Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database"

Transcriptie

1 Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3 M. van der Pijl Transfer Database

2 ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs. Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: of via onze klantenservice (088) ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 013. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 Auteurswet j o het Besluit van 3 augustus 1985, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 130 KB Hoofddorp ( Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 191) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

3 1 Wetenschappelijke en technische notatie Rekenen met machten van Drijvende komma notatie Wetenschappelijke notatie Technische notatie 7 Rekenen met machten en lettergetallen 1.1 Werken met machten 1. Vermenigvuldigen en delen van machten met hetzelfde grondtal 13.3 Werken met wortels 14.4 Vereenvoudigen van uitdrukkingen met letters 15.5 Haakjes wegwerken 17.6 Werken met formules 19 3 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken Tekenen van tweedegraads grafieken 5 3. Minimum, maximum en symmetrieas Berekening nulpunten Steilheid van tweedegraads grafieken 3 4 Oplossen van tweedegraads vergelijkingen De abc-formule De abc-formule en de symmetrieas De abc-formule en de nulpunten Het functieonderzoek en het tekenen van de grafiek 46

4

5 1 Wetenschappelijke en technische notatie 1 Rekenen met machten van 10 Omdat de wetenschappelijke en technische notatie machten van 10 bevatten, besteden we eerst aandacht aan de rekenregels voor machten. Vermenigvuldigen en delen van machten Machtsverheffen is een verkorte manier voor het vermenigvuldigen: = 10 = In de macht 10 4 noemen we 10 het grondtal en 4 de exponent. De exponent geeft het aantal keren aan dat het grondtal met zichzelf vermenigvuldigd is. Als we 10-machten met elkaar vermenigvuldigen, mogen we de exponenten optellen: = 10 = 10 Immers: = 10 7 Vb. 1 Bereken Uitwerking = = 10 + = Oefeningen 1 Zet om naar 10 -macht: a b ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

6 Wetenschappelijke en technische notatie c d e We kunnen dus machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigen door hun exponenten op te tellen. We weten dat delen de omkeerbewerking is van vermenigvuldigen. Ook geldt dat aftrekken de omkeerbewerking van optellen is. We gaan nu bekijken of we machten kunnen delen door de exponenten van elkaar af te trekken. Vb Uitwerking = = 3 = 10 1 = 10 Oefeningen Zet om naar 10 -macht: a b c d e ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

7 Wetenschappelijke en technische notatie 3 We bekijken nog eens oefening e: = 10 = 10 Bij het optellen en aftrekken van exponenten gelden de gewone voorrangsregels. Bij machtsverheffen gebruiken we de volgende regels: a b a+ b = 10 a b a b = 10 a b a b ( 10 ) = = 1 1 a = 10 a 10 3 Zet om naar 10 -macht: a b c d ( 10 ) e ( 10 ) ( 10 ) 5 5 f ( 10 ) ( 10 ) Vb. 3 Schrijf de volgende machten eerst als breuk met een 10 -macht in de noemer en vervolgens als gewone breuk:10 5 Uitwerking = = ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

8 4 Wetenschappelijke en technische notatie 4 Schrijf de volgende machten eerst als breuk met een 10 -macht in de noemer en vervolgens als gewone breuk: a 10 b 10 3 c 10 1 d 10 1 e 10 6 f 10 9 Drijvende komma notatie Als we met onze rekenmachine 87, , 34 uitrekenen, krijgen we als uitkomst , Dat antwoord staat in de zogenaamde drijvende komma notatie. Zo kunnen we ook 6, , 76 uitrekenen; de uitkomst hiervan is 0, Naast de drijvende komma notatie kennen we ook de wetenschappelijke notatie en de technische notatie. ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

9 Wetenschappelijke en technische notatie 5 3 Wetenschappelijke notatie In de natuurkunde en in de techniek werken we veel met machten van 10 om heel grote en heel kleine getallen weer te geven. Vb. 4 We willen een groot getal als met een macht van 10 schrijven. Als we in gedachten de komma tussen de 4 en de 6 plaatsen en het aantal cijfers achter de komma tellen, komen we uit op 11. We hebben de komma dus 11 plaatsen naar links geschoven. dit betekent een exponent van +11. We kunnen het getal daarom noteren als 4, Op veel rekenmachines wordt dit weergegeven als 4, 68E 11. Zo kunnen we ook heel kleine getallen schrijven met een macht van 10, we nemen als voorbeeld het getal 0, Als we in gedachten de komma tussen de 1 en de plaatsen en tellen hoeveel plaatsen de komma naar rechts schuift, komen we uit op 5. Dat betekent een exponent van 5 (negatief!). We kunnen het getal 0, daarom noteren als 1, De meeste rekenmachines geven dit weer als 1, E 5. Deze methode van noteren van heel grote en heel kleine getallen noemen we de wetenschappelijke notatie. We spreken ook wel van de SCI-notatie, afgeleid van het Engels: SCIentific notation. Vb We kunnen 1, 3 10, 5 10 uitrekenen door 1, 3, 5 en daarna uit te rekenen , 3, 5 = 3, 5 en = 10 = 10, dus 6 4 1, 3 10, 5 10 = 3, We kunnen dit ook in één bewerking met de rekenmachine berekenen. Reken machines hebben voor dit doel een speciale toets EE of EXP, afhankelijk van het merk. We moeten dan het volgende intypen: [ 1, 3 ] [ 6 ] [, 5 ] [ 4 ]. 5 Schrijf de volgende getallen in de wetenschappelijke notatie: a b c ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

10 6 Wetenschappelijke en technische notatie d e f Schrijf de volgende getallen in de wetenschappelijke notatie: a 0, b 0, c 0, d 0, 004 e 0, f 0, De snelheid van het licht is 3, m/s. Het licht van een ster doet er 3 jaar over om de aarde te bereiken. Hoeveel kilometer is de ster van de aarde verwijderd? Voor het verband tussen de afgelegde weg s, de snelheid v en de tijd t geldt de formule: s = v t. ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

11 Wetenschappelijke en technische notatie 7 4 Technische notatie Bij de technische notatie worden net als bij de wetenschappelijke notatie getallen met een macht van 10 geschreven. Alleen zijn de exponenten altijd veelvouden van 3, dus van klein naar groot: , 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10,... Bij de technische notatie kunnen 1, of 3 cijfers voor de komma staan: 0, = 1, 10 6 ;. 750 =, , = ; = 7, , 0001 = ; = De meeste CASIO-rekenmachines hebben een -toets (ENG = ENGineer). Als we daarop klikken wordt, het getal omgezet van de wetenschappelijke notatie in de technische notatie. Als we nogmaals op deze toets klikken, wordt de exponent met 3 verlaagd. Met de combinatie + verhogen we de exponent met 3. 8 Schrijf de volgende getallen in de technische notatie: a b c d e f ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

12 8 Wetenschappelijke en technische notatie 9 Schrijf de volgende getallen in de technische notatie: a 0, b 0, c 0, d 0, 004 e 0, f 0, Schrijf de volgende getallen eerst in de wetenschappelijke en daarna in de technische notatie: a b c 0, d 0, 0005 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

13 Wetenschappelijke en technische notatie 9 11 Geef de uitkomsten van de volgende berekeningen in de technische notatie: a 3, , b, , c 8, , Een bolvormige bacterie heeft een diameter van 1, m. π 3 Voor het volume van een bol geldt de formule: V = d 6 Bereken het volume van de bacterie. Geef de uitkomst zowel in de wetenschappelijke als in de technische notatie. 13 De diameter van de aarde is 1, m. a Bereken het volume van de aarde. Geef de uitkomst zowel in de wetenschappelijke als in de technische notatie. b Hoeveel keer is het volume van de aarde groter dan het volume van de bacterie uit de vorige opgave? Geef de uitkomst zowel in de wetenschappelijke als in de technische notatie. 14 Met de Wet van Hooke kunnen we de verlenging berekenen van een draad waaraan getrokken wordt. F l De Wet van Hooke luidt: l = E A Voor een koperdraad geldt: l =, 0 m F = N, E = N/m en A = 10 6 m. Bereken de verlenging l. Geef het antwoord zowel in de drijvende komma notatie, in de wetenschappelijke notatie en in de technische notatie. ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

14 10 Wetenschappelijke en technische notatie Antwoorden 1a 10 3 b 10 5 c 10 9 d 10 9 e 10 1 a 10 b 10 c 10 3 d 10 e a 10 0 = 1 b 10 c 10 7 d 10 9 e 10 6 f 10 0 = 1 4a b c d e f = = = = = = a 8, b 1, c 3, d 4, 10 9 e 6, f 5, a 8, b 1, c 3, d 4, 10 3 e 6, f 5, ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

15 Wetenschappelijke en technische notatie 11 7, km 8a 8, b 1, c d 4, 10 9 e f a b 1, c d 4, 10 3 e f a, ; 3, b 8, ; c 9, ; d, ; a 15, b 45, c 3, , m a 1, 1 10 m ; 1, b 6, 0 10 ; , 0153 = 1, m = 15, 3 10 m m ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

16 Rekenen met machten en lettergetallen 1 Werken met machten Als we twee dezelfde getallen met elkaar vermenigvuldigen, is dat hetzelfde als kwadrateren. Als het gaat om meer dan twee dezelfde getallen, spreken we van machtsverheffen. Vb = 5 = 5 Rekenmachine: x antwoord 5 Vb = ( 7) = Rekenmachine: - antwoord 401 Vb. 3 7 = = 18 Rekenmachine: = antwoord 401 In de macht 7 noemen we het getal het grondtal van deze macht. Het getal 7 heet de exponent van de macht. Oefeningen 1 Bereken de volgende machten: a 4 5 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

17 Rekenen met machten en lettergetallen 13 b 5 3 c ( 3) 5 d 9 3 e ( 4) 5 f 0 9 g 1 1 Vermenigvuldigen en delen van machten met hetzelfde grondtal Als we machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigen, krijgen we een macht met hetzelfde grondtal en als exponent de som van de oorspronkelijke exponenten. Vb = ( ) ( 3 3) = 3 ( + = ) Als we machten met hetzelfde grondtal door elkaar delen, krijgen we een macht met hetzelfde grondtal en als exponent het verschil van de oorspronkelijke exponenten. Vb = = = 4 ( = ) ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

18 14 Rekenen met machten en lettergetallen Denk erom: = 1, omdat bijvoorbeeld 3 3 = = = Maar ook geldt: 3 3 = 3 = 3, dus 3 0 = 1. In het algemeen geldt dat een willekeurig getal tot de nulde macht 1 is (behalve 0 0 ). 5 Vb a a a = a = a Oefeningen Bereken: a b c d d d d x x x 6 5 e f y y y 3 Werken met wortels Worteltrekken is de omgekeerde bewerking van kwadrateren. Vb. 7 = eigenlijk een tweede- 36 = 6, want 6 36 We bedenken daarbij dat onze gewone wortel machtswortel is. ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

19 Rekenen met machten en lettergetallen 15 Zo kennen we ook de hogeremachtswortel. Dit is de omgekeerde bewerking van hogere machten. Vb = 3, want 3 3 = 7 CASIOfx 8 : TI 30 : Oefeningen 3 Bereken: a b 16 4 c 81 3 d 1 e 3 a 3 f 3 d 6 4 Vereenvoudigen van uitdrukkingen met letters Uitdrukkingen waarin letters voorkomen, noemen we algebraïsche vormen. 7 4 Een voorbeeld hiervan is 4t 4x y + 1a b. Een groep letters, al dan niet vergezeld van cijfers, heet een term. Een voorbeeld hiervan is 8x 5 y 3. ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

20 16 Rekenen met machten en lettergetallen Een term is vaak een vermenigvuldiging (ook wel product genoemd) van meerdere factoren. Termen kunnen we bij optellen en aftrekken alleen vereenvoudigen als deze termen gelijksoortig zijn. Vb. 9 6a + 9a = ( 6 + 9) a = 15a ( 6a en 9a zijn gelijksoortig) Vb. 10 6a + 9b blijft 6a + 9b ( 6a en 9b zijn niet gelijksoortig, dus vereenvoudiging is niet mogelijk) Vb. 11 7a b 5a b = ( 7 5) a b = a b Vb. 1 5x 3y x + y = ( 5 ) x + ( 3 + ) y = 3x y Oefeningen 4 Vereenvoudig: a p 5p b 3a + 4a + a c 3pq + pq 5pq d x + ( 3x ) 3 3 e 7ab + ( 3ab ) f 4a 3b 5b a ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

21 Rekenen met machten en lettergetallen g xy 3x y + 5x y 4xy h 3a 6ab + a + a 3ab 5 Haakjes wegwerken Nu gaan we ééntermen (zoals 3, 5b of 8g 3 ) vermenigvuldigen met tweetermen (zoals 3 + 6c of 6 5s ), en twee tweetermen met elkaar vermenigvuldigen. We moeten dan haakjes wegwerken. Vb. 13 3( a 4) = 3 a = 3a 1 Vb. 14 b( 3a + 4b 5c) = b 3a + b 4b + b 5c = 6ab + 8b 10bc Vb. 15 ( a + 3)( b + 7) = a( b + 7) + 3( b + 7) = a b + a b = ab + 7a + 3b + 1 Vb. 16 ( x 1)( x + ) = x( x + ) 1( x + ) = x x + x 1 x 1 = x + x x = x + x Oefeningen 5 Werk de haakjes weg: a a( 6 + p) b ap( a p) 3 c 3s ( s 4s) ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

22 18 Rekenen met machten en lettergetallen d ( a b)( c d) e ( 6p + 4w)( 7g + 5h) f ( x x )( 4x + 3x ) g ( 3a 7)( a + 5) h ( 1 y)( 1 + 4y ) i ( x + 3)( x + ) j ( x 3)( x + 11) k ( x 6)( x 10) l ( 3a + 7)( 3a 1) m ( x + 6)( x 9) n ( x + 5)( x 5) ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

23 Rekenen met machten en lettergetallen 19 o ( x 3) p ( x + 7) 6 Werken met formules Als we een berekening moeten maken waarbij we gebruik maken van een formule, hebben we soms tussenstappen nodig om tot het antwoord te komen. Bij de laatste stap van onze berekening moeten we gebruik maken van omkeerbewerking. De omkeerbewerking van optellen is aftrekken. De omkeerbewerking van aftrekken is optellen. De omkeerbewerking van vermenigvuldigen is delen. De omkeerbewerking van delen is vermenigvuldigen. De omkeerbewerking van een macht is de wortel. De omkeerbewerking van de wortel is de macht. Eerst gaan we berekeningen uitvoeren met eenvoudige formules. Vb. 16 Gegeven De formule l = l0 α T met α = K 1, l = 6mm en T = 50 K. Gevraagd l 0 in meters. Oplossing Eerst moeten we de eenheden controleren. De uitkomst wordt gevraagd in meters, terwijl l in millimeters wordt opgegeven, dus l = 6mm = m. Nu kunnen we de formule invullen: l = l α T 6 10 m = l 1 10 K 50 K = l l0 = = 10 m ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

24 0 Rekenen met machten en lettergetallen Oefeningen 3 6a Bereken ρ in kg/m 3 als V = 3, 5dm en m = 31, 15kg met de formule m = ρ V. b Bereken m in kg met Epot = m g h als E pot = 147 Nm, g = 9, 8 N/kg en h = 50cm. c Bereken r in m als F = 100 N en M = 900 Nm met de formule M = F r. d U = E I R. Bereken I in A als U k = 4, 5 V, E = 5 V en R i = 1, 5Ω. k i Nu gaan we werken met formules waarmee moeilijker is te rekenen. Vb. 17 Gegeven m T = π met T = s en c = 80kg/s c Gevraagd Bereken m in kg. Oplossing T T m = π gaan we met vermenigvuldigingstekens noteren als c m = π en daarna invullen: c s = m π 80 kg/s m = 6, 8 80 (links en rechts delen door 6, 8 ) m 0, 3 = (links en rechts kwadrateren om de wortel kwijt te raken) 80 ( 0, 3) = m 80 m 0, 10 = 80 m = 80 0, 10 = 8 kg ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

25 Rekenen met machten en lettergetallen 1 Oefeningen 7 σ = 5 F b met σ in kn/mm, F in kn, 3 b en d in mm. d a Bereken σ in kn/mm als F = 45kN, b =, 5mm en d = 1, 5cm. b F = 0kN, σ = kn/mm en d = 9mm. Bereken b in mm. c σ = 7 kn/mm, b = 1, 8 cm en d =, 5cm. Bereken F in kn. d F = 10kN, σ = 1, 17kN/mm en b = 1mm. Bereken d in mm. π E I 8 Fk = met F k in kn, E in kn/cm, I in cm 4 en L k in cm Lk 4 4 a E = 5, 10 kn/cm, I = 44, 7cm en L k = 45mm. Bereken F k in kn. b Fk = 60kN, E =, kn/cm en L k = 5cm. Bereken I in cm c E = 4, 5 10 kn/cm, I = 30, 5 10 cm en F k = 100 N. Bereken L k in cm. 9 vgem = k g h a k = 1, 4, g = 9, 81m/s en h = 15, 5m. Bereken v gem in m/s. b vgem = 14 m/s, g = 9, 81m/s en k = 1, 8. Bereken h in m. ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

26 Rekenen met machten en lettergetallen c Bereken k als vgem = 14 m/s, h = 10 m en g = 9, 81 m/s. P 10 d = 46, 3 4 met d in mm, P in kw en n in omw/s. n a Bereken d als P = 30kW en n = omw/s. b d = 10cm en n = 60omw/min. Bereken P. c P = 3500 W en d = 45mm. Bereken n. ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

27 Rekenen met machten en lettergetallen 3 Antwoorden 1a 104 b c 43 d 79 e 104 f 0 g 1 a 3 3 b 4 c d d x e 7 f 1 3a 13 b 6 c 3 d, 9 e a f d 4a 3p b 8 a c 6pq d x e 4ab 3 f 6a 8b g xy 3 + x 3 y h a 9ab a 5a 6a + ap b a p 4ap 5 3 c 6s 1s d ac ad bc + bd e 4pg + 30ph + 8wg + 0wh ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

28 4 Rekenen met machten en lettergetallen f 4x + 3x + 8x 6x g 6a a 35 3 h 1 + 4y + y 4y i x + 5x + 6 j x + 8x 33 k x 16x + 60 l 9a + 18a 7 m 4x 6x 54 n x 5 o x 6x + 9 p x + 14x a 8, kg/m 3 b 30kg c 0, 75Ω d 0, 33A 7a 1, 5 kn/mm b 14, 6 mm c 115, 3kN d 8 mm 8a 113, 9kN b 7, cm 4 c 0, 3cm 9a 4, 8 m/s b 6m c 1 10a 91, 1mm b 1, 8kW c 3, 9omw/s ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

29 3 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken 1 Tekenen van tweedegraads grafieken Een grafiek van bijvoorbeeld de functie y = x is een tweedegraads verband of anders gezegd een tweedegraads functie. We kunnen deze ook noteren als f( x) = x. We kunnen door de coördinaten van een aantal punten uit te rekenen een grafiek van een functie tekenen. Hiertoe berekenen we voor een aantal waarden voor x de bijbehorende waarden voor y. Vb. 1 Teken de grafiek van y = x. Oplossing x = : y = x y = ( ) = 4 (denk om haakjes bij het gebruik van de rekenmachine) x = 1 : y = x y = ( 1) = 1 x = 0 : y = x y = 0 = 0 x = 1 : y = x y = 1 = 1 x = : y = x y = = 4 Vervolgens verzamelen we deze waarden van x en y in een tabel: x y Tabel 1 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

30 6 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken Ten slotte tekenen we deze punten in een assenstelsel en verbinden ze met elkaar door een vloeiende lijn. Zie figuur 1. y x Figuur 1 Zo n grafiek van een tweedegraads functie noemen we een parabool. Een parabool heeft altijd een symmetrieas. De grafiekgedeelten links en rechts van deze symmetrieas zijn elkaars spiegelbeeld. Oefeningen 1 Teken de grafiek van: a y = x 1 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

31 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken 7 b y = x + c y = x 3 d y = x ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

32 8 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken Teken de grafiek van: a y = x + 1, 5 b y = x 4 c y = x + 4 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

33 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken 9 d y = x 1, 5 Minimum, maximum en symmetrieas Bij voorbeeld 1 en bij de oefeningen 1 en hebben we gezien dat er twee mogelijkheden zijn. Een parabool kan de vorm hebben van een dal of van een berg. De eerste noemen we een dalparabool en de tweede een bergparabool. Bij een dalparabool vinden we een minimum en bij een bergparabool een maximum. Als we te maken hebben met een functie van de vorm y = x + c, is er sprake van een dalparabool met een minimum. De symmetrieas is x = 0 en het minimum kunnen we uit rekenen door x = 0 in te vullen. Voor y vinden we de waarde c, dus het minimum heeft de coördinaten ( 0, c ). Hebben we te maken met een functie met de vorm y = x + c, dan is er sprake van een bergparabool met een maximum. De symmetrieas is x = 0 en het minimum kunnen we uitrekenen door x = 0 in te vullen. Voor y vinden we de waarde c, dus het maximum heeft de coördinaten ( 0, c ). Vb. Gegeven De functie f( x) = x + 3, 5 Gevraagd Bepaal of er sprake is van een maximum of een minimum. Bereken het minimum of maximum. Bepaal de plaats van de symmetrieas. Oplossing f( x) is een bergparabool, dus er is sprake van een maximum. f( x) = y = x + 3, 5 ; voor x = 0 is y = 0 + 3, 5 = 3, 5 maximum: ( 0, 3, 5 ). symmetrieas: x = 0 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

34 30 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken 3 Bereken het minimum of maximum en bepaal de symmetrieas van de grafieken van de volgende formules. a y = x 1 b y = x + c y = x 3 d y = x e y = x + 1, 5 f y = x 4 g y = x + 4 h y = x 1, 5 3 Berekening nulpunten In oefening 3 zien we dat het maximum of het minimum berekend kan worden door voor x de waarde 0 in te vullen. Een aantal grafieken doorsnijdt de x-as, we noemen dit de nulpunten. We kunnen deze nulpunten berekenen door voor y de waarde 0 in te vullen. ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

35 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken 31 Vb. 3 Bereken de nulpunten van de grafiek van y = x 3. Oplossing x 3 = 0 x = x = 3 x = 3 = 1, 7of x = 3 = 1, 7 Nulpunten: ( 1, 7, 0 ) en ( 1, 7, 0) 4 Bereken het minimum of maximum, bereken eventueel de nulpunt(en), schrijf de symmetrieas op en teken de grafiek. a f( x) = x 9 b f( x) = x 4 c y = x d y = x Bereken het minimum of maximum, bereken eventueel de nulpunt(en), schrijf de symmetrieas op en teken de grafiek. a y = x b y = x + 3 c y = x + 5 d f( x) = x 1 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

36 3 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken 4 Steilheid van tweedegraads grafieken We zien dat in de grafiek van y = x + c of y = x + c de waarde van c de verschuiving op de y-as is. Nu gaan we de grafiek van y = ax + c bekijken. Voor a kunnen we een wille keurig getal invullen. Als voorbeeld nemen we de grafieken van de functies y = x en y = x. Eerst berekenen we weer voor een aantal waarden voor x de bijbehorende waarden voor y. x y = x y = Tabel x In onderstaand diagram hebben we de grafieken getekend van y = x en y x Zie figuur. = y 5 x Figuur x x We zien dat de grafiek van y = x steiler is dan de grafiek van y = x. In het algemeen kunnen we stellen dat de grafiek van y = a x steiler wordt als a groter wordt. Vb. 4 Gegeven y = x 8 Gevraagd Bereken het minimum of maximum, bereken eventueel de nulpunt(en), schrijf de symmetrieas op en teken de grafiek. ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

37 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken 33 Oplossing Symmetrieas: x = 0 Minimum: y = 0 8 = 8 ( 0, 8) Nulpunten: x 8 = 0 x = x = 8 x 8 = = 4 x = 4 = of x = 4 = (, 0) en (, 0) We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van x en y. x 0 y Tabel 3 y x Figuur 3 6 Bereken het minimum of maximum, bereken eventueel de nulpunt(en), schrijf de symmetrieas op en teken de grafiek. a y = x ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

38 34 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken 1 b f( x) = x c y = 3x 3 7 Bereken het minimum of maximum, bereken eventueel de nulpunt(en), schrijf de symmetrieas op en teken de grafiek. a f( x) = x + 8 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

39 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken 35 b y = 1, 5x + 6 c y =, 5x 7, 5 d y = 0, 5x 4, 5 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

40 36 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken Antwoorden 1a We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van x en y. x y Tabel 4 y x Figuur 4 b We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van x en y. x y Tabel 5 y x Figuur 5 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

41 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken 37 c We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van x en y. x y tabel 6 y x Figuur 6 d We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van x en y. x y Tabel 7 y Figuur 7 x ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

42 38 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken a We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van x en y. x y Tabel 8 y x Figuur 8 b We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van x en y. x y Tabel 9 y Figuur 9 x ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

43 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken 39 c We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van x en y. x y Tabel 10 y x Figuur 10 d We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van x en y. x y 5,5,5 1,5,5 5,5 Tabel 11 y x Figuur 11 3a minimum ( 0, 1) ; symmetrieas: x = 0 b minimum ( 0, ) ; symmetrieas: x = 0 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

44 40 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken c minimum ( 0, 3 ) ; symmetrieas: x = 0 d maximum ( 0, 0 ) ; symmetrieas: x = 0 e minimum ( 0, 1, 5 ) ; symmetrieas: x = 0 f minimum ( 0, 4 ); symmetrieas: x = 0 g maximum ( 0, 4 ) ; symmetrieas: x = 0 h maximum ( 0, 1, 5) ; symmetrieas: x = 0 4a minimum ( 0, 9) ; symmetrieas: x = 0 ; nulpunten: ( 3, 0 ) en ( 3, 0) b minimum ( 0, 4) ; symmetrieas: x = 0 ; nulpunten: (, 0 ) en (, 0) c minimum ( 0, ) ; symmetrieas: x = 0 ; nulpunten: ( 1, 4, 0 ) en ( 1, 4, 0) d minimum ( 0, 3 ) ; symmetrieas: x = 0 ; geen nulpunten 5a maximum ( 0, 0 ) ; symmetrieas: x = 0 ; nulpunt ( 0, 0) b maximum ( 0, 3 ) ; symmetrieas: x = 0 ; nulpunten: ( 1, 7, 0 ) en ( 1, 7, 0) c maximum ( 0, 5 ) ; symmetrieas: x = 0 ; nulpunten: (,, 0 ) en (,, 0) d maximum ( 0, 1) ; symmetrieas: x = 0 ; geen nulpunten 6a Symmetrieas: x = 0 ; minimum: ( 0, ) ; nulpunten: ( 1, 0) en ( 1, 0) b Symmetrieas: x = 0 ; minimum: ( 0, ) ; nulpunten: (, 0) en (, 0) c Symmetrieas: x = 0 ; minimum: ( 0, 3) ; nulpunten: ( 1, 0) en ( 1, 0) 7a Symmetrieas: x = 0 ; maximum: ( 0, 8) ; nulpunten: (, 0) en (, 0) b Symmetrieas: x = 0 ; maximum: ( 0, 6) ; nulpunten: (, 0) en (, 0) c Symmetrieas: x = 0 ; minimum: ( 0, 7, 5) ; nulpunten: ( 1, 7, 0) en ( 1, 7, 0) d Symmetrieas: x = 0 ; minimum: ( 0, 4, 5) ; nulpunten: ( 3, 0) en ( 3, 0) ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

45 4 Oplossen van tweedegraads vergelijkingen 1 De abc-formule Een volledige tweedegraads vergelijking heeft de vorm y = ax + bx + c. Grafieken van tweedegraads functies noemen we parabolen. We onderscheiden bergparabolen (met een maximum) en dalparabolen (met een minimum). Zie figuur 1. Figuur 1 Dalparabool, bergparabool Als voorbeeld nemen we y = x + 4x + 3. Als we de grafiek hiervan willen tekenen, is het handig om de plaats van de symmetrieas te berekenen. We kunnen dan eenvoudig de coördinaten van de top, in dit geval een minimum, berekenen. Daarnaast kunnen we het snijpunt met de y-as berekenen (vul voor x de waarde 0 in). Vervolgens berekenen we de nulpunten (snijpunten met de x-as). Ten slotte kunnen we met deze gegevens de grafiek in een assenstelsel tekenen. Om deze berekeningen te kunnen uitvoeren, gaan we uit van de algemene gedaante van een tweedegraads functie: y = ax + bx + c Voor de x-coördinaat van de top x t, tevens de plaats van de symmetrieas, geldt b de formule: xt =. De y-coördinaat van de top y t berekenen we door de eerst a berekende x t in de vergelijking in te vullen. De top is een maximum als we te maken hebben met een bergparabool, dit is het geval als a < 0. De top is een minimum bij een dalparabool, dit is het geval als a > 0. ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

46 4 Oplossen van tweedegraads vergelijkingen Met de zogenaamde abc-formule berekenen we de nulpunten: x 1, = b ± b 4ac a De abc-formule bestaat eigenlijk uit een combinatie van twee formules: x 1 b b 4ac = a en x b + b 4ac = a Het deel b Als geldt: 4ac onder het wortelteken heet de discriminant. b 4 a c > 0, dan zijn er twee nulpunten. b 4 a c = 0, dan is er één nulpunt (eigenlijk twee samenvallende nulpunten). b 4 a c < 0, dan hebben we geen nulpunten. De abc-formule en de symmetrieas Vb. 1 Gegeven De functie f( x) = x + 4x + 3. Gevraagd Bereken de symmetrieas en het minimum of maximum. Oplossing We vergelijken de standaardvergelijking y = ax + bx + c met de functie f( x) = 1 x + 4x + 3. We zien dat a gelijk is aan het getal bij de x, dus a = 1 (we mogen x schrijven als 1 x ). Verder geldt dat b het getal is bij de x, dus b = 4. Ten slotte is c het losse getal, dus c = 3. Met a = 1, b = 4 en c = 3 gaan we onze formules invullen: b x t x 4 4 = t = = = a 1 Het is een dalparabool, want a > 0( a = 1), dus we hebben een minimum. t t t t y = x + 4x + 3 y = ( ) + 4 ( ) + 3 = = 1 Minimum: (, 1) ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

47 Oplossen van tweedegraads vergelijkingen 43 Oefeningen 1 Bereken de symmetrieas en het minimum of maximum van: a f( x) = x + 8x + 15 b f( x) = x + x + 7 c f( x) = x 4x + 5 d f( x) = 3x + 6x + 8 Bereken de symmetrieas en het minimum of maximum van: a y = x 7x + 10 b y = x + 5x + 1 c y = 3x 7, 5x 13 d y = 10x + 10x + 9 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

48 44 Oplossen van tweedegraads vergelijkingen 3 De abc-formule en de nulpunten Vb. Gegeven x + 8x + 15 = 0 Gevraagd Bereken de nulpunten. Oplossing x + 8x + 15 = 0 a = 1, b = 8 en c = 10 1,, x b ± b 4ac 8 ± ± 4 8 ± 4, 9 = x1 = = = a 1 8 4, 9 1, , 9 3, 1 x 1 = = = 6, 45 of x = = = 1, 55 Nulpunten: ( 1, 55, 0 ) en ( 6, 45, 0) 3 Bereken de nulpunten van: a x 6x 6 = 0 b x 9x + 14 = 0 c x 7x + 10 = 0 d x + 10x + 1 = 0 e x 7x + 1 = 0 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

49 Oplossen van tweedegraads vergelijkingen 45 4 Bereken de nulpunten van: a x 6x + 9 = 0 b 9x + 6x 35 = 0 c 10x 19x + 6 = 0 d 35x 11x + 30 = 0 e x + x + 1 = 0 5 Bereken de nulpunten van: a x + 6x + 9 = 0 b x + 4x 5 = 0 c x + 8x 7 = 0 d x 3x + = 0 e x + 5x + 1 = 0 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

50 46 Oplossen van tweedegraads vergelijkingen 4 Het functieonderzoek en het tekenen van de grafiek Als we een volledige tweedegraads vergelijking willen onderzoeken en tekenen, moeten we de volgende vijf stappen nemen: 1. Bereken de symmetrieas.. Bereken het maximum of minimum. 3. Bereken de nulpunten. 4. Bereken het snijpunt met de y-as. 5. Verzamel de resultaten in een xy-tabel en teken van daaruit de grafiek. Vb. 3 Gegeven y = x + 4x + 3 Gevraagd a. Bereken de symmetrieas. b. Bereken het maximum of minimum. c. Bereken de nulpunten. d. Bereken het snijpunt met de y-as. e. Teken de grafiek. Oplossing a. a = 1, b = 4 en c = 3 b Symmetrieas: x = a = 4 = 4 =, x = 1 b. Het is een dalparabool t yt = xt + 4xt + 3 yt = ( ) + 4 ( ) + 3 = = 1. Minimum: (, 1) c. x b ± b 4ac 4 ± ± 4 4 ± = x1 = = = a 1 1,, x 1 = = = 3 of x = = = 1 Nulpunten: ( 3, 0) en ( 1, 0) d. Snijpunt met de y-as, dan geldt: x = 0 y = = 3 ( 0, 3). ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

51 Oplossen van tweedegraads vergelijkingen 47 e. Zie tabel. x y = x + 4x Tabel 1 y x Figuur Vb. 4 Gegeven f( x) = x + x 3 Gevraagd a. Bereken de symmetrieas. b. Bereken het maximum of minimum. c. Bereken de nulpunten. d. Bereken het snijpunt met de y-as. e. Teken de grafiek. Oplossing a. a = 1, b = en c = 3 b Symmetrieas: x = a = = = 1, x t = 1 1 b. Het is een bergparabool yt = xt + xt 3 yt = ( 1) = =. Maximum: ( 1, ) c. b 4 a c = = 4 1 = 8, dus b 4 a c < 0. er zijn geen nulpunten. d. Snijpunt met de y-as, dan geldt: x = 0 y = ( 0) = 3 ( 0, 3). ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

52 48 Oplossen van tweedegraads vergelijkingen e. Zie tabel. x 0 1 y = x + x Tabel y Figuur 3 x Bereken de symmetrieas, het maximum of minimum, de nulpunten, het snijpunt met de y-as en teken de grafiek van: a y = x x 3 b y = x + 3x + c y = x 4x + 1 d f( x) = x + 4x 1 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

53 Oplossen van tweedegraads vergelijkingen 49 7 Bereken de symmetrieas, het maximum of minimum, de nulpunten, het snijpunt met de y-as en teken de grafiek van: a f( x) = x x 6 b y = x + x + 15 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

54 50 Oplossen van tweedegraads vergelijkingen c y = x + 3x d f( x) = x + 6x 5 ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

55 Oplossen van tweedegraads vergelijkingen 51 Antwoorden 1a x = 4, minimum ( 4, 1) b x = 1, maximum ( 1, 8) c x = 1, minimum ( 1, 3) d x = 1, maximum ( 1, 11) a x = 3, 5, minimum ( 3, 5,, 5) b x =, 5, maximum (, 5, 18, 5) c x = 1, 5, minimum ( 1, 5, 17, 7) d x = 0, 5, maximum ( 0, 5, 11, 5) 3a ( 6, 9, 0 ) en ( 0, 9, 0) b (, 0 ) en ( 7, 0) c (, 0 ) en ( 5, 0) d ( 7, 0 ) en ( 3, 0) e ( 3, 0 ) en ( 4, 0) 4a ( 3, 0) b (, 3, 0 ) en ( 1, 7, 0) c ( 0, 4, 0 ) en ( 1, 5, 0) d Geen nulpunten e Geen nulpunten 5a ( 1,, 0 ) en ( 7,, 0) b Geen nulpunten c ( 1, 0 ) en ( 7, 0) d ( 1, 0 ) en (, 0) e ( 0,, 0 ) en (, 7, 0) 6a Symmetrieas: x = 1. Minimum: ( 1, 4 ). Nulpunten: ( 1, 0 ) en ( 3, 0 ). Snijpunt met de y-as: ( 0, 3 ). b Symmetrieas: x = 1, 5. Minimum: ( 1, 5, 0, 5 ). Nulpunten: (, 0 ) en ( 1, 0 ). Snijpunt met de y-as: ( 0, ). c Symmetrieas: x =. Minimum: (, 3 ). Nulpunten: ( 0, 3, 0 ) en ( 3, 7, 0 ). Snijpunt met de y-as: ( 0, 1 ). d Symmetrieas: x =. Maximum: (, 3 ). Nulpunten: ( 0, 7, 0 ) en ( 3, 73, 0 ). Snijpunt met de y-as: ( 0, 1 ). 7a Symmetrieas: x = 0, 5. Minimum: ( 0, 5, 6,5). Nulpunten: (, 0 ) en ( 3, 0). Snijpunt met de y-as: ( 0, 6). b Symmetrieas: x = 1. Maximum: ( 1, 16). Nulpunten: ( 3, 0 ) en ( 5, 0). Snijpunt met de y-as: ( 0, 15). c Symmetrieas: x = 0, 75. Minimum: ( 0,75, 1, 15 ). Nulpunten: ( 1,5, 0 ) en ( 0, 0). Snijpunt met de y-as: ( 0, 0). d Symmetrieas: x = 3. Maximum: ( 3, 4). Nulpunten: ( 1, 0) en ( 5, 0). Snijpunt met de y-as: ( 0, 5). ThiemeMeulenhoff 16 januari 013

56

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Weerstand. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Weerstand. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Weerstand J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en

Nadere informatie

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Wet van Ohm. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Wet van Ohm. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Wet van Ohm J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs

Nadere informatie

Werkwoordspelling 2 Toelichting en Antwoorden

Werkwoordspelling 2 Toelichting en Antwoorden Werkwoordspelling 2 Toelichting en Antwoorden COLOFON Auteurs Frank Pollet Illustraties Liza-Beth Valkema Basisvormgeving LS Ontwerpers bno, Groningen Omslag illustratie Metamorfose ontwerpen BNO, Deventer

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 2. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 2. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Stroom. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Stroom. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Stroom J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie

Nadere informatie

Zelfstandig werken. Ajodakt. Dit antwoordenboekje hoort bij het gelijknamige werkboek van de serie

Zelfstandig werken. Ajodakt. Dit antwoordenboekje hoort bij het gelijknamige werkboek van de serie Zelfstandig werken Ajodakt Dit antwoordenboekje hoort bij het gelijknamige werkboek van de serie 9 789074 080705 Informatieverwerking Groep 7 Antwoorden Auteur P. Nagtegaal ajodakt COLOFON Illustraties

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I WISKUNDE. MAVO-D / VMBO-gt

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I WISKUNDE. MAVO-D / VMBO-gt UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VAK: NIVEAU: WISKUNDE MAVO-D / VMBO-gt EXAMEN: 2002-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke

Nadere informatie

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Lenzen. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Lenzen. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Lenzen J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair nderwijs, Algemeen Voortgezet nderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Stenvert. Taalmeesters 6. Zelfstandig werken Taal Groep 8 Antwoorden. Zelfstandig werken Stenvert Taal Taalmeesters 6 Antwoorden Groep 8

Stenvert. Taalmeesters 6. Zelfstandig werken Taal Groep 8 Antwoorden. Zelfstandig werken Stenvert Taal Taalmeesters 6 Antwoorden Groep 8 Zelfstandig werken Taal Groep 8 Antwoorden Stenvert maakt deel uit van ThiemeMeulenhoff Zelfstandig werken (Z). Dit bestaat uit een groot assor ment leermiddelen voor alle leerjaren. Op onze Z-site vindt

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2 Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30

Nadere informatie

Stenvert. Rekenmeesters 5. Zelfstandig werken Rekenen Groep 7 Antwoorden. Zelfstandig werken Stenvert Rekenen Rekenmeesters 5 Antwoorden Groep 7

Stenvert. Rekenmeesters 5. Zelfstandig werken Rekenen Groep 7 Antwoorden. Zelfstandig werken Stenvert Rekenen Rekenmeesters 5 Antwoorden Groep 7 Zelfstandig werken Rekenen Groep 7 Antwoorden Stenvert maakt deel uit van ThiemeMeulenhoff Zelfstandig werken (Z). Dit bestaat uit een groot assor ment leermiddelen voor alle leerjaren. Op onze Z-site vindt

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

Kwadratische verbanden - Parabolen klas ms

Kwadratische verbanden - Parabolen klas ms Kwadratische verbanden - Parabolen klas 01011ms Een paar basisbegrippen om te leren: - De grafiek van een kwadratisch verband heet een parabool. - Een parabool is dalparabool met een laagste punt (minimum).

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 NIVEAU: HAVO EXAMEN: 2001-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Nadere informatie

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Schrijf je antwoorden zo volledig mogelijk op. Tenzij anders aangegeven mag je je rekenmachine niet gebruiken. Sommige vragen zijn alleen voor het vwo, dit staat aangegeven.

Nadere informatie

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Reader Periode 3 Leerjaar 3. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Reader Periode 3 Leerjaar 3. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Reader Periode Leerjaar J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

Docentenhandleiding bij Elektrotechnisch tekenen Basiskennis

Docentenhandleiding bij Elektrotechnisch tekenen Basiskennis tr@nsfere Docentenhandleiding bij Elektrotechnisch tekenen Basiskennis Leerwerkboek S.J. Kuipers redactie S.J.H. Frericks ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I D

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I D UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I D VAK: NIVEAU: EXAMEN: WISKUNDE MAVO 2001-I D De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Nadere informatie

42 blok 6. Een huis inrichten. Teken de meubels in het huis. Plaats ze waar jij wilt. Vul in. Hoeveel eet elke hond? Hoeveel kilo vlees?

42 blok 6. Een huis inrichten. Teken de meubels in het huis. Plaats ze waar jij wilt. Vul in. Hoeveel eet elke hond? Hoeveel kilo vlees? 42 blok 6 C1 Een huis inrichten. Teken de meubels in het huis. Plaats ze waar jij wilt. C2 Vul in. Hoeveel eet elke hond? Hoeveel kilo vlees? Hoeveel pakken brokken? Hoeveel bakjes water? Fido 3 2 1 4

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i

Nadere informatie

EXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden.

EXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden. EXACT- Periode 1 Hoofdstuk 1 1.1 Grootheden. Een grootheid is in de natuurkunde en in de chemie en in de biologie: iets wat je kunt meten. Voorbeelden van grootheden (met bijbehorende symbolen): 1.2 Eenheden.

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

REKENTOPPERS 4. Antwoordenboek. Rekenen en wiskunde. Pascal Goderie. Auteur

REKENTOPPERS 4. Antwoordenboek. Rekenen en wiskunde. Pascal Goderie. Auteur REKENTOPPERS 4 Rekenen en wiskunde Antwoordenboek Auteur Pascal Goderie KAART KAART 2. Zet de getallen op de goede plaats 2 7. Sjoelen Elke behaalt 4 punten. Willem: veertig punten 4 3 5 8 6 9 2. Pijltjes

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

SAMENVATTING BASIS & KADER

SAMENVATTING BASIS & KADER SAMENVATTING BASIS & KADER Afronden Hoe je moet afronden hangt af van de situatie. Geldbedragen rond je meestal af op twee decimalen, 15,375 wordt 15,38. Grote getallen rondje meestal af op duizendtallen,

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor het vak natuurkunde

Rekenvaardigheden voor het vak natuurkunde Inhoud Formules uitrekenen... 2 Balansmethode... 2 Categorie eenvoudig... 3 Categorie moeilijker... 4 Categorie moeilijkst... 5 Uitgebreidere formules... 8 Balansmethode en abc-formule... 8 1/11 Formules

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Hogeschool Rotterdam. Voorbeeldexamen Wiskunde A

Hogeschool Rotterdam. Voorbeeldexamen Wiskunde A . Bereken zonder rekenmachine: + d. + 0 + 6 6 6 Hogeschool Rotterdam Voorbeeldeamen Wiskunde A 6 6 Oplossingen. Bereken zonder rekenmachine: + 6 b. + 6 0 + 9. Bereken zonder rekenmachine: 9 9 d.. Een supermarkt

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Functies van de tweede graad

Functies van de tweede graad Functies van de tweede graad Waarschijnlijk heb je wel al eens gehoord van functies van de eerste graad. Deze functies hebben het functievoorschrift y = ax + b en zien er als het volgt uit: Zoals je ziet

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 1 2012-2013. M. van der Pijl.

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 1 2012-2013. M. van der Pijl. Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 1 2012-2013 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

Voorkennis : Breuken en letters

Voorkennis : Breuken en letters Hoofdstuk 1 Rekenregels en Verhoudingen (H4 Wis A) Pagina 1 van 11 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x

Nadere informatie

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel) Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Reflectie en breking. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Reflectie en breking. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Reflectie en breking J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

i n s t a p b o e k j e

i n s t a p b o e k j e jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs i n s t a p b o e k j e d e r e k e n m a c h i n e Les Rekenen tot 000 Rekenen met de rekenmachine. Hiernaast zie je een rekenmachine. Hoe

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Tweedegraads functies. Introductie 89. Leerkern 89

Tweedegraads functies. Introductie 89. Leerkern 89 Open Inhoud Universiteit leereenheid 3 Wiskunde voor milieuwetenschappen Tweedegraads functies Introductie 89 Leerkern 89 De parabool y = x 89 De grafiek van een tweedegraads functie 9 3 Domein en bereik

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies

Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Voorkennis V-1a y = 3(x ) 3 x 3 6x 1 y = 6x 1 b y = 9( 4x 4) 3 4x 4 9 36x 36 y = 36x 36 c y = x( x 7) 3 x 7 x x 7x y = x 7x V-a y = (

Nadere informatie

Inleiding tot de natuurkunde

Inleiding tot de natuurkunde OBC Inleiding tot de Natuurkunde 01-08-2010 W.Tomassen Pagina 1 Hoofdstuk 1 : Hoe haal ik hoge cijfers. 1. Maak van elke paragraaf een samenvatting. (Titels, vet/schuin gedrukte tekst, opsommingen en plaatsjes.)

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie

06950181_voorw 01-03-2005 15:47 Pagina I. Een Goed. Feedbackgesprek. Tussen kritiek en compliment. Wilma Menko

06950181_voorw 01-03-2005 15:47 Pagina I. Een Goed. Feedbackgesprek. Tussen kritiek en compliment. Wilma Menko 06950181_voorw 01-03-2005 15:47 Pagina I Een Goed Feedbackgesprek Tussen kritiek en compliment Wilma Menko 06950181_voorw 01-03-2005 15:47 Pagina II Een goede reeks ISBN Een goede vergadering 90 06 95017

Nadere informatie

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45 15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

. noemer noemer Voorbeelden: 1 Breuken vereenvoudigen Schrijf de volgende breuken als één breuk en zo eenvoudig mogelijk: 4 1 x e.

. noemer noemer Voorbeelden: 1 Breuken vereenvoudigen Schrijf de volgende breuken als één breuk en zo eenvoudig mogelijk: 4 1 x e. Tips: Maak de volgende opgaven het liefst voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, werk hem dan uit tot waar je kunt en ga verder met de volgende

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen

Nadere informatie

i n s t a p b o e k j e

i n s t a p b o e k j e jaargroep 4 naam: reken-wiskundemethode het basisonderwijs i n s t a p b o e k j e k l o k k i j k e n Les 1 Hele en halve uren 1 Hoe laat is het? Vul in. 2 Hoe laat is het? Teken de wijzers. 2 5 8 6 9

Nadere informatie

Producten, machten en ontbinden in factoren

Producten, machten en ontbinden in factoren Joke Smit College Producten, machten en ontbinden in factoren Voor cursisten uit de volgende klassen: alle Havo en VWO klassen (wiskunde, wiskunde A en wiskunde B) Wat kun je oefenen? 1. Het uitrekenen

Nadere informatie

Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo

Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Bijlage 7 Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Deze vragen kunnen gebruikt worden om aan het eind van klas 3 havo/vwo na te gaan in hoeverre leerlingen in staat zijn te

Nadere informatie

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek WERKBOEK REKENVAARDIGHEID Voeding en Diëtetiek 11 INHOUDSOPGAVE ACHTERGROND 3 1. Elementaire bewerkingen 4 2. Voorrangsregels (bewerkingsvolgorde) 8 3. Bewerkingen met machten 11 4. Rekenen met breuken

Nadere informatie

i n s t a p h a n d l e i d i n g

i n s t a p h a n d l e i d i n g jaargroep 7 reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs i n s t a p h a n d l e i d i n g k o l o m s g e w i j s d e l e n Inleiding Het programma laat de leerlingen kennismaken met vernieuwende elementen

Nadere informatie

Voorkennis : Breuken en letters

Voorkennis : Breuken en letters Hoofdstuk 1 Getallen en Variabelen (V4 Wis A) Pagina 1 van 13 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x = 12

Nadere informatie

1. Optellen en aftrekken

1. Optellen en aftrekken 1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'

Nadere informatie

WISNET-HBO. update aug. 2011

WISNET-HBO. update aug. 2011 Basiskennis van machten WISNET-HBO update aug. 0 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 (spreek uit: a tot de vierde macht) een macht van a (in dit geval de vierde

Nadere informatie

Grafieken 1. a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top.

Grafieken 1. a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top. Grafieken 1 In het moduul verbanden hebben we gezien hoe we de grafiek van een lineair verband zoals y = 3 x + 5 moeten tekenen, dat wordt een rechte lijn. We noemen de functie y = 3 x + 5 ook wel een

Nadere informatie

INSIGHT Rekentoets. Spoorboekje. Tijd voor rekenen!

INSIGHT Rekentoets. Spoorboekje. Tijd voor rekenen! INSIGHT Rekentoets Spoorboekje Tijd voor rekenen! Colofon Titel: Subtitel: Uitgave door: Adres: Insight Rekentoets Spoorboekje AMN b.v. Arnhem Oude Oeverstraat 120 6811 Arnhem Tel. 026-3557333 info@amn.nl

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een xy-assenstelsel: naar boven, een negatief getal schuift de parabool naar beneden.

De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een xy-assenstelsel: naar boven, een negatief getal schuift de parabool naar beneden. Samenvatting H29: Parabolen en Hyperbolen De standaard parabool heeft als formule y = x 2 Deze vorm moet je vlot en netjes kunnen tekenen. De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een

Nadere informatie

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1 Herhalingsoefeningen Tweedegraadsfuncties Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1

Nadere informatie

Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking

Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking 4 Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking Dit kun je al gehele getallen vermenigvuldigen 2 afspraken i.v.m. de volgorde van de bewerkingen toepassen 3 regelmaat en patronen ontdekken

Nadere informatie

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A.

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A. Grootheden en eenheden Kwalitatieve en kwantitatieve waarnemingen Een kwalitatieve waarneming is wanneer je meet zonder bijvoorbeeld een meetlat. Je ziet dat een paard hoger is dan een muis. Een kwantitatieve

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen

Nadere informatie

Het opstellen van een lineaire formule.

Het opstellen van een lineaire formule. Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Foutenberekeningen. Inhoudsopgave

Foutenberekeningen. Inhoudsopgave Inhoudsopgave Leerdoelen :... 3 1. Inleiding.... 4 2. De absolute fout... 5 3. De KOW-methode... 7 4. Grootheden optellen of aftrekken.... 8 5. De relatieve fout...10 6. grootheden vermenigvuldigen en

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie