MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn"

Transcriptie

1 Codelijst: : de dynamisch gegenereerde waarde van INVUL: invuloefening ( Short answer ) KLEUR: gebruik kleur! MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn MC: multiple choice NDEF: gebruik systematisch eenzelfde kleur (bijvoorbeeld donkergroen) om nieuw gedefinieerde termen in de kijker te zetten. : New Page: nieuwe pagina : Same Page: Het vervolg van de tekst verschijnt pas na een handeling van de gebruiker (bvb. duwen op een knop), maar blijft op dezelfde pagina zodat het voorgaande zichtbaar blijft, want dit is pedagogisch van belang. Belangrijke opmerking: In wat volgt hebben we geen postieve feedback voorzien, enkel feedback bij foutieve antwoorden op oefeningen. We laten het aan jullie over om, bij goede antwoorden, allerlei variaties op Proficiat!, Doe zo verder!, etc. te voorzien. De kwadratische functie Onderwerp 1: Opfrissing MC: Weet je nog wat een functie (NDEF) is? Bestudeer de volgende grafische voorstellingen. Stellen deze volgens jou functies voor? Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de grafiek van. Antwoordmogelijkheden: ja, neen (correct: ja) Bij incorrect antwoord: Denk eens goed na. Waarom is je antwoord fout? Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de grafiek van { Antwoordmogelijkheden: ja, neen (correct: ja) Bij incorrect antwoord: Denk eens goed na. Waarom is je antwoord fout?

2 Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de grafische voorstelling van. Antwoordmogelijkheden: ja, neen (correct: neen) Bij incorrect antwoord: Merk op dat er een -waarde is waarmee meerdere (in dit geval twee) -waarden overeenstemmen. Definitie: Een functie (NDEF) is een verband tussen twee veranderlijken elke -waarde hoogstens één -waarde overeenstemt. en, waarbij met Een functievoorschrift (NDEF) legt een functie vast. Voorbeeld: ( ) Dit wordt soms ook als volgt genoteerd: of ook nog als De functiewaarde voor is dan ( ) ( ). Het beeld (NDEF) van is dus. Het koppel ( ) behoort tot de functie. Definitie: Het domein (NDEF) van een functie waarvoor het beeld ( ) bestaat. is de verzameling van de -waarden Notatie: Definitie: Het beeld (NDEF) of bereik (NDEF) van een functie waarden ( ), waarbij tot het domein van behoort. is de verzameling van alle Notatie: Het beeld van een functie kan grafisch bepaald worden door de grafiek te projecteren op de - as. Definitie: Een nulwaarde (NDEF) van een functie is een -waarde waarvoor de functiewaarde is.

3 Merk op: - De nulwaarden van een functie zijn de -waarden waarvoor geldt dat ( ). - Een functie kan meerdere nulwaarden hebben, of geen enkele. - De nulwaarden worden bekomen door de snijpunten te bepalen van de grafiek van de functie met de -as. De -coördinaten van deze snijpunten zijn de nulwaarden. Beschouw de volgende grafiek. Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de grafiek van de functie. MC: Bepaal het domein van de functie met deze grafiek. Antwoordmogelijkheden:,,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Denk er aan dat het domein van een functie per definitie gelijk is aan de verzameling van de -waarden waarvoor het beeld bestaat. Voor welke -waarden bestaat in dit geval het beeld? Zijn er -waarden waarvoor het beeld niet bestaat? MC: Bepaal het beeld van de functie met deze grafiek. Antwoordmogelijkheden:,,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Denk er aan dat het beeld van een functie per definitie gelijk is aan de verzameling van alle functiewaarden. Welke waarden neemt de gegeven functie aan? MC: Bepaal de nulwaarden van de functie met deze grafiek. Antwoordmogelijkheden: geen nulwaarde, 3, 6, 3 en 6 (Correct: 3) Bij incorrect antwoord: Denk er aan dat de nulwaarden bekomen worden door de snijpunten te bepalen van de grafiek van de functie met de -as. Welke zijn de -coördinaten van deze snijpunten? Beschouw de volgende grafiek. Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de grafiek van de functie, met domein. (Breek de grafiek af bij.) MC: Bepaal het domein van de functie met deze grafiek. Antwoordmogelijkheden:,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Denk er aan dat het domein van een functie per definitie gelijk is aan de verzameling van de -waarden waarvoor het beeld bestaat. Voor welke -waarden bestaat in dit geval het beeld? Zijn er -waarden waarvoor het beeld niet bestaat?

4 MC: Bepaal het beeld van de functie met deze grafiek. Antwoordmogelijkheden:,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Denk er aan dat het beeld van een functie per definitie gelijk is aan de verzameling van alle functiewaarden. Welke waarden neemt de gegeven functie aan? MC: Bepaal de nulwaarden van de functie met deze grafiek. Antwoordmogelijkheden: geen nulpunten,,, (Correct: ) Bij incorrect antwoord: : Denk er aan dat de nulwaarden bekomen worden door de snijpunten te bepalen van de grafiek van de functie met de -as. Welke zijn de -coördinaten van deze snijpunten? Onderwerp 2: Definitie van een kwadratische functie In de volgende tekst staan terugkerende constanten in dezelfde kleur. Ook staan de exponenten van de tweede machten in het rood. Een boer beschikt over een vierkante akker. De lengte van elke zijde van deze akker is gelijk aan meter. Maandelijks bedraagt de vaste onderhoudskost 3. De omheining dient regelmatig hersteld te worden. De maandelijkse herstellingskosten bedragen 0,5 per lopende meter omheining. De boer verbouwt suikerbieten op deze akker. De maandelijkse inkomsten hiervan bedragen 7 per vierkante meter. Druk de maandelijkse winst van de boer uit als een functie van. De oppervlakte van de vierkante akker is gelijk aan het kwadraat van de lengte van de zijde. Dus is deze oppervlakte gelijk aan vierkante meter. De maandelijkse inkomsten van de bietenoogst bedragen bijgevolg. De lengte van de omheining is gelijk aan de omtrek van de vierkante akker. Deze lengte is dus gelijk aan meter. De maandelijkse herstellingskost bedraagt bijgevolg. Dit bedrag dient afgetrokken te worden van de maandelijkse inkomsten. Ten slotte dienen ook de maandelijkse onderhoudskosten, namelijk 3, van de maandelijkse inkomsten afgetrokken te worden. De maandelijkse winst is bijgevolg gelijk aan kwadratische functie is van.. We zeggen dat de winst een Bij de functies,, en worden de exponenten van de tweede machten in het rood gezet. Voorbeelden van kwadratische functies:

