Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015"

Franciscus Janssens
6 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b = + = 5. De vergelijking van de raaklijn in (,) is dus y = 6x + 5. y = geeft 6x + 5 = 6x = 5 x =. Dit geeft OP =. x = geeft y = 5. Dit geeft OQ = 5. De oppervlakte van driehoek OPQ is zodoende OP OQ = 5 = 8 4 Vraag b q Oppervlakte(V q ) = f(x) dx = [ ln(x )] Deze oppervlakte moet gelijk zijn aan, dus volgt: q = ln(q ) = ln(q ) = q = e q = + e Vraag c ln(q ) = ln(q ) Deze raaklijn heeft een formule van de vorm y = ax. Deze lijn gaat door O(,) en door een punt (x, f(x)) op de grafiek van f, dus geldt: a = f(x) x. Omdat dit de raaklijn is in het punt (x, f(x)) geldt ook a = f (x). Samen geeft dit f (x) = f(x) x. Zodoende krijgen we f (x) = f(x) x 6 (x ) = (x ) x 6x = (x ) x = 9 x = 4 Dit geeft a = f ( 4 ) = 6 = 6 ( ) = 6 4 = De vergelijking van de raaklijn is dus y = 8 x. Uitwerkingen Wiskunde B 6 januari 5

2 Vraag a Merk op dat AM = BM. Uit A = B volgt dat ABC een gelijkbenige driehoek is met AC = BC. Hieruit volgt dat driehoeken AMC en BMC congruent zijn (ZZZ), dus geldt ACM = BCM. Omdat M binnen driehoek ABC ligt, volgt hieruit dat CM de bissectrice is van C. Alternatief: De driehoeken AMB, AMC en BMC zijn net als ABC gelijkbenig. Zo zien we:. ACM = CAM. CAM + BAM = CAB = BAC = ABM + CBM omdat ABM = BAM volgt hieruit CAM = CBM. CBM = BCM Samengevat geeft dit: ACM = CAM = CBM = BCM Omdat M binnen driehoek ABC ligt, volgt hieruit dat CM de bissectrice is van C. Vraag b Noem het tweede snijpunt D. D ligt dus zowel op de cirkel met middellijn AB als op de cirkel met middellijn AC. Volgens de stelling van Thales zijn dan zowel ABD als ACD rechthoekige driehoeken. Dit betekent dat BDA = ADC = 9 Hieruit volgt BDC = BDA + ADC = = 8. BDC is dus een gestrekte hoek. Hieruit volgt dat de lijnstukken BD en DC in elkaars verlengde liggen, ofwel dat D op de zijde BC ligt. Uitwerkingen Wiskunde B 6 januari 5

3 Vraag a f (x) = 4 cos(x) cos(x) + 4 sin(x) ( sin(x)) = 8 cos (x) 8 sin (x) f (x) = cos (x) = sin (x) cos(x) = sin(x) cos(x) = sin (x) cos(x) = sin(x) x = 4 π + k π x = 8 π + k π Dit geeft f(x) = 4 + = + = 4, dit zijn de maxima van de grafiek. cos(x) = sin(x) x = 4 π + k π x = 8 π + k π Dit geeft f(x) = 4 + = + =, dit zijn de minima van de grafiek. Alternatief f(x) = sin(x) cos(x) + = sin(4x) + Deze functie heeft een minimum als sin(4x) =. De minimumwaarde is dus + = + =. Vraag b f(x) = sin(x) cos(x) + = sin(4x) + Voor het eerste nulpunt rechts van de y-as geldt: f(x) = sin(4x) + = sin(4x) = Dit geeft 4x = π x = 8 π Te berekenen is zodoende 8 π f(x) dx = sin(4x) + dx = [ cos(4x) + x] Vraag c 8 π 8 π = + 4 π ( + ) = 4 π + f(x) = g(x) 4 sin(x) cos(x) + = 4 sin(x) sin(x) + sin(x) cos(x) = sin(x) sin(x) Hieruit volgt sin(x) = of cos(x) = sin (x). sin(x) = geeft x = + k π x = + k π cos(x) = sin(x) geeft sin(x + π) = sin(x) Hieruit volgt x + π = x + k π of x + π = π x + k π Dit geeft x = π + k π x = π + k π of 5x = π + k π x = π + k π 5 Hier zijn verschillende alternatieve uitwerkingen mogelijk, bijvoorbeeld: cos(x) = sin(x) geeft cos(x) = cos ( π x) Hieruit volgt x = π x + k π of x = ( π x) + k π Dit geeft 5x = π + k π x = π + k π of x = 5 π + k π x = π + k π Oplossingen in het interval [, π]: x = + k π geeft x = ; x = π en x = π. x = π + k π geeft x = π. x = π + k 5 π geeft x = π; x = π en x = 9 π. Merk op dat x = π in alle drie de reeksen staat. Deze oplossing hoeft uiteraard maar één keer genoemd te worden. Uitwerkingen Wiskunde B 6 januari 5

4 Vraag 4a f (x) = e x + x 4x e x = ( 4x ) e x f (x) = 4x = x = 4 x = ± f( ) = e ; f( ) = e ; bereik: [ e, e ] Vraag 4b f a (x) = e ax + x ( ax) e ax = ( ax ) e ax f a (x) = ax = x = x = ± a a De x-coördinaten van de toppen zijn zodoende x = De y-coördinaten van de toppen zijn dan y = f ( a ) = a e a a = a e De toppen liggen dus alle op de lijn y = e x a en x = a en y = f ( ) = a a e a a = a e Vraag 4c f (x) = ( 4x ) e x, dus f (x) = 8x e x + ( 4x ) e x ( 4x) = (6x x) e x f (x) = 6x x = 4x(4x ) = 4x = 4x = x = x = 4 x = x = = x = 4 = 4 Vraag 4d Als < p < f () snijdt de lijn y = px de grafiek van f niet alleen in de oorsprong, maar ook in een punt linksonder en in een punt rechtsboven de oorsprong. f (x) = ( 4x ) e x, dus f () =. Er zijn zodoende drie snijpunten als < p <. Alternatief f (x) = px x e x = px x = e x = p Er zijn drie snijpunten als e x = p twee oplossingen heeft. Hiervoor moet p om te beginnen positief zijn. In dat geval krijgen we x = ln p x = ln p Er moet dus gelden ln p > ln p < < p <. Uitwerkingen Wiskunde B 6 januari 5

5 Vraag 5a f(x) = g(x) 8 x = x x x 5 = D = ( ) 4 ( 5) = x = + x = Vraag 5b h(x) = ln ( 4 ) ln(8 5 x ) ln( x) = ln ( 4 x ) ln (8 5 x ) = ln (4) 5 Dit geeft 8 x x = 4 5 5(8 x ) = 4( x) 4 5x = 4x 5x 4x 8 = D = ( 4) = = 576 D = 4. Oplossingen: x = Vraag 5c = 4 5 x = 4 4 = h (x) = f (x) g (x) = x 8 x x = x 8 x + x h (x) = x = x 8 x 8 x = x( x) 8 x = 6x x x 6x + 8 = (x )(x 4) = x = x = 4 Voor x = 4 zijn zowel f(x) als g(x) niet gedefinieerd, dus daar heeft h geen extreem. Tussen de twee snijpunten van de grafieken van f en g moet h een maximum hebben. Dit kan alleen bij x = zijn, dus heeft h hier een extreme waarde. Vraag 5d b De inhoud van het omwentelingslichaam wordt gegeven door π x dy a a = kleinste y waarde = (op de x-as) b = grootste y waarde = f() = ln (8) y = ln(8 x ) geeft e y = 8 x x = 8 e y Zo zien we: Inhoud = π x dy = π 8 e y dy = π [8y e y ] = π (8 8 ( )) = π (8 7) Uitwerkingen Wiskunde B 6 januari 5

Vergelijkbare documenten

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.