wiskunde B vwo 2018-II

Transcriptie

1 Loodrecht in de perfortie mimumscore f( ) ( + ) Dus f( ) ( + + ) Dit geeft (+ + ) + + ( h ( )) (voor 0 ) + h ( ) (voor 0 ) ( + ) Dus h ( ) Dit geeft (voor 0 ) ( f( ) ) (voor 0 ) Als moet gelden f( ) h ( )(voor 0 ), dn moet gelden ( + + ) ( + + ) (voor 0 ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) (dus f( ) h ( )) (voor 0 ) Als moet gelden f( ) h ( )(voor 0 ), dn moet gelden ( + + ) ( + + ) (voor 0 ) ( + + ) ( + + ) ( + ) Dit is gelijk n (dus f( ) h ( )) (voor 0 )

2 mimumscore 5 h' ( ) ( een gelijkwrdige uitdrukking) (+ + ) + h' (0) 0 ), dus een vergelijking vn k is y + (dus de grfieken vn h en k stn in P loodrecht op elkr en dus stn de grfieken vn f en g in P loodrecht op elkr) Opmerking Als de kettingregel niet onjuist is toegepst, voor deze vrg miml scorepunten toekennen.

3 IJsbol mimumscore Voor het bolvormige ijsklontje met strl r moet gelden π r 7 Dit geeft r 8 (,86... ) (cm) π De oppervlkte vn het bolvormige ijsklontje is 8 ( ) π ( π,86... ) (cm ) π Het gevrgde quotiënt is,6 Voor het bolvormige ijsklontje met strl r moet gelden π r 7 Dit geeft r 8 (,86... ) (cm) A πr V πr r π (De gevonden wrde vn r invullen geeft),6 mimumscore 5 Het volume vn het deel vn de ijsbol onder het wteroppervlk is,5 ( y ) π, 5 dy Er moet gelden ( y ) π,5 dy 0,9,7,5 Beschrijven hoe deze vergelijking (met de GR) kn worden opgelost 0,98 dus het gevrgde ntwoord is 0,5 (cm) Het volume vn het deel vn de ijsbol boven het wteroppervlk is π,5,5 h ( y ), 5 dy,5 Er moet gelden ( y ) π,5 dy 0,08,7,5 h Beschrijven hoe deze vergelijking (met de GR) kn worden opgelost h 0,5 (dus het gevrgde ntwoord is 0,5 (cm))

4 5 mimumscore 5 rt ( ) t +, 5 (voor een constnte wrde ) V (0) 7, (, 5π ) (cm ) Hieruit volgt r (0),6875 (,90... ) (cm) r(0) r(0) r(0) 0+,5,90... (: ) geeft 0, , t +,5 0 geeft t 8,7..., dus het gevrgde ntwoord is 9 (minuten) rt ( ) t +, 5 (voor een constnte wrde ) V (0) 7, (, 5π ) (cm ) De vergelijking π (0 +,5) 7, moet worden opgelost De oplossing vn deze vergelijking is 0, , t +,5 0 geeft t 8,7..., dus het gevrgde ntwoord is 9 (minuten) (N 0 minuten geldt:) π r π, 5 Beschrijven hoe hieruit de wrde vn r berekend kn worden r,90... (cm) r neemt in 0 minuten f met 0,09 (cm), dus 0,009 cm per minuut, 5 8,7..., dus het gevrgde ntwoord is 9 (minuten) 0,

5 Constnte verhouding 6 mimumscore f ( ) + f ( ) ln( ) + ln( ) (ln( ) + ln( )) ln( ) + ln( ) ln( ) ln( ) f ( ) + f ( ) ln( ) Dus ln( ) ( f ( ) ) f ( ) ln( ) ln( ) ln( ) f ( ) ln( ) ln( ) ln( ) + f ( ) + f ( ) ln( ) Dus ln( ) ( 7 mimumscore 7 ln( ) 0 geeft ln( ) e Dit geeft e dus S f ' ( ) (ln( ) + ) f '( ) ln( ) ln( ) 0 Dit geeft, dus Dit geeft: e T S e (en dus is de verhouding S T T constnt) Opmerking Als de product- en/ kettingregel niet onjuist is toegepst, voor deze vrg miml 5 scorepunten toekennen. 5

6 Geknteld vierknt 8 mimumscore 5 Omdt PBC 90 is PC een middellijn vn de cirkel (Thles) Het middelpunt M is het midden vn lijnstuk PC dus M (, ) De strl is CP ( een gelijkwrdige uitdrukking) (, ) Een vergelijking vn de cirkel is y ( + ) + ( + ) ( een gelijkwrdige uitdrukking) Omdt PBC 90 is PC een middellijn vn de cirkel (Thles) Het middelpunt M is het midden vn lijnstuk PC dus M (, ) Een vergelijking vn de cirkel is Invullen vn de coördinten vn P, B C geeft vergelijking vn de cirkel is ( + ) + ( y+ ) r y r, dus een ( + ) + ( + ) ( een gelijkwrdige uitdrukking) De middelloodlijn vn lijnstuk BC heeft vergelijking y ( vectorvoorstelling + s ) y 0 De middelloodlijn vn lijnstuk PB heeft vergelijking y + ( vectorvoorstelling + t ) y Berekenen vn het snijpunt vn de middelloodlijnen geeft middelpunt M (, ) De strl is CM ( BM PM ) ( een gelijkwrdige uitdrukking) (, ) Een vergelijking vn de cirkel is y ( + ) + ( + ) ( een gelijkwrdige uitdrukking) 6

7 Een vergelijking vn de cirkel (met middelpunt ( b, ) en strl r) is ( ) + ( y b) r Invullen vn de coördinten vn de punten B, C en P geeft + ( b) r, ( ) + ( b) r en ( ) + ( b) r Beschrijven hoe dit stelsel vn drie vergelijkingen met drie onbekenden opgelost kn worden, b en r,5 (, ) Een vergelijking vn de cirkel is ( + ) + ( y+ ),5 ( een gelijkwrdige uitdrukking) 9 mimumscore 5 De lijn door P en D heeft vergelijking y 5 + De lijn door C loodrecht op de lijn door P en D heeft vergelijking y ( + ) ( een gelijkwrdige uitdrukking) Snijden vn de twee lijnen geeft de vergelijking ( + ) Dit geeft Het ntwoord Q (, 8) 5 5 De lijn door P en D heeft vectorvoorstelling + t y 6+ t CQ 7 t 6+ t CQ PD geeft 0 7 t Dit geeft t 5 8 Het ntwoord Q (, )

8 Omdt PQC 90 is PC een middellijn vn de cirkel (Thles), dus ligt Q op de cirkel door P, B en C met vergelijking ( + ) + ( y+ ) De lijn door P en D heeft vectorvoorstelling + t y (t+ ) + ( t+ ) geeft 5t 65t 0 Dit geeft t ( t 0 voldoet niet) 5 Het ntwoord Q 8 (, ) 5 5 Omdt PQC 90 is PC een middellijn vn de cirkel (Thles), dus ligt Q op de cirkel door P, B en C met vergelijking ( + ) + ( y+ ) De lijn door P en D heeft vergelijking y ( + ) + ( 5 + ) geeft Dit geeft (bijvoorbeeld met de bc-formule) ( voldoet niet) Het ntwoord Q (, 8) 5 5 De lijn door P en D heeft vectorvoorstelling + t y Dus Q heeft coördinten ( + t, t) CP CQ + PQ geeft (6+ t) + (7 ) t + ( t) + ( ) t Dit geeft t ( t 0 voldoet niet) 5 Het ntwoord Q (, 8) mimumscore 5 De hoogte vn driehoek CDQ, met bsis CD, moet deel zijn vn de zijde vn het vierknt Dus DQ : PQ : ( OQ OD + DP geeft) OQ + 8 Het ntwoord Q ( 8, ) 8

9 Anderhlf keer zo groot mimumscore 8 f' ( ), dus de richtingscoëfficiënt vn de rklijn is p Een vergelijking vn de rklijn is y p ( p) + p ( een vergelijkbre uitdrukking) Hieruit volgt dt de -coördint vn A gelijk is n p De oppervlkte vn driehoek OAP is p p p Een vergelijking vn de lijn door O en P is y p De oppervlkte vn V is ( ) Een primitieve vn De oppervlkte vn V is p p d 0 p is 6 p p, dus de oppervlkte vn driehoek OAP is nderhlf keer zo groot ls de oppervlkte vn V De oppervlkte vn driehoek OPP ', met P'( p, 0), is De oppervlkte vn V is p 0 p p p p d Een primitieve vn is De oppervlkte vn V is p p p 6 f' ( ), dus de richtingscoëfficiënt vn de rklijn is p PP ' p AP ' p p AP ' p Hieruit volgt AP' p, dus OA OP' AP' p p p p De oppervlkte vn driehoek OAP is p p p, dus de oppervlkte vn driehoek OAP is nderhlf keer zo groot ls de oppervlkte vn V 9

10 Een bn mimumscore cos π sin π cos π sin π cos π sin ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) cos( ) sin ( ) cos( ) sin ( ) cos( ) sin ( ) π Dus de -coördint vn P π is gelijk n de -coördint vn P (dus de lijn door P en P π is verticl) De lijn door P en P π is verticl ls de -coördinten vn P en P π gelijk zijn cos π sin π cos sin Er moet dus gelden dt ( ) ( ( )) ( ) ( ) cos( ) sin ( ) cos( ) sin ( ) en dus bevinden beide punten zich recht boven elkr, wrmee het gestelde bewezen is Er moet bewezen worden dt cos( ) sin( ( ) ) cos( ) sin ( ) sin( ( ) ) sin( ) sin( ) Omdt cos( π ) cos( ) geldt nu cos( π ) sin( ( π ) ) cos( ) sin( ) cos( ) sin ( ) en dus π π π π bevinden beide punten zich recht boven elkr, wrmee het gestelde bewezen is mimumscore 5 Er moet gelden ( t) y( t) cos( t) sin ( t) cos( t) geeft cos( t ) 0 ( ) cos( t ) 0 geeft t π t sin t π (en deze lten we buiten beschouwing) 5 sin t geeft t π+ k π t π+ k π ( ) De oplossing 6 6 t π Opmerkingen Als gerekend is met ( t) y( t) voor deze vrg miml scorepunten toekennen. Als gerekend is met y( t) ( t) voor deze vrg miml scorepunten toekennen. Als gerekend is met ( t) y( t) voor deze vrg miml scorepunt toekennen. 0

11 mimumscore 5 cos( ) sin ( ) π π Er geldt voor t π : OP t cos( π ) ' ( t) sin t sin t + cos t cos t ( ) ( ) ( ) ( ) y' ( t) sin( t) Er geldt voor t π : sin ( ) sin ( ) cos ( ) cos( ) π π + π π v (en dus zijn sin ( π ) OP t en v gelijk) Opmerking Als de product- en/ kettingregel niet onjuist is toegepst, voor deze vrg miml scorepunten toekennen.

12 Buiten een vierknt 5 mimumscore 5 Een vergelijking vn de cirkel is ( ) + ( y ) 5 De lijn door A en C heeft vergelijking y De cirkel snijden met deze lijn geeft 5+ 0 Dn volgt ( )( ) 0 dus de -coördint vn F is (wnt geeft punt A) F (, ) en omdt C (0, ) en S (, ) (: omdt F op CS ligt en 0+ C + S F ) is F het midden vn CS (Omdt C (0, ) en S (, ) geldt:) het midden vn CS is het punt (, ) De fstnd tussen (, ) en (, ) is 5 Ook geldt MA( MB) 5 Dus (, ) ligt op de gegeven cirkel Dus is F het midden vn CS (Omdt C (0, ) en S (, ) geldt:) het midden vn CS is het punt (, ) Een vergelijking vn de cirkel is ( ) + ( y ) 5 De lijn door A en C heeft vergelijking y Omdt ( ) + ( ) 5 ligt (, ) op de cirkel Omdt ligt (, ) op de lijn door A en C (en dus is F het midden vn CS)

13 6 mimumscore MF MB 0 dus ( MF, MB) 90 MG MA 0 dus ( MG, MA) 90 ( MF, MB) + ( MG, MA) (: cirkelsector BMF is een kwrt cirkel en cirkelsector GMA is een kwrt cirkel), dus de oppervlkte vn de twee sectoren smen is gelijk n de helft vn de oppervlkte vn de cirkel rc MB en rc FM dus rcmb rcfm en dus MB MF rc MA en rc GM dus rcma rcgm en dus MA MG Dn volgt: cirkelsector BMF is een kwrt cirkel en cirkelsector GMA is een kwrt cirkel (: ( MF, MB) + ( MG, MA) ), dus de oppervlkte vn de twee sectoren smen is gelijk n de helft vn de oppervlkte vn de cirkel cos( ( MF, MG)) 5 cos( ( MB, MA)) 5 cos(80 α ) cos( α ), dus ( MF, MG) + ( MB, MA) 80, dus de oppervlkte vn de twee sectoren smen is gelijk n de helft vn de oppervlkte vn de cirkel Opmerking Wnneer de hoeken zijn benderd voor deze vrg miml scorepunten toekennen.