5 ( ) ( ) ( ) ( ) Tegenvoorbeelden: ( ) ( ) ( ) Definitie van een kwadratische functie (NDEF): Een functie met voorschrift ( ) met en is een kwadratische functie, ook wel tweedegraadsfunctie of functie van de tweede graad genoemd. MC-vraag: Wat is het domein van de kwadratische functie ( ), met geven, met? Antwoordmogelijkheden:,,,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Denk er aan dat het domein van een functie per definitie gelijk is aan de verzameling van de -waarden waarvoor het beeld bestaat. Voor welke -waarden bestaat? Zijn er -waarden waarvoor niet bestaat? MC: Welke functies zijn lineair? Welke functies zijn kwadratisch? Welke functies zijn noch lineair, noch kwadratisch? Antwoordmogelijkheden: lineair ; kwadratisch ; noch lineair, noch kwadratisch. (Correct: lineair ) Bij incorrect antwoord: Denk er aan dat een eerstegraadsfunctie per definitie lineair is. (Correct: noch lineair, noch kwadratisch ) Bij incorrect antwoord: Merk op dat de functie geen veeltermfunctie is. Ze heeft bijgevolg geen graad. (Correct: kwadratisch )

6 Bij incorrect antwoord: Herlees de definitie van een kwadratische functie!! (Correct: noch lineair, noch kwadratisch ) Bij incorrect antwoord: Dit is geen lineaire functie, en ze is ook niet van de vorm. (Correct: lineair ) Bij incorrect antwoord: Deze functie kan herschreven worden als. (Correct: kwadratisch ) Bij incorrect antwoord: Deze functie kan herschreven worden als. (Correct: noch lineair, noch kwadratisch ) Bij incorrect antwoord: Merk op dat de functie geen veeltermfunctie is. Ze heeft bijgevolg geen graad. (Correct: kwadratisch ) Bij incorrect antwoord: Merk op dat in de definitie van de kwadratische functie ( ) zowel als reële getallen zijn. Zijn en reële getallen? Onderwerp 3: Grafiek van een kwadratische functie Hoe ziet de grafiek van de kwadratische functie er uit? We zullen dit probleem onderzoeken door het in een aantal stappen op te splitsen. Stap 1: Hoe ziet de grafiek van de functie er uit? Om de grafiek van de kwadratische functie met voorschrift ( ) te tekenen kan je nu 10 -waarden kiezen. Denk er aan dat je o.a. kiest, en dat je niet alleen positieve - waarden, maar ook negatieve -waarden onderzoekt. Gevolgd door een applicatie die het voorgaande mogelijk maakt, voorzien van een assenstelsel, een raster en uitsluitend de door de leerling gekozen puntjes (zonder grafiek).

7 Onder deze grafiek: Indien je je de grafiek van ( ) kan voorstellen, vink dan grafiek aan. In de applicatie bevindt zich een aanvinkbox genoemd grafiek. Indien deze box aangevinkt wordt, verschijnt de grafiek van ( ). Deze kromme is een parabool (NDEF). parabool genoemd. wordt de vergelijking (NDEF) van de Stap 2: Hoe ziet de grafiek van de functie er uit als? Aan de hand van de onderstaande schuifbalk kan je de grafiek van de functie verkennen. met Toon (a.h.v. GeoGebra?) de grafiek van. Voorzie een schuifbalk voor met. wordt de openingscoëfficiënt (NDEF) van de parabool genoemd. MC: Vul aan: Als ( ) groter wordt, dan wordt de opening van de parabool Antwoordmogelijkheden: groter, kleiner. (Correct: kleiner) Bij incorrect antwoord: Beschouw de parabool als de kelk van een bloem! Speel nu nog eens met de schuifbalk. Gaat de bloem open of dicht als je groter maakt? We noemen deze parabool een dalparabool (NDEF), omdat de opening ervan naar boven gericht is. Stap 3: Hoe ziet de grafiek van de functie er uit als? Aan de hand van de onderstaande schuifbalk kan je de grafiek van de functie verkennen. met Toon (a.h.v. GeoGebra?) de grafiek van. Voorzie een schuifbalk voor met. MC: Vul aan: Als ( ) groter wordt, dan wordt de opening van de parabool Antwoordmogelijkheden: groter, kleiner. (Correct: groter) Bij incorrect antwoord: Pas op: is negatief! Dit betekent dat groter wordt naarmate dichter bij 0 komt.

8 We noemen deze parabool een bergparabool (NDEF), omdat de opening ervan naar beneden gericht is. Hoe ziet nu algemeen de grafiek van de functie er uit? Aan de hand van de onderstaande schuifbalk kan je de grafiek van de functie verkennen. Toon (a.h.v. GeoGebra?) de grafiek van. Voorzie een schuifbalk voor met. MC: Vul aan: Als groter wordt, dan wordt de opening van de parabool Antwoordmogelijkheden: groter, kleiner. (Correct: kleiner) Bij incorrect antwoord: Beschouw de parabool als de kelk van een bloem! Speel nu nog eens met de schuifbalk. Gaat de bloem open of dicht als je groter maakt? Besluit: Het teken van bepaalt de ligging van de opening van de parabool. Indien, dan hebben we een dalparabool en is de opening naar boven gericht. Indien, dan hebben we een bergparabool en is de opening naar beneden gericht. heet de openingscoëfficient van de parabool. Indien toeneemt, dan wordt de opening van de parabool kleiner. Indien afneemt, dan wordt de opening van de parabool groter. Stap 4: Hoe ziet de grafiek van de functie ( ) er uit? Aan de hand van de onderstaande schuifbalk kan je de grafiek van de functie ( ) verkennen. Toon (a.h.v. GeoGebra?) de grafiek van ( ). Voorzie een schuifbalk voor met. De grafiek van ( ) is congruent met de grafiek van, en wordt bekomen door deze laatste te verschuiven, evenwijdig met de -as. MC: Vul aan: Als, dan wordt de grafiek met eenheden verschoven naar Antwoordmogelijkheden: links, rechts. (Correct: rechts)

9 Bij incorrect antwoord: Let op: moet positief zijn! MC: Vul aan: Als, dan wordt de grafiek met eenheden verschoven naar Antwoordmogelijkheden: links, rechts. (Correct: links) Bij incorrect antwoord: Let op: moet negatief zijn! Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de grafiek van ( ). Teken op deze grafiek de rechte in streep-punt-stippellijn. Op deze tekening zie je de grafiek van ( ). Ook de verticale rechte is aangeduid. Merk op dat de parabool symmetrisch ten opzichte van deze verticale rechte. Deze rechte noemen we daarom de symmetrie-as (NDEF), of kortweg de as (NDEF) van de parabool. MC: Vul aan: de symmetrie-as van de parabool met vergelijking ( ) is Antwoordmogelijkheden:,,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de grafiek van ( ), de rechte, en, in het rood, de rechte die onterecht gekozen werd (, of ). Fout! In het rood zie je de rechte die je hebt gekozen. Stap 5: Hoe ziet de grafiek van de functie er uit? Aan de hand van de onderstaande schuifbalk kan je de grafiek van de functie verkennen. Toon (a.h.v. GeoGebra?) de grafiek van. Voorzie een schuifbalk voor met. De grafiek van is congruent met de grafiek van, en wordt bekomen door deze laatste te verschuiven, evenwijdig met de -as. MC: Vul aan: Als, dan wordt de grafiek met eenheden verschoven naar Antwoordmogelijkheden: boven, beneden. (Correct: boven) Bij incorrect antwoord: Let op: moet positief zijn!

