wiskunde B pilot havo 2015-II

Transcriptie

1 Veilig vliegen maximumscore 4 Het tekenen van de lijn door (0, 4; 0) en (bijvoorbeeld) (, 6; 0) Uit et aflezen van de coördinaten van et snijpunt van deze lijn met de rand van et grijs gemaakte gebied volgt: de gevraagde sneleid is (Mac),5 en de gevraagde oogte is (feet) Opmerking Voor de oogte is een afleesmarge van 000 (feet) toegestaan. maximumscore 3 De vergelijking 60, log(0 v) = 30 moet opgelost worden Bescrijven oe deze vergelijking opgelost kan worden v 0,3 (dus de gevraagde minimale sneleid is (Mac) 0,3) 3 maximumscore 3 = 33,3 v, geeft v, = 33,3 Hieruit volgt v, = 33,3 Dus v = +, 33,3 ( 4 v= 9, 0 0 +, ) ( v = +, ) ( 08,89 v= 0,0009 +, ) - -

2 Twee cirkels, één raaklijn 4 maximumscore 5 De straal van c is 6 = 4 (dus OA = 4) x 0x+ y + 6 = 0 erscrijven tot ( x 5) + y = 9 De straal van c is 9 = 3 (dus MA = 3 ) c eeft middelpunt O (0,0) en c eeft middelpunt M (5,0), dus OM = = 5 dus (volgens de stelling van Pytagoras geldt in drieoek OAM ) OAM = 90 Voor de coördinaten van A en B geldt x 0x+ y + 6 = x + y 6 Hieruit volgt 0x = 3 dus x = 3, en dus A (3,;,4) x 0x+ y + 6 = 0 erscrijven tot ( x 5) + y = 9 dus M (5, 0) De rc van OA is, 4 = 3 en de rc van AM is 0, 4 = 4 3, 4 5 3, =, dus OA staat loodrect op AM (dus OAM = 90 ) maximumscore 5 MP staat loodrect op l, dus de rc van MP is ( = 6) 6 Een vergelijking van lijn MP is y = 6 x Bescrijven oe uit 6 x+ 3 6 = 6 x 0 6 exact de x- coördinaat van P gevonden kan worden De x-coördinaat van P is De y-coördinaat van P is = ( een gelijkwaardige uitdrukking) (Substitutie van 5 y = 6 x+ 6 in 3 ( ) 3 5 x 0x+ y + 6 = 0 geeft) x 0x+ 6 x = Hieruit volgt x 4 x+ = 0 ( 5x x+ 784 = 0) Dit geeft (5x 8) = 0 ( gebruik van de abc-formule) De x-coördinaat van P is De y-coördinaat van P is = ( een gelijkwaardige uitdrukking) - -

3 Functies met een wortel 6 maximumscore 3 f( x) = ( x x) scrijven als,5 f( x) = x x + x f' ( x) = x 3 x+ 7 maximumscore 5 (Uit de vergelijking ( x x) = x volgt) x x = x x x = x Hieruit volgt ( x = 0 ) x= x Beide kanten van de laatste vergelijking kwadrateren geeft x = 4x ( beide vergelijkingen delen door x (omdat x 0 ) geeft x = ) Hieruit volgt x = 4 (dus de x-coördinaat van A is 4) Haakjes wegwerken tot Hieruit volgt dat x x x x x x x x + = = 0 en vervolgens xx ( x) = 0 Hieruit volgt ( x = 0 ) x= x Beide kanten van de laatste vergelijking kwadrateren geeft x = 4x ( beide vergelijkingen delen door x (omdat x 0 ) geeft x = ) Hieruit volgt x = 4 (dus de x-coördinaat van A is 4) 8 maximumscore 5 De rictingscoëfficiënt van l is f' (4) = 3 Dus de oek die l maakt met de x-as is 7 ( nauwkeuriger) De rictingscoëfficiënt van k is Dus de oek die k maakt met de x-as is 45 Dan volgt dat de gevraagde oek 63 is 9 maximumscore 4 Er geldt (36 p 36) = 36 Dit scrijven als 36p 43p+ 60 = 0 Bescrijven oe deze vergelijking exact opgelost kan worden p = 5 p = 7 (dus de gevraagde waarden van p zijn 5 en 7) Er geldt (36 p 36) = 36 Hieruit volgt 36 6 p = p = 6 p = 5 p = 7 (dus de gevraagde waarden van p zijn 5 en 7)

4 Vierkanten 0 maximumscore 3 Er geldt k = Dit geeft k = Voor opeenvolgende waarden van n de lengte van de zijde van et vierkant berekenen (bijvoorbeeld: voor n = is z = en voor n = is z = ) Hieruit volgt dat er met is vermenigvuldigd (dus k = ) maximumscore 3 Het opstellen van n = 307 Hieruit volgt n = 644 Dit geeft n = log(644) = 8 maximumscore 4 (Voor et vierkant met rangnummer n = geldt z =, dus) = a + b en 3 (voor et vierkant met rangnummer n = 3 geldt z =, dus) = a + b Hieruit volgt 0 = a+ b en = 3a+ b Bescrijven oe ieruit de waarden voor a en b gevonden kunnen worden Het antwoord a = 0,5 en b = 0,5 Er geldt zn ( ) = n Dit geeft ( ) n zn Hieruit volgt Dit geeft = n = zn ( ) ( ) zn ( ) n = (dus 0,5 + Er geldt ( ) ( ) a = en b = 0,5 ) zn ( ) = An ( ) = an b an + b an + b an b ( ) = = Dit geeft En a = = dus a = 0,5 b = = dus b = 0,

5 Niet-werkende werkzoekenden 3 maximumscore 4 De groeifactor per 5 kwartalen is ( 0,4045) ( 44 ( 0, 4045) 356 ) Dus de groeifactor per kwartaal is ( ) ,94 ( 0,94) Het gevraagde percentage is 5,9 (%) Opmerking Als de kandidaat met 6 in plaats van 5 kwartalen rekent, voor deze vraag maximaal 3 scorepunten toekennen. 4 maximumscore 3 Bij exponentiële afname oort een afnemend dalende grafiek, dus de toenamen zijn negatief, maar worden (absoluut) steeds kleiner Dit is et geval in toenamendiagram II De grafiek is dalend, dus de toenamen zijn negatief De grafiek daalt steeds minder sterk, dus de (absolute) toenamen worden steeds kleiner Dit is et geval in toenamendiagram II Toenamendiagrammen I en IV kunnen et niet zijn omdat in deze toenamendiagrammen ook stijging voorkomt Toenamendiagram III kan et niet zijn omdat daarin de (absolute) toenamen steeds groter worden (, terwijl de grafiek steeds minder sterk daalt) Dus et moet toenamendiagram II zijn

6 Een functie met sinus 5 maximumscore 4 Uit x sin( x) sin( x) = 0 volgt ( x ) sin( x) = 0 ( x sin( x) = sin( x) ) Dit geeft ( x = ) sin( x ) = 0 Hieruit volgt: de x-coördinaten van R, S, T en U zijn respectievelijk π, 3π, 4π en 5π Dus de x-coördinaten van A en B zijn respectievelijk π en 4 π 6 maximumscore 4 De y-coördinaten van A en B zijn respectievelijk π en 4 π De rictingscoëfficiënt van l is 4 π ( π ) = π 4 π Een vergelijking van de lijn l is y = x (invullen van x = in de vergelijking van l geeft) y = = 0, dus l gaat door P

7 Cirkel en punt 7 maximumscore 3 (Het middelpunt van c is (, 3), dus) de afstand van et middelpunt tot A is (3 ) + ( 3) = 7 (De straal van c is 0 en) 7 < 0 dus A ligt binnen de cirkel 8 maximumscore 6 (0 ) + ( y + 3) = 0 geeft ( y + 3) = 6 ( y + 6y 7= 0) Dit geeft y = y = 7 (, dus de snijpunten met de y-as zijn P (0, ) en Q(0, 7) ) De rictingscoëfficiënt van lijnstuk BP is 5 = 6 en de rictingscoëfficiënt van lijnstuk BQ is = 0 De tangens van de oek die lijnstuk BP met de x-as maakt is 6, de tangens van de oek die lijnstuk BQ met de x-as maakt is Hieruit volgt dat de oek die lijnstuk BP met de x-as maakt 80,5 is en de oek die lijnstuk BQ met de x-as maakt 63, 4 is Dus de gevraagde oek is (80,5 + 63,4 dus) 44 (0 ) + ( y + 3) = 0 geeft ( y + 3) = 6 ( y + 6y 7= 0) Dit geeft y = y = 7 (, dus de snijpunten met de y-as zijn P (0, ) en Q(0, 7) ) (Noem B de orizontale projectie van B op de y-as.) B P is gelijk aan 6, B Q is gelijk aan en B B is gelijk aan. Met beulp van Pytagoras is dan BQ gelijk aan 5 en BP is gelijk aan 37 Invullen in de cosinusregel geeft PQ = BQ + BP BQ BP cos( PBQ), dus 8 = ( 5) + ( 37) 5 37 cos( PBQ) Bescrijven oe deze vergelijking opgelost kan worden Dus de gevraagde oek is

8 Van een recte naar een sceve cilinder 9 maximumscore 3 90% van 50 is 45 (dus = 45) 45 sin( α ) = ( = 0,9 ) 50 De gevraagde waarde van α is 64 (º) is 90% van 50 (dus = 0,90 50 ) Dus sin( α ) = 0,9 De gevraagde waarde van α is 64 (º) 0 maximumscore 4 Er geldt sin( α ) = dus = 50sin( α) 50 Dit invullen in V = G geeft V = 50sin( α ) G Samen met V = 50 G en V = V geeft dit 50 G = 50sin( α ) G G Dus G = sin( α ) G en ieruit volgt G = sin( α) Uit V = V volgt 50 G = G G Dit geeft G = 50 Er geldt sin( α) = 50 G Dus sin( ) G = α en ieruit volgt G G = sin( α)