1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen"

Transcriptie

1 1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Merkwaardige producten, ontbinden in factoren 1.1 Merkwaardige producten ( ) ( ) a+ b = a + ab+ b a b = a ab+ b ( ) ( ) a+ b = a + ab+ ab + b a b = a ab+ ab b ( )( ) a b a+ b = a b ( )( ) ( )( ) n 1 n n n 1 n ( a b)( a + a b ab + b ) = a n 1 n n n 1 n ( a + b)( a a b +... ab + b ) = a n b n + b ( n oneven ) a b a + ab+ b = a b a+ b a ab+ b = a + b 1. Ontbinden in factoren ( ) ( ) a + ab+ b = a+ b a ab+ b = a b ( )( ) ( ) ( a + a b + ab + b = a + b a a b + ab b = a b a b = a b a+ b ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) a b = a b a + ab+ b a + b = a+ b a ab+ b a b = a b a + a b ab + b n n n 1 n n n 1 n n n 1 n n n 1 a + b = a + b a a b +... ab + b n oneven + + De drieterm ax bx c ontbinden : ( ) ( ) > + + = 1. D 0 ax bx c a x x1 x x met x1 en x de oplossingen van ax + bx + c = 0. ( ). D = 0 ax + bx + c = a x x1 met x1 de oplossing van ax + bx + c = 0. D 0 ax bx c is niet te ontbinden < + + ) 1

2 Eerstegraadsvergelijkingen Definitie Een vergelijking van de vorm ax + b = 0 met a l R 0 en b l R noemt men een eerstegraadsvergelijking in x. Het oplossen van een eerstegraadsvergelijking ax + b = 0 ax = b b x = a b Oplv.V = a Tweedegraadsvergelijkingen Definities Een vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0 met a l R 0 en b,c l R noemt men een tweedegraadsvergelijking in x. Een vergelijking van de vorm ax 4 + bx² + c = 0 met a l R 0 en b,c l R noemt men een bikwadratische vergelijking in x. Benamingen - Vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking in x: een tweedegraadsvergelijking in x - Standaardvorm van een tweedegraadsvergelijking: ax² + bx + c = 0 met a, b en c als coëfficiënten. - Oplossing van een (tweedegraads)vergelijking: een reëel getal dat aan de (tweedegraads)vergelijking voldoet - Oplossingenverzameling van een (tweedegraads)vergelijking: de verzameling van alle oplossingen van de (tweedegraads)vergelijking - Gelijkwaardige vergelijkingen: vergelijkingen met dezelfde oplossingenverzameling Formules D = b² 4ac noemen we de discriminant van de tweedegraadsvergelijking ax² + bx + c = 0. b + D b D Als D > 0, dan is Oplv.V =,. a a b Als D = 0, dan is Oplv.V =. a Als D < 0, dan is Oplv.V =.

3 Eigenschappen - Als x 1 en x de oplossingen zijn van de tweedegraadsvergelijking ax² + bx + c = 0, b c dan is de som S= x1 + x = en het product P = x1 x =. a a - Als x 1 en x de oplosssingen zijn van de tweedegraadsvergelijking ax² + bx + c = 0, dan kan de drieterm ax² + bx + c ontbonden worden in a(x x 1 )(x x ). Vergelijkingen die herleidbaar zijn tot een tweedegraadsvergelijking - Een bikwadratische vergelijking ax 4 + bx² + c = 0 kunnen we noteren als a(x²)² + bx² + c = 0. Door x² te vervangen door y bekomen we de tweedegraadsvergelijking ay² + by + c = 0. - Een vergelijking van de vorm a [ f(x) ] + b f(x) + c = 0 kan herleid worden naar een tweedegraadsvergelijking door f(x) te vervangen door y. 4 Het delen van veeltermen 4.1 De Euclidische deling - Veelterm in één veranderlijke: a, a,..., a, a lr. n n a x + a x a x + a met n IN en n n 1 n n In deze veelterm is x de veranderlijke. - Coëfficiëntenrij van de veelterm: de rij getallen In deze rij is a 0 de constante term. a n, a n 1,..., a 1, a 0. - Een veelterm herleiden: de gelijksoortige termen in een veelterm optellen - Een veelterm rangschikken: de termen in een herleide veelterm zo opschrijven dat de opeenvolgende exponenten van de veranderlijke ofwel dalen, ofwel stijgen - Graad van een herleide veelterm in één veranderlijke: de hoogste exponent van de veranderlijke. - Volledige veelterm in één veranderlijke: alle exponenten van de veranderlijke van de hoogste exponent tot en met de exponent nul komen in de veelterm voor en alle coëfficiënten zijn verschillend van nul. Formule voor de Euclidische deling van veeltermen Als A(x) en B(x) twee veeltermen zijn, waarbij B(x) verschillend is van de nulveelterm, dan is de veelterm Q(x) het quotiënt en de veelterm R(x) de rest van de deling van A(x) door B(x) a.s.a A(x) = B(x) Q(x) + R(x) met gr R(x) < gr B(x) of met R(x) = 0. Een deling van een veelterm door een veelterm waarbij de rest nul is, noemen we een opgaande deling. Bij een opgaande deling is de veelterm A(x) deelbaar door de veelterm B(x).

4 4. Deelbaarheid door x a - Quotiëntbepaling bij deling door x a De coëfficiëntenrij van het quotiënt bij de deling van ax + ax + ax+ a door x a, bepalen we met de regel van Horner. 1 0 a a a1 a0 a aq aq1 aq0 q q1 q0 R coefficientenrij van het deeltal rest coefficientenrij van het quotient Het quotiënt is qx + qx 1 + q 0 en de rest is R. ( )( ) ax + ax + ax+ a = x a qx + qx+ q + R Kenmerk van deelbaarheid door x a De veelterm A(x) is deelbaar door x a A(a) = 0 - Eigenschappen De rest van de deling van een veelterm A(x) door x a is gelijk aan de getalwaarde van A(x) voor x = a. Deze eigenschap noemen we de reststelling. Als de coëfficiëntenrij a n, a n 1,..., a 1, a0 van een veelterm A(x) uitsluitend gehele getallen bevat en x a een deler is van A(x) waarbij a een geheel getal is, dan is a een deler van de constante term a. Voor twee verschillende getallen a en b geldt: A(x) is deelbaar door x a en door x b a.s.a. A(x) is deelbaar door (x a)(x b). - Voorbeeld Los 6x 11x 19x 6 0 op naar x in R. Oplossing = Via het rekentoestel zoeken we een deler van de vorm x a. Met de regel van Horner delen we 6x 11x 19x 6 door x. 0 l 4

5 x 11x 19x 6 = 0 ( )( ) x 6x + 7x+ = 0 x 0 of 6x 7x 0 = + + = 1 x = of x = of x = 1 Oplv.V =,, Nog even dit! Sommige hogeregraadsvergelijkingen kunnen vlot opgelost worden via ontbinding in factoren. Voorbeeld Losx 4x x+ 4= 0opnaarxin lr. Oplossing x 4x x = = ( ) ( ) x x 4 x 4 0 ( ) ( ) x 4 x 1 = 0 ( een product is nul a.s.a. minstens één van de factoren is nul) x 4 = 0 of x 1= 0 x = 4 of x = 1 x = 4 of x = 1 of x = 1 { } Oplv. V = 1, 1, 4 5

6 1 Functies 1.1 Definities Overzicht voorkennis reële functies - Een verband tussen twee veranderlijken zo dat bij elke waarde van de onafhankelijk veranderlijke hoogstens één waarde van de afhankelijk veranderlijke behoort, noemt men een functie. Als twee grootheden met elkaar in verband staan, dan noemen we de grootheid waarvoor men waarden kiest, de onafhankelijk veranderlijke en de grootheid waarvan men de waarden bepaalt de afhankelijk veranderlijke. Een functie waarbij de twee veranderlijken reële getallen zijn, noemen we een reële functie. In het functievoorschrift f(x) = y is x de invoerwaarde en y de functiewaarde. - De verzameling van alle invoerwaarden van een functie waarvoor de functiewaarde bestaat, noemt men het domein van de functie. - De verzameling van alle functiewaarden van een functie, noemt men het bereik van de functie. 1. Benamingen - Nulwaarde: een invoerwaarde waarvoor de functiewaarde nul is - Nulpunt: een snijpunt van de grafiek van de functie met de x-as - Als in een interval bij toenemende invoerwaarden de functiewaarden groter worden, zeggen we dat de functie stijgend is in dit interval. Als in een interval bij toenemende invoerwaarden de functiewaarden kleiner worden, zeggen we dat de functie dalend is in dit interval. Als in een interval al de functiewaarden gelijk zijn, zeggen we dat de functie constant is in dit interval. Eerstegraadsfuncties - Een functie met een voorschrift van de vorm f(x) = mx + q, met m l R0 en q lr noemt men een eerstegraadsfunctie. m is de coëfficiënt van x en q is de constante. - Een functie met een voorschrift van de vorm f(x) = q is een constante functie. - Eerstegraadsfuncties en constante functies zijn lineaire functies. 6

7 - Grafiek van f(x) = mx + q De grafiek van f(x) = mx + q met m, q lr is een rechte. Een functie f(x) = mx + q met m > 0 is stijgend. Een functie f(x) = mx + q met m < 0 is dalend. De grafiek van een functie f(x) = mx ligt dichter bij de y-as, naarmate m groter wordt. In de grafiek van de functie f(x) = mx + q is m de richtingscoëfficiënt, is ( 0, q) de coördinaat q van het snijpunt met de y-as en is,0 m de coördinaat van het nulpunt. q q m - Tekenschema Voor elke eerstegraadsfunctie f(x) = mx + q geldt volgend tekenschema: x - f(x) = mx + q tegengesteld teken van m 0 teken van m q m + - Verloopschema m > 0 m < 0 x x f(x) f(x) f is stijgend in lr. f is dalend in lr. - Voorbeeld f(x) = x + 6 dom f = lr en ber f = l R Grafiek van f De nulwaarde van f is. Het nulpunt van f is het punt met coördinaat (, 0). Tekenschema x + f(x) + 0 Verloopschema x f(x) f is dalend in l R. y = x + 6 is de vergelijking van de grafiek van f. 7

8 Tweedegraadsfuncties - Een functie met een voorschrift van de vorm f(x) = ax² + bx + c, met a lr 0 en b,c l R noemt men een tweedegraadsfunctie. - Grafiek van f(x) = ax² + bx + c De grafiek is een parabool. Als a > 0, dan is de parabool een dalparabool. Als a < 0, dan is de parabool een bergparabool. Een dalparabool heeft een positieve kromming en een bergparabool heeft een negatieve kromming. De parabool wordt smaller naarmate a groter wordt. De parabool snijdt de y-as in het punt met coördinaat (0,c). b De symmetrieas is de rechte met vergelijking x =. a De top van de parabool heeft als coördinaat b D b b, met D = b 4ac, of nog,,f a 4a a a. - Ligging van de top ten opzichte van de assen D 4a b a a > 0 D > 0 D=0 D < 0 x x 1 x = x 1 a < 0 D > 0 D=0 D < 0 x = x 1 x x 1 8

9 - Bereik f(x) ax bx cmet a 0 f(x) ax bx cmet a 0 = + + > = + + < b b ber f = f, +, of nog, ber f, f, of nog, a = a D D ber f =, + ber f =, 4a 4a - Verloopschema f(x) = ax + bx+ cmet a > 0 f(x) = ax + bx+ cmet a < 0 x f(x) - b + - b + a x a b b f a f(x) f a min. max. - Tekenschema f(x) = ax² + bx + c met D > 0 x - x 1 x + f(x) teken van a 0 tegengesteld teken van a 0 teken van a f(x) = ax² + bx + c met D = 0 x - x 1 + f(x) teken van a 0 teken van a f(x) = ax² + bx + c met D < 0 x - + f(x) teken van a - Voorbeeld f(x) = x² x + a = 1 de parabool een bergparabool De symmetrieas is de rechte met vergelijking s: x = 1. De top van de parabool heeft als coördinaat ( 1, 4). De parabool snijdt de y-as in het punt met coördinaat (0, ). ber f = ], 4] 9

10 Verloopschema x f(x) 4 max. Tekenschema D = ( )² 4.( 1). = 16 x 1 = en x = 1 x f(x) Grafiek van f y = x² x + is de vergelijking van de grafiek van f. - Toepassing Los de ongelijkheid x + x + 15x 18 > 0 op naar x. Oplossing De veelterm x + x + 15x 18 bepaalt de functie f (x) = x + x + 15x 18. We bepalen de nulwaarden van f. f(x) = 0 x x 15x = Om het linkerlid van deze derdegraadsvergelijking te ontbinden, maken we gebruik van het rekenschema van Horner

11 x x 15x = (x )( x x 9) 0 + = = + = x 0 of x x 9 0 x = of x = of x = De nulwaarden van f zijn, en. Tekenschema x - + x 0 + x x f(x) ~ Besluit : Oplv.O = ], [, 4 Studie van enkele functies - Een functie waarbij alle tegengestelde invoerwaarden dezelfde functiewaarde hebben, noemt men een even functie. Een functie waarbij alle tegengestelde invoerwaarden tegengestelde functiewaarden hebben, noemt men een oneven functie. - Buigpunt van een grafiek: het punt van de grafiek waar de kromming van teken verandert Buigraaklijn van een grafiek: de raaklijn aan de grafiek waarbij het raakpunt een buigpunt is - Grafieken De grafiek van de functie f (x) = x De grafiek van de functie f (x) = x De grafiek van de functie f (x) = x De grafiek van de functie f (x) = 1 x 11

12 - Symmetrie in de grafiek van functies symmetrie t.o.v. de y-as De y-as is een symmetrieas van de grafiek van f ( ) ( ) x dom f : f x = f x symmetrie t.o.v. de oorsprong De oorsprong van het assenstelsel is een symmetriecentrum van de grafiek van f ( ) ( ) x dom f : f x = f x - Een grafiek transformeren Als we de grafiek van een functie f verticaal verschuiven met een waarde k, dan is g(x) = f(x) + k het functievoorschrift van het schuifbeeld. f g Als we de grafiek van een functie f horizontaal verschuiven met een waarde k, dan is g(x) = f(x - k) het functievoorschrift van het schuifbeeld. g f Als we de grafiek van een functie f verticaal uitrekken of samendrukken met een waarde k ( k lr0 ) dan is g(x) = k f(x) het functievoorschrift van de vervormde grafiek. Als k>1dan wordt de grafiek van f verticaal uitgerokken. Als k<1dan wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt. Bij de transformatie van f naar g volgens de formule g(x) = k f (x) blijven de nulpunten behouden. g f f g 1

13 1 De goniometrische cirkel Overzicht voorkennis goniometrie Kwadrant: één van de gebieden waarin het vlak verdeeld is door een cartesiaans assenstelsel I, II, III en IV duiden respectievelijk het eerste, het tweede, het derde en het vierde kwadrant aan. Goniometrische cirkel: een georiënteerde cirkel die als middelpunt de oorsprong van het assenstelsel heeft en als straal de lengte-eenheid. Beeldpunt van een hoek: het snijpunt van de goniometrische cirkel en het eindbeen van de middelpuntshoek waarvan het beginbeen samenvalt met het positief deel van de x-as ~ In de goniometrische cirkel is B is het beeldpunt van de hoek AOB. Goniometrische getallen van een hoek Cosinus van een hoek: het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel Sinus van een hoek: het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel Tangens van een hoek: het quotiënt van de sinus en de cosinus van de hoek sin α tan α= cos α tan α is niet gedefinieerd indien cos α gelijk is aan nul, dus als α = 90 + k 180, k. Cotangens van een hoek: het quotiënt van de cosinus en de sinus van de hoek cos α cot α= sin α cot α is niet gedefinieerd indien sin α gelijk is aan nul, dus als α = k 180, k. Gevolg 1 1 tan α= cot α= cot α tan α 1

14 Hoofdformule Voor elke hoek α geldt: cos α+ sin α= 1 Grenswaarden en teken van de goniometrische getallen van een hoek α 0 eerste kwadrant 90 tweede kwadrant 180 derde kwadrant 70 vierde kwadrant 60 cosα sin α tan α cot α cosα 1 1 sinα 1 < tan α<+ < cot α<+ Ook onderstaande waardentabel is nuttig (vanwege zijn exacte mode). α cos α 1 0 sin α 0 tan α ~ 4 Meetkundige betekenis van de tangens van een hoek In een vergelijking van de vorm y = mx is de richtingscoëfficiënt m van de rechte v gelijk aan de tangens van de hoek bepaald door het positief deel van de x-as en de rechte v. 14

15 ~ 5 Goniometrische getallen van verwante hoeken Gelijke hoeken Gelijke hoeken hebben dezelfde goniometrische getallen. cos( α+ k 60 ) = cosα sin( α+ k 60 ) = sin α tan( α+ k 60 ) = tan α cot( α+ k 60 ) = cot α met k X Tegengestelde hoeken Tegengestelde hoeken hebben dezelfde cosinus en een tegengestelde sinus. cos( α ) = cosα sin( α ) = sin α tan( α ) = tan α cot( α ) = cot α Supplementaire hoeken Supplementaire hoeken hebben een tegengestelde cosinus en dezelfde sinus. cos(180 α ) = cosα sin(180 α ) = sin α tan(180 α ) = tan α cot(180 α ) = cot α Complementaire hoeken De sinus van een hoek is gelijk aan de cosinus van zijn complement. De cosinus van een hoek is gelijk aan de sinus van zijn complement. cos(90 α ) = sin α sin(90 α ) = cosα tan(90 α ) = cot α cot(90 α ) = tan α 15

16 6 Driehoeksmeting van de rechthoekige driehoek Sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek: het quotiënt van de overstaande rechthoekszijde van die scherpe hoek en de schuine zijde. Cosinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek: het quotiënt van de aanliggende rechthoekszijde van die scherpe hoek en de schuine zijde. Tangens van een scherpe hoek in een rechtoekige driehoek: het quotiënt van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde van die scherpe hoek. b sinβ= a c cosβ= a b tan β= c ~ 7 Driehoeksmeting van de willekeurige driehoek Sinusregel In een driehoek ABC met omgeschreven cirkel geldt: c (O, r) a b c = = = r sin α sinβ sin γ Cosinusregel In een driehoek ABC geldt: a² = b² + c² bc cosα b² = a² + c² ac cosβ c² = a² + b² ab cos γ c (O, r) 16

17 Erratum bij de theorie van WPP 5.1 Reële functies Bladzijde 1, lijn 16 : 1 5 = 4 ; Op de grafiek van h ontbreekt het bolletje in (1, 4). Gegeven : f x = x x + 1 in plaats van x x + 1 Bladzijde 0, opdracht 9, ( ) Bladzijde 179, lijn 1, blz. 6 in plaats van blz. 000 Bladzijde 180 blokje 'Anticomplementaire hoeken' moet blokje zijn Bladzijde 198, bovenaan de twee kolommen : 'Verschuif je van f(x) = sin x' moet worden 'Vervorm je van f(x) = sin x' Onderaan bladzijde 06 : afschrappen van de zin 'Omdat het gaat over een horizontale samendrukking is b positief '. Vervangen door : 'Omdat b l R + 0 is b = '. α α Bladzijde 6, lijn 16 : Zo is sin α= sin cos. a b = a+ b a b Bladzijde 56 punt 1. : ( )( ) Bladzijde 58 punt. : boven de drie bergparabolen moet a < 0 staan Bladzijde 59 : in het rechter verloopschema moeten de pijltjes omgewisseld worden Bladzijde 60 : Als k > 0 dan verschuift de grafiek van f naar boven. Als k < 0 dan verschuift de grafiek van f naar onder. Als k > 0 dan verschuift de grafiek van f naar rechts. Als k < 0 dan verschuift de grafiek van f naar links. Erratum bij de eindoplossingen van WPP 5.1 Reële functies blz Reële functies Opdracht nummer. afschrappen van : maar f ( x) = g ( x). Homografische functies 4 Opdracht 8 nummer. dom k =, 7. Rationale functies Opdracht 9 : de gegeven oplossingen zijn juist, maar de nummeringen zijn fout. 1. P H = PE = PS = + t t 4 t t = 100 t = 0 t t 4. P en... ( ) 15 4 Opdracht 14 nummer 5. x, ] 5, + [ Opdracht 15 nummer. x ], [ ], + [ en nummer. x ], 4[ ], + [

18 Opdracht 18 nummer. V( 4) is 5,6 maal groter dan v( 4 ).1 Rekenen met wortelvormen en machten 4 Opdracht 4 nummer Opdracht 1 nummer a en nummer 9. Opdracht 17 nummer. 8, Irrationale functies Opdracht nummer. k 0,958 0t + 60 π Opdracht 5 nummer. Er zijn twee onafhankelijk veranderlijken. Opdracht 4 nummer 1. d( V ) = 6V π en nummer. d ( t ) = 11 a 4.1 Goniometrische getallen van een hoek π 1π 5π Opdracht 8 1. rad. rad. π rad 4. rad 5. 5π rad Opdracht tan α. cosα Opdracht 1. x = 1 6'7,7" + k 180 of Goniometrische functies Opdracht 4 het laatste koppel moet zijn (4,91 ; 4,91) Toevoegen : Opdracht 5 B Toevoegen : Opdracht 6 D 4. Goniometrisch rekenen Opdracht. Opdracht 4. sin 50 sin cos 67 cos cos10 + cos Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden Opdracht 1 in nummer 1 en nummer 5 : telkens 0 toevoegen Opdracht 1 nummer 5 : toevoegen van 0,615 + k π; 0,615 + kπ π Opdracht 1 nummer : afschrappen van wat er staat en schrijven kπ en + kπ met k Opdracht 1 nummer 5 : toevoegen van 0,570 + k π ; 1,001+ kπ

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar

Nadere informatie

Eerste deel van de cursus Algebra

Eerste deel van de cursus Algebra Eerste deel van de cursus Algebra Procentrekenen Toename met p%: groeifactor = 1 + p% Afname met p% : groeifactor = 1 p% Toename in procenten = Afname in procenten = toename beginwaarde afname beginwaarde

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Leerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat.

Leerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat. Het gevolgde leerplan is D/2002/0279/047. In de onderstaande tabel vind je een overzicht van de doelstellingen en waar ze in Delta Nova 4a en 4b (leerweg 5) terug te vinden zijn. B = basisdoelstelling

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1 Herhalingsoefeningen Tweedegraadsfuncties Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1

Nadere informatie

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN...1 2. FUNCTIES...2 3. ARGUMENT EN BEELD...3 4. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...4 5. DE FUNCTIEWAARDETABEL...5 6. DE GRAFIEK...6 7. FUNCTIES HERKENNEN...7 8. OPLOSSINGEN...9

Nadere informatie

ICT in wiskunde. Een softwarepakket voor de tweede graad ASO-TSO-KSO

ICT in wiskunde. Een softwarepakket voor de tweede graad ASO-TSO-KSO ICT in wiskunde Een softwarepakket voor de tweede graad ASO-TSO-KSO 1. Wat is SoftMaths? 1.1 Overzicht van de toepassingen. blz. 1 1.2 Bijzondere kenmerken. blz. 3 2. Gebruik van SoftMaths: praktijkvoorbeelden.

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Goniometrie, vlakke meetkunde en rekenen met vectoren in de fysica (versie 0 juli 008) Rekenen met vectoren is een basisvaardigheid voor vakken natuurkunde.

Nadere informatie

Te kennen leerstof Wiskunde

Te kennen leerstof Wiskunde - 1 - Te kennen leerstof Wiskunde Wiskundeproeven voor de faculteit sociale en militaire wetenschappen (SSMW) en voor de polytechnische faculteit (POL) De te kennen leerstof is gebaseerd op de richtingen

Nadere informatie

ICT Practicumboek (4e JAAR secundair onderwijs)

ICT Practicumboek (4e JAAR secundair onderwijs) ICT Practicumboek (4e JAAR secundair onderwijs) GeoGebra Dit leerwerkboekje is bruikbaar in alle klassen aso tso kso van alle netten Functieleer, meetkunde & complexe getallen in het vierde jaar met GeoGebra

Nadere informatie

De beeldpunten P en P van gelijke hoeken vallen samen. y 1 P=P' cos α

De beeldpunten P en P van gelijke hoeken vallen samen. y 1 P=P' cos α 65 5 VERWANTE HOEKEN - Afstandsleren Opdracht: Surf naar het wiskundewebje dat je vindt op http://home.scarlet.be/~greetvrh en kies voor het vijfde jaar en voor Goniometrie. Gebruik de applets, 2, 3, 4,

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2007

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2007 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 007 VK : WISKUNE TUM: WOENSG 04 JULI 007 TIJ : 09.45.5 UUR (TOELTING VWO/HVO/NTIN) 09.45.45

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag

Nadere informatie

7.1 Ongelijkheden [1]

7.1 Ongelijkheden [1] 7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij

Nadere informatie

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 009 VK : WISKUNE TUM : VRIJG 0 JULI 009 TIJ : 09.45.45 UUR ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048

Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048 Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Schoolagenda klas 4d LWi

Schoolagenda klas 4d LWi Schoolagenda klas 4d LWi Koen De Naeghel Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek schooljaar 2017-2018 Eerste trimester Toetsen wiskunde (80% TTE) 5 repetities en eventueel enkele kleine, aangekondigde testen

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Goniometrie

Vlakke Meetkunde Goniometrie Vlakke Meetkunde Goniometrie L. Van Maldeghem Cursus voor de tweede graad Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Moderne Talen-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Het euclidische vlak 1.1 Herhaling 1.1.1 Het begrip

Nadere informatie

VOORKENNIS WISKUNDE Inleidende begrippen

VOORKENNIS WISKUNDE Inleidende begrippen VOORKENNIS WISKUNDE Inleidende begrippen Voor studenten in de Toegepaste Economische Wetenschappen L.Motmans WOORD VOORAF In het eerste jaar van de bacheloropleiding toegepaste economische wetenschappen

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB)

Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB) Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB) Domein : Bewerkingen Onderwerp: vervolg breuken B11 B11 B11 De leerlingen kunnen ongelijknamige breuken gelijknamig maken, optellen en aftrekken. De leerlingen kunnen bij

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Goniometrische functies

Goniometrische functies Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R - 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

Goniometrie. Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings

Goniometrie. Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings Goniometrie Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings 1 Hoeken 1.1 De goniometrische cirkel De goniometrische cirkel wordt steeds gedefinieerd in een orthonormaal assenkruis. Het is een cirkel met het middelpunt

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] 6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde

Nadere informatie

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/.

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. Softmaths 1 Softmaths Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. De code kan je bekomen op de school. Goniometrie en driehoeken Oplossen van driehoeken - Start van het programma:

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

Continue wiskunde Voorkennis

Continue wiskunde Voorkennis T.08.1.3.1 Continue wiskunde Voorkennis Voorlopige versie september 2006 2006 Open Universiteit Nederland OUN Continue wiskunde Inhoud Voorkennis continue wiskunde Introductie Leerkern 1 Getallenverzamelingen

Nadere informatie

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Schoolagenda klas 4d W

Schoolagenda klas 4d W Schoolagenda klas 4d W Koen De Naeghel Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek schooljaar 2016-2017 Eerste trimester Toetsen wiskunde (80% TTE) 5 repetities en eventueel enkele kleine, aangekondigde testen

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

11 ) Oefeningen. a) y = 2x 1 f) y = x 2 + 3x 4. b) y = 1 3 x2 x + 1 8. g) y = 1 x 2. c) y = x 3 x 2 +1 h) y = 6. d) y = x 2 4 i) y = x 2 5.

11 ) Oefeningen. a) y = 2x 1 f) y = x 2 + 3x 4. b) y = 1 3 x2 x + 1 8. g) y = 1 x 2. c) y = x 3 x 2 +1 h) y = 6. d) y = x 2 4 i) y = x 2 5. 11 ) Oefeningen 1) Vergelijkingen van functies Welke vergelijkingen stellen een rechte voor? Welke vergelijkingen stellen een parabool voor? Welke vergelijkingen stellen noch een rechte noch een parabool

Nadere informatie

REËLE FUNCTIES BESPREKEN

REËLE FUNCTIES BESPREKEN INLEIDING FUNCTIES 1. DEFINITIE...3 2. ARGUMENT EN BEELD...4 3. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...5 4. DE FUNCTIEWAARDETABEL...7 5. DE GRAFIEK...9 6. FUNCTIES HERKENNEN...12 7. OEFENINGEN...14 8. OPLOSSINGEN...18

Nadere informatie

1. Invoering van de goniometrische cirkel

1. Invoering van de goniometrische cirkel . Invoering van de goniometrische cirkel We beschouwen de eenheidscirkel. Beschouwen we eveneens twee loodrechte assen door O. We duiden (E o, E δ ) aan : een orthonormale basis van het vlak. We kunnen

Nadere informatie

Goniometrie. Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings

Goniometrie. Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings Goniometrie Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings 1 Hoeken 1.1 De goniometrische cirkel De goniometrische cirkel wordt steeds gedefinieerd in een orthonormaal assenkruis. Het is een cirkel met het middelpunt

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

Oef 1. Oef 2. Ontbind, indien mogelijk, de veeltermen in factoren.

Oef 1. Oef 2. Ontbind, indien mogelijk, de veeltermen in factoren. Herhalingsoefeningen Problemen oplossen Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Elk

Nadere informatie

Delta Nova. Delta Nova Analyse deel 1 3 lesuren. Delta Nova bestaat voor de eerste en tweede graad uit:

Delta Nova. Delta Nova Analyse deel 1 3 lesuren. Delta Nova bestaat voor de eerste en tweede graad uit: Delta Nova bestaat voor de eerste en tweede graad uit: Delta Nova Eerste graad Delta Nova a leerboek en werkboek Delta Nova b leerboek en werkboek Delta Nova a leerboek en werkboek Delta Nova b leerboek

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Inleiding goniometrie

Inleiding goniometrie Inleiding goniometrie We bekijken de volgende twee hellingen: 1 2 Duidelijk is dat de tweede helling steiler is dan de eerste helling. Ook zien we dat hellingshoek 2 groter is dan hellingshoek 1. Er bestaat

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je

Nadere informatie

Het rechterlid van het voorschrift van een veeltermfunctie is een veelterm in één veranderlijke.

Het rechterlid van het voorschrift van een veeltermfunctie is een veelterm in één veranderlijke. 5 ASO H zwak leerboek 5-8- 6:9 Pagina. INLEIDING Vorig jaar maakten we al kennis met een basispakket functies : h g a) de constante functies : f () = a b) de eerstegraadsfuncties : g () = a + b c) de tweedegraadsfuncties

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding

Nadere informatie

Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel.

Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Construeer

Nadere informatie

5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B

5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B Boekverslag door P. 1778 woorden 11 januari 2012 5.7 103 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 Formules en Grafieken 1.1 Lineaire verbanden Van de lijn y=ax+b is de

Nadere informatie

WPP 5.1: Reële functies. Oplossing onderzoeksopdrachten. Werkbladen ICT : Opgaven en oplossingen

WPP 5.1: Reële functies. Oplossing onderzoeksopdrachten. Werkbladen ICT : Opgaven en oplossingen WPP 5.1: Reële functies onderzoeksopdrachten Werkbladen ICT : Opgaven en oplossingen Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 0 Het gedrag op oneindig van een veeltermfunctie 5 = + Gegeven : de functie f

Nadere informatie

Standaardfuncties. x c

Standaardfuncties. x c Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 986 987: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij of zij

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olmpiade 008-009: tweede ronde Wat is het voorschrift van deze tweedegraadsfunctie? (0, ) (, ) 0 (A) f() = ( + ) (B) f() = ( + ) + (C) f() = ( ) + (D) f() = ( ) (E) f() = ( ) + In volgend

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie. 1) Met een positief exponent in de term(en) ( )

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie. 1) Met een positief exponent in de term(en) ( ) Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen ).

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde B

Samenvatting wiskunde B Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 9 Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Les 1 : Lineaire Formules Definities Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = hellingsgetal

Nadere informatie

HOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES

HOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES 1 HOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES 1 Periodieke functies 2 1.1 Op verkenning 2 1.2 Periodieke functie 2 1.3 Periode-interval, evenwichtslijn en amplitude 4 1.4 De perioderechthoek 4 1.5 Oefeningen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

Tweede graadsfuncties

Tweede graadsfuncties CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1 Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 20

Nadere informatie

Verbanden en functies

Verbanden en functies Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0

Nadere informatie

klas 3 vwo Checklist VWO klas 3.pdf

klas 3 vwo Checklist VWO klas 3.pdf Checklist 3 VWO wiskunde klas 3 vwo Checklist VWO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de grafiek

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Tweede graadsfuncties

Tweede graadsfuncties CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1 Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 20 deelnemers

Nadere informatie

Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de juiste volgorde te worden opgelost.

Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de juiste volgorde te worden opgelost. SBC AMDG Ma 13/12/04 klas : 5WEWI8 5GRWI8 Van Hijfte D. toegelaten : grafisch rekentoestel Examen Wiskunde deel I (90p) Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie