1. Invoering van de goniometrische cirkel

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "1. Invoering van de goniometrische cirkel"

Anna Goossens
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 . Invoering van de goniometrische cirkel We beschouwen de eenheidscirkel. Beschouwen we eveneens twee loodrechte assen door O. We duiden (E o, E δ ) aan : een orthonormale basis van het vlak. We kunnen een representant van elke hoek zo kiezen dat haar beginbeen samenvalt met de positieve x-as. Elke hoek zal dan volledig bepaald worden door het tweede been van de verplaatste hoek. Dat tweede been heeft precies één snijpunt met de eenheidscirkel. Elke hoek bepaalt dus precies één punt op die cirkel. We noemen dat punt het beeldpunt van de hoek (bijectie tussen de verzameling van alle hoeken en de punten op de cirkel). ls we op deze manier elke hoek laten overeenkomen met een beeldpunt op de eenheidscirkel, spreken we van de goniometrische cirkel. De twee assen verdelen de goniometrische cirkel in vier cirkelbogen : de vier kwadranten.. Het meten van hoeken (Zestigdelige) graden : 80 gestrekte hoek DEG Radialen : π rad gestrekte hoek rad is decimaal onderverdeeld RD Omzetten radialen graden : x rad y y.π x 80 x.80 y π Formularium wiskunde KM goniometrie

2 rad Goniometrische getallen Definitie : Beschouw α met E α beeldpunt van α op de goniometrische cirkel. ) cosα de abscis van E α ) sinα de ordinaat van E α 3) α \ {-δ,δ}: tanα sin α cosα 4) α \ {o,ω}: cotα cos α sinα 5) α \ {-δ,δ}: secα cos α 6) α² \ {o,ω}: cscα Weergave op de goniometrische cirkel : sinα Grondformule : fgeleide formules : cos α + sin α + tan² α cos ² α + cot² α sin ² α Formularium wiskunde KM goniometrie

3 Bijzondere waarden α rad π π π π rad rad rad rad sinα 0 cosα 3 tanα / cotα / Tekens : cosα sinα tanα cotα Iste kwadrant IIde kwadrant IIIde kwadrant IVde kwadrant Verwante hoeken Gelijke hoeken : k Z : sin( α + k.360 ) sinα sin( α + k. π) sinα cos( α + k.360 ) cosα cos( α + k. π) cosα tan( α + k.360 ) tanα tan( α + k. π) tanα cot( α + k.360 ) cotα cot( α + k. π) cotα Formularium wiskunde KM goniometrie 3

4 Complementaire hoeken : α en zijn complementaire hoeken α + δ sin(90 - α) cosα π sin( - α) cosα cos(90 - α) sinα π cos( - α) sinα tan(90 - α) cotα π tan( - α) cotα cot(90 - α) tanα π cot( - α) tanα Supplementaire hoeken : α en zijn supplementaire hoeken α + ω sin(80 - α) sinα sin( π - α) sinα cos(80 - α) -cos α cos( π - α) -cosα tan(80 - α) - tan α tan( π - α) - tanα cot(80 - α) -cot α cot( π - α) -cotα ntisupplementaire hoeken : α en zijn anti-supplementaire hoeken α - ω sin(80 + α) -sin α sin( π + α) -sinα cos(80 + α) -cos α cos( π + α) -cosα tan(80 + α) tan α tan( π + α) tanα cot(80 + α) cot α cot( π + α) cotα Tegengestelde hoeken : α en zijn tegengestelde hoeken α + o Formularium wiskunde KM goniometrie 4

5 sin(- α) -sinα cos(- α) cosα tan(- α) - tanα cot(- α) -cotα 5. Optellingsformules cos( α ) cos α.cos + sin α.sin cos( α + ) cos α.cos sin α.sin sin( α ) sin α.cos cos α.sin sin( α + ) sin α.cos + cos α.sin tanα + tan tan( α + ) tan α.tan tanα tan tan( α ) + tan α.tan 6. Verdubbelingsformules sin α.sin α.cosα cos α cos α sin α cos α sin α tanα tan α tan α We kunnen ook de goniometrische getallen uitdrukken in functie van tanα. tanα sin α + tan α tan α cos α + tan α Deze laatste formules zijn ook onder een andere vorm bekend, we spreken in dat geval van de t-formules. Formularium wiskunde KM goniometrie 5

6 t tan x t t x sin x met t tan + t t cos x + t Uitbreiding : sin 3α 3sinα 4sin ³ α cos3α 4cos ³ α 3cosα 7. Halveringsformules cosα ± + cosα sinα ± cosα tanα ± cosα + cosα Het teken wordt bepaald door het kwadrant waarin de beschouwde hoek α zich bevindt. De formules zijn ook gekend onder de naam : formules van Carnot en zien er dan licht gewijzigd als volgt uit : α + cosα cos ± α cosα sin ± α cosα tan ± + cos α 8. Formules van Simpson Eerste vorm : PRODUCT SOM ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sinα cos sin α + sin α + cosα cos cos α + cos α + sinα sin cos α cos α + Tweede vorm : SOM PRODUCT Formularium wiskunde KM goniometrie 6

7 x + y x y sin x+ sin y sin cos x + y x y sin x sin y cos sin x + y x y cos x+ cos y cos cos x + y x y cos x cos y sin sin 9. Rechthoekige driehoeken We beschouwen een BC met zijden a,b en c waarbij we gelijknamige zijde en hoek tegenoverstaand beschouwen. Hierbij staat a eigenlijk voor het maatgetal van de lengte van een zijde van de driehoek en voor het maatgetal van de hoek ingesloten door de twee zijden die als grenspunt hebben. We beschouwen een rechthoekige driehoek met rechte hoek in. Verband tussen de hoeken 90 en B + C 90 Verband tussen de zijden stelling van Pythagoras : a² b² + c² Formules a.h.v. goniometrische getallen : b c sin B sin C a a c b cos B cosc a a b c tan B tan C c b Deze formules worden het best gememoriseerd als volgt : Formularium wiskunde KM goniometrie 7

8 ( maatgetal van de lengte van de) overstaande rechthoekszijde sin( scherpehoek) ( maatgetal van de lengte van de) schuine zijde ( maatgetal van de lengte van de) aanliggende rechthoekszijde cos( scherpehoek) ( maatgetal van de lengte van de) schuine zijde ( maatgetal van de lengte van de) overstaande rechthoekszijde tan( scherpehoek) ( maatgetal van de lengte van de) aanliggende rechthoekszijde 0. Willekeurige driehoeken Verband tussen de hoeken : + B + C 80 Verband tussen de zijden driehoeksongelijkheid : a < b + c b < c + a c < a + b Cosinusregel : Sinusregel : a² b² + c² bc..cos b² c² + a² ca..cosb c² a² + b². ab..cosc a b c r, met r de straal van de omcirkel sin sin B sin C Projectieregel : a b.cos C+ c.cos B b c.cos + a.cosc c a.cos B+ b.cos Formularium wiskunde KM goniometrie 8

9 Hoogte van een driehoek : h b.sin C c.sin B h c.sin a.sin C B h a.sin B b.sin C Oppervlakte van een driehoek : S. h. a. hb. b. hc. c ab..sin C bc..sin ca..sin B p.( p a).( p b).( p c) waarbij p ( a+ b+ c) Halve-hoek-formules of formules van Gauss : p.( p a) B p.( p b) C p.( p c) cos cos cos bc ca ab ( p b).( p c) B ( p c).( p a) C ( p a).( p b) sin sin sin bc ca ab ( p b).( p c) B ( p c).( p a) C ( p a).( p b) tan tan tan p.( p a) p.( p b) p.( p c) Tangens-regel : a+ b b+ c c+ a tan tan tan + B B+ C C+ B a b b c c a tan B C tan C tan Straal van de ingeschreven cirkel : B C ri ( p a).tan ( p b).tan ( p c).tan Straal van de omgeschreven cirkel : abc abc r 4 p( p a)( p b)( p c) 4S Bissectrice of deellijn : Formularium wiskunde KM goniometrie 9

10 d d d B C bc cos b + c ca B cos c + a ab C cos a + b Zwaartelijnen : z b² + c² + bccos zb c² + b² + cacosb zc a² + b² + abcosc. Goniometrische vergelijkingen Inleidende opm : de parameter k mag overal in de oplossingenverzamelingen enkel gehele waarden aannemen. Basisvergelijkingen : sin x a (indien a [,] V ) sin x sin α met α zodat sinα a V α + k. π ( π α) + k.π { } { } cos x a (indien a [,] V ) cos x cos α met α zodat cosα a V ± α + k.π { } tan x a tan x tan α met α zodat tanα a V α + k. π { } Bijzonder gevallen : { } sin x 0 V kπ π sin x V + k.π π sin x V + k.π Formularium wiskunde KM goniometrie 0

11 π cos x 0 V + k. π cos x V k.π { } { π π} { } cos x V + k. tan x 0 V kπ. π tan x V + k. π 4 π tan x V + k. π 4 lgemene vergelijkingen Het is de bedoeling de meer ingewikkelde vergelijkingen te herleiden naar basisvergelijkingen. Vooreerst herleiden we de vergelijking naar nul. Daarna zijn o.a. volgende methodes mogelijk : een som om zetten in een product (Simpson) vgl valt uiteen in verscheidene basisvergelijkingen. de vergelijking d.m.v. goniometrische formules omvormen tot er nog slechts één goniometrisch getal optreedt en deze dan vervangen door een hulponbekende we bekomen een algebraïsche vergelijking, waarvan de oplossingen aanleiding geven tot basisvergelijkingen. x de vergelijking d.m.v. de t-formules ( t tan ) omvormen tot een algebraïsche vergelijking in t bv. vergelijkingen van de vorm acos x+ bsin x c. homogene vergelijkingen (elke term heeft dezelfde graad in sin x en cos x samen), na afzondering van gemeenschappelijke factoren, delen door de hoogste macht van cos x, en daarna tan x gelijkstellen aan een hulponbekende. Formularium wiskunde KM goniometrie

Vergelijkbare documenten

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14

INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte