2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax"

Transcriptie

1 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen:

2 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden:

3 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus:

4 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x ( ) = 0

5 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is:

6 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x =

7 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x

8 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x dus: y = a (4 a) = 4a a.

9 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x dus: y = a (4 a) = 4a a. Het deel van V boven heeft oppervlakte: 6 (4 a) 3 Vraag. Toon dit aan. Integraal:

10 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x dus: y = a (4 a) = 4a a. Het deel van V boven heeft oppervlakte: 6 (4 a) 3 Vraag. Toon dit aan. Integraal: 4a pp. ( 4 x x a x) dx 0

11 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x dus: y = a (4 a) = 4a a. Het deel van V boven heeft oppervlakte: 6 (4 a) 3 Vraag. Toon dit aan. Integraal: 4a 4a d 0 0 pp. (4 x x a x) x ( x (4 a) x) dx

12 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x dus: y = a (4 a) = 4a a. Het deel van V boven heeft oppervlakte: 6 (4 a) 3 Vraag. Toon dit aan. Integraal: 4a 4a 3 ( 0 x 0 3 pp. (4 x x a x) dx ( x (4 a) x) d x 4 a) x (4 a) 0

13 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x dus: y = a (4 a) = 4a a. Het deel van V boven heeft oppervlakte: 6 (4 a) 3 Vraag. Toon dit aan. Integraal: 4a 4 (4 ) a a pp. (4 x x a x ) dx ( x (4 a ) x ) dx x (4 a ) x 3 3 (4 a) (4 a) (4 a) 0

14 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x dus: y = a (4 a) = 4a a. Het deel van V boven heeft oppervlakte: 6 (4 a) 3 Vraag. Toon dit aan. Integraal: 4a 4 (4 ) a a pp. (4 x x a x ) dx ( x (4 a ) x ) dx x (4 a ) x a )(4 ) (4 a ) (4 a ) (4 ) 0 ( )(4 a) ( a (4 a) 3

15 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. Eerst de oppervlakte van V berekenen: 4

16 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. 4 Eerst de oppervlakte van V berekenen: 4 0 (4 x x ) dx

17 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. 4 Eerst de oppervlakte van V berekenen: (4 x x ) dx x x

18 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. Eerst de oppervlakte van V berekenen: De oppervlakte boven, in de vorige vraag berekend: (4 x x ) dx x x (4 a) is de helft hiervan, dus:

19 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. Eerst de oppervlakte van V berekenen: De oppervlakte boven, in de vorige vraag berekend: x x dx x x (4 ) (4 a) is de helft hiervan, dus: 3 (4 a) Hieruit volgt:

20 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. Eerst de oppervlakte van V berekenen: De oppervlakte boven, in de vorige vraag berekend: x x dx x x (4 ) (4 a) is de helft hiervan, dus: 3 (4 a) Hieruit volgt: 3 (4a) 3 dus

21 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. Eerst de oppervlakte van V berekenen: De oppervlakte boven, in de vorige vraag berekend: x x dx x x (4 ) (4 a) is de helft hiervan, dus: 3 (4 a) Hieruit volgt: (4 a) 3 dus 4 a 3 en a 4 3

22 00-I vraag 4 t/m 8 Goniometrie. Vooraf drie definities en twee stellingen, in een rechthoekige driehoek: sin α o s overstaande zijde schuine cosα a s aanliggende zijde schuine s o o overstaande tan α zijde a aanliggende De stelling van Pythagoras: α a (sin α) (cos α) korter genoteerd als: sin α cos α = Formule voor de tangens: sin α cosα tan α

23 00-I vraag 4 t/m 8 Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 9 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we. P Q De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α. We kiezen lengte voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α, met 0 α π. Vraag 4. Toon aan dat er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α)

