Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Transcriptie

1 1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar op

2 2/7 Inhoud Leerstofafbakening Algebra Rekenen met absolute waarde Rekenregels van machtsverheffing Rekenregels van logaritme Bewerkingen met veeltermen Meetkunde Sinus, cosinus en tangens Eigenschappen van een driehoek en cirkel Vergelijking van een rechte, cirkel en parabool Gemeenschappelijke punten Examenvragen 2016 Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Meetkunde Antwoorden

3 /7 Leerstofafbakening WISKUNDE 1. Algebra (a) bewerkingen van reële getallen en rekenregels (b) rekenen met absolute waarde van reële getallen (c) rekenregels van machtsverheffing en logaritme (e) reële oplossingen van vierkantsvergelijkingen (f) veeltermen met reële coëfficiënten: bewerkingen, ontbinden in factoren van veeltermen in eenvoudige gevallen, veeltermvgln. 2. Meetkunde (a) eigenschappen van driehoeken, vierhoeken en cirkels (b) omtrek en oppervlakte van driehoeken, vierhoeken en cirkels (c) snijpunten van rechten en cirkels, snijpunten van rechten en parabolen (d) meten van hoeken in graden en radialen (e) de goniometrische getallen van hoeken en van verwante hoeken (f) goniometrische getallen in functie van de lengten van de zijden in een rechthoekige driehoek (g) goniometrische formules: grondformule, verdubbelingsformule

4 Algebra - Rekenen met absolute waarde Algemeen x = { x als x 0 x als x < 0 Voorbeeld 1 Welke waarden x voldoen aan de ongelijkheid x 5 2 < 2 2 < x 5 2 < < x < < x < < x < 9 ] 2 1 x 2, 9 [ 2 Onthoud: < a a < < a 4/7

5 Algebra - Rekenregels van machtsverheffing Voorbeeld 2 Gegeven is de functie f (x) = 9 x. Vereenvoudig A = f ( x 1 ) ( ) 2 f x f (x + 1) f (x 1) = 9 (x 1 2 ) 9 (x+ 1 2 ) 9 (x+1) 9 (x 1) f ( ) = 9 = 9 x x x 1 9 x+1 ( + ) = = 9 x x x x 9 1 a + = a a = a = 1 a = a 1 n = n a = = = = 10 5/7

6 6/7 Algebra - Rekenregels van logaritme Algemeen a log x = x = a en e log x = ln x Voorbeeld: 2 log 16 = 4 want 16 = 2 4 Voorbeeld Los de volgende vergelijking op naar x: x 1 = 8 x ln ( x 1) = ln ( 8 x) (x 1) ln = x ln 8 ln ( a ) = ln a x ln ln = x ln 8 x(ln ln 8) = ln x = x = ln ln ln 8 ln ln ln (8 ) x = ln ln ( ) ln 512 ln ( ) = ln + ln ( ) = ln ln

7 Algebra - Bewerkingen met veeltermen Voorbeeld 4 Hoeveel bedraagt de som p + q als x(2x + ) x 2 + x + 2 x(2x + ) (x + 2)(x + 1) x(2x + ) (x + 2)(x + 1) = p(x + 1) x q x + 1 = p(x + 1) x q x + 1 = p(x + 1) x + 2 x + 1 x x(2x + ) = p(x + 1) 2 + q(x + 2) 2x 2 + x = p(x 2 + 2x + 1) + qx + 2q 2x 2 + x = px 2 + (2p + q)x + (p + 2q) 2 = p = 2p + q 0 = p + 2q p = 2 en q = 1 p + q = 1 q x + 1 x + 2 x + 2 7/7

8 Algebra - Bewerkingen met veeltermen Voorbeeld 5 Bepaal p(q + r) als x 4 + 4x + 6px 2 + 4qx + r deelbaar is door x + x 2 + 9x +. Oplossing Dan moet x 4 + 4x + 6px 2 + 4qx + r = ( x + x 2 + 9x + ) (... x +...) = ( x + x 2 + 9x + ) ( 1 x + r ) ( r ) = 1 x x + (r + 9) x 2 + (r + ) x + r zodat 4 = r + 6p = r + 9 4q = r + Antwoord p(q + r) = 2 ( + ) = 12 (ALTERNATIEF: staartdeling) r = p = 2 q = 8/7

9 Algebra - Bewerkingen met veeltermen Voorbeeld 6 f (x) = x + px 2 8x + q is deelbaar door x 1 en de rest bij deling door x 2 9 is x 9. Wat is q? Oplossing f (x) deelbaar door x 1 f (x) = (x 1) (... x x +...) f (1) = p 8 + q = 0 p + q = 7 f (x) delen door x 2 9 geeft als rest x 9 f (x) = (x 2 9) (... x +...) + x 9 { f ( ) = f ( ) = 0 + ( ) 9 Antwoord q = 9 9p + q = 9 9/7

10 Algebra - Bewerkingen met veeltermen Voorbeeld 7 Door welke veelterm is x deelbaar? (A) x 2 2 (B) x (C) x 2 + 2x 2 (D) x 2 + 2x + 2 Oplossing f (x) deelbaar door (A) f (x) = (x 2 2) (... x x +...) f ( 2) = = 0 NEE! f (x) deelbaar door (B) f (x) = (x 2 + 2) (... x x +...) = (x 2 + 2) (x 2 + bx + 2) = x 4 + bx + 4x 2 + 2bx + 4 NEE! f (x) deelbaar door (C)... NEE! Antwoord (D) 10/7

11 11/7 Algebra - Ontbinden in factoren van veeltermen Merkwaardige producten a 2 + b 2 = niet ontbindbaar in lineaire factoren a 2 b 2 = (a + b)(a b) a + b = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a b = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 a + a 2 b + ab 2 + b = (a + b) a a 2 b + ab 2 b = (a b)

12 Meetkunde - Sinus, cosinus en tangens van scherpe hoeken sin β = overstaand schuin = b a C cos β = aanliggend schuin = c a b a tan β = overstaand aanliggend = b c A c β B Veelvoorkomende scherpe hoeken: α sin α cos α tan α /7

13 Meetkunde - Sinus, cosinus en tangens van will. hoeken sin α : projectie op y-as y cos α : projectie op x-as 1 tan α : projectie op rechte x = 1 Teken van sinus, cosinus en tangens in de vier kwadranten: α I II III IV sin α α cos α tan α 1 x sin α + + cos α + + x = 1 tan α + + Grondformule: sin 2 α + cos 2 α = 1 Verdubbelingsform.: sin(2α) = 2 sin α cos α en cos(2α) = cos 2 α sin 2 α 1/7

14 14/7 Meetkunde - Sinus, cosinus en tangens van will. hoeken Voorbeeld 8 Gegeven zijn de coördinaten van een punt: x = 8 sin 200 en y = 11 cos 140. In welk kwadrant is dit punt gelegen? (A) I (C) III (B) II Oplossing Lees het teken af: (D) IV y 1 sin 200 < 0 cos 140 < 0 Dus x > 0 en y > 0 Antwoord (A) cos 140 sin x

15 Meetkunde - Eigenschappen van een driehoek Som van de hoeken: α + β + γ = 180 Pythagoras: ABC rechthoekig in A a 2 = b 2 + c 2 basis hoogte Opp. ABC = 2 = c h 2 Sinusregel: Cosinusregel: = 1 2 c b sin α a sin α = b sin β = A c sin γ a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α b α C b sin α c a B 15/7

16 Meetkunde - Eigenschappen van een cirkel Cirkel met straal r: omtrek = 2πr oppervlakte = πr 2 r Als r = 1: omtrek 2π rad hoort bij 60 Cirkelsector met straal r en hoek α (rad): rα booglengte = rα α r oppervlakte = 1 2 r 2 α Cirkelsegment met straal r en hoek α: oppervlakte = 1 ) (α 2 r 2 sin(α) α r 16/7

17 17/7 Meetkunde - Eigenschappen van een cirkel Voorbeeld 9 Bepaal de oppervlakte van deze cirkel met middelpunt A en waarbij ˆB = 15, Ĉ = 45 en BD = 2. Oplossing Opp. = πr 2 maar wat is r? Sinusregel: 2r sin 120 = 2 sin 45 2r = 2 /2 2/2 B r A r D C 4r = 4 2 r = / 2 Antwoord Opp. = π ( 2 ) 2 = π 2

18 = π 6 4 = 2π 2 18/7 Meetkunde - Eigenschappen van een cirkel Voorbeeld 10 Twee cirkels met straal 1 snijden elkaar doorheen elkaars middelpunten. Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte? Oplossing Opp. = 1 2 bc sin α = sin 60 = 4 Opp. = 1 ) (α 2 r 2 sin(α) = 1 ( π 2 12 sin π ) Opp. = 2 Opp. + 4 Opp.

19 19/7 Meetkunde - Vergelijking van een rechte De vergelijking van een rechte NIET evenwijdig met de y-as is: a : y = mx + q rico rechte: m = tan α snijpunt y-as: S(0, q) y O q +1 α a +m x WEL evenwijdig met de y-as is: y a a : x = p rico rechte: bestaat niet hellingshoek α = 90 O p α x

20 20/7 Meetkunde - Vergelijking van een rechte Voorbeeld 1 (opnieuw) Welke waarden x voldoen aan de ongelijkheid x 5 2 (A) x > 1 2 (B) x < 1 2 (C) x ] 1 2, [ 9 2 (D) x ] 1 2, 2 [ < 2 Oplossing Een ongelijkheid meetkundig oplossen? (1) Schets linkerlid y = x 5 2 y = x 5 2 (2) Schets rechterlid y = 2 () Lees snijpunten af Antwoord (C) y = x 5 2 y = 2 y = x 5 2 y O 5 2?? 5 2 x

21 Meetkunde - Vergelijking van een cirkel met middelpunt M(a, b) en straal r is C : (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Waarom? P(x, y) C MP = r MP 2 = r 2 y (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Pythagoras C y b M r x a P y b O a x x 21/7

22 Meetkunde - Vergelijking van een cirkel Voorbeeld 11 Wat is de straal van de cirkel met vergelijking 4x 2 16x + 4y y 28 = 0 x 2 4x + y 2 + 5y 28 4 = 0 Oplossing De vergelijking is van de vorm (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 x 2 2ax + a 2 + y 2 2by + b 2 r 2 = 0 zodat 4 = 2a 5 = 2b 28 4 = a2 + b 2 r 2 a = 2 b = = 22 + r 2 = 81 ( 5 ) 2 r 2 2 Antwoord De straal van de cirkel is 9 22/7

23 Meetkunde - Vergelijking van een parabool met symmetrie-as evenwijdig met y-as: a > 0 dalparabool P : y = ax 2 + bx + c P of a < 0 bergparabool D < 0 D = 0 D > 0 D > 0 D = 0 D < 0 vergelijking symmetrie-as: x = b 2a, snijpunten x-as: dan is top: T (x, f (x)) y = 0 ax 2 + bx + c = 0 D = b 2 4ac x = b ± D D > 0 : 2 snijpunten met x-as D = 0 : 1 snijpunt met x-as 2a D < 0 : geen snijpunten met x-as 2/7 P

24 Meetkunde - Vergelijking van een parabool met symmetrie-as evenwijdig met x-as: a > 0 P : x = ay 2 + by + c of a < 0 P P D < 0 D = 0 D > 0 vergelijking symmetrie-as: y = b, top: T (f (y), y) snijpunten y-as: dan is 2a D > 0 D = 0 D < 0 x = 0 ay 2 + by + c = 0 D = b 2 4ac y = b ± D D > 0 : 2 snijpunten met y-as D = 0 : 1 snijpunt met y-as 2a D < 0 : geen snijpunten met y-as 24/7

25 Meetkunde - Vergelijking van een parabool Voorbeeld 12 Na regressieanalyse van de waarnemingen was men in staat het percentage genezen mensen (A) uit te drukken in functie van de toegediende dosis (d) van een bepaald geneesmiddel: A(d) = d 2 + 2d + met 0 d 2. Welke dosis van dit geneesmiddel is het meest effectief? Oplossing Gedaante y = ax 2 + bx + c met a < 0 Gevraagd: dosis bij de top Symmetrie-as: d = b 2a = 2 2 ( 1) = 1 y y = A(d) Antwoord d = 1 d = b 2a d 25/7

26 26/7 Meetkunde - Vergelijking van een parabool Voorbeeld 1 We beschouwen de parabool met vergelijking x = y 2 y 2. Welke uitspraak klopt? De parabool (A) raakt de y-as (B) snijdt y-as eens boven en onder de x-as (C) snijdt y-as niet (D) snijdt y-as in twee punten boven de x-as Oplossing Snijpunten y-as: dan is x = 0 y 2 y 2 = 0 D = ( ) ( 2) D = 17 Antwoord (B) y = }{{} >0 of y = 17 2 }{{} <0

27 27/7 Meetkunde - Vergelijking van een parabool Voorbeeld 14 We beschouwen de parabool met vergelijking x = y 2 y 2. Welke uitspraak klopt? De parabool (A) raakt de y-as (B) snijdt y-as eens boven en onder de x-as (C) snijdt y-as niet (D) snijdt y-as in twee punten boven de x-as Oplossing ALTERNATIEF Gedaante x = ay 2 + by + c met a > 0 Symmetrie-as: y = b 2a = 2 y P Snijpunt x-as: dan is y = 0 x = x = 2 Antwoord (B) 2 y = /2 x

28 28/7 Meetkunde - Gemeenschappelijke punten Voorbeeld 15 Hoeveel punten hebben de parabolen y = x 2 + x + 5 en y = 2x 2 x + 2 gemeenschappelijk? Oplossing Grafieken van y = f (x) en y = g(x) hebben P(x, y) gemeenschappelijk f (x) = g(x) x 2 + x + 5 = 2x 2 x + 2 5x 2 + 4x + = 0 D = ( 5) D= 76> 0 y y y = g(x) P (x, y) x 1,2 = 4 ± Antwoord 2 gemeenschappelijke punten x y = f(x) x

29 29/7 Meetkunde - Gemeenschappelijke punten Voorbeeld 16 Een rechte a die de y-as snijdt in (0, 4) heeft één punt gemeenschappelijk met de parabool y = 2x De rechte is niet verticaal en niet parallel met y = 4x. Wat is de helling van die rechte? Oplossing (1) rechte niet evenwijdig met y-as dus a : y = mx + q (2) rechte niet parallel met y = 4x dus m 4 () snijpunt y-as is (0, 4) = (0, q) dus q = 4 (4) één punt gemeenschappelijk met parabool 2x = mx + 4 heeft één oplossing 2x 2 + mx + 2 = 0 heeft één oplossing D = m = 0 m = 4 of m = 4 Antwoord De helling is 4

30 Examenvragen 2016 Juli Vraag 8 Als cos x = sin x + 1, dan is cos x sin x gelijk aan (A) (B) 4 2 (C) (D) 2 1 Oplossing Ontbinden in factoren: cos x sin x = (cos x sin x) }{{} 1/ (cos 2 x + sin x cos x }{{}? + sin 2 x) (cos x sin x) 2 = cos 2 x 2 sin x cos x + sin 2 x }{{} 1/ dus 2 sin x cos x = 1 1 = 2 = 1 ( ) = 4 dus antwoord (A). 0/7

31 1/7 Examenvragen 2016 Augustus Vraag 8 In een orthonormaal assenstelsel is een cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 1 gegeven. Vanuit het punt A( 2, 0) tekenen we de raaklijn r aan de cirkel. Het punt B is het snijpunt van de (positieve) x-as met de raaklijn s aan de cirkel loodrecht op r. Wat is de coördinaat van B? (A) (B) ( ( 5 6, 0 4 5, 0 ) ) (C) (D) ( ( 4, 0 2, 0 Oplossing Raaklijn middellijn Gelijkvormige driehoeken:? 2 = 1 a? = 2 a = 2 (D) Pythagoras: 2 2 = a a = A ) ) 2 ( 2 ), 0 ( 2 s y ), 0 1 1? r B x