Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling"

Transcriptie

1 Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil van twee natuurlijke getallen. Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen waarvan het tweede niet 0 is Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optellg - aftrekkg. vermenigvuldigg : delg getallenverzamelgen N is de verzamelg van de natuurlijke getallen. N = {0, 1, 2, 3, 4 } N₀ is de verzamelg van de natuurlijke getallen zonder nul. N₀ = {1, 2, 3, 4 } Z is de verzamelg van gehele getallen. Z = { -1, 0, 1 } Z₀ is de verzamelg van de gehele getallen zonder nul. Z₀ = { -1, 1 } Z+ is de verzamelg van de positieve gehele getallen. Z+ = {0, 1, 2 } = N Z is de verzamelg van de negatieve gehele getallen. Z = { -1, 0} Z₀+ is de verzamelg van de positieve gehele getallen zonder nul. Z₀+ = {1, 2 } = N₀ Z₀ is de verzamelg van de negatieve gehele getallen zonder nul. Z₀ = { -2,-1} Q is de verzamelg van de rationale getallen (= breuken). Q+ is de verzamelg van de positieve rationale getallen. Q is de verzamelg van de negatieve rationale getallen. Q₀+ is de verzamelg van de positieve rationale getallen zonder nul. Q₀ is de verzamelg van de negatieve rationale getallen zonder nul. Symbool Je leest Voorbeeld is een element van 2 N is geen element van -2 N = is gelijk aan = is verschillend van 3 2 is ongeveer gelijk aan 1 : 3 = 0,33 0,33 > is groter dan 2 > 1 < is kleer dan 1 < 2 is kleer of gelijk aan is groter of gelijk aan V voor alle V a, b N: a + b = b + a er bestaat V a N, b N: a b < 0! er bestaat juist één V a Z,! a Z: a + (-a) = -a + a = 0 is een deelverzamelg van N Z, N₀ N, Z+ Q+

2 is geen deelverzamelg van N Z₀, Z Q hieruit volgt een vierhoek is een vierkant een vierkant is als dan een rechthoek is equivalent met 3 is een deler van 6 6 is een veelvoud van 3 als en slechts als Werkwijze Voorbeelden Bewerkgen met rationale getallen. Optellen. Som van twee breuken Om een som te maken van twee breuken: 1. Vereenvoudig dien mogelijk elke breuk; 2. Maak de breuken gelijknamig; 3. Tel de tellers op en behoud de noemer; 4. Vereenvoudig dien mogelijk het resultaat. Werkwijze Voorbeelden Aftrekken. Verschil van twee breuken Om het verschil te maken van twee breuken: 1. Vereenvoudig dien mogelijk elke breuk; 2. Maak de breuken gelijknamig; 3. Trek de tellers af en behoud de noemer; 4. Vereenvoudig dien mogelijk het resultaat. Werkwijze Voorbeelden Vermenigvuldigen. Product van twee breuken Om het product te maken van twee breuken: 1. Bepaal het teken; 2. Noteer de grote breukstreep; 3. Vermenigvuldig de tellers met elkaar zonder dit product uit te werken; 4. Vermenigvuldig de noemers met elkaar zonder dit product uit te werken; 5. Vereenvoudig; 6. Vermenigvuldig de resterende tellers met elkaar en de resterende noemers met elkaar Delen. Quotiënt van twee breuken Werkwijze Om het quotiënt te berekenen van twee breuken (de tweede breuk mag niet 0 zijn), vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk. Volg dan de werkwijze van de vermenigvuldigg. Voorbeelden

3 Voorbeelden Machten. In woorden: Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je de teller en de noemer tot die macht. Let echter op! Volgorde van de bewerkgen. Staan er je opgave meerdere bewerkgen, dan werk je deze als volgt uit. 1. Als er haakjes de opgave staan, werk je die eerst uit. 2. Daarna bereken je alle machtsverheffgen en worteltrekkgen. 3. Dan bereken je de vermenigvuldiggen en delgen van lks naar rechts. 4. Ten slotte reken je de optellgen en aftrekkgen uit, ook van lks naar rechts. Werkwijze Voorbeelden Volgorde van bewerkgen 1. Haakjes 2. Machtsverheffgen en worteltrekkgen 3. Vermenigvuldiggen en delgen van lks naar rechts 4. Optellgen en aftrekkgen van lks naar rechts Werken met machten. Eigenschap Machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigen behoud het grondtal en tel de exponenten op Machten met hetzelfde grondtal delen behoud het grondtal en trek de exponenten af Een macht tot een macht verheffen behoud het grondtal en vermenigvuldig de exponenten Een product tot een macht verheffen verhef elke factor tot de macht Een quotiënt tot een macht verheffen verhef deeltal en deler tot de macht verhef teller en noemer tot de macht

