Machten, exponenten en logaritmen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Machten, exponenten en logaritmen"

Transcriptie

1 Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde vermenigvuldiging. In de macht 4 is 4 de eponent van deze macht bij het grondtal. In deze paragraaf herhalen we de definities voor het geval de eponent van een macht niet een positief natuurlijk getal is. Vervolgens kunnen we dan op twee manieren functies definiëren: is de eponent vast, dan krijgen we de zogeheten machtsfuncties: a ; is het grondtal vast, dan krijgen we de zogeheten eponentiële functies: a. Door van deze laatste functies de inverse te nemen, krijgen we de logaritmische functies: a log. Machten en machtsfuncties Machtsverheffen We beginnen onze beschouwingen met te herhalen wat we bedoelen met machtsverheffen als herhaald vermenigvuldigen. Voor elke R en elk positief natuurlijk getal n geldt: n =... (n factoren) Stap : eponent 0 Vervolgens leggen we vast wat we onder een macht met eponent 0 verstaan. Voor R geldt: 0 =. Merk op dat door deze definitie 0 0 gelijk is aan. U moet daar niet teveel achter zoeken. Stap : negatieve gehele eponenten Hierna volgt de definitie van een macht met een negatieve gehele eponent. Voor R, 0 en k is een negatief geheel getal geldt: k = / k. De reden voor de beperking 0 is dat er niet door 0 gedeeld mag worden. Stap : rationale eponenten Nu herhalen we de definitie van een macht met een gebroken eponent. Eerst nemen we eponenten van de vorm /n, n =,,... Voor > 0 en n is een positief natuurlijk getal geldt: / n =. Wellicht ten overvloede roepen we in herinnering dat de n-de wortel uit ( > 0) gedefinieerd is als de inverse bewerking van verheffen tot de n- 5 de macht. Zo geldt =, want 5 =. En de definitie van een macht met een willekeurige gebroken eponent is als volgt. n

2 Machten, eponenten en logaritmen m / n n. Voor > 0 en m/n Q met n > 0 geldt: m n m = =( ) Merk op dat in deze definitie het geval m < 0 is meegenomen. Zo geldt bijvoorbeeld: / 5 5 / 5= 5 = / = / 5 = / Beperken tot positieve grondtallen De reden dat we ons bij machten waarvan de eponent geen geheel getal is, tot positieve grondtallen beperken, is de volgende. Stel, we zouden op de volgende wijze ( ) / berekenen: ( ) / = ( ) /6 = (( ) ) /6 = 4 /6 = ( ) /6 = /6 = / Nu geldt echter ook dat ( ) / = /, want =. Om dit soort ongerijmdheden te vermijden, sluiten we negatieve grondtallen bij nietgehele eponenten uit. Het grondtal 0 sluiten we uit om te voorkomen dat er bij een negatieve eponent door 0 gedeeld wordt. Stap 4: reële eponenten Rekenregels voor machten Regel Regel Regel Regel 4 Op machten met irrationale (dus reële, maar niet-rationale) eponenten gaan we op deze plaats niet al te diep in. We volstaan met op te merken dat elk irrationaal getal p willekeurig dicht door rationale getallen q te benaderen is. De macht p benaderen we nu met de macht q, en de definitie hiervan is in stap gegeven. De volgende vier regels gelden voor > 0, > 0 en a, b R. () a = a a a b = a+b ( a ) b = ab a / b = a b De vierde regel volgt overigens uit de tweede regel via de eigenschap dat delen door een getal 0 hetzelfde is als vermenigvuldigen met /. OPGAVE Schrijf als wortel en vereenvoudig zo mogelijk: 4 / ; /7 ; 6 /4. OPGAVE Schrijf als macht van. a 4 b ( ) 4 ( 4 4 ) De nu volgende regels voor het rekenen met wortels zijn een speciaal geval van de regels voor machten: ( a ) = a voor alle a 0 a = a voor alle a 0 a = a voor alle a 0

3 Machten, eponenten en logaritmen ab = a b voor alle a 0 en alle b 0 a b a = voor alle a 0 en alle b > 0 b Machtsfunctie Eponentiële functie We gebruiken nu de gegeven definities om twee tpen functies te definiëren: de machtsfuncties en de eponentiële functies. In de macht kan variabel en vast genomen worden, we krijgen dan de zogeheten machtsfuncties, dat zijn dus functies van het tpe a. Nemen we vast (positief) en variabel, dan krijgen we de zogeheten eponentiële functies, dat zijn functies van het tpe a. Op deze eponentiële functies komen we in paragraaf terug. VOORBEELDEN Voorbeelden van machtsfuncties zijn: 0,,,, /, / en 7/5 (want,4). In figuur staat van een aantal van de genoemde functies de grafiek. / / FIGUUR De grafieken van de functies,, /, / «Domein van een machtsfunctie In het algemeen geldt voor het domein van een machtsfunctie het volgende: is de eponent een natuurlijk getal, dan is het domein R is de eponent een negatief geheel getal, dan is het domein R {0} is de eponent een niet-geheel positief reëel getal, dan is het domein { R 0} is de eponent een niet-geheel negatief reëel getal, dan is het domein { R > 0}. OPGAVE Schets de grafieken van 0,, en. Welke van deze functies zijn inverteerbaar? OPGAVE 4 Gegeven voor elke gehele n < 0 de functie n. a Geef het domein en bereik van deze functie. Maak onderscheid tussen even en oneven waarden van n. b Welke asmptoten heeft de grafiek? c Geef aan op welk interval de functie monotoon is.

4 Machten, eponenten en logaritmen Machtsfuncties met een positieve eponent zijn monotoon stijgend op het interval [0, en dus op dit domein inverteerbaar. Is de eponent negatief, dan zijn zij monotoon dalend op het interval 0, en dus op dit domein inverteerbaar. Is de eponent 0, dan is er sprake van de constante functie, en die is niet inverteerbaar. We kunnen van regel gebruikmaken om van een inverteerbare machtsfunctie de inverse te bepalen. Er geldt het volgende. Inverse van een inverteerbare machtsfunctie De functie a met a > 0 is inverteerbaar op [0,. De inverse is /a. De functie a met a < 0 is inverteerbaar op 0,. De inverse is /a. Het bewijs komt neer op het toepassen van regel : ( a ) /a =, voor alle in het domein van /a. Merk op dat voor het geval a een positief natuurlijk getal is, hier niets anders staat dan dat verheffen tot de a-de macht en trekken van de a-de wortel inverse bewerkingen zijn. In figuur staan de grafieken van twee machtsfuncties en hun inversen. f() = g() = / g () = f () = / FIGUUR De grafieken van, / en hun inversen OPGAVE 5 Waarom is niet inverteerbaar op R {0}? Wat is de inverse van op 0,? Teken de grafiek van de functie. OPGAVE 6 Gegeven de functie f : /. a Geef het functievoorschrift van f. b Los op: f() = f (). We bekijken de functie g: /. c Teken de grafiek van g. d Is g inverteerbaar? Zo ja, geef dan het functievoorschrift van g. Eponentiële functies Hiervoor hebben we al de definitie van een eponentiële functie gegeven. Voorbeelden van eponentiële functies zijn:,, (/). 4

5 Machten, eponenten en logaritmen In figuur staan van de laatste twee functies de grafieken. ( ) FIGUUR De grafieken van de functies en (/) «Het algemene voorschrift van een eponentiële functie is van de vorm a met a > 0, a Grondtal De constante a is een parameter en heet het grondtal. Domein van een eponentiële functie Bijzonderheden De drie voorbeeldfuncties hebben als domein R en dat geldt ook in het algemeen: alle eponentiële functies hebben als domein R. Omdat de eponenten de gehele R doorlopen, nemen we als grondtal uitsluitend positieve reële getallen. Voor a > is de eponentiële functie monotoon stijgend op R; voor 0<a < monotoon dalend op R. De grafiek heeft een horizontale asmptoot voor = 0. Het snijpunt met de -as ligt bij. OPGAVE 7 Schets de grafieken van de eponentiële functies,, (/). Welke van deze functies zijn inverteerbaar? OPGAVE 8 De grafieken van de functies f() = en g() = ( ) hebben precies een snijpunt. Bereken de coördinaten van dit snijpunt. OPGAVE 9 De grafiek van de functie f() = is te verkrijgen uit de grafiek van g() = door alle -waarden met te vermenigvuldigen. De grafiek van f kan ook verkregen worden uit die van g door een verschuiving. Welke verschuiving is dit? Logaritmen en logaritmische functies VOORBEELD Voordat we de definitie van de logaritme van een positief getal bij een gegeven grondtal herhalen, beginnen we met een voorbeeld. Voor de functie f: t t geldt dat 4096 een functiewaarde is. De vraag is nu: van welk origineel? Omdat 4096 een macht van is, = 4096, is het gevraagde origineel. 5

6 Machten, eponenten en logaritmen We zeggen: is de logaritme van 4096 voor het grondtal en noteren dit als log4096 =. In woorden kunnen we dit ook nog als volgt zeggen: de logaritme van 4096 voor het grondtal is de eponent van de macht van die 4096 is. Stel nu dat we het origineel van 0000 willen bepalen. Noemen we dat origineel t, dan moeten we dus t R zo bepalen dat t = Omdat < 0000, 4 > 0000 en t t een monotoon stijgende functie is, volgt dat t een waarde tussen en 4 heeft. Analoog definiëren we nu de logaritme van 0000 voor het grondtal als het getal t waarvoor geldt dat t = We noteren dit als t = log0000. Het reële getal log0000 ligt dus tussen en 4. We definiëren log0000 dus als de oplossing van de vergelijking t = Dat er precies één oplossing is, volgt uit het feit dat de functie f : t t monotoon stijgend op R is, dus inverteerbaar, en dat 0000 in het bereik [0, van f ligt. In figuur 4 is dit in beeld gebracht. q p p logq FIGUUR 4 De logaritme als oplossing van een eponentiële vergelijking «Definitie van logaritme De definitie van de logaritme van voor het grondtal a luidt nu algemeen: het is de eponent van die macht met grondtal a die precies oplevert. Anders gezegd: als = a t, dan t = a log. Bij deze definitie is de beperking tot positieve grondtallen niet genoeg, we moeten ook het grondtal uitsluiten, immers de functie is niet inverteerbaar. Bovendien bestaan alleen van positieve reële getallen de logaritmen, want machten met een positief grondtal zijn positief. Rekenregels van de logaritme Regel Regel Regel Regel 4 Uit de hier gegeven definitie volgen een aantal rekenregels (de beperking dat de grondtallen groter dan 0 en ongelijk aan zijn, schrijven we er niet steeds bij, evenmin als de voorwaarde dat alleen de logaritmen van positieve getallen bestaan). a log = 0, want a 0 =. a loga =, want a = a. a alog =, want vul in de hiervoor gegeven definitie van een logaritme in = a t voor t de uitdrukking a log in. a logpq = a logp + a logq Het bewijs van deze regel is wat bewerkelijker. We stellen a logp = en a logq =, dus a = p en a = q. Dan volgt: pq = a a = a +. Volgens de definitie van de logaritme volgt uit pq = a + dat + = a logpq, dus a logp + a logq = a logpq. 6

7 Machten, eponenten en logaritmen Regel 5 Regel 6 a log(p/q) = a logp a logq a logp q = q a logp Het bewijs van regels 5 en 6 moet u in opgave zelf leveren. Regel 7 Verandering van grondtal a logp = g g logp loga Voor het bewijs herschrijven we deze regel tot: a logp g loga = g logp Op het linkerlid hiervan passen we nu regel 6 toe: a logp g loga = g log(a alogp ) Volgens regel is de laatste uitdrukking inderdaad gelijk aan g logp. OPGAVE 0 Bereken de volgende logaritmen: log6; 7 log; 4 log(/); / log(/9). OPGAVE Moderne luchtschepen verliezen % van hun gasinhoud per dag via hun wand. Als zo n luchtschip helemaal gevuld is, bevat het 8000 liter gas. We nemen aan dat op t = 0 het luchtschip gevuld is en dat het gasverlies een continu proces is. Met I(t) geven we de hoeveelheid gas op tijdstip t aan, met t in uren. Bij benadering geldt het volgende wiskundige model: I(t) = ,999 t voor t 0. Zo n luchtschip kan niet meer vliegen als er minder dan 80 % is van de hoeveelheid gas op tijdstip t = 0. Bereken het tijdstip waarop dat het geval is. OPGAVE Bewijs de regels 5 en 6. OPGAVE Los op: log( ) = /4. OPGAVE 4 Laat zien dat voor elke p, elke a > 0, a, elke b > 0 geldt: ap logb p = a logb. Voor elk grondtal a > 0, a, is de eponentiële functie a met R inverteerbaar, immers voor 0 < a < is de bijbehorende eponentiële functie monotoon dalend, voor a > is de bijbehorende eponentiële functie monotoon stijgend. Uit regel volgt dat de functie a log ( > 0) de inverse is van de functie a met R, er geldt immers dat a alog =, voor alle > 0. In figuur 5 staan de grafieken van twee eponentiële functies, een met grondtal a > en een met grondtal 0<a <, en de bijbehorende logaritmische functies die hun inverse zijn. Voor a > is de logaritmische functie monotoon stijgend op 0, en voor 0 < a < is de logaritmische functie monotoon dalend op 0,. De grafiek heeft een verticale asmptoot voor = 0. Het snijpunt met de -as ligt bij. 7

8 Machten, eponenten en logaritmen a > 0 < a < a a a log a log FIGUUR 5 De grafieken van twee eponentiële functies en hun inversen OPGAVE 5 a Geef de inverse van de functie ( ) met R. b Geef ook het domein van de inverse. c De gegeven functie is te herschrijven tot p. Bepaal p. d Elke eponentiële functie a is te herschrijven tot p. Druk p in a uit. 8

9 Machten, eponenten en logaritmen T E R U G K O P P E L I N G Uitwerking van de opgaven 4 / = 4 = 6 = 7 /7 = = 7 = 7 6 /4 = (6 /4 ) = = 8 4 = = = 6 ( ) 4 4 = = = = ( / 44) ( / 8) ( 6) Zie figuur 6. Alleen de functie is niet inverteerbaar. FIGUUR 6 Functies 0,, en 4 a D = R {0}, B(n is even) = 0,, B(n is oneven) = R {0}. b Asmptoten = 0, = 0. c Voor n is even: op, 0 stijgend, op 0, dalend. Voor n is oneven: op, 0 dalend, op 0, dalend. 5 Er geldt = / = /9 en ( ) = /( ) = /9, dus twee verschillende originelen met hetzelfde beeld. De inverse functie op 0, is /. FIGUUR 7 De functie 9

10 Machten, eponenten en logaritmen 6 a f : / b De volgende vergelijking moet opgelost worden: / = /. We verheffen links en rechts tot de zesde macht: ( / ) 6 = ( / ) 6. Dus 9 = 4. Op 0 herleiden: 9 4 = 0. We brengen 4 buiten haakjes: 4 ( 5 ) = 0. Dus = 0 of =. c Zie figuur 8. FIGUUR 8 De functie g: / d Op 0, is g inverteerbaar, met inverse. 7 Alleen de eerste functie is niet inverteerbaar. (/) FIGUUR 9 Functies, en (/) 8 = ( ) + = / + = / = Het snijpunt heeft dus coördinaten (, f( )) (of als tweede g( (, / ) = (, / ). )), dus 9 f() = +, dus f() = g( + ). De grafiek van f is dus te verkrijgen uit die van g door deze over een afstand naar links te verschuiven. 0 log6 = 4 want 4 = 6 7 log = / want 7 / = 4 log(/) = / want 4 / = / / log(/9) = want (/) = / ,999 t = 0, geeft 0,999 t = 0,8. Omdat de factor 8000 uitdeelt, hangt t niet af van de hoeveelheid gas op t = 0. Uitrekenen geeft t = 0,999 log0,8 = log0,8/log0,999 78,8 uur. 0

