BEKNOPTE ANTWOORDEN ( geen modeluitwerking! )

Transcriptie

1 OPGVE EKNOPTE NTWOOREN ( geen modeluitwerking! ) e lgemene oplossing vn de 4 e orde V voor buigingsknik is: w( x) = C + C x + C cosα x + C sinα x met: α = en S z = C 4 e vier rndvoorwrden voor dit probleem zijn (geef schetsjes): w(0) = 0 (0) = = r ϕ(0) = r w'(0) ( ) = 0 veer S ( ) = = k w( ) z veer Uitwerken vn deze vergelijkingen levert: ) C + C = 0 ) C = r( C + C α ) 4 ) C cos( α) + C sin( α) = 0 4 4) C + kc + kc + kc cos( α) + kc sin( α) = 0 4 e kniklst kn worden gevonden door het nul stellen vn de determinnt vn dit stelsel. lleen dn kn een niet-trivile oplossing worden gevonden voor dit knikprobleem. Uitwerken werd verder niet gevrgd. e stijfste constructie treedt op indien beide veren oneindig stijf zijn. it levert een mximle kniklst op vn: k π π = = ( ) Het minst stijve gevl treedt op voor k = 0. n ontstt het bekende bsisgevl: k = + r π 4-9 -

2 OPGVE ) e constructie is enkelvoudig sttisch onbepld en het betreft een constructie met nietverpltsbre knopen. ls sttisch onbeplde wordt gekozen voor het overgngsmoment in. e belsting op het overstek wordt sttisch equivlent verpltst nr knoop. Schets is hier in de uitwerking niet gegeven mr is wel vereist. b) Het schem ziet er ls volgt uit: q G Vormvernderingsvoorwrde: ϕ = ϕ q ( ) + = ( + q) = = 68 knm 4 c) omentenlijn en dwrskrchtenlijn moeten 00% zijn. Let op het prbolische deel en de knik in de -lijn onder de puntlst. Overstekje niet vergeten! d) Zkking mg worden bepld m.b.v. de gegeven vergeet-mij-nietjes: w = () 48 () 6 = 0,086 m - 0 -

3 OPGVE ) e verpltste constructie is hieronder geschetst. e constructie is een constructie met verpltsbre knopen. it is eenvoudig in te zien door lle strre verbindingen te vervngen door schrnieren. Er ontstt dn een kinemtisch onbepld vkwerk (mechnisme). e bluwe lijn in de onderstnde figuur is de vervormde constructie. θ θ q E G - - = 0 θ θ b) Vn de drie momenten op knoop E zijn er twee fundmenteel onbekend, de derde is te beplen uit het knoopevenwicht. rnst is de horizontle verpltsing vn de bovenregel een onbekende. it is de enige vrijheidsgrd in het mechnisme dt ontstt ls lle strre verbindingen worden vervngen door schrnieren. Uiterrd kn deze vrijheidsgrd ook worden beschreven m.b.v. een rottie vn een vn de stven. In de bovenstnde figuur is het hier beschreven geheel weergegeven. e drie onbekenden kunnen worden bepld m.b.v. twee vormvernderingsvoorwrde en de eis dt het mechnisme smen met de onbekende overgngsmomenten en belsting een evenwichtssysteem moeten vormen. Voor deze eis gebruiken we het gereedschp vn de virtuele rbeid. Reductie vn het ntl onbekende momenten m.b.v. het knoopevenwicht is niet nodig ls het stelsel met de GR wordt opgelost. In dt gevl kn direct het totl worden ingevoerd en worden opgelost. c) e vergelijkingen die moeten worden opgelost zijn: q 4 E E ϕe = ϕe + θ = + θ E E q ( ) ϕe = ϕe + θ = + θ 4 6 E Σ T = 0 = 0 δ = 0 δθ + q δθ δθ + δθ δθ = 0 eze vergelijkingen kunnen worden opgeschoond en ls stelsel in de GR worden ingevoerd. Reductie zols met de hnd gebruikelijk is, is dn niet nodig. - -

4 d) e vormvernderingsvergelijkingen kunnen worden vermenigvuldigd met 4 : q 7 q = q + 0 θ 0 0 Invullen levert: = θ 0 Oplossen met de GR levert (zie website voor hndleidingen) : 87 = 89 knm; = 68 knm; = 57 knm; θ = = 0, 049; 70 e ngenomen richting vn het moment blijkt onjuist te zijn geweest. Opmerking: e route die in het boek wordt uitgelegd is om eerst het knoopevenwicht te verwerken wrdoor er twee onbekende momenten resteren en een rottie. Vervolgens wordt de rottie geëlimineerd uit de twee vormvernderingsvergelijkingen en het resultt wordt gecombineerd met de uitkomst vn de virtuele rbeidsvergelijking. Op deze mnier resteert een systeem vn twee vergelijkingen met twee onbekenden wruit de momenten kunnen worden opgelost. Zonder reductie mr met gebruik vn de GR lijkt het lsof er vier vergelijkingen met vier onbekenden moeten worden opgelost en dt zou kunnen suggereren dt dit een hele ingewikkelde som is mr het tegendeel is het gevl! e) omentenlijn mg geen probleem opleveren. Let op het prbolische deel, de knik onder de puntlst en de juiste vervormingstekens. 68 -lijn in knm f) e verpltsing vn de knopen kn worden gevonden m.b.v. de opgeloste vrijheidsgrd θ. Knoop E zl nr links en nr beneden verpltsen over een fstnd vn.θ = 0,9467 m. - -

5 OPGVE 4 ) e constructie bestt uit een ongeschoorde drukstf met rottieveren n boven en onderzijde. e kniklengte zl meer dn 4,0 meter bedrgen. (ongeschoord volledig ingeklemd bsisgevl 4,0 m, door veren minder stijf, lgere kniklst en drmee grotere kniklengte) Schets is noodzkelijk, hier niet gegeven. b) e rottieveren zijn te beplen met de stndrd vergeet-mij-nietjes. it levert het volgende model op. r ; 4,0 m r e veerstijfheden zijn: r r = ρ = = 6 η = 4 + = r r = + ρ = = η = 4 + =, 0 e kniklst wordt hiermee: k ( + ) ( + ) η η π = = 4,5 kn η η η η 4 4 c) e kniklengte kn m.b.v. de formule vn Euler worden bepld: π k = l 4,84 m k = lk d) ij de gegeven belsting vn 00 kn kn de vergrotingsfctor worden bepld: k n 4, = = =, n k 4, eze constructie is erg gevoelig voor e orde effecten. Een initiële scheefstnd zl met % ngroeien hetgeen in de prktijk niet cceptbel is. - -

6 OPGVE 5 e cirkel vn ohr met drop de spnningen op de diverse vlkken is hieronder weergegeven. 80 yx 0 C C 0 y () m () x yy xx RC 80 E xy ) e spnningen op lle gevrgde vlkjes zijn in de cirkel weergegeven. e hoofdrichtingen () en () zijn tevens ngegeven. e hoofdspnningen zijn 0 en 0 N/mm. b) Vezels evenwijdig n C zijn vezels die evenwijdig zijn n de hoofdrichting (). e hoofdrekken kunnen direct met de spnnings-rek formules worden berekend : C ν 0 (0, 0) 4 ν 4 ε = ε = = = 0,0 0 ; ε = =,0 0 E E 00 E E Teken de rekcirkel en lees de rek voor vezels evenwijdig n E f : E 4 ε = ( ε + ε ) =,5 0 (R.C. zelfde loctie ls in spnningscirkel) c) Theorie zie dictt. Hoofdspnningen zijn (0; -0; -0). e veiligheidsmrge volgt uit: γ [( 0 + 0) + ( 0 + 0) + ( 0 0) ] 5 γ =,