Paragraaf 5.1 : Machten en wortels

Transcriptie

1 Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Machtsregels SPECIAAL GEVAL MACHTREGEL 1 : MACHTREGEL 2 : MACHTREGEL : a p a q = a p+q a p aq = ap q a 0 = 1 MACHTREGEL : (a p ) q = a p q MACHTREGEL 5 : MACHTREGEL 6 : (a b) p = a p b p 1 ap = a p 1 a = a 1 MACHTREGEL 7 : MACHTREGEL 8 : n a n a p = (a) 1 n a = (a) 1/2 = (a) p n Schrijf als macht van x a. x x b. x x c. x 1 x 2 Schrijf zonder gebroken en negatieven machten d. x e. x 21 2

2 Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 2 van 1 a. x x = x x 1 2 = x 1 2 b. x x c. x d. x = 1 1 = x 2 = x 1 x1 2 1 = x x 2 = x1 x 2 = x 12 x e. x 21 2 = 1 = 1 x = 1 x 21 2 x 2 1 x2 = 1 x 2 x Voorbeeld 2 Schrijf de volgende formules om in de vorm y = ax n of y = bg x a. y = 1 (2x 2 ) 2 x b. y = 10 2 x-2 Oplossing 2 a. y = 1 (2x 2 ) 2 x = 1 2 x 6 2 x y = x 6 x = x 10 b. y = 10 2 x+2 = 10 2 x 2 2 y = (2 ) x = 0 8 x

3 Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina van 1 Les 2 Formules met hogeremachtswortels Bereken (zonder rekenmachine) 5 a. 2 b a. 2 5 b = 2 5 = = = 59 Voorbeeld 2 Herleid de volgende formule tot de vorm y = c xy. y = 2 625y 16x + 81xy Oplossing 2 y = y y = xy 16 x + xy + 81 xy = 2 xy

4 Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina van 1 Paragraaf 5.2 : Wortelformules Les 1 : Wortelformules, Domein en Bereik Definities Domein = { alle x-en die je mag invullen in de formule } Bereik = { alle y-waarden die als uitkomst uit de formule kunnen komen } Stappenplan domein en bereik bepalen: (1) Bereken de coördinaten van het beginpunt (wortel = 0) (2) Bereken met GR een aantal punten een schets de grafiek. () Lees uit de grafiek het domein en bereik af. a. Bepaal het domein en bereik van f(x) = 2 x + b. Los algebraïsch op : f(x) > 1 a. (1) x + = 0 x = - y = 2 Beginpunt = (-,2) (2) Y1 = 2 x + geeft de volgende schets : () D f = [, > en B f =<,2 > b. Een ongelijkheid bestaat altijd uit drie stappen (1) Los de gelijkheid op 2 x + = 1 (2) Maak een schets : x + = x + = 9 x = 5 () Lees de oplossing af en let op het randpunt!!! x 5

5 Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 5 van 1 Les 2 : Wortelvergelijkingen oplossen Stappenplan wortelvergelijking Een wortelvergelijking los je op door : (1) De wortel apart zetten (isoleren) (2) Kwadrateren () Oplossen en controleren of de oplossing klopt in de oorspronkelijke vergelijking. Los exact op a. 2x + 1 = x + 1 b. x 2 x = 1 a. (2x + 1) 2 = x + 1 { A 2 = B 2 A = B v A = B } x 2 + x + 1 = x + 1 x 2 + x = 0 x(x + 1) = 0 x = 0 v x + 1 = 0 x = 0 v x = 1 b. x 2 x = 1 { Wortel apart en dan kwadrateren } 2 x = x 1 { Kwadrateren } x = (x 1) 2 x = 9x 2 6x + 1 9x 2 10x + 1 = 0 x x = 0 (x 1)(x 1 ) = 0 { of abc-formule } 9 x = 1 v x = 1 9 { bij kwadrateren altijd oplossingen controleren } (VN) { want } Dus de enige oplossing is x = 1

6 Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 6 van 1 Les : Variabele vrijmaken Gegeven is de formule A = 6 2 p 5. Schrijf p als functie van A. A = 6 2 p 5 A 6 = 2 p 5 1 A + = p 5 2 Kwadrateren geeft ( 1 2 A + )2 = p 5 1 A2 A + 9 = p 5 1 A2 A + 1 = p Dus p = 1 A2 A + 1

7 Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 7 van 1 Paragraaf 5. : Exponentiële functies Les 1 : Transformaties Definities T(p,q) = { Translatie / verschuiving van de grafiek p naar rechts en q omhoog } Vx-as, c = { Vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor c } Een exponentiele functie heeft alleen Horizontale Asymptoten. Je berekent die door de limiet ( ) te nemen. Regels bij Transformeren (1) f(x) T(a,b) f(x a) + b (2) f(x) V x as,c c f(x) Gegeven is de functie f(x) = x. Bepaal de formule die ontstaat als : a. f eerst 5 naar rechts / 2 omlaag en vervolgens vermenigvuldigd wordt met. Noem deze formule g(x). b. f eerst vermenigvuldigd wordt met -2 en dan naar links verschoven wordt. c. Bepaal de asymptoten van g(x) d. Los op g(x) > 12 a. x T(5,2) b. x V x as, 2 x V x as, ( x 5 + 2) = x = g(x) 2 x T(,0) 2 x = 2 x+ c. Horizontale Asymptoot (HA) lim x x = + 6 = + 6 = = 6 Dus HA : y = 6

8 Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 8 van 1 d. Een ongelijkheid bestaat altijd uit drie stappen (1) Los de gelijkheid op x = 12 x 5 = 6 x 5 = 2 x 5 = 1 2 x 5 = 1 2 x = (2) Maak een schets : () Lees de oplossing af uit de schets x > 5 1 2

9 Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 9 van 1 Les 2 : Exponentiële vergelijkingen oplossen Los algebraïsch op a. 5 x = 1 27 b. 2 x = ( 1 8 )x+ c. 2 x x+1 = 9 2 a. 5 x = x = 5 x = x = 8 b. 2 x = ( 1 8 )x+ (2 5 ) x = (2 ) x+ 2 5x = 2 x 9 5x = x 9 8x = 9 x = 9 8 c. 2 x x+1 = x x 2 1 = x 1 + 2x 2 = 9 2 { Neem p = 2 x } 1 p + 2p = p = 9 2 { Vul nu voor p weer 2x terug in } p = 2 = = x = x = 2 1 2

10 Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 10 van 1 Paragraaf 5. : Logaritmen Les 1 Logaritmen Definitie Logaritmen Hoofdregel : g t = b t = g log b met domein b>0 Hulp regel : g log g t = t { Als de g gelijk is de macht de uitkomst } Bereken uit je hoofd a. log 9 = b. log 27 = c. 2 log ½ = d. log 5 = a. log 9 = log 2 = 2 b. log 27 = log 27 ½ = log ( ) ½ = log 1½ = 1 ½ c. 2 log ½ = 2 log 2-1 = -1 d. Dit kan niet dus : x = log 5. { = (log 5) / (log ) = 1,6 of met de knop Logbase } Voorbeeld 2 Bereken exact : 5 log (2x) + 1 = 11 Oplossing 2 5 log (2x) + 1 = 11 5 log (2x) = 10 log (2x) = 2 ( Gebruik nu de hoofdregel g t = b t = g log b ) 2x = 2 x = 9/2 = ½

11 Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 11 van 1 Les 2 : Log-vergelijkingen en grafieken Definitie Als y = g log(ax+b) dan is er een Verticale Asymptoot(VA) als ax + b = 0. Deze moet je uitrekenen voordat je een grafiek tekent!!! Los algebraïsch op a. 2 log (x + 5) = b. + log(2x) = 2 c log (5x ) = 28 a. x + 5 = 2 x + 5 = 16 x = 11 b. + log(2x) = 2 log(2x) = 2 2x = -2 = 1 9 x = 1 18 c log (5x ) = 28 2 log (5x ) = 27 2 log (5x ) = 9 5x = 2 9 = 512 5x = 515 x = 10

12 Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 12 van 1 Voorbeeld 2 Gegeven is de functie f(x) = 2 log(x 5) + 1. a. Hoe ontstaat de grafiek van f uit de standaardgrafiek b. Teken de grafiek en bepaal het domein. Oplossing 2 a. Translatie over (5,1) b. (1) VA als x 5 = 0 x = 5. (2) Maak een tabel met y1 = log(x-5) / log(2) + 1 x y = 2 log(x-5) ,6,,6 () Teken VA bij x = 5

13 Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 1 van 1 Les : Exponentiële vergelijkingen oplossen en omschrijven Los exact op a. x+ = 20 b. 5 2 x 1 = 100 a. x+ = 20 ( Gebruik nu de hoofdregel g t = b t = g log b ) x + = log (20) x = log(20) b. 5 2 x 1 = x 1 = 20 2 x 1 = log (20) 2 x = log(20) + 1 x = 1 2 log(20) + 1 Voorbeeld 2 Maak x vrij bij de formule y = x+ 20 { Schrijf als x = } Oplossing 2 y = x+ 20 y + 20 = x+ x + = log (y + 20) x = log(y + 20)