1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen
|
|
- Frederik de Graaf
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Merkwaardige producten, ontbinden in factoren 1.1 Merkwaardige producten ( ) ( ) a+ b = a + ab+ b a b = a ab+ b ( ) ( ) a+ b = a + ab+ ab + b a b = a ab+ ab b ( )( ) a b a+ b = a b ( )( ) ( )( ) n 1 n n n 1 n ( a b)( a + a b ab + b ) = a n 1 n n n 1 n ( a + b)( a a b +... ab + b ) = a n b n + b ( n oneven ) a b a + ab+ b = a b a+ b a ab+ b = a + b 1. Ontbinden in factoren ( ) ( ) a + ab+ b = a+ b a ab+ b = a b ( )( ) ( ) ( a + a b + ab + b = a + b a a b + ab b = a b a b = a b a+ b ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) a b = a b a + ab+ b a + b = a+ b a ab+ b a b = a b a + a b ab + b n n n 1 n n n 1 n n n 1 n n n 1 a + b = a + b a a b +... ab + b n oneven + + De drieterm ax bx c ontbinden : ( ) ( ) > + + = 1. D 0 ax bx c a x x1 x x met x1 en x de oplossingen van ax + bx + c = 0. ( ). D = 0 ax + bx + c = a x x1 met x1 de oplossing van ax + bx + c = 0. D 0 ax bx c is niet te ontbinden < + + ) 1
2 Eerstegraadsvergelijkingen Definitie Een vergelijking van de vorm ax + b = 0 met a l R 0 en b l R noemt men een eerstegraadsvergelijking in x. Het oplossen van een eerstegraadsvergelijking ax + b = 0 ax = b b x = a b Oplv.V = a Tweedegraadsvergelijkingen Definities Een vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0 met a l R 0 en b,c l R noemt men een tweedegraadsvergelijking in x. Een vergelijking van de vorm ax 4 + bx² + c = 0 met a l R 0 en b,c l R noemt men een bikwadratische vergelijking in x. Benamingen - Vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking in x: een tweedegraadsvergelijking in x - Standaardvorm van een tweedegraadsvergelijking: ax² + bx + c = 0 met a, b en c als coëfficiënten. - Oplossing van een (tweedegraads)vergelijking: een reëel getal dat aan de (tweedegraads)vergelijking voldoet - Oplossingenverzameling van een (tweedegraads)vergelijking: de verzameling van alle oplossingen van de (tweedegraads)vergelijking - Gelijkwaardige vergelijkingen: vergelijkingen met dezelfde oplossingenverzameling Formules D = b² 4ac noemen we de discriminant van de tweedegraadsvergelijking ax² + bx + c = 0. b + D b D Als D > 0, dan is Oplv.V =,. a a b Als D = 0, dan is Oplv.V =. a Als D < 0, dan is Oplv.V =.
3 Eigenschappen - Als x 1 en x de oplossingen zijn van de tweedegraadsvergelijking ax² + bx + c = 0, b c dan is de som S= x1 + x = en het product P = x1 x =. a a - Als x 1 en x de oplosssingen zijn van de tweedegraadsvergelijking ax² + bx + c = 0, dan kan de drieterm ax² + bx + c ontbonden worden in a(x x 1 )(x x ). Vergelijkingen die herleidbaar zijn tot een tweedegraadsvergelijking - Een bikwadratische vergelijking ax 4 + bx² + c = 0 kunnen we noteren als a(x²)² + bx² + c = 0. Door x² te vervangen door y bekomen we de tweedegraadsvergelijking ay² + by + c = 0. - Een vergelijking van de vorm a [ f(x) ] + b f(x) + c = 0 kan herleid worden naar een tweedegraadsvergelijking door f(x) te vervangen door y. 4 Het delen van veeltermen 4.1 De Euclidische deling - Veelterm in één veranderlijke: a, a,..., a, a lr. n n a x + a x a x + a met n IN en n n 1 n n In deze veelterm is x de veranderlijke. - Coëfficiëntenrij van de veelterm: de rij getallen In deze rij is a 0 de constante term. a n, a n 1,..., a 1, a 0. - Een veelterm herleiden: de gelijksoortige termen in een veelterm optellen - Een veelterm rangschikken: de termen in een herleide veelterm zo opschrijven dat de opeenvolgende exponenten van de veranderlijke ofwel dalen, ofwel stijgen - Graad van een herleide veelterm in één veranderlijke: de hoogste exponent van de veranderlijke. - Volledige veelterm in één veranderlijke: alle exponenten van de veranderlijke van de hoogste exponent tot en met de exponent nul komen in de veelterm voor en alle coëfficiënten zijn verschillend van nul. Formule voor de Euclidische deling van veeltermen Als A(x) en B(x) twee veeltermen zijn, waarbij B(x) verschillend is van de nulveelterm, dan is de veelterm Q(x) het quotiënt en de veelterm R(x) de rest van de deling van A(x) door B(x) a.s.a A(x) = B(x) Q(x) + R(x) met gr R(x) < gr B(x) of met R(x) = 0. Een deling van een veelterm door een veelterm waarbij de rest nul is, noemen we een opgaande deling. Bij een opgaande deling is de veelterm A(x) deelbaar door de veelterm B(x).
4 4. Deelbaarheid door x a - Quotiëntbepaling bij deling door x a De coëfficiëntenrij van het quotiënt bij de deling van ax + ax + ax+ a door x a, bepalen we met de regel van Horner. 1 0 a a a1 a0 a aq aq1 aq0 q q1 q0 R coefficientenrij van het deeltal rest coefficientenrij van het quotient Het quotiënt is qx + qx 1 + q 0 en de rest is R. ( )( ) ax + ax + ax+ a = x a qx + qx+ q + R Kenmerk van deelbaarheid door x a De veelterm A(x) is deelbaar door x a A(a) = 0 - Eigenschappen De rest van de deling van een veelterm A(x) door x a is gelijk aan de getalwaarde van A(x) voor x = a. Deze eigenschap noemen we de reststelling. Als de coëfficiëntenrij a n, a n 1,..., a 1, a0 van een veelterm A(x) uitsluitend gehele getallen bevat en x a een deler is van A(x) waarbij a een geheel getal is, dan is a een deler van de constante term a. Voor twee verschillende getallen a en b geldt: A(x) is deelbaar door x a en door x b a.s.a. A(x) is deelbaar door (x a)(x b). - Voorbeeld Los 6x 11x 19x 6 0 op naar x in R. Oplossing = Via het rekentoestel zoeken we een deler van de vorm x a. Met de regel van Horner delen we 6x 11x 19x 6 door x. 0 l 4
5 x 11x 19x 6 = 0 ( )( ) x 6x + 7x+ = 0 x 0 of 6x 7x 0 = + + = 1 x = of x = of x = 1 Oplv.V =,, Nog even dit! Sommige hogeregraadsvergelijkingen kunnen vlot opgelost worden via ontbinding in factoren. Voorbeeld Losx 4x x+ 4= 0opnaarxin lr. Oplossing x 4x x = = ( ) ( ) x x 4 x 4 0 ( ) ( ) x 4 x 1 = 0 ( een product is nul a.s.a. minstens één van de factoren is nul) x 4 = 0 of x 1= 0 x = 4 of x = 1 x = 4 of x = 1 of x = 1 { } Oplv. V = 1, 1, 4 5
6 1 Functies 1.1 Definities Overzicht voorkennis reële functies - Een verband tussen twee veranderlijken zo dat bij elke waarde van de onafhankelijk veranderlijke hoogstens één waarde van de afhankelijk veranderlijke behoort, noemt men een functie. Als twee grootheden met elkaar in verband staan, dan noemen we de grootheid waarvoor men waarden kiest, de onafhankelijk veranderlijke en de grootheid waarvan men de waarden bepaalt de afhankelijk veranderlijke. Een functie waarbij de twee veranderlijken reële getallen zijn, noemen we een reële functie. In het functievoorschrift f(x) = y is x de invoerwaarde en y de functiewaarde. - De verzameling van alle invoerwaarden van een functie waarvoor de functiewaarde bestaat, noemt men het domein van de functie. - De verzameling van alle functiewaarden van een functie, noemt men het bereik van de functie. 1. Benamingen - Nulwaarde: een invoerwaarde waarvoor de functiewaarde nul is - Nulpunt: een snijpunt van de grafiek van de functie met de x-as - Als in een interval bij toenemende invoerwaarden de functiewaarden groter worden, zeggen we dat de functie stijgend is in dit interval. Als in een interval bij toenemende invoerwaarden de functiewaarden kleiner worden, zeggen we dat de functie dalend is in dit interval. Als in een interval al de functiewaarden gelijk zijn, zeggen we dat de functie constant is in dit interval. Eerstegraadsfuncties - Een functie met een voorschrift van de vorm f(x) = mx + q, met m l R0 en q lr noemt men een eerstegraadsfunctie. m is de coëfficiënt van x en q is de constante. - Een functie met een voorschrift van de vorm f(x) = q is een constante functie. - Eerstegraadsfuncties en constante functies zijn lineaire functies. 6
7 - Grafiek van f(x) = mx + q De grafiek van f(x) = mx + q met m, q lr is een rechte. Een functie f(x) = mx + q met m > 0 is stijgend. Een functie f(x) = mx + q met m < 0 is dalend. De grafiek van een functie f(x) = mx ligt dichter bij de y-as, naarmate m groter wordt. In de grafiek van de functie f(x) = mx + q is m de richtingscoëfficiënt, is ( 0, q) de coördinaat q van het snijpunt met de y-as en is,0 m de coördinaat van het nulpunt. q q m - Tekenschema Voor elke eerstegraadsfunctie f(x) = mx + q geldt volgend tekenschema: x - f(x) = mx + q tegengesteld teken van m 0 teken van m q m + - Verloopschema m > 0 m < 0 x x f(x) f(x) f is stijgend in lr. f is dalend in lr. - Voorbeeld f(x) = x + 6 dom f = lr en ber f = l R Grafiek van f De nulwaarde van f is. Het nulpunt van f is het punt met coördinaat (, 0). Tekenschema x + f(x) + 0 Verloopschema x f(x) f is dalend in l R. y = x + 6 is de vergelijking van de grafiek van f. 7
8 Tweedegraadsfuncties - Een functie met een voorschrift van de vorm f(x) = ax² + bx + c, met a lr 0 en b,c l R noemt men een tweedegraadsfunctie. - Grafiek van f(x) = ax² + bx + c De grafiek is een parabool. Als a > 0, dan is de parabool een dalparabool. Als a < 0, dan is de parabool een bergparabool. Een dalparabool heeft een positieve kromming en een bergparabool heeft een negatieve kromming. De parabool wordt smaller naarmate a groter wordt. De parabool snijdt de y-as in het punt met coördinaat (0,c). b De symmetrieas is de rechte met vergelijking x =. a De top van de parabool heeft als coördinaat b D b b, met D = b 4ac, of nog,,f a 4a a a. - Ligging van de top ten opzichte van de assen D 4a b a a > 0 D > 0 D=0 D < 0 x x 1 x = x 1 a < 0 D > 0 D=0 D < 0 x = x 1 x x 1 8
9 - Bereik f(x) ax bx cmet a 0 f(x) ax bx cmet a 0 = + + > = + + < b b ber f = f, +, of nog, ber f, f, of nog, a = a D D ber f =, + ber f =, 4a 4a - Verloopschema f(x) = ax + bx+ cmet a > 0 f(x) = ax + bx+ cmet a < 0 x f(x) - b + - b + a x a b b f a f(x) f a min. max. - Tekenschema f(x) = ax² + bx + c met D > 0 x - x 1 x + f(x) teken van a 0 tegengesteld teken van a 0 teken van a f(x) = ax² + bx + c met D = 0 x - x 1 + f(x) teken van a 0 teken van a f(x) = ax² + bx + c met D < 0 x - + f(x) teken van a - Voorbeeld f(x) = x² x + a = 1 de parabool een bergparabool De symmetrieas is de rechte met vergelijking s: x = 1. De top van de parabool heeft als coördinaat ( 1, 4). De parabool snijdt de y-as in het punt met coördinaat (0, ). ber f = ], 4] 9
10 Verloopschema x f(x) 4 max. Tekenschema D = ( )² 4.( 1). = 16 x 1 = en x = 1 x f(x) Grafiek van f y = x² x + is de vergelijking van de grafiek van f. - Toepassing Los de ongelijkheid x + x + 15x 18 > 0 op naar x. Oplossing De veelterm x + x + 15x 18 bepaalt de functie f (x) = x + x + 15x 18. We bepalen de nulwaarden van f. f(x) = 0 x x 15x = Om het linkerlid van deze derdegraadsvergelijking te ontbinden, maken we gebruik van het rekenschema van Horner
11 x x 15x = (x )( x x 9) 0 + = = + = x 0 of x x 9 0 x = of x = of x = De nulwaarden van f zijn, en. Tekenschema x - + x 0 + x x f(x) ~ Besluit : Oplv.O = ], [, 4 Studie van enkele functies - Een functie waarbij alle tegengestelde invoerwaarden dezelfde functiewaarde hebben, noemt men een even functie. Een functie waarbij alle tegengestelde invoerwaarden tegengestelde functiewaarden hebben, noemt men een oneven functie. - Buigpunt van een grafiek: het punt van de grafiek waar de kromming van teken verandert Buigraaklijn van een grafiek: de raaklijn aan de grafiek waarbij het raakpunt een buigpunt is - Grafieken De grafiek van de functie f (x) = x De grafiek van de functie f (x) = x De grafiek van de functie f (x) = x De grafiek van de functie f (x) = 1 x 11
12 - Symmetrie in de grafiek van functies symmetrie t.o.v. de y-as De y-as is een symmetrieas van de grafiek van f ( ) ( ) x dom f : f x = f x symmetrie t.o.v. de oorsprong De oorsprong van het assenstelsel is een symmetriecentrum van de grafiek van f ( ) ( ) x dom f : f x = f x - Een grafiek transformeren Als we de grafiek van een functie f verticaal verschuiven met een waarde k, dan is g(x) = f(x) + k het functievoorschrift van het schuifbeeld. f g Als we de grafiek van een functie f horizontaal verschuiven met een waarde k, dan is g(x) = f(x - k) het functievoorschrift van het schuifbeeld. g f Als we de grafiek van een functie f verticaal uitrekken of samendrukken met een waarde k ( k lr0 ) dan is g(x) = k f(x) het functievoorschrift van de vervormde grafiek. Als k>1dan wordt de grafiek van f verticaal uitgerokken. Als k<1dan wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt. Bij de transformatie van f naar g volgens de formule g(x) = k f (x) blijven de nulpunten behouden. g f f g 1
13 1 De goniometrische cirkel Overzicht voorkennis goniometrie Kwadrant: één van de gebieden waarin het vlak verdeeld is door een cartesiaans assenstelsel I, II, III en IV duiden respectievelijk het eerste, het tweede, het derde en het vierde kwadrant aan. Goniometrische cirkel: een georiënteerde cirkel die als middelpunt de oorsprong van het assenstelsel heeft en als straal de lengte-eenheid. Beeldpunt van een hoek: het snijpunt van de goniometrische cirkel en het eindbeen van de middelpuntshoek waarvan het beginbeen samenvalt met het positief deel van de x-as ~ In de goniometrische cirkel is B is het beeldpunt van de hoek AOB. Goniometrische getallen van een hoek Cosinus van een hoek: het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel Sinus van een hoek: het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel Tangens van een hoek: het quotiënt van de sinus en de cosinus van de hoek sin α tan α= cos α tan α is niet gedefinieerd indien cos α gelijk is aan nul, dus als α = 90 + k 180, k. Cotangens van een hoek: het quotiënt van de cosinus en de sinus van de hoek cos α cot α= sin α cot α is niet gedefinieerd indien sin α gelijk is aan nul, dus als α = k 180, k. Gevolg 1 1 tan α= cot α= cot α tan α 1
14 Hoofdformule Voor elke hoek α geldt: cos α+ sin α= 1 Grenswaarden en teken van de goniometrische getallen van een hoek α 0 eerste kwadrant 90 tweede kwadrant 180 derde kwadrant 70 vierde kwadrant 60 cosα sin α tan α cot α cosα 1 1 sinα 1 < tan α<+ < cot α<+ Ook onderstaande waardentabel is nuttig (vanwege zijn exacte mode). α cos α 1 0 sin α 0 tan α ~ 4 Meetkundige betekenis van de tangens van een hoek In een vergelijking van de vorm y = mx is de richtingscoëfficiënt m van de rechte v gelijk aan de tangens van de hoek bepaald door het positief deel van de x-as en de rechte v. 14
15 ~ 5 Goniometrische getallen van verwante hoeken Gelijke hoeken Gelijke hoeken hebben dezelfde goniometrische getallen. cos( α+ k 60 ) = cosα sin( α+ k 60 ) = sin α tan( α+ k 60 ) = tan α cot( α+ k 60 ) = cot α met k X Tegengestelde hoeken Tegengestelde hoeken hebben dezelfde cosinus en een tegengestelde sinus. cos( α ) = cosα sin( α ) = sin α tan( α ) = tan α cot( α ) = cot α Supplementaire hoeken Supplementaire hoeken hebben een tegengestelde cosinus en dezelfde sinus. cos(180 α ) = cosα sin(180 α ) = sin α tan(180 α ) = tan α cot(180 α ) = cot α Complementaire hoeken De sinus van een hoek is gelijk aan de cosinus van zijn complement. De cosinus van een hoek is gelijk aan de sinus van zijn complement. cos(90 α ) = sin α sin(90 α ) = cosα tan(90 α ) = cot α cot(90 α ) = tan α 15
16 6 Driehoeksmeting van de rechthoekige driehoek Sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek: het quotiënt van de overstaande rechthoekszijde van die scherpe hoek en de schuine zijde. Cosinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek: het quotiënt van de aanliggende rechthoekszijde van die scherpe hoek en de schuine zijde. Tangens van een scherpe hoek in een rechtoekige driehoek: het quotiënt van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde van die scherpe hoek. b sinβ= a c cosβ= a b tan β= c ~ 7 Driehoeksmeting van de willekeurige driehoek Sinusregel In een driehoek ABC met omgeschreven cirkel geldt: c (O, r) a b c = = = r sin α sinβ sin γ Cosinusregel In een driehoek ABC geldt: a² = b² + c² bc cosα b² = a² + c² ac cosβ c² = a² + b² ab cos γ c (O, r) 16
17 Erratum bij de theorie van WPP 5.1 Reële functies Bladzijde 1, lijn 16 : 1 5 = 4 ; Op de grafiek van h ontbreekt het bolletje in (1, 4). Gegeven : f x = x x + 1 in plaats van x x + 1 Bladzijde 0, opdracht 9, ( ) Bladzijde 179, lijn 1, blz. 6 in plaats van blz. 000 Bladzijde 180 blokje 'Anticomplementaire hoeken' moet blokje zijn Bladzijde 198, bovenaan de twee kolommen : 'Verschuif je van f(x) = sin x' moet worden 'Vervorm je van f(x) = sin x' Onderaan bladzijde 06 : afschrappen van de zin 'Omdat het gaat over een horizontale samendrukking is b positief '. Vervangen door : 'Omdat b l R + 0 is b = '. α α Bladzijde 6, lijn 16 : Zo is sin α= sin cos. a b = a+ b a b Bladzijde 56 punt 1. : ( )( ) Bladzijde 58 punt. : boven de drie bergparabolen moet a < 0 staan Bladzijde 59 : in het rechter verloopschema moeten de pijltjes omgewisseld worden Bladzijde 60 : Als k > 0 dan verschuift de grafiek van f naar boven. Als k < 0 dan verschuift de grafiek van f naar onder. Als k > 0 dan verschuift de grafiek van f naar rechts. Als k < 0 dan verschuift de grafiek van f naar links. Erratum bij de eindoplossingen van WPP 5.1 Reële functies blz Reële functies Opdracht nummer. afschrappen van : maar f ( x) = g ( x). Homografische functies 4 Opdracht 8 nummer. dom k =, 7. Rationale functies Opdracht 9 : de gegeven oplossingen zijn juist, maar de nummeringen zijn fout. 1. P H = PE = PS = + t t 4 t t = 100 t = 0 t t 4. P en... ( ) 15 4 Opdracht 14 nummer 5. x, ] 5, + [ Opdracht 15 nummer. x ], [ ], + [ en nummer. x ], 4[ ], + [
18 Opdracht 18 nummer. V( 4) is 5,6 maal groter dan v( 4 ).1 Rekenen met wortelvormen en machten 4 Opdracht 4 nummer Opdracht 1 nummer a en nummer 9. Opdracht 17 nummer. 8, Irrationale functies Opdracht nummer. k 0,958 0t + 60 π Opdracht 5 nummer. Er zijn twee onafhankelijk veranderlijken. Opdracht 4 nummer 1. d( V ) = 6V π en nummer. d ( t ) = 11 a 4.1 Goniometrische getallen van een hoek π 1π 5π Opdracht 8 1. rad. rad. π rad 4. rad 5. 5π rad Opdracht tan α. cosα Opdracht 1. x = 1 6'7,7" + k 180 of Goniometrische functies Opdracht 4 het laatste koppel moet zijn (4,91 ; 4,91) Toevoegen : Opdracht 5 B Toevoegen : Opdracht 6 D 4. Goniometrisch rekenen Opdracht. Opdracht 4. sin 50 sin cos 67 cos cos10 + cos Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden Opdracht 1 in nummer 1 en nummer 5 : telkens 0 toevoegen Opdracht 1 nummer 5 : toevoegen van 0,615 + k π; 0,615 + kπ π Opdracht 1 nummer : afschrappen van wat er staat en schrijven kπ en + kπ met k Opdracht 1 nummer 5 : toevoegen van 0,570 + k π ; 1,001+ kπ
Voorbereidende sessie toelatingsexamen
1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatieEerste deel van de cursus Algebra
Eerste deel van de cursus Algebra Procentrekenen Toename met p%: groeifactor = 1 + p% Afname met p% : groeifactor = 1 p% Toename in procenten = Afname in procenten = toename beginwaarde afname beginwaarde
Nadere informatie1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieLeerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat.
Het gevolgde leerplan is D/2002/0279/047. In de onderstaande tabel vind je een overzicht van de doelstellingen en waar ze in Delta Nova 4a en 4b (leerweg 5) terug te vinden zijn. B = basisdoelstelling
Nadere informatieVoorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatie1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14
INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte
Nadere informatievoorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatieEen checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...
Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatieVoorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatie7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden
7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2
Nadere informatieP is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatieInhoudsopgave. I Theorie 1
Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................
Nadere informatieFORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10
FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatie2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een
Nadere informatieOef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1
Herhalingsoefeningen Tweedegraadsfuncties Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1
Nadere informatieINLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN
INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN...1 2. FUNCTIES...2 3. ARGUMENT EN BEELD...3 4. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...4 5. DE FUNCTIEWAARDETABEL...5 6. DE GRAFIEK...6 7. FUNCTIES HERKENNEN...7 8. OPLOSSINGEN...9
Nadere informatieICT in wiskunde. Een softwarepakket voor de tweede graad ASO-TSO-KSO
ICT in wiskunde Een softwarepakket voor de tweede graad ASO-TSO-KSO 1. Wat is SoftMaths? 1.1 Overzicht van de toepassingen. blz. 1 1.2 Bijzondere kenmerken. blz. 3 2. Gebruik van SoftMaths: praktijkvoorbeelden.
Nadere informatie6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden
6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p
Nadere informatieVeeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm
Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Goniometrie, vlakke meetkunde en rekenen met vectoren in de fysica (versie 0 juli 008) Rekenen met vectoren is een basisvaardigheid voor vakken natuurkunde.
Nadere informatieTe kennen leerstof Wiskunde
- 1 - Te kennen leerstof Wiskunde Wiskundeproeven voor de faculteit sociale en militaire wetenschappen (SSMW) en voor de polytechnische faculteit (POL) De te kennen leerstof is gebaseerd op de richtingen
Nadere informatieICT Practicumboek (4e JAAR secundair onderwijs)
ICT Practicumboek (4e JAAR secundair onderwijs) GeoGebra Dit leerwerkboekje is bruikbaar in alle klassen aso tso kso van alle netten Functieleer, meetkunde & complexe getallen in het vierde jaar met GeoGebra
Nadere informatieDe beeldpunten P en P van gelijke hoeken vallen samen. y 1 P=P' cos α
65 5 VERWANTE HOEKEN - Afstandsleren Opdracht: Surf naar het wiskundewebje dat je vindt op http://home.scarlet.be/~greetvrh en kies voor het vijfde jaar en voor Goniometrie. Gebruik de applets, 2, 3, 4,
Nadere informatie3.1 Kwadratische functies[1]
3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt
Nadere informatieUNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2007
MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 007 VK : WISKUNE TUM: WOENSG 04 JULI 007 TIJ : 09.45.5 UUR (TOELTING VWO/HVO/NTIN) 09.45.45
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt
Nadere informatieH. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische
Nadere informatietoelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.
Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag
Nadere informatie7.1 Ongelijkheden [1]
7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij
Nadere informatieUNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009
MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 009 VK : WISKUNE TUM : VRIJG 0 JULI 009 TIJ : 09.45.45 UUR ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nadere informatieSchooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048
Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09
Nadere informatieNoorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database
Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieSchoolagenda klas 4d LWi
Schoolagenda klas 4d LWi Koen De Naeghel Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek schooljaar 2017-2018 Eerste trimester Toetsen wiskunde (80% TTE) 5 repetities en eventueel enkele kleine, aangekondigde testen
Nadere informatieVlakke Meetkunde Goniometrie
Vlakke Meetkunde Goniometrie L. Van Maldeghem Cursus voor de tweede graad Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Moderne Talen-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Het euclidische vlak 1.1 Herhaling 1.1.1 Het begrip
Nadere informatieVOORKENNIS WISKUNDE Inleidende begrippen
VOORKENNIS WISKUNDE Inleidende begrippen Voor studenten in de Toegepaste Economische Wetenschappen L.Motmans WOORD VOORAF In het eerste jaar van de bacheloropleiding toegepaste economische wetenschappen
Nadere informatieMETA-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieLeerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB)
Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB) Domein : Bewerkingen Onderwerp: vervolg breuken B11 B11 B11 De leerlingen kunnen ongelijknamige breuken gelijknamig maken, optellen en aftrekken. De leerlingen kunnen bij
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieGoniometrische functies
Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatieHoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R
- 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel
Nadere informatie( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong
Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van
Nadere informatieGoniometrie. Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings
Goniometrie Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings 1 Hoeken 1.1 De goniometrische cirkel De goniometrische cirkel wordt steeds gedefinieerd in een orthonormaal assenkruis. Het is een cirkel met het middelpunt
Nadere informatieDeel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB
Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte
Nadere informatie6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]
6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde
Nadere informatieHet installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/.
Softmaths 1 Softmaths Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. De code kan je bekomen op de school. Goniometrie en driehoeken Oplossen van driehoeken - Start van het programma:
Nadere informatieTe kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be
Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen
Nadere informatieContinue wiskunde Voorkennis
T.08.1.3.1 Continue wiskunde Voorkennis Voorlopige versie september 2006 2006 Open Universiteit Nederland OUN Continue wiskunde Inhoud Voorkennis continue wiskunde Introductie Leerkern 1 Getallenverzamelingen
Nadere informatieActief gedeelte - Maken van oefeningen
Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2
Nadere informatieTransformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1
Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen
Nadere informatied. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.
Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat
Nadere informatieSchoolagenda klas 4d W
Schoolagenda klas 4d W Koen De Naeghel Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek schooljaar 2016-2017 Eerste trimester Toetsen wiskunde (80% TTE) 5 repetities en eventueel enkele kleine, aangekondigde testen
Nadere informatieChecklist Wiskunde B HAVO HML
Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten
Nadere informatieDossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra
Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2
Nadere informatie11 ) Oefeningen. a) y = 2x 1 f) y = x 2 + 3x 4. b) y = 1 3 x2 x + 1 8. g) y = 1 x 2. c) y = x 3 x 2 +1 h) y = 6. d) y = x 2 4 i) y = x 2 5.
11 ) Oefeningen 1) Vergelijkingen van functies Welke vergelijkingen stellen een rechte voor? Welke vergelijkingen stellen een parabool voor? Welke vergelijkingen stellen noch een rechte noch een parabool
Nadere informatieREËLE FUNCTIES BESPREKEN
INLEIDING FUNCTIES 1. DEFINITIE...3 2. ARGUMENT EN BEELD...4 3. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...5 4. DE FUNCTIEWAARDETABEL...7 5. DE GRAFIEK...9 6. FUNCTIES HERKENNEN...12 7. OEFENINGEN...14 8. OPLOSSINGEN...18
Nadere informatie1. Invoering van de goniometrische cirkel
. Invoering van de goniometrische cirkel We beschouwen de eenheidscirkel. Beschouwen we eveneens twee loodrechte assen door O. We duiden (E o, E δ ) aan : een orthonormale basis van het vlak. We kunnen
Nadere informatieGoniometrie. Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings
Goniometrie Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings 1 Hoeken 1.1 De goniometrische cirkel De goniometrische cirkel wordt steeds gedefinieerd in een orthonormaal assenkruis. Het is een cirkel met het middelpunt
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten
Nadere informatie4.1 Rekenen met wortels [1]
4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:
Nadere informatieOef 1. Oef 2. Ontbind, indien mogelijk, de veeltermen in factoren.