10 MC: Vul aan: Als, dan wordt de grafiek met eenheden verschoven naar Antwoordmogelijkheden: boven, beneden. (Correct: beneden) Bij incorrect antwoord: Let op: moet negatief zijn! Merk op dat de -as de symmetrie-as van deze parabool is. Stap 6: Hoe ziet de grafiek van de functie ( ) er uit? We combineren nu de voorgaande inzichten. Aan de hand van de onderstaande schuifbalken kan je de grafiek van de functie ( ) verkennen. Toon (a.h.v. GeoGebra?) de grafiek van ( ). Voorzie een schuifbalk voor met, een schuifbalk voor met, en een schuifbalk voor met. De grafiek van de functie ( ) kan uit de grafiek van de functie bekomen worden in twee stappen: Verschuif de grafiek van de functie evenwijdig met de -as. Zo verkrijg je de grafiek van de functie ( ). Verschuif de grafiek van de functie ( ) evenwijdig met de -as. Zo verkrijg je de grafiek van de functie ( ). Definitie: De top (NDEF) van een parabool is het snijpunt van deze parabool met zijn symmetrie-as. Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de parabool met vergelijking ( ), de streeppunt-stippellijn, en de top ( ). Zet bij de parabool ( ), bij de streep-punt-stippellijn, en bij de top ( ). Merk op dat de top van de parabool met vergelijking ( ) gelijk is aan ( ). Immers, de symmetrie-as van deze parabool heeft als vergelijking. Vermits de top van de parabool het snijpunt is van deze symmetrie-as en de parabool, is de -coördinaat van de top gelijk aan. Om de -coördinaat van de top te bepalen stellen we gelijk aan in de vergelijking van de parabool. Zo bekomen we dat de -coördinaat van de top gelijk is aan. Bijgevolg is de top ( ). Opfrissing: merkwaardig product.

11 Herinner je je nog de formule voor het kwadraat van een som van twee reële getallen, en? In wat volgt zullen we deze formule opfrissen. Even geduld: je zal spoedig inzien waarom we deze formule nodig hebben in verband met kwadratische functies. MC: Vul aan: ( ) Antwoordmogelijkheden:,,, (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Fout! Kies zelf waarden voor en, en controleer. MC: Vul aan: ( ) Antwoordmogelijkheden:,,, (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Fout! Kies zelf een waarde voor, en controleer. In wat volgt is voor ons vooral het omgekeerde probleem van belang. We beginnen met een voorbeeld. Beschouw de uitdrukking. Hoe kunnen we deze uitdrukking schrijven als een merkwaardig product plus een (nieuwe) constante? Heel eenvoudig! In herkennen we de eerste twee termen van ( ). Hieruit volgt dat ( ) ( ). Kan je dit zelf ook? MC: Vul aan: Antwoordmogelijkheden: ( ), ( ), ( ), ( ). (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Fout! Ter controle kan je de gegeven formule voor het merkwaardig product toepassen om je gekozen antwoord. MC: Vul aan: Antwoordmogelijkheden: ( ), ( ), ( ), ( ). (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Fout! Ter controle kan je de gegeven formule voor het merkwaardig product toepassen om je gekozen antwoord. MC: Vul aan: Antwoordmogelijkheden: ( ), ( ), ( ), ( ). (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Fout! Ter controle kan je de gegeven formule voor het merkwaardig product toepassen om je gekozen antwoord. MC: Vul aan: Antwoordmogelijkheden: ( ), ( ), ( ), ( ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Merk op dat ( ).

12 Stap 7: Hoe ziet de grafiek van de functie er uit? Met de vorige opfrissing in ons achterhoofd, behandelen we enkele voorbeelden. Voorbeeld 1: ( ) Er geldt: ( ) ( ) Bijgevolg kan de functie geschreven worden als ( ) ( ). De grafiek van deze functie wordt dus bekomen door de parabool met vergelijking tweemaal te verschuiven. Eerst horizontaal naar rechts met 2 eenheden, en daarna verticaal naar boven met 3 eenheden. Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de volgende parabolen: (in stippellijn), ( ) (in stippellijn), en ( ) (in volle lijn en in KLEUR). Deze parabool heeft de volgende kenmerken: De coördinaat van de top is ( ). De symmetrie-as gaat door de top en heeft als vergelijking. Voorbeeld 2: ( ) Er geldt (zie ook de laatste oefening bij de opfrissing): ( ) ( ) ( ) ( ) Bijgevolg kan de functie geschreven worden als ( ) ( ). De grafiek van deze functie wordt dus bekomen door de parabool met vergelijking tweemaal te verschuiven. Eerst horizontaal naar rechts met 6 eenheden, en daarna verticaal naar beneden met 60 eenheden. Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris), mits aangepaste scalering van de assen, de volgende parabolen: (in stippellijn), ( ) (in stippellijn), en ( ) (in volle lijn en in KLEUR). Deze parabool heeft de volgende kenmerken: De coördinaat van de top is ( ). De symmetrie-as gaat door de top en heeft als vergelijking.

13 Laten we het voorgaande nu veralgemenen. De functie met ( ) kan als volgt herschreven worden: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ] ( ) ( ) Belangrijk besluit: De functie met ( ) kan herschreven worden als ( ) ( ), waarbij, ( ). Laten we deze formule even toepassen op een voorbeeld. MC: Beschouw ( ). Bereken. Antwoordmogelijkheden:,,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Er geldt:. MC: Beschouw ( ). Bereken. Antwoordmogelijkheden:,,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Er geldt:. Onderwerp 4: Kenmerken van een kwadratische functie

14 Tijd voor een samenvatting. (KLEUR) a) Grafiek De grafiek van de functie ( ) is een parabool, waarvan de as evenwijdig is met de -as. wordt de vergelijking van de parabool genoemd. Als, dan is een dalparabool. Als, dan is een bergparabool. b) Domein: c) Symmetrie-as: of d) Top De top van de parabool heeft als coördinaten ( ) ( ( )) ( ). e) Beeld Als, dan is. Als, dan is. f) Nulwaarden De nulwaarden zijn de oplossingen van de vergelijking. (Zie later.) g) Stijgen en dalen We beschouwen eerst het geval dat. Dan daalt de functie voor en stijgt de functie voor. Indien, dan stijgt de functie voor en daalt ze voor. h) Snijpunt met de -as. Als, dan is, en bijgevolg is ( ) het snijpunt met de -as. Onderwerp 5: Onderzoek van een kwadratische functie Het voorgaande kan je gebruiken om de kenmerken van een gegeven kwadratische functie te onderzoeken. Het volgende meerstappenplan kan hierbij handig zijn. Stap 1: Uit het teken van een bergparabool. kan je afleiden welke vorm de parabool heeft: een dalparabool of

15 Stap 2: Het domein van een kwadratische functie is steeds. Stap 3: Gebruik de formules voor en om ( ) om te zetten naar ( ) ( ). Stap 4: De symmetrie-as van de parabool heeft als vergelijking. Stap 5: Uitgaande van de waarden van en kan je bepalen in welke deelintervallen van de reële as de kwadratische functie stijgt of daalt. Stap 6: De top van de parabool is het punt ( ). Stap 7: Uitgaande van kan je bepalen. Stap 8: Het snijpunt met de -as is het punt ( ). Stap 9: Geef de tot nu bekomen informatie weer op een tekening. Stap 10: Schets de grafiek. Bepaal, indien nodig, nog enkele bijkomende punten van de grafiek. Als voorbeeld onderzoeken we de kwadratische functie ( ). Stap 1: Vermits, is de parabool een dalparabool. Stap 2: Er geldt, zoals altijd bij kwadratische functies, dat.

16 Stap 3: We hebben en. Hieruit volgt dat. Ook is ( ) ( ) ( ) ( ). Bijgevolg kan de kwadratische functie geschreven worden als ( ) ( ). Stap 4: De symmetrie-as van de parabool heeft als vergelijking. Stap 5: Vermits de parabool een dalparabool is, daalt de functie voor voor., en stijgt ze Stap 6: De top van de parabool is het punt ( ). Stap 7: Vermits de parabool een dalparabool is, en, geldt er. Stap 8: Het snijpunt met de -as is het punt ( ). Stap 9: Geef alle tot nu toe bekomen informatie weer op een tekening. Dit kan je doen door symmetrie-as, top, en snijpunt met de -as aan te vinken. Toon in GeoGebra vier aanvinkboxen, genaamd symmetrie-as, top, snijpunt met de y-as en grafiek. Toon, indien symmetrie-as aangevinkt is de rechte in streep-puntstippellijn. Toon, indien top aangevinkt is, het punt ( ). Toon, indien snijpunt met de -as aangevinkt is, het punt ( ). Stap 10: Kan je je voorstellen hoe de grafiek van ( ) er uitziet? Zo ja, vink dan ter controle grafiek aan. Zo neen, bepaal dan nog enkele bijkomende punten van de grafiek. Toon, indien grafiek aangevinkt is, de grafiek van de functie ( ). Oefeningen

17 Oefening 1: Wat is het beeld van de functies met de volgende grafieken? Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de parabolen van (a) (b) (c) (d). MATCH:, (Correct: is beeld van (c), is beeld van (b), is beeld van (a), is beeld van (d).) Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Neem het meerstappenplan nog eens door. Link naar het volledige meerstappenplan (onderwerp 5). Wat zijn de nulwaarden van de functies met deze grafieken? MATCH: geen nulpunten; 2; 0 en 3; -1 en 4 (Correct: geen nulpunten bij (b), 2 bij (c), 0 en 3 bij (a), -1 en 4 bij (d)) Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Neem het meerstappenplan nog eens door. Link naar het volledige meerstappenplan (onderwerp 5). Oefening 2: Bepaal de vergelijkingen van de kwadratische functies met de volgende grafieken: Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) in eenzelfde assenstelsel, de parabolen van:,,. Gebruik hierbij vier verschillende kleuren (bijvoorbeeld geel, rood, groen, blauw) (KLEUR). MATCH:,,, Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Neem het meerstappenplan nog eens door. Link naar het volledige meerstappenplan (onderwerp 5). Oefening 3: Bepaal de vergelijkingen van de kwadratische functies met de volgende grafieken: Toon de parabolen van:, ( ), ( ), ( ). Gebruik hierbij vier verschillende kleuren (bijvoorbeeld geel, rood, groen, blauw) (KLEUR).

18 MATCH:, ( ), ( ), ( ) Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Neem het meerstappenplan nog eens door. Link naar het volledige meerstappenplan (onderwerp 5). Oefening 4: Bepaal de vergelijkingen van de kwadratische functies met de volgende grafieken: Toon de parabolen van:,,, Gebruik hierbij vier verschillende kleuren (bijvoorbeeld geel, rood, groen, blauw) (KLEUR). MATCH:,,,. Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Neem het meerstappenplan nog eens door. Link naar het volledige meerstappenplan (onderwerp 5). Oefening 5: Beschouw de volgende kwadratische functies: a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( ) MC: Van welke functies is de grafiek een dalparabool? Antwoordmogelijkheden: a, b, c, d (correct: a, c) Bij incorrect antwoord: Fout! Zoek de definitie van het begrip dalparabool nog eens op. MC: Van welke functies is de grafiek een bergparabool? Antwoordmogelijkheden: a, b, c, d (correct: b, d) Bij incorrect antwoord: Fout! Zoek de definitie van het begrip bergparabool nog eens op. MC: Welke functie heeft de grafiek met de grootste opening? Antwoordmogelijkheden: a, b, c, d (correct: d) Bij incorrect antwoord: Beschouw de parabool als de kelk van een bloem! MC: Welke functie heeft de grafiek met de kleinste opening? Antwoordmogelijkheden: a, b, c, d (correct: c)

19 Bij incorrect antwoord: Beschouw de parabool als de kelk van een bloem! Oefening 6: a. MC: Vul aan: De grafiek van met ( ) ( ) verkrijg je door de grafiek van met ( ) met 3 eenheden naar te verschuiven volgens de -as. Antwoordmogelijkheden: links, ; rechts, ; boven, ; onder, (Correct: rechts, ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Schets de grafieken van ( ) en ( ). b. MC: Vul aan: De grafiek van met ( ) ( ) verkrijg je door de grafiek van met ( ) met 3 eenheden naar te verschuiven volgens de -as. Antwoordmogelijkheden: links, ; rechts, ; boven, ; onder, (Correct: links, ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Schets de grafieken van ( ) en ( ). c. MC: Vul aan: De grafiek van met ( ) verkrijg je door de grafiek van met ( ) met 3 eenheden naar te verschuiven volgens de -as. Antwoordmogelijkheden: links, ; rechts, ; boven, ; onder, (Correct: onder, ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Schets de grafieken van ( ) en ( ). d. MC: Vul aan: De grafiek van met ( ) verkrijg je door de grafiek van met ( ) met 3 eenheden naar te verschuiven volgens de -as. Antwoordmogelijkheden: links, ; rechts, ; boven, ; onder, (Correct: boven, ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Schets de grafieken van ( ) en ( ). Oefening 7: De volgende grafieken werden verkregen door de grafiek van te spiegelen om de - as en/of horizontaal te verschuiven en/of verticaal te verschuiven. Bepaal de vergelijkingen van deze parabolen. Toon de parabool van ( ). INVUL: y= (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Bepaal de -coördinaat en de - coördinaat van de top, en ga na of de parabool een dalparabool of een bergparabool is. Toon de parabool van ( ). INVUL: y= (invulvakje) (Correct: ( ) )

20 Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Bepaal de -coördinaat en de - coördinaat van de top, en ga na of de parabool een dalparabool of een bergparabool is. Toon de parabool van ( ). INVUL: y= (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Bepaal de -coördinaat en de - coördinaat van de top, en ga na of de parabool een dalparabool of een bergparabool is. Toon de parabool van ( ). INVUL: y= (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Bepaal de -coördinaat en de - coördinaat van de top, en ga na of de parabool een dalparabool of een bergparabool is. Oefening 8: De functie heeft als functievoorschrift ( ). Bepaal het functievoorschrift van de functie als de grafiek van bekomen wordt door de grafiek van (a) drie eenheden naar boven te verschuiven volgens de -as. INVUL: ( ) (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat de grafiek van congruent is met de grafiek van, en bekomen wordt door deze laatste te verschuiven, evenwijdig met de -as. (b) vijf eenheden naar rechts te verschuiven volgens de -as. INVUL: ( ) (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat de grafiek van ( ) congruent is met de grafiek van, en bekomen wordt door deze laatste te verschuiven, evenwijdig met de -as. (c) twee eenheden naar beneden te verschuiven volgens de -as en vier eenheden naar links te verschuiven volgens de -as. INVUL: ( ) (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De grafiek van ( ) is congruent met de grafiek van, en wordt bekomen door deze laatste te verschuiven, evenwijdig met de -as. De grafiek van is congruent met de grafiek van, en wordt bekomen door deze laatste te verschuiven, evenwijdig met de -as.

21 (d) eerst te spiegelen t.o.v. de -as, en daarna zes eenheden naar links te verschuiven volgens de -as en twee eenheden naar boven te verschuiven volgens de -as. INVUL: ( ) (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als de grafiek van ( ) wordt t.o.v. de -as, verkrijgt men de grafiek van de functie. gespiegeld (e) eerst drie eenheden naar rechts te verschuiven volgens de -as en zeven eenheden naar beneden te verschuiven volgens de -as, en daarna te spiegelen t.o.v. de -as. INVUL: ( ) (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als de grafiek van wordt t.o.v. de -as, verkrijgt men de grafiek van ( ). ( ) gespiegeld (f) te versmallen met openingscoëfficiënt 4, met vijf eenheden naar links te verschuiven volgens de -as en met twee eenheden naar beneden te verschuiven volgens de -as. INVUL: ( ) (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. In het functievoorschrift de openingscoëfficiënt genoemd. wordt Oefening 9: Bepaal, en indien het gegeven functievoorschrift omgezet wordt in de vorm ( ) ( ). (a) ( ) INVUL: (invulvakje) (Correct: 1) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: 5) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: 0) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ). (b) ( )

22 INVUL: (invulvakje) (Correct: 1) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: 5) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: 5) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ). (c) ( ) INVUL: (invulvakje) (Correct: 1) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ). (d) ( ) INVUL: (invulvakje) (Correct: 1) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ).

23 (e) ( ) INVUL: (invulvakje) (Correct: 2) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: -2) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: 0) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ). (f) ( ) INVUL: (invulvakje) (Correct: 2) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: -2) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: 3) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ). (g) ( ) INVUL: (invulvakje) (Correct: -5) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ).

24 (h) ( ) INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ). Oefening 10: Bepaal de symmetrie-as van de parabolen met de volgende vergelijkingen: (a) INVUL: De symmetrie-as van deze parabool is de rechte met vergelijking (Correct: 0) (invulvakje) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking is de rechte met vergelijking, waarbij. (b) INVUL: De symmetrie-as van deze parabool is de rechte met vergelijking (Correct: 0) (invulvakje) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking is de rechte met vergelijking, waarbij. (c) INVUL: De symmetrie-as van deze parabool is de rechte met vergelijking (Correct: 2) (invulvakje) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking is de rechte met vergelijking, waarbij. (d)

25 INVUL: De symmetrie-as van deze parabool is de rechte met vergelijking (Correct: 2) (invulvakje) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking is de rechte met vergelijking, waarbij. (e) INVUL: De symmetrie-as van deze parabool is de rechte met vergelijking (Correct: 2) (invulvakje) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking is de rechte met vergelijking, waarbij. (f) ( ) INVUL: De symmetrie-as van deze parabool is de rechte met vergelijking (Correct: -7) (invulvakje) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking ( ) is de rechte met vergelijking. Oefening 11: Bepaal de -coördinaat en de -coördinaat van de top van de parabolen met de volgende vergelijkingen: (a) INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 0) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking is. INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 0) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. (b) INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 0) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking is.

26 INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 5) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. (c) INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 2) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking is. INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 23) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. (d) INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 2) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking is. INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 98) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. (e) INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 2) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking is. INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. (f) ( ) INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: -7) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is. INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 3)

27 Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. Uitbreidingsoefeningen (iets moeilijkere oefeningen) Oefening 12: De symmetrie-as van de parabool met vergelijking vergelijking. Bepaal. is de rechte met INVUL: (invulvakje) (Correct: -12) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking is de rechte met vergelijking, waarbij. Oefening 13: De top van de parabool met vergelijking is het punt ( ). Bepaal en. INVUL: (invulvakje) (Correct: -20) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat, waarbij de -coördinaat van de top is. INVUL: (invulvakje) (Correct: -7) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. Uitbreidingsoefeningen (eerste VWO) Opgepast voor de copyrights!!! Letterlijk over te nemen tot aan de hints!!! Oefening 14:

28 MC: De parabool wordt verschoven zodanig dat de top verhuist van ( ) naar een punt van de eerste bissectrice dat precies verder gelegen is in het eerste kwadrant. De nieuwe vergelijking van de parabool is dan a ( ) b ( ) c ( ) d ( ) e ( ) (Correct: a) VWO 2004 eerste ronde, probleem 7 Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Werk, indien mogelijk, met verschillende hintknoppen. Door een hintknop aan te klikken verschijnt een hint. Hintknop Hint 1 : De -coördinaat en de -coördinaat van een punt van de eerste bissectrice zijn gelijk. Hintknop Hint 2 : De verschuiving van de top (van de oorsprong naar een punt op de eerste bissectrice) kan gezien worden als een combinatie van een (horizontale) verschuiving volgens de -as en een (verticale) verschuiving volgens de -as. Hintknop Hint 3 : Na de verschuiving is de top gelegen in het eerste kwadrant. Bijgevolg kan de verschuiving gezien worden als een combinatie van een (horizontale) verschuiving naar rechts volgens de -as en een (verticale) verschuiving naar boven volgens de -as. Hintknop Hint 4 : Uit de stelling van Pythagoras volgt dat de afstand van het punt ( de oorsprong gelijk is aan ) tot ( ) ( ) Hintknop Hint 5 : Er moet gelden dat, of dat. Er geldt dus dat. Vermits ( ) in het eerste kwadrant ligt, geldt er dat. Hintknop Hint 6 : De verschuiving in kwestie kan dus gezien worden als een combinatie van een verschuiving met één eenheid naar links volgens de -as en een verschuiving met één eenheid naar boven volgens de -as. Oefening 15:

29 MC: Als je de parabool met vergelijking ( ) spiegelt t.o.v. de oorsprong, dan krijg je een nieuwe parabool met vergelijking a b c d e (Correct: c) VWO 2008 eerste ronde, probleem 26 Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Werk, indien mogelijk, met verschillende hintknoppen. Door een hintknop aan te klikken verschijnt een hint. Hintknop Hint 1 : Een spiegeling t.o.v. de oorsprong kan gezien worden als een combinatie van een spiegeling t.o.v. de -as en een spiegeling t.o.v. de -as. Hintknop Hint 2 : Als men de grafiek met vergelijking ( ) spiegelt t.o.v. de -as verkrijgt men de grafiek met vergelijking ( ) of ( ). Hintknop Hint 3 : Als men de grafiek met vergelijking verkrijgt men de grafiek met vergelijking ( ). ( ) spiegelt t.o.v. de -as Hintknop Hint 4 : Als men de grafiek met vergelijking ( ) spiegelt t.o.v. de -as verkrijgt men de grafiek met vergelijking ( ). Hintknop Hint 5 : Als men de grafiek met vergelijking ( ) spiegelt t.o.v. de -as verkrijgt men de grafiek met vergelijking ( ). Hintknop Hint 6 : Als men de grafiek met vergelijking ( ) spiegelt t.o.v. de oorsprong verkrijgt men de grafiek met vergelijking ( ). Toets Bij de toets zelf is er geen feedback. Bij de eerste drie vragen worden echter bepaalde getallen dynamisch gegenereerd, zodat deze vragen ook onder de oefeningen gezet kunnen worden. Daar is er wel feedback nodig. De gegeven feedback dient dus enkel opgenomen te worden

30 als de vraag in kwestie onder de oefeningen wordt opgenomen, en niet als de vraag deel uitmaakt van de toets! Vraag 1: Laat, en op dynamische wijze bepaald worden, waarbij, tussen -10 en 10, en. Beschouw de kwadratische functie ( ). Bepaal, en indien het functievoorschrift omgezet wordt in de vorm ( ) ( ). INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ). Vraag 2: Laat, en op dynamische wijze bepaald worden, waarbij, tussen -10 en 10, en. Beschouw de parabool met vergelijking. INVUL: De symmetrie-as van deze parabool is de rechte met vergelijking (Correct: ) (invulvakje) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking is de rechte met vergelijking, waarbij. INVUL: De -coördinaat van de top is (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking is.

31 INVUL: De -coördinaat van de top is (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. Vraag 3: Laat op dynamische wijze bepaald worden, waarbij, tussen -4 en 4, waarbij en waarbij verder, ( ) ( ) en ( ) ( ). Bepaal de vergelijkingen van de kwadratische functies met de volgende grafieken: Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) in eenzelfde assenstelsel, de parabolen van:,,,. Gebruik hierbij vier verschillende kleuren (bijvoorbeeld geel, rood, groen, blauw) (KLEUR). (Ik denk dat het in orde is als op de -as de waarden van -8 tot en met 8 zichtbaar zijn.) MATCH:,,, Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Neem het meerstappenplan nog eens door. Link naar het volledige meerstappenplan (onderwerp 5). Vraag 4: MC: Bepaal het beeld van de functie ( ). Antwoordmogelijkheden:, [ [, ] ], [ [, ] ]. (Correct: ] ]) Vraag 5: MC: Welke functies zijn lineair? Welke functies zijn kwadratisch? Welke functies zijn noch lineair, noch kwadratisch? Antwoordmogelijkheden: lineair ; kwadratisch ; noch lineair, noch kwadratisch. (Correct: kwadratisch ) (Correct: noch lineair, noch kwadratisch ) (Correct: lineair )

32 (Correct: noch lineair, noch kwadratisch ) (Correct: kwadratisch ) (Correct: noch lineair, noch kwadratisch ) Vraag 6: Vul aan: INVUL: Als je de parabool met vergelijking naar links verschuift, verkrijg je de parabool met vergelijking ) horizontaal met 3 eenheden (invulvakje) (Correct:

11 ) Oefeningen. a) y = 2x 1 f) y = x 2 + 3x 4. b) y = 1 3 x2 x + 1 8. g) y = 1 x 2. c) y = x 3 x 2 +1 h) y = 6. d) y = x 2 4 i) y = x 2 5.

11 ) Oefeningen. a) y = 2x 1 f) y = x 2 + 3x 4. b) y = 1 3 x2 x + 1 8. g) y = 1 x 2. c) y = x 3 x 2 +1 h) y = 6. d) y = x 2 4 i) y = x 2 5. 11 ) Oefeningen 1) Vergelijkingen van functies Welke vergelijkingen stellen een rechte voor? Welke vergelijkingen stellen een parabool voor? Welke vergelijkingen stellen noch een rechte noch een parabool

Nadere informatie

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1 Herhalingsoefeningen Tweedegraadsfuncties Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1

Nadere informatie

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN...1 2. FUNCTIES...2 3. ARGUMENT EN BEELD...3 4. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...4 5. DE FUNCTIEWAARDETABEL...5 6. DE GRAFIEK...6 7. FUNCTIES HERKENNEN...7 8. OPLOSSINGEN...9

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

FUNCTIES, TELPROBLEMEN en REKENEN MET KANSEN leerweg 4

FUNCTIES, TELPROBLEMEN en REKENEN MET KANSEN leerweg 4 FUNCTIES, TELPROBLEMEN en REKENEN MET KANSEN leerweg Philip Bogaert Filip Geeurick Marc Mulaert Roger Van Nieuwenhuze Erik Willock m.m.v. Björn Carren Cartoons Dave Vanroe Definities vind je op een rode

Nadere informatie

WISNET-HBO NHL update jan. 2009

WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Tweedegraadsfuncties Parabolen maken WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Inleiding In deze les leer je wat systeem brengen in het snel herkennen van tweedegraadsfuncties. Een paar handige trucjes voor het

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4

extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4 extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4 1. a. Teken in één assenstelsel de grafieken bij de formules y = 4x - 3 en y = 7 - x b. Bereken de coördinaten van het snijpunt c. Teken in hetzelfde assenstelsel de

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie

Kwadratische verbanden - Parabolen klas ms

Kwadratische verbanden - Parabolen klas ms Kwadratische verbanden - Parabolen klas 01011ms Een paar basisbegrippen om te leren: - De grafiek van een kwadratisch verband heet een parabool. - Een parabool is dalparabool met een laagste punt (minimum).

Nadere informatie

Voorkennis. 66 Noordhoff Uitgevers bv 11 0, en y = = ,33 = y = 4x(x 2) y = 19x(1 2x) y = 3x( x + 5) y = 4x(4x + 1)

Voorkennis. 66 Noordhoff Uitgevers bv 11 0, en y = = ,33 = y = 4x(x 2) y = 19x(1 2x) y = 3x( x + 5) y = 4x(4x + 1) Hoofdstuk 0 - De abc-formule Hoofdstuk 0 - De abc-formule Voorkennis V-a y = 5 = 8 5 = en y = ( ) 5 = 8 5 = b y = + 8 = 6 = 6 en y = + 8 = 0,6 6 8 c y = + ( ) = + = = 6 en y = ( ) + ( ) = 9 6 = 9 + 8 =

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0

Nadere informatie

2. Kwadratische functies.

2. Kwadratische functies. Uitwerkingen R-vragen hoofdstuk. Kwadratische functies.. R De term a is bepalend voor zeer grote waardes van. Als a < 0 dan wordt de term a zeer groot en negatief zowel bij. en Er is sprake van een bergparabool

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R - 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel

Nadere informatie

Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo

Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Bijlage 7 Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Deze vragen kunnen gebruikt worden om aan het eind van klas 3 havo/vwo na te gaan in hoeverre leerlingen in staat zijn te

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies

Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Voorkennis V-1a y = 3(x ) 3 x 3 6x 1 y = 6x 1 b y = 9( 4x 4) 3 4x 4 9 36x 36 y = 36x 36 c y = x( x 7) 3 x 7 x x 7x y = x 7x V-a y = (

Nadere informatie

Herhalingsoefenigen FUNCTIES EERSTEGRAADSFUNCTIES

Herhalingsoefenigen FUNCTIES EERSTEGRAADSFUNCTIES 4KSO 4TSO Herhalingsoefenigen FUNCTIES EERSTEGRAADSFUNCTIES V5 1. Gegeven is het onderstaande functievoorschrift. k 14m 12 Welke formule zal je ingeven in je grafisch rekentoestel? Beschrijf kort hoe je

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde 3 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Reële functies. Deel I. 1. Rationale functies. 1. Definitie: gezien. 2. Homografische functies: zie onder

Reële functies. Deel I. 1. Rationale functies. 1. Definitie: gezien. 2. Homografische functies: zie onder Deel I Reële functies. Rationale functies. Definitie: gezien. Homografische functies: zie onder 3. Domein, nulpunten en tekenonderzoek: gezien. De functie f :. Domein f. Snijpunten met de X-as en de Y

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5 2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 1. Lineair verband. 1a. na 1 min 36 cm, na min. 3 cm, daling 4 cm per minuut. b. h = 40 4t h in cm en t per minuut b. k: rc = -3 m: rc = 0.5 p: rc

Nadere informatie

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Schrijf je antwoorden zo volledig mogelijk op. Tenzij anders aangegeven mag je je rekenmachine niet gebruiken. Sommige vragen zijn alleen voor het vwo, dit staat aangegeven.

Nadere informatie

Functies van de tweede graad

Functies van de tweede graad Functies van de tweede graad Waarschijnlijk heb je wel al eens gehoord van functies van de eerste graad. Deze functies hebben het functievoorschrift y = ax + b en zien er als het volgt uit: Zoals je ziet

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET Van onderzoekend leren naar leren onderzoeken in de tweede en derde graad Luc Gheysens DPB-Brugge 2012 PROBLEEM 1 Stelling van Pythagoras en gelijkvormige driehoeken Hieronder

Nadere informatie

Een model voor een lift

Een model voor een lift Een model voor een lift 2 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Inleiding... 5 Model 1, oriëntatie... 7 Model 1... 9 Model 2, oriëntatie... 11 Model 2... 13

Nadere informatie

Tweedegraads functies. Introductie 89. Leerkern 89

Tweedegraads functies. Introductie 89. Leerkern 89 Open Inhoud Universiteit leereenheid 3 Wiskunde voor milieuwetenschappen Tweedegraads functies Introductie 89 Leerkern 89 De parabool y = x 89 De grafiek van een tweedegraads functie 9 3 Domein en bereik

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2 opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen 1 Versie DD 2014

opdracht 1 opdracht 2 opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen 1 Versie DD 2014 Algebra Anders Parabolen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1 We beginnen heel eenvoudig met y = x Een tabel en een grafiek is snel gemaakt. top x - -1 0 1 3 y 0 1 4 + 1 + 3 toename tt + a)

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen

Nadere informatie

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100 1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

December 03, hfst4v2.notebook. Programma. opening paragraaf 1, 2 en 3 van hfst 4 vragen over hfst 3. pw hfst 3: 12 november 5e uur

December 03, hfst4v2.notebook. Programma. opening paragraaf 1, 2 en 3 van hfst 4 vragen over hfst 3. pw hfst 3: 12 november 5e uur paragraaf 1, 2 en 3 van hfst 4 vragen over hfst 3 pw hfst 3: 12 november 5e uur 1 Stelling van Pythagoras bewijs paragraaf 1, 2 en 3 van hfst 4 vragen over hfst 3 pw hfst 3: 12 november 5e uur c a b b

Nadere informatie

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap 1 Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten... 1 2 Werken met indexcijfers... 3 3 Grafieken maken en lezen... 5 4a Tweedegraads functie: de parabool...

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

2 Vergelijkingen van lijnen

2 Vergelijkingen van lijnen 2 Vergelijkingen van lijnen Verkennen Meetkunde Lijnen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Gebruik de applet! Uitleg Meetkunde Lijnen Uitleg Opgave 1 Bestudeer de Uitleg. Laat zien

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Minimum-Maimumproblemen (versie 11 augustus 2008) Inleiding In heel wat vraagstukken gaan we op zoek naar het maimum of het minimum van een zekere grootheid.

Nadere informatie

Het opstellen van een lineaire formule.

Het opstellen van een lineaire formule. Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire

Nadere informatie

Eerste deel van de cursus Algebra

Eerste deel van de cursus Algebra Eerste deel van de cursus Algebra Procentrekenen Toename met p%: groeifactor = 1 + p% Afname met p% : groeifactor = 1 p% Toename in procenten = Afname in procenten = toename beginwaarde afname beginwaarde

Nadere informatie

Lesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)

Lesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG) Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem

Nadere informatie

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN 1. SOMGRAFIEK Walter De Volder Breng onder Y 1 en Y 2 de vergelijking van een rechte in. Stel Y 3 = Y 1 + Y 2. Construeer de drie grafieken. Onderzoek verschillende

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 7 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: functie invoerwaarde

Nadere informatie

HOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES

HOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES 1 HOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES 1 Periodieke functies 2 1.1 Op verkenning 2 1.2 Periodieke functie 2 1.3 Periode-interval, evenwichtslijn en amplitude 4 1.4 De perioderechthoek 4 1.5 Oefeningen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 9 Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Les 1 : Lineaire Formules Definities Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = hellingsgetal

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B Analytische meetkunde Inhoud.. Coördinaten in het vlak.. Vergelijkingen van lijnen.3. Vergelijkingen van cirkels.4. Snijden.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p gghm Functies Verdieping 6N-p 010-011 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

ICT-LEERLIJN (met GeoGebra) Luc Gheysens WISKUNDIGE COMPETENTIES

ICT-LEERLIJN (met GeoGebra) Luc Gheysens  WISKUNDIGE COMPETENTIES ICT-LEERLIJN (met GeoGebra) Luc Gheysens www.gnomon.bloggen.be WISKUNDIGE COMPETENTIES 1 Wiskundig denken 2 Wiskundige problemen aanpakken en oplossen 3 Wiskundig modelleren 4 Wiskundig argumenteren 5

Nadere informatie

De 10 e editie havo-vwo OB

De 10 e editie havo-vwo OB De 10 e editie havo-vwo OB Presentatie havo/vwo onderbouw 10 e editie 1 HAVO/VWO 1 VWO 2 HAVO 2 HAVO/VWO 2 VWO De delen 10 e editie onderbouw 3 HAVO deel 1 3 HAVO deel 2 3 VWO deel 1 3 VWO deel 2 Presentatie

Nadere informatie

Hogeschool Rotterdam. Voorbeeldexamen Wiskunde A

Hogeschool Rotterdam. Voorbeeldexamen Wiskunde A . Bereken zonder rekenmachine: + d. + 0 + 6 6 6 Hogeschool Rotterdam Voorbeeldeamen Wiskunde A 6 6 Oplossingen. Bereken zonder rekenmachine: + 6 b. + 6 0 + 9. Bereken zonder rekenmachine: 9 9 d.. Een supermarkt

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde deel 1

Toegepaste Wiskunde deel 1 Toegepaste Wiskunde deel Uitwerkingen etra opgaven hoofdstuk Functies. y f ( ) 4 ( )( ) is minimaal -4 voor 0 y g f ( ) ( ) 4 ( )( ) bestaat wanneer D en B 4, ( )( ) 0, voor het domein en het bereik geldt

Nadere informatie

dochandl4vmbo_kader_netwerk3e.doc Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Wolters-Noordhoff bv

dochandl4vmbo_kader_netwerk3e.doc Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Wolters-Noordhoff bv Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Hoofdstuk 1 Rekenen Hoofdstuk 2 Lineaire verbanden Hoofdstuk 3 Vlakke meetkunde Hoofdstuk 4 Machtsverbanden Hoofdstuk 5 Statistiek Hoofdstuk 6 Ruimtemeetkunde Hoofdstuk

Nadere informatie

7 Hoeken. Kern 3 Hoeken. 1 Tekenen in roosters. Kern 2 Hoeken meten Kern 3 Hoeken tekenen Kern 4 Kijkhoeken. Kern 1 Tegelvloeren. Kern 3 Oppervlakte

7 Hoeken. Kern 3 Hoeken. 1 Tekenen in roosters. Kern 2 Hoeken meten Kern 3 Hoeken tekenen Kern 4 Kijkhoeken. Kern 1 Tegelvloeren. Kern 3 Oppervlakte 1 Tekenen in roosters Kern 1 Tegelvloeren Kern 2 Oppervlakte Kern 3 Het assenstelsel Kern 4 Rechthoeken 2 Rekenen Kern 1 De rekenmachine Kern 2 Voorrangsregels Kern 3 Afronden Kern 4 Afronden 3 Grafieken

Nadere informatie

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte.

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte. Grafieken, functies en verzamelingen Eerst enkele begrippen Grafiek In een assenstelsel teken je een grafiek. Assenstelsel Een assenstelsel bestaat uit twee assen die elkaar snijden: een horizontale en

Nadere informatie

Programma. Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over hfst 1?

Programma. Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over hfst 1? Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over hfst 1? Voorkennis hfst 2 ontbinden in factoren (waarom ook al weer?) kwadratische functies 1 pw en eerste 2 uur vanmorgen science plein hw in orde?

Nadere informatie

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1) De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen Voorkennis V-a Bedrijf A rekent 7 8 + 5 = 6 euro en bedrijf B rekent, 5 8 + 60 = 0 euro. Hij is goedkoper uit bij bedrijf B. b Dat kan met de vergelijking 7a + 5 =, 5a + 60 waarbij a het aantal m zand

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. 2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband

Nadere informatie

Grafieken 1. a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top.

Grafieken 1. a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top. Grafieken 1 In het moduul verbanden hebben we gezien hoe we de grafiek van een lineair verband zoals y = 3 x + 5 moeten tekenen, dat wordt een rechte lijn. We noemen de functie y = 3 x + 5 ook wel een

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 199 1994 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire

Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire Dr Didier Deses Samenvatting We bestuderen 1-parameterfamilies van parabolen. De klassieke families (bijv.: y = ax 2 ) komen aan bod alsook de parabolen

Nadere informatie

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 Inleiding Bij Module F1 heb je geleerd dat Formule, Verhaal, Tabel, Grafiek en Vergelijking altijd bij elkaar horen. Bij Module F2 heb je geleerd wat een

Nadere informatie

3 Pythagoras 90. 4 Statistiek 128

3 Pythagoras 90. 4 Statistiek 128 2BK1 2KGT1 Voorkennis 1 Meetkunde 6 1 Vlakke figuren 8 1.1 Namen van vlakke figuren 10 1.2 Driehoeken 15 1.3 Driehoeken tekenen 19 1.4 Vierhoeken 24 1.5 Hoeken berekenen in een vierhoek 30 1.6 Gemengde

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen

Nadere informatie

Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht

Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht INLEIDING Een aantal jaar geleden leerde ik een nieuw spel kennen: geocaching. Dit is in feite een zoektocht waarbij je gebruik maakt van GPS-coördinaten. Op

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie

Nadere informatie

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg 1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem

Nadere informatie

worden per stap telkens met 10 vermenigvuldigd. Die as is zo gekozen omdat de getallen erg sterk stijgen en anders wordt de grafiek te hoog.

worden per stap telkens met 10 vermenigvuldigd. Die as is zo gekozen omdat de getallen erg sterk stijgen en anders wordt de grafiek te hoog. 1a b c Verdieping - Verdubbelingstijd De getallen zijn geschreven met komma s zoals dat in Engelse boeken gebeurt. In Nederlandse boeken schijf je bijvoorbeeld 1 miljoen als 1.000.000, maar in Engelse

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden Hoofdstuk : Formules en grafieken.. Lineaire verbanden Opgave : in 0 minuten daalt het water 40 cm, dus 4 cm per minuut dus na minuut geldt: h 40 4 6 cm en na minuten geldt: h 40 4 cm b. formule II Opgave

Nadere informatie

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten.

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. Theorie lineair verband Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. In het dagelijks leven wordt vaak gebruik gemaakt van

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

Novum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en):

Novum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en): Wiskunde, LTP leerjaar 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 26 De leerling leert te werken met platte en ruimtelijke vormen en structuren, leert daarvan afbeeldingen te maken en deze te interpreteren, en leert

Nadere informatie