Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h

Transcriptie

1 Een regenton maximumscore h V ( rx ( )) dx π 0 00 ( rx ( )) ( x x ) + Een primitieve van + x x is x+ 7 x x π Dus V ( h 7 h h ) + 00 π π V h+ h h h+ h h 00 0 ( ) ( ) maximumscore Het volume van de regenton is π ( 0,6 ) (m ) ( nauwkeuriger) 0 π 9π ( 0,77 ) ( nauwkeuriger) 0 60 π 9π Voor de waterhoogte h geldt: ( h+ h h ) 0 60 π ( ( h+ h h ) 0,77 ) 0 Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost Het antwoord: 0,7 (m) ( 7 cm) Voor h is h+ h h gelijk aan Voor de waterhoogte h moet gelden: h+ h h Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost Het antwoord: 0,7 (m) ( 7 cm) www. - -

2 Een ellipsvormige baan maximumscore De afstand van P tot de oorsprong op tijdstip t is ( ) ( sint ) sin( t ) + + π Beschrijven hoe het maximum van deze afstand kan worden bepaald Het antwoord:,0 maximumscore dx dy De snelheid van P op tijdstip t is + dt dt dx cost dt dy cos ( t ) dt dx Voor t 0 geldt: dt dy dt De snelheid is dan ( ) ( ) + ( een vergelijkbare uitdrukking) maximumscore 6 In A en B geldt: sin ( t ) + π sint Dus t+ π t+ k π t+ ππ t+ k π (met k geheel) Hieruit volgt voor 0 t π: t π t π Dus de coördinaten van A zijn ( ) (, ), en de coördinaten van B zijn www. - -

3 Raaklijn door perforatie 6 maximumscore 7 x ( x+ )( x ) x x + x x ( x+ ) x (met x en x 0 ) Voor x in dit laatste invullen geeft als uitkomst, dus de perforatie is (, ) Het snijpunt met de x-as is (, 0) x ( x ) x x f' ( x) ( ) x x x ( x + x ) ( x ) (x + x) ( f' ( x) ) ( x + x ) () f', dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in (, 0) is Een vergelijking van de raaklijn in (, 0) is dus y x en hieraan voldoen de coördinaten van het punt (, ) (: De lijn door (, ) en (, 0) heeft ook richtingscoëfficiënt ) (dus de raaklijn in (, 0) gaat door de perforatie) www. - -

4 Medicijn in actieve vorm 7 maximumscore 99 Er moet gelden e kt 0,0 ln00 Dus t 99 ( een gelijkwaardige uitdrukking) k,6 ( t 99 ( nauwkeuriger)) k Opmerking kt 99 Als met e 0,99 is gerekend, dan voor deze vraag maximaal scorepunt toekennen. 8 maximumscore 0, t 0, t a' ( t) 0, e + 0, e ( ) 0, t 0, t Beschrijven hoe de vergelijking ( ) 0, e + 0, e 0 kan worden opgelost 0 tmax,6 ( nauwkeuriger) ( t ln max ( een gelijkwaardige uitdrukking)) 9 maximumscore 6 Beschrijven hoe met de GR het maximum van a(t) berekend kan worden Dit maximum is (ongeveer),8 Beschrijven hoe met de GR de t-waarden die behoren bij de snijpunten met de horizontale lijn op hoogte,9 gevonden kunnen worden De t-waarden zijn (ongeveer),0 en, ( nauwkeuriger) Het antwoord: (uur) 0 Substitutie van t max,6 ( nauwkeuriger) ( t ln max ) in de formule voor at () geeft amax, 8 ( nauwkeuriger) t t Opgelost moet worden ( ) 0, 0, e e,8 Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost t, 0 t, ( nauwkeuriger) Het antwoord: (uur) www. - -

5 Drie halve cirkels 0 maximumscore MC en MD De stelling van Pythagoras in driehoek MCD geeft CD ( MD MC ) ( ) Gebruik van een rechthoekige driehoek KLS, waarbij S de loodrechte projectie is van K op LQ ( een rechthoekige driehoek PQX, waarbij X het snijpunt is van LQ en de lijn door P evenwijdig aan KL) LS, KS PQ, KL (: QX, PX KL ) De stelling van Pythagoras in driehoek KLS ( in driehoek PQX) geeft KS ( KL LS ), dus (: PQ ( ) PQ ( PX QX ) ( )) (dus geldt PQ CD ) MC en MD De stelling van Pythagoras in driehoek MCD geeft CD ( MD MC ) ( RKP en RLQ hebben twee paren gelijke hoeken, dus) RKP ~ RLQ met R het snijpunt van AL en PQ; samen met KP en LQ geeft dit: RLQ is een vergroting van RKP met factor KL, dus RK De stelling van Pythagoras in driehoek RKP geeft RP ( RK PK ) dus PQ (dus geldt PQ CD ) maximumscore KM, MT r, KT + r De cosinusregel in driehoek KMT geeft ( + r) + ( r) ( r) cosα r Herleiden tot cosα r www. - -

6 maximumscore 7r r r r Hieruit volgt (7r )( r) ( r)( r) Herleiden tot 6r 8r Dit geeft, bijvoorbeeld met de abc-formule, r (want r voldoet niet) 7r r r r r r Hieruit volgt r r Dus r r Dit geeft r Onafhankelijk van p maximumscore 8 f( x ) 0 geeft ( x 0 ) x p (dus de x-coördinaat van A is p) De oppervlakte van het grijze gebied is p x + px 0 Dit is ( p) p( p) 8 p 7 p 7 p f '( x) x 6px f' ( x ) 0 geeft ( x 0 ) x p (dus de x-coördinaat van T is p) f( p) ( p) + p ( p) p (dus de y-coördinaat van T is p ) De oppervlakte van OABC is dus p p p Dus de verhouding van de oppervlakten is 7 p: p 7 : ( 9:6 ) (en dit is onafhankelijk van p) Opmerking Als slechts voor een aantal waarden van p de verhouding is uitgerekend en dan geconcludeerd is dat de verhouding telkens gelijk is, hiervoor geen scorepunten toekennen. www

7 Twee lijnen en een cirkel maximumscore Voor de hoek α tussen m en n geldt: cos 7 α ( ) De gevraagde waarde van α is 8 De richtingscoëfficiënt van m is, dus m maakt een hoek van ongeveer 6, ( 6, ) met de x-as De richtingscoëfficiënt van n is, dus n maakt een hoek van ongeveer 7, 6 ( 7, 6 ) met de x-as De hoek tussen m en n is het verschil tussen deze twee hoeken, dus de gevraagde waarde is 8 maximumscore x t en y t invullen in de vergelijking van c geeft t + ( t) Herleiden tot t t 0 Hieruit volgt ( t 0 ) t t invullen geeft B (, ) 0 + t ( ) ( ) voor t, dus B (, ) ligt op m +, dus B (, ) ligt op c www

8 6 maximumscore 6 De middelloodlijn van AB gaat door ( 9, ) en heeft 0 richtingscoëfficiënt Een vergelijking van de middelloodlijn van AB is dus y x Een vergelijking van de middelloodlijn van AD is x 6 Het snijpunt van deze middelloodlijnen is M (, ) Dus A, B en D liggen op een cirkel met middelpunt M (, ) en straal ( ) ( ) MA ( ) ( ) MC + +, dus C ligt ook op deze cirkel (en dus liggen A, B, C en D op één cirkel) www