Hoofdstuk 3 - Transformaties

Transcriptie

1 Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 V-a f () = g () = sin h () = k () = log m () = n () = p () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k = 0, en B k = ; D m =, 0 0, en B m =, 0 0, ; D n = en B n = [0, ; D p = en B p = c De grafiek van functie f heeft randpunt (0, 0) d De grafiek van functie h heeft een horizontale asymptoot y 0 ; De grafiek van functie k heeft een verticale asymptoot 0 ; De grafiek van functie m heeft een horizontale asymptoot y 0 en een verticale asymptoot 0 e De grafiek van functie g heeft periode bladzijde 7 V-a De wortel uit een negatief getal bestaat niet dus de grafiek start in 0 b De functie m bestaat niet voor 0 maar als nadert naar nul, nadert de functiewaarde naar oneindig of min-oneindig, daarom heeft m een verticale asymptoot c De functie g doorloopt op het interval [0, π] de functiewaarden van 0 naar naar 0 naar naar 0 en dan begint de cyclus weer opnieuw V-a Functiewaarden zijn nooit negatief De grafieken hebben als top (0, 0) en zijn symmetrisch ten opzichte van de y-as Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv 5

2 Hoofdstuk - Transformaties b Alle grafieken zijn puntsymmetrisch ten opzichte van (0, 0) Als negatief is, is de functiewaarde negatief Als positief is, is de functiewaarde positief c Alle grafieken gaan door (0, 0) en (, ) V-a Voor g zijn de kenmerken hetzelfde b Voor 0 g is de grafiek van f afnemend dalend met de -as als horizontale asymptoot en de grafiek gaat altijd door (0, ) c Voor 0 g is de grafiek van k afnemend dalend met de y-as als verticale asymptoot en de grafiek gaat altijd door (, 0) V-5 Plot steeds de grafieken van f en g en laat de grafische rekenmachine vervolgens de oplossingen berekenen a t 0, 77 ; t = en t = De functie f stijgt op den duur het snelst b t 0, 0 ; t, en t, De functie f stijgt ook hier op den duur het snelst c t, 0 en t 0, 5 De functie f stijgt op den duur het snelst Denk er wel aan om functie g in te voeren als log( ) : log( ) V-a Als of heeft p( ) de meeste invloed omdat dan heel snel naar nul nadert b In de buurt van = 0 wordt q( ) groot positief of groot negatief terwijl juist naar nul nadert en dus weinig invloed heeft Grafieken verschuiven bladzijde 7 a b De coördinaten van het punt waar de raaklijn aan de grafiek horizontaal loopt zijn: s: (0, 0); t: (, 0); u: (, 5); v: (, 7); w: (0, 0) De grafiek van functie t ontstaat door de grafiek van functie s naar links te schuiven De grafiek van functie u ontstaat door de grafiek van functie s naar rechts en 5 naar boven te schuiven De grafiek van functie v ontstaat door de grafiek van functie s naar links en 7 naar beneden te schuiven De grafiek van functie w ontstaat door de grafiek van functie s 0 naar boven te schuiven ab y O Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv

3 Hoofdstuk - Transformaties c g( 7) 7 d f ( ) g( 7) geeft dus e 7 dus f a dus a bladzijde 7 a De grafiek van functie f ontstaat door de grafiek van standaardfunctie cos omhoog te schuiven De grafiek van functie g ontstaat door de grafiek van standaardfunctie naar rechts en naar beneden te schuiven De grafiek van functie h ontstaat door de grafiek van standaardfunctie naar links te schuiven De grafiek van functie k ontstaat door de grafiek van standaardfunctie log naar rechts en 8 omhoog te schuiven b - a b c k( ) ; m( ) log( ) en n( ) cos( ) t( ) ; r( ) log en s( ) cos( ) De grafiek van s( ) cos( ) lijkt alleen naar beneden geschoven te zijn Dat komt omdat de grafiek precies één periode naar rechts is geschoven 5a De standaardfunctie is b c De grafiek van de standaardfunctie heeft 0 en y 0 als asymptoten De grafiek van f heeft en y 5 als asymptoten De standaardgrafiek is naar links en 5 omhoog geschoven a Hier wordt standaardfunctie bedoeld b Randpunt (0, 0) is verplaatst naar randpunt (, ) c Er is naar rechts en omhoog geschoven d f ( ) Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv

4 Hoofdstuk - Transformaties Grafieken vervormen bladzijde 7 7ab y O c g( ) 8ab y O c h( ) d f ( ) h( ) voor = e f ( ) h( ) voor want bladzijde 75 a g( ) b g( ) 0a g( ), de grafiek van f wordt gespiegeld in de -as b h( ), de grafiek van f wordt gespiegeld in de y-as c Ja, ook bij g( ) log is het effect hetzelfde a f ( ) sin horizontaal vermenigvuldigen met factor b f ( ) log horizontaal vermenigvuldigen met factor c f ( ) verticaal vermenigvuldigen met factor Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv

5 Hoofdstuk - Transformaties d f ( ) achtereenvolgens horizontaal vermenigvuldigen met factor en dan verticaal vermenigvuldigen met factor e f ( ) cos achtereenvolgens horizontaal vermenigvuldigen met en dan f verticaal vermenigvuldigen met factor f ( ) achtereenvolgens horizontaal vermenigvuldigen met en dan verticaal vermenigvuldigen met factor a g( ) b Punt (0, ) komt op punt (0, ) dus de factor is c a Factor bc Factor want h( ) ( d g ( ) dus horizontaal met factor of verticaal met factor Transformaties combineren bladzijde 7 a y f g 5 O 5 b c g( ) Als je de volgorde omdraait krijg je hetzelfde resultaat Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv

6 Hoofdstuk - Transformaties 5abc y h g f 5 O 5 d Onderdeel b: f ( ) k( ) g( ) k( ) Onderdeel c: f ( ) k( ) h( ) k( ) ( ) bladzijde 77 f ( ) g( ) ( ) h( ) g( ) ( ) De grafiek van h heeft (, 0) als top 7ab f ( ) g( ) f ( ) h( ) g( ) ( ) of f ( ) g( ) f ( ) h( ) g( ) 8 In alle de gevallen is de standaardgrafiek k( ) log De grafiek van f ontstaat uit de standaardgrafiek door eerst horizontaal te vermenigvuldigen met 5 en vervolgens naar rechts te schuiven De grafiek van h ontstaat door de standaardgrafiek eerst naar rechts te schuiven en dan horizontaal te vermenigvuldigen met 5 De grafiek van m ontstaat door de standaardgrafiek horizontaal met 5 te vermenigvuldigen en naar beneden te schuiven Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv

7 Hoofdstuk - Transformaties a 75 naar rechts schuiven en verticaal vermenigvuldigen met 0,85 b 00 punten c d hoogte in cm Een atleet moet meer dan 75 cm hoogspringen om punten te halen Elke cm die de atleet hoger springt levert steeds meer punten op 000 punten tijd in seconden Een atleet moet sneller zijn dan 80 seconden om punten te halen e Elke seconde die een atleet sneller loopt levert steeds meer punten op 85 f Op de 500 meter krijg je P 0, 078( 80 55), 8 punten, Met de grafische rekenmachine oplossen van 0, 85 h 75 8 hoogte op van ongeveer 05 cm levert een 0a Het randpunt is (0, 0) b Het randpunt is nu (, ) c De steilheid van de gegeven grafiek is veel groter d Verticale vermenigvuldiging met factor 8 en vervolgens naar rechts en naar beneden schuiven Het functievoorschrift is dan g( ) 8 Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv 5

