Analytische meetkunde. Les 4 Kwadratische vergelijkingen (Deze les sluit aan bij de paragraaf 3.1 van Analytische meetkunde van de Wageningse Methode)

Transcriptie

1 Analytische meetkunde Les 4 Kwadratische vergelijkingen (Deze les sluit aan bij de paragraaf 3.1 van Analytische meetkunde van de Wageningse Methode)

2 De vergelijking van een cirkel De cirkel heeft middelpunt M(4,2) en straal 5. 5

3 De vergelijking van een cirkel De cirkel heeft middelpunt M(4,2) en straal 5. Volgens de stelling van Pythagoras is de bijbehorende vergelijking: ( 4) +( 2) =25 5 x 4 (x,y) y 2

4 De vergelijking van een cirkel De cirkel heeft middelpunt M(4,2) en straal 5. Volgens de stelling van Pythagoras is de bijbehorende vergelijking: ( 4) +( 2) =25 Snijpunten met de y-as: x = 0. (0 4) +( 2) =25 16+( 2) =25 ( 2) =9 2=3 of 2= 3 =5 of = 1 De snijpunten zijn: (0,5) en (0, 1) 5 x 4 (x,y) y 2

5 De vergelijking van een cirkel Bereken de snijpunten van de cirkel met de x-as. (x,y) 5 y 2 x 4

6 De standaardvergelijking van een cirkel ( ) +( ) = Middelpunt M(a,b) Straal r r x a (x,y) y b

7 De standaardvergelijking van een cirkel Maak opgave 1 van bladzijde 18.

8 De standaardvergelijking van een cirkel Standaardvorm: ( 4) +( 2) =25 Haakjes wegwerken: =25

9 De standaardvergelijking van een cirkel Standaardvorm: ( 4) +( 2) =25 Haakjes wegwerken: Netjes maken: = =5

10 De standaardvergelijking van een cirkel Gegeven: 8+ 4 =5 Hoe vind je hierbij de standaardvorm terug?

11 De standaardvergelijking van een cirkel Gegeven: 8+ 4 =5 Hoe vind je hierbij de standaardvorm terug? Maak kwadraten: = ( 4) +( 2) =25

12 De standaardvergelijking van een cirkel Maak opgave 3 van bladzijde 18.

13 Cirkel en lijn Cirkel: ( 4) +( 2) =25 Lijn: =+2

14 Cirkel en lijn Cirkel: ( 4) +( 2) =25 Lijn: =+2 Twee snijpunten van cirkel en lijn. Snijpunten voldoen aan beide vergelijkingen.

15 Cirkel en lijn Cirkel: ( 4) +( 2) =25 Lijn: =+2 Twee snijpunten van cirkel en lijn. Snijpunten voldoen aan beide vergelijkingen. Vervang y in de cirkelvergelijking: ( 4) +(+2 2) =25

16 Cirkel en lijn ( 4) +(+2 2) =25 Uitwerken: =25 2 8=9

17 Cirkel en lijn ( 4) +(+2 2) =25 Uitwerken: =25 2 8=9 Oplossen: 4= 4+4= +4 ( 2) =

18 Cirkel en lijn ( 4) +(+2 2) =25 Uitwerken: =25 2 8=9 Oplossen: 4= 4+4= +4 ( 2) = =2+ ;2 4,9; 0,9 De snijpunten zijn: (4,9; 6,9) en ( 0,9; 1,9)

19 Cirkel en lijn Maak opgaven 5 en 6 van bladzijde 19.

20 Drie mogelijkheden: twee snijpunten één snijpunt = raakpunt geen snijpunt Cirkel en lijn

21 Cirkel en lijn Stelling Bij twee snijpunten Q en R is de hoek tussen de lijn en de straal naar Q of R kleiner dan 90.

22 Cirkel en lijn Stelling Bij twee snijpunten Q en R is de hoek tussen de lijn en de straal naar Q of R kleiner dan 90. Bewijs Driehoek QMR is gelijkbenig. De hoeken bij Q en R zijn gelijk. Die zijn samen minder dan 180. Dus hoek MQR is kleiner dan 90.

23 Cirkel en lijn Gevolg Als de hoek tussen de lijn en de straal 90 is, dan is de lijn een raaklijn.

24 De raaklijn aan een cirkel Gegeven cirkel + = Punt P(a,b) buiten de cirkel Kies Q(x,y).

25 De raaklijn aan een cirkel Gegeven cirkel + = Punt P(a,b) buiten de cirkel Kies Q(x,y). Kies Q zodat MQ PQ.

26 De raaklijn aan een cirkel Gegeven cirkel + = Punt P(a,b) buiten de cirkel Kies Q(x,y). Kies Q zodat MQ PQ. Richtingscoëfficiënt van MQ is. Richtingscoëfficiënt van PQ is!" #"

27 De raaklijn aan een cirkel Gegeven cirkel + = Punt P(a,b) buiten de cirkel Kies Q(x,y). Richtingscoëfficiënt van MQ is. Richtingscoëfficiënt van PQ is!" #" Loodrechte stand!" #" = 1

28 De raaklijn aan een cirkel Gegeven cirkel + = Punt P(a,b) buiten de cirkel Kies Q(x,y). Richtingscoëfficiënt van MQ is. Richtingscoëfficiënt van PQ is!" #" Loodrechte stand!" #" = 1 Uitgewerkt: =

29 De raaklijn aan een cirkel Gegeven cirkel + = Punt P(a,b) buiten de cirkel Kies Q(x,y). Richtingscoëfficiënt van MQ is. Richtingscoëfficiënt van PQ is!" #" Loodrechte stand!" #" = 1 Uitgewerkt: = + = +

30 De raaklijn aan een cirkel Gegeven cirkel + = Punt P(a,b) buiten de cirkel Kies Q(x,y). Q voldoet aan de vergelijking: + = + = Kies Q op de cirkel + =. Dan is Q een raakpunt en voldoet aan: +=

31 De raaklijn aan een cirkel Gegeven cirkel + = Punt P(a,b) buiten de cirkel Kies Q(x,y). Q voldoet aan de vergelijking: + = + = Kies Q op de cirkel. Dan is Q een raakpunt en voldoet aan: += Dit is de vergelijking van een lijn door de beide raakpunten.

32 De raaklijn aan een cirkel Gegeven cirkel + = Punt P(a,b) buiten de cirkel Punt Q(x,y) op de cirkel, dus + =. De raakpunten vanuit P liggen op de lijn: + = Opmerking: Dit is een halve substitutie van (a,b) in de vergelijking + =.

33 De raaklijn aan een cirkel Voorbeeld cirkel + =20 Punt P(6,2) buiten de cirkel Bepaal de raakpunten van de raaklijn door P aan de cirkel.

34 De raaklijn aan een cirkel Voorbeeld cirkel + =20 Punt P(6,2) buiten de cirkel Bepaal de raakpunten van de raaklijn door P aan de cirkel. De raakpunten vanuit P liggen op de lijn 6+2 =20.

35 De raaklijn aan een cirkel Voorbeeld cirkel + =20 Punt P(6,2) buiten de cirkel Bepaal de raakpunten van de raaklijn aan de cirkel door P. De raakpunten vanuit P liggen op de lijn 6+2 =20 =10 3 Ingevuld: +(10 3) = = =0 6+8=0 4 2 =0 =2of =4

36 De raaklijn aan een cirkel Voorbeeld cirkel + =20 Punt P(6,2) buiten de cirkel Bepaal de raakpunten van de raaklijn aan de cirkel door P. De raakpunten vanuit P liggen op de lijn 6+2=20 =10 3 Ingevuld: +(10 3) = = =0 6+8=0 4 2 =0 =2of =4 Raakpunten: (2, 4) en (4, 2)

37 Oefenen Maken: De opgaven van paragraaf 3.1in ieder geval: opgaven 1,3,5,6,7

38 Inleveren: Van paragraaf 3.1: opgave 8 Huiswerk