wiskunde B havo 2019-I

Transcriptie

1 Formule van Wilson maximumscore Uitgaande van gelijke temperatuur en diepte wordt het verschil in snelheid dus bepaald door het verschil in zoutgehalte Er geldt: v =,9( 7 5),9( 5) Het gevraagde verschil is 5 (m/s) Formules voor de geluidssnelheden in de Dode Zee en Kaspische Zee zijn: D vdode Zee = 9, +,6T 0,056T +,9( 7 5) + D = 869,8 +,6T 0,056T + D vkaspische Zee = 9, +,6T 0,056T +,9( 5) + D = 7,07 +,6T 0,056T + Een formule voor het verschil is D D 869,8 +,6T 0,056T + 7,07 +,6T 0,056T + Het gevraagde verschil is 5 (m/s) Als een kandidaat gebruik maakt van een getallenvoorbeeld, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

2 maximumscore dv,6 0,09T dt Beschrijven hoe de vergelijking,6 0,09T = 0 opgelost kan worden De gevraagde temperatuur is, ( C) Met Z en D constant geldt er een kwadratisch verband: D v= 0,056T +,6T + 9, +,9( Z 5) + ( v = 0,056T +,6T + getal ),6 Het maximum van v ligt bij T = 0,056 De gevraagde temperatuur is, ( C) maximumscore De geluidssnelheid is 0 9, +,6 0 0, ,9( 5 5) + = 90,... (m/s) De door het geluid afgelegde afstand is 90,...,5 = 8 55,... (m) 8 55,... De gevraagde afstand is ( ) 900 (m) De geluidssnelheid is 0 9, +,6 0 0, ,9( 5 5) + = 90,... (m/s) De voor het geluid benodigde tijd om het object te bereiken is 6,5 s De gevraagde afstand is (90,... 6,5 ) 900 (m)

3 Ingeklemd maximumscore f' ( x) = x f' () = ( = ) (dus de richtingscoëfficiënt van l is ( = dus) A ligt op l A ligt (ook) op de grafiek van f dus lijn l raakt de grafiek van f in A Als een kandidaat aantoont dat lijn l en de grafiek van f maar één snijpunt hebben en hieruit het gevraagde concludeert, voor deze vraag maximaal scorepunt toekennen.

4 5 maximumscore 5 (Uit rcam = volgt) rc AM = (dus de lijn door A en M heeft vergelijking y = x+ b) Hieruit volgt + b = dus b = Dus y = ( 5 + = ) M De straal van c is gelijk aan 5 ( ) ( ) 5 + De straal van c is 5 en dat is gelijk aan y M (dus c raakt de x-as) (Uit rcam rc AM = ym ya ym rcam = = xm xa 5 ym Dus = ( y M = ) dus y 5 M = ( = ) 5 De straal van c is gelijk aan 5 ( ) ( ) 5 + De straal van c is 5 en dat is gelijk aan y M (dus c raakt de x-as) (Uit rcam = volgt) rc AM = xm = xa +, dus ym = ya + rcam 5 Dus y = ( + = ) M De straal van c is gelijk aan 5 ( ) ( ) 5 + De straal van c is 5 en dat is gelijk aan y M (dus c raakt de x-as)

5 Twee exponentiële functies 6 maximumscore De vergelijking x + x = kan geschreven worden als x + x = Hieruit volgt x+ = x Dit geeft x = De bijbehorende y-coördinaat is y = 6 7 maximumscore + y = kan geschreven worden als log( y) = x+ x Dit geeft log( y) = x x= log( y) 6 ( een gelijkwaardige uitdrukking) 5

6 In uit 8 maximumscore 0; 0,9 is het snijpunt met de y-as, dus) q = 0,9 (Het punt ( ) ((Bijvoorbeeld) het punt ( 5,0;,07 ) ligt op de grafiek, dit geeft) de vergelijking,07 = p 5,0 + 0,9 Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden De gevraagde waarde van p is 0,006 9 maximumscore 6 ATB = 80 5,, = 90,( ) AT 0,97 Gebruik van de sinusregel geeft = sin(, ) sin(90, ) ( gebruik cosinusregel) Hieruit volgt AT = 7,68... De afstand van T tot AB is 7,68... sin(5, ) Dit is 5,... 5,... (m) is minder dan (,89 6,0 = ) 5,9 (m) (de afstand van PR tot de achterlijn), dus de bal is niet in rechthoek PQDR op de grond gekomen ATB = 80 5,, = 90,( ) BT 0,97 Gebruik van de sinusregel geeft = sin(5, ) sin(90, ) ( gebruik cosinusregel) Hieruit volgt BT = 7,8... De afstand van T tot AB is 7,8... sin(, ) Dit is 5,... (m) 5,... (m) is minder dan (,89 6,0 = ) 5,9 (m) (de afstand van PR tot de achterlijn), dus de bal is niet in rechthoek PQDR op de grond gekomen 6

7 TT Noem de projectie van T op AB T. Dan is tan(5, ) = AT wel TT = AT tan(5, ) TT Verder is tan(, ) = wel 0,97 AT TT = 0,97 AT tan(, ) ( ) Dan volgt (0,97 AT ) tan(, ) = AT tan(5, ) 0,97 tan(, ) AT ( = ) = 5,7... tan(5, + ) tan(, ) TT = AT tan(5, ) = 5,... 5,... (m) is minder dan (,89 6,0 = ) 5,9 (m) (de afstand van PR tot de achterlijn), dus de bal is niet in rechthoek PQDR op de grond gekomen In een assenstelsel met A als oorsprong heeft de lijn door A en T de vergelijking y = tan(5, ) x De lijn door B en T heeft de vergelijking y tan(, )( x 0,97) = (in ditzelfde assenstelsel) tan(5, ) x= tan(, ) x 0,97 moet worden De vergelijking ( ) opgelost Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden x = 5,7... en dan is y = 5,... 5, (m) is minder dan (,89 6,0 = ) 5,9 (m) (de afstand van PR tot de achterlijn), dus de bal is niet in rechthoek PQDR op de grond gekomen Als alleen de afstand van de bal tot de linker- rechterrand van het speelveld is berekend en daarmee wordt geconcludeerd dat de bal wel in rechthoek PQDR op de grond is gekomen, voor deze vraag maximaal scorepunten toekennen. 7

8 Grafiek van een derdegraadsfunctie en een lijn 0 maximumscore De transformaties kunnen zijn: de translatie twee naar rechts en de vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met De volgorde waarin deze transformaties moeten worden toegepast, is: eerst de translatie en daarna de vermenigvuldiging ( ) x is te herschrijven tot ( ) ( ) x Dus de transformaties kunnen zijn: de vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met en de translatie vier naar rechts De volgorde waarin deze transformaties moeten worden toegepast, is: eerst de vermenigvuldiging en daarna de translatie ( ) ( ) x is te herschrijven tot ( ) 8 ( ) ( x ) ( x ) x = Dus de transformaties kunnen zijn: eerst de translatie vier naar rechts en dan de vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met 8 ( andersom) Voor het eerste antwoordelement van het eerste alternatief uitsluitend 0 scorepunten toekennen. 8

9 maximumscore 5 x = 0 volgt x = 0 Hieruit volgt x = (dus de x-coördinaat van A is ) Uit ( ) ( ) f' ( x) = x ( een vergelijkbare uitdrukking) ( ) f' () = ( = ) 0 (dus de grafiek van f heeft een horizontale raaklijn in A) Uit ( ) x = 0 volgt x = 0 Hieruit volgt x = (dus de x-coördinaat van A is ) f( x) = x x + 6x f' ( x) = x x+ 6 f' () = ( + 6 = )0 (dus de grafiek van f heeft een horizontale raaklijn in A) De grafiek van g (snijdt en) raakt de x-as in ( 0, 0) De grafiek van f ontstaat uit de grafiek van g zoals (door de kandidaat op juiste wijze) beschreven in het antwoord van vraag 0 Hieruit volgt dat de grafiek van f de x-as snijdt in het punt (, 0 ) (dus de x-coördinaat van A is ) De in het antwoord van vraag 0 genoemde transformaties behouden beiden de eigenschap van raken aan de x-as, dus de grafiek van f raakt de x-as in A (dus de grafiek van f heeft een horizontale raaklijn in A) ( ) f' ( x) = x ( een vergelijkbare uitdrukking) x = 0 volgt x = 0 Hieruit volgt x = Uit ( ) ( ) f () = = 0 (dus de x-coördinaat van A is dus de grafiek van f heeft een horizontale raaklijn in A) 9

10 x = 0 volgt x = 0 Hieruit volgt x = (dus de x-coördinaat van A is ) Uit ( ) ( ) f' ( x) = x ( een vergelijkbare uitdrukking) x = 0 volgt x = 0 en wederom x = (dus de grafiek van f heeft een horizontale raaklijn in A) Uit ( ) Voor het derde antwoordelement van het eerste alternatief, het vierde antwoordelement van het derde alternatief, het eerste antwoordelement van het vierde alternatief en het derde antwoordelement van het vijfde alternatief elk uitsluitend 0 scorepunten toekennen. maximumscore Beschrijven hoe de vergelijking ( ) De coördinaten van P en Q zijn (, ) x = x opgelost kan worden en ( ) De gevraagde lengte is ( ( 6 ) ( ) 6, + ),7 Als een kandidaat de afstand AP AQ berekent en vervolgens (zonder expliciete verwijzing naar symmetrie) deze verdubbelt en aldus de afstand PQ berekent, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. 0

11 Sinusoïden maximumscore 5 Beschrijven hoe de vergelijking ( x ) + cos + π = 0 opgelost kan worden Dit geeft voor x de oplossing π ( 0,5 ) ( één andere oplossing) 6 En de (andere) oplossingen π, π en π (,5,,6 en,7 ) 6 Dus PS =π π en QR =π π ( PS =,7... 0,5... =,... en 6 6 QR =,6...,5... =,0... ) Dus de gevraagde waarde van a is ( π = π (,...,0... = )) maximumscore 5 r = Beschrijven hoe de coördinaten van een hoogste en laagste punt van de grafiek van g bepaald kunnen worden De y-coördinaat van een hoogste punt van de grafiek van g is,75, ,75... en van een laagste punt is,75 dus p = = En q = (,75..., dit is afgerond op drie decimalen),8 (Een x-coördinaat van een hoogste punt van de grafiek van g is (bijvoorbeeld) 0,669, dus) een mogelijke waarde van s is 0,67

12 Schaal van Richter 5 maximumscore Een punt tekenen bij 00 (km) op de as afstand Punten tekenen bij 0, en (mm) op de as amplitude Het punt op de as afstand verbinden met de punten op de as amplitude De conclusie dat de snijpunten met de as kracht verschillen 6 maximumscore 5 Uit formule () volgt 7,85 = log(000) + log( D),8 Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden D = 55,77... De oppervlakte van het rampgebied is π ( 55,77... ) (km ) De gevraagde oppervlakte is (km ) Als een kandidaat bij de berekening gebruikmaakt van K = 7,9 (met als antwoord ), hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. 7 maximumscore 5 K log( A) log( D,6 ) 0,5,6 K log( AD ) 0,5,6 K log( AD ) 0,5 log( 0 ) = + = =,6 AD 0,5,6 K = log 0 0,5 K= log 0 AD ) De gevraagde waarde van p is 0,7 en de gevraagde waarde van q is,6,6 ( K log ( 0, 7 AD ) ( ( ) = ) log( q q K pad ) log( p) log( A) log( D ) = = + + K = log( p) + log( A) + q log( D) K = log( A) +,6 log( D) 0,5, dus q =, 6 en log( p ) = 0,5 Hieruit volgt 0,5 p = 0,6 De gevraagde waarde van p is 0,7 ( K log ( 0, 7 AD ) = )

13 Loodrecht en raken 8 maximumscore 8 AM heeft richtingscoëfficiënt = (dus de lijn door A en M heeft vergelijking y = x+ b) Invullen van de coördinaten van M (, ) in y = x+ b geeft b = l snijden met y = x+ geeft x = A y A = + = De straal r van c is dus ( ) ( ) ( MA l en MB + = 0 k dus MACB is een vierkant,) dus AC = BC = 0 De omtrek van c is π 0 Dus de gevraagde omtrek van vlak V is ( 0 + π 0 )5,97