst ltijd nul oplevert. Bekijk de volgende voorbeelden: 00/0 = 0 wnt 0*0=00; 00/5 = 0 wnt 0*5=00; 00/ = 50 wnt *50=00; Veronderstel nu dt 00/0 een uitkomst heeft. Die noemen we u. Dn zou gelden: 00/0 = u wnt u*0=00 Dit ltste is niet wr wnt: u*0=0 voor elk getl u Voor 00/0 is dus geen uitkomst te vinden. We lten dit ook nog eens zien met behulp vn een prktisch voorbeeld. Als je een hlf uur rijdt met een snelheid vn 80 km per uur, leg je een fstnd f vn 0 km (je berekent 0.5*80). Er geldt dn het volgende verbnd tussen tijd, snelheid en fstnd: fstnd=tijd*snelheid Deze formule kun je ook in de volgende vorm schrijven: fstnd snelheid tijd In deze vorm is de formule te gebruiken om uit te rekenen welke snelheid je moet hebben om een gegeven fstnd in een gegeven tijd f te leggen. Zols bijvoorbeeld: Om 50 km in drie uur f te leggen moet je een snelheid hebben vn per uur. Om 50 km in twee uur f te leggen moet je een snelheid hebben vn km per uur, ofwel (fgerond) 8 km km per uur, ofwel 5 km per uur. 9

10 50 Om 50 km in een hlf uur f te leggen moet je een snelheid hebben vn km per uur, ofwel 500 km per uur. Het is echter bsurd om voor de tijd 0 te nemen, je zou je dn immers fvrgen hoe snel je moet rijden om km in nul uur f te leggen. Wel kun je vststellen dt de uitkomst vn tijd heel groot wordt ls de tijd heel dicht bij nul neemt. Hoe dichter de tijd bij nul ligt hoe groter de snelheid. Je kunt de tijd dus wel in de buurt vn nul kiezen, mr niet precies gelijk n nul. Bijvoorbeeld: - Om 50 km in een seconde f te leggen moet je een snelheid hebben vn ofwel km per uur. ) Opgve 5 We bekijken de breuk. p Zoek een getl p zodnig dt deze breuk groter is dn 00. Voor welk getl p is deze breuk precies gelijk n 00? Voor welk getl p is deze breuk precies gelijk n ? 0

11 Hoofdstuk Toepssen vn de distributieve eigenschp Eindterm..0. De distributieve eigenschp. Eindtermen 0_ en 0_ Formules kunnen er verschillend uitzien en toch hetzelfde effect hebben. We lten hiervn een voorbeeld zien. Als een fltgebouw vier woningen per verdieping heeft en het gebouw vijf verdiepingen telt is het totl ntl woningen gelijk n 5*=0. Veronderstel dt er een stuk ngebouwd wordt volgens de schets hieronder, dus met een rijtje vn drie woningen per verdieping: Je kunt nu het totl ntl woningen op twee mnieren berekenen: e mnier: oude deel: 5*, nieuwe deel: 5*, dus totl 5* + 5*. e mnier: n uitbreiding zitten er + woningen nst elkr, er zijn nog steeds vijf verdiepingen, totl dus 5*( +). In beide gevllen kom je op totl 5 woningen. ) Opgve Je hd ook een pr verdiepingen op het oorspronkelijke fltgebouw kunnen zetten. Mk zelf een keuze en bereken op beide bovenstnde mnieren het totl ntl woningen. We doen dit nu lgemener: Stel dt in een fltgebouw vn v verdiepingen er nvnkelijk woningen nst elkr zitten en er een stuk wordt ngebouwd wrin b woningen nst elkr zitten. Stel dt het totle ntl woningen T is. Je kunt nu op twee mnieren een formule opstellen voor T.

12 e mnier: Er zitten totl + b woningen nst elkr. Er zijn v verdiepingen. Dus geldt: T = v ( + b ) e mnier: In het linker deel zitten v woningen, in het rechterdeel vb. Dus geldt: T = v + vb Kennelijk is de uitkomst vn v ( + b ) ltijd gelijk n die vn v + vb. Dit wordt kortweg ook wel zo weergegeven: v ( + b ) = v + vb. Hieronder is schemtisch weergegeven hoe de ene uitdrukking overgt in de ndere. Wt we hier constteren geldt niet lleen voor gehele getllen, mr ook voor breuken, negtieve getllen en ls je de optelling vervngt door een ftrekking. Deze lgemene eigenschp vn getllen heet ook wel de distributieve eigenschp. Je kunt op llerlei mnieren vriëren op de distributieve eigenschp, bijvoorbeeld: ( s 5t) = s.5t = s -5t -( x ) = -x ( b) = -6² + b Uiterrd kun je er nog meer fltgebouwen nstzetten, zodt ook geldt: -z ( x + y z ) = -xz yz + z² ) Opgve Ps de distributieve eigenschp toe bij het herleiden vn de volgende vormen.. 8x( x y ) b. -x( 5x ) c. ( x + 50 ) d. -xy( x y ) De distributieve eigenschp kn soms ook gebruikt worden om formules te vereenvoudigen. Op grond vn de distributieve eigenschp is bijvoorbeeld voor elk getl g de uitkomst vn 5 g g gelijk n de uitkomst vn g ( 5 ) ofwel de uitkomst vn 7 g. Let op: Hier worden weer mltekens weggelten. 7 g betekent: 7 ml g. ) Opgve Lt zien dt ( - x² ) x ( x ) gelijk is n x. 5) Opgve Ps de distributieve eigenschp toe bij het herleiden vn de volgende vormen. Vereenvoudig je ntwoord zoveel mogelijk.

13 x( x ) 6( x² - x ) - ( + x ) x ( x ) x( x y + z ) + 6y ( 6x + y + z ) z ( x + y z) - ( x y) + ( x + y ) ( x y ) De distributieve eigenschp is ook te gebruiken bij hoofdrekenen. Bijvoorbeeld: Bereken * 65. Uitwerking: 0*65=650, drbij moet nog *65=0, dus *65=780. 6) Opgve Bereken uit het hoofd:. *50 b. * 5 c. 9*5 d. 98*5. Uitbreiding vn de distributieve eigenschp. Eindtermen 0_ en 0_ We kijken nog een keer nr het voorbeeld vn het fltgebouw vn v verdiepingen hoog en per verdieping + b woningen nst elkr: Veronderstel dt er nog eens w verdiepingen bij komen: Je kunt nu het totl ntl woningen op twee mnier berekenen: Totle "hoogte" keer totle "breedte": ( w + v ) * ( + b ) "hoogte" keer "breedte" per vk: w + wb + v + vb De uitkomsten vn die beide vormen moeten hetzelfde zijn, dus: ( w + v )( + b ) = w + wb + v + vb

14 Dit is een uitbreiding vn de distributieve eigenschp. De distributieve eigenschp is nog verder uit te breiden. Zo geldt bijvoorbeeld: ( w + v ) ( + b + c ) = w + wb + wc + v + vb + vc 7) Opgve Mk in een tekening duidelijk wrom deze ltste uitdrukking vn de distributieve eigenschp klopt. Ook op de uitbreiding vn de distributieve eigenschp kun je vriëren, bijvoorbeeld: ( + )(b + ) = b + + b + 6 ( )(b ) = b b + 6. Let voorl op de + voor de 6. ( )( + 5) = ² = ² ) Opgve Ps de distributieve eigenschp toe bij de herleiding vn de volgende vormen: ( )(b + 6) ( )(b 6) ( + 6)(b 5) ( + x)(b y) 9) Opgve Doe hetzelfde met: ( )( + ) (x 5)(x ) (x + )(x 6) (x + )(x+0) 0) Opgve Doe hetzelfde met: (x )(x ) (x + 5)(x ) (x² - 5)(y + ) (x )(x + ) Het is ook mogelijk een product met drie fctoren te herleiden. Een voorbeeld: (x-)(x-)(x-). Vergelijk dit eens met het product vn drie getllen. ) Opgve Bereken *8*5 op drie verschillende mnieren en constteer dt je er steeds 0 uit krijgt Bij het vermenigvuldigen vn drie getllen zie je dt de volgorde wrin je de fctoren met elkr vermenigvuldigt geen invloed heeft op de uitkomst. Dt is dus ook zo met (x-)(x-)(x-). Met ndere woorden je kunt bijvoorbeeld eerst (x-)(x-) uitrekenen en dn vervolgens x- vermenigvuldigen met de uitkomst ervn. ) Opgve