4 Macht met negatieve exponent Breuken met decimale vormen Van breuk naar decimale vorm. Notatie rationaal getal: breukvorm of decimale vorm Soorten decimale vormen Begrensde decimale vorm Onbegrensde repeterende decimale vorm Aantal decimalen is begrensd Aantal decimalen is onbegrensd. Heeft een periode = decimalen die dezelfde volgorde terugkeren. Afspraak: 2 keer periode gevolgd door Zuiver repeterende decimale vorm Gemengd repeterende decimale vorm 2,75-3, p = 370 3,13636 p = 36 Niet-repeterend deel = decimalen tussen, en de periode n-rd = Van begrensde decimale vorm naar breuk. Van begrensde decimale vorm naar breuk Om een begrensde decimale vorm breukvorm te noteren: - Schrijf als teller het getal zonder komma; - Schrijf als noemer een macht van 10 met als exponent het aantal cijfers na de komma; - Vereenvoudig dien mogelijk het resultaat Van onbegrensde decimale vorm naar breuk frac enter. 1.2 Reële getallen: De reële getallen. Irrationaal getal is een getal met een onbegrensde, niet- repeterende decimale vorm. Reële getallen Rationale getallen Irrationale getallen 5-4,8 3,0505 0, ,0577 8, , Een reëel getal is een rationaal of een irrationaal getal.

5 Reële getallen op de getallenas p 24. Op getallenas tekenen we een vierkant ABCD met AB = 1. Oppervlakte of A = 1. Beschouw ABCD als ruit met [AC] = d = D = x A = (D. d) : 2 = 1 x² : 2 = 1 x² = 2 x = 2. Het reële getal dat met het punt op de rechte overeenkomt, noemen we de abscis van dit punt. Elk punt op de reële getallenas bepaalt juist één reëel getal en elk reëel getal bepaalt juist één punt op de getallenas. Gesloten terval voorstellg: notatie met ongelijkheden Open terval voorstellg: notatie met ongelijkheden: Halfopen terval voorstellg: notatie met ongelijkheden: Halfgesloten terval voorstellg: notatie met ongelijkheden: voorstellg: notatie met ongelijkheden: voorstellg: notatie met ongelijkheden: Begrensde deelverzamelgen van R. Voorbeeld Algemeen gesloten terval [- 3, 2] - 3 x 2 open terval ]- 3, 2[ - 3 < x < 2 half open terval, open -3 ]- 3, 2] -3 < x 2 half gesloten terval, open 2 [- 3, 2[ -3 x < Onbegrensde tervallen R. Voorbeeld Algemeen alle reële getallen groter dan of gelijk aan -5 [- 5, + [ x -5 alle reële getallen kleer dan of gelijk aan -5 ]-, - 5] x -5 gesloten terval [a, b] a x b open terval ]a, b[ a < x < b half open terval, open a ]a, b] a < x b half gesloten terval, open b [a, b[ a x < b alle reële getallen groter dan of gelijk aan a [a, + [ x a alle reële getallen kleer dan of gelijk aan a ]-, a] x a

6 voorstellg: notatie met ongelijkheden: voorstellg: notatie met ongelijkheden: alle reële getallen groter dan -5 ]- 5, + [ x > -5 alle reële getallen kleer dan -5 ]-, - 5[ x < -5 alle reële getallen groter dan a ]a, + [ x > a alle reële getallen kleer dan a ]-, a[ x < a Bijzondere deelverzamelgen van R. Kennen: p 27 leren. korte notatie met ongelijkheid: korte notatie met ongelijkheid: korte notatie met ongelijkheid: korte notatie met ongelijkheid: alle reële getallen die groter dan of gelijk zijn aan nul. de positieve reële getallen R+ = [0, + [ x 0 alle reële getallen die groter zijn dan nul de strikt positieve reële getallen R₀+ = ]0, + [ x > 0 alle reële getallen die kleer zijn dan of gelijk aan nul de negatieve reële getallen R = ]-, 0] x 0 alle reële getallen die kleer zijn dan nul de strikt negatieve reële getallen R₀ = ]-, 0[ x < Doorsnede, unie en verschil van tervallen. Doorsnede van tervallen [2, 8] [3, 9] Hiermee zoeken we de reële getallen die tot het eerste terval EN tot het tweede terval behoren. Grafisch kunnen we het resultaat als volgt vden: We bepalen de gemeenschappelijke reële getallen [2, 8] [3, 9] = [3, 8]

7 Unie (verenigg) van tervallen ]- 4, 0] ]- 2, 4] Hiermee zoeken we de reële getallen die tot het eerste terval OF tot het tweede terval behoren. Grafisch kunnen we het resultaat als volgt vden: ]- 4, 0] ]- 2, 4] = ]- 4, 4] Verschil van tervallen ]- 4, 0] \ [- 2, 5] Hiermee zoeken we de reële getallen die enkel tot het eerste terval en NIET tot het tweede terval behoren. Grafisch kunnen we het resultaat als volgt vden: ]- 4, 0] \ [- 2, 5] = ]- 4, - 2[ 1.3 Vierkantswortel en derdemachtswortel R: Vierkantswortel van een reëel getal. Positieve vierkantswortel: 25 = 5. Negatieve vierkantswortel: - 25 = -5. In woorden In symbolen Er geldt steeds: In woorden In symbolen Vierkantswortel: b is een vierkantswortel van a als en slechts als het kwadraat van b gelijk is aan a. a, b R+: a = b b² = a x R : x² = x x R+: x² = x x R : x² = -x Derdemachtswortel van een reëel getal. Derdemachtswortel De derdemachtswortel van een reëel getal is het getal waarvan de derdemacht gelijk is aan dat gegeven getal. a, b R : a = b b³ = a

8 1.4 Rekenen met reële getallen: 1. Eigenschappen van de optellg R + 2. Eigenschappen van de vermenigvuldigg R. In R: OPTELLING: VERMENIGVULDIGING: Intern: woorden Het optellen R is tern. Het vermenigvuldigen R is tern. symbolen a, b R : a, b R : a. b R Associatief: Neutraal element: Symmetrisch element: Commutatief: woorden symbolen woorden symbolen woorden symbolen woorden symbolen a + b R Het optellen R is associatief. a, b, c R : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c Nul is het neutraal element voor het optellen R 0 R en a R : a + 0 = 0 + a = a Elk element R heeft voor de optellg precies één symmetrisch element: zijn tegengestelde. a R,!-a R : a + (-a) = 0 = -a + a Het optellen R is commutatief. a, b R: a + b = b + a 3. Distributiviteit + 4. Rekenen R. Distributief In woorden Het vermenigvuldigen is distributief t.o.v. het optellen R. In symbolen a, b, c R : a. (b + c) = a. b + a. c a, b, c R : (a + b). c = a.c + b. c De vermenigvuldigg R is associatief. a, b, c R : (a. b). c = a. (b. c) = a. b. c Eén is het neutraal element voor de vermenigvuldigg R. 1 R en a R : a. 1 = 1. a = a Elk element R heeft voor de vermenigvuldigg precies één symmetrisch element: zijn omgekeerde. a R₀,!a R : a. a = 1 = a. a De vermenigvuldigg R is commutatief. a, b R : a. b = b. a In woorden In symbolen Verschil van twee reële getallen Het verschil van twee reële getallen is gelijk aan de som van het eerste getal met het tegengestelde van het tweede getal. a, b R : a b = a + (-b)