Herhalingsoefeningen Problemen oplossen Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Elk
Nadere informatieDelta Nova. Delta Nova Analyse deel 1 3 lesuren. Delta Nova bestaat voor de eerste en tweede graad uit:
Delta Nova bestaat voor de eerste en tweede graad uit: Delta Nova Eerste graad Delta Nova a leerboek en werkboek Delta Nova b leerboek en werkboek Delta Nova a leerboek en werkboek Delta Nova b leerboek
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatieInleiding goniometrie
Inleiding goniometrie We bekijken de volgende twee hellingen: 1 2 Duidelijk is dat de tweede helling steiler is dan de eerste helling. Ook zien we dat hellingshoek 2 groter is dan hellingshoek 1. Er bestaat
Nadere informatie3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatieHet rechterlid van het voorschrift van een veeltermfunctie is een veelterm in één veranderlijke.
5 ASO H zwak leerboek 5-8- 6:9 Pagina. INLEIDING Vorig jaar maakten we al kennis met een basispakket functies : h g a) de constante functies : f () = a b) de eerstegraadsfuncties : g () = a + b c) de tweedegraadsfuncties
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Nadere informatieConstrueer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel.
Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Construeer
Nadere informatie5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B
Boekverslag door P. 1778 woorden 11 januari 2012 5.7 103 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 Formules en Grafieken 1.1 Lineaire verbanden Van de lijn y=ax+b is de
Nadere informatieWPP 5.1: Reële functies. Oplossing onderzoeksopdrachten. Werkbladen ICT : Opgaven en oplossingen
WPP 5.1: Reële functies onderzoeksopdrachten Werkbladen ICT : Opgaven en oplossingen Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 0 Het gedrag op oneindig van een veeltermfunctie 5 = + Gegeven : de functie f
Nadere informatieStandaardfuncties. x c
Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 986 987: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij of zij
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde Olmpiade 008-009: tweede ronde Wat is het voorschrift van deze tweedegraadsfunctie? (0, ) (, ) 0 (A) f() = ( + ) (B) f() = ( + ) + (C) f() = ( ) + (D) f() = ( ) (E) f() = ( ) + In volgend
Nadere informatieMachtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie. 1) Met een positief exponent in de term(en) ( )
Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen ).
Nadere informatieGrafieken van veeltermfuncties
(HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken
Nadere informatieExacte waarden bij sinus en cosinus
acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie
Nadere informatieSamenvatting wiskunde B
Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!
Nadere informatieParagraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 9 Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Les 1 : Lineaire Formules Definities Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = hellingsgetal
Nadere informatieHOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES
1 HOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES 1 Periodieke functies 2 1.1 Op verkenning 2 1.2 Periodieke functie 2 1.3 Periode-interval, evenwichtslijn en amplitude 4 1.4 De perioderechthoek 4 1.5 Oefeningen
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan
Nadere informatieTweede graadsfuncties
CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1 Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 20
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatie25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar
25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een
Nadere informatieklas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf
Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de
Nadere informatie12. Uitwerkingen van de opgaven
12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);
Nadere informatieMachtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie
Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0
Nadere informatieklas 3 vwo Checklist VWO klas 3.pdf
Checklist 3 VWO wiskunde klas 3 vwo Checklist VWO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de grafiek
Nadere informatie2.1 Lineaire functies [1]
2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatieTweede graadsfuncties
CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1 Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 20 deelnemers
Nadere informatiePer nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de juiste volgorde te worden opgelost.
SBC AMDG Ma 13/12/04 klas : 5WEWI8 5GRWI8 Van Hijfte D. toegelaten : grafisch rekentoestel Examen Wiskunde deel I (90p) Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =
Nadere informatie