2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:"

Transcriptie

1 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen:

2 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00 e 99 e 00 Kijk in de grafiek. De eacte oplossing van de ongelijkheid is:

3 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00 e 99 e 00 Kijk in de grafiek. De eacte oplossing van de ongelijkheid is: > ln 99

4 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00 e 99 e 00 Kijk in de grafiek. De eacte oplossing van de ongelijkheid is: > ln 99 Vraag. Toon aan dat F () = ln ( + e ) een primitieve is van f (). Differentieer:

5 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00 e 99 e 00 Kijk in de grafiek. De eacte oplossing van de ongelijkheid is: > ln 99 Vraag. Toon aan dat F () = ln ( + e ) een primitieve is van f (). Differentieer: e F( ) e e e

6 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00 e 99 e 00 Kijk in de grafiek. De eacte oplossing van de ongelijkheid is: > ln 99 Vraag. Toon aan dat F () = ln ( + e ) een primitieve is van f (). Differentieer: e e e F( ) e e e e e f( ) ( e ) e e e

7 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00 e 99 e 00 Kijk in de grafiek. De eacte oplossing van de ongelijkheid is: > ln 99 Vraag. Toon aan dat F () = ln ( + e ) een primitieve is van f (). Differentieer: e e e F( ) e f ( ) e e e e Vraag 3. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel, ingesloten tussen de grafiek van f, de -as en de y-as en de lijn = ln 3. ln 3

8 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00 e 99 e 00 Kijk in de grafiek. De eacte oplossing van de ongelijkheid is: > ln 99 Vraag. Toon aan dat F () = ln ( + e ) een primitieve is van f (). Differentieer: e e e F( ) e f ( ) e e e e Vraag 3. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel, ingesloten tussen de grafiek van f, de -as en de y-as en de lijn = ln 3. ln3 ln3 Opp ln( e ) ln3 ln( e ) (0 ln()) 0 ln3 e 3

9 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00 e 99 e 00 Kijk in de grafiek. De eacte oplossing van de ongelijkheid is: > ln 99 Vraag. Toon aan dat F () = ln ( + e ) een primitieve is van f (). Differentieer: e e e F( ) e f ( ) e e e e Vraag 3. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel, ingesloten tussen de grafiek van f, de -as en de y-as en de lijn = ln 3. ln3 ln3 Opp ln( e ) ln 3 ln( e ) (0 ln()) Opp ln3 ln 4 ln 0

10 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00 e 99 e 00 Kijk in de grafiek. De eacte oplossing van de ongelijkheid is: > ln 99 Vraag. Toon aan dat F () = ln ( + e ) een primitieve is van f (). Differentieer: e e e F( ) e f ( ) e e e e Vraag 3. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel, ingesloten tussen de grafiek van f, de -as en de y-as en de lijn = ln 3. ln3 ln3 Opp ln( e ) ln 3 ln( e ) (0 ln()) Opp ln3 ln 4 ln 0 9 Opp ln 9 ln6 ln 4 9 ln( 4) ln( ) [eact] 6 4

11 0-II De functie f( ) e Vraag 4. Toon aan dat voor elke geldt: f ( ) f ( ) Toon aan, dat f () + f ( ) = voor elke waarde van. f ( ) f ( )

12 0-II De functie f( ) e Vraag 4. Toon aan dat voor elke geldt: f ( ) f ( ) Toon aan, dat f () + f ( ) = voor elke waarde van. f ( ) f ( ) e e

13 0-II De functie f( ) e Vraag 4. Toon aan dat voor elke geldt: f ( ) f ( ) Toon aan, dat f () + f ( ) = voor elke waarde van. f ( ) f ( ) e e e e ( e )( e )

14 0-II De functie f( ) e Vraag 4. Toon aan dat voor elke geldt: f ( ) f ( ) Toon aan, dat f () + f ( ) = voor elke waarde van. f ( ) f ( ) e e e e 4 (e e ) e e ( e )( e ) ( e )( e ) ( e )( e )

15 0-II De functie f( ) e Vraag 4. Toon aan dat voor elke geldt: f ( ) f ( ) Toon aan, dat f () + f ( ) = voor elke waarde van. f ( ) f ( ) e e e e 4 (e e ) e e ( e )( e ) ( e )( e ) ( e )( e ) e e e e e

16 0-II De functie f( ) e Vraag 4. Toon aan dat voor elke geldt: f ( ) f ( ) Toon aan, dat f () + f ( ) = voor elke waarde van. f ( ) f ( ) e e e e 4 (e e ) e e ( e )( e ) ( e )( e ) ( e )( e ) e e e e e e e e e e e e e 0 e

17 0-II De functie f( ) e Vraag 4. Toon aan dat voor elke geldt: f ( ) f ( ) Toon aan, dat f () + f ( ) = voor elke waarde van. f ( ) f ( ) e e e e 4 (e e ) e e ( e )( e ) ( e )( e ) ( e )( e ) e e e e e e klopt e e e e e e e

18 0-II Gelijke afstanden vraag 5 en 6 Meetkundige plaatsen Je moet bij de opgaven 5 en 6 weten wat een parabool is: P Een parabool is de verzameling (meetkundige plaats) van de punten P, die gelijke afstand hebben tot een vast punt F (het brandpunt) en een vaste lijn m (de richtlijn). A F B C V U m En wat een middelloodlijn is: P Een middelloodlijn is de verzameling punten P die gelijke afstand hebben tot twee vaste punten (A en B). A M B

19 0-II Gelijke afstanden vraag 5 Het punt M is het middelpunt van een cirkelboog. De straal van de cirkel is even groot als de afstand tussen de evenwijdige lijnen g en k. We bekijken de punten die op gelijke afstand van lijn g en de cirkel liggen. In de figuur is zo n punt L getekend: de afstand LP van punt L tot g is gelijk aan de afstand LQ van punt L tot de cirkel. Hierin is P de loodrechte projectie van L op g en is Q het snijpunt van de lijn door M en L met de cirkelboog. Punt R is de loodrechte projectie van L op k. Dus L ligt op PR en PR is de afstand tussen g en k. Gegeven: d(l, g) = LP = d(l, cirkel) = LQ. PR staat loodrecht op g en k. Te bewijzen: L ligt op de middelloodlijn van MR. M L P R Q g k

20 0-II Gelijke afstanden vraag 5 Het punt M is het middelpunt van een cirkelboog. De straal van de cirkel is even groot als de afstand tussen de evenwijdige lijnen g en k. We bekijken de punten die op gelijke afstand van lijn g en de cirkel liggen. In de figuur is zo n punt L getekend: de afstand LP van punt L tot g is gelijk aan de afstand LQ van punt L tot de cirkel. Hierin is P de loodrechte projectie van L op g en is Q het snijpunt van de lijn door M en L met de cirkelboog. Punt R is de loodrechte projectie van L op k. Dus L ligt op PR en PR is de afstand tussen g en k. Gegeven: d(l, g) = LP = d(l, cirkel) = LQ. PR staat loodrecht op g en k. Te bewijzen: L ligt op de middelloodlijn van MR. M L P R Q g k Bewijs: PR = MQ en

21 0-II Gelijke afstanden vraag 5 Het punt M is het middelpunt van een cirkelboog. De straal van de cirkel is even groot als de afstand tussen de evenwijdige lijnen g en k. We bekijken de punten die op gelijke afstand van lijn g en de cirkel liggen. In de figuur is zo n punt L getekend: de afstand LP van punt L tot g is gelijk aan de afstand LQ van punt L tot de cirkel. Hierin is P de loodrechte projectie van L op g en is Q het snijpunt van de lijn door M en L met de cirkelboog. Punt R is de loodrechte projectie van L op k. Dus L ligt op PR en PR is de afstand tussen g en k. Gegeven: d(l, g) = LP = d(l, cirkel) = LQ. PR staat loodrecht op g en k. Te bewijzen: L ligt op de middelloodlijn van MR. M L P R Q g k Bewijs: PR = MQ en LP = LQ (gegeven)

