Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Overzicht eigenschappen en formules meetkunde"

Transcriptie

1 Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules van de eerste en de tweede graad. Wat je gezien hebt, is aangeduid met een kruisje in een vierkantje.

2 xioma's Twee punten bepalen juist één rechte. xioma punt-rechte oor elk punt van het vlak dat niet op een rechte ligt, kan men juist één rechte tekenen die evenwijdig is met de gegeven rechte. P a b xioma van Euclides oor elk punt van het vlak kan men juist één rechte tekenen loodrecht op een gegeven rechte. b P a xioma van de loodrechte stand a Een rechte die twee punten gemeenschappelijk heeft met een vlak ligt in dat vlak. xioma rechte - vlak rie niet-collineaire punten bepalen één vlak. xioma punt - vlak

3 Rechten en hoeken ls twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde derde rechte, dan zijn die twee rechten evenwijdig. c a b ls een rechte één van twee evenwijdige rechten snijdt, dan snijdt ze ook de andere. b // a en c // a b // c a b ls twee rechten loodrecht staan op eenzelfde derde rechte, dan zijn die twee rechten evenwijdig. c b // a en c // a c // b a b c ls twee rechten loodrecht op elkaar staan, dan staat elke rechte die evenwijdig is met één van deze rechten loodrecht op de andere. Overstaande hoeken zijn gelijk. b a en c a b // c a b en c // a c b b a c ls twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn twee overeenkomstige hoeken gelijk, twee verwisselende binnenhoeken gelijk, 3 twee verwisselende buitenhoeken gelijk, 4 twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn elkaars supplement, 5 twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn elkaars supplement. b a c ˆ = ˆ

4 Omgekeerde stelling ls bij twee rechten gesneden door een rechte twee overeenkomstige hoeken gelijk zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig, twee verwisselende binnenhoeken gelijk zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig, 3 twee verwisselende buitenhoeken gelijk zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig, 4 twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn elkaars supplement zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig, 5 twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn elkaars supplement zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig. Een punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk a.s.a. het punt even ver ligt van de grenspunten van het lijnstuk. m P Kenmerk van de middelloodlijn Een punt ligt op een deellijn van twee snijdende rechten a.s.a. het punt even ver ligt van de snijdende rechten. P P ligt op ml P = P a Kenmerk van de deellijn P ligt op een deellijn van de snijdende rechten a en b Pa = Pb Een spiegeling, een verschuiving, een draaiing en een puntspiegeling bewaren de afstand b het midden van een lijnstuk, de evenwijdigheid, de loodrechte stand. Een hoek en zijn spiegelbeeld zijn tegengesteld. Een hoek en zijn schuifbeeld, zijn draaibeeld en zijn puntspiegelbeeld zijn gelijk.

5 Het spiegelbeeld, het schuifbeeld, het draaibeeld en het puntspiegelbeeld van een rechte is een rechte. Het schuifbeeld en het puntspiegelbeeld van een rechte is een rechte met dezelfde richting. Het projectiebeeld van een rechte, die geen rechte is van de projectierichting, is de projectieas. Het projectiebeeld van een rechte van de projectierichting is het snijpunt van de rechte en de projectieas. Het projectiebeeld van een lijnstuk, waarvan de drager geen rechte is van de projectierichting, is een lijnstuk dat bepaald is door de projectiebeelden van de grenspunten van het lijnstuk. Het projectiebeeld van een lijnstuk waarvan de drager een rechte is van de projectierichting, is het snijpunt van de drager van het lijnstuk en de projectieas. Een projectie bewaart de verhouding van evenwijdige lijnstukken. b y a S x ( ) ( ) y p a = x x y p b = S x y S ' x ' ( ) ( ) y p x = ' ' y p x = S y e projectiebeelden van evenwijdige en even lange lijnstukken zijn even lang. ' ' ' ' ' ' // = ' ' y x Een projectie bewaart het midden. x ' ' ' ' // en = ' ' = ' ' y ' ' x ' is het midden van ' is het midden van ' '

6 rie evenwijdige rechten bepalen op twee snijlijnen evenredige lijnstukken. Stelling van Thales x a b c y N P ls een rechte twee lijnstukken, waarvan de grenspunten op twee evenwijdige rechten liggen, in evenredige lijnstukken verdeelt, dan is deze rechte evenwijdig met de rechten door de grenspunten. Omgekeerde stelling van Thales N a // b // c = NP x y N P N // P en = NP N // // P Een figuur en een homothetiebeeld ervan zijn gelijkvormig. In een figuur en een homothetiebeeld ervan zijn de overeenkomstige zijden evenwijdig. Het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van een hoek op de goniometrische cirkel, noemt men de cosinus van de hoek. Het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van een hoek op de goniometrische cirkel, noemt men de sinus van de hoek. Het quotiënt van de sinus en de cosinus van een hoek, noemt men de tangens van de hoek. Voor elke hoek α geldt: sin α + cos α =. Hoofdformule goniometrie cos ( 90 α ) sin = sin ( 90 α ) α = cosα tan ( 90 α ) = tanα Goniometrische getallen van complementaire hoeken

7 cos ( 80 α ) cos = sin ( 80 α ) = sinα tan ( 80 α ) α = tanα Goniometrische getallen van supplementaire hoeken Een vlak wordt bepaald door: drie niet-collineaire punten, een rechte en een punt buiten de rechte, twee snijdende rechten, twee evenwijdige rechten. α = vl (, a ) α = vl ( a, b ) ls één van twee evenwijdige rechten een vlak snijdt, dan snijdt de andere rechte ook dat vlak. α = vl ( a, b ) ls een rechte evenwijdig is met een vlak, dan ligt de rechte die door een punt van dat vlak gaat en evenwijdig is met de gegeven rechte volledig in dat vlak. a // b en a α b α ls een rechte a niet in een vlak α ligt, maar evenwijdig is met een rechte van het vlak α, dan is de rechte a evenwijdig met het vlak α. a // α en ligt in α b gaat door en b // a b ligt in α a // b a ligt niet in α b ligt in α a // α

8 ls een vlak één van twee evenwijdige vlakken snijdt, dan snijdt het ook het andere vlak. ls een vlak twee evenwijdige vlakken snijdt, dan zijn de snijlijnen evenwijdig. γ α en α // β γ β ls een rechte loodrecht staat op twee snijdende rechten van een vlak, dan is deze rechte een loodlijn op dat vlak. γ α met snijlijn a γ β met snijlijn b α // β a // b Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als in het ene vlak een rechte ligt die loodrecht staat op het andere vlak. E en E ( ) E vl,, E α E vl,, ligt in vl (, E, G ) ( E G ) α

9 3 riehoeken e som van de hoeken van een driehoek is 80. Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de niet-aanliggende binnenhoeken. ˆ + ˆ + ˆ = 80 In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn op de basis ook de deellijn van de tophoek, ˆ = ˆ + ˆ de zwaartelijn naar de basis, de middelloodlijn van de basis. Een driehoek is gelijkbenig a.s.a. twee hoeken van de driehoek gelijk zijn. Kenmerk gelijkbenige driehoek Een driehoek is gelijkzijdig a.s.a. alle hoeken van de driehoek gelijk zijn. Kenmerk gelijkbenige driehoek is gelijkbenig ˆ = ˆ is gelijkzijdig ˆ = ˆ = ˆ

10 ls een paar zijden van twee driehoeken even lang is en de twee paar aanliggende hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken K congruent. ongruentiekenmerk HZH L ls twee paar zijden van twee driehoeken even lang zijn en de ingesloten hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken K congruent. ongruentiekenmerk ZHZ L ls de drie paar zijden van twee driehoeken even lang zijn, dan zijn de driehoeken congruent. K ongruentiekenmerk ZZZ L ls de schuine zijden van twee rechthoekige driehoeken en een paar rechthoekszijden even lang zijn, dan zijn de L driehoeken congruent. ongruentiekenmerk voor rechthoekige driehoeken. K Een rechte die evenwijdig is met een zijde van een driehoek, bepaalt met de andere zijden een driehoek die gelijkvormig is met de gegeven driehoek. L K met KL // KL

11 ls twee paar hoeken van twee driehoeken gelijk zijn, dan zijn de driehoeken gelijkvormig. Gelijkvormigheidskenmerk HH K L ls twee paar zijden van twee driehoeken evenredig zijn en de ingesloten hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken gelijkvormig. ˆ = ˆ K ˆ = ˆ L KL K L Gelijkvormigheidskenmerk ZHZ ls de drie paar zijden van twee driehoeken evenredig zijn, dan zijn de driehoeken gelijkvormig. Gelijkvormigheidskenmerk ZZZ ˆ = ˆ K = KL K KL K L = = KL L K KL e verhouding van de omtrekken van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan een gelijkvormigheidsfactor. e verhouding van de oppervlakten van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan het kwadraat van een gelijkvormigheidsfactor. e verhouding van de inhouden van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan de derdemacht van een gelijkvormigheidsfactor.

12 Het lijnstuk bepaald door de middens van twee zijden van een driehoek is een middenparallel van de driehoek. In een driehoek is een middenparallel evenwijdig met en half zo lang als de derde zijde. e rechte door het midden van een zijde van een driehoek, evenwijdig met een tweede zijde, gaat door het midden van de derde zijde. In een driehoek verdeelt het zwaartepunt elke zwaartelijn in twee stukken waarvan het ene tweemaal zo lang is als het andere. L K KL is een middenparallel van KL // en KL = L K K is het midden van en KL // L is het midden van K Z In een driehoek verdeelt de deellijn van een hoek de overstaande zijde in twee lijnstukken die zich verhouden zoals de aanliggende zijden. Z is het zwaartepunt L van Z = LZ, Z = Z, Z = ZK met = dl ˆ =

13 In een rechthoekige driehoek is de zwaartelijn naar de schuine zijde half zo lang als de schuine zijde. ls de zwaartelijn naar een zijde van een driehoek half zolang is als deze zijde, dan is de driehoek rechthoekig. met ˆ = 90 en zwaartelijn = In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogte op de schuine zijde gelijk aan het product van de stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt. In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een rechthoekszijde gelijk aan het product van de schuine zijde en de loodrechte projectie van deze rechthoekszijde op de schuine zijde. In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. Stelling van Pythagoras met zwaartelijn en = is rechthoekig H met ˆ = 90 en hoogte H H = H H H met ˆ = 90 en hoogte H = H = H met ˆ = 90 = +

14 ls in een driehoek het kwadraat van een zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de andere zijden, dan is de driehoek rechthoekig. In een rechthoekige driehoek is Omgekeerde stelling van Pythagoras de overstaande rechthoekszijde sinus α = schuine zijde de aanliggende rechthoekszijde cosinus α = schuine zijde de overstaande rechthoekszijde tangens α = de aanliggende rechthoekszijde Goniometrische getallen van een scherpe hoek In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek α geldt: sin α + cos α = Y X Z YZ = XY + XZ XYZ is rechthoekig α sin α = cos α = tan α = sin α tan α = cos α = b c sinα = a c sin β = a b sinγ a b c In geldt: = =. sin α sin β sin γ Sinusregel In met omgeschreven cirkel c (, r ) geldt: a b c = = = r. sinα sin β sinγ In geldt: a = b + c bc cos α b = a + c ac cos β c = a + b ab cos γ osinusregel

15 e drie middelloodlijnen van een driehoek hebben een gemeenschappelijk punt. Het snijpunt van de drie middelloodlijnen van een driehoek noemen we het middelpunt van de driehoek. e cirkel door de drie hoekpunten van een driehoek noemen we de omgeschreven cirkel van de driehoek. e drie hoogtelijnen van een driehoek hebben een gemeenschappelijk punt. Het snijpunt van de drie hoogtelijnen van een driehoek noemen we het hoogtepunt van de driehoek. e drie deellijnen van een driehoek hebben een gemeenschappelijk punt. Het snijpunt van de drie deellijnen van een driehoek noemen we het deelpunt van de driehoek. e cirkel die de drie zijden van een driehoek raakt, noemen we de ingeschreven cirkel van de driehoek.

16 4 Vierhoeken e som van de hoeken van een vierhoek is 360. Een trapezium is een vierhoek met twee evenwijdige zijden. + + ˆ + = ˆ ˆ ˆ 360 Een gelijkbenig trapezium is een trapezium waarvan de aanliggende hoeken van een basis gelijk zijn. Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig zijn. Een rechthoek is een vierhoek met vier gelijke hoeken. Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden. Een vierkant is een vierhoek met vier gelijke hoeken en vier even lange zijden. Een vierhoek is een parallellogram a.s.a. de overstaande zijden even lang zijn. Zijden-kenmerk parallellogram is een parallellogram = en =

17 Een vierhoek is een parallellogram a.s.a. twee overstaande zijden evenwijdig zijn en even lang. Overstaande zijden-kenmerk parallellogram Een vierhoek is een parallellogram a.s.a. de overstaande hoeken gelijk zijn. Hoeken-kenmerk parallellogram Een vierhoek is een parallellogram a.s.a. de diagonalen elkaar middendoor snijden. iagonalen-kenmerk parallellogram Rechthoek is een parallellogram // en = is een parallellogram ˆ = ˆ en ˆ = ˆ is een parallellogram = en = In een rechthoek zijn de overstaande zijden evenwijdig en even lang. In een rechthoek zijn de diagonalen even lang en snijden ze elkaar middendoor. Ruit In een ruit zijn de overstaande zijden evenwijdig. In een ruit zijn de overstaande hoeken gelijk. In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar en snijden ze elkaar middendoor. Vierkant Een vierkant is een parallellogram, een rechthoek en een ruit. Een vierkant bezit dus alle eigenschappen van deze vlakke figuren. Trapezium ls in een trapezium de aanliggende hoeken van een basis gelijk zijn, dan zijn de aanliggende hoeken van de andere basis ook gelijk. ls in een trapezium de aanliggende hoeken van een basis gelijk zijn, dan zijn de opstaande zijden even lang. trapezium met ˆ = ˆ ˆ = ˆ en =

18 5 irkels oor drie niet-collineaire punten gaat juist één cirkel. Een middellijn van een cirkel is een symmetrieas van de cirkel. Het middelpunt van een cirkel is het symmetriecentrum van de cirkel. Symmetrie bij een cirkel Voor een koorde van een cirkel, die geen middellijn is, geldt: de middelloodlijn van de koorde is een middellijn van de cirkel; de middellijn die loodrecht op de koorde staat, snijdt de koorde middendoor; de middellijn die de koorde middendoor snijdt, staat loodrecht op de koorde. Stellingen koorde-middellijn Het apothema van een koorde deelt de koorde middendoor. Voor elke twee koorden van een cirkel geldt: de koorden zijn even lang de apothema's van de koorden zijn even lang. Kenmerk koorde-apothema Een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van een cirkel is, noemt men een middelpuntshoek van de cirkel. Een hoek waarvan het hoekpunt op een cirkel ligt en waarvan de benen de cirkel snijden, noemt men een omtrekshoek van de cirkel. V is het apothema van V is het midden van = E V = Z

19 Een omtrekshoek van een cirkel is de helft van de middelpuntshoek op dezelfde boog. lle omtrekshoeken van een cirkel die op dezelfde boog staan zijn gelijk. = Een omtrekshoek die op een halve cirkel staat is recht. = E = F =... = Een hoek waarvan het hoekpunt buiten een cirkel ligt en waarvan de benen de cirkel snijden, noemt men een buitenomtrekshoek van de cirkel. Een hoek waarvan het hoekpunt binnen een cirkel ligt, noemt men een binnenomtrekshoek van de cirkel. Een buitenomtrekshoek van een cirkel is gelijk aan het halve verschil van de middelpuntshoeken die op dezelfde bogen staan. = = 80 = 90 Een binnenomtrekshoek van een cirkel is gelijk aan de halve som van de middelpuntshoeken die op dezelfde bogen staan. ( ) = ( ) = +

20 Voor twee koorden van een cirkel en de bijbehorende kleinste middelpuntshoeken geldt: de middelpuntshoeken zijn gelijk de koorden zijn even lang. Kenmerk koorde-middelpuntshoek Het product van de afstanden van een punt tot de snijpunten van een cirkel en een willekeurige rechte door dat punt is constant. it constante getal noemen we de macht van het punt ten opzichte van de cirkel. O = O = Een vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen, noemt men een koordenvierhoek. e overstaande hoeken van een koordenvierhoek zijn supplementair. P P = P P ls twee cirkels raken, dan ligt het raakpunt op de centraal van de twee cirkels. + F = 80 en E + G = 80 c en c raken in ( O, r ) (, s ) ligt op O

21 Een rechte en een cirkel kunnen geen, één of twee punten gemeenschappelijk hebben. Een rechte s en een cirkel c (, r ) hebben twee punten gemeenschappelijk s < r. Een rechte t en een cirkel c (, r ) hebben één punt gemeenschappelijk t = r. Een rechte u en een cirkel c (, r ) hebben geen punten gemeenschappelijk u > r. fstand van het middelpunt van een cirkel tot een rechte Voor een rechte, een cirkel en een punt van de cirkel geldt: de rechte is een raaklijn aan de cirkel in een punt de rechte staat in loodrecht op de middellijn door Kenmerk raaklijn aan een cirkel e afstanden van het punt, waaruit men de raaklijnen aan een cirkel tekent, tot de raakpunten zijn gelijk. e rechte die een punt buiten de cirkel verbindt met het middelpunt is een deellijn van de hoek gevormd door de raaklijnen uit dat punt aan de cirkel. Eigenschappen van de raaklijnen uit een punt e kleinste hoek tussen een raaklijn en een koorde is gelijk aan de helft van de kleinste middelpuntshoek op die koorde. t raakt c in t (, r ) c (,r) P P raakt c (, ) in r P raakt c (, ) in r P = P en P = P =

22 7 Regelmatige veelhoeken e som van de hoeken van een n hoek is ( n ) 80. Voor een regelmatige hoek ( ) de hoek n 80, n de lengte van de zijde n met straal r is z n de lengte van het apothema de omtrek On de oppervlakte 80 = r sin, n an 80 = n r sin, n n 360 n 80 = r cos, n = n r sin. 6 nalytische meetkunde Voor twee rechten, die niet dezelfde richting hebben als de assen, geldt: de rechten staan loodrecht op elkaar het product van hun richtingscoëfficiënten is gelijk aan. Kenmerk loodrechte stand Voor het punt (, ) P x y en de rechte u : ax + by + c = 0 geldt: P P Pu = ax P + by P + c. a + b e cirkel (, r ) ls Formule afstand punt-rechte c met ( x, y ) heeft als vergelijking ( ) ( ) ( ) a + b 4c > 0, dan is x y ax by c a b met, en r = a + b 4c. :, r c x x + y y = r. iddelpuntsvergelijking van een cirkel = 0 de vergelijking van een cirkel c (, r ) lgemene vergelijking van een cirkel

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Vlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,

Nadere informatie

Voorkennis meetkunde (tweede graad)

Voorkennis meetkunde (tweede graad) Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie

Vl. M. Nadruk verboden 1

Vl. M. Nadruk verboden 1 Vl. M. Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Hoeveel graden, minuten en seconden zijn gelijk aan rechte hoek? van een rechte hoek resp van een 2. Als = 25 13 36, = 37 40 56, = 80 12 8 en = 12 36 25, hoe groot is

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN

Nadere informatie

Diagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling =

Diagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling = P Q M N R l M ˆ N M ˆ N 4M ˆ 4N ZZZ dus M ˆ N ˆ QP ˆ P ˆ M stelling van de omtrekshoek M ˆ N Q R ˆ 80 koordenvierhoekstelling R ˆ N stelling van de omtrekshoek Q PQ ˆ 80 gestrekte hoek Hieruit volgt dat

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39. Het construeren van figuren

Vlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39. Het construeren van figuren Vlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39 20,1. De cirkel Het construeren van figuren Een cirkel of cirkelomtrek is een gesloten kromme lijn, waarvan alle punten in hetzelfde vlak liggen en even ver

Nadere informatie

E = mc². E = mc² E = mc² E = mc². E = mc² E = mc² E = mc²

E = mc². E = mc² E = mc² E = mc². E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² De boom en het stokje staan loodrecht op de grond in het park. De boom is 3 en het stokje 1. Hoe lang is de schaduw van het stokje

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2016-I

wiskunde B vwo 2016-I wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-II

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-II Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde. Syllabus voortentamen Wiskunde B

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde. Syllabus voortentamen Wiskunde B Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Syllabus voortentamen Wiskunde B Deze syllabus bevat een beschrijving van het programma van het voortentamen Wiskunde B dat wordt afgenomen door de Centrale Commissie

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: 14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64

Nadere informatie

LANDSEXAMEN VWO

LANDSEXAMEN VWO LANDSEXAMEN VWO 2017-2018 Eamenprogramma WISKUNDE B (V.W.O.) ( nieuw eamenprogramma*) 1 Het eindeamen Het eindeamen bestaat uit het centraal eamen en het commissie-eamen. Het centraal eamen wordt afgenomen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

LANDSEXAMEN VWO

LANDSEXAMEN VWO LANDSEXAMEN VWO 2018-2019 Eamenprogramma WISKUNDE B (V.W.O.) 1 Het eindeamen Het eindeamen bestaat uit het centraal eamen en het commissie-eamen. Het centraal eamen wordt afgenomen in één zitting van 3½

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-I

wiskunde B vwo 2017-I wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

LANDSEXAMEN VWO

LANDSEXAMEN VWO LANDSEXAMEN VWO 2017-2018 Eamenprogramma WISKUNDE B (V.W.O.) ( oud eamenprogramma*) 1 Het eindeamen Het eindeamen bestaat uit het centraal eamen en het commissie-eamen. Het centraal eamen wordt afgenomen

Nadere informatie

Lijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014

Lijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014 Lijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014 Punt Pu1 Zorg dat Toon assen aan staat. Teken een punt in het vlak. Wijzig de naam naar X (hoofdletter!) (rechtsklikken op het punt voor openen snelmenu). Sleep

Nadere informatie

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2015-II

wiskunde B vwo 2015-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

wiskunde B bezem vwo 2018-II

wiskunde B bezem vwo 2018-II wiskunde bezem vwo 08-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 08 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 5 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

HZH: c, α en β ZZR: a, b en β

HZH: c, α en β ZZR: a, b en β EETKUNE e hoekpunten van een driehoek of vierhoek geven we met HOOFLETTER aan. Lijnen krijgen een kleine letter en voor hoeken gebruiken we vaak Griekse letters. Het Griekse alfabet begint met de letters

Nadere informatie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs

Nadere informatie

Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde

Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Getal & Ruimte editie 11 Goniometrie in rechthoekige driehoeken Stap 1: Zoek de rechthoekige driehoeken Figuur 1: Ga na dat in dit voorbeeld alleen ADC en DBC

Nadere informatie

BETALES. Wiskunde B. Examenoefeningen VWO. A. Smit BSc 3/14/2017

BETALES. Wiskunde B. Examenoefeningen VWO. A. Smit BSc 3/14/2017 BETALES Wiskunde B Examenoefeningen VWO A. Smit BSc 3/14/2017 Examenopdrachten op basis van oude examens van www.examenblad.nl. Ieder examen in deze bundel moet in 3h gemaakt kunnen worden, gelijk aan

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : De Cirkel

Hoofdstuk 8 : De Cirkel - 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt

Nadere informatie

(fonsvendrik.nl 2017)

(fonsvendrik.nl 2017) Inhoud Vlakke meetkunde. Nadruk verboden 1.1 Inleiding blz. 1 1.2 Lichamen, vlakken, lijnen en punten 1 1.2 Hoeken 2 2.1 Supplementaire en complementaire hoeken 3 2.3 Evenwijdige lijnen 3 3.1 Driehoeken

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en

Nadere informatie

Inhoudstafel. Algebra. Meetkunde. Symbolen...0

Inhoudstafel. Algebra. Meetkunde. Symbolen...0 Formul arium Inhoudstafel Symolen... Algera Verzamelingen...1 Eigenschappen van ewerkingen... Bewerkingen met getallen...3 Breuken...5 Evenredigheden...6 Machten...7 Eigenschappen van machten...8 Merkwaardige

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

2 Lijnen en hoeken. De lijn

2 Lijnen en hoeken. De lijn 1 Inleiding In het woord meetkunde zitten twee woorden verborgen: meten en kunnen. Deze periode gaat dan ook over het kunnen meten. Meetkunde is een oeroude kennis die al duizenden jaren geleden voorkwam

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. 7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek

Nadere informatie

2 Hoeken en bogen 77

2 Hoeken en bogen 77 2 Hoeken en bogen 77 1 De stand van zaken In deze paragraaf wordt je gevraagd wat je weet van de zijden, hoeken en diagonalen van verschillende soorten vierhoeken. En omgekeerd, wat voor speciaal type

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen Kern Meetkundige plaatsen a Zie afbeelding rechts. b In het niet-gearceerde deel. c Op de middenparallel. l m 2 a Teken lijn m en lijn n, beide evenwijdig aan l en op een afstand van 3 cm van l. b Punten

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in

Nadere informatie

De arbelos. 1 Definitie

De arbelos. 1 Definitie De arbelos 1 Definitie De arbelos is een meetkundige figuur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

Verdieping - De Lijn van Wallace

Verdieping - De Lijn van Wallace Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2016-II

wiskunde B vwo 2016-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is

Nadere informatie

BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN

BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN Brugpakket 8: Vlakke figuren 1 Vlakke figuren 1.1 Vlakke figuren: Veelhoeken en niet-veelhoeken Een veelhoek is enkel begrensd door rechte lijnen. OEFENING Zet een kruisje

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek

Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek e irkel. iddellijn, koorde en apothema. iddelpuntshoek en omtrekshoek.3 Raaklijn aan een irkel.3. Raaklijn in een punt van een irkel.3. Raaklijnen uit een punt aan een irkel.4 Onderlinge ligging van twee

Nadere informatie

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] 2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen

Nadere informatie

Spelen met passer en liniaal - werkboek

Spelen met passer en liniaal - werkboek Spelen met passer en liniaal - werkboek Basisconstructie 1: het midden van een lijnstuk (de middelloodlijn) Gegeven: lijnstuk AB. Gevraagd: het midden van lijnstuk AB. Instructie Teken (A, r) en (B, r)

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2016 tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 unten te behalen. Voor

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen). Jozef Hoekmeters bevindt zich op de top van een berg die hoog uit zee rijst (zie figuur ). Aan de overkant van het water ziet hij een appartementsgebouw vlakbij

Nadere informatie

Vlakke Analytische Meetkunde

Vlakke Analytische Meetkunde Vlakke Analytische Meetkunde L. Van Maldeghem L. Van Hyfte Handleiding voor 3 Latijn-Wiskunde, 3 Grieks-Latijn 5 3 Moderne Talen-Wiskunde, 3 Economie-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Vectoren en transformaties 1.1

Nadere informatie

Te kennen leerstof Wiskunde

Te kennen leerstof Wiskunde - 1 - Te kennen leerstof Wiskunde Wiskundeproeven voor de faculteit sociale en militaire wetenschappen (SSMW) en voor de polytechnische faculteit (POL) De te kennen leerstof is gebaseerd op de richtingen

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33)

Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) - 1- Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) Hoekeenheden (boek pag 1) Hoofdeenheid om hoeken te meten is de grootte van de rechte hoek de graad :...... notatie :... de minuut :...

Nadere informatie

Katern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12

Katern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12 Katern 3 Meetkunde Inhoudsopgave 1 Hoeken 2 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4 3 Driehoeken 8 4 Vierhoeken 12 5 Lijnen in een driehoek 15 Inleiding De vlakke meetkunde is de meetkunde die zich afspeelt

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv oofdstuk 0 - oeken en afstanden Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 78 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde factor. Zijde met lengte wordt vergroot

Nadere informatie

Oefeningen analytische meetkunde

Oefeningen analytische meetkunde Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om

Nadere informatie

CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus

CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

Neem [pr]=[ps] en beschrijf uit r en s twee cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar in c snijden. [cp] is de loodlijn op [ab].

Neem [pr]=[ps] en beschrijf uit r en s twee cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar in c snijden. [cp] is de loodlijn op [ab]. Met a en b als middelpunt en met straal groter dan de helft van [ab] trekt men met dezelfde straal twee cirkelbogen, die elkaar snijden in c en d; cd is de middelloodlijn en m het midden van [ab] Neem

Nadere informatie