15 Herleid (x-)(x-). ) Opgve Lt zien door de distributieve eigenschp toe te pssen dt : (x-)(x-)(x-) = (x-)(x² - 7x + ) = x³ - 9x² + 6x -. ) Opgve Lt zien dt je hetzelfde ntwoord krijgt wnneer je een ndere volgorde vn vermenigvuldiging kiest, dus bijvoorbeeld eerst (x-)(x-) en dn vermenigvuldigen met x-. 5) Opgve Herleid op dezelfde mnier: (x+)(x-)(x+5) (x-)(x+)(x-) (+5)(-6)(+) (-)(+)(-5) 6) Opgve Lt zien dt: (+b)² = ² + b + b² (-b)² = ² - b + b² (+b)(-b) = ² - b² De producten in deze opgve heten merkwrdige producten. Ze komen vk voor in de nlyse in diverse gedntes. Voorbeelden: (x + y)² = (x)² +.x.y + (y)² = x² + xy + 9y² (x y)² = 9x² - xy + y² (x 5)(x + 5) = 6x² - 5 7) Opgve Bestudeer de voorbeelden goed en g n dt ze inderdd bijzondere gevllen zijn vn de merkwrdige producten uit de vorige opgve. 8) Opgve Werk de hkjes weg en schrijf meteen, zonder tussenstppen, het ntwoord op. ( + 5x)² (5x y)(5x + y) (x 6)² (5 )(5 + ) (² + )² (² - )( ² +) ((-)(+))² (b )² (b + )(b ) ( - b)( + b) (p 0q)² (-x + )² (-b )² 5

16 9) Opgve Bereken uit het hoofd: (-)(+) (78-8)(78 + 8) 99² 5². Het ontbinden vn tweetermen. Eindtermen 0_ Tot nu toe hebben we de distributieve eigenschp voorl gebruikt om een uitdrukking ls p ( b ) werken tot p p b. Je kunt ook het omgekeerde doen. Dus voor p + pb schrijven p( + b ). We zeggen in dit gevl ook wel dt we de uitdrukking p p b hebben ontbonden in fctoren. om te 50) Opgve Ontbind de volgende vormen in fctoren. px + py b. x y c. x y d. + x Je kunt ook een getl ontbinden in fctoren. De bedoeling is dn dt je dt getl schrijft ls een product vn zoveel mogelijk getllen. Die getllen heten de fctoren vn de ontbinding. Voorbeeld: Ontbind 70 in fctoren. Oplossing 70 = *5*7. Fout zou zijn : 70 = *5 of 70 = 0*7 of 70 = *5. Weliswr zijn dit ontbindingen, mr niet in zoveel mogelijk fctoren. Nog een voorbeeld: Ontbind in fctoren. Antwoord: = * * * = ³ * 5) Opgve Ontbind de volgende getllen in fctoren:. 56 b. c. 6 d. 98 Een kls kreeg de opdrcht om xy + 8x te ontbinden in fctoren. De docent kreeg verschillende soorten ntwoorden. Soort : xy + 8x = x ( y + 8 ) Soort : xy + 8x = ( xy + x ) Soort : xy + 8x = ( xy + x ) Soort : xy + 8x = x ( y + ) Bij elk vn deze uitdrukkingen is het linkerlid gelijk n het rechterlid. Zo bezien, zou je ze lleml goed kunnen rekenen. Toch geven we de voorkeur n een ontbinding wrbij zoveel mogelijk fctoren buiten de hkjes gehld worden. 5) Opgve Hoe ziet die ontbinding er uit? 6

17 Als je deze opdrcht goed hebt gedn dn heb je gentwoord: xy + 8x = x ( y + ) 5) Opgve Ontbind in fctoren. 8 x - 8 xy - xy + 8 y² ²bc + b²c + bc² bc + 9bc 6 x²y 5 xy ² -8pq 6 p 5) Opgve Bedenk zelf nog een viertl ontbindbre tweetermen en wissel die uit met je buur(mn/vrouw). Het ontbinden vn drietermen. Eindterm 0_ De distributieve eigenschp heb je ook gebruikt om vormen ls (+b)(p+q) te herleiden. De uitkomst p + q + bp + bq is uiterrd weer te ontbinden in (+b)(p+q). Om die weg terug te bewndelen is het zk om het volgende pltje goed te bekijken: b p p bp q q bq 55) Opgve Hoe kun je n de hnd vn dit pltje bewijzen dt p + q + bp + bq gelijk is n (+b)(p+q)? 56) Opgve Mk een soortgelijk pltje om n te tonen dt b + + b + 6 gelijk is n ( + )(b + ). 57) Opgve Ontbind in fctoren: b + b xy +7x 5y 5 b 7 b + 58) Opgve Sommige vn de onderstnde vormen zijn te ontbinden. Welke zijn dt en wr kun je dt snel n zien? b + 6b 5 0 b + 6b 8 b 6b + + 7

18 b 6b + 59) Opgve Bedenk zelf een vijftl viertermen die je kunt ontbinden. x² + 5x x 0 is te ontbinden, omdt 5.- gelijk is n -0. En dus is x² + 5x x 0 gelijk n (x+5)(x-). Ofwel (x+5)(x-) is een ontbinding vn x² + x 0. Hoe zit dt met bijvoorbeeld x² + 6x 6? Kun je die vorm ook ontbinden? J, wnt je kunt 6x schrijven ls 8x x. en dus is x² + 6x 6 te schrijven ls x² + 8x - x 6. Omdt 8.- gelijk is n -6 is deze vorm te ontbinden en wel in (x+8)(x-). Kortom: x² + 6x 6 = (x+8)(x-). In het kort gezegd komt de procedure bij het ontbinden vn drietermen vn de vorm x² + x + b neer op het zoeken vn twee getllen die opgeteld en vermenigvuldigd b zijn. 60) Opgve Ontbind in fctoren: x² - 0x + 6 x² + x + x² - 9x 6 x² + x 60 x² - x + 0 x² + 8x 8 x²- x 6) Opgve Bedenk zelf een vijftl drietermen die je kunt ontbinden..5 Ontbinden met behulp vn merkwrdige producten. Eindterm 0_ Bij het ontbinden vn drietermen in een merkwrdig product mkt je ook gebruik vn de hierboven toegepste npk. Voorbeeld: Ontbind x² + 8x + 6. Je zoekt twee getllen die vermenigvuldigd 6 en opgeteld 8 zijn. 6) Opgve Wrom is (x+)² een ontbinding vn x² + 8x + 6? 6) Opgve Ontbind in fctoren: 8

19 x² - 0x + 00 x² - x + 6 x² + 0x + 5 x² - 00 x² - Die ltste twee voorbeelden vn de vorige opgve kunnen worden ontbonden in de vorm (x-)(x+). Ook de volgende voorbeelden zijn vn een dergelijke vorm. 6) Opgve Ontbind in fctoren: x² - 8 9x² - 6 5x² - 6 6x² Ontbinden in meer dn fctoren. Eindterm 0_ Tot slot nog een ntl ingewikkelder voorbeelden. Kijk eerst nog een hoe je getllen ontbindt in fctoren. Bijvoorbeeld 00 Is het getl deelbr door? Zo j, wt is de uitkomst? Zo nee, is het getl deelbr door? Zo j, wt is de uitkomst? Zo nee, is het getl deelbr door 5? Zo j, wt is de uitkomst? Zo nee, is het getl deelbr door 7? Zo j, wt is de uitkomst? 65) Opgve Het lijkt erop dt in het rijtje vrgen een pr is overgeslgen. Moet je niet een onderzoek doen nr de deelbrheid door en door 6? 66) Opgve Wt zl de volgende vrg in het rijtje zijn? Nu de ontbinding vn 00. Het getl is deelbr door. Uitkomst: is ook deelbr door. Uitkomst: is deelbr door. Uitkomst 67. En 67 is een priemgetl, dt wil zeggen dt getl kun je lleen mr door en zichzelf delen. Dus: 00=²

20 67) Opgve Ontbind in fctoren: Bij het ontbinden vn lgebrïsche veeltermen g je op soortgelijke wijze n het werk. Ook nu gt erom de vorm in zoveel mogelijk fctoren te ontbinden. Voorbeeld: Ontbind -x³ + 6x² + 8x Anpk: De vorm is deelbr door - en door x. Dus -x³ + 6x² + 8x = -x(x² - x - ) = -x(x-)(x+) Nog een voorbeeld: Ontbind x x². Anpk: De vorm is deelbr door en door x². Dus x x² = x²(x² - ) = x²(x-)(x+) 68) Opgve Ontbind in fctoren. xy² - 75x b. ² + +6 c. x² - 6y² d. -³ - ² + 0 e. -5x³ + 5x² + 70x f. ²b +b²+b³ g. +² ) Opgve Bedenk nu zelf minstens vijf voorbeelden vn twee- of drietermen die in minstens fctoren ontbonden kunnen worden. 0

21 . Hoofdstuk Bewerkingen met breuken Eindterm..0. Gelijknmig mken vn breuken en optellen vn breuken. Eindterm 0_ 70) Opgve Hoe kun je een leerling in de brugkls uitleggen dt 5 gelijk is n 5 9? Is er ook een mnier om dt met behulp vn een tekening uit te leggen? Breuken met verschillende noemers kun je gelijknmig mken, dt wil zeggen dt je de breuken met dezelfde noemer schrijft. 7) Opgve Mk gelijknmig, mk de noemer vn je ntwoord zo klein mogelijk: en 5 5 en en 8 en 6 5 Opmerking: de noemer in je ntwoord, noemen we het kleinste gemeenschppelijke veelvoud (KGV) vn de noemers vn de fzonderlijke breuken. Zo hebben bijvoorbeeld en 8 ls KGV 7) Opgve Mk gelijknmig, mk de noemer vn je ntwoord weer zo klein mogelijk: en b 5 6 en x xy 5 en x b en bd de en b cd

22 x (x y) en y (x y)(w z) 7) Opgve Leg uit op brugklsniveu: + = = 7 7) Opgve Bereken en vereenvoudig zo mogelijk je ntwoord: ) Opgve Bereken en vereenvoudig zo mogelijk je ntwoord: + b b c 5 r p + 7q qr + + b b 6b b + ( b) b. Vereenvoudigen vn breuken. Eindterm 0_ Als je een breuk vereenvoudigt, deel je teller en noemer door dezelfde fctor. Als je niet direct door de grootste gemeenschppelijke fctor hebt gedeeld, herhl je dit nog een keer. Zo g je door, totdt er geen verdere vereenvoudiging meer mogelijk is.

23 Voorbeeld: We hebben 68 en 80 chtereenvolgens door, nogmls door en door gedeeld. We hdden beide dus ook direct door **= kunnen delen. We noemen de GGD (grootste gemeenschppelijke deler) vn 68 en ) Opgve Vereenvoudig ) Opgve Vereenvoudig b x y 0xy 6x x p p 7 0 q q y y ( b) 5( b) ( b) ( b) b b 6x 9xy x. Vermenigvuldigingen en delingen met breuken. Eindterm 0_ * =? De vrg die hier gesteld wordt, is Wt is de helft vn? 5 5

24 Omdt 5 gelijk is n 0 6, is het ntwoord De helft vn 5 is 0 Dus * 5 = * 0 6 = 0 78) Opgve 5 5 Verklr wrom * = Verklr nu ook * =. Bedenk dt = * 9 7 c c Kun je nu ook verklren * =? b d bd In de vorige opgve heb je een verklring gegeven voor de lgemene regel voor vermenigvuldigen vn breuken: c c * = ( teller * teller en noemer * noemer ) b d bd Als we breuken vermenigvuldigen, kunnen we vk de opgve vereenvoudigen door schuin weg te strepen. 0 8 Voorbeeld * = * = ) Opgve Leg uit hoe de berekening in het voorbeeld is verlopen en verklr wrom dt zo mg. 80) Opgve Bereken, vereenvoudig zo mogelijk je ntwoord: * * 6 5 * 6 * 8 9 8) Opgve Bereken, vereenvoudig zo mogelijk je ntwoord: * b b c b * bd cd xyz m x * mn n y

25 ( c) b * ( c) b Een bekende regel is Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde vn die breuk Een voorbeeld: : = * = = 5 6 Om dit te kunnen verklren, moet je je goed reliseren wt delen betekent. We beginnen met een eenvoudig voorbeeld. Wrom is 5 : 5 = 7? Omdt 7 * 5 = 5 zl ongetwijfeld je ntwoord zijn. Je kunt ook zeggen: 5 : 5 = 7 omdt 5 zeven ml in 5 pst. Nu een eenvoudig voorbeeld met een breuk: : =? De vrg is hoeveel keer een derde in een hele pst, dt gt drie keer. Dus : = 8) Opgve Verklr wrom : 7 = 7 0 : 7 = 70 : = : = 0 In d ben je een stpje verder gegn. Het deeltl is nu ook een breuk. Dr kijken we nog wt beter nr. : = wnt in één hele pssen drie derden. Nu : =? We hebben gezien: in één hele pssen drie derden. In één hlve pssen dus derden. Dus : = * = = Nu delingen wrin de deler (het tweede getl) geen stmbreuk is (een stmbreuk is een breuk met teller ): Voorbeeld: : We weten l : =. 5

26 In : delen we door een drie ml zo groot getl, het ntwoord wordt dus drie ml zo klein. Dus : = = Nog een voorbeeld: 5 : en 5 : We weten : = * = 5 : 0 is vijf ml zo groot, dus 5 : = 5 * = = 6 : is ml zo groot, dus : = * = ) Opgve Bereken en verklr : 5 : 5 : 5 : 5 : 5 8) Opgve Bereken: : 5 6 : 7 : : 6 85) Opgve b d : cd bc 6x y : 5z xz 0yz 6

27 b c x m n : 5 5mp 5xy : x mn np 7

28 Hoofdstuk Bewerkingen met mchten Eindterm..0. Vermenigvuldigen ls herhld optellen Als je heel vk dezelfde getllen bij elkr moet optellen, is dt veel schrijfwerk: + = + + = = = enz. Zo is men op het idee gekomen, dt f te korten tot: x = x = x = 5 x = enz. En het bijzonder werd fgesproken, dt: " x = " Definitie Vermenigvuldigen met een ntuurlijk getl is herhld optellen. In formule: Voor n en n geldt: n..... n keer en bovendien: x=; 0x=0; -x=x-=0. Opmerking Het is nodig om prt f te spreken, dt, wnt nu is er geen sprke vn "herhld optellen", er wordt überhupt niet opgeteld!. Mchtsverheffen ls herhld vermenigvuldigen. Eindterm 0_ Geheel nloog n de vorige gn we nu de herhlde vermenigvuldiging "fkorten": x = x x = x x x = x x x x = enz. Nottie: = 8

29 = = 5 = enz. En prt spreken we weer f, dt: = Algemeen: Definitie Mchtsverheffen tot een ntuurlijk getl is herhld vermenigvuldigen. In formule: Voor n en n geldt: en bovendien: n..... n keer Opmerking Anloog n herhld optellen is het nodig, om vermenigvuldigen". prt f te spreken, wnt nu is er geen sprke vn "herhld Definitie n Een getl vn de vorm heet de n - de mcht vn. Hierbij heet het grondtl en n de exponent. De woorden "mcht" en "grondtl" spreken voor zichzelf: Als geldt: hoe groter n, hoe groter ("mchtiger") het resultt. Opmerking Twee mchten komen in het dgelijks leven zóveel voor, dt ze een prte nm gekregen hebben. Het zijn de tweede mcht en de derde mcht, die smenhngen met oppervlkte - resp. inhoudsberekeningen: Definitie Kwdrteren is tot de tweede mcht verheffen. Met bereken je dn de oppervlkte vn een vierknt met zijde. Definitie Kuberen is tot de derde mcht verheffen. Met bereken je dn de inhoud vn een kubus met zijde. 86) Opgve Reken de volgende sommen eerst zonder en drn met je zkrekenmchine of mple uit: 5 ( ) ( 5) 7 5 x ( ) x x( ) 9

30 . Eigenschppen vn mchten met positieve, gehele exponenten. Eindterm 0_ We leiden enkele rekenregels f, uitsluitend voor het gevl dt zowel in de begin - ls in de eindsitutie lleen mr gehele exponenten voorkomen. (Negtieve en gebroken exponenten bekijken we in één vn de volgende prgrfen) Het vermenigvuldigen vn mchten: ( ) ( ) 5 Algemeen: Stelling Bij vermenigvuldigen vn mchten vn hetzelfde grondtl, moet je de exponenten optellen. In formule: p q pq Bewijs: p q (... ) (... ) p keer q keer p q keer pq 87) Opgve Bij welke sommen uit de vorige opgve hd je hiervn gebruik kunnen mken? Als in een wiskundige expressie meer verschillende bewerkingen voorkomen, gelden de volgende zogenmde voorrngsregels. Voorrngsregels bij bewerkingen Berekeningen tussen hkjes moeten eerst worden uitgevoerd. Vermenigvuldigen en delen hebben geen voorrng op elkr. Optellen en ftrekken hebben geen voorrng op elkr. Vermenigvuldigen en delen gn voor optellen en ftrekken. Mchtsverheffen gt voor vermenigvuldigen, delen, optellen en ftrekken. Als er geen voorrng is dn rekent men in de volgorde vn links nr rechts. 88) Opgve Bereken eerst zonder rekenmchine en controleer drn met je rekenmchine of met Mple: ) * b) c) + 0* 5 d) ( ) e) 5 ( ) f) * g) * h) 0 5 i) 0 j) ( ) k) ( ) 5 89) Opgve Welke vn de volgende beweringen zijn wr? 0

31 ) 5 * 5 = 5 6 b) 5 * c) 8 d) 5 e) 5 7 f) * 5 = 0 g) 6 h) * = 6 i) ( ) 6 k) werk de hkjes weg: ( b )( b ) 0 0 Controle vn een bewering. Als je wilt controleren of een bewering wrin vribelen voorkomen wr is, zijn er twee mogelijkheden: beredeneren; een 'proef op de som' nemen door een wrde in te vullen voor de vribele(n). Is bijvoorbeeld de volgende bewering wr voor elk getl? * = 5 Uitwerking: Door beredeneren: * betekent (*)*(**) en dit is gelijk n 5. De bewering is dus wr. Door een wrde in te vullen: Neem =, dn geldt * = * =9*7= en 5 5 =. Dit klopt. Invullen geeft niet ltijd zekerheid. Bijvoorbeeld: We willen controleren of * wr is voor elke wrde vn. We vullen in = en het klopt. Dit wil echter niet zeggen dt de bewering wr is. Immers ls je invult =, dn is 9 en * 6. Toch kn proberen wel wt opleveren. Als je slechts één getl vindt wrvoor de bewering niet klopt weet je zeker dt de bewering niet wr is. 90) Opgve G n welke vn de volgende beweringen wr zijn voor elke wrde vn p ) p p p 7 b) p p p c) p d) p 9 p p e) p p p f) p p p g) p p p 5 p p. Het delen vn mchten. Eindterm 0_ 5 Algemeen: Stelling

32 Bij delen vn mchten vn hetzelfde grondtl, moet je de exponenten ftrekken. In formule: p pq q Bewijs: p q P keer q keer... pq keer pq 9) Opgve. Werk in tweetllen en bedenk voor elkr vijf sommen wrbij je deze formule kn gebruiken. Controleer elkr. b. Om te onderzoeken of iemnd niet te zwr of te licht is heeft met de volgende formule bedcht : deel het gewicht vn de persoon (in kg) door zijn lengte in het kwdrt (in m). Als de uitkomst tussen 0 en 5 zit is hij niet te zwr of te licht; noem dit het vetgehlte. - Noem de lenge l,het gewicht w en het vetgehlte v x0, iemnd is.80 m en 90 kg zwr. Je medestudent schrijft op: 50x 55 ; Wt,8 x0,9 0,9 9 9 vind je vn deze berekening? - hoe zou je de formule kunnen herleiden ls het gewicht 50 ml de lengte is? Reken v hierboven nu uit met je formule..5 De mcht vn een mcht. Eindterm 0_ Algemeen: Stelling Bij de mcht vn een mcht moet je de exponenten vermenigvuldigen. In formule: Bewijs: p q pq p q pq (.. ) (.. )..... (.. ) p keer p keer q keer p keer pq keer.6 De mcht vn een product. Eindterm 0_ ( b) ( b)( b)( b) ( )( bbb) b

33 Algemeen: Stelling De mcht vn een product is het product vn de mchten. In formule: p p p ( b) b Bewijs: ( b) p ( b)( b)..... ( b) p keer (..... ) ( bb..... b) p keer p keer p b p 9) Opgve. Een leerling moet " ( ) " uitrekenen en krijgt druit. Hoe help je deze leerling zonder voor te zeggen? Bedenk een hint.. Welke eigenschp gebruik je ls je de stp mkt: (b)(b)(b) = ()(bbb)?.7 De mcht vn een quotiënt. Eindterm 0_ Stelling De mcht vn een quotiënt is het quotiënt vn de mchten. In formule: b p b p p 9) Opgve Bewijs dt zelf. 9) Opgve Schrijf zonder hkjes: () ( x y z) ( ) ( ) y Bereken voor x=, y=-, z=

34 : (5x xy 7 z ) 7 ( y ) ( yz ) Een student schijft: 6 :, wnt :, Wt vind je hiervn?.8 Vervolg worteltrekken In prgrf. zgen we: bestt lleen ls positief of nul is en is het positieve getl wrvn het kwdrt gelijk is n. Positief of nul kun je vervngen door niet negtief Je krijgt dn de volgende definitie: De wortel uit een niet-negtief getl is het niet-negtieve getl, dt je in het kwdrt moet verheffen om het oorspronkelijke getl terug te krijgen. Nottie voor de wortel uit A: A De definitie zegt dt je iets moet doen. Je krijgt dn de "definitie-formule": A A Hierbij zijn dus zowel A 0 ls A 0. Opmerking In bovenstnde definitie stt twee keer "niet-negtief". De eerste keer is een wiskundige noodzk: uit een negtief getl kn je geen wortel trekken. Geen enkel getl levert nl., in het kwdrt verheven, een negtief getl op. De tweede keer is een fsprk. De wortel uit 6 zou best of - kunnen zijn. Je zou dn echter nooit over "de" wortel uit 6 kunnen prten, mr slechts over "een" wortel. Dt is ntuurlijk nogl onhndig, en drom wordt interntionl fgesproken om vn de twee mogelijkheden ltijd de niet-negtieve te kiezen. Opmerking b b c Die "niet-negtiviteit" vind je ook terug in de bekende "bc - formule": x, Wnneer de wortel zelf l positief of negtief zou kunnen zijn, ws het - teken overbodig!

35 95) Opgve Wrom stt er in de definitie steeds "niet-negtief" in plts vn gewoon "positief"? Stelling A A 96) Opgve Lt zien, dt dit een rechtstreeks gevolg vn de definitie vn de wortel is. 97) Opgve Bereken:. 5 ( ) 6 b. 6. b 6 8 c. 6 0,6 5 9 d x e. Bereken: 96, 9 6, 9 6 en 6 9 f. Bedenk in tweetllen een pr mooie opgven voor elkr. g. Een medestudent zegt: x x. Klopt dt? Licht je ntwoord toe. De volgende twee stellingen worden veel gebruikt om wortels uit de noemer vn een breuk te verdrijven: Stelling A A A voor elke niet negtieve wrde vn A Bewijs: A A A A A A A A 98) Opgve Verdrijf de wortel uit de noemer bij: ). b)

36 6 c). Een leerling schrijft op: Hoe komt deze leerling n het ntwoord denk je? Hoe help je? Eerder zijn de merkwrdige producten behndeld. In de volgende stellingen zullen deze producten worden toegepst bij het mnipuleren met breuken. Stelling (worteltruc) B A B A B A en B A B A B A Bewijs: B A B A B A B A B A B A B A B A B A ) )( ( 99) Opgve Bewijs nu zelf het gevl B A B A B A Een bijzonder gevl vn bovenstnde stelling krijgen we, ls er twee wortels in de noemer stn: Stelling (worteltruc) B A B A B A en B A B A B A 00) Opgve Bewijs dt zelf. 0) Opgve Verdrijf de wortels uit de noemer bij: ). 7 b). 5 7 c). 5 7 d) Bedenk een pr mooie opgven voor je medestudent.

37 .9 Hogere mchts wortels en hun eigenschppen Het omgekeerde vn optellen is ftrekken. Bijvoorbeeld: 00+0=0 en dus 0-0=00. Het omgekeerde vn vermenigvuldigen is delen. Bijvoorbeeld: 6*5=90 en dus 90/5=6. Het omgekeerde vn mchtsverheffen is worteltrekken. Bijvoorbeeld: 5 =5 en dus 5 = 5. In 5 is de exponent. We spreken ook wel vn 5 kwdrt. De omkering hiervn is de tweedemchtswortel. Omdt die het meest voorkomt spreekt men in plts vn over "tweedemchts wortel" kortweg over "wortel". Nog een voorbeeld: 7 9 en dus 9 7. In woorden: 7 tot de mcht is gelijk n 9 en dus is de tweedemchtswortel vn 9 gelijk n 7. Je kunt dit ook zo zeggen: 7 kwdrt is 9 en dus is de wortel vn 9 gelijk n 7. Anloog n de wortel definiëren we nu de n -de mchts wortel: Definitie Voor n en n spreken we f: Als n even is: De n -de mchts wortel uit een niet-negtief getl is het niet-negtieve getl dt je tot de n -de mcht moet verheffen om het oorspronkelijke getl weer terug te krijgen. Als n oneven is krijgen we eenvoudig: De n -de mchts wortel uit een getl is het getl dt je tot de n -de mcht moet verheffen om het oorspronkelijke getl weer terug te krijgen. Nottie: n A De definitie zegt dt je iets moet doen. Je krijgt dn de "definitie-formule": n A n A 0) Opgve Leg duidelijk uit, wrom er onderscheid gemkt wordt tussen: n even n oneven Opmerking Eigenlijk heet de "gewone" wortel dus "tweedemchts wortel". Deze zou dus met genoteerd moeten worden. Hij komt echter zó vk voor, dt we die "" in de prktijk ltijd weglten en domweg schrijven. 0) Opgve Wt is de betekenis vn n A ls n =? 0) Opgve 7

38 Wrom stt in de definitie vn n A niet domweg n? Stelling De n -de mchts wortel uit een product is het product vn de n -de mchts wortels. In formule: n n n AB A B Bewijs: Verhef links en rechts tot de n -de mcht. n n n AB? A B () n? n n n AB A B n () De linkerknt is nu trivil (gebruik de definitieformule). n n AB? A B n () Voor de rechterknt gebruiken we een stelling uit.. n n n A B n AB? () Nu is ook de rechterknt trivil (m.b.v. de definitieformule). AB? AB (5) En nu is het ntwoord uiterrd bevestigend. Angezien de vrgen () t/m (5) equivlent zijn, is dus ook het ntwoord op de eerste vrg bevestigend, en drmee is de stelling bewezen. 05) Opgve Welke stelling uit. wordt bij de stp vn () nr () gebruikt? Anloog geldt: Stelling De n -de mchts wortel uit een quotiënt is het quotiënt vn de n -de mchts wortels. In formule: n A A n n B B 06) Opgve Bewijs dt zelf. 07) Opgve Lt door middel vn een tegenvoorbeeld zien, dt niet geldt: De n -de mchts wortel uit een som (of verschil) is de som (of het verschil) vn de n -de mchts wortels. 08) Opgve Bereken: 8

39 7x. 9 7 : 8 x p x p 5 b x d. Bedenk een pr mooie sommen voor elkr. c. ( ( ( x) d r 8 ) 5r 6 ).0 Mchten met negtieve en/of gebroken exponent n In het voorgnde hebben we de betekenis vn leren kennen voor Die betekenis ws: herhlde vermenigvuldiging. n en n. Ook hebben we een ntl rekenregels fgeleid. In de komende zullen we het mchtsbegrip uitbreiden op een zódnige mnier, dt de rekenregeltjes ook geldig blijven voor het gegenerliseerde mchtsbegrip. Bekijk eens het voorbeeld: We weten: Volgens het rekenregeltje: "Bij delen vn mchten met hetzelfde grondtl moet je de exponenten ftrekken" zouden we krijgen: 0 We definiëren drom: Definitie: 0 voor iedere R (mits 0 ) Nu we dit hebben, kunnen we ook negtieve exponenten definiëren: Bekijk eens de vorm: Volgens de definitie vn n 0 en het bovengenoemde rekenregeltje zouden we krijgen: n 0 n 0n n We definiëren drom: 9

40 Definitie n n voor iedere R en n (mits 0 ) Opmerking Hiermee is nu de betekenis vn n vstgelegd voor iedere n Z. 09) Opgve 8 ( 7) 6 b. 5 0 ( x y) ( ) ( p) 0 Vervolgens proberen we ook de n - de mchts wortel uit ls mcht te schrijven: n?? Verhef tot de n - de mcht: n n?? n De linkerknt is trivil (definitieformule)?? n We eerder gedefinieerd: Dus:?? n Volgens het rekenregeltje: "Bij de mcht vn een mcht moet je de exponenten vermenigvuldigen" zouden we krijgen: Conclusie: We definiëren drom:?? n?? n Definitie n n voor elke R en n \ {0} 0

41 0) Opgve n In de definitie vn stt: voor iedere R en n (mits 0 ) n In de definitie vn stt echter: voor elke R en n \ {0} ) Opgve m n Geef nu zelf een zinvolle betekenis n: (Twee mnieren!) Opmerking Hiermee is de betekenis vn n vstgelegd voor iedere n Q (mits R ) Een probleem is nu nog, wt de betekenis zou moeten zijn vn iets ls. Je rekenmchine heeft dr geen problemen mee, wnt die kent lleen mr rtionle getllen..56 Intern wordt fgerond tot.56, en de betekenis vn kennen we ondertussen. ) Opgve Bereken en controleer de ntwoorden met je ZRM of Mple: ) 7 b) 8 c) 8 d) Vereenvoudig zo veel mogelijk: ( ( ) ) 8 6 ( ( 5 ) ) ( ( ) 8 ) 6 ( x y ) ( p q)( p q) (6 y ) Tot nu toe hebben we lleen wortels bekeken wrvn de uitkomst een geheel getl is. Vk hebben wortels geen gehele uitkomst. Je kunt dn de wrde vn de wortel schtten. Bijvoorbeeld: Hoe groot is ongeveer 7 ofwel 7? Schtting: 5 5 en 6 6. Dus 7 ligt tussen 5 en 6. Nog een voorbeeld: Hoe groot is ongeveer 90? Schtting: 6 en 5 5. Dus 90 ligt tussen en 5. ) Opgve Tussen welke twee opeenvolgende gehele getllen ligt elk vn de volgende wortels?

42 ) 80 b) 0 c) 000 d) In het voorgnde hebben we gezien dt wortels zijn op te vtten ls mchten met gebroken exponenten. De voorrngsregels zijn uit te breiden met regels voor worteltrekken. We krijgen dn: Berekeningen tussen hkjes moeten eerst worden uitgevoerd. Vermenigvuldigen en delen hebben geen voorrng op elkr. Optellen en ftrekken hebben geen voorrng op elkr. Vermenigvuldigen en delen gn voor optellen en ftrekken. Mchtsverheffen gt voor vermenigvuldigen, delen, optellen en ftrekken. Mchtsverheffen en worteltrekken hebben geen voorrng op elkr. Worteltrekken gt voor vermenigvuldigen, delen, optellen en ftrekken. Als er geen voorrng is dn rekent men in de volgorde vn links nr rechts.

43 Bsisvrdigheden Algebr Uitwerkingen Hoofdstuk Rekenen met letters.. Formules ) Oppervlkte = l b 6 ) De oppervlkte vn een rechthoek is fhnkelijk vn de lengt en de breedte vn de rechthoek. Je kn een willekeurige l en b nemen drmee kn je de oppervlktes vn uitrekenen. ) O b O b b O l b De lengte ws ml zo groot ls de breedte, dus ) Omtrek = l b Omtrek = l l b b b l b 5) b l b b b Omtrek b b bb 8b 6)

44 b Omtrek l b Omtrek l b l Omtrek b b l l Omtrk 7) b b ) ( b bp e Oppervlkt b b p e Oppervlkt b l e Oppervlkt b p l b omtrek l p Omtrek 8) p p p p b bp O b b b b b b l O OF l =,5 b Oppervlkte = = l b Omtrek =? = l b =,5b b =,5b b =,5 b =,5 b = 6 9 b = 6 9 b = 8

45 omtrek = l + b =,5b + b = 9b + b = b = 8 = 88 = 9 9) O = l. b en l = 0 Omtrek = l + b Omtrek = O l + b = l. b 0 + b = 0b 0 = 8b b 0) l l l l= lengte vn de zijde l Omtrek O Omtrek Omtrek l l Omtrek l Omtrek l l l l l ) O =5 en p= Omtrek = O bp b 5 b b 5 6 b b b 6 b 5 b 6 b 5 b 6 b 5 0 ( D B A C) D 6 5 D 7 0 D 5

46 b = = = l= p b ls b= ls b = dn l=.. Mchten en b = = = dn l= ) 00. 0,95 6 = 5,9 en dt is 5,0 ) 0,95 6 0,7 en niet 0,7 ),05,6 is wel,6 5) =... =8 =.. =8 0 6 = = = =5 6) ) x = x(xx)= x8 = b) +5 =(xx) + (xxxx) = 8 + = 0 c) +0x = +0x(xx) = +0x8 = +80= 8 d) (+) = 5 = 5x5x5x5 = 65 e) 5 ( + ) = 5x5(x+xx) = 5(9+8) = 5x7 = 5 f) = = = 00 g) ( ) = (xx) = (8) = 8x8= 6 h) ( ) = (xx) = (7) = 7x7= 79 7) ) 5 x5 = (5x5)x(5x5x5) = 5 5 ( niet wr) b) 5 x5 = (5x5)x(5x5x5) = 5 5 (wr) c) = = 8 (wr) d) = = 8 (niet wr) e) + 5 = 7 (xx) + (5x5x5) = 8+5 = en 7x7x7 = (niet wr) f) + 5 = 0 (xx) (5x5x5) = 8 5 =000 en 0x0x0= 000 (wr) g) + = 6 (x) + (xxx) = +6 = 0 en xxxxx = 6 (niet wr) h) x = 6 (x) x (xxx) = 6 (wr) i) ( ) = 6 ( ) = (x) = = xx = 6 en xxxxx = 6 (wr) 8) ) 5 6

47 b) 8 9 b 9 c 5 c) 6 d) (9 6 )x( ) = e) = - f) = g) = h) ( )x( ) = 8 i) + = 5 j) -. Worteltrekken 9) 0) 7 en 8 ) 7,8 ) = Stel =9 en b=6, invullen geeft + = 7 5 dus ) ls =0 en/of b=0 dn klopt de uitsprk. =9 en b=6, invullen geeft + = 7 5 dus de uitsprk klopt niet. ) = Stel =9 en b=6, invullen geeft 5) = Stel =6 en b=9, invullen geeft - = 6) = = dt klopt + = 7 dus dus 7) = = = 8) = = = b 9),89898,89898 b 7

48 0) ) b) c) d) e) f) g). Delen door nul kn niet ) = 00 p = dus p = 0,05 Bij p= 0,05 is de breuk precies gelijk n 00 Bij p< 0,05 is de breuk groter dn 00 Bij = p = dus p = 0, is precies gelijk n Hoofdstuk Toepssen vn de distributieve eigenschp Eindterm..0. De distributieve eigenschp. Eindtermen 0_ en 0_ ) Bijvoorbeeld Nieuwe deel Oude deel N N N N N N N N O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O e mnier: oude deel = 5x nieuwe deel = x dus totl: 5x + x = 8 e mnier: n uitbreiding zitten er nog steeds woningen nst elkr, er zijn nog steeds 5+ verdiepingen, totl dus x(5+) = 8 ) ) 8

49 b) c) d) ) 5) 6) ) 0 x 50 = 500 en x 50 = 50 dus = 570 b) 0 x 5 = 50 en x 5 = 50 dus = 00 c) 0 x 5 = 700 en x 5 = 5 dus = 665 d) 00 x 5 = 500 en x 5 = 0 dus = 70. Uitbreiding vn de distributieve eigenschp. Eindtermen 0_ en 0_ 7) 8) 9) 0) w v b c ( )(b+6) = b + 6 b ( )(b 6) = b 6 b +8 (+6)(b 5) = b 5 + 6b 0 (+ ) x 8 x 5 = 0 x 5 x 8 = 0 8 x 5 x = 0 w wb wc v vb vc 9

50 ) ) ( x )( x )( x ) ( x )( x x 7x x x ) ( x )( x )( x ) ( x x x 6x x x 8x 8x x x x ) ( x )( x 9x 9x 6x x x 8)( x ) ( x 6x 7x ) 6x 8)( x ) 5) ( x )( x )( x 5) ( x x x )( x 5) ( x x )( x 5) x 5x x 5x x 60 x x 7x 60 ( x )( x )( x ) ( x x x )( x ) ( x x )( x ) x x x x x 6 x x 5x 6 ( + 5)( 6)( + )=( )( + )=( 0)( + )=( + 0 0= 0 ( )( + )( 5)= ( + 6)( -5)=( + 6)( 5)= = + 0 6) ( + b) = ( + b)( + b) = + b + b + b = + b + b ( b) = ( b)( b) = b b + b = b + b ( + b)( b) = b +b b = b 7) 8) (5x 6) = 9x 6x + 6 (5 )(5 + ) = 5 6 ( + ) = ( )( +) = (( )( +)) = ( ) = + (b ) = b +9 (b +)(b ) = b ( = b (p 0q) = p 0pq + 00q (-x +) = x x +9 (-b ) = b + b + 9) ( )( + ) = 9 + = 7 0 (op soortgelijke mnier ls hierboven) (00 ) = =

51 (50 + ) = = 809. Het ontbinden vn tweetermen. Eindtermen 0_ 50). p(x + ) b. c. d. 5). 56 = x 8 = x x = x x x 7 = x 7 b. = x 7 = x x 6 = x x x 8 = x x x x 9 = x x x x x = x c. 6 = x 8 = x x 7 = x x x 9 = x x x x = x d. 98 = x 7 = x 7 x 7 = x 7 5) 5) 5). Het ontbinden vn drietermen. Eindterm 0_ 55) Je hebt een rechthoek met lengte = (p + q) en breedte = ( + b) b p q Stel je wilt de oppervlkte berekenen O = breedte x lengte O = ( + b)(p + q) Je kn ook eerst de oppervlkte vn rechthoek met lengte = p en breedte= berekenen. O =. p En de oppervlkte vn rechthoek met lengte = q en breedte = berekenen. O =. p ls je zo doorgt krijg je 5

52 b O O p q Al die oppervlktes bij elkr opgeteld is de oppervlkte ( + b)(p + q) dus O + O + O + O =( + b)(p + q) en dus p + q + bp + bq = ( + b)(p + q) 56) Bijvoorbeeld b b b O O b O = b. p O = b. q QED x = 6 57) ( + )(b ) ( ( )(b 7) 58) Er moet gelden: vb. (opgve 57) in dit gevl: Behlve dt moet ook gelden: vb. in dit gevl: 7 x -5 = -5 b + 6b 5 0 deze vergelijking is wel te ontbinden omdt b = b. 6 x -5 = -0,dus dn wordt het ( +6)(b 5) b + 6b 8 deze vergelijking is niet te ontbinden omdt b b. 6 x b 6b + b + deze vergelijking is niet te ontbinden omdt b b. 6 x -. b 6b b + deze vergelijking is wel te ontbinden omdt b = b. -6 x - =,dus dn wordt het ( --6)(b ) Bedenk wel: 59) 60) x x 8 x x 8 (x )(x + ) (x +0)(x 6) x x 0 (x )(x + ) (x + )(x ) 6) positief getl x positief getl = positief getl positief getl x negtief getl = negtief getl negtief getl x negtief getl = positief getl 5

53 .5 Ontbinden met behulp vn merkwrdige producten. Eindterm 0_ 6) 6) 6).6 Ontbinden in meer dn fctoren. Eindterm 0_ 65) Nee, wnt is een veelvoud vn, en 6 is een veelvoud vn en. 66) Zo nee, is het getl deelbr door? Zo j, wt is de uitkomst? 67) 98 = x 7 = x 65 = 5 66 = x 68). b = ( + 8 +) = (+6)(+) c. d. +0= -( + 0)= -( 5)( +6) e. -5 f. b + b + b =b( + b +b ) = b( +b)( + b) g. + 6 = ( + ) = ( )( + ) 69) Hoofdstuk 5

54 . Bewerkingen met breuken Eindterm..0. Gelijknmig mken vn breuken en optellen vn breuken. Eindterm 0_ 70) met verhoudingstbel bijv. x x 7) 7) 7) 7) = 5

55 75) b b b b b b b( b) ( b). Vereenvoudigen vn breuken. Eindterm 0_ 76) 77) - ( + b) 5 x(x y) (x y) x 55

56 . Vermenigvuldigingen en delingen met breuken. Eindterm 0_ 78) de derde vn is twee keer de derde vn is 79) 80) de verhouding vn de uitkomst blijft hetzelfde of 5 8 = 0 = 0 of tellers en noemers met elkr vermenigvuldigen zols de tweede mnier bij de vorige opdrcht. 8) 8) een zevende pst zeven keer in een hele een zevende pst zeventig keer in tien helen een kwrt pst twlf keer in drie helen een kwrt pst tien keer in twee helen en een hlf 8) 8) een vijfde pst vijf keer in een hele 5 een vijfde pst vijftien keer in drie helen 5 Een vijfde pst vijf keer in een hele. Dus ½ keer in een hlve,5 Een vijfde pst vijf keer in een hele. Dus 5/ in één derde 5/ = 5 5 = 5 =

57 85) Hoofdstuk Bewerkingen met mchten Eindterm..0. Vermenigvuldigen ls herhld optellen Definitie : vermenigvuldigen met een ntuurlijk getl is herhld optellen Definitie : mchtsverheffen tot een ntuurlijk getl is herhld vermenigvuldigen Definitie : kwdrteren is tot de tweede mcht verheffen. Met bereken je dn de oppervlkte vn een vierknt met zijde Definitie : kuberen is tot de derde mcht verheffen. Met bereken je dn de inhoude vn een kubus met zijde. Mchtsverheffen ls herhld vermenigvuldigen. Eindterm 0_ 86) = x = 9 5 = 5 x 5 x 5 x 5 = 65 (-) = (-) x (-) x (-) x (-) = 8 (-5) = (-5) x (-5) x (-5) = -5 - = -56 ( je moet eerst mchtsverheffen, dn ps vermenigvuldigen. Dus = 56 en dn nog het ntwoord 56 met min( - ) vermenigvuldigen) -7 = -9 + = ( x ) + ( x x ) = = 5 = (5 x 5 x 5) ( x ) = 5 9 = 6 + = ( x x ) + ( x ) = x = + = 5 = ( zie de stelling vn prgrf.) x = + = 5 = 0 (-) x (-) = (-) + = (-) 7 = -8 of ls je het zo doet ((-) x (-) x (-)) x ((-) x (-) x (-) x (-)) = - 8 x 6 = -8 Tip: een negtief getl die je tot een even ntuurlijke getl verheft in de mcht levert ltijd een positief getl op. En ls je een negtief getl tot een oneven ntuurlijke getl verheft in de mcht levert ltijd een negtief getl 57

58 op.. Eigenschppen vn mchten met positieve, gehele exponenten. Eindterm 0_ 87) Bij lle sommen, wnt dr komen de zogenmde voorrngsregels voor. 88) ) x = x ( x x x ) = x 6 = 8 b) + = ( x x x ) + ( x x ) = = c) + 0 x 5 = (5 x 5) x 0 + = (5 x 0) + = 5 d) ( + ) = (5) = 65 e) 5 x ( + ) = 5 x ( + ( x )) = 5 x ( + ) = 5 x 7 = 5 x 7 = 75 f) x = + = 5 = x x x x = g) x = ( x x ) x ( x ) = 8 x 9 = 7 h) 0 5 = 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = i) = = = 00 j) ( ) = ( x x ) = 8 = 8 x 8 = 6 of ( ) = x = 6 = x x x x x = 6 k) ( ) = x = 6 = x x x x x =79 89) De beweringen die wr zijn, zijn b), c), f),h) en i) k) 90) De volgende beweringen zijn wr: ), d) en f). Het delen vn mchten. Eindterm 0_ 9) ) = b) ls je goed nr de berekening kijkt, dn zie je dt je medestudent de hkjes is vergeten, in plts vn x 0,9 moest hij eigenlijk ( x 0,9) opschrijven, wnt,8 x 0,9 mr wel,8 x 0,9) en ntuurlijk de rest vn de berekening is fout. 58

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Examencursus

Voorbereidende opgaven Examencursus Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 42 8 5 3 53 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4 24

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat

4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat Modelvrgstukken Algebr vn wortelvormen Tenzij expliciet nders vermeld stellen lle letters positieve getllen voor Vereenvoudigen vn enkelvoudige wortels ; Dit is gewoon de bsisregel ) ) 8 ) ; ) Een 8-ste

Nadere informatie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

Inleiding Natuurwetenschappen

Inleiding Natuurwetenschappen Inleiding Ntuurwetenschppen Tijden: september: 7:45 :45 3 september: 7:45 :45 6 september: 09:30 3:30 Loctie: Adres: Leuvenln, Utrecht Gebouw: Mrius Ruppertgebouw Zl: A Opdrchtgever: Jmes Boswell Instituut

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Ongelijkheden groep 2

Ongelijkheden groep 2 Ongelijkheden groep Rvi & Cuchy-Schwrz Trnstrendtriningsdg (triningsdg, 6 mrt 009 Cuchy-Schwrz Cuchy-Schwrz Voor reële getllen x,, x n en y,, y n geldt: x i y i en bijgevolg x i y i n n met gelijkheid

Nadere informatie

5.1 Hogeremachtswortels [1]

5.1 Hogeremachtswortels [1] 5. Hogeremchtswortels [] De functie x 2 = p heeft twee oplossingen ls p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing ls p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen ls p < 0; Het bovenstnde geldt bij

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b 1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls

Nadere informatie

Deze les krijgen de leerlingen een introductie over ongelijke breuken. Dit met name gericht op het vergelijken met een bemiddelende grootheid.

Deze les krijgen de leerlingen een introductie over ongelijke breuken. Dit met name gericht op het vergelijken met een bemiddelende grootheid. Lesopzet De door ons gemkte lessencyclus wordt in drie opeenvolgende rekenlessen gegeven. Les is iets korter dn les en, wrdoor er eventueel extr herhling vnuit les ingepst kn worden.. Les Deze les krijgen

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Lineaire formules.

Lineaire formules. www.betles.nl In de wiskunde horen bij grfieken beplde formules wrmee deze grfiek getekend kn worden. zijn formules die in een grfiek een reeks vn punten oplevert die op een rechte lijn liggen. In de vorige

Nadere informatie

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules.. Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.

Nadere informatie

Verzamelingen. De natuurlijke getallen. = 0 verzameling van de strikt natuurlijke getallen. De gehele getallen

Verzamelingen. De natuurlijke getallen. = 0 verzameling van de strikt natuurlijke getallen. De gehele getallen Verzmelingen De ntuurlijke getllen = {,1,2,3,4,... } = verzmeling vn de strikt ntuurlijke getllen De gehele getllen = {..., 3, 2, 1,,1,2,3,... } = verzmeling vn de strikt gehele getllen + = verzmeling

Nadere informatie

Exact periode 2.2. Gemiddelde en standaarddeviatie Betrouwbaarheidsinterval Logaritme ph lettersommen balansmethode

Exact periode 2.2. Gemiddelde en standaarddeviatie Betrouwbaarheidsinterval Logaritme ph lettersommen balansmethode Exct periode. Gemiddelde en stndrddevitie Betrouwbrheidsintervl Logritme ph lettersommen blnsmethode 1 gemiddelde en stndrddevitie vn meetwrden. x en s Hieronder zie je twee getllenseries die hetzelfde

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel

Nadere informatie

Willem van Ravenstein

Willem van Ravenstein Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Formularium Wiskunde 1 ste graad

Formularium Wiskunde 1 ste graad Kls: Nm: Formulrium Wiskunde 1 ste grd Vkwerkgroep Wiskunde T. I. SINT-LAURENS MARIA MIDDELARES Ptrongestrt 51 9060 Zelzte Tel. (09)45 7 1 Fx (09)45 40 65 Internet: http://tislmm.pndor.be E-mil: so.tislmm.zelzte@frcrit.org

Nadere informatie

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling 3 Gehele getllen: vermenigvuldiging en deling Dit kun je l 1 ntuurlijke getllen vermenigvuldigen 2 ntuurlijke getllen delen 3 de commuttieve en de ssocitieve eigenschp herkennen 4 de rekenmchine gebruiken

Nadere informatie

Continuïteit en Nulpunten

Continuïteit en Nulpunten Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze

Nadere informatie

Kennismaken. Wie zitten er bij jou in de klas? 4. Welke afspraken maak jij met je klas? 8

Kennismaken. Wie zitten er bij jou in de klas? 4. Welke afspraken maak jij met je klas? 8 Kennismken 1 2 + + Wie zitten er bij jou in de kls? 4 Welke fsprken mk jij met je kls? 8 Plusopdrcht 11 Thuisopdrcht 12 Meesterproef bij dit hoofdstuk 74 Help je klsgenoot met kennismken! Een nieuw schooljr,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Bespreking Examen Analyse 1 (Juni 2007)

Bespreking Examen Analyse 1 (Juni 2007) Bespreking Exmen Anlyse 1 (Juni 2007) Voorf: Zols ik ook vorig jr in juni en in september gedn heb, geef ik hier bedenkingen bij het exmen vn deze junizittijd. Ik zorg ervoor dt deze tekst op toledo komt,

Nadere informatie

RATIONALE GETALLEN BREUKSTREEP. Een breuk kunnen we beschouwen als een quotiënt. 3,00 4 4 0 0,75 30

RATIONALE GETALLEN BREUKSTREEP. Een breuk kunnen we beschouwen als een quotiënt. 3,00 4 4 0 0,75 30 Breuken en hun decimle schrijfwijze Benmingen in een breuk Teller Noemer 3 TELLER (dit geeft het ntl gekleurde delen n) BREUKSTREEP NOEMER (dit geeft het totl ntl delen n) Breuk omzetten in deciml getl

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I chten vn een derdegrdsfunctie Gegeven is de functie 3 2 1 3 4 4 f ( x) x x op het domein [0, 3]. V is het gebied ingesloten door de grfiek vn f en de x-s. 5p 1 ereken lgebrïsch de excte wrde vn de oppervlkte

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Herkansingscursus. Rekenregels voor vereenvoudigen

Voorbereidende opgaven Herkansingscursus. Rekenregels voor vereenvoudigen Voorbereidende opgven Herknsingscursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt

Nadere informatie

Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen

Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen 1. Schrijf de formule vn de propositielogic Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentmen (23/01/13) ( ) volgens de officiële grmmtic uit de syllus, en geef de wrheidstel. De officiële schrijfwijze is De ijehorende

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Kwadratische reciprociteit

Kwadratische reciprociteit Kwdrtische recirociteit René Pnnekoek 9 februri 011 Inleiding: kwdrten in Z/Z Beschouw de ring Z/Z en een element Z/Z. We willen weten of een kwdrt is, oftewel of er x Z/Z bestt zodnig dt x. Voor concrete

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symbool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Hoofdstuk I. Lineire Algebr Les 4 Eigenwrden en eigenvectoren In het voorbeeld vn de verspreiding vn de Euro-munten hebben we gezien hoe we de mix vn munten n floop vn n jr uit de n-de mcht A n vn de overgngsmtrix

Nadere informatie

5.1 Rekenen met differentialen

5.1 Rekenen met differentialen Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 5 Substitutie We hebben gezien dt de productregel voor de fgeleide een mnier geeft, om voor zeker functies een primitieve te vinden,

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

2 Formules herschrijven

2 Formules herschrijven Formules herschrijven Verkennen www.mth4ll.nl MAThADORE-bsic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Werken met formules Formules herschrijven Inleiding Verkennen Probeer de vrgen bij Verkennen zo goed mogelijk te bentwoorden.

Nadere informatie

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:

Nadere informatie

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:

Nadere informatie

element (of de rol van nul bij opt)

element (of de rol van nul bij opt) - 1 - Leerfihe 1 Eigenshppen vn de optelling in R Voor elk koppel reële getllen De optelling is overl gedefinieerd estt er een reëel getl dt hun som is., R R + De optelling is ssoitief Een som vn reële

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I Onfhnkelijk vn mimumscore 5 f ' ( x) = e + ( + ) e f' ( x ) = 0 voor x = f ( ) = (dus P (, ) ) e e Hieruit volgt dt lle punten P dezelfde y-coördint hebben, dus liggen l deze punten op één (horizontle)

Nadere informatie

element (of de rol van nul bij opt)

element (of de rol van nul bij opt) Atheneum Wispelerg - Wispelergstrt - 9000 Gent Bijlge - Leerfihes (3 e jr 5uur wiskunde) Eigenshppen vn de ewerkingen in R Nm Kls. - 1 - Leerfihe 1 Eigenshppen vn de optelling in R Nm vn de eigenshp Eigenshp

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Inhoud college 7 Basiswiskunde

Inhoud college 7 Basiswiskunde Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011

ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011 ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN MEI ) (Andere ntwoorden zijn niet noodzkelijk (geheel) incorrect) () Enkelvoudig ontrd ofwel niet-ontrd. Niveu met energie C= heeft een deeltje

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

I Vectoren in R. I.0 Inleiding

I Vectoren in R. I.0 Inleiding I Vectoren in R I Inleiding Een vector is een wiskundig begrip dt centrl stt in de wiskunde zelf, mr dt ook een grote rol speelt in nder vkken, in het bijzonder de ntuurkunde en de econometrie In dit hoofdstuk

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

3 Exponentiële functies en logaritmische functies

3 Exponentiële functies en logaritmische functies Eponentiële functies en logritmische functies Bij wiskunde B heb je l eerder te mken gehd met eponentiële en logritmische functies. In dit hoofdstuk gn we er wt dieper op in en lten we een ntl toepssingen

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

naam blad : 37 = 299 : 23 = 882 : 63 = 364 : 26 = : 47 = : 43 = 47 kan keer van af kan keer van af 47 = =

naam blad : 37 = 299 : 23 = 882 : 63 = 364 : 26 = : 47 = : 43 = 47 kan keer van af kan keer van af 47 = = 7b Hulp bld 1 nm 1 Reken uit met de rekenmchine 444 : 37 = 299 : 23 = 882 : 63 = 364 : 26 = 2 Reken uit met rest Voorbeeld: 469 : 37 = ntwoord op de rekenmchine: 12,675675 37 kn 12 keer vn 469 f 12 37

Nadere informatie

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Wiskunde voor de eerste klas van het gymnasium

Wiskunde voor de eerste klas van het gymnasium Wiskunde voor de eerste kls vn het gymnsium UITWERKINGEN AUTEUR: JOHANNES SUPIT COSMICUS MONTESSORI LYCEUM AMSTERDAM, 200 Hoofdstuk Alger 98 Alger. Inleiding.2 Bsiskennis.2. De getllenlijn.2.2 Symolen,

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

Primitieve en integraal

Primitieve en integraal Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden Werkoek Alger (cursus voor u wiskunde) hoofdstuk : Oplossen ongelijkheden vn e gr met on in Nm:. Hoofdstuk : Ongelijkheden - -. Ongelijkheden Vul in met of : 0,... 0,07 we zeggen dt 0,... is dn 0,07 -,...

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

Tentamen: Kansrekening en Statistiek P0099

Tentamen: Kansrekening en Statistiek P0099 Fculteit Economie en Bedrijfskunde Tentmen: Knsrekening en Sttistiek 1 6011P0099 Tentmendtum & -tijd: 15 december 015, 1:00 17:00 Studiejr 015-016 Duur vn het tentmen: 3 uur Legitimtie: U dient zich te

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs 0 0 Tijdvk Inzenden scores Vul de scores vn de lfbetisch eerste vijf kndidten per school in op de optisch leesbre

Nadere informatie

In dit hoofdstuk willen aan elke vierkante matrix een getal associëren dat (onder andere) aangeeft of die matrix singulier is of niet. d b. c a.

In dit hoofdstuk willen aan elke vierkante matrix een getal associëren dat (onder andere) aangeeft of die matrix singulier is of niet. d b. c a. Deterinnten Deterinnt In dit hoofdstuk willen n elke vierknte trix een getl ssociëren dt (onder ndere) ngeeft of die trix singulier is of niet ) Deterinnt vn een x-trix Zij gegeven twee trices M c d en

Nadere informatie

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,

Nadere informatie

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 5 De tweevoudige integrl collegejr : 8-9 college : 5 build : 27 ugustus 28 slides : 48 Vndg dubbel en De tweevoudige integrl en inhoud 2 Herhlde integrl 3 4 Poolcoördinten intro VA Wt is een integrl?

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Je gaat naar de winkel en koopt 4 pakken melk van 1,40 per stuk.

Je gaat naar de winkel en koopt 4 pakken melk van 1,40 per stuk. Opgve 1 Je gt nr de winkel en koopt 4 pkken melk vn 1,40 per stuk. Hoeveel etl je in totl? Wt he je met de getllen 4 en 1,40 gedn om het ntwoord te vinden? Hoe doe je dt zonder rekenmhine? Opgve 2 Je gt

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t www. - - nfhnkelijk

Nadere informatie

F G H I J. 5480

F G H I J. 5480 () Nm : Kls: Dtum: A. 06 Uit ln + ln( ) = ln volgt dt gelijk is n ) ) ) ) ) g.v.d.v. B. 77 + b ) b ) (+ is gelijk n b ) ) b) ).b b F. 7 kn ook geschreven worden ls ) e ) e ) e ( ) ln e ) ) e G. 7 9 Als

Nadere informatie

Breuken en verhoudingen

Breuken en verhoudingen WISKUNDE IN DE BOUW Breuken en verhoudingen Leerdoelen N het estuderen vn dit hoofdstuk moet je in stt zijn om: te rekenen met reuken en verhoudingen; reuken toe te pssen in erekeningen vn onder ndere

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Routeplanning middels stochastische koeling

Routeplanning middels stochastische koeling Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B (pilot) Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

DOEL: Weten wat de gevolgen en risico s kunnen zijn van het plaatsen van (persoonlijke) informatie op internet.

DOEL: Weten wat de gevolgen en risico s kunnen zijn van het plaatsen van (persoonlijke) informatie op internet. kennismking met i-respect.nl INTRODUCTIE GEMAAKT DOOR: Annèt Lmmers ONDERWERP: Een eerste kennismking met i-respect.nl en het onderwerp publiceren. DOEL: Weten wt de gevolgen en risico s kunnen zijn vn

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde Hoofdstuk 1 Introductie Anlytische Meetkunde 1.1 Wr ligt de scht? Op een zolder heb je een oude krt gevonden. Op een onbewoond Crïbisch eilnd is een scht begrven. De beschrijving is heel duidelijk: Loop

Nadere informatie

Hoe plan je een grote taak?

Hoe plan je een grote taak? 3 PLANNEN Hoe pln je een grote tk? Wt heb je n deze les? In deze les leer je hoe je grote tken in stukken opdeelt en over meerdere dgen inplnt. Hndig ls je bijvoorbeeld voor een toets moet leren, wnt zo

Nadere informatie

9 Roosterdam. 700 m x 1000 m = m 2 = 0,7 km = 3400 m = 3,4 km

9 Roosterdam. 700 m x 1000 m = m 2 = 0,7 km = 3400 m = 3,4 km 9 Roosterdm 700 m x 000 m 700.000 m 0,7 km 700 + 000 400 m,4 km,4 km x km,8 km,4 + 6,8 km De lengte en reedte zijn in het e gevl keer zo groot ls in het e gevl De omtrek wordt dn keer zo groot, de,4 0,7

Nadere informatie