24 00-I vraag 4 t/m 8 Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 9 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we. P Q De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α. We kiezen lengte voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α, met 0 α π. Vraag 4. Toon aan dat er geldt: b l 0cos( α) en 6sin( α) Hiernaast is een driehoekje getekend met zijden x en y. Er staan 5=0 van zulke driehoekjes in de x-richting en 3=6 in de y-richting. Er geldt dus: y ½a x

25 00-I vraag 4 t/m 8 Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 9 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we. P Q De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α. We kiezen lengte voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α, met 0 α π. Vraag 4. Toon aan dat er geldt: b l 0cos( α) en 6sin( α) Hiernaast is een driehoekje getekend met zijden x en y. Er staan 5=0 van zulke driehoekjes in de x-richting en 3=6 in de y-richting. Er geldt dus:... cos( α).. dus x sin( α).. dus y... ½a x y

26 00-I vraag 4 t/m 8 Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 9 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we. P Q De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α. We kiezen lengte voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α, met 0 α π. Vraag 4. Toon aan dat er geldt: b l 0cos( α) en 6sin( α) Hiernaast is een driehoekje getekend met zijden x en y. Er staan 5=0 van zulke driehoekjes in de x-richting en 3=6 in de y-richting. Er geldt dus: x cos( α) x dus x cos( α) en y sin( α) y dus y sin( α) en l b ½a x y

27 00-I vraag 4 t/m 8 Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 9 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we. P Q De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α. We kiezen lengte voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α, met 0 α π. Vraag 4. Toon aan dat er geldt: b l 0cos( α) en 6sin( α) Hiernaast is een driehoekje getekend met zijden x en y. Er staan 5=0 van zulke driehoekjes in de x-richting en 3=6 in de y-richting. Er geldt dus: x cos( α) x dus x cos( α) en l 0cos( α) y sin( α) y dus y sin( α) en b 6sin( α) ½a x y

28 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. P Dus: 0cos( α) 8 en

29 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P

30 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: sin ( α)+cos ( α)= sin ( α) P

31 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P 4 9 sin ( α)+ cos ( α)= sin ( α) cos ( α)= ( ) dus 5 5

32 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P 4 9 sin ( α)+ cos ( α)= sin ( α) cos ( α)= ( ) dus sin( α)

33 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P sin ( α)+ cos ( α)= sin ( α) cos ( α)= ( 4 ) 9 dus sin( α) Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. de afgeleide van bis: b de afgeleide van lis: l

34 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P sin ( α)+ cos ( α)= sin ( α) cos ( α)= ( 4 ) 9 dus sin( α) Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. de afgeleide van bis: b de afgeleide van lis: l Vergeet hier het minteken

35 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P sin ( α)+ cos ( α)= sin ( α) cos ( α)= ( 4 ) 9 dus sin( α) Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. de afgeleide van bis: b 3cos( α) de afgeleide van l is : l 5sin( α) gelijkstellen: kettingregel : 6 cos( α) kettingregel : 0 sin( α)

36 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P sin ( α)+ cos ( α)= sin ( α) cos ( α)= ( 4 ) 9 dus sin( α) Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. plossen met intersect 3cos(X)=5sin(X) of via de tangens de afgeleide van bis: b 3cos( α) de afgeleide van l is: l5sin( α) sin gelijkstellen : 3cos( α) 5 ( α)

37 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P sin ( α)+ cos ( α)= sin ( α) cos ( α)= ( 4 ) 9 dus sin( α) Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. plossen met intersect 3cos(X)=5sin(X) of via de tangens ( delen door cos( α) ) geeft de afgeleide van bis: b 3cos( α) de afgeleide van l is: l5sin( α) gelijkstellen: 3cos( α) 5sin( α) sin( α) 3 tan( α) 0, 6 met de oplossing: α,08 radialen! cos( α) 5

38 00-I vraag 4 t/m 8 Q Vraag 7. Toon aan: Q 4 5sin ( α) P plossing: stapjes in de x-richting = 3 stapjes in de y-richting = 3sin( α) cos( α)

39 00-I vraag 4 t/m 8 Q Vraag 7. Toon aan: Q 4 5sin ( α) P plossing: stapjes in de x-richting = 3 stapjes in de y-richting = cos( α) 3sin( α) Gebruik Pythagoras in de rode rechthoek: 3sin( α) cos( α)

40 00-I vraag 4 t/m 8 Q Vraag 7. Toon aan: Q 4 5sin ( α) P plossing: stapjes in de x-richting = 3 stapjes in de y-richting = cos( α) 3sin( α) Gebruik Pythagoras in de rode rechthoek: Q (3sin( α)) ( cos( α)) 9sin ( α) 4 cos ( α) 3sin( α) cos( α)

41 00-I vraag 4 t/m 8 Q Vraag 7. Toon aan: Q 4 5sin ( α) P plossing: stapjes in de x-richting = 3 stapjes in de y-richting = cos( α) 3sin( α) Gebruik Pythagoras in de rode rechthoek: Q (3sin( α)) (cos( α)) 9sin ( α) 4cos ( α) 3sin( α) dus: Q 9sin ( α) 4( sin ( α)) 9sin ( α) 4 4sin ( α) sin + cos = cos( α)

42 00-I vraag 4 t/m 8 Q Vraag 7. Toon aan: Q 4 5sin ( α) P plossing: stapjes in de x-richting = 3 stapjes in de y-richting = cos( α) 3sin( α) Gebruik Pythagoras in de rode rechthoek: Q (3sin( α)) (cos( α)) 9sin ( α) 4cos ( α) 3sin( α) dus: Q 9sin ( α) 4( sin ( α)) 9sin ( α) 4 4sin ( α) dus: Q 4 5sin ( α) cos( α)

43 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. (afronden op decimalen) P

44 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: P = Q P

45 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: P = Q P ftewel : 5cos( α) 4 5sin ( α)

46 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: P = Q P ftewel: 5cos( α) 4 5sin ( α) Kwadrateren:

47 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: P = Q P ftewel: 5cos( α) 4 5sin ( α) Kwadrateren: 5cos ( α) 4 5sin ( α) Pythagoras:

48 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: P = Q P ftewel: 5cos( α) 4 5sin ( α) Kwadrateren: 5cos ( α) 4 5sin ( α) Pythagoras: 5 ( sin ( α) ) 4 5sin ( α)

49 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: P = Q P ftewel: 5cos( α) 4 5sin ( α) Kwadrateren: 5cos ( α) 4 5sin ( α) Pythagoras: 5 ( sin ( α)) 4 5sin ( α) 30sin ( α) sin( α) 0,7

50 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: P = Q P ftewel: 5cos( α) 4 5sin ( α) Kwadrateren: 5cos ( α) 4 5sin ( α) Pythagoras: 5 ( sin ( α)) 4 5sin ( α) 30sin ( α) sin( α) 0,7 0,5α sin ( 0,7) antwoord: α,99 ( rad) [ mag ook met GR, bijvoorbeeld via intersect ]

51 00-I Cirkel en rechthoek C Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. p c ligt een vast punt. We bekijken rechthoeken met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en D 4 cm lang zijn. D M E B Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe.

52 00-I Cirkel en rechthoek C Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. p c ligt een vast punt. We bekijken rechthoeken met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en D 4 cm lang zijn. D M E B Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe. E ligt op de middelloodlijn van D middelloodlijn

53 00-I Cirkel en rechthoek E C Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. p c ligt een vast punt. We bekijken rechthoeken met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en D 4 cm lang zijn. D M E B Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe. E ligt op de middelloodlijn van D Cirkel D om het punt Middelloodlijn van nieuwe zijde D Geeft tweede punt E en roodgestippelde rechthoek middelloodlijnen

54 00-I Cirkel en rechthoek E C Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. p c ligt een vast punt. We bekijken rechthoeken met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en D 4 cm lang zijn. Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe. D E E M E B E ligt op de middelloodlijn van D Cirkel D om het punt Middelloodlijn van nieuwe zijde D Geeft tweede punt E en roodgestippelde rechthoek an de andere kant van de twee rechthoeken snijden de middelloodlijnen de cirkel ook

