Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn

Transcriptie

1 Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (

2 1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website aar helaas is die niet meer online. 2. Oefeningen uit vorige examens 1997 Juli Vraag 15 De cirkel met als vergelijking 4x 2 +4y-16x+20y-283=0 heeft als straal: <A> 283 81 <C> 9 <D> Geen van de bovenstaande antwoorden is juist 1997 Augustus Vraag 15 De vergelijking x 2 +y 2-10x-6y+9= Juli Vraag 9 <A> stelt geen cirkel voor stelt een cirkel voor met straal 3 <C> stelt een cirkel voor met straal 5 <D> stelt een cirkel voor met straal 9 1 ste bewering: de vergelijking y 2-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3) 2de bewering: y 2 +x 2-6y-4x+4=0 stelt een cirkel voor met straat 2 <A> <C> <D> Beide beweringen zijn juist Alleen de eerste bewering is juist Alleen de tweede bewering is juist Beide beweringen zijn onjuist 2002 Juli Vraag 7 1 ste bewering: y = 6x-x 2 stelt een parabool voor met top (3,9) 2 de bewering: x 2 +y 2-10x+16y = 0 stelt een cirkel voor met r = 3 dr. Brenda Casteleyn Page 2

3 <A> <C> <D> Vergelijkingen 1 en 2 zijn juist Vergelijking 1 is juist Vergelijking 2 is juist Vergelijking 1 en 2 zijn juist 2007 Augustus Vraag 9 Eerste bewering: de vergelijking y 2-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3). Tweede bewering: de vergelijking y 2 +x 2-6y-4x+4=0 stelt een cirkel voor met straal 2 <A> <C> <D> Beide beweringen zijn juist Alleen de eerste bewering is juist Alleen de tweede bewering is juist Beide beweringen zijn onjuist 2008 Juli Vraag 5 We beschouwen de vergelijking van een cirkel en van een parabool: y 2 4y + x 2-2x 11 = 0 y = x 2-2x +1 Welk van de volgende beweringen is verkeerd? <A> De top van de parabool ligt op de x-as. Het middelpunt van de cirkel ligt op (1, 2). <C> De straal van de cirkel is 16. <D> De parabool heeft 2 snijpunten met de cirkel Augustus Vraag 5 Beschouw de vergelijking van een cirkel: x 2 + y 2-2bx + c = 0 Het punt (5, 3) ligt op deze cirkel en de straal van de cirkel is 3. Hoeveel bedraagt de som van de parameters, b+c? <A> 8 11 <C> 21 <D> Juli Vraag 9 Gegeven zijn drie functies: Parabool: y = -2x 2 +2x dr. Brenda Casteleyn Page 3

4 Rechte 1: y = -2x Rechte 2: y = 2/3x + 2/9 Zoek alle snijpunten of raakpunten van de twee rechten met de parabool Hoebeel bedraagt de som van de x-coördinaten van deze snijpunten of raakpunten? <A> 5/3 0 <C> 7/3 <D> 1/ Juli geel Vraag 4 Vier verschillende punten P(a,p), Q(b,q), R(a,r) en S(b,s) liggen in het eeste kwadrant. De punten P en Q liggen op de parabool met als vergellijking y = x 2 en de punten R en S liggen op de paraboom met als vergelijking y =. Het lijnstuk [PQ] is dubbel zo lang als het lijnstuk [RS]. Bepaal a+b. <A> ¾ 4/3 <C> 2 <D> Augustus geel Vraag 15 Beschouw in een orthonormaal assenkruis een cirkel die door het punt B(-1, 0) gaat en in het punt A(1, 2) raakt aan de rechte met vergelijking y = 2x. Hoeveel bedraagt de oppervlakte van deze cirkel? <A> <C> <D> 16π 20π 25π 32π 2017 Juli geel Vraag 10 Noem S het gebied in het vlak dat bestaat uit de punten P(x,y) waarvoor x y en (x-5) 2 + y Wat is de oppervlakte van S? <A> <C> ( - 1) ( + 1) dr. Brenda Casteleyn Page 4

5 <D> ( + 1) dr. Brenda Casteleyn Page 5

6 3. Oplossingen oefeningen 1997 Juli Vraag 15 Gegeven: cirkel met als vergelijking 4x 2 +4y 2-16x+20y-283=0 Gevraagd: straal van de cirkel Oplossing: standaardvergelijking van cirkel met middelpunt (a,b) en straal r is: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 2 4x 2 +4y 2-16x+20y-283=0 4x 2 + 4y 2-16x+ 20y=283 x 2 + y 2-4x+ 5y=283 /4 x 2-4x+ y 2 +5y=283 /4 Voeg aan beide leden een derde term toe zodat je formule van merkwaardig product kan toepassen: x x+ y 2 +5y=(283 /4) + 4 (x-2) 2 + y 2 +5y=283 /4 +4 Voeg nogmaals een derde term toe: (x-2) 2 + y 2 +5y.2/2 + 25/4=283 / /4 (x-2) 2 + (y +5/2) 2 =283 / /4 (x-2) 2 + (y +5/2) 2 =283 /4 + 16/4+ 25/4 (x-2) 2 + (y +5/2) 2 = 324/4 =81 = 9 2 Straal is dus 9 Antwoord C 1997 Augustus Vraag 15 Gegeven: De vergelijking x 2 +y 2-10x-6y+9=0 Gevraagd: cirkel? Zo ja, welke straal? Oplossing: x 2 +y 2-10x-6y+9=0 dr. Brenda Casteleyn Page 6

7 x 2 +y 2-10x-6y= -9 Voeg termen toe om merkwaardig product te kunnen toepassen x 2-10x +25+y 2-6y +9= (x-5) 2 + (y-3) 2 = 25 = 5 2 Straal is 5 Antwoord C 2001 Juli Vraag 9 Gegeen: 1 ste bewering: de vergelijking y 2-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3) 2de bewering: y 2 +x 2-6y-4x+4=0 stelt een cirkel voor met straal 2 Oplossing: 1 ste bewering: x=( y 2-6y+1)/4 x = 2/4y-6/4 Nulpunt bij y= 3 Berekening van x: x= (9-18+1)/4 = -2 Top (-2,3) Eerste bewering is juist 2 de bewering: y 2 +x 2-6y-4x+4=0 x 2-4x +4+y 2-6y =0 (x-2) 2 + y 2-6y +9 = 0 Toevoeging term om merkwaardig product toe te passen (x-2) 2 + y 2-6y +9 = 9 (x-2) 2 + (y-3) 2 = 9 Straal is 3 2 de bewering is fout Antwoord B dr. Brenda Casteleyn Page 7

8 2002 Juli Vraag 7 1 ste bewering: y = 6x-x 2 stelt een parabool voor met top (3,9) 2 de bewering: x 2 +y 2-10x+16y = 0 stelt een cirkel voor met r = 3 Voor bewering 1: Berekening top: Y = 2x -6 nulpunt = 3 Bij x = 3 is y = = 18-9 = 9 Dus top is (3,9) en bewering 1 is juist Voor bewering 2: x 2 +y 2-10x+16y = 0 Voeg termen toe om merkwaardig product te kunnen toepassen: x 2-10x +25+ y 2 +16y +64 = (x-5) 2 + (y+8) 2 = 89 De straal is dus 89 Antwoord B 2007 Augustus Vraag 9 Gegeven: Eerste bewering: de vergelijking y 2-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3). Tweede bewering: de vergelijking y 2 +x 2-6y-4x+4=0 stelt een cirkel voor met straal 2 Gevraagd: welke bewering juist Oplossing: Berekening top eerste bewering: Zet functie in termen van x: x = ¼ (y 2 6y +1) (wissel de assen dus om, want dat is gemakkelijker) x = ¼(2y-6) = 0 1/2y 6/4 = 0 Y = 6/4. 2 = 3 Bereken bijbehorende x: ( )/4 = x x = -8/4 = -2 dr. Brenda Casteleyn Page 8

9 De top is: (-2,3) Berekening straal bewering 2: y 2 +x 2-6y-4x+4=0 Voeg termen toe om merkwaardig product te kunnen toepassen: y 2-6y x 2-4x + 4 = 0 (y-3) (x-2) 2 = 0 (y-3) 2 + (x-2) 2 = 9 = 3 2 straal is dus 3 Antwoord B 2008 Juli Vraag 5 Gegeven: de vergelijking van een cirkel en van een parabool: y 2 4y + x 2-2x 11 = 0 y = x 2-2x +1 Gevraagd: Welk van de volgende beweringen is verkeerd? Oplossing: De top van de parabool ligt op de x-as? Top parabool: y = 2x -2 nulpunt: x = 1 Berekening top: y=1-2+1 = 0 Top: (1,0), dus top ligt op x-as Het middelpunt van de cirkel ligt op (1, 2)? y 2 4y + x 2-2x 11 = 0 Toevoegen termen om merkwaardig product toe te passen: y 2 4y +4 + x 2-2x +1 = (y-2) 2 + (x-1) 2 = 16 Algemene formule: (y-a) 2 + (x-b) 2 = r 2 met (a,b) = centrum en r = straal Dus: centrum = (1,2) en straal = 4 De straal van de cirkel is 16? Deze bewering is fout Antwoord C dr. Brenda Casteleyn Page 9

10 2008 Augustus Vraag 5 Gegeven: de vergelijking van een cirkel: x 2 + y 2-2bx + c = 0 Het punt (5, 3) ligt op deze cirkel en de straal van de cirkel is 3. Gevraagd: de som van de parameters, b+c? Oplossing: x 2 + y 2-2bx + c = 0 x 2-2bx + y 2 + c = 0 Voeg b 2 toe aan beide leden om merkwaardig product toe te passen x 2-2bx + b 2 + y 2 + c = b 2 (x-b) 2 + y 2 = b 2 c Vermits de straal 3 is betekent dit dat b 2 c = 3 2 = 9 Punt (5,3) ligt op de cirkel, dus x = 5 en y = b + c =0 10b-c = 34 Zoek nu b en c uit deze twee vergelijkingen: b 2 c = 9 10b-c = 34 Twee rijen van elkaar aftrekken om c te elimineren: b 2-10b = -25 b 2-10b + 25 = 0 nulpunt kwadratische vergelijking zoeken: D 2 = 0 1 nulpunt, nl. 5 Bereken nu c: uit 10.5-c = 34 c = 16 Bereken b+c = 5+16 = 21 Antwoord C 2011 Juli Vraag 9 Gegeven: drie functies: Parabool: y = -2x 2 +2x dr. Brenda Casteleyn Page 10

11 Rechte 1: y = -2x Rechte 2: y = 2/3x + 2/9 Gevraagd: Zoek alle snijpunten of raakpunten van de twee rechten met de parabool Hoeveel bedraagt de som van de x-coördinaten van deze snijpunten of raakpunten? Oplossing: Snijpunten rechte 1 met parabool: -2x 2 +2x = -2x -2x 2 +4x = 0 nulpunten: Snijpunten zijn de punten waarvan de coordinaten zowel aan de vergelijking van de parabool als van de rechte voldoen. Stel dus de twee y-waarden gelijk en je krijgt een vierkantsvergelijking in x die je kan oplossen. Dat geeft 3 mogelijkheden: snijpunt parabool en rechte 1: -2x 2 + 2x = - 2x -2x 2 + 4x = 0 zodat: discriminant = b 2-4ac = 16 dus twee snijpunten: x= 0 (waarvoor dus y = 0) en x = 2 (met y = -4) de som van de x-coordinaten van een vierkantsvgl ax 2 + Bx + c = 0 is steeds -b/a dat kan je makkelijk zien als je kijkt naar de manier waarop je die berekent, met de discriminant Δ : eerste wortel: x 1 = [ - b + Δ ] / 2a tweede wortel: x 2 = [ - b - Δ) ] / 2a dus als je optelt x 1 + x 2 = -b/a In bovenstaand vb : x 1 + x 2 = 2 en inderdaad -b/a = -(-2)/1 = ook 2 Voor de 2de rechte vind je twee samenvallende snijpunten, dus een raakpunt in x = 1/3 Dat het een raakpunt is kan je ook controlleren, want de afgeleide in dat punt is 2/3 en dat is inderdaad de richtingscoefficient van rechte 2. In dat punt is de x-ccordinaat dus 1/3, hoewel men ook zou kunnen argumenteren dat het dr. Brenda Casteleyn Page 11

12 2/3 is gezien het een dubbele wortel is, en dus tweemaal moet genomen worden. Dat is ook wat je vindt als je het formuletje "som wortels = -b/a" gebruikt. Dus som: 2 + 1/3 = 7/3 Antwoord C Vraag 4 Vier verschillende punten P(a,p), Q(b,q), R(a,r) en S(b,s) liggen in het eeste kwadrant. De punten P en Q liggen op de parabool met als vergellijking y = x 2 en de punten R en S liggen op de paraboom met als vergelijking y =. Het lijnstuk [PQ] is dubbel zo lang als het lijnstuk [RS]. Bepaal a+b. <A> ¾ 4/3 <C> 2 <D> 3 Antwoord: Uit de vergelijkingen van de rechten weten we dat p = a 2 en q = b 2 voor de punten P en Q en r = a 2 /4 en s = b 2 /4 voor de punten R en S. Algemene formule voor afstand: d = ( ) + ( ) [PQ] = 2.[RS] ( ) + ( ) = 2. ( ) + ( ) Vervang p, q en s ( ) + ( ) = 2. ( ) + ( ) Beide leden kwadrateren: ( ) + ( ) =4.#( ) + ( 4 4 ) $ ¼ = %(&) ' ( ( ) &* ) ) + (&) ' ( & ) ¼ =,(&) ' /( & ). (&) ' ( & ) dr. Brenda Casteleyn Page 12

13 ¼ = /(&) ' (')(&)3 4 (&) ' 2(')(&)3 ¼ = /(&) ' 0 01 (') (&) 4 (&) ' (') (&). ' 0 01.(') (&) ' (') ¼ = (&) ¼. 21+ (+) 3= 1+ 6.(+) ¼ + ¼ (a+b) 2 = 1 + 1/16.(a+b) 2 ¼ - 1 = (1/16 ¼).(a+b) 2 - = 6 (a+b)2 4 = (a+b) 2 a+b = 2 Antwoord C Vraag 15 Beschouw in een orthonormaal assenkruis een cirkel die door het punt B(-1, 0) gaat en in het punt A(1, 2) raakt aan de rechte met vergelijking y = 2x. Hoeveel bedraagt de oppervlakte van deze cirkel? <A> 16π 20µ <C> 25π <D> 32π Oplossing De middellijn van een cirkel staat loodrecht op de raaklijn. De middelloodlijn op een koorde gaat door het middelpunt van de cirkel. Als we de vergelijkingen van deze twee rechten vinden, dan vinden we waar het middelpunt zich bevindt. Bereken het midden van de middelloodlijn op de koorde tussen punt A en B: M = ( 0', 7 0' 7 ) = ((-1+1)/2;(0+2/2)) = (0,1) Het product van de richtingscoëfficienten van rechte die loodrecht op elkaar staan heeft -1 als uitkomst. De richtingscoëfficiënt van de koorde door de punten (x 1, y 1 ) en (x 2,y 2 ) =, dr. Brenda Casteleyn Page 13

14 7 & 7 0 & 0 = (-1,0) en (1,2) = (2-0)/(1+1) = 2/2 = 1. De richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn is dus -1 De vergelijking van de middelloodlijn is dan y = -1x + b. Invullen van het punt (0,1) geeft dan volgende vergelijking: 1 = b b = 1 Dus de vergelijking is dan y = -x + 1 Voor de middelloodlijn op de raaklijn zien we dat de richtingscoëfficiënt = -1/2 (vermits de richtingscoëfficiënt van de raaklijn = 2 2.(-1/2) = -1 Vul het raakpunt in in de vergelijking om b te vinden: Y = ½.x + b 2 = (-1/2).1 = b Dus b = 5/2 De vergelijking is dan y = -1/2.x + 5/2 Het middelpunt van de cirkel is het snijpunt tussen de middellijn en de middellijn op de koorde: dus -x +1 = -1/2.x + 5/2-1/2.x = 3/2 -x = 3 x = -3 De coördinaat van het middelpunt is dus (-3,4) Bepaal nu de afstand van (-3,4) tot (-1,0) om de lengte van de straal te vinden: ( 1+3) + (0 4 = 20 De oppervlakte van de cirkel is dan r 2. Π = 20. Π Antwoord B 2017 Juli geel Vraag 10 Noem S het gebied in het vlak dat bestaat uit de punten P(x,y) waarvoor x y en (x-5) 2 + y Wat is de oppervlakte van S? Oplossing: (x-5) 2 + y 2 25 cirkel met straal 5 en middelpunt (5,0) dr. Brenda Casteleyn Page 14

15 De oppervlakte S (groen gearceerd) =som van de oppervlakte van de driehoek en ¾ van de oppervlakte van de cirkel = ½ ¾ π.25 = 25/2 + 75π/4 = (1+ ) Antwoord C dr. Brenda Casteleyn Page 15