22 0-II Gelijke afstanden vraag 5 Het punt M is het middelpunt van een cirkelboog. De straal van de cirkel is even groot als de afstand tussen de evenwijdige lijnen g en k. We bekijken de punten die op gelijke afstand van lijn g en de cirkel liggen. In de figuur is zo n punt L getekend: de afstand LP van punt L tot g is gelijk aan de afstand LQ van punt L tot de cirkel. Hierin is P de loodrechte projectie van L op g en is Q het snijpunt van de lijn door M en L met de cirkelboog. Punt R is de loodrechte projectie van L op k. Dus L ligt op PR en PR is de afstand tussen g en k. Gegeven: d(l, g) = LP = d(l, cirkel) = LQ. PR staat loodrecht op g en k. Te bewijzen: L ligt op de middelloodlijn van MR. M L P R Q g k Bewijs: PR = MQ en LP = LQ (gegeven) ML = MQ LQ en LR = PR PL Dus:

23 0-II Gelijke afstanden vraag 5 Het punt M is het middelpunt van een cirkelboog. De straal van de cirkel is even groot als de afstand tussen de evenwijdige lijnen g en k. We bekijken de punten die op gelijke afstand van lijn g en de cirkel liggen. In de figuur is zo n punt L getekend: de afstand LP van punt L tot g is gelijk aan de afstand LQ van punt L tot de cirkel. Hierin is P de loodrechte projectie van L op g en is Q het snijpunt van de lijn door M en L met de cirkelboog. Punt R is de loodrechte projectie van L op k. Dus L ligt op PR en PR is de afstand tussen g en k. Gegeven: d(l, g) = LP = d(l, cirkel) = LQ. PR staat loodrecht op g en k. Te bewijzen: L ligt op de middelloodlijn van MR. Bewijs: PR = MQ en LP = LQ (gegeven) ML = MQ LQ en LR = PR PL Dus ML = LR Conclusie: L ligt op de middelloodlijn van MR. M L P R Q g k

24 0-II Gelijke afstanden vraag 6 M W Loodlijn R V k Vraag 6: Teken de parabool. Elk punt van de parabool is het snijpunt van een loodlijn en een middelloodlijn. Teken loodlijnen zoals VW op lijn k.

25 0-II Gelijke afstanden M W Loodlijn N R V k Vraag 6: Teken de parabool. Elk punt van de parabool is het snijpunt van een loodlijn en een middelloodlijn. Teken loodlijnen zoals VW op lijn k. N is het midden van MR.

26 0-II Gelijke afstanden M W Loodlijn Middelloodlijn P N U P R V k Vraag 6: Teken de parabool. Elk punt van de parabool is het snijpunt van een loodlijn en een middelloodlijn. Teken loodlijnen zoals VW op lijn k. N is het midden van MR. Teken de middelloodlijn van MV en snijd die met de loodlijn VW.

27 0-II Gelijke afstanden M W Loodlijn P P Middelloodlijn P N U P R V k Vraag 6: Teken de parabool. Elk punt van de parabool is het snijpunt van een loodlijn en een middelloodlijn. Teken loodlijnen zoals VW op lijn k. N is het midden van MR. Teken de middelloodlijn van MV en snijd die met de loodlijn VW. Het snijpunt is een punt (P) van de parabool.

28 0-II Gelijke afstanden M W Loodlijn P P Middelloodlijn P N U P R V k Vraag 6: Teken de parabool. Elk punt van de parabool is het snijpunt van een loodlijn en een middelloodlijn. Teken loodlijnen zoals VW op lijn k. N is het midden van MR. Teken de middelloodlijn van MV en snijd die met de loodlijn VW. Teken een vloeiende kromme door enkele punten.

29 0-II: vraag 7 t/m 0 De sinusgolf a = amplitude b = π / periode periode = golflengte (c, d) = startpunt van de golf y = d = evenwichtslijn y=d+a f () = a sin [b( c)] + d y = d y=d a c periode = π/b

30 0-II Goniometrie π f ( ) 0,40( cos( )) p De gegevens over een te bouwen brug staan hiernaast samengevat in de tekening. De afmetingen zijn in meters. Vraag 7. De brug moet minstens 8 meter overspannen. Voor welke waarden van p is hier aan voldaan? A Helling ma. /5 Oever Water 8 0,0 B De periode AB van de sinusgolf moet > 8 (meter) zijn, dus:...

31 0-II Goniometrie π f ( ) 0,40( cos( )) p De gegevens over een te bouwen brug staan hiernaast samengevat in de tekening. De afmetingen zijn in meters. Vraag 7. De brug moet minstens 8 meter overspannen. Voor welke waarden van p is hier aan voldaan? De periode AB van de sinusgolf moet > 8 (meter) zijn, A Helling ma. /5 Oever Water Vraag 8. De helling moet maimaal /5 zijn. Voor welke waarden van p is dat zo? 8 0,0 dus: π p 8 dus π 8 π π dus p 8 p B

32 0-II Goniometrie π f ( ) 0,40( cos( )) p De gegevens over een te bouwen brug staan hiernaast samengevat in de tekening. De afmetingen zijn in meters. Vraag 7. De brug moet minstens 8 meter overspannen. Voor welke waarden van p is hier aan voldaan? De periode AB van de sinusgolf moet > 8 (meter) zijn, Vraag 8. De helling moet maimaal /5 zijn. Voor welke waarden van p is dat zo? Helling = afgeleide dus... A Helling ma. /5 Oever Water 8 0,0 dus: π p 8 dus π 8 π π dus p 8 p B

33 0-II Goniometrie π f ( ) 0,40( cos( )) p De gegevens over een te bouwen brug staan hiernaast samengevat in de tekening. De afmetingen zijn in meters. Vraag 7. De brug moet minstens 8 meter overspannen. Voor welke waarden van p is hier aan voldaan? De periode AB van de sinusgolf moet > 8 (meter) zijn, A Helling ma. /5 Oever Water Vraag 8. De helling moet maimaal /5 zijn. Voor welke waarden van p is dat zo? π π 08π π f ( ) 0,40sin( ) sin( ) p p p p 8 0,0 dus: π p 8 dus π 8 π π dus p 8 p B kettingregel

34 0-II Goniometrie π f ( ) 0,40( cos( )) p De gegevens over een te bouwen brug staan hiernaast samengevat in de tekening. De afmetingen zijn in meters. Vraag 7. De brug moet minstens 8 meter overspannen. Voor welke waarden van p is hier aan voldaan? De periode AB van de sinusgolf moet > 8 (meter) zijn, Vraag 8. De helling moet maimaal /5 zijn. Voor welke waarden van p is dat zo? π π 08π π f ( ) 0,40sin( ) sin( ) p p p p De helling is maimaal, als... A Helling ma. /5 Oever Water 8 0,0 dus: π p 8 dus π 8 π π dus p 8 p B

35 0-II Goniometrie π f ( ) 0,40( cos( )) p De gegevens over een te bouwen brug staan hiernaast samengevat in de tekening. De afmetingen zijn in meters. Vraag 7. De brug moet minstens 8 meter overspannen. Voor welke waarden van p is hier aan voldaan? De periode AB van de sinusgolf moet > 8 (meter) zijn, Vraag 8. De helling moet maimaal /5 zijn. Voor welke waarden van p is dat zo? π π 08π π f ( ) 0,40sin( ) sin( ) p p p p De helling is maimaal, als de sinus minimaal is, vanwege het minteken. A Helling ma. /5 Oever Water 8 0,0 dus: π p 8 dus π 8 π π dus p 8 p B

36 0-II Goniometrie π f ( ) 0,40( cos( )) p De gegevens over een te bouwen brug staan hiernaast samengevat in de tekening. De afmetingen zijn in meters. Vraag 7. De brug moet minstens 8 meter overspannen. Voor welke waarden van p is hier aan voldaan? De periode AB van de sinusgolf moet > 8 (meter) zijn, Vraag 8. De helling moet maimaal /5 zijn. Voor welke waarden van p is dat zo? π π 08π π f ( ) 0,40sin( ) sin( ) p p p p De helling is maimaal, als de sinus is. Conclusie: A Helling ma. /5 Oever Water 8 0,0 dus: π p 8 dus π 8 π π dus p 8 p B

37 0-II Goniometrie π f ( ) 0,40( cos( )) p De gegevens over een te bouwen brug staan hiernaast samengevat in de tekening. De afmetingen zijn in meters. Vraag 7. De brug moet minstens 8 meter overspannen. Voor welke waarden van p is hier aan voldaan? De periode AB van de sinusgolf moet > 8 (meter) zijn, Vraag 8. De helling moet maimaal /5 zijn. Voor welke waarden van p is dat zo? π π 08π π f ( ) 0,40sin( ) sin( ) p p p p De helling is maimaal, als de sinus is. A Helling ma. /5 Oever Water 8 0,0 dus: π p 8 dus π 8 π π dus p 8 p B Conclusie: 0,8π p 5 dus p π [of: p 3 7,7 ]

38 0-II Goniometrie De gegevens zijn veranderd: AB = 40 m. Zie de figuur. Brugdek 40 π f ( ) 0,40( cos( )) A Oever B 0 Vraag 9. Bereken de lengte van het brugdek met deze gegevens. De GR mag (dus) gebruikt worden. Water 8

39 0-II Goniometrie De gegevens zijn veranderd: AB = 40 m. Zie de figuur. Brugdek 40 π f ( ) 0,40( cos( )) A Oever B 0 Vraag 9. Bereken de lengte van Water het brugdek met deze gegevens. 8 De GR mag (dus) gebruikt worden y-as De afstand AB = 40 (m) dus -0 A +0 (m)

40 0-II Goniometrie De gegevens zijn veranderd: AB = 40 m. Zie de figuur. Brugdek 40 π f ( ) 0,40( cos( )) A Oever B 0 Vraag 9. Bereken de lengte van het brugdek met deze gegevens. De GR mag (dus) gebruikt worden. Formule booglengte? Water 8

41 0-II Goniometrie De gegevens zijn veranderd: AB = 40 m. Zie de figuur. Brugdek 40 π f ( ) 0,40( cos( )) A Oever B 0 Vraag 9. Bereken de lengte van het brugdek met deze gegevens. De GR mag (dus) gebruikt worden. 0 booglengte: ( { f ( )} d 0 Water 8 y-as

42 0-II Goniometrie De gegevens zijn veranderd: AB = 40 m. Zie de figuur. Brugdek 40 0,8 π f ( ) 0,40( cos( )) A Oever B 0 Vraag 9. Bereken de lengte van het brugdek met deze gegevens. De GR mag (dus) gebruikt worden. 0 booglengte: ( { f ( )} d met f ( ) 0 Water y-as

43 0-II Goniometrie De gegevens zijn veranderd: AB = 40 m. Zie de figuur. Brugdek 40 π f ( ) 0,40( cos( )) A Oever B 0 Vraag 9. Bereken de lengte van het brugdek met deze gegevens. De GR mag (dus) gebruikt worden. Water 0 π π booglengte: ( { f ( )} d met f( ) 0,40 sin( ) 0, 0π sin(π / 0) Stop dit in de GR, bijv.: 8

44 0-II Goniometrie De gegevens zijn veranderd: AB = 40 m. Zie de figuur. Brugdek 40 π f ( ) 0,40( cos( )) A Oever B 0 Vraag 9. Bereken de lengte van het brugdek met deze gegevens. De GR mag (dus) gebruikt worden. Antwoord: Water 0 π π booglengte: ( { f ( )} d met f ( ) 0, 40sin( ) 0, 0π sin(π / 0) Stop dit in de GR, bijv.: fnint( ( + (-0. π sin(πx/0))), X, -0, 0) 8

45 0-II Goniometrie De gegevens zijn veranderd: AB = 40 m. Zie de figuur. Brugdek 40 π f ( ) 0,40( cos( )) A Oever B 0 Vraag 9. Bereken de lengte van het brugdek met deze gegevens. De GR mag (dus) gebruikt worden. Antwoord: afgerond m = 4004 cm. Water 0 π π booglengte: ( { f ( )} d met f ( ) 0, 40sin( ) 0, 0π sin(π / 0) Stop dit in de GR, bijv.: fnint( ( + (-0. π sin(πx/0))), X, -0, 0) 8

46 0-II Goniometrie Het brugdek wordt 3,50 m breed. De uiteinden van de brug wil men ondersteunen door aan beide zijden, over de hele breedte van het brugdek, beton te storten. De betonnen gedeelten (met verticale wanden) beginnen op een afstand van 4,00 meter vanaf de rand van de vijver. In de tekening grijs gemaakt. π f ( ) 0,40( cos( )) 0 Brugdek 0,8 4 4 A Oever B Water f ( 0) 0 f (0) 0,80 f (0) 0 Vraag 0. Bereken hoeveel kubieke meter beton voor de betonnen ondersteuning nodig is. De inhoud is 3,50 de opp. onder de grafiek (het grijze stuk)

47 0-II Goniometrie Het brugdek wordt 3,50 m breed. De uiteinden van de brug wil men ondersteunen door aan beide zijden, over de hele breedte van het brugdek, beton te storten. De betonnen gedeelten (met verticale wanden) beginnen op een afstand van 4,00 meter vanaf de rand van de vijver. In de tekening grijs gemaakt. π f ( ) 0,40( cos( )) 0 Brugdek 0,8 4 4 A Oever B Water f ( 0) 0 f (0) 0,80 f (0) 0 Vraag 0. Bereken hoeveel kubieke meter beton voor de betonnen ondersteuning nodig is. De inhoud is 3,50 de opp. onder de grafiek (het grijze stuk) De grijze opp. is een integraal, namelijk: 0 8 f ( ) d

48 0-II Goniometrie Het brugdek wordt 3,50 m breed. De uiteinden van de brug wil men ondersteunen door aan beide zijden, over de hele breedte van het brugdek, beton te storten. De betonnen gedeelten (met verticale wanden) beginnen op een afstand van 4,00 meter vanaf de rand van de vijver. In de tekening grijs gemaakt. π f ( ) 0,40( cos( )) 0 Brugdek 0,8 4 4 A Oever B Water f ( 0) 0 f (0) 0,80 f (0) 0 Vraag 0. Bereken hoeveel kubieke meter beton voor de betonnen ondersteuning nodig is. De inhoud is 3,50 de opp. onder de grafiek (het grijze stuk) De grijze opp. is een integraal, namelijk: Met de GR bijv.: fnint (0.4(+cos(πX/0)), X, 8, 0) =.378 Het volume aan beton is dan: 0 8 f ( ) d

49 0-II Goniometrie Het brugdek wordt 3,50 m breed. De uiteinden van de brug wil men ondersteunen door aan beide zijden, over de hele breedte van het brugdek, beton te storten. De betonnen gedeelten (met verticale wanden) beginnen op een afstand van 4,00 meter vanaf de rand van de vijver. In de tekening grijs gemaakt. π f ( ) 0,40( cos( )) 0 Brugdek 0,8 4 4 A Oever B Water f ( 0) 0 f (0) 0,80 f (0) 0 Vraag 0. Bereken hoeveel kubieke meter beton voor de betonnen ondersteuning nodig is. De inhoud is 3,50 de opp. onder de grafiek (het grijze stuk) De grijze opp. is een integraal, namelijk: Met de GR bijv.: fnint (0.4(+cos(πX/0)), X, 8, 0) =.378 Het volume aan beton is dan: 3, = 6.65 (m 3 ) 0 8 f ( ) d

50 0-II Lijnstukken in grafieken De grafieken van f( ) en g ( ) snijden elkaar in (, ). De lijn = a met a > snijdt deze grafieken. f g (, ) Vraag. Bereken op algebraïsche wijze voor welke waarden van a de lengte van het verbindingslijnstuk is. De lengte is f (a) g (a) = 6 = a

51 0-II Lijnstukken in grafieken De grafieken van f( ) en g ( ) snijden elkaar in (, ). De lijn = a met a > snijdt deze grafieken. f g (, ) Vraag. Bereken op algebraïsche wijze voor welke waarden van a de lengte van het verbindingslijnstuk is. De lengte is f (a) g (a) = a a 6 6 = a Links en rechts a geeft:

52 0-II Lijnstukken in grafieken De grafieken van f( ) en g ( ) snijden elkaar in (, ). De lijn = a met a > snijdt deze grafieken. f g (, ) Vraag. Bereken op algebraïsche wijze voor welke waarden van a de lengte van het verbindingslijnstuk is. De lengte is f (a) g (a) = Links en rechts a geeft: a a 6 a a 6 6 = a Links en rechts 6 geeft:

53 0-II Lijnstukken in grafieken De grafieken van f( ) en g ( ) snijden elkaar in (, ). De lijn = a met a > snijdt deze grafieken. f g (, ) Vraag. Bereken op algebraïsche wijze voor welke waarden van a de lengte van het verbindingslijnstuk is. De lengte is f (a) g (a) = Links en rechts a geeft: a a 6 a a 6 6 = a Links en rechts 6 geeft: 6a 6 a dus a 6a 6 0

54 0-II Lijnstukken in grafieken De grafieken van f( ) en g ( ) snijden elkaar in (, ). De lijn = a met a > snijdt deze grafieken. f g (, ) Vraag. Bereken op algebraïsche wijze voor welke waarden van a de lengte van het verbindingslijnstuk is. De lengte is f (a) g (a) = Links en rechts a geeft: a a 6 a a 6 6 = a Links en rechts 6 geeft: 6a 6 a dus a 6a 6 0 abc-formule geeft:

55 0-II Lijnstukken in grafieken De grafieken van f( ) en g ( ) snijden elkaar in (, ). De lijn = a met a > snijdt deze grafieken. f g (, ) Vraag. Bereken op algebraïsche wijze voor welke waarden van a de lengte van het verbindingslijnstuk is. De lengte is f (a) g (a) = Links en rechts a geeft: a a 6 a a 6 6 = a Links en rechts 6 geeft: 6a 6 a dus a 6a 6 0 abc-formule geeft: a 3 3

56 0-II Lijnstukken in grafieken De grafieken van f( ) en g ( ) snijden elkaar in (, ). De lijn y = b met b > snijdt de grafieken volgens een f g (, ) y = b horizontaal verbindingslijnstuk met eindpunten en. b b Vraag. Bereken via differentiëren de maimale lengte van dat horizontale lijnstuk. De lengte is: b b, met gebroken eponenten:

57 0-II Lijnstukken in grafieken De grafieken van f( ) en g ( ) snijden elkaar in (, ). De lijn y = b met b > snijdt de grafieken volgens een f g (, ) y = b horizontaal verbindingslijnstuk met eindpunten en. b b Vraag. Bereken via differentiëren de maimale lengte van dat horizontale lijnstuk. De lengte is: b b Differentiëren en nulstellen geeft:, met gebroken eponenten: b b

58 0-II Lijnstukken in grafieken De grafieken van f( ) en g ( ) snijden elkaar in (, ). De lijn y = b met b > snijdt de grafieken volgens een f g (, ) y = b horizontaal verbindingslijnstuk met eindpunten en. b b Vraag. Bereken via differentiëren de maimale lengte van dat horizontale lijnstuk. De lengte is: b b Differentiëren en nulstellen geeft: Links en rechts b geeft:, met gebroken eponenten: b b 0 b b

59 0-II Lijnstukken in grafieken De grafieken van f( ) en g ( ) snijden elkaar in (, ). De lijn y = b met b > snijdt de grafieken volgens een f g (, ) y = b horizontaal verbindingslijnstuk met eindpunten en. b b Vraag. Bereken via differentiëren de maimale lengte van dat horizontale lijnstuk. De lengte is: b b Differentiëren en nulstellen geeft:, met gebroken eponenten: b b 0 b b Links en rechts b geeft: 0 b b b b b b b 0 Met de oplossing:

60 0-II Lijnstukken in grafieken De grafieken van f( ) en g ( ) snijden elkaar in (, ). De lijn y = b met b > snijdt de grafieken volgens een f g (, ) y = b horizontaal verbindingslijnstuk met eindpunten en. b b Vraag. Bereken via differentiëren de maimale lengte van dat horizontale lijnstuk. De lengte is: b b Differentiëren en nulstellen geeft:, met gebroken eponenten: b b 0 b b Links en rechts b geeft: 0 b b b b b b b 0 Met de oplossing: b = dus b = 4

61 0-II Lijnstukken in grafieken V is het vlakdeel, ingesloten door de grafieken van f g y = 4 f( ) en g ( ) en de lijn y = 4. (, ) Vraag 3. Bereken eact de oppervlakte van V. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. Bereken eerst de snijpunten met y =4: 4

62 0-II Lijnstukken in grafieken f g y y = 44 V is het vlakdeel, ingesloten door de grafieken van f( ) en g ( ) en de lijn y = 4. (, ) Vraag 3. Bereken eact de oppervlakte van V. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. 4 Bereken eerst de snijpunten met y =4: 4 geeft 0, 5 en 4 geeft 0,5 Twee integralen:

63 0-II Lijnstukken in grafieken f f g y y = 44 V is het vlakdeel, ingesloten door de grafieken van f( ) en g ( ) en de lijn y = 4. (, ) Vraag 3. Bereken eact de oppervlakte van V. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. 4 Bereken eerst de snijpunten met y =4: 4 geeft 0, 5 en 4 geeft 0,5 Twee integralen: 0,5 (4 ) d + ( ) d 0,5 0,5 Primitiveren:

64 0-II Lijnstukken in grafieken V is het vlakdeel, ingesloten door de grafieken van f g y = 4 f( ) en g ( ) en de lijn y = 4. (, ) Vraag 3. Bereken eact de oppervlakte van V. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. 4 Bereken eerst de snijpunten met y =4: 4 geeft 0, 5 en 4 geeft 0,5 Twee integralen: Primitiveren: 0,5 (4 ) d + ( ) d 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4 ln ln Uitwerken:

65 0-II Lijnstukken in grafieken V is het vlakdeel, ingesloten door de grafieken van f g y = 4 f( ) en g ( ) en de lijn y = 4. (, ) Vraag 3. Bereken eact de oppervlakte van V. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. 4 Bereken eerst de snijpunten met y =4: 4 geeft 0, 5 en 4 geeft 0,5 Twee integralen: Primitiveren: 0,5 (4 ) d + ( ) d 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4 ln ln Uitwerken: 4 [ ln ( ln )] [( ln) ( ln )] 4 ln [ ln 4 ]

66 0-II Lijnstukken in grafieken V is het vlakdeel, ingesloten door de grafieken van f g y = 4 f( ) en g ( ) en de lijn y = 4. (, ) Vraag 3. Bereken eact de oppervlakte van V. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. 4 Bereken eerst de snijpunten met y =4: 4 geeft 0, 5 en 4 geeft 0,5 Twee integralen: Primitiveren: 0,5 (4 ) d + ( ) d 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4 ln ln 4 ln ln 4 ln 4 Uitwerken: 4 [ ln ( ln )] [( ln) ( ln )] 4 ln [ ln 4 ]

67 0-II Midden van een koorde Gegeven is een cirkel met middelpunt M. Punt C ligt binnen de cirkel. PQ is een koorde door C die niet door M gaat. Het midden van PQ is S. P S C Q Vraag 4. Bewijs dat S op de cirkel met middellijn MC ligt. M Bewijs: MSP MSQ want:

68 0-II Midden van een koorde Gegeven is een cirkel met middelpunt M. Punt C ligt binnen de cirkel. PQ is een koorde door C die niet door M gaat. Het midden van PQ is S. P S C Q Vraag 4. Bewijs dat S op de cirkel met middellijn MC ligt. M Bewijs: MSP MSQ want:

69 0-II Midden van een koorde Gegeven is een cirkel met middelpunt M. Punt C ligt binnen de cirkel. PQ is een koorde door C die niet door M gaat. Het midden van PQ is S. P S C Q Vraag 4. Bewijs dat S op de cirkel met middellijn MC ligt. M Bewijs: MSP MSQ want: SM = SM SP = SQ (midden) MP = MQ (straal cirkel) geval ZZZ

70 0-II Midden van een koorde Gegeven is een cirkel met middelpunt M. Punt C ligt binnen de cirkel. PQ is een koorde door C die niet door M gaat. Het midden van PQ is S. P S C Q Vraag 4. Bewijs dat S op de cirkel met middellijn MC ligt. M Bewijs: MSP MSQ want: SM = SM SP = SQ (midden) MP = MQ (straal cirkel) geval ZZZ S = S = 90 o want:

71 0-II Midden van een koorde Gegeven is een cirkel met middelpunt M. Punt C ligt binnen de cirkel. PQ is een koorde door C die niet door M gaat. Het midden van PQ is S. P S C Q Vraag 4. Bewijs dat S op de cirkel met middellijn MC ligt. M Bewijs: MSP MSQ want: SM = SM SP = SQ (midden) MP = MQ (straal cirkel) geval ZZZ S = S = 90 o want: S = S en S + S = 80 o dus S = S = 90 o. Hieruit volgt:

72 0-II Midden van een koorde Gegeven is een cirkel met middelpunt M. Punt C ligt binnen de cirkel. PQ is een koorde door C die niet door M gaat. Het midden van PQ is S. P S C Q Vraag 4. Bewijs dat S op de cirkel met middellijn MC ligt. M Bewijs: MSP MSQ want: SM = SM SP = SQ (midden) MP = MQ (straal cirkel) geval ZZZ S = S = 90 o want: S = S en S + S = 80 o dus S = S = 90 o. Hieruit volgt: S ligt op de cirkel met middellijn MC (Stelling van Thales).

73 0-II Kostenfuncties In de economie onderscheidt men de volgende kosten bij de productie van een hoeveelheid q van een bepaald product: de totale kosten T(q). de marginale kosten M(q), die benaderd kunnen worden door T '(q). In deze opgave geldt: de gemiddelde kosten Voor een bepaald product kunnen de totale kosten van de productie worden berekend met de formule: M( q) T( q) Tq ( ) Gq ( ) q 3 T( q) 0, q, q 4, q met q de geproduceerde hoeveelheid in duizendtallen en T(q) de totale kosten in duizenden euro s. Vraag 5. Bereken met behulp van differentiëren bij welke productiehoeveelheid q de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Deze opgave bevat heel veel contet. Het grootste deel is ruis, heeft niets met wiskunde te maken. In het volgende scherm geef ik met rood aan, welke gegevens (letters, formules) je nodig hebt. Druk op PageDown of een pijltjestoets voor het volgende scherm.

74 0-II Kostenfuncties In de economie onderscheidt men de volgende kosten bij de productie van een hoeveelheid q van een bepaald product: de totale kosten T(q). de marginale kosten M(q), die benaderd kunnen worden door T '(q). In deze opgave geldt: de gemiddelde kosten Voor een bepaald product kunnen de totale kosten van de productie worden berekend met de formule: M( q) T( q) Tq ( ) Gq ( ) q 3 T( q) 0, q, q 4, q met q de geproduceerde hoeveelheid in duizendtallen en T(q) de totale kosten in duizenden euro s. Vraag 5. Bereken met behulp van differentiëren bij welke productiehoeveelheid q de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Tq ( ) Gq ( ) q

75 0-II Kostenfuncties In de economie onderscheidt men de volgende kosten bij de productie van een hoeveelheid q van een bepaald product: de totale kosten T(q). de marginale kosten M(q), die benaderd kunnen worden door T '(q). In deze opgave geldt: de gemiddelde kosten Voor een bepaald product kunnen de totale kosten van de productie worden berekend met de formule: M( q) T( q) Tq ( ) Gq ( ) q 3 T( q) 0, q, q 4, q met q de geproduceerde hoeveelheid in duizendtallen en T(q) de totale kosten in duizenden euro s. Vraag 5. Bereken met behulp van differentiëren bij welke productiehoeveelheid q de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Tq ( ) G( q) 0,q,q 4, en daarna: G( q) 0 geeft: q q

76 0-II Kostenfuncties In de economie onderscheidt men de volgende kosten bij de productie van een hoeveelheid q van een bepaald product: de totale kosten T(q). de marginale kosten M(q), die benaderd kunnen worden door T '(q). In deze opgave geldt: de gemiddelde kosten Voor een bepaald product kunnen de totale kosten van de productie worden berekend met de formule: M( q) T( q) Tq ( ) Gq ( ) q 3 T( q) 0, q, q 4, q met q de geproduceerde hoeveelheid in duizendtallen en T(q) de totale kosten in duizenden euro s. Vraag 5. Bereken met behulp van differentiëren bij welke productiehoeveelheid q de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Tq ( ) G( q) 0, q, q 4, en daarna: G( q) 0 geef t : 0,4q, 0 q q q

77 0-II Kostenfuncties In de economie onderscheidt men de volgende kosten bij de productie van een hoeveelheid q van een bepaald product: de totale kosten T(q). de marginale kosten M(q), die benaderd kunnen worden door T '(q). In deze opgave geldt: de gemiddelde kosten Voor een bepaald product kunnen de totale kosten van de productie worden berekend met de formule: M( q) T( q) Tq ( ) Gq ( ) q met q de geproduceerde hoeveelheid in duizendtallen en T(q) de totale kosten in duizenden euro s. Vraag 5. Bereken met behulp van differentiëren bij welke productiehoeveelheid q de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Met de GR (bijv. intersect) komt er uit: 3 T( q) 0, q, q 4, q Tq ( ) G( q) 0, q, q 4, en daarna: G( q) 0 geeft: 0, 4q, 0 q q q

78 0-II Kostenfuncties In de economie onderscheidt men de volgende kosten bij de productie van een hoeveelheid q van een bepaald product: de totale kosten T(q). de marginale kosten M(q), die benaderd kunnen worden door T '(q). In deze opgave geldt: de gemiddelde kosten Voor een bepaald product kunnen de totale kosten van de productie worden berekend met de formule: M( q) T( q) Tq ( ) Gq ( ) q 3 T( q) 0, q, q 4, q met q de geproduceerde hoeveelheid in duizendtallen en T(q) de totale kosten in duizenden euro s. Vraag 5. Bereken met behulp van differentiëren bij welke productiehoeveelheid q de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Tq ( ) G( q) 0, q, q 4, en daarna: G( q) 0 geeft: 0, 4q, 0 q q q Met de GR (bijv. intersect) komt er uit: q 3,4

79 0-II Kostenfuncties In het algemeen geldt dat de totale kosten T(q) eerst afnemend stijgend en vervolgens toenemend stijgend zijn. Omdat derdegraadsfuncties T met T(q) zich onder bepaalde voorwaarden voor a, b, c en d op deze manier gedragen, worden deze vaak gebruikt om de totale kosten te beschrijven. Voor een bruikbare derdegraadsfunctie T moet gelden: 3 T( q) aq bq cq d Een voorwaarde voor b kan worden gevonden door te bedenken dat de marginale kosten M(q) = T'(q) eerst afnemen en vervolgens toenemen. Dan moet er dus een productiehoeveelheid q zijn waarbij de marginale kosten M(q) minimaal zijn. Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt dat b < 0. M( q) T( q)

80 0-II Kostenfuncties In het algemeen geldt dat de totale kosten T(q) eerst afnemend stijgend en vervolgens toenemend stijgend zijn. Omdat derdegraadsfuncties T met T(q) zich onder bepaalde voorwaarden voor a, b, c en d op deze manier gedragen, worden deze vaak gebruikt om de totale kosten te beschrijven. Voor een bruikbare derdegraadsfunctie T moet gelden: 3 T( q) aq bq cq d Een voorwaarde voor b kan worden gevonden door te bedenken dat de marginale kosten M(q) = T'(q) eerst afnemen en vervolgens toenemen. Dan moet er dus een productiehoeveelheid q zijn waarbij de marginale kosten M(q) minimaal zijn. Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt dat b < 0. Mq ( ) T( q) 3a q b q c moet minimaal zijn d us:

81 0-II Kostenfuncties In het algemeen geldt dat de totale kosten T(q) eerst afnemend stijgend en vervolgens toenemend stijgend zijn. Omdat derdegraadsfuncties T met T(q) zich onder bepaalde voorwaarden voor a, b, c en d op deze manier gedragen, worden deze vaak gebruikt om de totale kosten te beschrijven. Voor een bruikbare derdegraadsfunctie T moet gelden: 3 T( q) aq bq cq d Een voorwaarde voor b kan worden gevonden door te bedenken dat de marginale kosten M(q) = T'(q) eerst afnemen en vervolgens toenemen. Dan moet er dus een productiehoeveelheid q zijn waarbij de marginale kosten M(q) minimaal zijn. Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt dat b < 0. M( q) T( q) 3a q b q c moet minimaal zijn dus: De afgeleide van M(q) dus T (q) moet 0 gesteld worden: M( q)

82 0-II Kostenfuncties In het algemeen geldt dat de totale kosten T(q) eerst afnemend stijgend en vervolgens toenemend stijgend zijn. Omdat derdegraadsfuncties T met T(q) zich onder bepaalde voorwaarden voor a, b, c en d op deze manier gedragen, worden deze vaak gebruikt om de totale kosten te beschrijven. Voor een bruikbare derdegraadsfunctie T moet gelden: 3 T( q) aq bq cq d Een voorwaarde voor b kan worden gevonden door te bedenken dat de marginale kosten M(q) = T'(q) eerst afnemen en vervolgens toenemen. Dan moet er dus een productiehoeveelheid q zijn waarbij de marginale kosten M(q) minimaal zijn. Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt dat b < 0. M( q) T( q) 3a q b q c moet minimaal zijn dus: De afgeleide van M(q) dus T (q) moet 0 gesteld worden: M( q) 6aq b 0 geeft b

83 0-II Kostenfuncties In het algemeen geldt dat de totale kosten T(q) eerst afnemend stijgend en vervolgens toenemend stijgend zijn. Omdat derdegraadsfuncties T met T(q) zich onder bepaalde voorwaarden voor a, b, c en d op deze manier gedragen, worden deze vaak gebruikt om de totale kosten te beschrijven. Voor een bruikbare derdegraadsfunctie T moet gelden: 3 T( q) aq bq cq d Een voorwaarde voor b kan worden gevonden door te bedenken dat de marginale kosten M(q) = T'(q) eerst afnemen en vervolgens toenemen. Dan moet er dus een productiehoeveelheid q zijn waarbij de marginale kosten M(q) minimaal zijn. Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt dat b < 0. M( q) T( q) 3a q b q c moet minimaal zijn dus: De afgeleide van M(q) dus T (q) moet 0 gesteld worden: M( q) 6aq b 0 geeft b 3a q a > 0 en q > 0 dus:

84 0-II Kostenfuncties In het algemeen geldt dat de totale kosten T(q) eerst afnemend stijgend en vervolgens toenemend stijgend zijn. Omdat derdegraadsfuncties T met T(q) zich onder bepaalde voorwaarden voor a, b, c en d op deze manier gedragen, worden deze vaak gebruikt om de totale kosten te beschrijven. Voor een bruikbare derdegraadsfunctie T moet gelden: 3 T( q) aq bq cq d Een voorwaarde voor b kan worden gevonden door te bedenken dat de marginale kosten M(q) = T'(q) eerst afnemen en vervolgens toenemen. Dan moet er dus een productiehoeveelheid q zijn waarbij de marginale kosten M(q) minimaal zijn. Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt dat b < 0. M( q) T( q) 3a q b q c moet minimaal zijn dus: De afgeleide van M(q) dus T (q) moet 0 gesteld worden: M( q) 6aq b 0 geeft b 3a q a > 0 en q > 0 dus: b < 0.

85 0-II Kostenfuncties T M Hiernaast is de grafiek van een willekeurige kostenfunctie T getekend. De functie T hoeft niet een derdegraadsfunctie te zijn. De grafiek van T is een vloeiende kromme en vertoont dus geen knikken. Ook zijn de grafieken getekend van de marginale kostenfunctie M met M(q) = T'(q) en de gemiddelde G Tq ( ) kostenfunctie G met Gq ( ). q q 0 Verder is in de figuur aangegeven dat voor q = q 0 de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Dit betekent dat geldt: G'(q 0 )= 0. Het lijkt of de grafieken van G en M elkaar voor q = q 0 snijden. In economieboeken wordt inderdaad beweerd dat voor q = q 0 de marginale kosten M(q) en de gemiddelde kosten G(q) aan elkaar gelijk zijn. Vraag 7. Toon op algebraïsche wijze aan dat uit G'(q 0 ) = 0 volgt dat deze bewering waar is. Markeer de begrippen die belangrijk zijn voor het beantwoorden van deze vraag.

86 0-II Kostenfuncties T M Hiernaast is de grafiek van een willekeurige kostenfunctie T getekend. De functie T hoeft niet een derdegraadsfunctie te zijn. De grafiek van T is een vloeiende kromme en vertoont dus geen knikken. Ook zijn de grafieken getekend van de marginale kostenfunctie M met M(q) = T'(q) en de gemiddelde G Tq ( ) kostenfunctie G met Gq ( ). q q 0 Verder is in de figuur aangegeven dat voor q = q 0 de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Dit betekent dat geldt: G'(q 0 )= 0. Het lijkt of de grafieken van G en M elkaar voor q = q 0 snijden. In economieboeken wordt inderdaad beweerd dat voor q = q 0 de marginale kosten M(q) en de gemiddelde kosten G(q) aan elkaar gelijk zijn. Vraag 7. Toon op algebraïsche wijze aan dat uit G'(q 0 ) = 0 volgt dat deze bewering waar is.

87 0-II Kostenfuncties T M Hiernaast is de grafiek van een willekeurige kostenfunctie T getekend. De functie T hoeft niet een derdegraadsfunctie te zijn. De grafiek van T is een vloeiende kromme en vertoont dus geen knikken. Ook zijn de grafieken getekend van de marginale kostenfunctie M met M(q) = T'(q) en de gemiddelde G Tq ( ) kostenfunctie G met Gq ( ). q q 0 Verder is in de figuur aangegeven dat voor q = q 0 de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Dit betekent dat geldt: G'(q 0 )= 0. Het lijkt of de grafieken van G en M elkaar voor q = q 0 snijden. In economieboeken wordt inderdaad beweerd dat voor q = q 0 de marginale kosten M(q) en de gemiddelde kosten G(q) aan elkaar gelijk zijn. Vraag 7. Toon op algebraïsche wijze aan dat uit G'(q 0 ) = 0 volgt dat deze bewering waar is. Gebruik de quotiëntregel.

88 0-II Kostenfuncties T M Hiernaast is de grafiek van een willekeurige kostenfunctie T getekend. De functie T hoeft niet een derdegraadsfunctie te zijn. De grafiek van T is een vloeiende kromme en vertoont dus geen knikken. Ook zijn de grafieken getekend van de marginale kostenfunctie M met M(q) = T'(q) en de gemiddelde G Tq ( ) kostenfunctie G met Gq ( ). q q 0 Verder is in de figuur aangegeven dat voor q = q 0 de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Dit betekent dat geldt: G'(q 0 )= 0. Het lijkt of de grafieken van G en M elkaar voor q = q 0 snijden. In economieboeken wordt inderdaad beweerd dat voor q = q 0 de marginale kosten M(q) en de gemiddelde kosten G(q) aan elkaar gelijk zijn. Vraag 7. Toon op algebraïsche wijze aan dat uit G'(q 0 ) = 0 volgt dat deze bewering waar is. Gebruik de quotiëntregel: G( q)...

89 0-II Kostenfuncties T M Hiernaast is de grafiek van een willekeurige kostenfunctie T getekend. De functie T hoeft niet een derdegraadsfunctie te zijn. De grafiek van T is een vloeiende kromme en vertoont dus geen knikken. Ook zijn de grafieken getekend van de marginale kostenfunctie M met M(q) = T'(q) en de gemiddelde G Tq ( ) kostenfunctie G met Gq ( ). q q 0 Verder is in de figuur aangegeven dat voor q = q 0 de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Dit betekent dat geldt: G'(q 0 )= 0. Het lijkt of de grafieken van G en M elkaar voor q = q 0 snijden. In economieboeken wordt inderdaad beweerd dat voor q = q 0 de marginale kosten M(q) en de gemiddelde kosten G(q) aan elkaar gelijk zijn. Vraag 7. Toon op algebraïsche wijze aan dat uit G'(q 0 ) = 0 volgt dat deze bewering waar is. Gebruik de quotiëntregel: Tq T Tq T G( q) d us G( q ) 0 q 0 0 q0

90 0-II Kostenfuncties T M Hiernaast is de grafiek van een willekeurige kostenfunctie T getekend. De functie T hoeft niet een derdegraadsfunctie te zijn. De grafiek van T is een vloeiende kromme en vertoont dus geen knikken. Ook zijn de grafieken getekend van de marginale kostenfunctie M met M(q) = T'(q) en de gemiddelde G Tq ( ) kostenfunctie G met Gq ( ). q q 0 Verder is in de figuur aangegeven dat voor q = q 0 de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Dit betekent dat geldt: G'(q 0 )= 0. Het lijkt of de grafieken van G en M elkaar voor q = q 0 snijden. In economieboeken wordt inderdaad beweerd dat voor q = q 0 de marginale kosten M(q) en de gemiddelde kosten G(q) aan elkaar gelijk zijn. Vraag 7. Toon op algebraïsche wijze aan dat uit G'(q 0 ) = 0 volgt dat deze bewering waar is. Gebruik de quotiëntregel: T( q ) T( q ) Tq T Tq T G( q) dus ( ) 0 q 0 G q 0 q0

91 0-II Kostenfuncties T M Hiernaast is de grafiek van een willekeurige kostenfunctie T getekend. De functie T hoeft niet een derdegraadsfunctie te zijn. De grafiek van T is een vloeiende kromme en vertoont dus geen knikken. Ook zijn de grafieken getekend van de marginale kostenfunctie M met M(q) = T'(q) en de gemiddelde G Tq ( ) kostenfunctie G met Gq ( ). q q 0 Verder is in de figuur aangegeven dat voor q = q 0 de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Dit betekent dat geldt: G'(q 0 )= 0. Het lijkt of de grafieken van G en M elkaar voor q = q 0 snijden. In economieboeken wordt inderdaad beweerd dat voor q = q 0 de marginale kosten M(q) en de gemiddelde kosten G(q) aan elkaar gelijk zijn. Vraag 7. Toon op algebraïsche wijze aan dat uit G'(q 0 ) = 0 volgt dat deze bewering waar is. Gebruik de quotiëntregel: T( q0 ) T( q0 ) T( q0 ) 0 T( q0 ) dus q Tq T Tq T G( q) dus ( ) 0 q 0 0 G q 0 q0

92 0-II Kostenfuncties T M Hiernaast is de grafiek van een willekeurige kostenfunctie T getekend. De functie T hoeft niet een derdegraadsfunctie te zijn. De grafiek van T is een vloeiende kromme en vertoont dus geen knikken. Ook zijn de grafieken getekend van de marginale kostenfunctie M met M(q) = T'(q) en de gemiddelde G Tq ( ) kostenfunctie G met Gq ( ). q q 0 Verder is in de figuur aangegeven dat voor q = q 0 de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Dit betekent dat geldt: G'(q 0 )= 0. Het lijkt of de grafieken van G en M elkaar voor q = q 0 snijden. In economieboeken wordt inderdaad beweerd dat voor q = q 0 de marginale kosten M(q) en de gemiddelde kosten G(q) aan elkaar gelijk zijn. Vraag 7. Toon op algebraïsche wijze aan dat uit G'(q 0 ) = 0 volgt dat deze bewering waar is. Gebruik de quotiëntregel: 0 Tq T Tq T G( q) dus ( ) 0 q 0 0 T( q0 ) M ( 0 Gq0 q0 0 G q 0 q0 Tq ( ) T( q ) T( q ) 0 dus q ) ( ) Dus voor q = q 0 zijn M en G gelijk aan elkaar (snijpunt in de grafiek).

93 0-II Snijdende cirkels D Twee cirkels c en c met middelpunten M en N snijden elkaar in de punten A en B. Het verlengde van de straal MB snijdt c in het punt C en het verlengde van de straal NB snijdt c in het punt D. Zie de figuur. M B C N Vraag 8. Bewijs dat de punten M, N, C en D op één cirkel liggen. A c Bewijs: c

94 0-II Snijdende cirkels D Twee cirkels c en c met middelpunten M en N snijden elkaar in de punten A en B. Het verlengde van de straal MB snijdt c in het punt C en het verlengde van de straal NB snijdt c in het punt D. Zie de figuur. M B C N Vraag 8. Bewijs dat de punten M, N, C en D op één cirkel liggen. A c Bewijs: c MB = MD en NB = NC (cirkels)

95 0-II Snijdende cirkels D Twee cirkels c en c met middelpunten M en N snijden elkaar in de punten A en B. Het verlengde van de straal MB snijdt c in het punt C en het verlengde van de straal NB snijdt c in het punt D. Zie de figuur. M B C N Vraag 8. Bewijs dat de punten M, N, C en D op één cirkel liggen. A c Bewijs: c MB = MD en NB = NC (cirkels) dus D = B en B = C (gelijkbenige driehoeken)

96 0-II Snijdende cirkels D Twee cirkels c en c met middelpunten M en N snijden elkaar in de punten A en B. Het verlengde van de straal MB snijdt c in het punt C en het verlengde van de straal NB snijdt c in het punt D. Zie de figuur. M B C N Vraag 8. Bewijs dat de punten M, N, C en D op één cirkel liggen. A c Bewijs: c MB = MD en NB = NC (cirkels) dus D = B en B = C (gelijkbenige driehoeken) B = B (overstaande hoeken) dus

97 0-II Snijdende cirkels D Twee cirkels c en c met middelpunten M en N snijden elkaar in de punten A en B. Het verlengde van de straal MB snijdt c in het punt C en het verlengde van de straal NB snijdt c in het punt D. Zie de figuur. M B C N Vraag 8. Bewijs dat de punten M, N, C en D op één cirkel liggen. A c Bewijs: c MB = MD en NB = NC (cirkels) dus D = B en B = C (gelijkbenige driehoeken) B = B (overstaande hoeken) dus D = C D en C kijken onder dezelfde hoek naar MN, dus

98 0-II Snijdende cirkels D Twee cirkels c en c met middelpunten M en N snijden elkaar in de punten A en B. Het verlengde van de straal MB snijdt c in het punt C en het verlengde van de straal NB snijdt c in het punt D. Zie de figuur. M B C N Vraag 8. Bewijs dat de punten M, N, C en D op één cirkel liggen. A c Bewijs: c MB = MD en NB = NC (cirkels) dus D = B en B = C (gelijkbenige driehoeken) B = B (overstaande hoeken) dus D = C D en C kijken onder dezelfde hoek naar MN, dus MNDC is een koordenvierhoek (stelling van de constante hoek).

Een symmetrische gebroken functie

Een symmetrische gebroken functie Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2011

Correctievoorschrift VWO 2011 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvak wiskunde B Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek.

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. 200-II bij vraag Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. Een applet (animatie) hierover is te vinden op bijvoorbeeld: http://home.planet.nl/~hietb062/java3.htm#constantehoek De punten P op

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Examen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 08 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 5 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-II

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-II Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B bezem vwo 2018-II

wiskunde B bezem vwo 2018-II wiskunde bezem vwo 08-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

wiskunde B bezem vwo 2018-I

wiskunde B bezem vwo 2018-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-I

wiskunde B vwo 2017-I wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2016-I

wiskunde B vwo 2016-I wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2015-II

wiskunde B vwo 2015-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

De vergelijking van Antoine

De vergelijking van Antoine De vergelijking van Antoine Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

wiskunde B pilot havo 2015-I

wiskunde B pilot havo 2015-I Hangar Door constructies in de vorm van een bergparabool te gebruiken, kunnen grote gebouwen zonder inwendige steunpilaren gebouwd worden. Deze manier van bouwen werd begin vorige eeuw veel gebruikt voor

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen; het eamen bestaat uit 4 vragen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2016 tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 unten te behalen. Voor

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2016-II

wiskunde B vwo 2016-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II ier tappen ij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 007 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde 1, ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 13 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 13 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 1330-1630 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 16 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen Voor elk

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot II

Eindexamen vwo wiskunde B pilot II Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosu sintsinu cos( tu) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t11 sin t www - 1 - Een regenton

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 016 tijdvak donderdag 3 juni 13:30-16:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin

Nadere informatie

9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden

9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden 9.0 Voorkennis [1] Definitie middelloodlijn: De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn door het midden van dat lijnstuk die loodrecht op dat lijnstuk staat. Definitie bissectrice: De bissectrice van

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Vlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Kegelsneden. Les 1 Gelijke afstand (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Conflictlijnen van de Wageningse Methode.)

Kegelsneden. Les 1 Gelijke afstand (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Conflictlijnen van de Wageningse Methode.) Kegelsneden Les 1 Gelijke afstand (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Conflictlijnen van de Wageningse Methode.) De verdeling van de Noordzee Het nabuurprincipe: Elk stukje van de zeebodem hoort Bij

Nadere informatie

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2. Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 2019 tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 08 tijdvak maandag 4 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-I

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-I Steeds meer vlees In wordt voor de periode 1960-1996 zowel de graanproductie als de vleesproductie per hoofd van de wereldbevolking weergegeven. Hiervoor worden twee verticale assen gebruikt. De ronde

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 3 juni 3.30 6.30 uur 0 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2018-I

wiskunde B vwo 2018-I Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( t) sin( t)cos( t) cos(

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2016-II

wiskunde B pilot vwo 2016-II Formules Goniometrie sin( t+ u) = sin( t)cos( u) + cos( t)sin( u) sin( t u) = sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( t+ u) = cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( t u) = cos( t)cos( u) + sin( t)sin( u) sin( t)

Nadere informatie

Eerste en derdegraadsfunctie

Eerste en derdegraadsfunctie Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan

Nadere informatie

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I Eindexamen wiskunde B- vwo 006-I Beoordelingsmodel Sauna 0,9 00 80 e t 00 beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden de oplossing t,07 het tijdstip 7:0 uur 0,9t S () t 80 0,9 e S () 9, 06 het

Nadere informatie

OEFENPROEFWERK VWO B DEEL 3

OEFENPROEFWERK VWO B DEEL 3 Formules OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK GONIOMETRISCHE FORMULES cos( t u) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( A) sin( A)cos( A) sin( t u) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( t u) cos( t)cos( u) sin(

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B pilot havo II

Eindexamen wiskunde B pilot havo II Mosselen Driehoeksmosselen (zie de foto) kunnen een bijdrage leveren aan de vermindering van de hoeveelheid algen in het water. Zij filteren het water. De hoeveelheid gefilterd water in ml/uur noemen we

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 18 mei uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 18 mei uur Eamen VW 016 tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur wiskunde (pilot) it eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x)) 5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-II

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-II Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur Eamen VW 017 tijdvak woensdag 1 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 74 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2017-II

wiskunde B pilot vwo 2017-II wiskunde B pilot vwo 017-II Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin(

Nadere informatie

Paragraaf 11.0 : Voorkennis

Paragraaf 11.0 : Voorkennis Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Eindexamen havo wiskunde B 2013-I

Eindexamen havo wiskunde B 2013-I Beoordelingsmodel Tornadoschalen maximumscore 80 km/u komt overeen met 77,8 m/s v = 77,8 invullen in de formule geeft F, Dus de intensiteit op de Fujita-schaal is maximumscore De waarde van F is dan minimaal,5

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Oefenexamen 2 H1 t/m H13.2 uitwerkingen. A. Smit BSc

Oefenexamen 2 H1 t/m H13.2 uitwerkingen. A. Smit BSc Oefenexamen H t/m H3. uitwerkingen A. Smit BSc Een bewegend vierkant (naar methode Getal en Ruimte) De baan van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: ቐ x P t = sin t y P t

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 19 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 19 juni uur Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 20 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 20 mei uur Examen HAVO 2008 tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B1,2 Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 19 december Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 19 december Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Datum: 19 december 2018 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Tentamen Wiskunde B Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2017-II

wiskunde B pilot vwo 2017-II Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h Een regenton maximumscore h V ( rx ( )) dx π 0 00 ( rx ( )) ( x x ) + Een primitieve van + x x is x+ 7 x x π Dus V ( h 7 h h ) + 00 π π V h+ h h h+ h h 00 0 ( ) ( ) maximumscore Het volume van de regenton

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur Examen HAVO 011 tijdvak woensdag juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide

Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide Hoofdstuk 13 Toepassingen vd differentiaalrekening (V5 Wis A) Pagina 1 van 7 Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide Differentiëren van e-machten en logaritmen f() = e f () = e f() = ln() f () =

Nadere informatie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Extra oefeningen: de cirkel

Extra oefeningen: de cirkel Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM

Nadere informatie

Eerste- en derdegraadsfunctie

Eerste- en derdegraadsfunctie Eerste- en derdegraadsfunctie e functies f en g zijn gegeven door f( x) ( x )( x ) en gx ( ) x. e grafieken van f en g snijden beide de y-as in het punt (0, ) en de x-as in het punt (, 0). e grafiek van

Nadere informatie