55 00-I Cirkel en rechthoek C Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. p c ligt een vast punt. We bekijken rechthoeken met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en D 4 cm lang zijn. D E M B Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe. E E ligt op de middelloodlijn van D Cirkel D om het punt Middelloodlijn van nieuwe zijde D Geeft tweede punt E en roodgestippelde rechthoek an de andere kant van de twee rechthoeken snijden de middelloodlijnen de cirkel ook Dat geeft nog eens twee rechthoeken (groen en blauw)

56 00-I Cirkel en rechthoek E C Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. p c ligt een vast punt. We bekijken rechthoeken met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en D 4 cm lang zijn. D E M E B Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe. E E ligt op de middelloodlijn van D Cirkel D om het punt Middelloodlijn van nieuwe zijde D Geeft tweede punt E en roodgestippelde rechthoek an de andere kant van de twee rechthoeken snijden de middelloodlijnen de cirkel ook Dat geeft nog eens twee rechthoeken (groen en blauw) Er zijn dus 4 punten E. En vier verschillende oplossingen (4 rechthoeken die de cirkel raken).

57 00-I Cirkel en rechthoek C Vooraf de definitie van een parabool. De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. M P Q p B

58 00-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. D N C De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur. M p E B Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 0. Bewijs dat CMD = 90 o.

59 00-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. D N C De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur. M p E B Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 0. Bewijs dat CMD = 90 o. Bewijs: N ligt op p dus NM = NC.

60 00-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. D N C De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur. M p E B Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 0. Bewijs dat CMD = 90 o. Bewijs: N ligt op p dus NM = NC. Gegeven is verder dat ND = NC.

61 00-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. D N C De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur. M p E B Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 0. Bewijs dat CMD = 90 o. Bewijs: N ligt op p dus NM = NC. Gegeven is verder dat ND = NC. Dus NM = ND = NC wat betekent, dat de cirkel door D, M en C, punt N als middelpunt heeft. DC is middellijn van deze cirkel.

62 00-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. D N C De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur. M p E B Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 0. Bewijs dat CMD = 90 o. Bewijs: N ligt op p dus NM = NC. Gegeven is verder dat ND = NC. Dus NM = ND = NC wat betekent, dat de cirkel door D, M en C, punt N als middelpunt heeft. DC is middellijn van deze cirkel. En volgens de stelling van Thales is dus CMD = 90 o.

63 Voorbeeld van een vraagstuk met heel veel tekst: 00-I vraag -3 Lees eerst de tekst globaal door en pik er de getallen, variabelen en formules uit: hier met [ rood ] aangegeven. [ De uitwerking staat verderop ] Een condensator is een elektrische component waarin je elektrische lading kunt opslaan. Iemand heeft een elektrisch circuit met één condensator gemaakt waarin geldt: als de lege condensator wordt opgeladen, neemt de condensatorspanning toe van 0 tot een limietspanning [horizontale asymptoot] volgens de formule t 000C U ( e ) Hierin is: U de condensatorspanning in volt, t de oplaadtijd in seconden en C de capaciteit van de condensator in farad. Een condensator met een capaciteit van 0,0 farad [C = 0,0] wordt in dit circuit opgeladen. Voor deze condensator in dit circuit geldt dus: [want 000 0,0 = 0] t 0C U ( e )

64 U 0 50 t t 0C U ( e ) Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,0 farad toeneemt op tijdstip t = 0. Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,0 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is.

65 U 0 50 t t 0C U ( e ) [ ls t heel groot wordt, gaat de e-macht naar nul, dus de H.. is U = ] Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,0 farad toeneemt op tijdstip t = 0. Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,0 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is.

66 U 0 50 t t 0C U ( e ) [ ls t heel groot wordt, gaat de e-macht naar nul, dus de H.. is U = ] Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus du/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,0 farad [ C = 0,0 ] toeneemt op tijdstip t = 0. Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,0 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is.

67 U 0 50 t t 0C U ( e ) [ ls t heel groot wordt, gaat de e-macht naar nul, dus de H.. is U = ] Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus du/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,0 farad [ C = 0,0 ] toeneemt op tijdstip t = 0. Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,0 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is. [ U is 90% van is 0,8 ]

68 Soms heb je niet direct de beschikking over een condensator met de juiste capaciteit. m een kleinere capaciteit te krijgen, kun je meerdere condensatoren in serie schakelen. Een serieschakeling van n condensatoren met capaciteiten C,, C n heeft dezelfde werking als één condensator met capaciteit C s, waarbij... C C C s n Zo hebben bijvoorbeeld twee in serie geschakelde condensatoren met een capaciteit van 0,0 farad dezelfde werking als één condensator met een capaciteit van 0,005 farad. We willen in het bovengenoemde circuit binnen een tijd van 0 seconden een condensatorspanning van minstens 0 volt verkrijgen. We beschikken over een groot aantal lege condensatoren, elk met een capaciteit van 0,0 farad. 3 nderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken.

69 Soms heb je niet direct de beschikking over een condensator met de juiste capaciteit. m een kleinere capaciteit te krijgen, kun je meerdere condensatoren in serie schakelen. Een serieschakeling van n condensatoren met capaciteiten C,, C n heeft dezelfde werking als één condensator met capaciteit C s, waarbij... C C C s n Zo hebben bijvoorbeeld twee in serie geschakelde condensatoren met een capaciteit van 0,0 farad dezelfde werking als één condensator met een capaciteit van 0,005 farad. [ controle: ] 0,0 0,0 0,0 0,005 We willen in het bovengenoemde circuit binnen een tijd van 0 seconden [t = 0] een condensatorspanning van minstens 0 volt [ U = 0 ] verkrijgen. We beschikken over een groot aantal [ stel n stuks ] lege condensatoren, elk met een capaciteit van 0,0 farad. [... n n 00 00n ] C 0,0 0,0 0,0 3 nderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken. [ t = 0 en U = 0 ]

70 Uitgewerkte antwoorden Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus du/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,0 farad [ C = 0,0 ] toeneemt op tijdstip t = 0. plossing: Je moet de spanning, dus U, differentiëren. U t t 0 0 ( e ) e differentiëren :

71 Uitgewerkte antwoorden Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus du/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,0 farad [ C = 0,0 ] toeneemt op tijdstip t = 0. plossing: Je moet de spanning, dus U, differentiëren. U t t 0 0 ( e ) e differentiëren met de kettingregel: du dt t t 0 0 e 0,6 e 0

72 op t = 0: 0 Uitgewerkte antwoorden Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus du/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,0 farad [ C = 0,0 ] toeneemt op tijdstip t = 0. plossing: Je moet de spanning, dus U, differentiëren. U t t 0 0 ( e ) e differentiëren met de kettingregel: du dt t t 0 0 e 0,6 e 0 dt e 0,6 0,6 du

73 Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,0 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is. [ U is 90% van is 0,8 ] plossing: t 0 U ( e ) 0,9 U e 0 0,9 t

74 Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,0 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is. [ U is 90% van is 0,8 ] plossing: t 0 U ( e ) 0,9 U e 0 0,9 t U t 0 t e 0, ln 0, 0

75 Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,0 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is. [ U is 90% van is 0,8 ] plossing: t 0 U ( e ) 0,9 U e 0 0,9 t U t 0 t e 0, ln 0, 0 t ln 0, ln0 dus t 0ln0 46 0

76 3 nderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken. [ t = 0 en U = 0 ]... n n 00 00n C 0,0 0,0 0,0 plossing: Doe WINDW 0<X<3 en 0<Y< en dan intersect: ( e^-x) 0

77 3 nderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken. [ t = 0 en U = 0 ]... n n 00 00n C 0,0 0,0 0,0 plossing: Doe WINDW 0<X<3 en 0<Y< en dan intersect: ( e^-x) 0 geeft X =.79 daarna: 0 000C.79

78 3 nderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken. [ t = 0 en U = 0 ]... n n 00 00n C 0,0 0,0 0,0 plossing: Doe WINDW 0<X<3 en 0<Y< en dan intersect: ( e^-x) 0 geeft X =,79 daarna: met C = 0,0079 geeft: 0 000C n [ 3.58] 0, 0079 dus minstens 4 condensatoren nodig

79 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 4. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½. plossing:

80 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 4. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½. plossing: pp. (3 p)( ) p Haakjes wegwerken

81 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 4. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½. plossing: pp. (3 p)( ) p 3 3 p p

82 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 4. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½. plossing: 3 p pp. (3 p)( ) 3 p p p

83 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 4. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½. plossing: 3 p pp. (3 p)( ) 3 p 6 p 6 p p 0 p 7 p6 0 p p

84 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 4. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½. plossing: 3 p pp. (3 p)( ) 3 p 6 p 6 p p 0 p 7 p 6 0 p p De abc-formule geeft twee oplossingen:

85 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 4. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½. plossing: 3 p pp. (3 p)( ) 3 p 6 p 6 p p 0 p 7 p 6 0 p p De abc-formule geeft twee oplossingen: p = ½ en p =.

86 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. De som van de grijze oppervlakten is: 4 3 som ( p 4 ) 3 p /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 5. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is. plossing. De afgeleide nul stellen:

87 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. De som van de grijze oppervlakten is: 4 3 som ( p 4 ) 3 p /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 5. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is. plossing. De afgeleide nul stellen: 4 ( 3 ) 0 3 p

88 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. De som van de grijze oppervlakten is: 4 3 som ( p 4 ) 3 p /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 5. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is. plossing. De afgeleide nul stellen: ( ) 0 3 p

89 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. De som van de grijze oppervlakten is: 4 3 som ( p 4 ) 3 p /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 5. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is. plossing. De afgeleide nul stellen: ( ) p p p

90 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. De som van de grijze oppervlakten is: 4 3 som ( p 4 ) 3 p /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 5. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is. plossing. De afgeleide nul stellen: p ( ) p 0 p 3 p p 3

91 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p

92 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p plossing: B =

93 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p plossing: B = f (p) g(p) = 4 ln p (ln p) 4. fgeleide nulstellen geeft:

94 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p plossing: B = f (p) g(p) = 4 ln p (ln p) 4. fgeleide nulstellen geeft: 3 4 4(ln p) 0 p p kettingregel Uitwerken:

95 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p plossing: B = f (p) g(p) = 4 ln p (ln p) 4. fgeleide nulstellen geeft: 3 4 4(ln p) 0 p p Uitwerken: 4 ( (ln p) 3 ) 0 p

96 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p plossing: B = f (p) g(p) = 4 ln p (ln p) 4. fgeleide nulstellen geeft: 3 4 4(ln p) 0 p p Uitwerken: 4 ( (ln ) 3 ) 0 (ln ) 3 p p du s ln p p

97 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p plossing: B = f (p) g(p) = 4 ln p (ln p) 4. fgeleide nulstellen geeft: 3 4 4(ln p) 0 p p Uitwerken: 4 ( (ln ) 3 ) 0 (ln ) 3 p p dus ln p p De maximum lengte van B is:

98 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p plossing: B = f (p) g(p) = 4 ln p (ln p) 4. fgeleide nulstellen geeft: 3 4 4(ln p) 0 p p Uitwerken: 4 ( (ln ) 3 ) 0 (ln ) 3 p p dus ln p p De maximum lengte van B is: 4 () 4 = 3

99 00-I vraag 7 en 8 m Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt er tussenin. Je kunt op elk van de twee gegeven lijnen een punt tekenen zo dat deze punten samen met punt de hoekpunten zijn van een rechthoekige, gelijkbenige driehoek. Een dergelijke driehoek noemen we een geodriehoek. Er zijn verschillende gevallen mogelijk. In deze opgave bekijken we de situatie waarbij het hoekpunt van de rechte hoek van de geodriehoek rechts van punt op k ligt. Hieronder staat eerst een constructie. Daarna wordt aan je gevraagd te bewijzen dat het resultaat inderdaad een geodriehoek is. p k zijn de punten B en C getekend zo dat B BC en B = BC. Punt D is op m getekend met DC C. p k is vervolgens punt E getekend zo dat DE=45. B C E 45 o D k m k

100 00-I vraag 7 en 8 m Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt er tussenin. Je kunt op elk van de twee gegeven lijnen een punt tekenen zo dat deze punten samen met punt de hoekpunten zijn van een rechthoekige, gelijkbenige driehoek. Een dergelijke driehoek noemen we een geodriehoek. Er zijn verschillende gevallen mogelijk. In deze opgave bekijken we de situatie waarbij het hoekpunt van de rechte hoek van de geodriehoek rechts van punt op k ligt. Hieronder staat eerst een constructie. Daarna wordt aan je gevraagd te bewijzen dat het resultaat inderdaad een geodriehoek is. p k zijn de punten B en C getekend zo dat B BC en B = BC. Punt D is op m getekend met DC C. p k is vervolgens punt E getekend zo dat DE=45. B C E 45 o D k m k Vraag 7. Bewijs dat vierhoek CED een koordenvierhoek is.

101 00-I vraag 7 en 8 Vraag 7. Bewijs dat vierhoek CED een koordenvierhoek is. 45 o D m Gegeven: B BC en B = BC, DC C, DE = 45. Bewijs: B C E k BC is gelijkbenig en rechthoekig, dus CB =

102 00-I vraag 7 en 8 Vraag 7. Bewijs dat vierhoek CED een koordenvierhoek is. 45 o D m Gegeven: B BC en B = BC, DC C, DE = 45. Bewijs: B C E k BC is gelijkbenig en rechthoekig, dus CB = 45 o. BCE =

103 00-I vraag 7 en 8 Vraag 7. Bewijs dat vierhoek CED een koordenvierhoek is. 45 o D m Gegeven: B BC en B = BC, DC C, DE = 45. Bewijs: B C E k BC is gelijkbenig en rechthoekig, dus CB = 45 o. BCE = 80 o (gestrekte hoek) =

104 00-I vraag 7 en 8 Vraag 7. Bewijs dat vierhoek CED een koordenvierhoek is. 45 o D m Gegeven: B BC en B = BC, DC C, DE = 45. Bewijs: B C E k BC is gelijkbenig en rechthoekig, dus CB = 45 o. BCE = 80 o (gestrekte hoek) = 45 o + 90 o + DCE, dus DCE = en CE =.

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-I

wiskunde B vwo 2017-I wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2015-II

wiskunde B vwo 2015-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte

Nadere informatie

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek.

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. 200-II bij vraag Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. Een applet (animatie) hierover is te vinden op bijvoorbeeld: http://home.planet.nl/~hietb062/java3.htm#constantehoek De punten P op

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 007 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde 1, ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2016 tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 unten te behalen. Voor

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Een symmetrische gebroken functie

Een symmetrische gebroken functie Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het

Nadere informatie

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan. Gevaar op zee Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2. Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2014 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Eerste en derdegraadsfunctie

Eerste en derdegraadsfunctie Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 1330-1630 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 16 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen Voor elk

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correctievoorschrift VWO tijdvak wiskunde B Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vaksecifieke regels Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur Examen HAVO 011 tijdvak woensdag juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 18 mei uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 18 mei uur Eamen VW 016 tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur wiskunde (pilot) it eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen.

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen. Meetkunde Inleiding We beginnen met het doorlezen van alle theorie uit hoofdstuk 3 van het boek. Daar staan een aantal algemene regels goed uitgelegd. Waar je nog wat extra uitleg over nodig hebt, is de

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 havo 2004-II

Eindexamen wiskunde B 1-2 havo 2004-II Eindexamen wiskunde B - havo 004-II 4 Beoordelingsmodel Bacteriecultuur Maximumscore beschrijven hoe met de GR het maximum van N = 00t 3 + 300t + 900t + 000 voor 0 t 4 kan worden berekend Het aantal bacteriën

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Met behulp van deze gegevens kan worden berekend welke maximale totale behoefte aan elektrische energie in Nederland er voor 2050 wordt voorspeld.

Met behulp van deze gegevens kan worden berekend welke maximale totale behoefte aan elektrische energie in Nederland er voor 2050 wordt voorspeld. Windenergie Er wordt steeds meer gebruikgemaakt van windenergie. Hoewel de bijdrage van windenergie nu nog klein is, kan windenergie in de toekomst een grote bijdrage aan onze elektriciteitsvoorziening

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek.

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek. Een spiraal In deze opgave bekijken we rechthoekige stroken van breedte en oneven lengte:, 3, 5,..., 99. Door deze stroken op een bepaalde manier aan elkaar te leggen, maken we een spiraal. In figuur is

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 20 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 20 mei uur Examen HAVO 2008 tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B1,2 Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 009 tijdvak woensdag 4 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Vrijdag 4 mei 3.30 6.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B pilot havo II

Eindexamen wiskunde B pilot havo II Mosselen Driehoeksmosselen (zie de foto) kunnen een bijdrage leveren aan de vermindering van de hoeveelheid algen in het water. Zij filteren het water. De hoeveelheid gefilterd water in ml/uur noemen we

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2004-II

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2004-II Brandstofverbruik Een schip maakt een tocht over een rivier van P naar Q en terug. De afstand tussen P en Q is 42 km. Van P naar Q vaart het schip tegen de stroom in (stroomopwaarts); op de terugreis vaart

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 24 juni uur

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 24 juni uur Examen VWO 2009 tijdvak 2 woensdag 24 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Eindexamen havo wiskunde B pilot I

Eindexamen havo wiskunde B pilot I Vliegende parkieten De wetenschapper Vance Tucker heeft onderzocht hoeveel energie een parkiet verbruikt bij het vliegen met verschillende snelheden. Uit zijn onderzoek blijkt dat de hoeveelheid energie

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-I

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-I Steeds meer vlees In wordt voor de periode 1960-1996 zowel de graanproductie als de vleesproductie per hoofd van de wereldbevolking weergegeven. Hiervoor worden twee verticale assen gebruikt. De ronde

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I Inademen Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B havo II

Eindexamen wiskunde B havo II Tonregel van Kepler In het verleden gebruikte men vaak een ton voor het opslaan en vervoeren van goederen. Tonnen worden ook nu nog gebruikt voor bijvoorbeeld de opslag van wijn. Zie de foto. foto Voor

Nadere informatie

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking

Nadere informatie

Kaas. foto 1 figuur 1. geheel aantal cm 2.

Kaas. foto 1 figuur 1. geheel aantal cm 2. Kaas Op foto 1 zie je drie stukken kaas. Het zijn delen van een hele, ronde kaas. Het grootste stuk is precies de helft van een hele kaas. Deze halve kaas heeft een vlakke zijkant. De vorm van de vlakke

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correctievoorschrift VWO tijdvak oud programma wiskunde B, Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels Beoordelingsmodel Inzenden scores Regels

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h Eindexamen vwo wiskunde B 0 - II Een regenton maximumscore 5 h V= ( rx ( )) d x 0 00 ( rx ( )) ( 5 5x 5x ) = + Een primitieve van 5+ 5x 5x is 5x+ 7 x 5x Dus = ( 5 + 7 5 ) V h h h 00 V = h+ h h = h+ h h

Nadere informatie

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg 1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem

Nadere informatie

wiskunde B havo 2015-II

wiskunde B havo 2015-II Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid

Nadere informatie