Voorkennis. 66 Noordhoff Uitgevers bv 11 0, en y = = ,33 = y = 4x(x 2) y = 19x(1 2x) y = 3x( x + 5) y = 4x(4x + 1)

Transcriptie

1 Hoofdstuk 0 - De abc-formule Hoofdstuk 0 - De abc-formule Voorkennis V-a y = 5 = 8 5 = en y = ( ) 5 = 8 5 = b y = + 8 = 6 = 6 en y = + 8 = 0,6 6 8 c y = + ( ) = + = = 6 en y = ( ) + ( ) = 9 6 = = 9 d y = 5 = 0 = = 7 en y = 5 ( ) = 5 = 6 5, V-a y = x 8x d y = 9x 8x y = x(x ) y = 9x( x) b y = x + 5x e y = 6x x y = x( x + 5) y = x(x + ) c y = x 9x f y = 5x + 8x y = 7x( + 7x) y = 9x(5x + 9) V-a x 0 y 6 6 b y x O 6 e b c De coördinaten van de top van de grafiek zijn (0, ). d De grafiek bij de formule is een dalparabool. e Zie de tekening hierboven. f De grafiek van opdracht b is breder dan de grafiek van opdracht e. g De formule van de symmetrieas is voor beide grafieken x. 66

2 V-a In de formule is het getal voor de x negatief. b x + x x(x ) x of x x of x = De symmetrieas ligt bij x = (0 + ) : dus de formule is x =. c x = geeft y = + = + 8 = De coördinaten van de top zijn (, ). d y 6 O 5 x e Het getal voor de x moet dan dichter bij 0 liggen, bijvoorbeeld y = x + x. V-5a De grafiek bij de formule heeft twee snijpunten met de lijn y =. b Voor de coördinaten van de snijpunten moet y = x 5 gelijk zijn aan y =. c x 5 = d x = 6 x = 6 of x = 6 ( ) = = en e ( ) = = , klopt f De vergelijking x 5 = 5 heeft één oplossing. g Het laagste punt van de grafiek van y = x 5 ligt bij 5. V-6a x 7 = 8 x = 5 x = 5 of x = 5 Invullen geeft 5 7 = 5 7 = 8 en ( 5) 7 = 5 7 = 8, klopt. b c + = c = kan niet, dus geen oplossing c ( m ) = 9 m = of m = m = 5 of m = Invullen geeft (5 ) = = 9 en ( ) = ( ) = 9, klopt. d r 6 = 6 r = r = r = of r = Invullen geeft 6 = 6 = 6 en ( ) 6 = 6 = 6, klopt. Hoofdstuk 0 - De abc-formule 67

3 Hoofdstuk 0 - De abc-formule e 5 a = a = 8 a = 6 a = 6 of a = 6 Invullen geeft 5 6 = 5 8 = en 5 ( 6) = 5 8 =, klopt. f ( u + ) = 6 u + = of u + = u of u = 8 u of u = Invullen geeft ( 0 + ) = = 6 en ( + ) = ( ) = 6, klopt. g 0 z = 9 z = z = of z = Invullen geeft 0 = 0 = 9 en 0 ( ) = 0 = 9, klopt. h v + 9 = 5 v = v = 7 v = 7 of v = 7 Invullen geeft = + 9 = 5 en ( 7) + 9 = + 9 = 5, klopt. i ( 9 s) = 9 9 s = 7 of 9 s = 7 s = of s = 6 Invullen geeft (9 ) = 7 = 9 en (9 6) = ( 7) = 9, klopt. 0- Oplossen met ontbinden in factoren a product getallen som en en en 8 en 6 6 en 8 en en en b Van de getallen 8 en is de som +5. c A y = (x + 8)(x ) B Bij een product 6 en som 7 horen de getallen en 6. y = (x + )(x + 6) C Bij een product en som 9 horen de getallen 7 en. y = (x 7)(x ) D Bij een product 0 en som horen de getallen 5 en. y = (x + 5)(x ) E Bij een product 0 en som 7 horen de getallen 0 en. y = (x + 0)(x ) 68

4 a Iedere term aan de linkerkant van de vergelijking 5x 0x kun je door 5x delen. b 5x 0x 5x( x ) 5x of x x of x = c x( 5x 0) x of 5x 0 x of 5x = 0 x of x = d x + 9x + 8 ( x + 6)( x + ) x + 6 of x + x = 6 of x = e Als je alle termen in de vergelijking x + 8x + 6 door twee deelt, dan krijg je de vergelijking x + 9x + 8. f x 6x 9 x x ( x )( x + ) x of x + x = of x = a x x c x x 8 x( x ) ( x + )( x 6) x of x x + of x 6 x of x = x = of x = 6 b 5x 5x d x + 0x 8 5x( x) x + 5x 5x of x ( x + 7)( x ) x of x = x + 7 = x = 7 of x = a x x ( x + )( x ) x + of x x = of x = b De grafiek snijdt de horizontale as bij x = en bij x =. c Voor de coördinaten van de snijpunten moet y = x x gelijk zijn aan y = 8. d x x 0 ( x + )( x 5) x + of x 5 x = of x = 5 Hoofdstuk 0 - De abc-formule 69

5 Hoofdstuk 0 - De abc-formule 5a Alleen als een product van twee factoren gelijk is aan 0 geldt dat de eerste factor gelijk is aan 0 of de tweede factor gelijk is aan 0. Als een product gelijk is aan 6, dan kan de eerste factor gelijk zijn aan 6 als de tweede factor tegelijkertijd gelijk aan is. Maar er zijn ook andere mogelijkheden, bijvoorbeeld de eerste factor is gelijk aan als tegelijkertijd de tweede factor gelijk aan is. b ( x )( x ) = 6 x x x x x + x 7x + = 6 c x 7x + 6 ( x )( x 6) x of x 6 dus x = of x = 6 6a (x )(x + 5) (x )(x + 5) x of x + 5 x = of x = 5 dus de snijpunten zijn (, 0) en ( 5, 0). b Als je de linkerkant van de vergelijking deelt door houd je (x )(x + 5) over en als je de rechterkant van de vergelijking door deelt houd je over. c x +5 x x +5x x 0 x + x 0 = x + x + (x + )(x + ) x + of x + dus x = of x = 7a x = geeft ( + 6)( + ) = ofwel = 8 en dat klopt. x = 9 geeft ( 9 + 6)( 9 + ) = 9 ofwel 6 = 6 en dat klopt. b A ( x )( x + 5) = 9 D (x )(x + ) = x + x 5 = 9 (x )(x + ) = x + x x = ( x )( x + 6) x = x of x + 6 x = of x = x = of x = 6 E x 6x = B x x = x x + 8x = 7 x x x + 8x + 7 ( x )( x + ) (x + 7)(x + ) x of x + x + 7 of x + x = of x = x = 7 of x = C (x )(5 x) = 0 (x )(5 x) = 5 x + 8x 5 = 5 x + 8x x(x 8) x of x 8 dus x of x = 8 70

6 0- De abc-formule 8a x 6x + 8 ( x )( x ) x of x x = of x = De coördinaten van de snijpunten van grafiek A met de x-as zijn (, 0) en (, 0). b Grafiek C heeft geen snijpunten met de x-as, dus de vergelijking x 6x + 0 heeft geen oplossingen. c Er zijn geen twee gehele getallen te vinden waarvan het product +,75 en de som 6 is. d 0, 5 6 0, 5 +, 75, 5 +, 75 en 5, 5 6 5, 5 +, 75 = 0, 5 +, 75, dus het klopt. 9a x + 7x + a =, b = 7 en c = D = 7 = 5 x = of x = 7 5 x = of x = b ( ) = + = +, klopt. 9 ( ) = +, klopt. c Nee, hij moet het stukje + tussen haakjes zetten voordat hij deelt door. 0a x + x 6 a =, b = en c = 6 D = 6 = 576 x = = + of x = 576 = 6 6 x = 6 = of x = = b k 8k + 5 a =, b = 8 en c = 5 D = ( 8) 5 = x = 8 + of x = 8 x, of x 0,78 c v v a =, b = en c = D = ( ) = 5 x = + 5 of x = 5 x 6,08 of x 0,08 d x + 5x a =, b = 5 en c = D = 5 = 9 x = = 5 + = of x = 5 9 = 5 = 8 x = of x = Hoofdstuk 0 - De abc-formule 7

7 Hoofdstuk 0 - De abc-formule a Het getal a heeft hier de waarde. b D = ( 6 ) = = 0 c x = of x = 6 0 x = = of x = 6 5 = = 6 d a =, b = 6 en c =,75 D = ( 6), 75 = 6 = 5 x = of x = 6 5 x = = = 5 of x = = Ja, je vindt de afgelezen oplossingen uit opdracht 8d. a a =, b = 5 en c = b D = 5 = 5 6 = 9 c x = of x = x = = = of x = 5 = 8 = d De waarde van a is. e D = ( ) = = 6 x = + 6 of x = x = = = 6 of x = = = a a =, b = 5 en c = 6 b D = 5 6 = = x = 5 + = 5 + of x = 5 = 5 c Sienna krijgt het goede antwoord. d De andere oplossing is x 6,. a x x 6 x x (x )(x + ) x of x + x = of x = De snijpunten zijn (, 0) en (, 0). b x 0 5 y Zie de tekening hiernaast. 7 y 6 O x b d 6 8 0

8 c x x 7 a =, b = en c = 7 D = ( ) 7 = 7 x = + 7 of x = 7 x, of x, De snijpunten zijn (,; 0) en (,; 0). d Zie de tekening bij opdracht b. e De toppen zijn (, 8) en (, 9). Het verschil is. Je krijgt de uitkomsten van de tweede formule door van de uitkomsten van de eerste formule af te trekken. De tweede parabool ontstaat dus door de eerste omlaag te verschuiven. 0- De discriminant gebruiken 5a De grafiek snijdt de x-as niet, dus de vergelijking x + x heeft geen oplossing. b a =, b = en c = D = = c De discriminant is negatief. In de abc-formule komt dan een negatief getal onder het wortelteken te staan en dan heeft de abc-formule geen uitkomst. 6a De grafiek snijdt de x-as niet, dus de vergelijking x + x + heeft geen oplossing. b a =, b = en c = D = = De wortel uit een negatief getal bestaat niet, dus heeft de vergelijking geen oplossing. c a =, b = en c = D = x = + 0 of x = 0 x = + 0 = of x = 0 = Twee keer dezelfde oplossing, dus eigenlijk maar één oplossing. d a =, b = en c D = 0 = x = + of x = x = + 0 = of x = = = 7a a =, b = en c = 0 D = 0 = D > 0, dus er zijn twee oplossingen. b x 9x + a =, b = 9 en c = D = ( 9) = 7 D < 0, dus er is geen oplossing. Hoofdstuk 0 - De abc-formule 7

9 Hoofdstuk 0 - De abc-formule c 8x 6x + 8 a = 8, b = 6 en c = 8 D = ( 6) 8 8 D, dus er is één oplossing. d a =, b = en c = D = ( ) D, dus er is één oplossing. 8a - b De manier van Agnes geeft a =, b = 7 en c = 8 D = 7 8 = 8 x = of x = 7 8 x = = = of x = = = 8 De manier van Bob geeft ( x + 8)( x ) x + 8 of x x = 8 of x = Met beide manieren krijg je dezelfde antwoorden. c - 9a ( r + )( r 7) r + of r 7 r = of r = 7 b 5y 7y + a = 5, b = 7 en c = D = ( 7) 5 = 9 x = of x = x = of x = = 0 5 c k k + ( k )( k ) k of k k = of k = d n + n 6 n + n 8 (n + )(n ) n + of n n = of n = 0a a =, b = 5, c en D = 5 0 = 5 b x = of x = x = = of x = = = 5 c Het kan sneller met ontbinden in factoren. x( x 5) x of x 5 x of x = 5 7

10 d a =, b, c = en D = 576 e x = of x = x + 0 = = of x = = = f Het kan sneller, want x = oplossen geeft x = of x =. a x x x(x ) oplossingen b x x + (x )(x ) oplossing c x + lineaire vergelijking, dus oplossing d x = 9 De uitkomst van een kwadraat kan niet negatief zijn, dus geen oplossingen. e x x + a =, b = en c = D = ( ) = 8 D < 0 dus geen oplossingen f x + 6 x = 6 oplossingen a x + 6x + a =, b = 6 en c = D = 6 = x = 6 + of x = 6 x 0,55 of x 5,5 b Je hebt de x-coördinaat berekend van de snijpunten van de parabool met de x-as. c x + 6x + = x + 6x + a =, b = 6 en c = D = 6 x = of x = 6 0 x 0,76 of x 5, De snijpunten zijn ( 0,76; ) en ( 5,; ). d x + 6x + = 6 x + 6x + 9 a =, b = 6 en c = 9 D = 6 9 De parabool heeft één snijpunt met de lijn y = 6. e Omdat de parabool de lijn y = 6 slechts één keer snijdt, ligt de top van de parabool op de lijn y = 6. De lijn y = 9 ligt onder de top van de parabool en snijdt de parabool dus niet. Hoofdstuk 0 - De abc-formule 75

11 Hoofdstuk 0 - De abc-formule 0- Kwadratische vergelijkingen a De oplossingen zijn x = 6 of x =. b Abe denkt dat het product van twee factoren is als één van de factoren is. Dat geldt echter alleen als het product 0 is. c Klaartje denkt dat c =, maar c =. Ze is vergeten eerst op nul te herleiden. d Foppe x + 6 of x x = 6 of x = Geke x = + 6 of x = 6 x = = = of x = = = a x + 6x = x + 6x x + x 7 D = 7 = x = + of x = x,8 of x,8 b t 8t + 6 = t 8t + 7 ( t 7)( t ) t 7 of t t = 7 of t = c w + 5w = 6 w + 5w + 6 D = 5 6 = Er zijn geen oplossingen. 5a ( x + ) = 6 x + x + = 6 x + x 5 ( x + 5)( x ) x + 5 of x x = 5 of x = b ( x + ) = 6 (x + ) = 9 x + = of x + = x = of x = 5 6 d 5r( r ) = 0 5r 5r = 0 5r 5r 0 r r ( r )( r + ) r of r + r = of r = e ( p + )( p ) = 6 p + p = 6 p + p 8 D = 8 = p = + of p = p,7 of p,7 76

12 c A (x ) = 6 D 0 (0 x) = 6 x = of x = ( 0 x) = x = 7 of x = 0 x = of 0 x = B (x 8) = 9 x = 8 of x = x 8 = 7 of x 8 = 7 x = of x = x = 5 of x = x = 7 of x = C (x + 7) + = 55 ( x + 7) = x + 7 = of x + 7 = x = 5 of x = 9 6a Vergelijking D ( p 7)( p + ) is al geschreven als een product van factoren. p 7 of p + p = of p = b Bij vergelijking C x 5x kun je makkelijk ontbinden in factoren. x( x 5) x of x 5 x of x = c y y = 6 y y 6 y y ( y + )( y ) y + of y y = of y = d 0, x 0, x 0, x x ( x + )( x ) x + of x x = of x = e h h 8 a =, b = en c = 8 D = ( ) 8 = 5 h = + 5 of h = 5 h = = = of h = = = Hoofdstuk 0 - De abc-formule 77

13 Hoofdstuk 0 - De abc-formule 7a p + p = p + p (p + )(p ) p + of p p = of p = b ( x)(x + 7) x of x + 7 = x of x = 7 x = of x = c 6m + m 5 m 6m 5 D = ( 6) 5 = 56 m = of m = 6 56 m 6,7 of m 0,7 d 0a a a(0 a) a of 0 a a of a = 0 a of a = e (x ) = x = of x = x = of x = 0-5 Gemengde opdrachten f x(x ) = x x + a =, b = en c = D = ( ) = 8 D < 0 dus geen oplossingen g d + 9d + 6 d + d + (d + )(d + ) d + of d + d = of d = h x + x(5 x) x + 5x x x + 9x x(x ) x of x x of x = i x = 98 x = 9 x = 7 of x = 7 j (x )(x + ) x =0 of x + x = of x = x = of x = 8 Het is voor je school, voor jou en voor de parabool te hopen dat dit klopt. 9a Bij euro prijsstijging worden er 00 : 0 = 5 seizoenskaarten minder verkocht. b Bij een prijs van 900 euro voor een seizoenskaart worden er 0 verkocht. Bij elke euro minder voor een seizoenskaart worden er 5 meer verkocht. Bij een prijs van 0 euro worden er dus = 500 verkocht. Het startgetal is dus 500. Per euro stijging neemt het aantal verkochte kaarten met 5 af, dus het hellingsgetal is 5. Dus de formule is a = 500 5p. c 500 5p = 000 5p = 500 p = 00 De seizoenskaart moet dan e 00,- kosten. d Bij een prijs van e 00,- worden er 000 seizoenskaarten verkocht. De totale opbrengst voor de club is dan = euro. e De totale opbrengst is gelijk aan het aantal seizoenskaarten vermenigvuldigd met de prijs per seizoenskaart, dus TO = p( p). 78

14 f p( 500 5p) p of 500 5p p of p = 900 Bij een prijs van e 50,- is de totale opbrengst maximaal. Invullen van p = 50 geeft TO = 50 ( ) = = De maximale totale opbrengst is e.0.500,-. g Invullen van p = 50 geeft a = = 50. Als de totale opbrengst maximaal is worden er 50 seizoenskaarten verkocht. 0a De oppervlakte van het vierkante stuk karton, inclusief het vierkantje rechtsonder, is ( z + ). Het vierkantje rechtsonder met een oppervlakte van = moet daar nog van af. Dat geeft dan de formule A = ( z + ). b ( z + ) = 60 geeft ( z + ) = 6 z + = 8 of z + = 8 z = 5 of z = c De oplossing z = voldoet hier niet, want de lengte van een vierkant kan niet negatief zijn. a b De formule hoort bij een dalparabool, dus blijven de viaducten en over. Als je a invult, dan is h = = 7, dus blijven de viaducten en over. 0 De discriminant bij de vergelijking a a + 7 is D = ( ) 7 =, 0 0 dus er zijn twee snijpunten met de horizontale as. Viaduct hoort bij deze formule. De formule hoort bij een bergparabool, dus blijven de viaducten, en 5 over. Als je a invult, dan is h = = 5, dus blijven de viaducten en 5 over. 50 De discriminant bij de vergelijking a + a 5 is D = 5 =, dus er zijn geen snijpunten met de horizontale as. Viaduct 5 hoort bij deze formule. a 5t + 0t + 60 t t ( t 6)( t + ) t 6 of t + t = 6 of t = Na 6 seconden komt de kogel op de grond. De waarde t = voldoet hier niet. b Na ( + 6) : = seconden bereikt de kogel zijn maximale hoogte. c De kogel komt maximaal = = 80 meter hoog. d 5t + 5t + 60 t t ( t )( t + ) t of t + t = of t = De symmetrieas ligt bij t, 5. Invullen van t, 5 geeft h = 5 0, , =, 5 +, = 6, 5. Deze kogel komt maximaal 6,5 meter boven de grond. Hoofdstuk 0 - De abc-formule 79

15 Hoofdstuk 0 - De abc-formule Test jezelf T-a h 6h 0 d 5p 0p ( h + )( h 0) 5p( p ) h + of h 0 5p of p h = of h = 0 p of p = b a + = a e ( q + )( q + ) a + a + q + q + a + a + q + q 8 ( a + )( a + ) ( q + 6)( q ) a + of a + q + 6 of q a = q = 6 of q = c t( t 6) = 8 f s( 6 s) t 6t 8 s of 6 s t t s of s = 6 ( t + )( t ) s of s = t + of t t = of t = T-a x 6x + 8 d s s a =, b = 6 en c = 8 a =, b = en c = D = ( 6) 8 = D = ( ) = x = 6 + of x = 6 s = + of s = x = of x = s,6 of s 0,6 b r 5r + e a 8a + 8 a =, b = 5 en c = a =, b = 8 en c = 8 D = ( 5) = D = ( 8) 8 r = 5 + of r = 5 a = r = of r = a = c w + 6w f 5 n n a =, b = 6 en c = a =, b = en c = 5 D = 6 = D = ( ) 5 = D < 0 dus geen oplossingen n = + of n = n,5 of n,5 T-a x 8x + c x + 7 5x a =, b = 8 en c = a =, b = 5 en c = 7 D = ( 8) D = ( 5) 7 = D dus oplossing D < 0 dus geen oplossingen b x + x d x + x + a =, b = en c = a =, b = en c = D = = D = = D > 0 dus oplossingen D > 0 dus oplossingen 80

16 T-a De vergelijking is te herleiden tot x = 6 met als oplossingen x = en x =. b A x = of x = B (x )(x + ) x of x + x = of x = C x + 9x + 0 (x + )(x + 5) x + of x + 5 x = of x = 5 c D 7 x x = 7 x = 9 x = of x = E x x + x x + (x )(x ) x x = F x + x x(x 7) x of x 7 x of x = 7 d bijvoorbeeld (x )(x ) e bijvoorbeeld (x + ) = 9 T-5a A ( x + ) = 9 x + = of x + = x = of x = 5 B t t t( t ) t of t t of t = F ( a + )( a 5, 5) a + of a 5, 5 a = of a = 5, 5 G ( p ) = ( p ) = p = of p = p = of p = p = of p = H x 8x + 6 ( x )( x ) x of x x = Hoofdstuk 0 - De abc-formule 8

17 Hoofdstuk 0 - De abc-formule b C q + q + 0, 5 a =, b = en c,5 D = 0, 5 q = + 0 of q = 0 q = D 0, 5r r = 0, 5r r a,5, b = en c = D = ( ) 0, 5 = 5 r = + 5 of r = 5 0, 5 0, 5 r, of r, E k( k + ) = 8 k k = 8 k k 8 a =, b = en c = 8 D = ( ) 8 = 6 D < 0, dus de vergelijking heeft geen oplossing. T-6a De discriminant moet nul zijn, want parabool heeft één snijpunt met de x-as. b A hoort bij want D = 6, dus er is één snijpunt met de x-as. B hoort bij want D = =, dus er zijn geen snijpunten met de x-as. C hoort bij want D = ( 6) = 8, dus er zijn twee snijpunten met de x-as. T-7a Als Richard 0 oliebollen verkoopt, dan hoort daar q = bij. b Invullen van q = geeft TW = + 60 = = 0. Richard maakt e 0,- winst of e 0,- verlies. c q + 60q q 5q + 6 ( q )( q ) q of q q = of q = De coördinaten van de snijpunten van de grafiek van TW met de horizontale as zijn (, 0) en (, 0). d Richard maakt bij 0 oliebollen en bij 0 oliebollen geen winst of verlies. e Richard moet (0 + 0) : = 75 oliebollen verkopen om een zo groot mogelijke winst te maken. f Invullen van q = 7, 5 geeft TW = 7, , 5 = = 8. Richard kan maximaal e 8,- winst maken. 8