11 Machten, eponenten en logaritmen Uit p = p q q volgt met regel 4: p logp = log + logq q a a a En hieruit volgt regel 5. Voor regel 6 gaan we uit van de definitie. We beginnen met het rechterdeel van regel 6. We kunnen deze logaritme alleen uitrekenen als we weten hoe we p als macht van a moeten schrijven. Stel p = a, dus a logp =. Nu kunnen we ook het linkerlid uitrekenen. Er geldt p q = (a ) q = a q, dus a logp q = a loga q = q ofwel a logp q = q a logp. log( ) = /4, dus = /4 4 = 4 = ± + ±,48 ofwel 4 = +, dus 4 a logb = b = a b p = (a ) p = (a p ) = ap logb p 5 a log b 0, c Er geldt: = /, dus ( ) = ( / ) = /. Dus p = /. d Als voor alle R moet gelden a = p, dan moet gelden a = p, dus p = loga.

Standaardfuncties. x c

Standaardfuncties. x c Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het

Nadere informatie

rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar

rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar Hoofdstuk 5 - machten, eponenten en logaritmen rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar 0. voorkennis HERLEIDEN VAN MACHTEN - rekenregels voor machten Bij het vermenigvuldigen van

Nadere informatie

exponentiële standaardfunctie

exponentiële standaardfunctie 9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. 5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

Nadere informatie

(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a

(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Oefentoets uitwerkingen

Oefentoets uitwerkingen Vak: Wiskunde Onderwerp: Hogere machtsverb., gebr. func=es, exp. func=es en logaritmen Leerjaar: 3 (206/207) Periode: 3 Oefentoets uitwerkingen Opmerkingen vooraf: Geef je antwoord al=jd mét berekening

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Functie en scalaire functie Relatie van A naar B A B = {(, ) A & B} Een relatie van A naar B is functie als verschillende beelden zelfde origineel

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

HOOFDSTUK 3 : LOGARITMISCHE FUNCTIES

HOOFDSTUK 3 : LOGARITMISCHE FUNCTIES HOOFDSTUK : LOGARITMISCHE FUNCTIES Kern : Logaritmen a) D t 5 t (D in grammen ; t in dagen) D 5 9 gram b) 5 t t 6 t log 6 log 6 log a) log9 9 b) 5 log5 5 5 5 c) log 5 5 d) 5 e loge 7 e e 7 7 e) log 5 5

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde deel 1

Toegepaste Wiskunde deel 1 Toegepaste Wiskunde deel Uitwerkingen etra opgaven hoofdstuk Functies. y f ( ) 4 ( )( ) is minimaal -4 voor 0 y g f ( ) ( ) 4 ( )( ) bestaat wanneer D en B 4, ( )( ) 0, voor het domein en het bereik geldt

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e 1/3/2017. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e 1/3/2017. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 1/3/2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op.

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op. 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op. Stap 1: Bepaal de richtingscoëfficiënt van l:y = ax + b : y yb ya 123 9 a 3 x x x 8 5 3 Hieruit

Nadere informatie

Kerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten

Kerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde B Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk

Nadere informatie

Paragraaf 5.1 : Wortelvormen en Breuken

Paragraaf 5.1 : Wortelvormen en Breuken Hoofdstuk 5 Machten en Eponenten (V Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 5.1 : Wortelvormen en Breuken Les 1 : Wortelformules, Domein en Bereik Definities Domein = { alle -en die je mag invullen in de formule

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie

Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie 0. voorkennis Het differentiequotiënt Het differentiequotiënt van y op de gemiddelde verandering van y op [ ] is: A B de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de

Nadere informatie

Analyse. Samenvatting: logaritmen. Frank Derks Gerard Heijmeriks www.demathe.nl

Analyse. Samenvatting: logaritmen. Frank Derks Gerard Heijmeriks www.demathe.nl Analyse Samenvatting: logaritmen Frank Derks Gerard Heijmeriks www.demathe.nl 1. Inhoudsopgave 1. Inhoudsopgave... 2 2. Exponentiële functies... 3 2.1. Inleiding... 3 2.2. Groeifactoren en groeipercentages...

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 5 bladzijde 9 ab f g h i j functie nr 5 Domein [ 0, 0, Bereik [ 0, [ 0, 0, c D k B k, 0 0, d Spiegelen in de -as geeft het tegengestelde bereik, dus, 0]. e u ( ) en yu ( ) u f D q, 0 0, ; B q 0, a [, b

Nadere informatie

Logaritmische functie

Logaritmische functie Logaritmische functie WISNET-HBO update aug 2013 1 Inleiding De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van logaritmen. Voorkennis van de rekenregels van machten is voor deze les beslist

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011 Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de

Nadere informatie

Paragraaf 5.1 : Machten en wortels

Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Machtsregels SPECIAAL GEVAL MACHTREGEL 1 : MACHTREGEL 2 : MACHTREGEL : a p a q = a p+q a p aq =

Nadere informatie

Willem van Ravenstein

Willem van Ravenstein Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

exponentiële en logaritmische functies

exponentiële en logaritmische functies CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde exponentiële en logaritmische functies Exponentiële en logaritmische functies Machten van getallen 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van % per jaar

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Gebroken functies

Hoofdstuk 2 - Gebroken functies Wiskunde Leerjaar 3 - periode 3 Hogere machtsverbanden, gebroken functies, eponentiële functies en logaritmen Hoofdstuk 2 - Gebroken functies A. Negatieve eponenten. We kennen de volgende machten en hun

Nadere informatie

Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de juiste volgorde te worden opgelost.

Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de juiste volgorde te worden opgelost. SBC AMDG Ma 13/12/04 klas : 5WEWI8 5GRWI8 Van Hijfte D. toegelaten : grafisch rekentoestel Examen Wiskunde deel I (90p) Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Gebroken functies

Hoofdstuk 2 - Gebroken functies Wiskunde Leerjaar 3 - periode 3 Hogere machtsverbanden, gebroken functies, eponentiële functies en logaritmen Hoofdstuk - Gebroken functies A. Negatieve eponenten. We kennen de volgende machten en hun

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint.

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint. Training Vergelijkingen met logaritmen WISNET-HBO update jan. 0 Inleiding Voor deze training heb je nodig: de rekenregels van machten de rekenregels van de logaritmen Zorg dat je het lijstje met rekenregels

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 - Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6

Nadere informatie

Verbanden en functies

Verbanden en functies Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.

Nadere informatie

Vergelijkingen van cirkels en lijnen

Vergelijkingen van cirkels en lijnen Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Paragraaf 4.1 : Kwadratische formules

Paragraaf 4.1 : Kwadratische formules Hoofdstuk 4 Werken met formules H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 41 : Kwadratische formules Les 1 : Verschillende vormen Er zijn verschillende vormen van kwadratische vergelijkingen die vaak terugkomen

Nadere informatie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)

Nadere informatie

Vergelijkingen oplossen met categorieën

Vergelijkingen oplossen met categorieën Vergelijkingen oplossen met categorieën De bewerkingen die tot de oplossing van een vergelijking leiden zijn niet willekeurig, maar vallen in zes categorieën. Het stappenplan voor het oplossen maakt gebruik

Nadere informatie

9.1 Logaritmische en exponentiële vergelijkingen [1]

9.1 Logaritmische en exponentiële vergelijkingen [1] 9.1 Logaritmische en eonentiële vergelijkingen [1] Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels: (1) log( ab) log( a) log( b) g g g () g g g (4) (3) g n g (5) g log() = y volgt = g y Voorbeeld: a log

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Transformaties

Hoofdstuk 3 - Transformaties Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 V-a f () = g () = sin h () = k () = log m () = n () = p () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D

Nadere informatie

Wiskunde voor bachelor en master. Deel 1 Basiskennis en basisvaardigheden. c 2015, Syntax Media, Utrecht. Uitwerkingen hoofdstuk 9

Wiskunde voor bachelor en master. Deel 1 Basiskennis en basisvaardigheden. c 2015, Syntax Media, Utrecht.   Uitwerkingen hoofdstuk 9 Wiskunde voor bachelor en master Deel Basiskennis en basisvaardigheden c 0, Sntax Media, Utrecht www.sntaxmedia.nl Uitwerkingen hoofdstuk 9 9.. = x = x 0 0 a. b. =, 0 0 = x + c. d. Uitwerkingen 9.. = x

Nadere informatie

Basisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies

Basisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies Basisvormen (algeraische denkeenheden) van algeraische epressies/functies,,,..,,, g g, log( ), sin(), cos() polynoomfuncties gerokenfuncties, vermenigvuldigingsfunctie Soort functies Standaardvormen met

Nadere informatie

Differentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden

Differentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 Voorkennis Repeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren. Draai eventueel het

Nadere informatie

13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.

13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0. Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu

Nadere informatie

Logaritmen. Het tijdstip t waarop S(t) = is op de t-as aangegeven. Dat tijdstip komt niet mooi uit. Dat tijdstip noemen 5,3

Logaritmen. Het tijdstip t waarop S(t) = is op de t-as aangegeven. Dat tijdstip komt niet mooi uit. Dat tijdstip noemen 5,3 5 Logaritmen 1 We bekijken de Shigella-bacterie uit opgave 1 van de vorige paragraaf. Hieronder staat een stukje van de grat fiek van de functie S(t) = 5,. Het tijdstip t waarop S(t) = 100.000 is op de

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

Paragraaf 9.1 : Logaritmen

Paragraaf 9.1 : Logaritmen Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina van 5 Paragraaf 9. : Logaritmen Les Logaritmen Definitie Logaritmen Hoofdregel : g t = b t = g log b met domein b>0 Om logaritmen uit

Nadere informatie

Paragraaf 6.1 : Kwadratische formules

Paragraaf 6.1 : Kwadratische formules Hoofdstuk 6 Machtsverbanden (V Wis A) Pagina 1 van 10 Paragraaf 6.1 : Kwadratische formules Gegeven is de formule W(x) = x 2 + 8x met W de winst in euro s per uur en x het aantal producten dat per uur

Nadere informatie

Wiskunde voor bachelor en master Deel 1 Basiskennis en basisvaardigheden. c 2015, Syntax Media, Utrecht Uitwerkingen hoofdstuk 11

Wiskunde voor bachelor en master Deel 1 Basiskennis en basisvaardigheden. c 2015, Syntax Media, Utrecht  Uitwerkingen hoofdstuk 11 Wiskunde voor bachelor en master Deel Basiskennis en basisvaardigheden c 05, Syntax Media, Utrecht www.syntaxmedia.nl Uitwerkingen hoofdstuk.. a. In de onderstaande figuur zijn de grafieken van y = ( )x,

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie

Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties Hoofdstuk - Machtsfuncties Voorkennis: Functies en symmetrie ladzijde 9 V-a Kies als vensterinstelling voor je GR ijvooreeld X en Y en voer in Y = X X + Je krijgt: + = 0, dan D = ( ) = en = = = + = of

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 - veranderingen. getal & ruimte HAVO wiskunde A deel 2

Hoofdstuk 7 - veranderingen. getal & ruimte HAVO wiskunde A deel 2 Hoofdstuk 7 - veranderingen getal & ruimte HAVO wiskunde A deel 2 0. voorkennis Plotten, schetsen en tekenen Een grafiek plotten Een grafiek schetsen Een grafiek tekenen Na het invoeren van de formule

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Continue wiskunde Voorkennis

Continue wiskunde Voorkennis T.08.1.3.1 Continue wiskunde Voorkennis Voorlopige versie september 2006 2006 Open Universiteit Nederland OUN Continue wiskunde Inhoud Voorkennis continue wiskunde Introductie Leerkern 1 Getallenverzamelingen

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R - 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel

Nadere informatie

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat. 92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,

Nadere informatie

7.1 Ongelijkheden [1]

7.1 Ongelijkheden [1] 7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij

Nadere informatie

VAKANTIEWERK WISKUNDE

VAKANTIEWERK WISKUNDE A -> Hn 0 / 06 / 06 VAKANTIEWERK WISKUNDE NEEM UW MAP WISKUNDE!! Herhalingsoefening : Optellen in Q (60 ptn) gevallen : - voor twee rationale getallen met hetzelfde teken * behoud dit teken * maak de som

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Copyright 2017 Gertjan Laan Versie 3.1. uitgeverij czarina

Copyright 2017 Gertjan Laan Versie 3.1. uitgeverij czarina G E R T J A N L A A N A N A LY S E B O E K U I T G E V E R I J C Z A R I N A Copright 07 Gertjan Laan Versie. uitgeverij czarina www.uitgeverijczarina.nl www.gertjanlaan.nl tufte-late.github.io/tufte-late

Nadere informatie

WISNET-HBO. update aug. 2011

WISNET-HBO. update aug. 2011 Basiskennis van machten WISNET-HBO update aug. 0 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 (spreek uit: a tot de vierde macht) een macht van a (in dit geval de vierde

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5-3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 3 = -15 Voorbeeld 4: -5 3 9 2

Nadere informatie

Polynomen. De algemene vorm van een polynoom is: f(x) = a 0. + a 1. 0, n N. x +... + a n 1. x n 1 + a n. x n. met a n

Polynomen. De algemene vorm van een polynoom is: f(x) = a 0. + a 1. 0, n N. x +... + a n 1. x n 1 + a n. x n. met a n Polnomen Polnomen Funties als 4 en + 1 zijn vooreelden van een grote klasse van veelvoorkomende funties: de polnomen of veeltermfunties. Wij zullen steeds de term polnomen geruiken. Een van de redenen

Nadere informatie

ProefToelatingstoets Wiskunde B

ProefToelatingstoets Wiskunde B Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan

Nadere informatie

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek WERKBOEK REKENVAARDIGHEID Voeding en Diëtetiek 11 INHOUDSOPGAVE ACHTERGROND 3 1. Elementaire bewerkingen 4 2. Voorrangsregels (bewerkingsvolgorde) 8 3. Bewerkingen met machten 11 4. Rekenen met breuken

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE

2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Inleverdatum maandag 8 oktober 2017 voor het college Niet losse velletjes aan elkaar vast. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven.

Nadere informatie

7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]

7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] 7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1:

Nadere informatie

Algemene informatie. Inhoudelijke informatie

Algemene informatie. Inhoudelijke informatie Informatie over Colloquium doctum Wiskunde niveau 2 voor Bedrijfskunde, Economie, Fiscale Economie en Mr.-Drs. Programma Economie en Recht ERASMUS UNIVERSITEIT ROTTERDAM Algemene informatie Tijdsduur:

Nadere informatie

4 Vergelijkingen. 1 Voor welke x geldt: x+7 = 8? a. 2 7x = 8? = 8? 1 = 8? a. 3 x 5 = = = = b. 3 5x. c x. x+1

4 Vergelijkingen. 1 Voor welke x geldt: x+7 = 8? a. 2 7x = 8? = 8? 1 = 8? a. 3 x 5 = = = = b. 3 5x. c x. x+1 4 Vergelijkingen De vergelijking 8 kun je onmiddellijk oplossen. Immers, duidelijk is dat 3 aan de vergelijking voldoet en ook dat 3 het enige getal is met die eigenschap. Maar dan weet je automatisch

Nadere informatie

denkeenheden letters vormen woorden woorden vormen zinnen zinnen vormen verhalen stenen vormen muren muren vormen huizen huizen vormen steden

denkeenheden letters vormen woorden woorden vormen zinnen zinnen vormen verhalen stenen vormen muren muren vormen huizen huizen vormen steden letters vormen woorden woorden vormen zinnen zinnen vormen verhalen stenen vormen muren muren vormen huizen huizen vormen steden denkeenheden hoe zit dat bij algebraische epressies?,,,.. maken,5,5 maken

Nadere informatie

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20 .0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:

Nadere informatie

Functievergelijkingen

Functievergelijkingen Functievergelijkingen Trainingsweek juni 2008 Basistechnieken Je mag alle getallen in het domein invullen in je functievergelijking. Wat er precies handig is, hangt af van het domein en van de functievergelijking.

Nadere informatie

Paragraaf 11.0 : Voorkennis

Paragraaf 11.0 : Voorkennis Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +

Nadere informatie