8 Hoofdstuk - Transformaties Transformaties van sinusoïden bladzijde 78 a h( ) sin( ) 0, b De periode van h is c h( 0) 0, dus (0; 0,) d y 0, is de evenwichtslijn van de grafiek van h a y,,0 0,8 0, 0, 0, f g 7 5 O 0, 5 7 0, 0, 0,8,0, f ( 0) cos 0 dus (0, ) ligt op de grafiek van f b Eerst horizontaal vermenigvuldigen met factor en daarna naar rechts schuiven c De periode wordt keer zo groot dus d g( 0) cos ( ) cos 0 a De periode van h is 8 en de grafiek gaat onder andere door (, ) b De periode van k is en de grafiek gaat onder andere door (0,; 0) c De periode van l is en de grafiek gaat onder andere door (, ) Functie l is ook te schrijven als l( ) cos ( ) a Het maimum is 0 en het minimum is 0 b d c a d De periode is 80 dus b 0 80 e Om de grafiek bij = 0 te laten beginnen moet de standaardgrafiek g( ) sin 0 naar rechts schuiven dus c = 0 f ( ) 5 5 sin ( 0) 0 f Om te beginnen bij 0 moet c 0 zijn dus f ( ) 5 5 sin ( 0) 0 Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv

9 Hoofdstuk - Transformaties bladzijde Voor de eerste grafiek geldt f ( ) d a sin b( c) met d en a De periode is dus b en de grafiek start bij 0 dus c 0 f ( ) sin Voor de tweede grafiek geldt g( ) d a sin b( c) met d en a De periode is 5 dus b en de grafiek start bij 5 dus c g( ) 50 50sin ( ) a d en a 0 ( 5) 5 De periode is 0 dus b f ( 0) 0 dus het maimum ligt bij 0, de 0 0 grafiek is dan periode naar links geschoven (net als bij de tweede grafiek van opdracht 5) dus c 5 f ( ) 5 5 sin ( 5) 0 b f ( 0) 0 dus het minimum ligt bij 0, de grafiek is nu periode naar rechts geschoven dus c 5 De rest blijft hetzelfde f ( ) 5 5 sin ( 5) 0 5 Gemengde opdrachten bladzijde 80 7a Om ongeveer op hetzelfde puntenaantal uit te komen zal er bij het kogelstoten dus met een groter getal moeten worden vermenigvuldigd Formule A hoort dus bij het kogelstoten en formule B bij het speerwerpen 0 b Er moet gelden 5, 80( d, 80), 800, 0 Met algebra: ( d, 80) 800 5, 80 d, , 80, 0 d, 0 800, 80, 87 5, 80 Je kunt de vergelijking natuurlijk ook met de grafische rekenmachine oplossen Je moet dus minstens,87 meter gooien, 0 c Of: c 5, geeft c 800, 7, 0 5, 80 dus A 7 d 80,,, 0 of: 5, c geeft, 5 80 log 50, 0 log, log,, 800 dus A 5 80 d 80,,, 05 ~, 05 c 00 dus 5, 80, 0 of: 5, 80 5 c 800 geeft 5 800, 0 c 5, 80 A 5 80 d,,, 0 Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv dus c 5, 07, dus 7

10 Hoofdstuk - Transformaties 8a c( 0) 0 mg 8 / liter en c( 8) 0 0, 8, 8 mg / liter b Na de eerste herhaling is de concentratie, 8 0, 8 mg / liter t t8 t c Voor t geldt C 0 0, 8 0 0, 8 0 0, 8 d De concentratie blijft steeds toenemen e Dan moet men steeds na 8 uur 0, 8 8, mg / liter inspuiten f Als de eerste injectie nog 0 mg t / liter is geldt C 0 0, 8 Als C mag men er weer t inspuiten 0 0, 8 geeft t log 0 0, 8 dus t 0 0, log 0, 8 Er moet steeds minimaal 0 uur en 0, 0 0 minuten tussen de injecties zitten bladzijde 8 a Ga weer uit van W( t) d a sin b( t c) De gemiddelde top ligt op 8 cm Het gemiddelde dal op 5 cm b c d Er geldt dan d en a De periode is uur en 0 minuten ofwel uur Dus b 0, 5 5 c dus W( t) 8 7sin 0, 5( t 5) 8 8 In werkelijkheid is de stijging sneller dan bij de gevonden benadering terwijl de afname van het tij aardig overeenkomt De gemiddelde top ligt op,5 cm Het dal ligt op 55 cm, 5 55 Er geldt dan d 0, 5 en a, 5 0, 5, 75 7 De periode is weer uur en 0 minuten dus b 0, 5 c, 7 W( t) 0, 5, 75sin 0, 5( t, 7) De laatste grafiek lijkt veel meer een sinusoïde De amplitude bij de eerste grafiek is veel groter dus een veel groter verschil tussen hoog en laag water De periode komt overeen ICT Grafieken verschuiven bladzijde 8 I_ A: f ( ) heeft domein ; bereik ; snijpunten met de assen (0, 0); stijgt op B: f ( ) heeft domein, 0 0, ; bereik, 0 0, ; heeft geen snijpunten met de assen; verticale asymptoot y-as; horizontale asymptoot de -as; daalt op het domein C: f ( ) heeft domein ; bereik 0, ; snijpunt met y-as (0, ); horizontale asymptoot -as; stijgt op het hele domein D: f ( ) log heeft domein 0, ; bereik ; snijpunt met de -as (, 0); verticale asymptoot y-as; stijgt op het hele domein E: f ( ) heeft domein ; bereik [0, ; snijpunt met -as en y-as is (0, 0); top (0, 0) De grafiek daalt op, 0 en stijgt op 0, 8 Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv

11 Hoofdstuk - Transformaties F: f ( ) sin heeft domein ; het bereik is [, ] ; de -as wordt gesneden in de punten ( 0 k, 0) waarbij k een geheel getal is; de y-as wordt gesneden in het punt (0, 0); de functie is periodiek met periode ; f stijgt op de intervallen k, k en daalt op de intervallen k, k G: f ( ) heeft domein [0, en bereik [0, ; het randpunt is (0, 0); f stijgt op het hele domein I_a Open het bestand dat hoort bij opdracht y f ( ) betekent dat de grafiek gespiegeld wordt in de -as Het veranderen in y f ( ) betekent dat de grafiek gespiegeld wordt in de y-as b Bij sommige functies heeft het veranderen in y f ( ) geen zichtbaar effect omdat deze grafieken al symmetrisch zijn in de y-as Bij het spiegelen valt het beeld dan over het origineel Geen enkele grafiek is symmetrisch in de -as I_a g( ) b g( ) c De formule van de nieuwe parabool ontstaat door bij de functie f op te tellen, respectievelijk af te trekken d Het resultaat is een verschuiving van naar beneden Dus g( ) I_a f ( ) ( ) ( )( ) b De standaardparabool heeft top (0, 0) De nieuwe parabool heeft top (, 0) f ( ) ( ) 0 0 klopt; f ( ) 8 0 klopt c f ( ) ( ) ( )( ) De top van de nieuwe parabool is (, 0); f ( ) ( ) 0 0 ; f ( ) ( ) 8 0 Beide controles kloppen d De notatie met haakjes is het handigst, omdat je dan eenvoudig de top kunt ontdekken I_5 De nieuwe parabool heeft de formule g( ) ( ) bladzijde 8 I_a De parameter c geeft de horizontale verschuiving van de standaardgrafiek aan Wanneer c 0 dan is er sprake van een verschuiving naar rechts en wanneer c 0 dan is er sprake van een verschuiving naar links De parameter d bepaalt de verticale verschuiving van de standaardgrafiek, d 0 is een verschuiving omhoog, d 0 een verschuiving naar beneden b Neem c ; het functievoorschrift wordt y ( ) c Neem d ; het nieuwe functievoorschrift wordt y d Het functievoorschrift wordt: y sin( ) I_7 - I_8a De standaardfunctie g( ) is naar rechts geschoven b De standaardfunctie g( ) is naar beneden geschoven c De standaardfunctie h( ) is naar links geschoven Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv

12 Hoofdstuk - Transformaties d De standaardfunctie f ( ) sin is naar beneden geschoven e De standaardfunctie f ( ) sin is naar rechts geschoven f De standaardfunctie g( ) log is omhoog geschoven I_ De verschoven grafiek heeft als voorschrift: f ( ) De volgorde waarop je dit doet maakt geen verschil ICT Grafieken vervormen bladzijde 8 I_0a y b y c De nieuwe parabool ontstaat door de standaard parabool verticaal te vermenigvuldigen met respectievelijk met I_a Bij een waarde van a die groter is dan wordt de grafiek verticaal uitgerekt a b Bij een waarde van a tussen 0 en wordt de grafiek verticaal ingekrompen 0 a c Wanneer a negatief wordt dan wordt de grafiek gespiegeld in de -as en uitgerekt of ingekrompen Bij de waarde a = wordt de standaardgrafiek alleen gespiegeld in de -as d Alle functiewaarden worden met a vermenigvuldigd, vandaar dat deze transformatie ook vermenigvuldiging ten opzichte van de -as genoemd wordt I_a De standaardfunctie g( ) sin is met factor vermenigvuldigd b De standaardfunctie f ( ) is met factor vermenigvuldigd c De standaardfunctie g( ) log is vermenigvuldigd met factor d De standaardfunctie h( ) is met factor,7 vermenigvuldigd e De standaardfunctie f ( ) is met factor 0 vermenigvuldigd want f De standaardfunctie g( ) is met factor vermenigvuldigd I_ - bladzijde 85 I_a Waarden van b tussen 0 en rekken de grafiek van sin horizontaal uit 0 b b Waarden van b groter dan laten de grafiek inkrimpen in de richting van de y-as b c Wanneer b negatief is wordt de grafiek eerst gespiegeld in de y-as en vervolgens horizontaal ingekrompen of uitgerekt b = heeft alleen een spiegeling in de y-as tot gevolg d De -waarden worden met een factor vermenigvuldigd, vandaar dat deze transformatie ook wel vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as wordt genoemd 70 Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv

13 Hoofdstuk - Transformaties I_5a g( ) ( ) ( ) b h( ) ( ) c f ( ) sin( ) d m( ) log( ) log( ) log e n( ) f k( ) I_ - I_7a Vermenigvuldigen met factor b f ( ) ten opzichte van de y-as geeft f ( ) De grafiek kan dus ook door een verticale vermenigvuldiging met factor ontstaan uit de standaardgrafiek c Ja f ( ) a ontstaat door een horizontale vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor Omdat f ( ) a a ontstaat f ook uit de a standaardgrafiek door een verticale vermenigvuldiging met factor a, met a 0 ICT Transformaties combineren bladzijde 8 I_8a f ( ) ( ) b f ( ) ( ) c Ja I_a f ( ) ( ) ( ) de afleiding staat op bladzijde 8 van het boek bij de grafiek b f ( ) ( ( )) ( ) c Verschuiven naar rechts: g( ) wordt h( ) g( ) ( ) vervolgens horizontaal vermenigvuldigen met : h( ) ( ) f ( ) h( ) (( ) ) d Horizontaal vermenigvuldigen met : g( ) wordt h( ) g( ) ( ) Verschuiven naar rechts: f ( ) h( ) ( ) I_0a f ( ) b f ( ) c Verschuiven naar boven: g( ) wordt h( ) g( ) Vervolgens horizontaal met vermenigvuldigen: f ( ) g( ) ( ) Horizontaal vermenigvuldigen met : g( ) wordt h( ) g( ) ( ) Vervolgens omhoog schuiven: f ( ) g( ) I_a f ( ) b f ( ) Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv 7

14 Hoofdstuk - Transformaties c Verschuiven omhoog: g( ) wordt h( ) g( ) Vervolgens verticaal met vermenigvuldigen: f ( ) h( ) ( ) Verticaal vermenigvuldigen met factor : g( ) wordt h( ) g( ) Vervolgens omhoog schuiven: f ( ) h( ) I_ A: De grafiek van log wordt eerst horizontaal met 5 vermenigvuldigd en vervolgens naar rechts geschoven B: De grafiek van log wordt eerst horizontaal naar rechts geschoven en vervolgens horizontaal met 5 vermenigvuldigd want y log( ) 5 C: De grafiek van log wordt eerst horizontaal vermenigvuldigd met factor 5 en vervolgens naar beneden geschoven (hierbij kun je de volgorde ook verwisselen) bladzijde 87 I_ De parameter a bepaalt de amplitude van de grafiek Wanneer a 0 wordt de standaardgrafiek niet gespiegeld in de -as, wanneer a 0 wordt de standaardgrafiek ook nog gespiegeld in de -as De parameter b heeft invloed op de periode Wanneer 0 b wordt de periode groter, b heeft een kortere periode tot gevolg Parameter c bepaalt een horizontale verschuiving c 0 een verschuiving naar rechts, c 0 een verschuiving naar links Parameter d tenslotte zorgt voor een verticale verschuiving van de standaardgrafiek d 0 is een verschuiving naar beneden I_a Het maimum is 0 en het minimum is 0 b De evenwichtslijn ligt precies tussen het maimum en het minimum dus is de lijn y 5 c De amplitude is 5 d De sinusgolf begint in het punt (0, 5) I_5 - I_ f ( ) sin I_7 g( ) d a sin b( c) ; evenwichtsstand y dus d 50 ; maimum is 00 dan is a 50 periode is 5 dan is b ; startpunt (, 50), de verschuiving naar links 5 dus c g( ) sin ( ) 7 Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv

15 Hoofdstuk - Transformaties Test jezelf bladzijde 0 T-a Punt (0, 0) komt zo op (, ) terecht b ( +, 5 ) dus P(, 7) c g( ) ( ) d De y-coördinaat op de grafiek van f is dan 8 dus moet gelden 8 wat betekent dat dus punt (, 8) T-a Punt (, ) komt zo op (, ) terecht b (, ) dus P(, 8) c g( ) ( ) ( ) 8 d De y-coördinaat op de grafiek van f is dan : dus moet gelden wat betekent dan dus punt (, ) T-a De standaardgrafiek van f ( ) log naar links en naar boven schuiven b De standaardgrafiek van g( ) eerst naar links schuiven, vervolgens verticaal vermenigvuldigen met 0, en dan naar beneden schuiven c De standaardgrafiek van h( ) naar rechts schuiven, vervolgens verticaal met 5 vermenigvuldigen en dan 7 naar boven schuiven d De standaardgrafiek van j( ) horizontaal vermenigvuldigen met 0 T-ab y is de evenwichtslijn dus d met a De periode is 0 dus b 5 0 en de grafiek gaat door (, ) dus c Het functievoorschrift is dus f ( ) sin( ( )) 5 De transformaties zijn dan achtereenvolgens: verticaal vermenigvuldigen met, horizontaal vermenigvuldigen met 5, naar rechts en naar beneden schuiven bladzijde T-5a Verticaal vermenigvuldigen met en dan naar links en naar boven schuiven b g( ) T-a Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv 7

16 Hoofdstuk - Transformaties b Ga uit van f ( ) d a sin b( t c) Het maimum is 7 en het minimum dus d a 7, 5 7, 5, 5 met een amplitude De periode is maanden dus b Op t = gaat de grafiek door de evenwichtsstand dus c = Hieruit volgt f ( t), 5 7, 5 sin( ( t )) c Bereken met de grafische rekenmachine wanneer D = 5 Dit geeft t 55, 7 en t, 8 De temperatuur was dus van dag 5 tot en met dag boven de 5 C dus gedurende 7 dagen 7 T-7 Ga uit van f ( t) d a sin b( t c) 5778 Het maimum is 58 en het minimum 78 dus d 0 met a De periode is uur en 0 minuten dus b 0, 5 Het minimum is om 0 uur en het maimum om 0 uur De grafiek gaat dus om uur door de evenwichtsstand dus c 7, 0 Dus f ( t) 0 8 sin( 0, 5( t 7, 0 )) T-8a b Verticaal vermenigvuldigen met komt neer op spiegelen in de -as Horizontaal vermenigvuldigen met komt neer op spiegelen in de y-as Horizontaal vermenigvuldigen met of geeft hetzelfde resultaat 7 Moderne wiskunde e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers bv