1. Orthogonale Hyperbolen

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "1. Orthogonale Hyperbolen"

Transcriptie

1 . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies heten orthogonale hyperbolen. We zullen beginnen met het eenvoudigste voorbeeld, de functie waarbij a 0, b, c en d 0.. De grafiek van de functie y Om de grafiek te tekenen van de functie f () kan men f() berekenen voor enkele waarden van / -¼ 0 ¼ / f() - / - / X 4 / / Voor 0 is de functie niet gedefinieerd. Als je deze puntenparen in een assenstelsel tekent en ze onderling verbindt met een vloeiende lijn krijg je de volgende figuur. De grafiek heeft geen snijpunt met de X-as, want f() is voor geen enkele waarde van nul. Toch heeft de X-as een bijzondere betekenis voor de grafiek. Zo is f(00) 0,0 en f(-00) - 0,0. Hoe groter we kiezen, des te dichter komt de waarde van f() bij nul, en Hoe groter we kiezen (heel erg negatief), des te dichter komt de waarde van f() bij nul. Nul wordt de functiewaarde echter nooit. Dit zeer dicht in de buurt van 0 komen van de functiewaarde geven we in de wiskunde aan met de volgende notatie s: lim 0 en lim 0 Dit spreken we uit als: de limiet voor gaat naar oneindig van f() is o en de limiet voor gaat naar min oneindig van f() is o. J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz

2 In de grafiek zien we ook dat voor de hele grote en de heel kleine waarden van de grafiek van f() bijna samenvalt met de -as. De -as heet dan horizontale asymptoot. Ook in de buurt van 0 zien we dat er iets speciaals gebeurd. Als de waarde van steeds dichter bij 0 komt (van de positieve kant uit) wordt de functiewaarde steeds groter. Als de waarde van steeds dichter bij 0 komt (van de negatieve kant uit) wordt de functiewaarde steeds kleiner (komt verder van 0 af).voor erg kleine warden van valt de grafiek van f() bijna samen met de y-as. Dit naar oneindig gaan van de functiewaarde als naar 0 gaat geven we in de wiskunde aan met de volgende notatie s: lim en lim Dit spreken we uit als: de limiet voor gaat van boven naar van f() is oneindig en de limiet voor gaat van onderen naar 0 van f() is min oneindig. Deze limieten worden ook vaak samengepakt en dan staat er de formule: lim 0 In dit geval, omdat het gaan naar oneindig en naar min oneindig gebeurt bij 0, heet de lijn 0 verticale asymptoot. Samengevat heeft de functie verticale asymptoot 0. f () dus asymptoten, horizontale asymptoot y 0 en a + b Algemeen: Bij gebroken lineaire functies: y c + d d Verticale asymptoot als de noemer 0 is, dus c a Horizontale asymptoot y c Opmerkingen: Men kan de horizontale asymptoot ook vinden door in de breuk die f() is teller en b a + a + b noemer door te delen. Dan wordt het: f () Hierin kan men c + d d c + gemakkelijk zien dat voor erg grote waarden van b naar 0 gaat en de teller dus gelijk wordt aan a. zo gaat ook in de noemer d naar 0 en de noemer wordt dus dan gelijk aan c Als de breuk zodanig te vereenvoudigen is, zodat je een breuk zonder overhoudt, dan heet het natuurlijk geen hyperbolische functie. Deze hyperbolen heten orthogonaal omdat de asymptoten loodrecht op elkaar staan. Er zijn ook andere hyperbolen, maar die behandelen we hier niet. J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz

3 . Het nader onderzoek van de orthogonale hyperbool + Hiervoor nemen we een wat moeilijker voorbeeld: f () Het onderzoek verrichten we puntsgewijs op de volgende wijze: Domein: Hiervoor moeten we kijken in welke punten de functie niet gedefinieerd is. Die punten horen niet bij het domein. Aangezien we hier te maken hebben met een breuk hebben we beperkingen. In de nulpunten van de noemer is de reuk niet gedefinieerd. In dit geval is dat indien 0, d.w.z.. dus D f R \ {} Nulpunten: + Hiervoor moeten we oplossen de vergelijking f() 0 oftewel 0 + Dit geeft: Dus een nulpunt voor - Verticale asymptoot: Voor - is de noemer nul, dus daar een verticale asymptoot Horizontale asymptoot: y Tabel / / 4 5 f() / X / Plaatje J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz

4 . Snijpunten van de orthogonale hyperbool met andere grafieken Net zoals we het bepalen van snijpunten bij parabolen deden, moeten we er hier ook op letten dat de functies in de goede vorm geschreven zijn. Dus steeds schrijfwijzen als y. of als f().. Voorbeeld Bereken de coördinaten van de snijpunten van de hyperbool 4 y met de parabool y Oplossing: We stellen eerst de twee functievoorschriften aan elkaar gelijk: We hebben nu een breuk die nul moet zijn. Dit kan allen als de teller nul is en de noemer dan niet nul is. Teller is 0 betekent : Voor deze waarde is de noemer niet nul, dus oplossing. Dit geeft dat de -coördinaat van het snijpunt is en de y-coördinaat kunnen we vinden door het invullen van in het voorschrift van hyperbool of parabool. Dit geeft y Dus snijpunt van hyperbool en parabool is punt (, ).4 Opgaven Opgave.: Geef van de volgende functies zo mogelijk de vergelijking van de horizontale en de verticale asymptoot a) f () b) + 4 f () 9 c) + f () + 6 d) f () + 6 Opgave. Bereken van elk van de volgende functies de nulpunten en de vergelijkingen van de asymptoten en schets de grafiek. a) b) c) f () f () f () + + J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 4

5 d) f () + Opgave. Bereken zo mogelijk de coördinaten van het (de) snij- of raakpunt(en) van de grafieken van de functies f en g: a) + f () g() 4 - b) + f () g() c) f () g() d) f () g() J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 5

6 Logaritmen In dit hoofdstuk komt een nieuwe bewerking, logaritme nemen, aan de orde. Bovendien maken we kennis met functies waarin logaritmen voorkomen en de daarmee samenhangende eponentiële functies. Deze functie komen we vaak tegen in vraagstukken waarbij rente op rente een rol speelt.. Het begrip logaritme De bewerkingen optellen en vermenigvuldigen hebben hun tegengestelde, namelijk aftrekken en delen. Ook machtsverheffen heeft een tegengestelde bewerking, namelijk worteltrekken. Bij machtsverheffen zien we in onderstaand voor beeld dat er ook nog een andere tegengestelde bewerking is dan worteltrekken. Bewerking tegengestelde bewerking of : of 6 : 8 8 of? Welke bewerking moet op de plaats van het? staan? Dat moet een bewerking zijn die losgelaten op de getallen en 8, het getal oplevert. In woorden luidt die bewerking: de macht van die 8 oplevert (). Dit wordt afgekort tot log8 (). Spreek uit als : de logaritme van 8 () Het getal bovenaan de l van log wordt het grondtal van de logaritme genoemd. Definitie logaritme: g loga is die macht van g die a oplevert, of in formulevorm: g loga b g b a Eisen hierbij:a > 0 en g > 0 en g Uit de definitie van logaritme volgt direct: g log(g n ) n Voorbeelden: log9 want 9 0 log000 want log 5 want 5 5 log( / 5 ) - want 5 - / 5 log( / 8 ) - want - / 8 log want log In al bovenstaande voorbeelden is het antwoord, soms met enige moeite, direct te zien. In de volgende voorbeelden gaat dat wat moeilijker, je moet eerst wat omschrijven. log( ) log( ) log J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 6

7 log( ) log( ) log log( ) log( ) log0 0 0 Soms is echter ook na herschrijven geen oplossing te vinden. Denk bijvoorbeeld aan log4, 0 log, Voordat we hier aan gaan werken nog een afspraak: De logaritmen die het vaakst gebruikt worden zijn de logaritmen met grondtal 0 en met grondtal e. De logaritme met grondtal e heet natuurlijke logaritme en de logaritme met grondtal 0 heet Briggse logaritme. Daarvoor zijn er dan ook specifieke schrijfwijzen in gebruik: log 0 log ln e log Terug naar de voorbeelden die we nog niet op konden lossen. In die gevallen moeten we gebruik maken van tabellen of van een rekenmachine om het antwoord te vinden. Dit zal meestal een benadering zijn. Een tabel van logaritmen die je kunt maken past bij precies een grondtal, voor elk grondtal heb je een aparte tabel nodig. In een ver verleden werd er bijna altijd gewerkt met logaritmen met grondtal 0, en de laatste 50 jaar is de logaritme met grondtal e in opkomst. Hiervan had men, tot de opkomst van de rekenmachine, tabellen. Op je rekenmachine zitten ook knoppen voor logaritmen, de knoop voor logaritme met grondtal 0, log en de knop voor logaritmen met grondtal e, ln Voorbeeld log,67786 ln, En wat met de voorbeelden die een ander grondtal hebben? Hierop komen we aan het eind van de volgende paragraaf terug.. Eigenschappen voor logaritmen De volgende rekenregels gelden er voor logaritmen, ze hangen sterk samen met machten en zijn op die manier ook redelijk makkelijk te bewijzen. Dit zullen we hier echter niet doen. Bij elk van de volgende formules geld: g>0 en g, a> 0 en b> 0 Bij elk van de volgende formules geld: g>0 en g, a> 0 en b> 0. g loga + g logb g log(a b) g g g a log a - log b log( ) b g loga n n g loga g a log log g log a voorbeelden: 6 log9 + 6 log4 6 log(9 4) 6 log6 6 log6 5 log5 5 log 5 log( 5 / ) 5 log5 J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 7

8 log6 log6 log log6 log9 log( 6 / 9 ) log log 7 log 7 log 7 0 log 7 log 7 log 7, log 5 log 5. Vergelijkingen met logaritmen Met logaritmische vergelijkingen moeten we voorzichtig zijn. Het kan namrelijk voorkomen dat een gedeelte van de oplossingen vervalt, omdat voor die waarden de gebruikte logaritmen niet gedefinieerd zijn. Voorbeeld Los op voor R: log(+6) Oplossing: log(+6) ( )( + ) 0 - en als je niet kunt ontbinden neem je de abc-formule. We hebben hier te maken met een vergelijking met logaritmen, dat geeft de volgende etra eisen: grondtal > 0 en ongelijk, d.w.z. in dit geval > 0 en je kunt alleen logaritmen nemen uit positieve getallen, d.w.z. in dit geval + 6 > 0 Dus uiteindelijke Oplossingsverzameling: OV {} Voorbeeld Los op voor R: 4 log4 log + Oplossing: op grond van eerste logaritme: 4 > 0, d.w.z. > 0 op grond van tweede logaritme: > 0 Uit de vergelijking volgt: Eerst alles in logaritmen met grondtal, (4 of 0 kan ook) log 4 log + log log 4 log 4 log log 4 log log 4 log( ) ( ) 0 0 Dus O.V. {} J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 8

9 .4 Logaritmische functies Een logaritmische functie is een functie, waarin in het voorschrift de logaritme van de variabele, of van een functie van de variabele voorkomt. Voorbeeld: f() log Voor deze functie geldt: Domein: R +, want allen logaritmen van positieve getallen zijn gedefinieerd. Nulpunten: log 0 0 Asymptoten: Als van boven naar 0 gaat, wordt de functiewaarde van f steeds kleiner, meer negatief, hij gaat naar min-oneindig. De lijn 0 is dus verticale asymptoot. Tabel / 8 / 4 / 4 8 f() Plaatje: 4 y Voorbeeld f() log log log f() log log log is log gespiegeld in de -as, dus heeft verder onderzoek geen noodzaak meer. Dat is allemaal al gedaan bij het eerste voorbeeld. Opmerkingen: Als 0 < g <, dan is de functie g log dalend. Als g>, dan is de functie g log stijgend Snijpunten van logaritmische functies en andere functies zijn ook weer te herleiden tot vergelijkingen. J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 9

10 Oplossen van ongelijkheden met logaritmen gaat het makkelijkst door ze te beschouwen als ongelijkheden, met aan beide kanten een functie. Maak van beide functies de grafiek, en bepaal de snijpunten door de bijbehorende vergelijking op te lossen. Uit het plaatje kun je dan de oplossingsverzameling aflezen..5 Opgaven Opgave. Bereken: a) 5 log5 b) log0,00 c) log 0 d) ln( e e) e) log f) log0 opgave. Vereenvoudig: a) log9 log4½ b) log6 + log½ c) 0 log600 0 log6 d) 5 log0 + 5 log½ e) ½ log50 - ½ log5 g) h) 7 log log4096 i) log 0, 5 5 j) log( ) k) ln99 l) log7 f) log5 + log8 - log 0 g) log8 + log6 - log h) log9 log6 + log5 log + log4 opgave. Los de volgende vergelijkingen op in R, rond de antwoorden eventueel af op 4 cijfers achter de komma, maar geef eerst het eacte antwoord. a) log5 g) 5 6 b) 5 log( - ) h) 6 5 c) 0 log 0 i) log + log d) log0 e) 0 f) 0 j) log 5 + log5 k) 4 log( + ) + 4 log l) 5 log( - ) + 5 log( ) opgave.4 Schets in één figuur de grafiek van de functies f() log, g() 4 log en h() log J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 0

11 Differentiëren Differentiëren is een van de belangrijkste onderwerpen in de wiskunde. Op een hoop plaatsen wordt het toegepast. Met name als in economische onderwerpen het woord marginaal valt, dient aan differentiëren te worden gedacht.. De steilheid van een grafiek. Bij een rechte lijn is de steilheid van de grafiek heel gemakkelijk uit te rekenen. Hij is in elk punt hetzelfde. Neem hiervoor het verschil van de y-coördinaten van punten ( y) en deel dit door het verschil van de -coördinaten van die punten ( ). (Dit is de richtingscoëfficiënt van die lijn.) y Voor de grafiek van een functie die geen rechte lijn is, is dat wat moeilijker. Het quotiënt is van het gekozen tweetal punten afhankelijk. Daarom kunnen we bij een grafiek die geen rechte lijn is alleen maar spreken ver de steilheid in een punt. Voor de steilheid in een punt van een grafiek kiezen we de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt. Hoe kunnen we deze vinden? Ga uit van het punt P en de grafiek van de functie f. Als we de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt P aan de grafiek van f willen bepalen kiezen we de lijn door P(, f()) en een punt er dicht in de buurt, Q(+h, f(+h)) en nemen de lijn door P en Q. Als we nu h steeds kleiner maken zodat Q steeds dichter bij P komt, veranderd de lijn in de raaklijn in P. Dit in formulevorm uitgedrukt geeft: f ( + h) f() y h lim als richtingscoëfficiënt voor de raaklijn. lim h 0 0 y-as Q f P 0 +h -as De uitdrukking lim f ( + h) f() y h lim noemen we de afgeleide van f() en duiden h 0 0 we aan met f (). Gelukkig hoeven we niet voor elke functie moeilijk te gaan doen met limieten om de afgeleide te bepalen. Dit bepalen van de afgeleide wordt ook wel differentiëren genoemd. Gelukkig hebben de wiskundigen een aantal regels bedacht voor het differentiëren en van een aantal functies de afgeleide bepaald. De functies waarvan de afgeleiden bekend zijn zullen we standaardafgeleiden noemen. J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz

12 . De standaardafgeleiden De functies waarvan de afgeleiden bekend zijn zijn: f() c (contante) f () 0 f() n (n R \ {0}) f () n n- f() e f () e f() a (a R + \ {}) f () a lna f() ln f () f() a log (a R + \ {}) f () ln a voorbeelden: f() 5 f () 0 f() 0 f () 0 f() 0 f () 0 9 f() f () f() f (). De voortbrengingsregels Met de in de vorige paragraaf genoemde standaardafgeleiden kunnen we lang niet alle functies differentiëren. Daarvoor hebben we ook nog rekenregels nodig, voortbrengingsregels genaamd... Voortbrengingsregel C is een constante f() c g() f () c g () voorbeelden f() 5 f () 5 5 f() f () 6 f() -0 0 f () f() ln f ().. Voortbrengingsregel : de somregel f() g() h() f () g () h () voorbeelden f() + f () + J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz

13 f() 5 + f () 5 4 f() ln( e ) ln( ) + ln(e ) ln + f () Voortbrengingsregel : de produktregel f() g() h() voorbeelden f() ( - + 5)( - 5) 5 4 f() ( 5) 5 f () g () h() + g() h () f'() ( - )( - 5) + ( - + 5)(4) ( 5) f () ( 5) + ( 5) ( 5) + f() e f () e + e f() ln f () ln + ln + ( 5)..4 Voortbrengingsregel 4: de quotiëntregel f() g() h() g'() h() - g() f () (h()) h'() voorbeelden + 5 f() + f() f() + 5 ln ( + ) ( + 5) ( ) f'() ( + ) ( + ) ( + ) 6( ) ( + 5) ( ) f'() ( ) ( ) ln ln f'() ( ) J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz

14 ..5 Voortbrengingsregel 5: de kettingregel voorbeelden f() ( -7+5) f() e f() e -+5 f() g(h()) f () g (h()) h () in onze situatie worden dit de volgende regels: f() (h()) n f () n(h()) n- h () f() e h() f () e h() h () f() ln(h()) f () h'() h() f'() ( -7+5) (6-7) f'() e e f'() e -+5 (-) -e -+5 f () e f '() e ( ) f() ( 5) ( 5) f'() ( 5) (6 5) 6 5 ( 5) f() ln( -) f '() f() ln(e e +) f '() e e + e + f() a ln log ln f '() ln a ln a ln a ln a f() a log( +) ln( + ) ln( + ) f '() ln a ln a ln a + ln a ( + ).4 De vergelijking van de raaklijn in een punt van de grafiek Omdat de afgeleide functie de richtingscoëfficiënt is van de raaklijn, kun je deze gebruiken bij het bepalen van de vergelijking van de raaklijn. Voorbeeld Bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt P (, 7) aan de grafiek van de functie f() -5 raaklijn ziet er uit als : Hierbij geld: y a + b a f '() f'() * a f '() 6 * Daarmee wordt de vergelijking: y + b Punt P op lijn: 7 * + b b Dus vergelijking raaklijn: y - 7 J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 4

15 .5 Opgaven Opgave. a) f() b) f() 7 h) f ( ) c) f() 0 7 i) f ( ) a +b + c 999 d) f ( ) 999 j) f ( ) e) f( ) 4 f) f ( ) k) f ( ) g) f() ( + ) l) f ( ) Opgave. a) f ( ) c) f ( ) b) f ( ) d) f ( ) Opgave. a) f ( ) ln d) f ( ) ln b) f ( ) ln c) f ( ) ln ln e) f ( ) ln m) f ( ) 4 n) f ( ) o) f ( ) e) f ( ) f) f ( ) f) f ( ) ln Opgave.4 a) h() ( + ) b) h ( ) ( + ) ( - ) c) h( ) + ( - ) d) h ( ) ( +) ( + ) Opgave.5 - a) h( ) + b) h( ) - d) + h( ) c) h( ) - J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 5

16 Opgave.6 a) f ( ) ( + ) b) f ( ) 5 (4 ) c) f ( ) 4 d) f() ( + ) 4 Opgave.7 a) h( ) ln b) h( ) ln( ) + c) h( ) ln d) h( ) ln e) h( ) ln Opgave.8 a) f ( ) e b) f ( ) ( + ) e Opgave.9 a) f ( ) + + b) f ( ) 0-0 c) f ( ) + + d) f ( ) e) f ( ) Opgave.0 a) f ( ) ( - ) ( 9 + ) b) f ( ) ( + ) ( - 0 ) e) f() -6( 4) f) f ( ) ( - ) f) h( ) ln g) h ( ) ln h) h ( ) ln + e c) f ( ) d) f ( ) e ln 6 4 f) f ( ) g) f ( ) -0 + h) f ( ) c) f ( ) ( + + ) ( - ) 7 d) f ( ) 0 ( - + ) Opgave. + a) f ( ) - b) f ( ) - c) f ( ) - d) e) f) + ( ) - + ( ) - - ( ) + 5 f f f J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 6

17 Opgave. a) f ( ) ( - ) b) f ( ) ( - ) c) f ( ) ( - ) d) f ( ) ( + ) e) f ( ) ( + + +) f) f ( ) - g) f ( ) + 5 h) f ( ) - + i) f ( ) ( + ) - Opgave. Bereken de vergelijking van de raaklijn in het punt P aan de grafiek van de functie f in de volgende gevallen: a) f ( ) + 4 P ( - ; 6 ) b) f ( ) - - P ( 4 ; - 0 ) c) f ( ) - - P ( 0 ; 0 ) d) f ( ) P ( ; 0 ) J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 7

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Paragraaf 9.1 : Logaritmen

Paragraaf 9.1 : Logaritmen Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina van 5 Paragraaf 9. : Logaritmen Les Logaritmen Definitie Logaritmen Hoofdregel : g t = b t = g log b met domein b>0 Om logaritmen uit

Nadere informatie

9.1 Logaritmische en exponentiële vergelijkingen [1]

9.1 Logaritmische en exponentiële vergelijkingen [1] 9.1 Logaritmische en eonentiële vergelijkingen [1] Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels: (1) log( ab) log( a) log( b) g g g () g g g (4) (3) g n g (5) g log() = y volgt = g y Voorbeeld: a log

Nadere informatie

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011 Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de

Nadere informatie

HOOFDSTUK 3 : LOGARITMISCHE FUNCTIES

HOOFDSTUK 3 : LOGARITMISCHE FUNCTIES HOOFDSTUK : LOGARITMISCHE FUNCTIES Kern : Logaritmen a) D t 5 t (D in grammen ; t in dagen) D 5 9 gram b) 5 t t 6 t log 6 log 6 log a) log9 9 b) 5 log5 5 5 5 c) log 5 5 d) 5 e loge 7 e e 7 7 e) log 5 5

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren. Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

exponentiële standaardfunctie

exponentiële standaardfunctie 9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is

Nadere informatie

Algemene informatie. Inhoudelijke informatie

Algemene informatie. Inhoudelijke informatie Informatie over Colloquium doctum Wiskunde niveau 2 voor Bedrijfskunde, Economie, Fiscale Economie en Mr.-Drs. Programma Economie en Recht ERASMUS UNIVERSITEIT ROTTERDAM Algemene informatie Tijdsduur:

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. 5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN

VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN VIDEO 1 VIDEO 2 VIDEO 3 VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN De modulus (ook wel absolute waarde) is de afstand van een punt op de getallenlijn tot nul. De modulus van zowel -5 als 5 is dus 5, omdat -5 ook

Nadere informatie

Paragraaf 5.1 : Machten en wortels

Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Machtsregels SPECIAAL GEVAL MACHTREGEL 1 : MACHTREGEL 2 : MACHTREGEL : a p a q = a p+q a p aq =

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Paragraaf 5.1 : Wortelvormen en Breuken

Paragraaf 5.1 : Wortelvormen en Breuken Hoofdstuk 5 Machten en Eponenten (V Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 5.1 : Wortelvormen en Breuken Les 1 : Wortelformules, Domein en Bereik Definities Domein = { alle -en die je mag invullen in de formule

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

Reële functies. Deel I. 1. Rationale functies. 1. Definitie: gezien. 2. Homografische functies: zie onder

Reële functies. Deel I. 1. Rationale functies. 1. Definitie: gezien. 2. Homografische functies: zie onder Deel I Reële functies. Rationale functies. Definitie: gezien. Homografische functies: zie onder 3. Domein, nulpunten en tekenonderzoek: gezien. De functie f :. Domein f. Snijpunten met de X-as en de Y

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Paragraaf 4.1 : Kwadratische formules

Paragraaf 4.1 : Kwadratische formules Hoofdstuk 4 Werken met formules H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 41 : Kwadratische formules Les 1 : Verschillende vormen Er zijn verschillende vormen van kwadratische vergelijkingen die vaak terugkomen

Nadere informatie

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw

Nadere informatie

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling)

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling) Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Snelheden (en helling) Les 1 Benadering van de helling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde helling }

Nadere informatie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

Startrekenen Wiskit. Leerwerkboek deel 1 Functies. Basisvaardigheden wiskunde SANDER HEEBELS ROB LAGENDIJK JELTE FOLKERTSMA

Startrekenen Wiskit. Leerwerkboek deel 1 Functies. Basisvaardigheden wiskunde SANDER HEEBELS ROB LAGENDIJK JELTE FOLKERTSMA Startrekenen Wiskit Leerwerkboek deel 1 Functies Basisvaardigheden wiskunde SANDER HEEBELS ROB LAGENDIJK JELE FOLKERSMA JASPER VAN ABSWOUDE CYRIEL KLUIERS RIEKE WYNIA Inhoudsopgave evagposduohni Deel 1

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )

Nadere informatie

Standaardfuncties. x c

Standaardfuncties. x c Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het

Nadere informatie

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint.

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint. Training Vergelijkingen met logaritmen WISNET-HBO update jan. 0 Inleiding Voor deze training heb je nodig: de rekenregels van machten de rekenregels van de logaritmen Zorg dat je het lijstje met rekenregels

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 - Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

Rekenregels voor het differentiëren. deel 1

Rekenregels voor het differentiëren. deel 1 Rekenregels voor het differentiëren deel 1 Wisnet-HBO update febr 2010 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les "Wat is Differentiëren" gaan. Verder zijn er

Nadere informatie

Basisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies

Basisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies Basisvormen (algeraische denkeenheden) van algeraische epressies/functies,,,..,,, g g, log( ), sin(), cos() polynoomfuncties gerokenfuncties, vermenigvuldigingsfunctie Soort functies Standaardvormen met

Nadere informatie

1 Lineaire functies. 2 Kwadratische functies. 3 Gebroken functies. Info Wiskunde HBO

1 Lineaire functies. 2 Kwadratische functies. 3 Gebroken functies. Info Wiskunde HBO Info Wiskunde HBO Lineaire functies. Onderwerpen opgave. Formule, tabel en grafiek... Betekenis snijpunt lineaire grafieken.. t/m.. Functievoorschrift en constantes bij lineair verband.. t/m.6. Gelijkheden

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith,

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. 2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband

Nadere informatie

extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4

extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4 extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4 1. a. Teken in één assenstelsel de grafieken bij de formules y = 4x - 3 en y = 7 - x b. Bereken de coördinaten van het snijpunt c. Teken in hetzelfde assenstelsel de

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies

META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies Wat heb ik nodig: GR of afgeleide? Hoe ziet de grafiek eruit? Moet ik de afgeleide berekenen? Kan ik bij deze functie de afgeleide berekenen? Welke

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016

Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016 Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016 Inleiding In de cursus Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) wordt het volgende gebruikt het boek:

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek WERKBOEK REKENVAARDIGHEID Voeding en Diëtetiek 11 INHOUDSOPGAVE ACHTERGROND 3 1. Elementaire bewerkingen 4 2. Voorrangsregels (bewerkingsvolgorde) 8 3. Bewerkingen met machten 11 4. Rekenen met breuken

Nadere informatie

Calculus I, 19/10/2015

Calculus I, 19/10/2015 Calculus I, 9/0/05. a Toon aan dat de rationale functie f = 3 + 3 + voor alle 0 bekomen wordt via volgende procedure: Start met een gelijkbenige rechthoekige driehoek OAB, met B het punt, 0 op de -as,

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]

7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] 7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1:

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

INHOUDSOPGAVE. HOOFDSTUK 6 AFRONDEN Inleiding Cijfers Verstandig afronden 48 BLZ

INHOUDSOPGAVE. HOOFDSTUK 6 AFRONDEN Inleiding Cijfers Verstandig afronden 48 BLZ INHOUDSOPGAVE BLZ HOOFDSTUK 1 DOMEIN A: GETALLEN 15 1.1. Inleiding 15 1.2. Cijfers en getallen 15 1.3. Gebroken getallen 16 1.4. Negatieve getallen 17 1.5. Symbolen en vergelijken van getallen 19 HOOFDSTUK

Nadere informatie

Dictaat Rekenvaardigheden. Faculteit Wiskunde en Informatica

Dictaat Rekenvaardigheden. Faculteit Wiskunde en Informatica Dictaat Rekenvaardigheden Faculteit Wiskunde en Informatica 7 mei 007 Voorwoord Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de

Nadere informatie

exponentiële verbanden

exponentiële verbanden exponentiële verbanden . voorkennis Procenten en vermenigvuldigingsfactoren Procentuele toename met p%: g = + p 00 p = ( g ) 00 Procentuele afname met p%: g = p 00 p = ( g) 00 De constante factor In 859

Nadere informatie

Logaritmische functie

Logaritmische functie Logaritmische functie WISNET-HBO update aug 2013 1 Inleiding De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van logaritmen. Voorkennis van de rekenregels van machten is voor deze les beslist

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

4. Exponentiële vergelijkingen

4. Exponentiële vergelijkingen 4. Exponentiële vergelijkingen Exponentiële vergelijkingen De gelijkheid 10 3 = 1000 bevat drie getallen: 10, 3 en 1000. Als we van die drie getallen er één niet weten moeten we hem kunnen berekenen. We

Nadere informatie

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2 Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De

Nadere informatie

4. Exponentiële vergelijkingen

4. Exponentiële vergelijkingen 4. Exponentiële vergelijkingen De gelijkheid 10 3 = 1000 bevat drie getallen: 10, 3 en 1000. Als we van die drie getallen er één niet weten moeten we hem kunnen berekenen. We kunnen dus drie gevallen onderscheiden:

Nadere informatie

Wiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis

Wiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis Wiskunde voor economie drs. H.J.Ots Hellevoetsluis 15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nl Wiskunde voor economie Drs. H.J. Ots ISBN 90-70619-05-9 Webecon, Hellevoetsluis,

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 9 Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Les 1 : Lineaire Formules Definities Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = hellingsgetal

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

5. berekenen van limieten en asymptoten

5. berekenen van limieten en asymptoten hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten. berekenen van ieten en asymptoten.. inleiding Algebraïsche uncties zijn uncties die geconstrueerd kunnen worden met enkel de constante en identieke unctie,

Nadere informatie

Errata Moderne wiskunde 9e editie VWO B deel 2 hoofdboek

Errata Moderne wiskunde 9e editie VWO B deel 2 hoofdboek Onderstaande verbeteringen zijn gebaseerd op de eerste druk van deze titel. In bijdrukken worden fouten hersteld. Het is dus goed mogelijk, dat hier verbeteringen staan, die bij een nieuwe druk al zijn

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Didactische wenken bij het onderdeel analyse

Didactische wenken bij het onderdeel analyse Didactische wenken bij het onderdeel analyse Didactische wenken bij het onderdeel analyse 1/21 1. Eindtermen analyse Eindtermen ASO tweede graad ET 22 3 (4) aspecten van een functie ET 23 Standaardfuncties

Nadere informatie

Wisnet-HBO. update maart. 2010

Wisnet-HBO. update maart. 2010 Wat is Differentiëren? 1 Wat is differentiëren? Wisnet-HBO update maart. 2010 Differentiëren is eigenlijk het differentiaalquotient bepalen. Je begint met het delen van uiterst kleine verschillen op elkaar.

Nadere informatie

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel) Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de

Nadere informatie

Leerstof voortentamen wiskunde B. 1. Het voortentamen wiskunde B

Leerstof voortentamen wiskunde B. 1. Het voortentamen wiskunde B Leerstof voortentamen wiskunde B In dit document wordt de leerstof beschreven van het programma van het voortentamen wiskunde B op havo niveau te beginnen met het voortentamen van december 2017. Deze specificatie

Nadere informatie

Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo

Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Bijlage 7 Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Deze vragen kunnen gebruikt worden om aan het eind van klas 3 havo/vwo na te gaan in hoeverre leerlingen in staat zijn te

Nadere informatie

1 Lineaire functies Het verband tussen s en t kun je ook beschrijven met een formule of functievoorschrift.

1 Lineaire functies Het verband tussen s en t kun je ook beschrijven met een formule of functievoorschrift. Lineaire functies.. Formule, tabel en grafiek. Het verband tussen twee grootheden kun je op verschillende manieren beschrijven. We nemen als voorbeeld het verband tussen de afstand s tot een bepaald punt

Nadere informatie

exponentiële en logaritmische functies

exponentiële en logaritmische functies CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde exponentiële en logaritmische functies Exponentiële en logaritmische functies Machten van getallen 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van % per jaar

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

Dictaat Rekenvaardigheden. Loek van Reij

Dictaat Rekenvaardigheden. Loek van Reij Dictaat Rekenvaardigheden Loek van Reij 0 maart 006 i ii Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de daaraan verbonden profielkeuze

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

K.1 De substitutiemethode [1]

K.1 De substitutiemethode [1] K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met

Nadere informatie

V6 Programma tijdens de laatste weken

V6 Programma tijdens de laatste weken V6 Programma tijdens de laatste weken Datum ma. 18-4-11 di. 19-4-11 ma. 5-4-11 di. 6-4-11 ma. -5-11 di. 3-5-11 ma. 9-5-11 di. 10-5-11 Activiteit 1. Differentiëren. Vergelijkingen oplossen e Paasdag 3.

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Laatste nieuws Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde 2DB03, 2015-2016

Laatste nieuws Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde 2DB03, 2015-2016 Laatste nieuws Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde 2DB03, 2015-2016 Kwartiel 1, week 8.1 Op het college van dinsdag 20 oktober is het volgende behandeld: - opgaven van Oncourse over integralen

Nadere informatie

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u == en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de

Nadere informatie

10 log sin 20. Naam:

10 log sin 20. Naam: 10 log 10 80 24sin 20 Naam: 1 Inhoud Voorbereiding op het examen 3 Onderwerpen in grote lijnen 4-9 LOC-methode 9 Tips voor het examen 10 Vergelijkingen van parabolen 11 Planning opgaven examenbundel 12-15

Nadere informatie

Exponentiële vergelijkingen en groei

Exponentiële vergelijkingen en groei Exponentiële vergelijkingen en groei De gelijkheid 10 2 = 100 bevat drie getallen: 10, 2 en 100. Als we van die drie getallen er één niet weten moeten we hem kunnen berekenen. We kunnen dus drie gevallen

Nadere informatie

Kwadratische verbanden - Parabolen klas ms

Kwadratische verbanden - Parabolen klas ms Kwadratische verbanden - Parabolen klas 01011ms Een paar basisbegrippen om te leren: - De grafiek van een kwadratisch verband heet een parabool. - Een parabool is dalparabool met een laagste punt (minimum).

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

Vergelijkingen van cirkels en lijnen

Vergelijkingen van cirkels en lijnen Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie