Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn"

Transcriptie

1 Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (

2 1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne had een prachtige website maar deze is helaas niet meer online. 2. Oefeningen over functieverloop 1997 Juli Vraag 2 De functie f: R R: f(x) = <A> Heeft geen buigpunt(en) <B> Vertoont een buigpunt voor x = 0 <C> Vertoont twee buigpunten, voor x = -1 en voor x = +1 <D> 1997 Juli Vraag 3 Vertoont twee buigpunten, voor x = - 3 en voor x = 3 De functie f: R R, f(x) = <A> <B> <C> <D> Heeft rechte x = -1 als verticale asymptoot Heeft rechte x = 1 als horizontale asymptoot Heeft recht y = 2x + 1 als schuine asymptoot Heeft rechte y = 2x 1 als schuine asymptoot 1997 Juli Vraag 10 Aan de vier hoeken van een rechthoekig stuk karton van 80 cm op 50 cm snijdt men gelijke vierkanten weg. Van de rest maakt men een doos zonder deksel; de maximale inhoud van deze doos in cm 3 is: <A> <B> <C> <D> dr. Brenda Casteleyn Page 2

3 1997 Augustus Vraag 2 Welke van de volgende verzamelingen bevat minstens één nulpunt van de veeltermfunctie: f : x y(x) = 2x 4 4x 3 13x 2-6x-24? <A> {-5;-1;2;7} <B> {-4;-1.5;1;16} <C> {-7;-0.5;3;5} <D> {-3;-2.5;4;9} 1997 Augustus Vraag 6 Welke van de volgende beweringen is juist? De rationele functie: F: xy(x) = <A> <B> <C> <D> heeft de rechte y = 0 als asymptoot Vertoont geen relatieve extrema Heeft de rechte y = x + 2 als schuine asymptoot Heeft de rechte y = x 2 als schuine asymptoot 1997 Augustus Vraag 8 Beschouw een cylindrisch vat (zonder deksel) met gegeven volume V 0 m 3. Als de oppervlakte van het vat minimaal is, welk verband is er dan tussen de hoogte h (in m) van het vat en de straal r (in m) van het grondvlak? <A> h = 0.75 r <B> h = r <C> h = 1.5r <D> h = 2r 1997 Augustus Vraag 9 Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie F: x y(x) = 6ac x 3 + 4bc x 2 + 9ad x + 6bd Is NIET juist? <A> <B> <C> <D> Als a = 0 en bcd 0, heeft de veeltermfunctie hoogstens 2 nulpunten Als 2c+3d=0 dan heeft de veeltermfunctie +1 en -1 als nulpunten Als cd > 0 dan heeft de veeltermfunctie 2 tegengestelde nulpunten Als a = 2 heeft de veeltermfunctie b/3 als nulpunten dr. Brenda Casteleyn Page 3

4 1997 Augustus Vraag 11 Beschouw de volgende irrationele functie: f: x y(x) = Welke van de volgende beweringen is NIET juist? <A> Ze heeft een buigpunt voor x = 2 <B> Ze heeft een minimum voor x = -1 <C> Ze is alleen gedefinieerd in het interval [-4,2] <D> Ze heeft twee snijpunten met y = Juli Vraag 2 Welke van de volgende beweringen is juist? De rationale functie f: x y(x) = x 2 - <A> <B> <C> <D> Heeft de recht y = 0 als asymptoot Vertoont een (relatief) minimum Heeft de rechte y = x en y = -x als schuine asymptoten Heeft een schuine asymptoot 2000 Juli Vraag 8 Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie f: x y(x): 3x 4 10x 3-12x x -7 Welke van de volgende beweringen is juist? <A> <B> <C> <D> Voor x = -1/2 is haar bolle zijde naar boven gekeerd Voor x = 0 is haar bolle zijde naar boven gekeerd Voor x = 2 is haar bolle zijde naar boven gekeerd Voor x = 3 is haar bolle zijde naar boven gekeerd 2001 Augustus Vraag 1 Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie f: x y(x) = 2ac x 3 + 3bc x 2-8ad x -12bd Is NIET juist? <A> <B> <C> <D> Als a = 0 en bcd 0, heeft de veeltermfunctie hoogstens 2 nulpunten Als c=d<0 dan heeft de veeltermfunctie +2 en -2 als nulpunten Als a = 3 dan heeft de veeltermfunctie b/2 als nulpunt Als abcd 0 dan heeft de veeltermfunctie hoogstens 3 nulpunten dr. Brenda Casteleyn Page 4

5 2001 Augustus Vraag 2 Welke van de volgende beweringen is NIET juist? De rationale functie: f: x y(x) = <A> <B> <C> <D> Heeft de rechte y = 2 als asymptoot Heeft een verticale asymptoot Heeft een schuine asymptoot Vertoont een buigpunt 2001 Augustus Vraag 9 Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3). Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor met straal 2. <A> <B> <C> <D> Beide beweringen zijn juist. Alleen de eerste bewering is juist. Alleen de tweede bewering is juist. Beide beweringen zijn onjuist Juli Vraag 1 Beschouw de grafiek van volgende veeltermfunctie: y(x) = 4 x 3-21 x x - 9 Welke van de volgende beweringen is juist? <A> <B> <C> <D> voor x= 1 / 2 vertoont zij een relatief minimum voor x= 3vertoont zij een relatief minimum voor x= 7 / 4 vertoont zij een relatief maximum voor x= 3 vertoont zij een relatief maximum Juli Vraag 10 Beschouw de kromme x 2 y + 3y -4 = 0. De waarde van de afgeleide y in een punt van de kromme met x=3 is <A> -1/6 <B> 0 <C> 1/6 <D> 1 dr. Brenda Casteleyn Page 5

6 Augustus Vraag 1 Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie y= 2x 3 +5x 2 +4x+5. Welk van de volgende beweringen is juist? <A> <B> <C> <D> x = 5/6 is een relatief maximum x = -1/3 is een relatief maximum x = 5/2 is een relatief maximum x = 2 is een relatief maximum Augustus Vraag 10 Gegeven is de vergelijking van een bepaalde kromme: x.y + x 2y 1 = 0 Hoeveel bedraagt de afgeleide y in een punt van deze kromme voor x = 3? <A> 1 <B> 0 <C> ½ <D> Augustus Vraag 2 Welke van de volgende beweringen over de rationale functie f: x y(x) = is NIET juist? <A> <B> <C> <D> De functie heeft de rechte y = 2 als asymptoot De functie heeft een verticale asymptoot De functie heeft een schuine asymptot De functie heeft twee nulpunten 2008 Juli Vraag 4 Als 0 x 1 dankan 1 + x/2 goed benaderd worden door 1+ Wat is binnen de voorwaarde de grootste afwijking tussen de twee uitdrukkingen? <A> [0,06;0,07[ <B> [0,07;0,08[ <C> [0,08;0,09[ <D> [0,09;0,10[ dr. Brenda Casteleyn Page 6

7 Juli Vraag 7 We beschouwen de parabool y = + 3x + 6 en zijn afgeleide y = -x +3 Welke uitspraak is onjuist? <A> Het snijpunt van de rechte met de x-as komt overeen met de top van de parabool <B> De afgeleide functie is een dalende rechte omdat de parabool met zijn holle zijde naar onder ligt. <C> De afgeleide functie van een parabool heeft steeds twee snijpunten met de parabool. <D> Als de rechte onder de x-as zit, dan is de parabool dalend Augustus Vraag 8 Beschouw de veeltermfunctie: f(x) = 3x 3 +27x 2 +5 Welke uitspraken over nulpunten, extrema en buigpunten is verkeerd? <A> De functie heeft x=5 en x=1 niet als nulpunt. <B> De functie heeft twee extrema bij x=0 en x=-6. <C> De functie heeft een buigpunt bij x=-3 <D> De holle kant van de functie ligt naar onder in de buurt van x=0 dr. Brenda Casteleyn Page 7

8 Juli Vraag 1 Gegeven is een parabolische functie: f (x) = 2 x 2-2x -1 Waar ligt de top van deze parabool? <A> X = - 1/2 <B> X = 1/2 <C> X = 1 <D> X = Juli Vraag 2 Gegeven is een derdegraadsfunctie: f (x) = 4 x x 2 + x -1/6 Welke buigpunten heeft deze functie? <A> een buigpunt op x = -1/6 <B> eeen buigpunt op x = 1/6 <C> een buigpunt op x = 0 <D> een buigpunt op x = Juli Vraag 3 Gegeven is een parabolische functie: f(x) = 2x 2 2x -1 Waar ligt de top van deze parabool? <A> x = - 1/2 <B> x = ½ <C> x = 1 <D> x = Juli Vraag 10 Hoeveel reële nulpunten heeft deze functie x 3 x 2 3x -9 <A> 0 <B> 1 <C> 2 <D> 3 dr. Brenda Casteleyn Page 8

9 Augustus Vraag 5 De grafiek van de functie y(x)=(x 2 4x)/(x+2) 2 : <A> <B> <C> <D> Vertoont een relatief minimum tussen de twee nulpunten Vertoont een relatief minimum buiten de twee nulpunten Vertoont een relatief maximum tussen de twee nulpunten Vertoont een relatief maximum buiten de twee nulpunten Juli Vraag 3 Gegeven is de volgende veelterm: x 4 3x 3 + x 2 5x + 6 Hoeveel reële nulpunten heeft deze veelterm? <A> 1 <B> 2 <C> 3 <D> Juli Vraag 7 Gegeven is de functie y = Slechts één van de volgende uitspraken over asymptoten en buigpunten is correct, welke? <A> <B> <C> <D> Deze functie heeft een verticale asymptoot en geen buigpunten Deze functie heeft een verticale asymptoot en één buigpunt Deze functie heeft een schuine asymptoot en één buigpunt Deze functie heeft een schuine asymptoot en twee buigpunten Augustus Vraag 3 Gegeven is de volgende rationele functie: y = Welke uitspraak is verkeerd? <A> <B> <C> <D> Deze functie heeft geen nulwaarden en één verticale asymptoot Deze functie heeft één buigpunt en een verticale asymptoot Deze functie heeft één verticale asymptoot en één schuine asymptoot Deze functie heeft geen buigpunt en een schuine asymptoot dr. Brenda Casteleyn Page 9

10 Juli Vraag 2 Hieronder is de functie y=2x²+2x+3/2 afgebeeld. Een niet horizontale rechte gaat door punt P(2,1) en heeft een raakpunt met deze parabool. Hoeveel bedraagt de helling van deze raaklijn. A. 8 B. 12 C. 20 D Juli Vraag 5 In een onderzoek gaat men het verband na tussen onverwachte mortaliteit (y) en het gemiddelde aantal uren slaap (x) van deze personen. Dit verband wordt weegegeven door de volgende best passende functie: Y = 100x x Bij welk gemiddeld aantal uren slaap was in dit onderzoek de mortaliteit het kleinst? <A> <B> <C> <D> 6,5 uur 7 uur 7.5 uur 8 uur 2012 Augustus Vraag 7 De werking van een geneesmiddel wordt onderzocht voor dosissen van 0 tot 2 gram/dag. Na regressieanalyse van de waarnemingen was men in staat het percentage genezen mensen (A) uit te drukken als functie van de toegediende dosis (d) van een bepaald geneesmiddel. A = -d 2 + 2d + 3 (0 d 2) dr. Brenda Casteleyn Page 10

11 Walke dosis van dit geneesmiddel is het meest effectief? <A> 2 <B> 3/2 <C> 1 <D> ½ 2012 Augustus Vraag 8 We beschouwen de kwadratische functie: y = -2x Een rechte die de y-as snijdt in het punt (0;4) heeft één punt gemeenschappelijk met deze parabool. Hoeveel bedraagt de helling van die rechte? De gezochte rechte is niet verticaal en is niet parallel met de rechte y = 4x. <A> -4 <B> ¼ <C> -2 <D> ½ Juli Vraag 3 versie1 We beschouwen de volgende rationale functie: = Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: 1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Welke van deze uitspraken zijn correct? <A> 1 <B> 2 <C> 1 en 3 <D> 2 en Juli Vraag 3 versie2 We beschouwen de volgende rationale functie: = Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: dr. Brenda Casteleyn Page 11

12 1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Welke van deze uitspraken zijn correct? <A> 1 en 4 <B> 2 en 3 <C> 1,2 en 3 <D> 1, 2 en Juli Vraag 6 We beschouwen de functie: = 2+4 Hoeveel raaklijnen aan deze functie zijn evenwijdig met de rechte 3x - y = 2 <A> 0 <B> 1 <C> 2 <D> 3 dr. Brenda Casteleyn Page 12

13 Juli Vraag 8 versie 1 Welke van de volgende grafieken geeft de functie y = Ln(x-2) +1 weer? Juli Vraag 8 versie 2 In de volgende grafiek zijn 4 logaritmische functies getekend. Welke van de volgende curven geeft de functie y = Ln(2-x) + 1 weer? dr. Brenda Casteleyn Page 13

14 Augustus Vraag 4 We beschouwen de volgende rationale functie: y(x) = Welke uitspraak is correct? A. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -1 B. De functie bereikt een locaal maximum voor x = +1 C. De functie bereikt een locaal maximum voor x = - 3 D. De functie bereikt een locaal maximum voor x = Augustus Vraag 7 Hoeveel raaklijnen kan men tekenen aan de functie y = x 2 + 2x door het punt (-1/2, -3)? <A> 0 <B> 1 <C> 2 <D> 3 dr. Brenda Casteleyn Page 14

15 Augustus Vraag 8 Hieronder staan vier functies getekend in een grafiek. y = 1 -(x- 2) 3 y = 1 + (x- 2) 3 y = 2 -(x- 1) 3 y = 1 + (x- 1) 3 Welk van deze grafieken stelt de functie y = 1 + (x-2) 3 voor? <A> <B> <C> <D> grafiek A grafiek B grafiek C grafiek D dr. Brenda Casteleyn Page 15

16 2014 Juli Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie. y x Welk functievoorschrift is correct? <A> <B> <C> <D>. Y = Y = Y = Y = Juli Vraag 8 Gegeven zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte. Y = -x ¼ y = x 2 +m.x + 2 Bij geschikte waarden voor de parameter m raakt de rechte aan de parabool. Hoeveel bedraagt de som van die waarden voor m? <A> 6 <B> -6 <C> 2 <D> Augustus Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie dr. Brenda Casteleyn Page 16

17 y x Welk functievoorschrift is correct? <A> Y = e -0,025x <B> Y = e 0,025x <C> Y = e 0,025x <D> Y = e -0,025x Juli Vraag 4 Hoeveel snijpunten hebben de parabolen y = x 2 + x + 1 en y = 2x 2-2x +3 <A> 4 <B> 2 <C> 1 <D> Juli Vraag 9 Bepaal het domein van S, als een sinus van hoek α is. <A> ]-, 0] <B> ]-, 0]U [2/3, + [ <C> ]-, 1/2] <D> ]-,-1/2]U[1/2, + [ Juli Vraag 10 Gegeven is een parabool: y = 2x 2 + (a-1)x + (a 2-1) met a ϵ 0,1 dr. Brenda Casteleyn Page 17

18 We beschouwen de som van de kwadraten van de nulpunten van deze parabool. Hoeveel bedraagt deze som maximaal? <A> 1/2 <B> 5/4 <C> 0 <D> 3/ Augustus Vraag 3 De functie f is bepaald door het voorschrift f(x) = x 2 e -x. Over welk interval is deze functie monotoon dalend? <A> ]1,2[ <B> ]-1,1[ <C> ]0,1[ <D> ]2,3[ Augustus Vraag 5 Het aantal snijpunten van de parabolen met vergelijking y = x 2 en x = y 2 is gelijk aan <A> 4 <B> 3 <C> 2 <D> Juli geel Vraag 10 Gegeven is de functie met voorschrift f(x) = x 3 11 x 2 25x 13. De rechte met vergelijking y = px + q raakt de grafiek van f in het punt A(a,f(a)) en snijdt de grafiek van f in het punt B(13,0). Als A en B verschillende punten zijn, dan is p + q gelijk aan <A> <B> -1 <C> 0 <D> Juli geel Vraag 13 Beschouw drie functies f, g en h met functievoorschriften f(x) = sin (x/2) g(x) = 1 e -x h(x) = De grafieken van f, g en h gaan door de oorsprong O. De volgende figuur toont de grafieken van deze functies op een gesloten interval waarvan het linkereindpunt de oorsprong is. dr. Brenda Casteleyn Page 18

19 Welke grafiek stemt overeen met welke functie? <A> (a) met f, (b) met g, (c) met h <B> (a) met g, (b) met f, (c) met h <C> (a) met g, (b) met h, (c) met f <D> (a) met f, (b) met h, (c) met g Augustus geel Vraag 4! Beschouw de punten P( 2, 2) en Q ( 4, 2) De grafieken van de functies f en g met voorschrift f(x) : x 2-2 <A> in P en in Q <B> in P,maar niet in Q <C> in Q, maar niet in P <D> niet in P en niet in Q Augustus geel Vraag 5 en g(x) = snijden elkaar In deze figuur staat de grafiek van één van de functies f waarvan het voorschirft hieronder is gegeven. Wat is dat voorschrift? dr. Brenda Casteleyn Page 19

20 <A> f(x) = e x sin 2x <B> f(x) = e x sin x <C> f(x) = e x + sin x <D> f(x) = e x + sin 2x 2016 Augustus geel Vraag 10 Beschouw de functie f bepaald door het voorschrift f(x) = (x 1).e -x. Als de punten A(a,f(a)) en B(b,f(b)) de raakpunten zijn van de raaklijnen uit de oorsprong aan de grafiek van f, dan is a + b gelijk aan <A> -2 <B> -1 <C> 1 <D> Augustus geel Vraag 11 Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) = en de acht open intervallen ]-4,-3[, ]-3,-2[, ]-2,-1[, ]-1,0[, ]0,1[, ]1,2[, ]2,3[, ]3,4[ De functie is negatief <A> in precies één van deze intervallen <B> in precies twee van deze intervallen dr. Brenda Casteleyn Page 20

21 <C> in precies drie van deze intervallen <D> in precies vier van deze gevallen 2017 Juli geel Vraag 6 Gegeven is de functie f met functievoorschrift f(x) = + +"#+2$+ # met a een reële constante. De grafiek van f heeft geen enkele raaklijn die evenwijdig is met de eerste bissectrice als en slechts als <A> a 0 <B> a 0 <C> a < 0 <D> a > Juli geel Vraag 7 De functies f en g worden gegeven door de functievoorschriften f(x) = 3 x 2 en g(x) = 2/x waarbij x > 0 De grafieken raken aan elkaar in het punt P. Bepaal de vergelijkjing van de gemeenschappelijke raaklijn in P. <A> y = -x +3 <B> y = -2x +4 <C> y = -3x +5 <D> y = -4x Juli geel Vraag 13 De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = x + 2cos x. Noem a de kleinste positieve waarde waarin f een lokaal maximum bereikt. Noem b de kleinste positieve waarde waarvoor het punt (b, f(b)) een buigpunt is van f. Bepaal de oppervlakte tussen de grafiek van f, de x-as en de verticale rechten met vergelijking x = a en x = b. <A> <B> <C> % +1 % & +1 % ' +1 dr. Brenda Casteleyn Page 21

22 <D> % Augustus geel Vraag 6 De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = tan 2 x. De raaklijn aan de grafiek van f in het punt P (π/4, f(π/4)) en de verticale rechte door P snijden de x-as respectievelijk in Q en R. Bepaal de oppervlakte van de driehoek PQR. <A> 1/16 <B> 1/8 <C> ¼ <D> ½ 2017 Augustus geel Vraag 7 Stel dat a en b reële getallen zijn. De functie f met functievoorschrift f(x) = (. ) ) heeft een schuine asymptoot met vergelijking y = 4x 3. Bepaal a + b. <A> 1 <B> 2 <C> 4 <D> 5 dr. Brenda Casteleyn Page 22

23 3. Oplossingen oefeningen 1997 Juli Vraag 2 Gegeven: De functie f: R R: f(x) = Gevraagd: buigpunt Buigpunt 2 de afgeleide f (x) = * + =,, =, = " $ " $ " $ " $ " $ f (x) = * +" $ * +. * + " $, = " $[* +" $ * +] " $, = "/ / " $ = " $ " $ Tekenverloop: x f (x) - Ι Ι + Tekenverandering in 0, dus buigpunt enkel in 0 Antwoord B 1997 Juli Vraag 3 Ter herinnering: Verticale asymptoot: nulwaarde(n) van de noemer, die niet in de teller voorkomen. Horizontale asymptoot: als de graad van de teller kleiner of gelijk is aan de graad van de noemer. Door waarden in te vullen,kan je de asymptoot vinden. Schuine asymptoot: als de graad van de teller groter is dan de graad van de noemer. Je vindt die asymptoot door de euclidische deling van teller gedeeld door noemer en die vergelijking mag maar van de eerste graad zijn, anders is het geen asymptoot meer Niets: als de graad van de teller meer dan 1 eenheid groter is dan de graad van de noemer, heb je geen asymptotisch gedrag. dr. Brenda Casteleyn Page 23

24 Gegeven: De functie f: R R, f(x) = Gevraagd: VA, HA, SA? VA: x = 1 (= nulpunt noemer) Geen HA want graad T > graad N SA bestaat want graad T = graad N+1 Snelste manier is volgende deling 2x 2-3x+4 x-1-2x 2 +2x 2x-1 -x+4 -x-1 3 SA: y = 2x-1 Antwoord D 1997 Juli Vraag 10 Gegeven: x x 80-2x x 50-2x Met x < 25, anders is er geen doos Gevraagd: maximale inhoud in cm 3 Bereken de inhoud van de doos: oppervlakte grondvlak x hoogte Inhoud = (80-2x)(50-2x).x = (80-2x)(50x-2x 2 ) = 4000x-160x 2-100x 2 +4x 3 = 400x-260x 2 +4x 3 = 4(1000x-65x 2 +x 3 ) Maximale waarde: afgeleide = 0 voor extremum en via tekenverloop maximum bepalen. Inhoud (x) =(4(x 3-65x x)) = 4 (3x 2-130x ) Nulpunten van deze afgeleide: x = 10 en x = 100/3 dr. Brenda Casteleyn Page 24

25 Tekenverloop: X /3 Inhoud(x) stijgt daalt stijgt Inhoud (x) De inhoud bereikt dus een maximale waarde voor x=10 De inhoud is dan I(10) = ( )( ).10= Antwoord C 1997 Augustus Vraag 2 Gegeven: f : x y(x) = 2x 4 4x 3 13x 2-6x-24 Gevraagd: nulpunten Alle delers van -24 zijn mogelijke nulpunten, dus 1, -1,2,-2,3,-3 4,-4,8,-8,12,-12 Gebruik regel van Horner: (x+2)(2x 3-8x 2 +3x-12) Opnieuw Horner toepassen (x+2)(x-4)(2x 2 +3) Nulpunten: -2 en 4 Antwoord D dr. Brenda Casteleyn Page 25

26 1997 Augustus Vraag 6 Gegeven: f: xy(x) = Gevraagd: asymptoten, extrema Geen H.A;. want graad T > graad N Schuine asymptoot: deling: x 2-2x+1 : x = x-2 SA: y = x-2 Antwoord D 1997 Augustus Vraag 8 Gegeven: volume cilinder V 0 m 3 Gevraagd: verband hoogte vat en straal grondlvak bij minimale oppervlakte vat Formule volume cilinder: V = πr 2 h Formule oppervlakte vat: oppervlakte grondvlak + oppervlakte mantel Oppervlakte vat = πr 2 + 2πrh Vervang h uit formule van volume: h = V/ πr 2 Dus: Oppervlakte vat = πr 2 + 2πr. V/ πr 2 Vereenvoudig: Oppervlakte vat = πr V/ r Een minimale oppervlakte: eerste afgeleide = 0 ( πr V/ r) =2 πr V/ r 2 = 0 2 πr = 2 V/ r 2 We kunnen nu V vervangen door de formule van volume: 2 πr = 2 πr 2 h / r 2 2 πr = 2 πh r = h Antwoord B dr. Brenda Casteleyn Page 26

27 1997 Augustus Vraag 9 Gegeven: f: x y(x) = 6ac x 3 + 4bc x 2 + 9ad x + 6bd Gevraagd: welke optie is fout. Mogelijkheid A: Als a = 0 en bcd 0, dan wordt de vergelijking: y(x) = 4bc x 2 + 6bd Aantal mogelijke nulpunten: 0, 1 of 2 want kwadratische vergelijking Mogelijkheid B: Als 3d = -2c, dan wordt de vergelijking: y(x) = 6ac x 3 + 4bc x 2 + (-6c)a x - 4bc y(-1) = -6ac + 4bc +6ac -4bc = 0 y(1) = 6ac +4bc -6ac-4bc = 0 Mogelijkheid D: Als a=2, dan wordt de vergelijking: y(x) = 12c x 3 + 4bc x d x + 6bd y(-b/3) = 12c(-b 3 /27) + 4bc(b 2 /9+18d(-b/3) +6bd = -12cb 3 /27 + 4cb 3 /9-18bd/3 + 6bd = 0 Antwoord C 1997 Augustus Vraag 11 Gegeven: de irrationele functie: f: x y(x) = Gevraagd: foute bewering Mogelijkheid B: Minimum voor x = -1? Afgeleide van = -1/2(-2x-2)(-x 2-2x+8) -1/2 = ' Dit wordt = 0 bij x =-1. Uit tekenverloop blijkt dit een minimum te zijn. Mogelijkheid C: alleen gedefinieerd in interval [-4,2]? dr. Brenda Casteleyn Page 27

28 Domein is beperkt door voorwaarde dat wat onder vierkantswortel staat positief moet zijn. Dus 2+8> 0 Bereken nulpunten: D = 36 en x 1 = -4 en x 2 = 2 Bepaal tekenverloop: X /// /// /// /// Dus domein inderdaad tussen -4 en 2 Mogelijkheid D: 2 snijpunten met y = -2? Los daarvoor volgende vergelijking op: -2 = = = = 2+4 Bereken de nulpunten: D 2 = = 20. Dat geeft twee nulpunten Dus twee snijpunten. Besluit: Mogelijkheid A moet fout zijn Antwoord A 2000 Juli Vraag 2 Gegeven: De rationale functie f: x y(x) = x 2 - Gevraagd: asymptoten, maxima y(x) =( x 3-27)/x Er is geen schuine asymptoot want graad teller graad noemer +1 Er is ook geen horizontale asymptoot want graad teller graad noemer Antwoord B dr. Brenda Casteleyn Page 28

29 2000 Juli Vraag 8 Gegeven: f: x y(x): 3x 4 10x 3-12x x -7 Gevraagd: juiste bewering: voor welke waarde van x bolle zijde naar boven? Berekening van tweede afgeleide: (3x 4 10x 3-12x x -7) = 12x 3-30x 2-24x+12 (12x 3-30x 2-24x+12) = 36x 2 60x -24 Mogelijkheid A: y (-1/2) = 36/ = 15 >0 (bol onder) Mogelijkheid B: y (0) = -24 bol boven Mogelijkheid C: y (2) = = 0 buigpunt Mogelijkheid D: y (3) = = 120 bol onder Antwoord B 2001 Augustus Vraag 1 Gegeven: f: x y(x) = 2ac x 3 + 3bc x 2-8ad x -12bd Gevraagd: foute bewering? Mogelijkheid A: als a = 0 en bcd 0, dan wordt de vergelijking: y(x) = 3bc x 2-12bd, dit is een kwadratische vergelijking die geen, 1 of 2 nulpunten heeft Mogelijkheid B: Als c=d<0, dan wordt de vergelijking: y(x) = 2ac x 3 + 3bc x 2-8ac x -12bc Y(2) = 16ac + 12bc 16ac 12bc = 0 Y(-2) = -16ac + 12bc +16ac -12bc = 0 Mogelijkheid C: Als a = 3, dan wordt de vergelijking: y(x) = 6c x 3 + 3bc x 2-24d x -12bd y(b/2) = 6c(b/2) 3 + 3bc(b/2) 2 24d(b/2) -12bd = 6cb 3 /8 + 3cb 3 /4-12db-12bd 0 Antwoord C dr. Brenda Casteleyn Page 29

30 2001 Augustus Vraag 2 Gegeven: De rationale functie: f: x y(x) = Gevraagd: foute bewering Graad teller = graad noemer, dus wel een horizontale asymptoot Graad teller graad noemer +1, dus geen schuine asymptoot. Antwoord C 2001 Augustus Vraag 9 Gegeven: Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3).Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor met straal 2. Gevraagd: welke bewering juist? Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3). Om de top te berekenen zoek je de afgeleide van x in functie van y: X = ¼( y² - 6y + 1) en zoek je de afgeleide: (¼( y² - 6y + 1)) = ¼(2y-6) deze vergelijking wordt 0 voor y = 3 Met de oorspronkelijke vergelijking vinden we bij y = 3 de waarde x=-2 De top is dus (-2,3) Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor metstraal 2. De standaardvorm van de vergelijking van een cirkel is: (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 met middelpunt (a,b) en straal r. We vormen de vergelijking om naar de standaardvorm: y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 y² - 6y x² - 4x = 0 (toevoeging +9-9 en +4-4 om merkwaardig product te kunnen toepassen) (y-3) 2-9+ (x-2) = 0 (y-3) 2 + (x-2) 2 = 3 2 De straal van de cirkel is dus 3. dr. Brenda Casteleyn Page 30

31 Antwoord B 2002 Juli Vraag 1 Gegeven: veeltermfunctie: y(x) = 4 x 3-21 x x - 9 Gevraagd: juiste bewering (4 x 3-21 x x 9) = 12x 2 42x + 18 Nulpunten: discriminant = 900 en x 1 = ½ en x 2 = 3 Tweede afgeleide: 24x 42 nulpunt: x = 7/4 (= buigpunt) Tekenverloop: X ½ 7/4 3 f (x) f (x) f(x) max buigpunt min Antwoord B Juli Vraag 10 Gegeven: Kromme x 2 y + 3y -4 = 0 Gevraagd: waarde van afgeleide y in punt van de kromme met x =3 Herschrijf de vergelijking: y(x 2 +3)-4 = 0 of y = 4/(x 2 +3) (4/(x 2 +3)) =( 0(x 2 + 3) 8x) /(x 2 +3) 2 =-8x /(x 2 +3) 2 y (3) = -1/6 Antwoord A Augustus Vraag 1 Gegeven: veeltermfunctie y= 2x 3 +5x 2 +4x+5 Gevraagd: extrema? dr. Brenda Casteleyn Page 31

32 ( 2x 3 +5x 2 +4x+5) = -6x 2 +10x +4 = -2(3x 2-5x-2) Ontbinden via Horner: = -2(x-2)(3x+1) Nulpunten: 2 en -1/3 Tweede afgeleide: (-6x 2 +10x +4) = -12x+10 Het nulpunt x = 10/12 = 5/6 is een buigpunt Tekenverloop x -1/3 0 5/6 2 y y y min buigpt max Antwoord D Augustus Vraag 10 Gegeven: vergelijking: x.y + x 2y 1 = 0 Gevraag: afgeleide y in een punt van deze kromme voor x = 3? xy + x 2y 1 = 0 y(x-2) + x = 1 y = (1-x)/(x-2) y = y = " $ "$ " $ " $ y (3) = 1 Antwoord D dr. Brenda Casteleyn Page 32

33 2007 Augustus Vraag 2 Gegeven: de rationale functie f: x y(x) = Gevraagd: foute bewering is NIET juist? Horizontale asymptoot: lim x = 2, dus bewering A is juist Nulpunten: teller heeft twee nulpunten, dus ook D is juist Er is geen schuine asymptoot want graad teller niet gelijk aan graad noemer +1 Antwoord C 2008 Juli Vraag 4 Gegeven: Als 0 x 1 dankan 1 + x/2 goed benaderd worden door 1+ Gevraagd: Wat is binnen de voorwaarde de grootste afwijking tussen de twee uitdrukkingen? Grootste afwijking of grootste verschil: maximum of minimum Verschil: V= 1 + x/2-1+ extremum afgeleide = 0 V = ½ - = 0 x = 0 "$ Is x 0 een minimum of een maximum: invullen: 1 + 0/2 = 1 en 1+0 = 1 verschil =0 Er is geen maximum, dus moeten we kijken binnen de toegelaten voorwaarde wat de hoogste waarde is, nl. 1: invullen: 1 + ½ = 3/2 en 1+1 = 2 Verschil: 3/2 1,4141 = 0,0858 Antwoord C Juli Vraag 7 Gegeven: de parabool y = + 3x + 6 en zijn afgeleide y = -x +3 Gevraagd: onjuiste uitspraak Uitspraak A: Het snijpunt van de rechte met x-as komt overeen met de top van de parabool. Op het snijpunt van de rechte met x is de waarde van y = 0, de afgeleide is er dus 0. Dat is dr. Brenda Casteleyn Page 33

34 exact hoe we een extremum vinden. Dus, voor de x waar de rechte kruist met de x-as, is er een extremum, in dit geval een maximum. Deze uitspraak klopt. Uitspraak B: De richtingscoëficiënt van de afgeleide is negatief en de afgeleide is dus een dalende functie. De tweede afgeleide = -1, dus negatief holle zijde is dan naar onder. Deze uitspraak klopt Uitspraak C: Er zijn niet altijd 2 snijpunten tussen een parabool en zijn afgeleide. Deze uitspraak klopt niet. (voorbeeld: y = x en afgeleide: y = 2x, er zijn geen snijpunten) Uitspraak D: Als de rechte onder de x-as is, dan is de afgeleide negatief (na het nulpunt). De parabool is dan dalend. Deze uitspraak klopt. Antwoord C Augustus Vraag 8 Gegeven: veeltermfunctie: f(x) = 3x 3 +27x 2 +5 Gevraagd: foute uitspraak Mogelijkheid A: f(5) = f(1) = Mogelijkheid B: (3x 3 +27x 2 +5) = 9x 2 +54x = x(9x+54) Nulpunten: x = 0 en x =-6, dit zijn de twee extrema Mogelijkheid C: buigpunt berekenen tweede afgeleide: (9x 2 +54x ) = 18x +54 Nulpunt = -54/18 = -3 is een buigpunt Mogelijkheid D: f (0) = = 54 >0 (hol naar boven) Antwoord D Juli Vraag 1 Gegeven: parabolische functie: f (x) = 2 x 2-2x -1 Gevraagd: top? Berekening van de top: afgeleide gelijk aan 0 dr. Brenda Casteleyn Page 34

35 ( 2 x 2-2x -1) = 4x -2 = 0 x=1/2 Antwoord B 2009 Juli Vraag 2 Gegeven: f (x) = 4 x x 2 + x -1/6 Gevraagd: Buigpunten (4 x x 2 + x -1/6) = 12x 2 +4x +1 (12x 2 +2x +1) = 24x +4 Nulpunt: -1/6 Antwoord A Juli Vraag 3 Gegeven: parabolische functie: f(x) = 2x 2 2x -1 Gevraagd: top van deze parabool? top y = 0 Y = 4x -2 = 0 x = ½ Antwoord B Juli Vraag 10 Gegeven: de functie x 3 x 2 3x -9 Gevraagd: aantal reële nulpunten Alle delers van 9 kunnen nulpunten zijn: 1,-1,2,-2,3,-3,9,-9 Experimenteel vind je bij x=3 een nulpunt: f(3)= =0 Regel van Horner: dr. Brenda Casteleyn Page 35

36 (x-3)(x 2 +2x+3) Nulpunten van (x 2 +2x+3) berekenen Discriminant = = -8 <0 Er is dus maar 1 reëel nulpunt Antwoord B Augustus Vraag 5 Gegeven: functie y(x)=(x 2 4x)/(x+2) 2 Gevraagd: waar is extremum tov nulpunten y = x(x-4)/(x+2) 2 nulpunten: x=0 en x =4 Berekening extremum: y = [(2x-4)(x+2) 2 2(x+2)(x 2-4x)] / (x=2) 4 = (8x -8)/(x+2) 3 Nulpunt bij x=1 (= extremum) Tekenverloop: X Y (8x-8) (x+2) Y y min Antwoord A Juli Vraag 3 Gegeven: veelterm: x 4 3x 3 + x 2 5x + 6 Gevraagd: aantal reële nulpunten dr. Brenda Casteleyn Page 36

37 Delers van 6 kunnen nulpunten zijn, dus 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6 Experimenteel: f(1) = 0 Via Horner: (x-1)(x 3-2x 2 -x-6) Delers van 6 kunnen nulpunten zijn, dus 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6 Experimenteel: f(3)= (x-1)(x-3)(x 2 +x+2) D 2 = 1 8 = -7 <0 Er zijn dus 2 reële nulpunten, nl. 1 en 3 Antwoord B Juli Vraag 7 Gegeven: functie y = Gevraagd: asymptoten en buigpunten? Graad teller = 1 + graad noemer -> er is een schuine asymptoot Verticale asymptoot: x = -2/3 Onderzoek buigpunten: via nulpunten van tweede afgeleide: y =[2x(3x+2)-3(x 2 )]/(3x+2) 2 = [6x 2 +4x-3x 2 ]/(3x+2) 2 = (3x 2 +4x) /(3x+2) 2 dr. Brenda Casteleyn Page 37

38 y = " 0$"0 $ "0 $"0 0$ "0 $, = " 0$"0 $1 "0 $"0 0$ "0 $ = (18x 2 +24x+8-18x 2-24x)/(3x+2) 3 = 8/(3x+2) 3 Deze functie heeft geen nulpunten dus ook geen buigpunten. Antwoord A Augustus Vraag 3 Gegeven: rationele functie: y = Gevraagd: asymptoten en buigpunten? Teller heeft geen nulpunten D 2 = -3 <0 Verticale asymptoot: x = -2 Schuine asymptoot: y = ax + b A = 1 en b = -1 Dus y = x-1 Horizontale asymptoot: geen Eerste afgeleide: y = [(2x+1)(x+2) (x 2 +x+1)] / (x+2) 2 Nulpunt teller: = (2x 2 +4x+x+2-x 2 -x-1)/ (x+2) 2 = x 2 +4x+1/(x+2) 2 D 2 = 12 en nulpunten: x = (-8-12)/2 en x = ( )/2, dit zijn de extrema Tweede afgeleide geven de buigpunten: Y = [(2x+4)(x+2) 2 2(x+2)(x 2 +4x+1)] / (x+2) 4 = (2x 2 + 4x+4x+8-2x 2-8x-2)/(x+2) 3 = 6/(x+2) 3 geen nulpunten, dus ook geen buigpunten dr. Brenda Casteleyn Page 38

39 Antwoord B Juli Vraag 2 Gegeven: functie y=2x²+2x+3/2 Gevraagd: helling van raaklijn door punt P(2,1) De afgeleide is de raaklijn, dus vgl van de raaklijn is y =4x+2 Anderzijds wordt de helling van de rechte bepaald door( y-y 0 )/(x-x 0 ) Gegeven in tekening volgend punt op de raaklijn: X 0 = 2 en y 0 = 1 Dus 4x+2 =( y-1)/x-2 Vul de uitdrukking van y in in deze vergelijking: 4x+2 =(( 2x²+2x+3/2 )-1)/x-2 (4x+2)(x-2) = 2x²+2x+1/2 4x 2 +2x-8x-4-2x²-2x-1/2=0 2x 2-4x-4-1/2=0 2x 2-4x-9/2=0 4x 2-16x-9=0 D 2 = (4.4.9) = 400 Nulpunten zijn: x = -1/2 en x =9/2 X invullen in y : Y = 4(-1/2) = 2 = 0 horizontale raaklijn Y = 4(9/2)+2 = 20 Antwoord A 2012 Juli Vraag 5 Gegeven: verband onverwachte mortaliteit (y) en gemiddeld aantal uren slaap: y = 100x x Gevraagd: bij welk gemiddeld aantal uren slaap was de mortaliteit het kleinst? dr. Brenda Casteleyn Page 39

40 Minimum berekenen afgeleide y = 200x 1500 = 0 X = 1500/200 = 7.5 uur Antwoord C 2012 Augustus Vraag 7 Gegeven: A = -d 2 + 2d + 3 (0 d 2) Gevraagd: voor welke waarde van d is A maximaal? Maximum bij A = 0 2d +2 = 0 d = 1 Antwoord C 2012 Augustus Vraag 8 Gegeven: de kwadratische functie: y = -2x 2 + 2Een rechte die de y-as snijdt in het punt (0;4) heeft één punt gemeenschappelijk met deze parabool. De gezochte rechte is niet verticaal en is niet parallel met de rechte y = 4x Gevraagd: Hoeveel bedraagt de helling van die rechte? (0.4) (0,2) De tekening geeft (met wat verbeelding, word heeft zijn beperkingen...) een raaklijn links en één rechts. De rechte y = 4x loopt parallel met de linkse raaklijn. De y-as mag niet omdat ze verticaal is. We zoeken dus de rechter raaklijn. dr. Brenda Casteleyn Page 40

41 Vermits de raaklijn door punt (0,4) gaat is de vergelijking van die rechte van de vorm: y = ax +4. Om het gemeenschappelijk punt met de parabool te vinden stellen we de vergelijkingen aan elkaar gelijk: ax + 4 = -2x x ax + 2 = 0 Slechts één oplossing (één raakpunt) discriminant = 0 Dus: # = 0 a 2 = 16 a = 4 of a = -4 Voor a = 4 krijgen we de linkse raaklijn en voor a = -4 de rechtse raaklijn Antwoord A Juli Vraag 3 versie1 Gegeven: de volgende rationale functie: = Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: 1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Gevraagd: Welke van deze uitspraken zijn correct? VA: nulpunt van de noemer (maar mag niet het nulpunt van de teller zijn). VA = 1 (nulpunt noemer) en nulpunt teller is niet 1 SA: er is geen schuine asymptoot want want graad T graad N+1 Er is ook geen HA want lim van x--> = Antwoord B Juli Vraag 3 versie2 Gegeven: de volgende rationale functie: = Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: dr. Brenda Casteleyn Page 41

42 1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Gevraagd: Welke van deze uitspraken zijn correct? Bepaal nulpunten van teller en noemer: telpunten noemer: 1 en -1 = = "2 + 1$ " 1$"+1$ nulpunten teller: geen nulpunt voor x = 1; dus wel een verticale asymptoot voor x = 1 bij x = -1 wel een nulpunt voor teller, we kunnen "2 + 1$ delen door (x+1). Via Horner verkrijgen we voor deze deling: "2 + 1$/ (x+1) =2x -1 Dus "2 + 1$= (2x -1)(x+1) We vervangen dit in y = " $"$ "$"$ x = -1 is dus geen verticale asymptoot = " $ "$ = SA: er is een schuine asymptoot want want graad T = graad N+1 Berekening: SA: y = ax + b waarbij a = lim 6 7"$ en b = lim 6"8"$ #$ Bereken a: lim 6 7" $ Bereken b: lim 6 7* + = 2 De schuine asymptoot is dus y = 2x + 1 Antwoord B Juli Vraag 6 Gegeven: de functie: = 2+4 7* 2= lim + "$ 7* = = lim + $ = Gevraagd: Hoeveel raaklijnen aan deze functie zijn evenwijdig met de rechte 3x - y = 2 dr. Brenda Casteleyn Page 42

43 3x - y = 2 --> y = 3x - 2 De helling van de rechte y is de richtingscoëfficiënt nl. 3. Als de rechte y = 3x -2 dezelfde richting heeft als de raaklijnen van de functie, dan is de afgeleide van de functie y = 3. Bepaal de afgeleide van de gegeven functie: 3x 2-2en stel ze gelijk aan 3. We vinden dan twee oplossingen: x = -9 en x = 9 Er zijn dus twee raaklijnen evenwijdig Antwoord C Juli Vraag 8 versie 1 Gevraagd: Welke van de volgende grafieken geeft de functie y = Ln(x-2) +1 weer? dr. Brenda Casteleyn Page 43

44 Zie onderstaande figuur: bij ln(x) is het nulpunt x = 1; bij ln(x+3) is het nulpunt x = -2 En voor y = Ln(x-2) is het nulpunt dan x = 3 (dit vind je door x-2 gelijk te stellen aan 1). Vermits er nog 1 wordt bijgeteld is de waarde van y voor x =3 niet 0 maar 1. Dat is het geval voor grafiek D Antwoord D Juli Vraag 8 versie 2 Gegeven: In de volgende grafiek zijn 4 logaritmische functies getekend. Gevraagd: Welke van de volgende curven geeft de functie y = Ln(2-x) + 1 weer? Zie de grafiek in vorige oefening: bij ln(x) is het nulpunt x = 1; bij ln(x+3) is het nulpunt x = -2 En voor y = Ln(2-x) is het nulpunt dan x = 1 (dit vind je door 2-x gelijk te stellen aan 1). Vermits er nog 1 wordt bijgeteld is de waarde van y voor x =1 niet 0 maar 1. Dat is het geval voor grafiek D dr. Brenda Casteleyn Page 44

45 Antwoord D Augustus Vraag 4 Gegeven: volgende rationale functie: y(x) = Gevraagd: Welke uitspraak is correct? A. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -1 B. De functie bereikt een locaal maximum voor x = +1 C. De functie bereikt een locaal maximum voor x = - 3 D. De functie bereikt een locaal maximum voor x = 3 Verticale asymptoten voor x = -1 en x = 1. Op die punten kan er dus geen locaal maximum liggen. A en B zijn dus fout. Om maxima te berekenen, moeten we het tekenverloop van de eerste afgeleide berekenen: y' = * +. =,, =, = " $ " $ " $ " $ " $ dr. Brenda Casteleyn Page 45

46 nulpunten: x= 0; x= + 3 en x = - 3 Tekenverloop: x x / / x / / (x 2-1) / / y' / / y max VA VA min Dus: enkel bij - 3 is er een locaal maximum. Antwoord C Augustus Vraag 7 Gevraagd: Hoeveel raaklijnen kan men tekenen aan de functie y = x 2 + 2x door het punt (-1/2, -3)? De raaklijn aan de functie en de lijn door het punt moeten dezelfde helling of richtingscoëfficiënt hebben. Richtingscoëfficiënt van een lijn: a = : : 1 1 Richtingscoëfficiënt van raaklijn aan grafiek = afgeleide van y Dus: y' = : : 1 1 Dus: ingevuld voor de functie y en punt (-1/2, -3) geeft dat: (x 2 +2x)' = :"$ " 1 $ bereken afgeleide links en vervang y rechts: 2x + 2 = " $ / (2x+2)(x+1/2) = x 2 + 2x +3 2x x +x = x 2 + 2x +3 x 2 + x -2 = 0 dr. Brenda Casteleyn Page 46

47 x = -2 en x = 1. Dus 2 oplossingen Antwoord C Augustus Vraag 8 Gegeven: Hieronder staan vier functies getekend in een grafiek. y = 1 -(x- 2) 3 y = 1 + (x- 2) 3 y = 2 -(x- 1) 3 y = 1 + (x- 1) 3 Welk van deze grafieken stelt de functie y = 1 + (x-2) 3 voor? de grafieken hebben vier verschillende nulpunten en vier verschillende snijpunten met de y-as. Gemakkelijkste om te berekenen: snijpunten met y-as: stel voor elk x = 0 Uit de posities van de snijpunten kunnen we dan de grafieken bepalen: y = 1 - (0-2) 3 --> y= 9 (grafiek D) y = 1 + (0-2) 3 --> y = -7 (grafiek B) dr. Brenda Casteleyn Page 47

48 y = 2 -(0-1) 3 --> y = 3 (grafiek C) y = 1 + (0-1) 3 --> y = 1 (grafiek A) Antwoord B 2014 Juli Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie. y Welk functievoorschrift is correct? x vul voor x de waarde 0 in en de waarde Als x 0 is moet y = 300 (zie tekening). Dat is enkel bij oplossingen C en D. Naarmate x stijgt, moet ook y stijgen, dat geldt enkel bij negatieve exponent van e (getal dat van 500 moet worden afgetrokken moet kleiner worden).. Y = Antwoord C 2014 Juli Vraag 8 Gegeven: zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte. Y = -x ¼ y = x 2 +m.x + 2 Gevraagd: Bij geschikte waarden voor de parameter m raakt de rechte aan de parabool. Hoeveel bedraagt de som van die waarden voor m? In het raakpunt zijn de twee vergelijkingen aan elkaar gelijk. dr. Brenda Casteleyn Page 48

49 x 2 + m.x + 2 = X ¼ = x 2 + m.x - x /4= 0 x 2 + (m-1).x + 9/4= 0 Bereken de discriminant en stel die gelijk zijn aan 0 vermits er maar één raakpunt is. Discriminant = (m-1) /4 = 0 m 2 + 2m +1-9 = 0 (m-2)(m+4) = 0 m kan dus gelijk zijn aan 2 of -4. Optelling geeft -2 Antwoord D 2014 Augustus Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie y x Gevraagd: Welk functievoorschrift is correct? Bereken voor elke oplossing de waarde voor y bij x = 0 en x = Voor oplossing A: Y = e -0,025(0) = = 500 Y = e -0,025( ) = /e = = 700 dr. Brenda Casteleyn Page 49

50 Voor oplossing B: Voor oplossing C: Voor oplossing D: Y = e 0,025 (0) = = 500 Y = e 0,025 ( ) = e = = - Y = e 0,025 (0) = = 700 Y = e 0,025 ( ) = e = = Y = e -0,025 (0) = = 700 Y = e -0,025 ( ) = e - = /e = = 500 Antwoord D Juli Vraag 4 Hoeveel snijpunten hebben de parabolen y = x 2 + x + 1 en y = 2x 2-2x +3 Stel de vergelijkingen gelijk aan elkaar: x 2 + x + 1 = 2x 2-2x +3 en bepaal x x 2 + x + 1-2x 2 +2x - 3 = 0 - x 2 + 3x - 2 = 0 Discriminant = 9-4.(-1)(-2) = 1 x 1 = (-3 + 1)/-2 = 1 x 2 = (-3-1)/-2 = 2 Er zijn dus twee snijpunten Antwoord B Juli Vraag 9 Bepaal het domein van S, als een sinus van hoek α is. Teken de grafiek. dr. Brenda Casteleyn Page 50

51 Bepaal de grenzen sin α ligt tussen -1 en 1: aangeduid met accolade op tekening = -1 en =1 s-1 = s s-1 = 1-2s s - 2s = 0 s+ 2s = 2 -s = 0 3s = 2 s = 0 s = 2/3 De waarden van s in het linkerdeel van de grafiek lopen van - tot 0 en aan de rechterkant van 2/3 tot + ]-, 0]U [2/3, + [ Antwoord B Juli Vraag 10 Gegeven is een parabool: y = 2x 2 + (a-1)x + (a 2-1) met a ϵ 0,1 We beschouwen de som van de kwadraten van de nulpunten van deze parabool. Hoeveel bedraagt deze som maximaal? Bepaal de nulpunten: Discriminant = (a-1) (a 2-1) = a a -8a = -7a 2-2 a +9 x 1 = "($ ( (& dr. Brenda Casteleyn Page 51

52 x 2 = "($ ( (& Bepaal de som van de kwadraten: S = x x 2 2 = " "($ ( (& $ + ( "($ ( (& $ = <"($."($ ( (& "( (&$=. + <"($."($ ( (& "( (&$=. = (1-2a + a 2-7a 2-2a + 9) = (1-2a + a 2-7a 2-2a + 9) = ' (-6a2-4a + 10) Afgeleide S' berekenen en gelijkstellen aan 0 S' =.(-12a- 4) = 0 ' S' =.(-6a- 2) = 0 --> a = - 2/6 = -1/3 De som stijgt voor a: 1 --> 0 en is maximaal in a =0 S = 1/4 ( ) = 1/4. 5 = 5/4 Antwoord B 2015 Augustus Vraag 3 De functie f is bepaald door het voorschrift f(x) = x 2 e -x. Over welk interval is deze functie monotoon dalend? Oplossing y = x 2 e -x = x 2 / e x Bepaal afgeleide y =.>?.>? ">? $ = " $>? = " $ $ ">? $ ">? =" $ 1 >? Nulpuneten: x(2-x) = o voor x =2 of x = O en e x is altijd positief Functieverloop X 0 2 Y Y 0 dr. Brenda Casteleyn Page 52

53 Min Max y is negatief voor ]-,0[ en in ]2,+ [ Antwoord D Augustus Vraag 5 Het aantal snijpunten van de parabolen met vergelijking y = x 2 en x = y 2 is gelijk aan? Oplossing y = x 2 x = y 2 : vervang hierin y door x 2 (gegeven in eerste vgl): x = (x 2 ) 2 = x 4 x x 4 = 0 x(1-x 3 ) = 0 x kan 0 of 1 zijn. De twee snijpunten zijn dus (0,0) en (1,1) Antwoord C Juli Geel Vraag 10 Gegeven is de functie met voorschrift f(x) = x 3 11 x 2 25x 13. De rechte met vergelijking y = px + q raakt de grafiek van f in het punt A(a,f(a)) en snijdt de grafiek van f in het punt B(13,0). A en B zijn verschillende punten Gevraagd: p + q Oplossing Ontbind x 3 11 x 2 25x 13 met Horner: f(x) = (x-13)(x 2 + 2x +1) Bepaal nulpunten voor (x 2 + 2x +1) D = 0 x 1 = x 2 = -2/2 = -1 Tekenverloop: X dr. Brenda Casteleyn Page 53

54 (x-13) (x 2 + 2x +1) (x-13)(x 2 + 2x +1) Grafiek De enige raaklijn die door het punt (13,0) gaat en een ander raakpunt heeft dan (13,0) is de x-as: y = 0, dus p + q = 0 Antwoord C Juli Geel Vraag 13 Gegeven: Beschouw drie functies f, g en h met functievoorschriften f(x) = sin (x/2) g(x) = 1 e -x h(x) = De grafieken van f, g en h gaan door de oorsprong O. De volgende figuur toont de grafieken van deze functies op een gesloten interval waarvan het linkereindpunt de oorsprong is. Gevraagd: Welke grafiek stemt overeen met welke functie? dr. Brenda Casteleyn Page 54

55 Voor x = 1 f(x) = sin (1/2) = 0,48 g(x) = 1 e -1 = 1-1/ 2,718 = 0,63 h(x) =( 2.1-1)/6 = 1/6 = 0,16 Antwoord B Augustus Geel Vraag 4! Gegeven: Beschouw de punten P( 2, 2) en Q ( 4, 2) De grafieken van de functies f en g met voorschrift f(x) : x 2-2 en g(x) = Gevraagd: waar snijden de functies f en g? Voor P: f( 2) = " 2$ - 2 = 2 / -2 1/3 = 2 2/3 2 1/3 g( 2) = 9" 2$= *2 / + / = 2 1/6! = 2 Voor Q f( 4$ = " 4$ - 2 = 4 / -2 1/3 = 2 4/3 2 1/3 = 2 1/3 (2 3/3-1) = 2 1/3 = 2 g( 4$= 9* 4+ = 4 1/3.1/2 = 4 1/6 = 2 2/6 = 2 1/3 = 2 Antwoord C Augustus Geel Vraag 5 In deze figuur staat de grafiek van één van de functies f waarvan het voorschirft hieronder is gegeven. Wat is dat voorschrift? dr. Brenda Casteleyn Page 55

56 Oplossing Bij de functie sin x is de periode 2π en bij sin 2x is de periode π. De periode is hier π, dus oplossingen A of D De functie e x nadert naar 0 bij waarden x kleiner dan 0 en bij x = -1 is e x ongeveer 1/2,70 of 1/3. In het dit interval is de sinusoïde sin 2x negatief. Om dus tot een positieve y te komen moet ze worden afgetrokken Antwoord A Augustus Geel Vraag 10 Gegeven: functie f bepaald door het voorschrift f(x) = (x 1).e -x. De punten A(a,f(a)) en B(b,f(b)) zijn de raakpunten uit de oorsprong aan de grafiek van f, Gevraagd: a + b Oplossing Voor waarden van x groter dan 0 zal de grafiek naderen naar 0, voor waarden kleiner dan 0 wordt de y snel groter. Een eerde raaklijn is de y-as zelf. We vinden als raakpunt: (x 1).e -x = 0 voor x = 1 raakpunt (1,0) dr. Brenda Casteleyn Page 56

57 Een lijn door de oorsprong heeft als vergelijking y=ax De tweede raaklijn vinden we door x gelijk te stellen aan 0. De raaklijn is dan y = -x, met als raakpunt: (0,-1) Antwoord C Augustus Geel Vraag 11 Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) = en de acht open intervallen ]-4,-3[, ]-3,-2[, ]-2,-1[, ]-1,0[, ]0,1[, ]1,2[, ]2,3[, ]3,4[ Gevraagd: in hoeveel van deze intervallen is de functie negatief f(x) = "$"$ " $" $ Tekenverloop: x x x x f(x) + / / + Negatief voor de intervallen ]-2,-1[en ]1,2[ Antwoord B dr. Brenda Casteleyn Page 57

58 2017 Juli geel Vraag 6 Gegeven is de functie f met functievoorschrift f(x) = + +"#+2$+ # met a een reële constante. De grafiek van f heeft geen enkele raaklijn die evenwijdig is met de eerste bissectrice als en slechts als a 0, a, a< 0 of a >0 1 ste bissectrice: y = x heeft als richtingscoëfficiënt 1 f (x) = " + +"#+2$+ # $ = + 2+#+2$ = x2 + 2x + a + 2 Gegeven is dat deze raaklijn niet evenwijdig is aan 1 ste bissectrice, dus x 2 + 2x + a + 2 = 1 heeft geen oplossingen Of: x 2 + 2x + a + 1 = 0 heeft geen oplossingen D < 0 D = b 2 4a = 4-4(a+1) <0-4a <0 a>0 Antwoord D 2017 Juli geel Vraag 7 De functies f en g worden gegeven door de functievoorschriften f(x) = 3 x 2 en g(x) = 2/x waarbij x > 0 De grafieken raken aan elkaar in het punt P. Bepaal de vergelijkjing van de gemeenschappelijke raaklijn in P. 3 x 2 = 2/x X(3-1) = 2 X = 2/2 = 1 Raaklijn in (1,2) y = f(a) + f'(a)(x -a ) y = 2 +(-2)(x-1) dr. Brenda Casteleyn Page 58

59 y = 2-2x +2 y = -2x +4 Antwoord B 2017 Juli geel Vraag 13 De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = x + 2cos x. Noem a de kleinste positieve waarde waarin f een lokaal maximum bereikt. Noem b de kleinste positieve waarde waarvoor het punt (b, f(b)) een buigpunt is van f. Bepaal de oppervlakte tussen de grafiek van f, de x-as en de verticale rechten met vergelijking x = a en x = b. Lokaal maximum: f (x) = 1 2sin x = 0 Buigpunt: f (x) = -2cosx = 0 x = π/2 %/ A "+2cos$ E %/ F %/ 2 +2.GHIJ %/ Sin x = ½ X = π/6 K L M +2.sinK O M P KL! M +2.sinK O MQ % +2.1 (% +2. ) ' % % + 1 ' '% +1 % +1 & dr. Brenda Casteleyn Page 59

60 Antwoord B 2017 Augustus geel Vraag 6 De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = tan 2 x. De raaklijn aan de grafiek van f in het punt P (π/4, f(π/4)) en de verticale rechte door P snijden de x-as respectievelijk in Q en R. Bepaal de oppervlakte van de driehoek PQR. Bepaal punt P (π/4, f(π/4)) = (π/4, tan 2 (π/4)) = (π/4,1) Bepaal f = (tan 2 x) = 2.tan x. Bepaal f voor (π/4) = 2.1. RS dx We weten dat y = 1, dus is x = ¼ T U = 4 = richtingscoëfficiënt = y/ x De oppervlakte van de driehoek bedraagt dan: ½.1. 1/4 = 1/8 Antwoord B 2017 Augustus geel Vraag 7 Stel dat a en b reële getallen zijn. De functie f met functievoorschrift f(x) = (. ) ) heeft een schuine asymptoot met vergelijking y = 4x 3. Bepaal a + b. Oplossing dr. Brenda Casteleyn Page 60

61 lim 6 "8"$/ )= lim 6 " (. ) /$ = lim ) 6" (. ) $ = a/b Dit is gelijk aan 4 uit de ) vergelijking van de schuine asymptoot. Dus a/b = 4 of a=4b Bereken vervolgens waaraan -3 gelijk is: lim 6 "8"$ #$ = lim 6 " (. ) 4$ = lim ) 6" (. )) $ = ) lim 6 " ")$ $ = (b-4)/b. Dit is gelijk aan de waarde -3 uit de vergelijking van de schuine ) asymptoot. Dus (b-4)/b = -3 of b = 1 Vermits a = 4b a =4. De som van a + b = 5 Antwoord D dr. Brenda Casteleyn Page 61

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Oplossingen van 2016 Augustus Geel 2/1/2017 dr. Brenda Casteleyn Vraag 1. Als f(x) = e 4x-3, wat is dan f(1 ln (1/x))? e + ex 4 (ex) 4 e - x

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2 Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functies 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding Dit

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

Vergelijkingen van cirkels en lijnen

Vergelijkingen van cirkels en lijnen Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: sinusfuncties 13/7/2014. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: sinusfuncties 13/7/2014. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: sinusfuncties 13/7/2014 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Wiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008

Wiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008 Wiskunde 007- //008 Vraag Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn en positief. Als de concentratie van stof A met p % toeneemt, dan zal de concentratie

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN...1 2. FUNCTIES...2 3. ARGUMENT EN BEELD...3 4. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...4 5. DE FUNCTIEWAARDETABEL...5 6. DE GRAFIEK...6 7. FUNCTIES HERKENNEN...7 8. OPLOSSINGEN...9

Nadere informatie

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

1.1 Differentiëren, geknipt voor jou

1.1 Differentiëren, geknipt voor jou 1.1 Differentiëren, geknipt voor jou Je hebt leren omgaan met hellings of, wat hetzelfde is: s. We frissen de begrippen en rekenmethoden die hierbij horen nu wat op. Stel dat je met een (gewone) schaar

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Wiskunde. Als de veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reele getallen, dan geldt. <A> b 6= 1 en a = b2 b 1

Wiskunde. Als de veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reele getallen, dan geldt. <A> b 6= 1 en a = b2 b 1 Vraag 1 Als de veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reele getallen, dan geldt b 6= 1 en a = b2 b 1 b 6= 1 en a = b b 1 b 6= 1 en a = b 6= 1 en a = b b 1 b 2

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 986 987: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij of zij

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

7.1 Ongelijkheden [1]

7.1 Ongelijkheden [1] 7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1) De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,

Nadere informatie

Calculus I, 19/10/2015

Calculus I, 19/10/2015 Calculus I, 9/0/05. a Toon aan dat de rationale functie f = 3 + 3 + voor alle 0 bekomen wordt via volgende procedure: Start met een gelijkbenige rechthoekige driehoek OAB, met B het punt, 0 op de -as,

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Standaardfuncties. x c

Standaardfuncties. x c Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functies 1/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

Kaas. foto 1 figuur 1. geheel aantal cm 2.

Kaas. foto 1 figuur 1. geheel aantal cm 2. Kaas Op foto 1 zie je drie stukken kaas. Het zijn delen van een hele, ronde kaas. Het grootste stuk is precies de helft van een hele kaas. Deze halve kaas heeft een vlakke zijkant. De vorm van de vlakke

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Didactische wenken bij het onderdeel analyse

Didactische wenken bij het onderdeel analyse Didactische wenken bij het onderdeel analyse Didactische wenken bij het onderdeel analyse 1/21 1. Eindtermen analyse Eindtermen ASO tweede graad ET 22 3 (4) aspecten van een functie ET 23 Standaardfuncties

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 203: algemene feedback In totaal namen 245 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2 IJkingstoets 30 juni 04 - reeks - p. /5 Oefening Een functie f : A B : 7 f () van verzameling A naar verzameling B is injectief als voor alle, A geldt: als 6=, dan is f () 6= f (). Welke van de volgende

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt: een deelnemer start met 0 punten, per

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn

MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn Codelijst: : de dynamisch gegenereerde waarde van INVUL: invuloefening ( Short answer ) KLEUR: gebruik kleur! MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn MC: multiple

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27 1p. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan x + 6 4x + 3 4x 2 + 3 x 2 + 3x + 3 Niveau 1 1p. 1p. 1p. x 2 + 27 Opgave 2. Als a log b = 64, dan is a2 log (b 3 ) gelijk aan 6 48 28/3 96 512 Opgave

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren. Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Minima en maxima van functies

Minima en maxima van functies Les 3 Minima en maxima van functies Een reden waarom we de afgeleide van een functie bekijken is dat we iets over het stijgen of dalen van de functie willen weten. Als we met een differentieerbare functie

Nadere informatie