H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

Transcriptie

1 H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische vergelijking wel een vierkantsvergelijking (kortweg v.k.v.) genoemd. In deze vergelijking is de onbekende, terwijl a, b en c constanten zijn. Omdat de onbekende met de hoogste macht de eponent heeft, noemen we dit een kwadratische vergelijking. Een voorbeeld van zo n kwadratische vergelijking is: 3= Opmerking: Voor het oplossen van een kwadratische vergelijking moet deze vergelijking eerst op nul worden herleid, d.w.z. dat alle termen links van het = teken staan. In het rechterlid staat dan het getal nul. Er zijn op zijn minst methoden om een kwadratische vergelijking op te lossen:. Ontbinden in factoren: Voorbeeld a: Los op in : 7+ = In H. hebben we al gezien dat we voor het ontbinden (van het linkerlid) moeten zoeken naar getallen waarvan het product en de som 7 is. Dus: 7 + = ( 3)( 4) = Dus de oplossing is: ( 3) = = 3 of ( 4) = = 4 Voorbeeld b: Los op in : + = 3. abc-formule of wortelformule: De v.k.v. a + b + c= kent een zgn. discriminant D. Deze discriminant kunnen we berekenen met de formule: D = b 4 a c

2 De oplossingen van de v.k.v. zijn dan te berekenen met de abc-formule:, = b± a D Voorbeeld a: Los op in : + 4+ = In deze v.k.v. geldt: a =, b = 4, c = We berekenen eerst de discriminant D: D= b 4a c= 4 4 = 6 8= 8 Dan berekenen we de oplossingen van de v.k.v. met de abc-formule: b± D 4± 8, = = = ± a Dus: = + 8 = +.59 of = 8 = 3.4 Deze v.k.v. heeft dus oplossingen!! Voorbeeld b: Los op in : 4+ = Niet in alle gevallen heeft een v.k.v. oplossingen. Dit hangt af van de waarde van de discriminant D. We onderscheiden 3 gevallen:. D > v.k.v. heeft verschillende reële oplossingen: b+ D b = of = a a D. D = v.k.v. heeft gelijke reële oplossingen: = = b a 3. D < v.k.v. heeft geen reële oplossingen, want negatief getal kan niet in

3 Voorbeeld 3a: Los op in : + 5 = In deze v.k.v. geldt: a =, b = -, c = 5 We berekenen eerst de discriminant D: D= b 4a c= 4 5 = = Dus de v.k.v. heeft gelijke reële oplossingen: b = = = = a 5 Voorbeeld 3b: Los op in : 4 + 9= Voorbeeld 4a: Los op in : 6+ 5= In deze v.k.v. geldt: a =, b = - 6, c = 5 De discriminant D is: D= b 4 a c= ( 6) 4 5 = 36 = 84 Omdat de discriminant negatief is heeft de v.k.v. geen reële oplossingen. Voorbeeld 4b: Los op in : + = 7 8

4 8. Kwadratische functie Een kwadratische functie (of e graadsfunctie) is een functie van de vorm: f ( ) = a + b + c In plaats van f ( ) = a + b + c gebruiken we ook de notatie: y = a + b + c In deze functie is de (onafhankelijke) variabele, terwijl a, b en c constanten zijn. Omdat de hoogste macht van de variabele de eponent heeft, noemen we dit een kwadratische functie. Een voorbeeld van zo n kwadratische functie is: f ( ) = 3 De grafiek van een kwadratische functie is een parabool, zoals we o.a. in het voorbeeld 5a kunnen zien. Een manier om de grafiek te tekenen zou kunnen zijn om een tabelletje te maken van waarden van met bijbehorende y-waarden (= functiewaarden van ). Om niet lukraak maar wat waarden van te proberen, verdient het aanbeveling om systematisch 3 elementen van de kwadratische functie te onderzoeken:. Snijpunten met de X-as. Snijpunten met de Y-as 3. Symmetrieas, en daaruit volgend de top van de parabool Aanvullend kunnen dan nog enkele punten worden berekend in een tabelletje zoals we in voorbeeld 5a zullen zien. Voorbeeld 5: Teken de grafiek van de functie y = 3. De snijpunten met de X-as (de nulpunten ) vinden we uit: y = = 3 Door in de kwadratische functie y = te stellen, hebben we een kwadratische vergelijking in gekregen!! Deze v.k.v. lossen we op m.b.v. ontbinden in factoren (zie 8.): ( 3)( + ) = Dus de oplossing is: 3= = 3 óf + = = De nulpunten zijn dan: N (3, ) en N (-, )

5 . Het snijpunt met de Y-as vinden we uit: = y = f() = 3 S y (, 3) 3. De symmetrieas ligt midden tussen N en N, dus De top van de parabool: T(, f()) T(, 4) as + 3 = = Aanvullend kunnen we nu nog bijvoorbeeld bepalen: = 4 f(4) = 5 dus het punt (4, 5) = f( ) = 5 dus het punt (-, 5) We noemen de grafiek van deze functie een dalparabool. Voorbeeld 6: Teken de grafiek van de functie y = +. De snijpunten met de X-as (de nulpunten ) vinden we uit: y = + = Deze v.k.v. lossen we op m.b.v. ontbinden in factoren: + = Dus de oplossing is: = of 4 + = = De nulpunten zijn dan: N (, ) en N (4, ). Het snijpunt met de Y-as is derhalve S y (, ) 3. Symmetrieas: as + 4 = = De top van de parabool: T(, f()) T(, )

6 En aanvullend: = 6 f(4) = 6 dus (6, -6) = f( ) = 6 dus (-, 6) We noemen de grafiek van deze functie een bergparabool. Voor de kwadratische functie f ( ) = a + b + c gelden de volgende eigenschappen: Eigenschap : Als a > Als a < dalparabool bergparabool Eigenschap : Vergelijking van de symmetrieas: as b = a Eigenschap 3: Top van de parabool: T, b b f a a Voorbeeld 7a: Gegeven zijn: lijn l: y = 8 parabool p: y = Toon aan dat de lijn l de parabool p raakt. Bereken ook de coördinaten van dat raakpunt.

7 We vinden de eventuele snijpunten van l en p door de functies van de lijn l en de parabool p aan elkaar gelijk te stellen: 8 = Dit is een v.k.v. die we eerst op nul moeten herleiden: = = Deze v.k.v. lossen we op m.b.v. de abc-formule (zie 8.). Dus eerst de discriminant berekenen: D= b 4a c= = 36 36= ( ) Er is dus maar één punt dat de lijn l en de parabool p gemeen hebben, zodat l en p elkaar raken in het raakpunt R. De -coördinaat van het raakpunt R vinden we door de v.k.v. () op te lossen: b 6 = = = = a 3 De y-coördinaat vinden we door substitutie van = in de vergelijking van de lijn l (substitutie in p kan natuurlijk ook): y = 8 = 8 ( ) = De coördinaten van het raakpunt zijn dan: R (-, -) In onderstaande figuur zijn de grafieken van l en p getekend. l p