4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
|
|
|
- Kurt de Smet
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger: n z z IR, : n Rekenregels:. : Over irrtionle eponenten weten we nog niets! Voorbeeld : We nemen ls grondtl = : 4 3, A is de verzmeling vn lle rtionle mchten vn. Deze verzmeling is een deelverzmeling vn IR. Beschouw de functie L die elke mcht vn fbeeldt op hr eponent. L : A IR : is een eponentenplukker en noemen we de Deze functie logritmische functie met grondtl.
2 Uit onze rekenregels met rtionle eponenten leiden we volgende belngrijke kenmerken / eigenschppen vn L f: L beeldt f op : L L L beeldt producten f op sommen: L L is een bijectie vn A IR op : wegens IR A L IR, De omgekeerde of inverse bijectie vn L beeldt dus elk rtionl getl f op de mcht (eponentenzetter) en noemen we de eponentiële functie met grondtl. E L : A IR : Voorbeeld : Nemen we een nder strikt positief grondtl, bijvoorbeeld =. Op nloge mnier kunnen we volgende functies definiëren: L : A IR : E L : A IR :
3 Beide functies zijn mekrs spiegelbeeld ten opzichte vn de eerste bissectrice vn het crtesins ssenstelsel y, ze zijn immers elkrs inverse of omgekeerde reltie. Ze zijn echter niet continu (lle irrtionle getllen ontbreken op de Y-s). Beide voorbeelden kunnen we verlgemenen voor elk strikt positief reëel grondtl (verschillend vn ). A = de verzmeling vn elke rtionle mcht vn L : A IR IR : product fbeeldt op een som. E : IR A IR : is de logritmische functie met grondtl, die een is de eponentiële functie met grondtl, die een som fbeeldt op een product. Deze bijecties willen we nu uitbreiden tot fleidbre bijecties L, respectievelijk E tussen de verzmelingen IR en IR, met behoud vn de eigenschppen dt een product (vn mchten) omgezet wordt in een som (vn eponenten), en dt fgebeeld wordt op, en omgekeerd. Een bijectie L of E met die eigenschppen noemen we een isomorfisme tussen IR, en IR,. Een morfisme is een fbeelding tussen wiskundige structuren (hier commuttieve groepen) wrbij het beeld vn de bewerking, de bewerking vn de beelden is. Het gedeelte iso slt op het bijectief krkter. IR, is een commuttieve groep, wnt de vermenigvuldiging in IR. is intern;. is ssocitief; 3. bezit een neutrl element, nl. ; 4. bezit een inverteerbr element, nl. het omgekeerde; 5. is communttief Om dezelfde redenen is IR, eveneens een commuttieve groep.
4 Een morfisme behoudt de morfologie (vorm) tussen beide structuren. Het neutrl element (invers element) vn de ene wiskundige structuur zl op het neutrl element (invers element) vn de ndere wiskundige structuur worden fgebeeld. Een product in A IR wordt fgebeeld op een som in IR. Het neutrl element voor de vermenigvuldiging in IR, nl. wordt fgebeeld op het neutrl element voor de optelling in IR, nl.. IR A L IR Het symmetrisch element voor de vermenigvuldiging in IR wordt fgebeeld op het symmetrisch element voor de optelling in IR. Immers, s het symmetrisch element voor voor de vermenigvuldiging in IR en wordt fgebeeld op, het symmetrisch element vn voor de optelling in IR. Deze gewenste uitbreiding betekent dt we IR, : uitbreiden tot IR, IR :.
5 4... Algemene vorm vn een logritmische functie L Uitgngspunt: We willen L definiëren ls een continue, fleidbre bijectie vn IR op IR die producten fbeeldt op sommen en fbeeldt op. Het voorschrift vn L : IR IR : L kennen we (nog) niet, mr we gn de fgeleide functie L beplen, steunend op de gestelde eigenschppen vn L: L L IR () () t, IR : L t L t L Neem t = cte (een willekeurig strikt positief reëel getl) en L fleidbr: ' ' IR : t L t L Dit geldt voor elke strikt positieve reële, dus ook voor =. Neem = : ' ' t L t L t IR ' ' L t L Dit geldt voor een willekeurige t IR ' Stel L = m IR met m IR ' t IR : L t m t t De fgeleide functie vn L is een reëel veelvoud vn f t f : IR IR : t f t is continu over IR t over IR t ( ) F : IR IR : F f tdt dt is een stmfunctie vn f t
6 Uit ( ) volgt: ' L t m f t m t L m F c m IR L m f t dt c m dt c t L en m kiezen we = en c = L m dt = t Elk fleidbr isomorfisme vn IR, nr IR, is noodzkelijk vn de vorm: L : IR IR : L m dt met m t = willekeurige logritmische functie L : IR IR We zullen tevens het omgekeerde bewijzen, nl. dt elke functie vn bovenstnde vorm wel degelijk een fleidbr isomorfisme is. De eenvoudigste keuze voor m = noemen we de ntuurlijke logritmische functie of Neperinse logritme, nottie: ln De Neperse of Neperinse logritmen worden genoemd nr de Schotse wiskundige John Npier (55-67).
7 4... De ntuurlijke logritmische functie 4... Definitie, opmerkingen IR : ln dt t Opmerkingen:. Grfische interprettie:. Tekenonderzoek: 3. ln is strikt stijgend over IR, IR : ln ln 4. IR : ln ln
8 5. ln dt t is een stmfunctie vn f t t d ln c IR IR : ln ' ln is fleidbr over IR ln is continu over IR d.w.z. de grfiek vn ln heeft geen knikken d.w.z. de grfiek mkt geen sprongen in punten vn het domein 4... Eigenschppen, het getl e Eigenschp : ln is een morfisme vn IR, op IR, :, IR : ln ln ln IR, is een commuttieve groep, wnt de vermenigvuldiging in IR is:. intern. ssocitief 3. bezit een neutrl element, nl. 4. symmetrisch (inverteerbr) element vn, 5. commuttief Op deze wijze is ook IR, een commuttieve groep. Een fbeelding tussen wiskundige structuren (hier commuttieve groepen) wrbij het beeld vn de bewerking, de bewerking vn de beelden is = morfisme. IR, ln IR,+ ln y ln y y ln y ln lny
9 Bewijs: Eigenschp : IR, : ln ln Bewijs: (UOVT!)
10 Gevolg eigenschp : IR : ln ln, y IR : ln ln ln y y Bewijs: Eigenschp 3: ln is strikt stijgend over IR, y IR : y ln ln y Bewijs: Gevolg eigenschp 3: ln ln Bewijs:
11 Eigenschp 4: ln is een bijectie vn IR op IR Betekenis: Uit elk element vn IR vertrekt juist pijl en in elk element vn IR komt juist pijl toe. Elk reëel getl wordt door ln juist keer bereikt door juist strikt positief getl.! getl g IR : lng Dit getl g noemen we het getl e (het getl vn Euler) e dt lne t Men kn bewijzen dt. e =,78 Grfisch:. e IR \ Eigenschp 5: lim ln en lim ln Bewijs:. We gebruiken de Q, vorm vn de definitie: lim ln Q IR, IR : ln Q ln is een bijectie vn IR op IR Q IR, IR : ln Q Uit het feit dt ln is strikt stijgend is over IR volgt: ln ln Q. We gebruiken de Q,P vorm vn de definitie: lim ln Q IR, P IR : P ln Q ln is een bijectie vn IR op IR Q IR, P IR : lnp Q Uit het feit dt ln is strikt stijgend is over IR volgt: P ln lnp Q
12 Opmerkingen:. De limiet vn ln in een punt vn het domein IR is gelijk n de functiewrde, wnt ln is een continue functie. b. De grfiek vn ln heeft: i. een VA: = ii. geen HA c. ln is een isomorfisme vn IR, op IR,. d. : lne lne e is het grondtl vn de ntuurlijke logritmische functie (ln) Grfiek vn de ntuurlijke logritmische functie
13 4..3. Willekeurige logritmische functie met grondtl Inleiding Een willekeurige logritmische functie is steeds vn de vorm: L : IR IR : L m dt m ln met m IR t Het grondtl vn een willekeurige logritmische functie is het strikt positieve getl dt wordt fgebeeld op. Voor de ntuurlijke logritmische functie ws dit het getl e, nmelijk: lne. Dr elke willekeurige logritmische functie een fleidbre bijectie is vn IR op IR geldt dt: met m = modulus IR! IR : L m ln m ln = het grondtl IR \ Definitie, opmerkingen Een willekeurige logritmische functie met grondtl IR \ ln IR : log ln ln ln Opmerkingen:. Dt het grondtl wordt genoemd, wordt gerechtvrdigd door: L ln ln ln ln. Elke logritmische functie is een reëel veelvoud vn de ntuurlijke logritme: log m ln met m ln 3. De logritmische functie met grondtl, wordt ook de -logritme genoemd log lezen we ls de -logritme vn of kortweg -log. log wordt soms ook genoteerd ls log. e 6. De ntuurlijke logritme heeft e ls grondtl en ls modulus, ln log.
14 7. De logritme met grondtl noemen we de Briggse logritme. log noteren we kortweg ls log. Op ons rekentoestel stt zowel een knop om rechtstreeks de ntuurlijke logritme (ln) te berekenen ls de Briggse logritme (log). Eigenlijk is de knop log overbodig, wnt indien je de ntuurlijke logritme kn berekenen kn je meteen ook ln3 lle willekeurige logritmen berekenen, nl. log3. ln Eigenschppen Elke willekeurige logritmische functie met grondtl is een fleidbr isomorfisme vn IR, nr IR,. Hieruit volgen meteen volgende eigenschppen: Eigenschp : log : IR IR is een bijectie Eigenschp :, y IR : log y log log y De logritme vn een product is de som vn de logritme vn de fctoren. Eigenschp 3: : log (eponenteigenschp) Eigenschp 4: ' log is fleidbr: log D log ln Eigenschp moet je niet strikt kunnen bewijzen, wel kunnen uitleggen. De bewijzen vn eigenschp -4 zijn UOVT en volgen uit de definitie vn log. Eigenschp 5: log is strikt dlend over IR log is strikt stijgend over IR Bewijs:
15 Eigenschp 6: b, b IR \ IR : log log logb = Verndering vn het grondtl Bewijs: Grfiek vn een willekeurige logritmische functie Teken in ssenstelsel de grfieken vn: 4 log log e e ln log e log e Neem ls indeling op de X-s: cm (4r) = eenheid Y-s: cm (4r) = eenheid Opmerkingen:. b grfiek vn log ligt grfiek vn b log voor. De grfiek vn grfiek vn log ligt grfiek vn b log voor > log is de grfiek vn log 3. log... log de grfiek vn log komt overeen met een vn lle functiewrden vn log. UOVT: Verklr + bewijs deze opmerkingen!
16 4..4. Oefeningen Oefening : Bereken de volgende logritmen zonder rekentoestel, IR \. log3. log log 4 4. log 5. 5 log 4, log(3 9) log log log log 5. log 7, log 4 3. log log 5. ln e e log5 log log log 3 Oefening : Als gegeven is log,33 en log3,477 bereken dn. log8. 4. log, log 3. log5 8 log 5 6. log6 7. log,75 8. log3 9. log3,5. log3 3. log. log36 Oefening 3: Bereken met behulp vn een rekentoestel.. 7 log3.,5 log log, log log log 7 7. log log 3 9.,5 log,45. loge
17 Oefening 4: Bereken de vergelijkingen vn de rklijnen in het punt grfisch voor..., y n f e 3. ln en stel e 6. e Oefening 5: Bereken de vergelijkingen vn de rklijnen in het punt. 3. e f f ln. ln 4., y n y f. f ln f ln Oefening 6: Bepl het domein vn de volgende functies en bereken de fgeleide functie ervn.. y ln 4 5. y log y ln y ln y ln y ln ln y 8. y ln 9. ln y. ln y ln. y ln 3. y loglog 3. y log loglog 4. y lnsin Oefening 7: Bewijs de volgende eigenschppen vn de logritmische functie met grondtl.., y IR : log. : log y log log y 3. D log ln
18 Oefening 8: Gegeven zijn de volgende functies f : IR IR : g : IR IR : ln : IR IR : ln Toon n dt IR : ln Mk de grfiek vn de functies op één tekening. Welke meetkundige interprettie kunnen we n de ongelijkheid geven? Oefening 9: Bewijs volgende gelijkheden (, b, c en d IR, lle grondtllen zijn verschillend vn en m, n zijn vn verschillende rtionle getllen).. b c logb log c log d log d b. b b log log log c. b log log d. logb z z logb logb e. logc b logc b log f. b logc logc logb g. n log b m b m b logc log h. log log c log n logb i. b b logc logd logd logc j. n b b n logc logd logc logd Oefening : Bewijs volgende eigenschppen: (i), b IR \, IR : b log log logb (ii), b IR \ : logb of logb b log b log (iii), b IR \ : ' log' log m IR ln Meetkundige betekenis vn de modulus: de modulus vn een logritmische functie is de Rico vn de rklijn in (, ) n de grfiek vn deze functie.
19 Oefening : Bewijs volgende gelijkheden (P, Q zijn strikt positieve reële getllen) en lle grondtllen zijn strikt positieve vn verschillende reële getllen.. b logp logp logp b b logp logp b. b c logp logp logp logp b b c c logp logp logp logp logp logp b c Oefening :. De mrginle opbrengst m vn de verkoop vn dozen is gegeven door: met uitgedrukt in duizend verkochte eenheden en f in euro. f() 66. Bepl de totle opbrengstfunctie F.. Stel F grfisch voor en g n of de functie een nnemelijke totle opbrengstfunctie is. b. Sommige psychologen zijn vn oordeel dt de functie f 5 3 ln 5 mogelijkheid om te leren vnf de zesde mnd tot het vierde levensjr goed bendert. Hierin is uitgedrukt in jren. Op welke leeftijd leert het kind volgens deze theorie het best? de
20 4.. Eponentiële functies. Mchten met reële eponenten 4... Inleiding Beschouw de uitdrukking b. Deze uitdrukking is reeds gedefinieerd voor IR, b. Uitdrukkingen zols: 4 We wensen nu b te definiëren,,,, IR \, : log b IR. IR \, : log * dom log IR bld log bld log IR dom log, zijn (voorlopig) niet gedefinieerd. Elke logritmische functie log beeldt producten in IR f op sommen in IR. De omgekeerde reltie vn log, met nme log beeldt sommen in IR f op producten in IR. De gelijkheid * is bewezen. Het linkerlid vn deze gelijkheid is voorlopig enkel gedefinieerd. Het rechterlid log is gedefinieerd IR, wnt dom log =IR bld log. Vermits beide leden gelijk zijn stellen we per definitie: IR \, IR \ : log Voor = ws reeds gedefinieerd: : log log We stellen per definitie: IR \ :
21 4... Definitie, opmerkingen.. r log r IR \ r IR : r = Definitie vn mcht met reële eponent is de eponentiële functie met grondtl IR \ ep log : IR IR = Definitie vn willekeurige eponentiële functie Opmerkingen nottie e e ep ep log ln is de ntuurlijke eponentiële functie. ln ln log ep ln ln ep log log IR : log log IR : ep log ep is een isomorfisme vn IR, nr IR, ep log log = Briggse eponentiële functie 6. ln e ln ln
22 4..3. Eigenschppen Eigenschp : Rekenregels voor mchten met reële eponenten.. y y IR,, y IR : y y IR,, y IR : : 3. y IR,, y IR : y 4., b IR, IR : b b 5.,b IR, IR : b b Bewijs: UOVT! Eigenschp : Afgeleide vn eponentiële functies ' ' ' ' IR \, IR : ep... e : ep e... Bewijs:
23 Eigenschp 3: Verloop vn eponentiële functies < < ep is strikt dlend op IR > ep is strikt stijgend op IR Bewijs: Grfiek vn eponentiële functies Teken in ssenstelsel de grfieken vn: ep ep log log log log Neem ls indeling op de X-s: cm (4r) = eenheid Y-s: cm (4r) = eenheid
24 4..5. Oefeningen Oefening : Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen. ln ln ln ln y ln. e b. e c. e d. e ln4 4ln ln e. e f. e g. ln e h. e i. ln e Oefening : Bereken de vergelijking vn de rklijn in het punt, y n f f() f() f() e e. e 4. f() e f() e Oefening 3: Bepl de fgeleide functie vn. y 5 e. y e 3. y e sin 4. y 5. y e 6. y e 7.. y e ln 8. y cos y lne y e y e e Oefening 4: Bepl het domein vn de volgende functies en bereken de fgeleide functie ervn:. y y. 3. y ln 4. y 5. y 6. y ln 7. y 5 8. y
25 Oefening 5: Bepl het domein vn de volgende functies en bereken de fgeleide functie ervn:. y log5 3. y log tn 3. y logsin 4. y log 3 sin 5. y logcos 6. y 5 log 3 5 Oefening 6: Bereken het getl IR zo dt de functie y. voldoet n de vergelijking y ' y Oefening 7: Bewijs de rekenregels voor mchten met reële eponenten (eigenschp p. 95).,b IR ;, y IR. y y. : y y 3. b b 4. b b Oefening 8: Bewijs de eigenschp: ep is strikt dlende functie ep is strikt stijgende functie Oefening 9:. Bewijs dt er voor rklijnen bestn n log en ep die evenwijdig zijn met de eerste bissectrice vn het ssenstelsel. Bereken de coördinten vn de rkpunten.. Bewijs dt er voor rklijnen bestn n log en ep die evenwijdig zijn met de tweede bissectrice vn het ssenstelsel. Bereken de coördinten vn de rkpunten. Oefening : Welke reltie bestt er tussen de grondtllen vn eponentiële functies wrvn de grfieken symmetrisch zijn t.o.v de Y-s? Verklr dt.
26 Etr oefeningen op fgeleide vn logritmische en eponentiële functies Bepl de fgeleide vn volgende functies.. D ln b. D ln ln c. D ln D d. ln e. D e e e e f. e D ln e e e e 4 e g. sin D ln sin cos sin sin h. e D ln 3 e e 3 e 6 e e e 3 e i. D ln met > j. k. D log 4 4 ln ln D ln ln 5 l. m. D log D 3 ln n. D o. 3 ln 3 ln ln log(sin ) log(sin ) cot log log(sin ) D sin p. D tn sin tn cos ln(tn )
27 . D Bg tn r. D cos 6 s. ln 5 D 6 cos cos ln cos 6 sin 7 ln 6 6 ( 6) ( )
28 4.3. Toepssingen vn logritmische en eponentiële functies Limieten vn logritmische en eponentiële functies Voorbeeld : lim b lim b H ln ln lim lnb b lnb b log Voorbeeld : lim Dit is een nieuwe onbeplde vorm! We weten wel dt f 9 4,, ,,748...,76...., e r r IR :. lim Eigenschp 5 de jr: limf bestt en g is continu in lim f lim g f g limf lim ep ln ep lim ln
29 =ep = e lim ln lim ln ln lim H lim lim ' ' Voorbeeld 3: lim e ln e ln e lim ep ep lim = ep = ln e lim e H e e lim lim e e
30 4.3.. Verloop vn logritmische en eponentiële functies Om de grfiek vn een logritmische of eponentiële functie te onderzoeken, gn we te werk volgens ons 7 stppenpln (zie 5 de jr).. Beplen vn het domein. Ngn of de grfiek symmetrieën (even of oneven) vertoont of een periode heeft. f is een even functie f f Y is een symmetrie-s f is een oneven functie f f oorsprong is een symmetriemiddelpunt. Beplen vn de (eventuele) snijpunten met de X- en Y-s. Tekenonderzoek. 3. Limieten beplen in de ophopingspunten vn het domein die niet tot het domein behoren. Zoeken nr eventuele symptoten (VA, HA of SA). 4. Beplen vn de eerste fgeleide. Het tekenonderzoek geeft ons informtie over het stijgen en dlen vn de grfiek. 5. beplen vn de tweede fgeleide. Het tekenonderzoek geeft ons informtie over de conveiteit / concviteit (holle en bolle zijde) vn de grfiek. 6. Smenvttende tbel met tekenonderzoek vn eerste en tweede fgeleide en besluiten voor het verloop en holle / bolle zijde vn de grfiek. 7. Tekenen vn de grfiek op bsis vn onze voorgnde berekeningen en enkele nvullende koppels om de nuwkeurigheid te vergroten. Voorbeeld : f ln. dom f dom f,, De grfiek vn f is noch even, noch oneven, noch periodisch.. f X s 5 D 4 5, 5 f X s,
31 f Y s (zie domein) X 5 5 f ln Berekening: f ln 3.. lim ln ln lim lim ln ln lim lim ln ln lim b. VA : VA : (zie 3..) Geen HA (zie 3..) SA? 4. f ' 5. f '' ln lim H lim lim lim IR Nulpunt dom f dus geen SA 4 4 Tweede fgeleide heeft geen nulpunten, dus f geen buigpunten. 6. Smenvttende tbel: f - + f - - f
32 7. Grfiek: Voorbeeld : f Berekeningen: zie schrift. e
33 Logritmische en eponentiële vergelijkingen Wnneer een onbekende ls rgument vn een logritmische (eponentiële) functie voorkomt noemen we dit een logritmische (eponentiële) vergelijking. Voorbeeld : log 3 Eerste mnier: 3 ep log ep3 8 Tweede mnier: ln ln 3 3 ln 3 ln ln ln 8 Voorbeeld : Eerste mnier: Tweede mnier: 3 log 4 log log Voorbeeld 3: log log 3 log log 7 BV: en 7 7 log log 3 log log 7 log log 7 log log3 log 7 log 3 log 7 log s 7 9 en vervlt wegens BV! p 8
34 Voorbeeld 4: 5 log log 6 BV: Stel t log log 5 log 6 t 5 t 6 s 5 en 3 p 6 log of log 3 3 of Voorbeeld 5: Eerste mnier:,, 4 4 of 8 Tweede mnier: Neem log vn beide leden log, log log log,
35 4 of 8
36 Onbeplde integrlen We kunnen nu eindelijk de eenvoudige onbeplde integrl ln ' en dit IR. Dus: d ln c d oplossen. Vermits We kunnen eveneens stmfuncties berekenen vn eponentiële functies. Vermits e wordt vn zichzelf! e d e c ' e. Merk op dt de ntuurlijke eponentiële functies een stmfunctie is Ook het berekenen vn stmfuncties vn willekeurige eponentiële functies kent voor ons geen geheimen meer: d De formule (zie leerstof september) ln t ln e d e dt e c ln ln dt Stel t ln dt ln d d ln d c ws voorlopig slechts c ln gedefinieerd voor rtionle eponenten. We breiden deze formule uit tot reële eponenten (verschillend vn -). Voorbeeld : e d e d e c 3 3 Voorbeeld : PI ln d ln d ln c Voorbeeld 3: PI PI cos e d cos e sin e d cos e sin e cos e d cos e d cos e sin e c cos e d cos e sin e c Voorbeeld 4: 3 d d 3 ln 3 c ln 3 c
37 Oefeningen Oefening : Bereken de volgende limieten. ln lim 3. lim ln 5. ln lim lim ln ln. lim ln 6. ln lim ln ln ln7 lim 3 3 Oefening : Bereken de volgende limieten. lim 5. lim b 3. lim 3 4. b lim lim 3 6. b lim c 7. b lim c b 8. lim 7 Oefening 3: Bereken de volgende limieten.. lim b. lim e 3. lim e 5. lim e 5 6 e e lim 3 3 e e lim e 3 e 3 7. lim e e e 8. lim e e
38 Oefening 4: Bestudeer het verloop vn de volgende functies.. y ln. y ln5 3. y ln y ln 5. ln y 6. y e 7. y 3 e Oefening 5: Bepl / bespreek voor onderstnde functies. het domein; b. de snijpunten met de X- en de Y-s; c. het stijgen en dlen / etrem; d. de holle en bolle zijde / buigpunten.. 3. f f() 3 ln e ln (enkel, c en d!). f e ln 5. f 3 3 lne f f ln e 7. f ln 8. f e 9. f e. f e Oefening 6: Bepl het grondtl.. b. log5 log4 log c. log5 3 log d. 4 log log4 3
39 Oefening 7: Los de volgende logritmische vergelijkingen op.. log log log8 log9 log log log3 4 log 3 log5 log log 3 log3 log 64 log8 log 4. log 3 3 log 5. log log log log88 4 log log log log 8. ln ln log log 3 log log3 4 log log log log, 8 3 log log 4 log n log log 7 log log 3 log 4 log log n 5. 3 log, lnln Oefening 8: Los de volgende eponentiële vergelijkingen op (3 ) 4. 3,79, (Stel y ) e e
40 Oefening 9: Los de volgende eponentiële / logritmische vergelijkingen op. log 4 log log log log log log log log 5 log3 log 5. 4 log log4 log log log log 3 log log 6 log log log log , 5, , 5,4 Oefening :. f e 4 3 G n of f continu / fleidbr is in 3. b. f ln e b e Bepl en b zodt c. f : IR IR : f f fleidbr is in Onderzoek of f fleidbr is in. d. f ln e b e '' ' Bereken f f e. e e
41 Oefening : Bereken de volgende integrlen.. d 5. d d 3 4. d 5 5. d 6. d 7. sin d cos 8. d 9. ln d. tn d. cos d sin. d ln Oefening : Bereken de volgende beplde integrlen en geef er een grfische betekenis n.. e d. e e d 3. d 4. d d 6. e d Oefening 3: Bereken de volgende integrlen e d. e e 5 d d 4. d e d 6. e 4 d 7. e d 8. e d e
42 e e d d. e d 3 d d 4. d 5. e e d 6. e d e 7. sin e cos d Oefening 4: Bereken de volgende integrlen.. 3 e d. e d e cos 5 d 6. e 3 d e sin d e 7 sin d 8. 3 e d. e sin d ln d ln d
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren
Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen
Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie
Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden
Continuïteit en Nulpunten
Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze
is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b
1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls
Parels van studenten tijdens een examen
Prel 1 Prels vn studenten tijdens een exmen c k x k n+1 n+1 ( = c k x k ( ) )x c n+1x n+1 n+1 k ( ) k x n+1 k ( ) k k k Prel 2 Vrg: Zij n N, c k C voor k = 1,..., n, c n 0. Toon n dt de functie f(z) =
WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot
WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel
Uitwerking Tentamen Analyse B, 28 juni lim
Uitwerking Tentmen Anlyse B, 8 juni 0 Opgve [5pt] Bereken Hint: b = e b log. lim ( sin(π. Zij I =], [. Voor lle I \ {} geldt dt Definieer ( sin(π = e log( sin(π = e log sin(π. ϕ( = f(, f( = log, g( = sin(π.
Dit dictaat bevat een serie uitgewerkte voorbeeldopgaven. Deze zijn naar onderwerp geordend, waarvan de volgorde overeenkomt met die van het boek.
Beste studenten Dit dictt bevt een serie uitgewerkte voorbeeldopgven Deze zijn nr onderwerp geordend, wrvn de volgorde overeenkomt met die vn het boek De keuze vn de onderwerpen is tot stnd gekomen n studenten
Voorbereidende opgaven Examencursus
Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en
Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R
Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen
Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus
Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt
Primitieve en integraal
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn
RATIONALE GETALLEN BREUKSTREEP. Een breuk kunnen we beschouwen als een quotiënt. 3,00 4 4 0 0,75 30
Breuken en hun decimle schrijfwijze Benmingen in een breuk Teller Noemer 3 TELLER (dit geeft het ntl gekleurde delen n) BREUKSTREEP NOEMER (dit geeft het totl ntl delen n) Breuk omzetten in deciml getl
WISKUNDE ANALYSE ECWI-WEWI 6/8. Rudy De Wever
WISKUNDE ANALYSE 6-7 6 ECWI-WEWI 6/8 Rudy De Wever Inhoud. HERHALING AFGELEIDE VAN EEN REËLE FUNCTIE..... Definitie fgeleide in een niet-geïsoleerd punt vn het domein..... Rekenregels..... Herhlingsoefeningen....
INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5
INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE
Rekenregels van machten
4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf
Hoofdstuk 0: algebraïsche formules
Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html
Exact periode 2.2. Gemiddelde en standaarddeviatie Betrouwbaarheidsinterval Logaritme ph lettersommen balansmethode
Exct periode. Gemiddelde en stndrddevitie Betrouwbrheidsintervl Logritme ph lettersommen blnsmethode 1 gemiddelde en stndrddevitie vn meetwrden. x en s Hieronder zie je twee getllenseries die hetzelfde
2) Kegelsneden (in basisvorm)
) Kegelsneden (in sisvorm) In dit hoofdstuk werken we ltijd in een Euclidisch geijkt ssenstelsel. ) De rool Definitie De rool is de meetkundige lts vn de unten wrvoor de fstnd tot een gegeven unt F gelijk
Inhoud college 7 Basiswiskunde
Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10
Basiswiskunde Een Samenvatting
Bsiswiskune Een Smenvtting Verzmelingen N: ntuurlijke getllen, nl.,, 3,... Z: gehele getllen, nl....,,, 0,,,... Q: rtionle getllen,.w.z. breuken vn gehele getllen R: reële getllen, us lle getllen op e
5.1 Hogeremachtswortels [1]
![5.1 Hogeremachtswortels [1]](/thumbs/60/44737964.jpg "5.1 Hogeremachtswortels [1]")
5. Hogeremchtswortels [] De functie x 2 = p heeft twee oplossingen ls p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing ls p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen ls p < 0; Het bovenstnde geldt bij
Resultatenoverzicht wiskunde B
Resulttenoverzicht wiskunde B In dit document zijn door dpt Wiskunde lle resultten vn het VWO-eindexmenprogrmm beknopt smengevt m.u.v. het domein Voortgezette Meetkunde. Kijk voor meer informtie op: www.dptwiskunde.nl.
Cursus Wiskunde 6 STW Schooljaar
Cursus Wiskunde 6 STW Schooljr 0-0 Leerkrcht: Hugo Ps hugops@gmilcom o vi SmrtschoolWebsite: http://usersskynetbe/hps Sint- Mrtinusscholen Asse TSO- BSO Wiskunde 6 STW Studeren is een continu proces Inhoudstel
Wiskundige Analyse 1
Wiskundige Anlyse 1 Belngrijkste stellingen 1 Getllen Driehoeksongelijkheid : b ± b + b Supremumprincipe : Elke nietlege verzmeling reële getllen die nr boven begrensd is, heeft een supremum Infimumprincipe
Voorbereidende opgaven Stoomcursus
Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin
Inleiding Natuurwetenschappen
Inleiding Ntuurwetenschppen Tijden: september: 7:45 :45 3 september: 7:45 :45 6 september: 09:30 3:30 Loctie: Adres: Leuvenln, Utrecht Gebouw: Mrius Ruppertgebouw Zl: A Opdrchtgever: Jmes Boswell Instituut
Opbouw van het boek: overzicht
Opbouw vn het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Deel I: intuïtief Deel II: rigoureus 8: Limieten en continuïteit omschrijving en definities limieten berekenen smptoten continuïteit onderzoeken
Voorbereidende opgaven Herkansingscursus. Rekenregels voor vereenvoudigen
Voorbereidende opgven Herknsingscursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt
Kwadratische reciprociteit
Kwdrtische recirociteit René Pnnekoek 9 februri 011 Inleiding: kwdrten in Z/Z Beschouw de ring Z/Z en een element Z/Z. We willen weten of een kwdrt is, oftewel of er x Z/Z bestt zodnig dt x. Voor concrete
3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg
3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls
3. BEPAALDE INTEGRAAL
3. BEPAALDE INTEGRAAL In dit hoofdstuk gn we op zoek nr een lgemene mnier om de oppervlkte vn een willekeurig vlkdeel te eplen. We ouwen onze redenering op vi ondersommen, ovensommen en Riemnnsommen om
Formularium goniometrie
Jr 6 : Formulrium 6u en 7u Formulrium goniometrie sin α cos α Definities : tn α cot α secα cscα cos α sin α cos α sin α Gevolg : tn α cot α cot α tn α Hoofdformule : cos sin Gevolg : tn sec cot csc α α
a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim
BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +
2 Opgaven bij Hoofdstuk 2
2 Opgven bij Hoofdstuk 2 Opgve 2. De functie f : R 2 R is gedefinieerd door ) Bewijs dt f continu is op R 2 \ {(, )}. f(, y) = 2 y 2 + y 2 ls (, y) (, ) f(, ) =. b) Bewijs dt voor iedere R de functie y
Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):
Deel A Clculus Anbevolen ctergrondlitertuur met veel opgven (en oplossingen): Frnk Ayres: (Scum s Outline of Teory nd Problems of) Clculus. McGrw-Hill Compnies, 999, 578 p., ISBN: 749736. Micel Spivk:
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord
Voorbereidende opgaven Stoomcursus
Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht
Machten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Getallenverzamelingen
Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.
Verzamelingen. De natuurlijke getallen. = 0 verzameling van de strikt natuurlijke getallen. De gehele getallen
Verzmelingen De ntuurlijke getllen = {,1,2,3,4,... } = verzmeling vn de strikt ntuurlijke getllen De gehele getllen = {..., 3, 2, 1,,1,2,3,... } = verzmeling vn de strikt gehele getllen + = verzmeling
1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4
F G H I J. 5480
() Nm : Kls: Dtum: A. 06 Uit ln + ln( ) = ln volgt dt gelijk is n ) ) ) ) ) g.v.d.v. B. 77 + b ) b ) (+ is gelijk n b ) ) b) ).b b F. 7 kn ook geschreven worden ls ) e ) e ) e ( ) ln e ) ) e G. 7 9 Als
1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.
Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:
5.1 Rekenen met differentialen
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 5 Substitutie We hebben gezien dt de productregel voor de fgeleide een mnier geeft, om voor zeker functies een primitieve te vinden,
Eindexamen vwo wiskunde B pilot I
Onfhnkelijk vn mimumscore 5 f ' ( x) = e + ( + ) e f' ( x ) = 0 voor x = f ( ) = (dus P (, ) ) e e Hieruit volgt dt lle punten P dezelfde y-coördint hebben, dus liggen l deze punten op één (horizontle)
1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 42 8 5 3 53 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4 24
Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening
Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5
== Modeluitwerking tentamen Analyse 1 == Maandag 14 januari 2008, u
== Modeluitwerking tentmen Anlyse == Mndg 4 jnuri 8, 4.-7.u. Formuleer de Tussenwrdestelling. Als f :, b] R continu is en s R ligt tussen f en fb, dn bestt er een c, b] met fc = s. b Toon n, dt de vergelijking
2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.
Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos
3 Exponentiële functies en logaritmische functies
Eponentiële functies en logritmische functies Bij wiskunde B heb je l eerder te mken gehd met eponentiële en logritmische functies. In dit hoofdstuk gn we er wt dieper op in en lten we een ntl toepssingen
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.
1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4
Differentiatie van functies
Deel II Clculus Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 6 Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid erlen we voor de meest
PR en QR snijden de grote as van E in respectievelijk U en V. Bewijs dat de vector UV. x 2y. a 4b. sin sin cos cos. a b 2 2. cos cos, sin sin.
Oplossing Op e ellips E neem je twee vste punt P Q e vernderlijk punt R De middelloodlijn vn e constnte PR QR snijd de grote s vn E in respectievelijk U V Bewijs dt de vector UV vector is (dus onfhnkelijk
dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
![dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π](/thumbs/59/43623915.jpg "dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π")
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Zomercursus Wiskunde
Ktholieke Universiteit Leuven September 0 Module Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie (versie ugustus 0) Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Inhoudsopgve Primitieve
Merkwaardige producten en ontbinden in factoren
6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed
De stelling van Rolle. De middelwaardestelling
De stelling vn Rolle Als f : [, b] R, continu is op [, b] en differentieerbr op (, b) en f() = f(b) dn is er een c (, b) zodt f (c) = 0. De middelwrdestelling Als f : [, b] R, continu is op [, b] en differentieerbr
KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN
KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden
Lineaire formules.
www.betles.nl In de wiskunde horen bij grfieken beplde formules wrmee deze grfiek getekend kn worden. zijn formules die in een grfiek een reeks vn punten oplevert die op een rechte lijn liggen. In de vorige
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olympide 99 993 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord
Vectoranalyse voor TG
college 5 De tweevoudige integrl collegejr : 8-9 college : 5 build : 27 ugustus 28 slides : 48 Vndg dubbel en De tweevoudige integrl en inhoud 2 Herhlde integrl 3 4 Poolcoördinten intro VA Wt is een integrl?
Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de juiste volgorde te worden opgelost.
SBC AMDG Ma 13/12/04 klas : 5WEWI8 5GRWI8 Van Hijfte D. toegelaten : grafisch rekentoestel Examen Wiskunde deel I (90p) Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de
Ongelijkheden groep 2
Ongelijkheden groep Rvi & Cuchy-Schwrz Trnstrendtriningsdg (triningsdg, 6 mrt 009 Cuchy-Schwrz Cuchy-Schwrz Voor reële getllen x,, x n en y,, y n geldt: x i y i en bijgevolg x i y i n n met gelijkheid
Wiskundige Structuren
wi1607 Wiskundige Structuren Cursus 2013/2014 Ev Coplkov Bs Edixhoven Lenny Telmn Mrk Verr i Inhoudsopgve I Verzmelingen en fbeeldingen........................................... 2 I.1 Nottie....................................................................
Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..
Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.
Eigenwaarden en eigenvectoren
Hoofdstuk I. Lineire Algebr Les 4 Eigenwrden en eigenvectoren In het voorbeeld vn de verspreiding vn de Euro-munten hebben we gezien hoe we de mix vn munten n floop vn n jr uit de n-de mcht A n vn de overgngsmtrix
Bespreking Examen Analyse 1 (Juni 2007)
Bespreking Exmen Anlyse 1 (Juni 2007) Voorf: Zols ik ook vorig jr in juni en in september gedn heb, geef ik hier bedenkingen bij het exmen vn deze junizittijd. Ik zorg ervoor dt deze tekst op toledo komt,
ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011
ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN MEI ) (Andere ntwoorden zijn niet noodzkelijk (geheel) incorrect) () Enkelvoudig ontrd ofwel niet-ontrd. Niveu met energie C= heeft een deeltje
Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²
Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven
REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM
REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei
Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:
Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige
Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I
chten vn een derdegrdsfunctie Gegeven is de functie 3 2 1 3 4 4 f ( x) x x op het domein [0, 3]. V is het gebied ingesloten door de grfiek vn f en de x-s. 5p 1 ereken lgebrïsch de excte wrde vn de oppervlkte
Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I
Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,
4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat
Modelvrgstukken Algebr vn wortelvormen Tenzij expliciet nders vermeld stellen lle letters positieve getllen voor Vereenvoudigen vn enkelvoudige wortels ; Dit is gewoon de bsisregel ) ) 8 ) ; ) Een 8-ste
Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor
Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2
Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als
Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden
Werkoek Alger (cursus voor u wiskunde) hoofdstuk : Oplossen ongelijkheden vn e gr met on in Nm:. Hoofdstuk : Ongelijkheden - -. Ongelijkheden Vul in met of : 0,... 0,07 we zeggen dt 0,... is dn 0,07 -,...
Proeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen
Proeftentmen LAI (tweede deel), voorjr 2006 Uitwerkingen 1. Lt zien: ls R een trnsitieve reltie op A is, dn is R 2 (dt wil zeggen R R) ook trnsitief. Lt vervolgens zien dt heel lgemeen geldt: ls R trnsitief
HOOFDSTUK 3 : LOGARITMISCHE FUNCTIES
HOOFDSTUK : LOGARITMISCHE FUNCTIES Kern : Logaritmen a) D t 5 t (D in grammen ; t in dagen) D 5 9 gram b) 5 t t 6 t log 6 log 6 log a) log9 9 b) 5 log5 5 5 5 c) log 5 5 d) 5 e loge 7 e e 7 7 e) log 5 5
Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek
Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,
Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B
Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen
Parate kennis wiskunde
Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr
Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de
Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek
Henk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Jn vn de Crts Henk Pijls De kromme gevormd door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten NAW 5/9 nr. mrt 08 9 Jn vn de Crts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit vn Amsterdm j.vndecrts@uv.nl
10.8. De Laplace vergelijking. De warmtevergelijking in meerdimensionale ruimten heeft de volgende vorm :
1.8. De Lplce vergelijking. De wrmtevergelijking in meerdimsionle ruimt heeft de volgde vorm : in R 2 : α 2 (u xx + u yy ) = u t in R 3 : α 2 (u xx + u yy + u zz ) = u t. Hierbij stelt u(x, y, t) de tempertuur
Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie
Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0
I Vectoren in R. I.0 Inleiding
I Vectoren in R I Inleiding Een vector is een wiskundig begrip dt centrl stt in de wiskunde zelf, mr dt ook een grote rol speelt in nder vkken, in het bijzonder de ntuurkunde en de econometrie In dit hoofdstuk
rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar
Hoofdstuk 5 - machten, eponenten en logaritmen rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar 0. voorkennis HERLEIDEN VAN MACHTEN - rekenregels voor machten Bij het vermenigvuldigen van
OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN
OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde
MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN
III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende
Toepassingen op Integraalrekening
Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes
Eindexamen vwo wiskunde B pilot I
Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t www. - - nfhnkelijk
13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur
wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor
UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT WETENSCHAPPEN. OPLEIDING baccalarius=batselier=bachelor WISKUNDE ANALYSE I
UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT WETENSCHAPPEN OPLEIDING bcclrius=btselier=bchelor WISKUNDE ANALYSE I Prof. J. Vinds Editie 2015-2016 Anlyse I behndelt Functies vn één reële vernderlijke. Met dnk n Prof. C.