INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN

Transcriptie

1 INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN FUNCTIES ARGUMENT EN BEELD HET FUNCTIEVOORSCHRIFT DE FUNCTIEWAARDETABEL DE GRAFIEK FUNCTIES HERKENNEN OPLOSSINGEN COÖRDINATEN Als je punten op een assenstelsel zet, kan je voor elk punt een coördinaat geven. Het eerste coördinaatgetal lees je af op de x-as. Het tweede coördinaatgetal lees je af op de y-as. Maak de oefeningen hieronder en het wordt duidelijk! Oefening 1: Wat is de coördinaat van de gegeven punten? assenstelsel 1 assenstelsel 2 Inleiding functies / p.1 van 11 / versie 4 (c) Edulogos cvba-vso

2 REËLE FUNCTIES BESPREKEN 1. DOMEIN BEREIK NULWAARDEN EN NULPUNTEN HET TEKENVERLOOP FUNCTIEVERLOOP (STIJGEN, DALEN EN EXTREMA) SYMMETRIE BUIGPUNTEN PERIODICITEIT ASYMPTOTEN DE SOORTEN REËLE FUNCTIES EN HUN KENMERKEN VEELTERMFUNCTIES RATIONALE FUNCTIES EXPONENTIËLE FUNCTIE LOGARITMISCHE FUNCTIE IRRATIONALE FUNCTIES GONIOMETRISCHE FUNCTIE OEFENINGEN OPLOSSINGEN DOMEIN notatie: dom f (lezen als het domein van de functie ). Om een koppel te vinden, vervang je de x door een getal. De verzameling van alle getallen die daarvoor in aanmerking komen, is het domein van de functie. f: y = x + 2 Je kan x vervangen door om het even welk reëel getal. Er ontstaat nooit een probleem bij de berekening van het beeld. Het domein is gelijk aan alle reële getallen dom f = R f : y = 6 x De noemer van een breuk mag nooit 0 zijn. Je kan x in dit geval niet vervangen door 0, want dan kom je 0 uit in de noemer. Alle andere reële getallen kunnen wel. Het domein is gelijk aan alle reële getallen behalve 0 dom f = R 0 f : y = x Het getal onder een wortelteken mag niet negatief zijn (0 mag wel). Je kan x dus alleen vervangen door een positief reëel getal. Het domein is gelijk aan alle positieve reële getallen dom f = R + Functies bespreken / p.1 van 35 / versie 1 Edulogos cvba-vso

3 EERSTEGRAADSFUNCTIES 1. INLEIDING GRAFIEK VAN EEN EERSTEGRAADSFUNCTIE DOMEIN EN BEREIK VAN EEN EERSTEGRAADSFUNCTIE NULWAARDE VAN EEN EERSTEGRAADSFUNCTIE TEKENVERLOOP VAN EEN EERSTEGRAADSFUNCTIE MAXIMUM EN MINIMUM SYMMETRIE DIFFERENTIEQUOTIËNT VAN EEN EERSTEGRAADSFUNCTIE HET VOORSCHRIFT VAN EEN EERSTEGRAADSFUNCTIE BEPALEN OEFENINGEN OPLOSSINGEN INLEIDING Wanneer het voorschrift van een functie een onbekende (x) bevat en de macht van x is maximaal 1 (= eerste graad), dan spreken we van een eerstegraadsfunctie. Het voorschrift van een eerstegraadsfunctie is altijd y = ax + b. We noemen "y = ax + b" de standaardvorm van een eerstegraadsfunctie. a kan om het even welk reëel getal zijn behalve 0. b kan om het even welk reëel getal zijn (dus ook 0) voorbeelden: y = 3x 5 a = 3 b = -5 y = -2,83 + 1,9 a = -2,83 b = 1,9 y = x 3 a = 1 b = -3 y = 2x a = 2 b = 0 2. GRAFIEK VAN EEN EERSTEGRAADSFUNCTIE De grafiek van een eerstegraadsfunctie is altijd een schuine rechte. Geval 1: y = ax De grafiek is een schuine rechte die door de oorsprong O van het assenstelsel gaat. Om de grafiek te tekenen volstaat het dus de coördinaat van 1 willekeurig punt te kiezen. Om een schuine rechte te tekenen, heb je genoeg aan twee punten. Het eerste punt reken je uit door x te vervangen door een willekeurig reëel getal. Het tweede punt is de oorsprong. Eerstegraadsfuncties / p.1 van 12 / versie 5 Edulogos cvba-vso

4 TWEEDEGRAADSFUNCTIES 1. DEFINITIE GRAFIEK VAN EEN TWEEDEGRAADSFUNCTIE KENMERKEN VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES GRAFIEK VAN EEN TWEEDEGRAADSFUNCTIE TEKENEN ZONDER GRM OEFENINGEN OPLOSSINGEN DEFINITIE Een tweedegraadsfunctie is een veeltermfunctie die een tweedegraadsvergelijking als voorschrift heeft. Met andere woorden: het voorschrift is (na uitwerken en/of herleiden) een veelterm met een x 2 en geen term met een groter macht. Een tweedegraadsfunctie heeft de standaardvorm: y = ax 2 + bx + c Daarbij geldt dat a nooit gelijk kan zijn aan 0 (b en c wel). Immers: als a = 0 dan wordt het voorschrift y = bx + c en dan hebben we niet meer te maken met een tweedegraadsfunctie. Een tweedegraadsfunctie kan vier vormen hebben: f : y = ax 2 + bx + c f : y = ax 2 0x 0 f : y = ax 2 f : y = ax 2 bx 0 f : y = ax 2 bx f : y = ax 2 0x c f : y = ax 2 c Een andere naam voor tweedegraadsfuncties is kwadratische functies. 2. GRAFIEK VAN EEN TWEEDEGRAADSFUNCTIE De grafiek van een tweedegraadsfunctie is altijd een parabool. Kenmerken van een parabool: u-vorm gewone u dit noemen we een dalparabool omgekeerde u dit noemen we een bergparabool het is altijd mogelijk om een symmetrie-as te tekenen Het snijpunt van de grafiek en de symmetrie-as, is de top van de parabool. Tweedegraadsfuncties / p.1 van 16 / versie 4

5 TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN 1. OPLOSSEN VAN TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN Dit moet je zeker kunnen. Maak oefeningen tot je dit zonder problemen kan TYPE ax 2 + bx = 0 Methode: stap 1: ontbinden in factoren door x (en eventueel een getal) buiten de haakjes te brengen Je houdt over x (veelterm van de eerste graad) stap 2: veelterm van de eerste graad gelijkstellen aan 0 en de eerstegraadsvergelijking oplossen. Oplossing: 0 en oplossing van de eerstegraadsvergelijking Voorbeelden: 1) 3x 2 +2x = 0 stap 1: x (3x + 2) = 0 stap 2: 3x + 2 = 0 x = -2/3 oplossing: 0 en -2/3 2) 3x 2 + 9x= 0 stap 1: -3x (x 3) = 0 stap 2: x 3 = 0 x = 3 oplossing: 0 en 3 Oefening: los op opgave 1) x 2 +8x =0 2) x 2 5x= 0 3) 3x 2 +6x =0 4) 3x 2 +15x = 0 5) 7x 2 +35= 0 6) 7x 2 56x =0 7) 4x 2 7x= 0 8) 5x 2 + x = 0 9) 8x 2 7x = 0 10) 5x 2 3x =0 oplossing(en) Tweedegraadsvergelijkingen / p.1 van 13 / versie 1

6 VEELTERMFUNCTIES 1. WAT IS EEN VEELTERMFUNCTIE? BESPREKEN VAN EEN VEELTERMFUNCTIES VAN DE DERDE GRAAD OF HOGER OEFENINGEN OPLOSSINGEN WAT IS EEN VEELTERMFUNCTIE? Een veeltermfunctie is een reële functie die een veelterm in x (= een veelterm met minstens 1 x) als voorschrift heeft. De grootste exponent die voorkomt in de veelterm (na uitwerken en herleiden), bepaalt de graad van de functie. Voorbeelden: f: y = x - 5 grootste exponent = 1 eerstegraadsfunctie f: y = x² - 5x + 3 grootste exponent = 2 tweedegraadsfunctie f: y = x³ + 6x² + 5 grootste exponent = 3 derdegraadsfunctie f: y = x 4-8 grootste exponent = 4 vierdegraadsfunctie f: y = (x 3 2) 2 grootste exponent = 6 zesdegraadsfunctie Eerstegraadsfuncties zie hoofdstuk eerstegraadsfuncties Tweedegraadsfuncties zie hoofdstuk tweedegraadsfuncties Opgaven in verband met eerste- en tweedegraadsfuncties kan je bij voorkeur zonder rekenmachine oplossen. Voor opgaven met derdegraadsfuncties (of hogere graad) gebruik je de TI. 2. BESPREKEN VAN EEN VEELTERMFUNCTIES VAN DE DERDE GRAAD OF HOGER Functiewaardetabel Zoek met de TI het beeld van enkele willekeurige waarden. bv. f(1), f(0),... of roep de functiewaardetabel op. (probeer de beelden ook zelf te berekenen) Noteer de waarden en hun beeld in een tabel. Grafiek Met TI. Domein en bereik Domein altijd R. Bereik aflezen op de grafiek. Veeltermfuncties / versie 5b / p.1 van 10

7 EXPONENTIËLE FUNCTIES 1. DE EXPONENTIËLE FUNCTIE ALGEMENE VORM ANDERE VORMEN EXPONENTIËLE VERBANDEN EXPONENTIËLE GROEI EXPONENTIËLE DALING EXPONENTIËLE GROEI EN DALING ONDERSCHEIDEN DE GROEIFACTOR AANPASSEN GEGEVENS AFLEIDEN UIT EEN FUNCTIEWAARDETABEL OEFENINGEN LINEAIRE EN EXPONENTIËLE GROEI OF DALING LINEAIR VS. EXPONENTIEEL DE GRAFIEK VAN EEN LINEAIRE GROEI / DALING DE GRAFIEK VAN EEN EXPONENTIËLE GROEI / DALING TOEPASSING: ENKELVOUDIGE EN MEERVOUDIGE INTREST OEFENINGEN OPLOSSINGEN DE EXPONENTIËLE FUNCTIE 1.1. ALGEMENE VORM De exponentiële functie heeft de volgende algemene vorm: f: y = a x De onbekende x is de exponent van een getal (a). Het getal a voldoet aan twee voorwaarden: het is strikt positief (groter dan 0) het is niet gelijk aan 1 (want 1 x = 1 dit levert een constante functie op) Exponentiële functies / p.1 van 27 / versie 1 Edulogos cvba-vso

8 DIFFERENTIEQUOTIËNT 1. INLEIDING HET DIFFERENTIEQUOTIËNT OEFENINGEN OPLOSSINGEN INLEIDING Van een rechthoekig stuk karton van 20 bij 30 cm knip je aan de vier hoeken gelijke vierkantjes weg. Je kan de zijkanten nu omhoog plooien. Het resultaat is een rechthoekige doos. De inhoud van de doos die je verkrijgt, hangt af van de afmetingen die je kiest voor de vierkantjes. De inhoud van de doos bij de verschillende afmetingen voor de vierkantjes kan je beschrijven met de volgende functie: f: y = 4x 3 100x x (x = zijde weggesneden vierkantjes). Differentiequotiënt / p.1 van 8 / versie 1 Edulogos cvba-vso

9 STATISTIEK 1. WAT IS STATISTIEK? BASISBEGRIPPEN DE STEEKPROEF KRITISCH OMGAAN MET STATISTIEKEN IN DE MEDIA FREQUENTIETABELLEN GRAFISCHE VOORSTELLING VAN STATISTISCHE GEGEVENS HISTOGRAM TEKEN MET TI CENTRUMGETALLEN REKENKUNDIG GEMIDDELDE MEDIAAN MODUS SPREIDINGSGETALLEN KWARTIELEN VARIANTIE STANDAARDAFWIJKING ALLES IN 1 KEER BEREKENEN WAT IS STATISTIEK? Stel dat je een nieuw soort ontbijtgranen hebt ontwikkeld. Voor je aan de productie en de verkoop ervan begint, wil je toch wel weten hoe groot de kans is dat je product goed zal verkopen in de Belgische supermarkten. Je moet dus te weten komen wat de Belgen s ochtends eten, hoeveel geld ze uitgeven aan ontbijtgranen,... Natuurlijk is het onbegonnen werk om bij elk gezin te gaan aankloppen om de nodige vragen te stellen. Daarom maak je een selectie. Je kiest een beperkt aantal gezinnen dat model zal staan voor alle gezinnen. De groep waar je informatie over wil = de populatie = alle Belgen De groep waar je je vragen aan stelt = de steekproef = een beperkte groep Belgen De statistiek is de wetenschap van het verzamelen, bewerken, interpreteren en voorstellen van gegevens. Het is een onderdeel van de wiskunde. Statistici proberen informatie te krijgen over een groep individuen (= een populatie) door een beperkt aantal van die individuen (= de steekproef) te bestuderen. De zo verkregen informatie is natuurlijk onvolledig en dus onnauwkeurig. Statistici ontwikkelen allerlei methodes om de onnauwkeurigheid zo klein mogelijk te maken. De resultaten van statistisch onderzoek worden gebruikt in de wetenschap, de politiek, de economie, de psychologie, de sociologie, de media,... Statistiek / p.1 van 38 / versie 1

10 DE NORMALE VERDELING 1. KENMERKEN VAN DE NORMALE VERDELING DE GAUSSCURVE INFORMATIE HALEN UIT NORMAAL VERDEELDE GEGEVENS HOEVEEL % WEEGT, BEVAT,... TUSSEN HOEVEEL % WEEGT, BEVAT,... MEER OF MINDER DAN WAT IS HET GEWICHT, DE LENGTE,... VAN EEN % VAN DE WAARDEN? DE Z-SCORE DE STANDAARDNORMALE VERDELING DIVERSE OEFENINGEN OPLOSSINGEN OEFENINGEN KENMERKEN VAN DE NORMALE VERDELING De statistiek is geïnteresseerd in de spreiding van meetwaarden. Hoe ver liggen ze van het gemiddelde? Hoe dicht liggen ze bij elkaar? Bepaalde soorten gegevens vertonen een heel specifiek spreidingspatroon. Het gaat dan om eigenschappen van individuen van eenzelfde soort (bv. lengte, gewicht, intelligentie,...), opeenvolgende prestaties van eenzelfde individu (bv. zwemtijden, gewicht van pakjes gevuld door eenzelfde machine,...),... Hoe herken je zo'n spreidingspatroon? gemiddelde en mediaan zijn (zo goed als) gelijk de dichtheidskromme heeft de vorm van een klok er wordt voldaan aan de ,7-regel Werkwijze: dichtheidskromme maken Neem de frequentietabel met de lengte van de jongens (document Statistiek). Voer de relatieve frequentie in als L6. Bereken gemiddelde, mediaan en standaardafwijking hiervoor gebruik je de absolute frequentie functie ingeven Druk op Y = Zet de cursor bij Y1 Druk "2ND + VARS" en kies optie 1: normalpdf Er staat nu: Y = normalpdf( Vul na het haakje het volgende in: X komma gemiddelde komma standaardafwijking Sluit het haakje. Normale verdeling / p.1 van 24 / versie 2