Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr."

Transcriptie

1 Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (

2 1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website, maar deze is helaas niet meer online. 2. Oefeningen uit vorige examens 2001 Augustus Vraag 4 (ook 2007 Vraag 4) Als x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r deelbaar is door x 3 + 3x 2 + 9x + 3, dan is p.(q+r) gelijk aan <A> 12 <B> 15 <C> 18 <D> Juli Vraag 2 Als 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r deelbaar is door 4x 3 +7x 2 21x 18, dan is p+q+r gelijk aan: <A> 12 <B> 13 <C> 14 <D> Augustus Vraag 10 Gegeven is de vergelijking van een parabool: y = ax 2 + ax + 4 Als x = 2 een nulpunt is van deze functie, hoeveel bedraagt dan de waarde van parameter a? <A> -2/3 <B> 2/3 <C> -3/2 <D> 3/2 dr. Brenda Casteleyn Page 2

3 2010 Augustus Vraag 8 als x 3 +px 2 qx 4 deelbaar is door x2 x+2. Waaraan is p q dan gelijk? <A> -1 <B> 1 <C> 3 <D> Augustus Vraag 4 We beschouwen de volgende veeltermfunctie: f(x)=x 4 19x Van deze veeltermfunctie is geweten dat ze x=4 en x=-4 als nulpunten heeft. De veeltermfunctie is dan deelbaar door: <A> <B> <C> <D> x²-3 x²+3 x²+4 x² Augustus Vraag 9 versie 1 We beschouwen de volgende veeltermfunctie: y = x 3 +ax 2 +9x. Men weet dat deze functie slechts een nulpunt heeft. Welke waarde kan parameter A hebben? <A> <B> <C> <D> -6>a>6-6<a<6-6<a< 6 a=-3 en a= Augustus Vraag 9 versie 2 We beschouwen de volgende 2 de graadsfunctie y = 2x 2 +ax+18. Men weet dat deze functie slechts 1 nulpunt heeft. Welke waarde kan parameter a dan hebben <A> a=0 <B> a=-3 en a=+3 <C> a=-6 en a=+6 <D> a=-12 en a=+12 dr. Brenda Casteleyn Page 3

4 2012 Juli Vraag 3 Gegeven de volgende gelijkheid: () = ( ) + Hoeveel bedraagt de som (p+q) <A> -2 <B> 1 <C> 2 <D> Augustus Vraag 2 versie 1 Gegeven is de volgende gelijkheid tussen twee breuken: = Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking: p.q + q <A> -2 <B> 0 <C> 2 <D> Augustus Vraag 2 versie 2 Gegeven is de volgende gelijkheid tussen twee breuken: = Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking: p.q + q <A> -6 <B> 0 <C> 6 <D> Augustus Vraag 2 versie 3 Gegeven is de volgende gelijkheid tussen twee breuken: = Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking: p.q + q dr. Brenda Casteleyn Page 4

5 <A> -6 <B> 0 <C> 6 <D> Juli Vraag 10 We beschouwen drie rechten: y + x = 3 2x-y = 3 y - mx =5 Voor welke waarde van m hebben deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt? <A> 2 <B> 1 <C> -1 <D> Augustus Vraag 10 We beschouwen de volgende drie functies van de eerste graad: 2x - 7y = 23 4x + 5y = -11 m.x + y = 2.m - 3 Als deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt hebben, hoeveel bedraagt dan de parameter m? <A> m = 0 <B> m =1 <C> m = 2 <D> m = Juli Vraag 1 De rest na deling van veelterm A(x) door (x+1) is 2. De rest na deling vabn veelterm A(x) door (x-3) is 10. Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door x 2 2x 3 <A> 20 dr. Brenda Casteleyn Page 5

6 <B> 2x + 4 <C> 2x + 10 <D> -2x Augustus Vraag 1 versie 1 De rest na deling van veelterm van de tweede graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x 2-1) is 2x 4. Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? <A> -6 <B> -4 <C> -5 <D> Augustus Vraag 1 versie 2 De rest na deling van veelterm van de derde graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x 2-1) is 2x 4. Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? <A> -6 <B> -4 <C> -5 <D> Augustus Vraag 8 Gegeven zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte: Y = mx + 1/3 Y = -x 2 + x + 2 Voor hoeveel waarden van m heeft de rechte een raakpunt aan de parabool? <A> 0 <B> 1 <C> 2 <D> Meer dan Juli Vraag 8 Gegeven is een stelsel van twee vergelijkingen met een parameter a. x + ay = 2 dr. Brenda Casteleyn Page 6

7 ax + y = a - 1 Dit stelsel is oplosbaar als en slechts als: <A> a ϵ R <B> a -1 <C> a 1 <D> a ϵ ]-1;1[ 2015 Augustus Vraag 7 Het stelsel met parametr a ϵ R is oplosbaar + ( 1) = (4 ) ( 1) + = + 2 <A> als en slechts als a 0 <B> als en slechts als a ϵ/ 0,2 geen element van verzameling <C> als en slechts als a 2 <D> Voor alle a ϵ R 2015 Augustus Vraag 11 De parameter a ϵ R is zo dat een van de oplossingen van de vierkantsvergellijking 4x 2 15x + 4a 3 = 0 gelijk is aan het kwadraat van de andere oplossing. In welk van de volgende intervallen liggen alle mogelijke waarden van a? <A> 0,5 <B> 1,4 <C> 2,3 <D> 3, Juli geel Vraag 1. Als veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reële getallen, dan geldt <A> b 1 en a = " <B> b 1 en a = <C> b 1 en a = - "# " "# " "# dr. Brenda Casteleyn Page 7

8 <D> b 1 en a = - " "# 2016 Juli geel Vraag 12 Het stelsel x y = 3 Cx + y = 4 heeft een oplossing (x,y) in het eerste kwadrant als en slechts als <A> c > -1 <B> 0 < c < 4/3 <C> -1 < c < 4/3 <D> c > 4/ Juli geel Vraag 5 De deling van de veelterm p(x) = x 3 + mx 2 + mx + 4 door x 2 en x + 2 levert dezelfde rest op. Hoeveel is die rest? <A> -16 <B> -12 <C> -8 <D> Juli geel Vraag 11 Als c een reële constante is, dan heeft het stelsel x y =3 cx + y =4 een oplossing (x,y) met x > 0 als en slechts als <A> c > -1 <B> 0 < c < 4/3 <C> -1 < c < 4/3 <D> c > 4/ Augustus geel Vraag 5 Gegeven zijn de reële getallen a en b. Bij deling van de veelterm P(x) = x 2 + bx + ab door x + a is de rest gelijk aan dr. Brenda Casteleyn Page 8

9 <A> a 2 <B> b a <C> a b <D> b dr. Brenda Casteleyn Page 9

10 3. Oplossingen oefeningen 2001 Augustus Vraag 4 (ook opgave van 2007 augustus) Gegeven: x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r is deelbaar is door x 3 + 3x 2 + 9x + 3 Gevraagd: p.(q+r) =? Oplossing: Vermits de veelterm deelbaar is, geldt: F(x) = quotiënt. g(x) waarbij het quotiënt = (x+a) Dus: x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r = (x+a)( x 3 + 3x 2 + 9x + 3) Werk het rechterlid uit: x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r = x 4 + 3x 3 + 9x 2 + 3x + ax 3 +3ax 2 + 9ax + 3a x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r = x 4 +(3+a)x 3 + (9+3a)x 2 + (3+9a)x + 3a Vergelijk nu de beide leden (let op de kleurtjes): 4 = 3+a a =1 6p = 9+3a p =2 4q = 9+3a q =3 r = 3a r = 3 Dus dan is p(q+r) = 2(3+3) =12 Antwoord A Je kan dit ook oplossen door een staartdeling uit te voeren en de rest dan gelijk te stellen aan Juli Vraag 2 Gegevens: 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r deelbaar is door 4x 3 +7x 2 21x 18, Gevraagd: p+q+r =? Oplossing: Vermits de veelterm deelbaar is, geldt: dr. Brenda Casteleyn Page 10

11 F(x) = quotiënt. g(x) en neem voor het quotiënt = (2x+a) want als je (x+a) neemt kan je nooit aan 8x 4 komen. Dus 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r = (2x+a)( 4x 3 +7x 2 21x 18) Werk het rechterlid uit: 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r = 8x x 3-42x 2 36x + 4ax 3 +7ax 2-21ax-18a 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r = 8x 4 + (14+4a)x 3 + (7a-42)x 2 = (-21a+36)x -18a Coëfficiënten gelijk stellen a = 10 a = -1 7a-42 = -7p p = 7-18a = 9r r = 2-21a-36 = -5q q = 3 P+q+r = = 12 Antwoord A Augustus Vraag 10 Gegeven: de vergelijking van een parabool: y = ax 2 + ax + 4 Gevraagd: Als x = 2 een nulpunt is van deze functie, hoeveel bedraagt dan de waarde van parameter a? Oplossing: a.(2) 2 + a = 0 4a + 2a = -4 a = -4/6 a = -2/3 Antwoord A 2010 Augustus Vraag 8 Gegeven: x 3 +px 2 qx 4 deelbaar is door x 2 x+2. Gevraagd: p q =? Oplossing: dr. Brenda Casteleyn Page 11

12 x 3 +px 2 qx 4 = (x+a) (x2 x+2) x 3 +px 2 qx 4 = x 3 +ax 2 x 2 +2x +2a ax x 3 +px 2 qx 4 = x 3 +(a-1)x 2 +(2-a)x +2a Coëfficiënten gelijk stellen: a-1 = p 2-a = q 2a = -4 a = -2 Dus: p = -3 en q = -4 p-q = 1 Antwoord B 2011 Augustus Vraag 4 Gegeven: veeltermfunctie f(x)=x 4 19x heeftx=4 en x=-4 als nulpunten Gevraagd: veeltermfunctie is deelbaar door? Oplossing: (x 4 19x 2 +48) =? (x+4)(x-4) Via Horner: Dus: (x 4 19x 2 +48) = (x+4) (x 3-4x 2-3x+12) Opnieuw Horner op de laatste factor: (x 2-3) Antwoord A 2011 Augustus Vraag 9 versie 1 dr. Brenda Casteleyn Page 12

13 Gegeven: veeltermfunctie: y = x 3 +ax 2 +9x, die slechts één nulpunt heeft. Gevraagd waard van parameter a? Oplossing: = x 3 +ax 2 +9x = x(x 2 +ax+9) Nulpunten: x = o of (x 2 +ax+9) = 0 Maar slechts één nulpunt nl x =0, dus dan mag (x 2 +ax+9) geen nulpunt hebben. Dat is het geval als discriminant negatief is: dus als a 2 36 < 0 of a 2 <36-6<a<6 Antwoord B 2011 Augustus Vraag 9 versie 2 Gegeven: 2 de graadsfunctie y = 2x 2 +ax+18 heeft slechts 1 nulpunt heeft. Gevraagd: waarde van parameter a Oplossing: De functie 2x 2 +ax+18 heeft één nulpunt als discriminant gelijk is aan 0 Dus als a = 0 a 2 =144 of a = 12 en a=-12 Antwoord D 2012 Juli Vraag 3 Gegeven: () = ( ) + Gevraagd: Hoeveel bedraagt de som (p+q) Oplossing: () = ( ) + Zet op gelijke noemers: = ( ) () ( )() ( )() 2x 2 +3x=p(x 2 +2x+1)+qx+2q 2x 2 +3x=px 2 +2px+p+qx+2q dr. Brenda Casteleyn Page 13

14 2x 2 +3x=px 2 +(2p+q)x+p+2q Stel de coëfficiënten gelijk: p = 2 2p+q = 3 q=-1 P+2q = 0 q=-1 P+q = 2-1 =1 Antwoord B 2012 Augustus Vraag 2 versie 1 Gegeven: #$%#& ' = + # Gevraagd: p.q + q? Oplossing: Zet rechterlid op gelijke noemer: ( # ) ( ) ( )( # ) = # ( ' ) = () (#) ( ' ) Stel coëfficiënten gelijk aancoëfficienten in linkerlid van gegeven vergelijking: p+q = -6 -p+q+2 = 8 p+2 = -4 p = -6 Dus p+q = -6 wordt: -6 + q = -6 q = 0 p.q + q = = 0 Antwoord B 2012 Augustus Vraag 2 versie 2 Gegeven && ' = + # Gevraagd: p.q + q? Zet op gelijke noemers: ( # ) ()( ) ( )( # ) = # ( ' ) = () (#) ( ' ) dr. Brenda Casteleyn Page 14

15 Stel de coëfficiënten gelijk aan coëfficienten in linkerlid van gegeven vergelijking: p+q = 6 -p+q+2 = 0 P+2 = 6 0 = 4 Dus p+q q = 6 q =2 En p+q+2 = 0 of = 0 Dus p.q + q = = 10 Antwoord D 2012 Augustus Vraag 2 versie 3 Gegeven: #&#& ' = + # # Gevraagd: p.q + q? Zet op gelijke noemer: ( # ) (#)( ) ( )( # ) = # ## ( ' ) = () (##)# ( ' ) Stel coëfficiënten gelijk aan coëfficienten in linkerlid van gegeven vergelijking: p + q = -6 -p + q -2 = 0 p 2 = -6 p = -4 Dan wordt p + q = q = -6 q = -2 Test: -p + q -2 = = 0 p.q + q = 6 Antwoord C Juli Vraag 10 Gegeven: drie rechten: y + x = 3 2x-y = 3 y - mx =5 dr. Brenda Casteleyn Page 15

16 Gevraagd: Voor welke waarde van m hebben deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt? Oplossing: Bepaal het snijpunt van de eerste twee rechten y = -x +3 = 2x > x = 2. dus y = of y = = 1 Vul dit punt in in de derde vergelijking om m te vinden: y - mx =5 --> 1 - m.2 = 5 dus m = -2 Antwoord D Augustus Vraag 10 Gegeven: drie functies van de eerste graad: 2x - 7y = 23 4x + 5y = -11 m.x + y = 2.m - 3 Gevraagd: Als deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt hebben, hoeveel bedraagt dan de parameter m? Oplossing: Bepaal het snijpunt van de eeste twee rechten: y = # #* = #$# + (23-2x).5 = (-4x-11)(-7) x = 28x = 38x --> x =1 Bepaal y: (23-2)/-7 = (-4-11)/5 = -3 Vul nu de waarde van x en y in in de derde vergelijking om m te vinden: m.x + y = 2.m - 3 dr. Brenda Casteleyn Page 16

17 m.1-3 = 2.m -3 m =0 Antwoord A 2014 Juli Vraag 1 Gegeven: De rest na deling van veelterm A(x) door (x+1) is 2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x-3) is 10. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door x 2 2x 3 Oplossing: Bereken de rest van veelterm A(x) = x 2 + bx + c bij deling door x+1 met regel van Horner: dr. Brenda Casteleyn Page 17

18 a b c -1 -a -b+a a b-a c-b+a Deze rest: c-b+a = 2 (gegeven) Bereken de rest van veelterm A(x) = x 2 + bx + c bij deling door x-3 met regel van Horner: a b c 3 3a 3b+9a a b+3a c+3b+9a Deze rest: c+3b+9a = 10 (gegeven) We vinden nu twee vergelijkingen: c b + a = 2 c + 3b + 9a = 10 Door de eerste vergelijking af te trekken van de eerste kunnen we c elimineren: 4b +8a = 8 of b+2a = 2 Door de eerste vergelijking met 3 te vermenigvuldigen en daarna op te tellen bij de tweede kunnen we b elimineren: 4c +12a = 16 of c+3a =4 We delen de veelterm nu door x 2-2x -3 : ax 2 + bx +c x 2 2x -3 ax 2 2ax -3a a (b+2a)x +(c+3a) We weten al dat b+2a = 2 en c+3a = 4; dus vinden we als rest: 2x + 4 Antwoord B 2014 Augustus Vraag 1 versie 1 Gegeven: De rest na deling van veelterm van de tweede graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x 2-1) is 2x 4. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? dr. Brenda Casteleyn Page 18

19 Oplossing: Bereken de rest van veelterm A(x) = x 2 + bx + c bij deling door x-1 met regel van Horner: a b c 1 a b+a a b+a c+b+a Deze rest: c+b+a = -2 (gegeven) Bereken de rest van veelterm A(x) = bij deling door x 2-1: ax 2 + bx +c x 2 1 ax 2 -a a bx +(a+c) bx + (a+c) = 2x -4 (gegeven) b = 2 a + c = -4 a + b + c =-2 Deel nu de veelterm door x + 1 ax 2 + bx +c x +1 ax 2 + ax ax + (b-a) (b-a)x + c (b-a)x + b-a a+c-b De rest is dus a+c-b. Invullen met waarden: a+ c = 4 en b = 2 geeft: -4-2 = -6 Antwoord A 2014 Augustus Vraag 1 versie 2 Gegeven: De rest na deling van veelterm van de derde graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x 2-1) is 2x 4. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? Bereken de rest van veelterm A(x) = bij deling door x 2-1: dr. Brenda Casteleyn Page 19

20 ax 3 + bx 2 + cx +d x 2 1 ax 3 -ax ax + b bx 2 bx 2 +(c+a)x + d - b (c+a)x + (b+d) (c+a)x + (b+d) = 2x 4 (gegeven) c + a = 2 b + d =-4 Deel nu de veelterm door x + 1 ax 3 + bx 2 + cx +d x+1 ax 3 + ax 2 ax 2 + (b-a)x + (c+a-b) (b-a)x 2 +cx + d (b-a)x 2 + (b-a)x (c+a-b)x +d (c+a-b)x + c+a-b d+b-(c+a) De rest is dus d + b (c+a). Invullen met waarden: -4-2 = -6 Antwoord A 2014 Augustus Vraag 8 Gegeven zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte: Y = mx + 1/3 Y = -x 2 + x + 2 Gevraagd: Voor hoeveel waarden van m heeft de rechte een raakpunt aan de parabool? Oplossing: mx + 1/3 = -x 2 + x + 2 x 2 + (m- 1)x + 1/3 2 = 0 dr. Brenda Casteleyn Page 20

21 x 2 + (m- 1)x -5/3 = 0 Voor raakpunten is discriminant = 0 (m-1) 2 4.(-5/3) = 0 (m-1) 2 = - 20/3 Geen enkele waarde van m voldoet want een negatief getal kan nooit een kwadraat zijn. Antwoord A Juli Vraag 8 Gegeven is een stelsel van twee vergelijkingen met een parameter a. x + ay = 2 ax + y = a - 1 Dit stelsel is oplosbaar als en slechts als? Oplossing: x + ay = 2 ax + y = a - 1 ax + a 2 y = 2a (beide leden vermenigvuldigd met a) ax + y = a - 1 De vergelijkingen van elkaar aftrekken zodat 'ax' wegvalt: a 2 y - y = 2a -(a-1) a 2 y - y = 2a -(a-1) (a 2-1)y = a + 1 y =,, # =, (,# )(, ) = 1/a-1 De noemer mag niet nul zijn, dus a 1 Antwoord C 2015 Augustus Vraag 7 Gegeven: Het stelsel dr. Brenda Casteleyn Page 21

22 + ( 1) = (4 ) ( 1) + = + 2 met parametr a ϵ R is oplosbaar Gevraagd: voor welke a oplosbaar? Oplossing De snelste manier is 0 en 2 invullen en zien of het stelsel dan oplosbaar is. Als we 0 invullen voor a, krijgen we als oplossing: x = y en x = y-2 strijdig stelsel, dus mogelijkheid D valt af, A is mogelijk juist Als we 2 invullen voor a, krijgen we als oplossing: x = 0 en y = 4 dus mogelijkheid B en C valt af Formele oplossing: Vermenigvuldig in eerste vergelijking van het stelsel beide leden met (a-1) en trek dan de twee vergelijkingen van elkaar af: (a-1)x + (a-1) 2 y = (a-1)(4a a 2 ) -(a-1)x + y = a + 2 ((a-1) 2 1)y = (a-1)(4a a 2 ) (a+2) (a a 1)y = 4a 2 a 3 4a + a 2 a 2 y = #,' +, #+,#, #, y = #,' +, #+,#,(,#) Teller is nog deelbaar door (a-2)? Via Horner: y = (,#)(#,, ),(,#) dr. Brenda Casteleyn Page 22

23 y = (#,, ), Stelsel is strijdig voor a = 0 Antwoord A 2015 Augustus Vraag 11 Gegeven: De parameter a ϵ R is zo dat een van de oplossingen van de vierkantsvergellijking 4x 2 15x + 4a 3 = 0 gelijk is aan het kwadraat van de andere oplossing. Gevraagd: In welk van de volgende intervallen liggen alle mogelijke waarden van a? Oplossing:x 1 Ontbindt in factoren met volgende formule: ax bx + c = a(x-x 1 )(x-x 2 ) en neem als nulpunten x 1 en x 1 4x 2 15x + 4a 3 = 4(x-x 1 )(x-x 2 1 ) 4(x 2 15/4x + a 3 ) = 4(x 2 xx 1 + xx x 3 1 ) 4(x 2 15/4x + a 3 ) = 4(x 2 + (-x x 1 )x + x 1 Hieruit leiden we af dat -15/4 = (-x 1 2 -x 1 ) en a 3 = x 1 3 of a = x 1 x x 1-15/4 = 0 4x x 1-15 = 0 D = (-15 ).4 = 256 a 1 = ( )/ 8 = 3/2 a 2 = (-4-256)/ 8 = -5/2 Antwoord D 2016 Juli Geel Vraag 1. Als veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reële getallen, dan geldt <A> b 1 en a = " "# dr. Brenda Casteleyn Page 23

24 Oplossing: Horner: <B> b 1 en a = <C> b 1 en a = - " "# " "# <D> b 1 en a = - " "# 1 a a -b -b 1 a-b rest = 0 (x+a-b)(x+b) = x 2 xb + ax + ab bx b 2 = x 2 = (b+a-b)x + ab b 2 = x 2 + ax + ab b 2 Uit de gegeven vergelijking weten we dat het product ook gelijk is aan x 2 + ax + a, dus moet ab b 2 = a Los op: ab b 2 = a ab b 2 a = 0 a(b-1) = b 2 a = b 2 /b-a Antwoord A 2016 Juli Geel Vraag 12 Het stelsel x y = 3 Cx + y = 4 heeft een oplossing (x,y) in het eerste kwadrant als en slechts als <A> c > -1 dr. Brenda Casteleyn Page 24

25 <B> 0 < c < 4/3 <C> -1 < c < 4/3 <D> c > 4/3 Oplossing Uit de eerste vergelijking volgt dat y = x-3. Vervang in de tweede vergelijking y: c.x + x 3 = 4 c.x + x = 4+3 = 7 (c+1)x = 7 X = 7/(c+1) Opdat x in het eerste kwadrant ligt moet c+1 groter zijn dan 0 of c > -1 Vervang x in de vergelijking y = x -3 Y = 7/(c+1) 3 Vermits ook y gelijk moet zijn aan 0 geldt: 7/(c+1) -3 > 0 of 7/(c+1) > 3 Of 7 > 3.(c+1) 7 > 3c+3 4 > 3c 4/3 > c -1 < c < 4/3 Antwoord C 2017 Juli geel Vraag 5 De deling van de veelterm p(x) = x 3 + mx 2 + mx + 4 door x 2 en x + 2 levert dezelfde rest op. Hoeveel is die rest? Oplossing: gebruik Horner om te delen door x 2 en x m m m-4-2m+8 1 m-2 -m+4 2m-4 dr. Brenda Casteleyn Page 25

26 1 m m m-4-6m+8 1 m+2 3m+4 6m+12 De resten zijn gelijk (gegeven): dus 2m 4 = 6m +12 m = -4 De rest is dus 2m-4 = 6m + 12 = - 12 Antwoord B 2017 Juli geel Vraag 11 Als c een reële constante is, dan heeft het stelsel x y =3 cx + y =4 een oplossing (x,y) met x > 0 als en slechts als Oplossing: zie 2016 juli geel Vraag Augustus geel Vraag 5 Gegeven zijn de reële getallen a en b. Bij deling van de veelterm P(x) = x 2 + bx + ab door x + a is de rest gelijk aan Gebruik Horner: 1 b ab -a -a -ab + a 2 1 b-a a 2 Antwoord A dr. Brenda Casteleyn Page 26

27 dr. Brenda Casteleyn Page 27

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: sinusfuncties 13/7/2014. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: sinusfuncties 13/7/2014. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: sinusfuncties 13/7/2014 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functies 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding Dit

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: mengsels 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: mengsels 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: mengsels 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functies 1/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden, evenredigheden. 16 september dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden, evenredigheden. 16 september dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden, evenredigheden 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Elektrodynamica. 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Elektrodynamica. 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Elektrodynamica 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

7.1 Ongelijkheden [1]

7.1 Ongelijkheden [1] 7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Oplossingen van 2016 Augustus Geel 2/1/2017 dr. Brenda Casteleyn Vraag 1. Als f(x) = e 4x-3, wat is dan f(1 ln (1/x))? e + ex 4 (ex) 4 e - x

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

6 Ringen, lichamen, velden

6 Ringen, lichamen, velden 6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Tussenhoofdstuk - oplossen tweedegraads vergelijkingen

Tussenhoofdstuk - oplossen tweedegraads vergelijkingen Wiskunde Leerjaar 3 - periode 3 Hogere machtsverbanden, gebroken functies, exponentiële functies en logaritmen Tussenhoofdstuk - oplossen tweedegraads vergelijkingen A. Ontbinden in factoren 1. Bij het

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2 Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Geluid 10/6/2014. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Geluid 10/6/2014. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Geluid 10/6/2014 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm), Leen

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Elektrodynamica. 4 november Brenda Casteleyn, PhD

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Elektrodynamica. 4 november Brenda Casteleyn, PhD Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Elektrodynamica 4 november 2017 Brenda Casteleyn, PhD Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Complexe getallen: oefeningen

Complexe getallen: oefeningen Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Geluid. 4 november Brenda Casteleyn, PhD

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Geluid. 4 november Brenda Casteleyn, PhD Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Geluid 4 november 2017 Brenda Casteleyn, PhD Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht

Nadere informatie

7.1 Grafieken en vergelijkingen [1]

7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] 7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] Voorbeeld: Getekend zijn de grafieken van y = x 2 4 en y = x + 2. De grafieken snijden elkaar in de punten A(-2, 0) en B(3, 5). Controle voor x = -2 y = x 2 4 y = x

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Vergelijkingen in één onbekende

Vergelijkingen in één onbekende Module 3 Vergelijkingen in één onbekende 3.1 Lineaire vergelijkingen Dit zijn vergelijkingen die herleid kunnen worden tot de gedaante ax+b = 0 met a,b Ê en a 0 ax+b = 0 ax = b x = b a V = { b } a Voorbeelden

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

kwadratische vergelijkingen

kwadratische vergelijkingen kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

2. Kwadratische functies.

2. Kwadratische functies. Uitwerkingen R-vragen hoofdstuk. Kwadratische functies.. R De term a is bepalend voor zeer grote waardes van. Als a < 0 dan wordt de term a zeer groot en negatief zowel bij. en Er is sprake van een bergparabool

Nadere informatie

Tweede graadsfuncties

Tweede graadsfuncties CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1 Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 20

Nadere informatie

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13 REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Geef een goede onderbouwing van je antwoorden. Succes! 1. (a) (10 pt) Ontbindt het polynoom X 3 3X+3 in irreducibele factoren in Q[X] en in

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB)

Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB) Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB) Domein : Bewerkingen Onderwerp: vervolg breuken B11 B11 B11 De leerlingen kunnen ongelijknamige breuken gelijknamig maken, optellen en aftrekken. De leerlingen kunnen bij

Nadere informatie

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45 15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een

Nadere informatie

WISNET-HBO. update aug. 2011

WISNET-HBO. update aug. 2011 Basiskennis van machten WISNET-HBO update aug. 0 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 (spreek uit: a tot de vierde macht) een macht van a (in dit geval de vierde

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

Wiskunde. Als de veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reele getallen, dan geldt. <A> b 6= 1 en a = b2 b 1

Wiskunde. Als de veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reele getallen, dan geldt. <A> b 6= 1 en a = b2 b 1 Vraag 1 Als de veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reele getallen, dan geldt b 6= 1 en a = b2 b 1 b 6= 1 en a = b b 1 b 6= 1 en a = b 6= 1 en a = b b 1 b 2

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0

Nadere informatie

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag

Nadere informatie

1. Optellen en aftrekken

1. Optellen en aftrekken 1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Rekenen met procenten en evenredigheden Oefening Een patiënt had vorig jaar een cholesterol van 60 mg/dl. Een jaar later is zijn cholesterol met 5% toegenomen. Wat is zijn cholesterol

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

H28 VIERKANTSVERGELIJKINGEN

H28 VIERKANTSVERGELIJKINGEN H8 VIERKANTSVERGELIJKINGEN vwo 8.0 INTRO - - 8. TERUGBLIKKEN 3 a x = 3½ b x + 7 = x + 7 = x + 6 = x Dus x = 3 c x = of x = - d x + 6 = of x + 6 = - x= - of x = -0 e Er is geen olossing, want het kwadraat

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg 1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken 1. Wat is een breuk? Een breuk Een breuk is een verhoudingsgetal. Een breuk geeft aan hoe groot een deel is van een geheel. Stel een taart is verdeeld in stukken. Je neemt 2 stukken van de taart. Je hebt

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

Producten, machten en ontbinden in factoren

Producten, machten en ontbinden in factoren Joke Smit College Producten, machten en ontbinden in factoren Voor cursisten uit de volgende klassen: alle Havo en VWO klassen (wiskunde, wiskunde A en wiskunde B) Wat kun je oefenen? 1. Het uitrekenen

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17 Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Delen van veeltermen

Hoofdstuk 7 : Delen van veeltermen - 19 - Hoofdstuk 7 : Delen van veeltermen Delen van veeltermen door een veelterm: (boek pag 16) Bepaal het quotient en de rest van de volgende delingen (oefeningen pag 19 nr. - 5-6) 1.. 18 9 + 11 + 6........................

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 9 Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Les 1 : Lineaire Formules Definities Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = hellingsgetal

Nadere informatie

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27 1p. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan x + 6 4x + 3 4x 2 + 3 x 2 + 3x + 3 Niveau 1 1p. 1p. 1p. x 2 + 27 Opgave 2. Als a log b = 64, dan is a2 log (b 3 ) gelijk aan 6 48 28/3 96 512 Opgave

Nadere informatie

Wiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis

Wiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis Wiskunde voor economie drs. H.J.Ots Hellevoetsluis 15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nl Wiskunde voor economie Drs. H.J. Ots ISBN 90-70619-05-9 Webecon, Hellevoetsluis,

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Hogeschool Rotterdam. Voorbeeldexamen Wiskunde A

Hogeschool Rotterdam. Voorbeeldexamen Wiskunde A . Bereken zonder rekenmachine: + d. + 0 + 6 6 6 Hogeschool Rotterdam Voorbeeldeamen Wiskunde A 6 6 Oplossingen. Bereken zonder rekenmachine: + 6 b. + 6 0 + 9. Bereken zonder rekenmachine: 9 9 d.. Een supermarkt

Nadere informatie