9 In woorden In symbolen In woorden In symbolen Quotiënt van twee reële getallen Het quotiënt van twee reële getallen (waarvan het tweede niet nul is) is gelijk aan het product van het eerste getal met het omgekeerde van het tweede getal a R, b R₀ : a : b = a. b Tegengestelde van een som Het tegengestelde van de som van twee reële getallen is gelijk aan de som van de tegengestelden van die getallen. a, b R : -(a + b) = (-a) + (-b) a R₀, n N a R₀ a R₀, n N Macht van reëel getal aⁿ = a.a.. a (n factoren) a⁰ = 1 a ⁿ = In woorden In symbolen In woorden In symbolen Tegengestelde van een product Om het tegengestelde van een product van twee of meer reële getallen te bepalen, moet je slechts één factor van teken veranderen. a, b R : -(a. b) = (-a). b = a. (-b) Omgekeerde van een product Het omgekeerde van een product van twee reële getallen is gelijk aan het product van de omgekeerden van die getallen. a, b R₀ : (a. b) = a. b a, b R₀, n, p Z : Product van machten met hetzelfde grondtal Quotiënt van machten met aⁿ. a = aⁿ+ aⁿ : a = aⁿ Rekenregels Behoud het grondtal en tel de exponenten bij elkaar op. Behoud het grondtal en trek de exponenten van elkaar af. hetzelfde grondtal Macht van een macht (aⁿ) = aⁿ Behoud het grondtal en vermenigvuldig de exponenten. Macht van een product (a. b)ⁿ = aⁿ. bⁿ Verhef elke factor tot de macht Macht van een quotiënt (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ Verhef teller en noemer tot de macht 1.5 Eigenschappen van vierkantswortels: 1. Kwadraat van de positieve vierkantswortel van een positief reëel getal. In woorden Het kwadraat van de positieve vierkantswortel van een positief reëel getal is steeds dit getal zelf. In symbolen a R+ : ( a)² = a en (- a)² = a Voorbeelden ( 13)² = 13 (- 13)² = 13

10 2. Positieve vierkantswortel van een som en van een verschil / = 3 Vierkantswortel van een som / verschil van 2 positieve reële getallen is niet altijd gelijk aan de som / verschil van de positieve vierkantswortel. 3. Positieve vierkantswortel van een product. 16.9?=? ?=? = = / = 12 / = / In woorden De positieve vierkantswortel uit een product van positieve reële getallen is gelijk aan het product van de positieve vierkantswortels van de factoren. In symbolen a, b R+ : a. b = a. b 4. Positieve vierkantswortel van een quotiënt. 36/4?=? 36/ 4-36/4?=? -36/ 4 9 = 6/2-9 = / /2 3 = 3 In woorden: De positieve vierkantswortel uit een quotiënt van positieve reële getallen waarvan de deler niet nul is, is gelijk aan het quotiënt van de positieve vierkantswortels uit deeltal en deler. In symbolen: a R+, b R₀+ : = 5. Vierkantswortel van een macht. 4³?=? ( 4)³ (-2)⁴?=? ( -2)⁴ 64 = 2³ 16 = / 8 = 8 4 / In woorden De positieve vierkantswortel uit een n-de macht van een positief reëel getal is gelijk aan de n-de macht van de positieve vierkantswortel van het getal. In symbolen a R+, n N : aⁿ = ( a)ⁿ a⁸ = a⁴ 1.6 Een vierkantswortel vereenvoudigen p 45: Wat staat er onder het wortelteken? 1) Letter als wortelgrondtal (alle letters stellen positieve reële getallen voor). a⁴ = a⁸ a = a a) Letter met even exponent: a⁷ = a⁶.a = a³ a a = a.a b) Letter met oneven exponent: 4) Som / verschil. Vierkantswortels van een som / verschil van twee positieve reële getallen is niet altijd gelijk aan de som / verschil van de positieve vierkantswortels.

11 1.7 Optellen en aftrekken van wortelvormen. 8 3 en 5 3 : gelijksoortige vierkantswortels omdat ze hetzelfde wortelgrondtal hebben. 3 en 33 : niet-gelijksoortige vierkantswortels omdat ze een verschillend wortelgrondtal hebben. Hoofdstuk 2: Veeltermen. Hoofdstuk 3 : Reële functies. Overzicht: Een functie is een verband tussen 2 veranderlijken x en y, waarbij voor elke x waarde hoogstens 1 y waarde bestaat. Het dome van de functie = de verzamelg van alle getallen waarvan een functiewaarde bestaat. Dom f = [- 3, 3] Het beeld van de functie = de verzamelg van alle functiewaarden die f kan aannemen. Bld f = [- 1, 2] Soorten functies. Constante functie a) heeft functievoorschrift van de vorm f(x) = q m = 0 q = R b) de grafiek is een rechte evenwijdig met de x-as of is de x-as zelf. Eerstegraadsfunctie a) heeft functievoorschrift van de vorm f(x) = mx + q met m 0 m, q R b) de grafiek is een rechte die beide assen snijdt. Nulpunt van de eerstegraadsfunctie Sy-as (0, q) Sx-as ( -q / m, 0) -q / m is het nulpunt van een eerstegraadsfunctie. Op een grafiek kan je het nulpunt herkennen als het 1 ste of x coördaatgetal van het snijpunt van de grafiek van de functie f met de x-as. Tekentabel van een eerstegraadsfunctie. x - -q / m + f(x) tegengestelde teken van m 0 teken van m Grafische betekenis van m het voorschrift f(x) = mx + q. Is m 0, dan is de functie f een eerstegraadsfunctie. Is m = 0, dan is de functie f een constante functie. Evenwijdige rechten hebben dezelfde richtgscoëfficiënt = m. m > 0: rechte stijgt m < 0: rechte daalt m = 0: rechte is evenwijdig met de x-as of is de x-as. Als A (x₁, y₁) en B (x₂, y₂) en (x₁ x₂) dan kunnen we de richtgscoëfficiënt of rico of m van de rechte AB berekenen met de formule: m = y₂ y₁ / x₂ - x₁

12 Grafische betekenis van q het voorschrift f(x) = mx + q q is 2 de of y coördaatgetal van het snijpunt van de grafiek van de functie f met de y-as. Sy-as (0, q) Functievoorschrift bepalen Zoek aan de hand van Sy-as (0, q) Zoek m aan de hand van de formule m = y₂ y₁ / x₂ - x₁ Of rechthoekig driehoekje tekenen waarbij m = y / x toegepast (let op teken bij dalende rechte) Rechten tekenen Zoek 2 coördaten aan de hand van Sy-as (0, q) Sx-as (-q / m, 0) Of een tabel waar je willekeurige x-waarden vult je functievoorschrift. x 2 3 f(x) = 2x = = Functies van de 1 ste graad: x = het aantal tickets. f(x) = de totale kostprijs. functievoorschrift: f(x) = 54x x + 20 = veelterm. De graad van deze veelterm is de grootste macht waar deze veelterm voorkomt. De graad van deze veelterm is 1. Dit is een veelterm of functie van de 1 ste graad of een eerstegraadsfunctie. Een eerstegraadsfunctie de veranderlijke x is een functie met een voorschrift van de vorm: f(x) = mx + q met m, q ℇ R en m 0. Waarde van m en q bij f(x) = 54x m = 54, q = 20. f(x) = 2 + 3x, m = 3 en q = 2 f(x) = 0,5x, m = 0,5 en q = 0 f(x) = 3x² - 9, geen eerstegraadsfunctie f(x) = x, geen eerstegraadsfunctie Grafiek: x f(x) = 2x -1 2.(-1) -1 = = = = 3

13 De grafiek van een eerstegraadsfunctie is een rechte die beide assen snijdt. Eerstegraadsfunctie: f(x) = mx + q, m 0 en mx + q is van de 1 ste graad omdat x exponent 1 heeft. dom f = R bld f = R Betekenis van m en q f(x) = mx + q: Hellgpercentage van 10 % = horizontale toename van 100 m en verticale toename van 10 m. De verhoudg (richtgscoëfficiënt) = verticale toename = 10 = 10 % horizontale toename 100 f(x) = mx + q m q stijgend of dalend? g(x) = 3x 3 0 Stijgend h(x) = x 1 0 Stijgend i(x) = -3x -3 0 Dalend j(x) = -x -1 0 Dalend Rechte stijgend = m > 0 Rechte dalend = m < 0 Rechte 1 steiler dan rechte 2 = m is groter f(x) = mx + q m q Coördaat van het snijpunt met de y-as f(x) = 2x 2 0 (0 ; 0) g(x) = 2x (0 ; -1) h(x) = 2x (0 ; 3) Rechten evenwijdig: als m hetzelfde is. Grafische betekenis van q: Sy-as (0 ; q). Waarde van q waarbij een rechte door de oorsprong gaat: q = 0. f(x) = mx + q m q Coördaat van het snijpunt met de y-as f(x) = (0 ; 2) g(x) = (0 ; -1) De rechten lopen: evenwijdig aan de x-as. De waarde van m bij deze gegeven functievoorschriften: 0. Dit zijn geen voorschriften van eerstegraadsfuncties omdat m niet nul mag zijn en de rechte snijdt enkel de y-as. Functievoorschrift van de x-as: f(x) = mx + q f(x) = 0x + q f(x) = q f(x) = 0 De functie f is een constante functie f(x) = 0x + q of f(x) = q De coëfficiënt van x (cijfer voor x) bepaalt de richtg en de hellg van de rechten. Men noemt deze coëfficiënt de richtgscoëfficiënt. Algemeen: f(x) = mx + q m is de richtgscoëfficiënt. Betekenis van m: Is m 0, dan is de functie f een eerstegraadsfunctie. Is m = 0, dan is de functie f een constante functie.

14 Evenwijdige rechten hebben dezelfde richtgscoëfficiënt. m > 0 : rechte stijgt m < 0 : rechte daalt m = 0 : rechte is evenwijdig aan de x-as of is x-as zelf Sy-as (0 ; q) Opmerkg: Grafiek van f(x) = mx + q kan geen verticale lijn zijn want een verticale lijn stelt geen functie voor. f(x) = -6x + 4 Sy-as (0 ; 4) f(x) = 3x Sy-as (0 ; 0) f(x) = -2 + x Sy-as (0 ; -2) f(x) = 5 Sy-as (0 ; 5) Constructie van de grafiek van f(x) = mx + q (m = 0) of f(x) = q. Je hebt mimum 2 punten nodig om een grafiek van de eerstegraadsfunctie te tekenen. De coördaat dat we kunnen aflezen van het functievoorschrift: Sy-as. We kunnen een ander coördaat bepalen met een tabel. f(x) = 3x 2 Sy-as (0 ; -2) g(x) = -2x + 3 Sy-as (0 ; 3) x 1 (1 ; 1) x 2 (2 ; -1) f(x) = 3x = 1 g(x) = -2x = -1

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Proefexemplaar. Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas. Dirk Vandamme. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door. Cartoons.

Proefexemplaar. Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas. Dirk Vandamme. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door. Cartoons. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas Cartoons Dirk Vandamme Leerboek Getallen ISBN: 78 0 4860 48 8 Kon. Bib.: D/00/047/4 Bestelnr.: 4 0 000

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R - 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat. 92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2 Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30

Nadere informatie

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2 Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte.

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte. Grafieken, functies en verzamelingen Eerst enkele begrippen Grafiek In een assenstelsel teken je een grafiek. Assenstelsel Een assenstelsel bestaat uit twee assen die elkaar snijden: een horizontale en

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1-6 H3. Negatieve getallen Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 96 123) 3.1 Positieve en negatieve getallen Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen.

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. 5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen

1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Merkwaardige producten, ontbinden in factoren 1.1 Merkwaardige producten ( ) ( ) a+ b = a + ab+ b a b = a ab+ b ( ) ( ) a+ b = a + ab+ ab + b a b = a ab+ ab

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1 Herhalingsoefeningen Tweedegraadsfuncties Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN

Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN 1 H9. Negatieve getallen Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 53 57) 9.1 Getallen onder 0 Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen. Weten dat we 0 zowel

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel) Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13 REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.

Nadere informatie

Het opstellen van een lineaire formule.

Het opstellen van een lineaire formule. Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo

Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Bijlage 7 Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Deze vragen kunnen gebruikt worden om aan het eind van klas 3 havo/vwo na te gaan in hoeverre leerlingen in staat zijn te

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd.

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. Lesfiche 1 1 Procent & promille Handig rekenen Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. 5 5 % is dus 5 per honderd. In breukvorm wordt dat of 0,05 als decimaal getal. Promille ( ) betekent

Nadere informatie

Onthoudboekje rekenen

Onthoudboekje rekenen Onthoudboekje rekenen Inhoud 1. Hoofdrekenen: natuurlijke getallen tot 100 000 Optellen (p. 4) Aftrekken (p. 4) Vermenigvuldigen (p. 5) Delen (p. 5) Deling met rest (p. 6) 2. Hoofdrekenen: kommagetallen

Nadere informatie

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN...1 2. FUNCTIES...2 3. ARGUMENT EN BEELD...3 4. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...4 5. DE FUNCTIEWAARDETABEL...5 6. DE GRAFIEK...6 7. FUNCTIES HERKENNEN...7 8. OPLOSSINGEN...9

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

Vergelijkingen van cirkels en lijnen

Vergelijkingen van cirkels en lijnen Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : REKENEN

Hoofdstuk 1 : REKENEN 1 / 6 H1 Rekenen Hoofdstuk 1 : REKENEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p.3-34) 1.1 Het decimaal stelsel In verband met het decimaal stelsel: a) het grondtal van ons decimaal stelsel geven. b) benamingen

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Oef 1. Oef 2. Ontbind, indien mogelijk, de veeltermen in factoren.

Oef 1. Oef 2. Ontbind, indien mogelijk, de veeltermen in factoren. Herhalingsoefeningen Problemen oplossen Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Elk

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : De reële getallen

Hoofdstuk 1 : De reële getallen Hoofdstuk 1 : De reële getallen - 1 Rationale getallen (boek pag 3): Eventjes herhalen: De verzameling van de rationale getallen stellen voor door :... Elk rationaal getal kan geschreven worden als een

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

WISNET-HBO. update aug. 2011

WISNET-HBO. update aug. 2011 Basiskennis van machten WISNET-HBO update aug. 0 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 (spreek uit: a tot de vierde macht) een macht van a (in dit geval de vierde

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

Analyse deel I. Cursus voor Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Wetenschappen-Wiskunde

Analyse deel I. Cursus voor Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Wetenschappen-Wiskunde Analyse deel I Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Wetenschappen-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Reële getallen 1.1 Het geordend veld van de reële getallen

Nadere informatie

Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen

Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen 1 Noteer met een breuk. a) Mijn stripverhaal is voor de helft uitgelezen. Een kamer is voor behangen. c) van de cirkel is gekleurd. 15 Gegeven : 18 teller

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Naam:... ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN?

Naam:... ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN? ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN? Voor de GETALLENLEER worden concreet volgende doelstellingen nagestreefd: Begripsvorming

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel.

INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel. Hoofdstuk 5 Het Assenstelsel 5.1 Het Assenstelsel INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel. Dit assenstelsel is een idee van de Franse filosoof en wiskundige René Descartes(1596-1650).

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie

Het Breukenboekje. Alles over breuken

Het Breukenboekje. Alles over breuken Het Breukenboekje Alles over breuken breuken breukentaal tekening getal een hele 1 een halve een kwart een achtste ½ of ½ ¼ of ¼ ⅛ of ⅛ 3 breuken breukentaal tekening getal een vijfde ⅕ of ⅕ een tiende

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

. noemer noemer Voorbeelden: 1 Breuken vereenvoudigen Schrijf de volgende breuken als één breuk en zo eenvoudig mogelijk: 4 1 x e.

. noemer noemer Voorbeelden: 1 Breuken vereenvoudigen Schrijf de volgende breuken als één breuk en zo eenvoudig mogelijk: 4 1 x e. Tips: Maak de volgende opgaven het liefst voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, werk hem dan uit tot waar je kunt en ga verder met de volgende

Nadere informatie

1. Optellen en aftrekken

1. Optellen en aftrekken 1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 7 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: functie invoerwaarde

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek WERKBOEK REKENVAARDIGHEID Voeding en Diëtetiek 11 INHOUDSOPGAVE ACHTERGROND 3 1. Elementaire bewerkingen 4 2. Voorrangsregels (bewerkingsvolgorde) 8 3. Bewerkingen met machten 11 4. Rekenen met breuken

Nadere informatie

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 - Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6

Nadere informatie

Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking

Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking 4 Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking Dit kun je al gehele getallen vermenigvuldigen 2 afspraken i.v.m. de volgorde van de bewerkingen toepassen 3 regelmaat en patronen ontdekken

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies

Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Voorkennis V-1a y = 3(x ) 3 x 3 6x 1 y = 6x 1 b y = 9( 4x 4) 3 4x 4 9 36x 36 y = 36x 36 c y = x( x 7) 3 x 7 x x 7x y = x 7x V-a y = (

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie