ICT Practicumboek (4e JAAR secundair onderwijs)

Transcriptie

1 ICT Practicumboek (4e JAAR secundair onderwijs) GeoGebra Dit leerwerkboekje is bruikbaar in alle klassen aso tso kso van alle netten Functieleer, meetkunde & complexe getallen in het vierde jaar met GeoGebra Roger Van Nieuwenhuyze

2 3 ICT practicumboek > inhoud 1 Het pakket GeoGebra Functieleer.1 Functies van de tweede graad, Practicum 1: Invloed van de parameters a, a en b > 7 Toepassing 1: f x ax > 8 ( ) = ( ) ( ) ( ) = + Toepassing : f x = x a > 9 Toepassing 3: f x x b > Practicum : Studie van de tweedegraadsfunctie > 10 Toepassing 1: synthese: invloed van de parameters a, a en b > 10 Toepassing : opeenvolgende transformaties uitvoeren > 11 Toepassing 3: Bespreken van een tweedegraadsfunctie > 1. Vergelijkingen van de tweede graad, Practicum 3: Oplossen van een vierkantsvergelijking > 16 Toepassing 1: Vierkantsvergelijkingen oplossen > 16 Toepassing : complexere vierkantsvergelijkingen oplossen > 17 Toepassing 3: som en product van de wortels van een vierkantsvergelijking > 19.. Practicum 4: Parameter m bepalen en grafisch oplossen van ongelijkheden > 0 Toepassing 1: Vierkantsvergelijking met parameter m > 0 Toepassing : Grafisch oplossen van ongelijkheden > 1 Toepassing 3: oplossen van ongelijkheden van de tweede graad >.3 Onderlinge ligging van krommen en rechten, Practicum 5: Onderlinge ligging van een parabool en een rechte en onderlinge ligging van twee parabolen > 4 Toepassing 1: onderlinge ligging van een parabool en een rechte > 4 Toepassing : onderlinge ligging van twee parabolen > 5.4 Problemen en vraagstukken oplossen, Practicum 6: Vraagstukken > 3 Toepassing 1: Afschieten van een projectiel > 3 Toepassing : De vorm van een brug > 33 Toepassing 3: een rotsblok > 33 Toepassing 4: de vergelijking van een parabool bepalen > 33.5 Elementaire functies, Practicum 7: Grafieken van elementaire functies en hun eigenschappen > 39 Toepassing 1: Grafieken van elementaire functies > 39 Toepassing : Transformaties van grafieken: horizontale verschuiving > 40 Toepassing 3: Transformaties van grafieken: verticale verschuiving > Practicum 8: Grafieken van functies spiegelen om de assen inkrimping en uitrekking synthese > 4 Toepassing 1: een grafiek van een functie spiegelen om de x-as> 4 Toepassing : inkrimping of uitrekking evenwijdig met de y-as > 43 Toepassing 3: uitrekking langsheen de x-as > 43 Toepassing 4: synthese > 43 3 Meetkunde: driehoeksmeting 3.1 Goniometrische getallen, Practicum 9: Goniometrische getallen sin, cos, tan en cot > 47 Toepassing 1: Radialen > 48 Toepassing : de goniometrische getallen sin, cos, tan en cot > 50 Toepassing 3: de goniometrische getallen sec en csc > 50 Toepassing 4: de grondformule van de goniometrie > Practicum 10: Goniometrische getallen en verwante hoeken > 47 Toepassing 1: Tegengestelde hoeken > 48 Toepassing : supplementaire hoeken > 50 Toepassing 3: Complementaire hoeken > 50 Toepassing 4: Antisupplementaire hoeken > 50

3 ICT practicumboek > inhoud 3. Sinus- en cosinusregel. Formule van Heroon, Practicum 11: Sinus- en cosinusregel in een willekeurige driehoek. Oppervlakte van een driehoek en de formule van Heroon > 5 Toepassing 1: opstellen van de sinusregel > 5 Toepassing : Opstellen van de cosinusregel > 54 Toepassing 3: Oppervlakte van een driehoek > 57 Toepassing 4: Formule van Heroon > Oplossen van willekeurige driehoeken, Practicum 1: Oplossen van willekeurige driehoeken (deel 1) > 58 Toepassing 1: een driehoek oplossen als de drie zijden gegeven zijn > 58 Toepassing : Drie zijden gegeven > Practicum 13: Oplossen van willekeurige driehoeken (deel ) > 63 Toepassing 1: Het oplossen van een driehoek als twee zijden en de ingesloten hoek gegeven zijn > 63 Toepassing : Twee zijden en de ingesloten hoek zijn gegeven > Practicum 14: Oplossen van willekeurige driehoeken (deel 3) > 68 Toepassing 1: Het oplossen van een driehoek als een zijde en twee aanliggende hoeken gegeven zijn > 68 Toepassing : een zijde en twee aanliggende hoeken gegeven > 69 Toepassing 3: een zijde en twee aanliggende hoeken zijn gegeven en de hoeken zijn uitgedrukt in graden, minuten en seconden > Practicum 15: Oplossen van willekeurige driehoeken (deel 4) > 7 Toepassing 1: Het oplossen van een driehoek als een zijde, een aanliggende hoek en de overstaande hoek gegeven zijn > 7 Toepassing : een zijde, een aanliggende en de overstaande hoek zijn gegeven > 74 Toepassing 3: construeren van driehoeken waarvan een zijde en twee hoeken aan elkaar gelijk zijn > Practicum 16: Oplossen van willekeurige driehoeken (deel 5) > 76 Toepassing 1: een driehoek oplossen als twee zijden en de niet-ingesloten hoek gegeven zijn > 76 Toepassing : Aantal oplossingen > 77 4 Meetkunde: analytische meetkunde 4.1 Loodrechte stand, Practicum 17: Scalair product van vectoren > 86 Toepassing 1: scalair product van twee vectoren berekenen > 86 Toepassing : criterium voor loodrechte stand > 87 Toepassing 3: Loodrechte stand van rechten > Allerlei oefeningen, Practicum 18: Eenvoudige opdrachten > 91 Toepassing 1: Vergelijkingen van rechten bepalen die aan bepaalde voorwaarden voldoen > 91 Toepassing : Hoogtelijnen in een driehoek > 9 Toepassing 3: Rechthoekige driehoek > 93 Toepassing 4: Middelloodlijnen in een driehoek > Practicum 19: Moeilijkere opdrachten (deel 1) > 91 Toepassing 1: Loodrechte rechten > 91 Toepassing : een gelijkbenig trapezium > Practicum 0: Moeilijkere opdrachten (deel ) > 91 Toepassing 1: Vierkanten geconstrueerd op twee zijden van een driehoek > 91 Toepassing : Concurrente rechten > 9 Toepassing 3: Eigenschap in een rechthoekige driehoek > Afstand van een punt tot een rechte bissectrices van twee snijdende rechten, Practicum 1: Afstand van een punt tot een rechte > 91 Toepassing 1: Formule voor de afstand van een punt tot een rechte > 91 Toepassing : Bissectrices van een rechtenpaar > 9 Toepassing 3: de vergelijkingen van de bissectrices van een aantal rechtenparen bepalen > Practicum : Toepassingen op afstand punt rechte en bissectrices van een rechtenpaar (deel 1) > 91 Toepassing 1: de afstand tussen twee evenwijdige rechten a en b bepalen > 91 Toepassing : Binnen- en buitenbissectrices van een driehoek > 9 Toepassing 3: Eigenschap is een parallellogram > Practicum 3: Toepassingen op afstand punt rechte en bissectrices van een rechtenpaar (deel ) > 91 Toepassing 1: Bepalen van punten die aan voorwaarden voldoen > 91

4 Toepassing : De parameter m bepalen > 9 Toepassing 3: eigenschap in een driehoek > 93 5 Meetkunde: de cirkel 5.1 Koorde en apothema, middelpuntshoek en omtrekshoek, Practicum 4: Koorde en apothema > 95 Toepassing 1: de middelloodlijn van een koorde van een cirkel gaat door het middelpunt van de cirkel > 95 Toepassing : de middellijn van een cirkel die loodrecht staat op een koorde van die cirkel, gaat door het midden van die koorde > 96 Toepassing 3: de middellijn van een cirkel die door het midden van een koorde (niet door het middelpunt) gaat, staat loodrecht op die koorde > 96 Toepassing 4: Gelijke koorden hebben gelijke apothema s > Practicum 5: Middelpuntshoek en omtrekshoek > 95 Toepassing 1: een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat. > Vergelijking van een cirkel, Practicum 6: Vergelijking van een cirkel bepalen > 95 Toepassing 1: door drie niet-collineaire punten gaat één cirkel > 95 Toepassing : in een koordenvierhoek zijn de overstaande hoeken supplementair > 96 Toepassing 3: een onderzoeksopdracht > Vergelijkingen van cirkels opstellen, Practicum 7: Toepassingen op vergelijkingen van cirkels opstellen (deel 1) > 95 Toepassing 1: cirkel met middelpunt en straal > 95 Toepassing : Middelpunt en straal van een cirkel bepalen > 96 Toepassing 3: Vergelijking van een cirkel bepalen die door drie gegeven punten gaat > 96 Toepassing 4: Vergelijking van een cirkel bepalen die aan bepaalde voorwaarden voldoet > Practicum 8: Toepassingen op vergelijkingen van cirkels opstellen (deel ) > 95 Toepassing 1: ingeschreven cirkel van een driehoek > 95 Toepassing : Afstand middelpunten in- en omgeschreven cirkel van een driehoek > 96 Toepassing 3: Aangeschreven cirkels van een driehoek > Practicum 9: Onderlinge ligging van cirkels en rechten > 95 Toepassing 1: onderlinge ligging van een cirkel en een rechte > 95 Toepassing : onderlinge ligging van twee cirkels > 96 Toepassing 3: Vergelijkingen van de raaklijnen uit een punt aan een cirkel > 96 Toepassing 4: Orthogonale cirkels > 96 6 Ruimtemeetkunde: doorsnede van een lichaam met een vlak 6.1 Practicum 30: Doorsnede van een lichaam met een vlak > 95 Toepassing 1: Uitgewerkt voorbeeld > 95 Toepassing : doorsnede van een kubus met een vlak > 96 Toepassing 3: doorsnede van een balk met een vlak > 96 Toepassing 4: doorsnede van een piramide met een vlak > 96 7 Ruimtemeetkunde: doorsnede van een lichaam met een vlak 7.1 Practicum 31: Bewerkingen met complexe getallen > xx Toepassing 1: Vlak van Gauss > xx Toepassing : som, verschil, product en quotiënt van complexe getallen > xx 7. Practicum 3: Het product van twee complexe getallen construeren het omgekeerde van een complex getal construeren > xx Toepassing 1: constructie van het product van twee complexe getallen > xx Toepassing : constructie van het omgekeerde van een complex getal > xx 7.3 Practicum 33: Goniometrische vorm van een complex getal en de n-de machtswortels uit een complex getal > xx Toepassing 1: Goniometrische vorm van een complex getal > xx Toepassing : n-de machtswortels uit een complex getal > xx

5 6 1 > Het pakket GeoGebra GeoGebra is een wiskundepakket dat meetkunde en algebra en analyse combineert en ontwikkeld werd door Markus Hohenwarter, een Oostenrijker die momenteel in Amerika werkt. De huidige versie van GeoGebra is GeoGebra 3.. De vertaling naar het Nederlands gebeurde door Bea Versichel, Pedro Tytgat en Ivan Dewinne. GeoGebra is een open-sourcepakket en mag dus gratis gedownload worden. Dit kan heel eenvoudig gebeuren door op Google, GeoGebra in te typen of rechtstreeks te surfen naar: Klik op download en het volgende scherm opent zich: Kies voor GeoGebra Webstart, want dan zul je steeds met de meest recente versie werken. Er is ook een gebruikersforum: en een soort materialenbank: Iemand die de basistechnieken van GeoGebra nog niet onder de knie heeft, kan best het ICT Practicumboek voor de 1e graad doornemen. Een strikte noodzaak is dit niet, want het boekje voor het vierde jaar is zo opgevat dat er heel vaak een stappenplan voorzien is om de nodige constructies uit te voeren. Dit boekje bestaat uit 33 practicums. Elk practicum kan in principe in één les uitgewerkt worden. Als dat niet lukt, dan kunnen de resterende toepassingen als persoonlijk werk meegegeven worden. Als sommige practica niet voorkomen op het leerplan van een bepaald onderwijstype, dan kunnen deze uiteraard weggelaten worden. Bij dit boekje horen meer dan 100 bestanden en meer dan 5 applets.

6 l deel > Basisbegrippen van de meetkunde l > Functieleer.1 Functies van de tweede graad.1.1 Practicum 1: Invloed van de parameters a, a en b Toepassing 1: f( x) = ax Stappenplan: Teken een schuifknop a die varieert van -10 tot 10 met stappen van 1. Teken via het commandovenster de functie fx ( ) = x en de functie gx ( ) = ax (laat bij het typen een blanco tussen de letters a en x ). Breng de tekst We hebben een dalparabool en We hebben een bergparabool op het scherm. Klik met de rechtermuisknop op de tekst We hebben een dalparabool, ga naar Eigenschappen en kies dan voor Geavanceerd. Vul hier a > 0 in. Voor de andere tekst vul je a < 0 in. Versleep a en formuleer je bevindingen: Is a > 0, dan is de opening van de parabool naar gericht, we hebben dan een Is a < 0, dan is de opening van de parabool naar gericht, we hebben dan een Ter controle kun je in de map Functies van de tweede graad het bestand f( x) = x openen. 7

7 8 deel > Functieleer Toepassing : f( x) = ( x a) Stappenplan: Teken een schuifknop a die varieert van -10 tot 10 met stappen van 0,1. Teken via het commandovenster de functie fx ( ) = x en de functie gx ( ) = ( x a). Breng de tekst: We verschuiven naar rechts met + a + eenheden op het scherm. Het feit dat a tussen twee plustekens staat, zorgt ervoor dat de waarde van a zal veranderen als aan de schuifknop wordt getrokken. Klik met de rechtermuisknop op de tekst die je krijgt, ga naar Eigenschappen en kies dan voor Geavanceerd. Vul hier a > 0 in. Brend de tekst: We verschuiven naar links met +a+ eenheden op het scherm en werk verder af. Teken de symmetrie-as x = a en de top T (a, 0). Typ hiervoor in het commandovenster x = a en T = (a, 0) in. Versleep a en formuleer je bevindingen: Is a > 0 dan verschuiven we naar met eenheden. Is a > 0 dan verschuiven we naar met eenheden. De as is de rechte x = en het punt T (, ) is de top van de parabool. Ter controle kun je in de map Functies van de tweede graad het bestand f( x) = ( x alpha) openen.

8 Toepassing 3: f( x) = x + b Realiseer dit volledig zelf. Besluit: Is b > 0 dan verschuiven we naar met eenheden. Is b < 0 dan verschuiven we naar met eenheden. De as is de rechte x = en het punt T (, ) is de top van de parabool. Ter controle kun je in de map Functies van de tweede graad het bestand f( x) = x + beta openen. 9

9 10 deel > Functieleer.1. Practicum : Studie van de tweedegraadsfunctie Toepassing 1: Synthese: invloed van de parameters a, a en b Schematische weergave van een mogelijk stappenplan: Schuifknoppen a, a en b die variëren van 5 tot 5 met stappen van 0,1. fx ( ) = x gx ( ) = a * x A = (a, 0) B = (a, b) O = (0, 0) h = verschuiving [g, vector[o, A]] j = verschuiving [h, vector[a, B]] b = a * a c = a * a + b k (x) = a * x + b * x + c k verbergen Tekst invoeren: f ( x ) + j Tekst invoeren: f ( x ) + k Vier teksten invoeren (geavanceerd gebruiken voor de eerste twee). Op de eerste tekst (We hebben een dalparabool.) klik je met de rechtermuisknop, nadien ga je naar Eigenschappen en bij Geavanceerd vul je a > 0 in. Op de tweede tekst (We hebben een bergparabool.) klik je met de rechtermuisknop, nadien ga je naar Eigenschappen en bij Geavanceerd vul je a < 0 in.

10 11 De twee andere teksten die ingevoerd moeten worden, zijn: Dus: De top is + B +. De vergelijking van de symmetrie-as is x = + a +. Ter controle kun je in de map Functies van de tweede graad het bestand tweedegraadsfuncties in stappen openen. Open in de map Applets ook eens het html-bestand tweedegraadsfuncties_in_stappen. Toepassing : Opeenvolgende transformaties uitvoeren Open in de map Applets het html-bestand transformaties_ parabool. Er opent zich een applet. Werk hier nu vier oefeningen uit. Klik op het blauwe icoontje een nieuwe opgave te krijgen. Toepassing 3: Bespreken van een tweedegraadsfunctie fx ( ) = x 5x + 6 gx ( ) = x + 5x + hx ( ) = x 4x + 5 ix ( ) = 6x x jx ( ) = x + x 3 Vul onderstaande tabel in voor deze vijf functies. Werkwijze: Teken de tweedegraadsfunctie. Bepaal de nulpunten met het commando: nulpunten[ f ]. bovenaan rechts in het scherm om Bepaal het snijpunt met de y-as (klik op het tweede icoontje, kies nadien voor Snijpunt(en) van twee objecten en klik op de parabool en de y-as). Bepaal het domein van de functie. Bepaal het beeld van de functie. Merk hiervoor op: a > dan is = b + 4ac 0 bldf, + 4a b + 4ac a < 0 dan is bldf =, 4a Bereken dus via het commandovenster b ac m = + 4 en de waarde vanm wordt in het algebravenster afgedrukt. 4a

11 1 deel > Functieleer Stel de tekentabel op. Functie Domein Beeld Snijpunt y-as Tekentabel Open in de map Functies van de tweede graad het bestand bespreking tweedegraadsfunctie en controleer aan de hand hiervan of je antwoorden correct zijn! Open in de map Applets ook eens het html-bestand bespreken_tweedegraadsfunctie.