2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax"

Transcriptie

1 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen:

2 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden:

3 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus:

4 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x ( ) = 0

5 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is:

6 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x =

7 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x

8 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x dus: y = a (4 a) = 4a a.

9 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x dus: y = a (4 a) = 4a a. Het deel van V boven heeft oppervlakte: 6 (4 a) 3 Vraag. Toon dit aan. Integraal:

10 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x dus: y = a (4 a) = 4a a. Het deel van V boven heeft oppervlakte: 6 (4 a) 3 Vraag. Toon dit aan. Integraal: 4a pp. ( 4 x x a x) dx 0

11 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x dus: y = a (4 a) = 4a a. Het deel van V boven heeft oppervlakte: 6 (4 a) 3 Vraag. Toon dit aan. Integraal: 4a 4a d 0 0 pp. (4 x x a x) x ( x (4 a) x) dx

12 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x dus: y = a (4 a) = 4a a. Het deel van V boven heeft oppervlakte: 6 (4 a) 3 Vraag. Toon dit aan. Integraal: 4a 4a 3 ( 0 x 0 3 pp. (4 x x a x) dx ( x (4 a) x) d x 4 a) x (4 a) 0

13 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x dus: y = a (4 a) = 4a a. Het deel van V boven heeft oppervlakte: 6 (4 a) 3 Vraag. Toon dit aan. Integraal: 4a 4 (4 ) a a pp. (4 x x a x ) dx ( x (4 a ) x ) dx x (4 a ) x 3 3 (4 a) (4 a) (4 a) 0

14 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag. Toon dit aan. Gelijkstellen: 4x x = a x op 0 herleiden: x + a x 4x = 0 dus: x (x + a 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is x = 4 a ; de y coördinaat volgt uit y = a x dus: y = a (4 a) = 4a a. Het deel van V boven heeft oppervlakte: 6 (4 a) 3 Vraag. Toon dit aan. Integraal: 4a 4 (4 ) a a pp. (4 x x a x ) dx ( x (4 a ) x ) dx x (4 a ) x a )(4 ) (4 a ) (4 a ) (4 ) 0 ( )(4 a) ( a (4 a) 3

15 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. Eerst de oppervlakte van V berekenen: 4

16 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. 4 Eerst de oppervlakte van V berekenen: 4 0 (4 x x ) dx

17 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. 4 Eerst de oppervlakte van V berekenen: (4 x x ) dx x x

18 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. Eerst de oppervlakte van V berekenen: De oppervlakte boven, in de vorige vraag berekend: (4 x x ) dx x x (4 a) is de helft hiervan, dus:

19 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. Eerst de oppervlakte van V berekenen: De oppervlakte boven, in de vorige vraag berekend: x x dx x x (4 ) (4 a) is de helft hiervan, dus: 3 (4 a) Hieruit volgt:

20 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. Eerst de oppervlakte van V berekenen: De oppervlakte boven, in de vorige vraag berekend: x x dx x x (4 ) (4 a) is de helft hiervan, dus: 3 (4 a) Hieruit volgt: 3 (4a) 3 dus

21 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten (4 a, 4a a ). Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. Eerst de oppervlakte van V berekenen: De oppervlakte boven, in de vorige vraag berekend: x x dx x x (4 ) (4 a) is de helft hiervan, dus: 3 (4 a) Hieruit volgt: (4 a) 3 dus 4 a 3 en a 4 3

22 00-I vraag 4 t/m 8 Goniometrie. Vooraf drie definities en twee stellingen, in een rechthoekige driehoek: sin α o s overstaande zijde schuine cosα a s aanliggende zijde schuine s o o overstaande tan α zijde a aanliggende De stelling van Pythagoras: α a (sin α) (cos α) korter genoteerd als: sin α cos α = Formule voor de tangens: sin α cosα tan α

23 00-I vraag 4 t/m 8 Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 9 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we. P Q De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α. We kiezen lengte voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α, met 0 α π. Vraag 4. Toon aan dat er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α)

24 00-I vraag 4 t/m 8 Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 9 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we. P Q De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α. We kiezen lengte voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α, met 0 α π. Vraag 4. Toon aan dat er geldt: b l 0cos( α) en 6sin( α) Hiernaast is een driehoekje getekend met zijden x en y. Er staan 5=0 van zulke driehoekjes in de x-richting en 3=6 in de y-richting. Er geldt dus: y ½a x

25 00-I vraag 4 t/m 8 Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 9 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we. P Q De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α. We kiezen lengte voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α, met 0 α π. Vraag 4. Toon aan dat er geldt: b l 0cos( α) en 6sin( α) Hiernaast is een driehoekje getekend met zijden x en y. Er staan 5=0 van zulke driehoekjes in de x-richting en 3=6 in de y-richting. Er geldt dus:... cos( α).. dus x sin( α).. dus y... ½a x y

26 00-I vraag 4 t/m 8 Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 9 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we. P Q De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α. We kiezen lengte voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α, met 0 α π. Vraag 4. Toon aan dat er geldt: b l 0cos( α) en 6sin( α) Hiernaast is een driehoekje getekend met zijden x en y. Er staan 5=0 van zulke driehoekjes in de x-richting en 3=6 in de y-richting. Er geldt dus: x cos( α) x dus x cos( α) en y sin( α) y dus y sin( α) en l b ½a x y

27 00-I vraag 4 t/m 8 Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 9 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we. P Q De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α. We kiezen lengte voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α, met 0 α π. Vraag 4. Toon aan dat er geldt: b l 0cos( α) en 6sin( α) Hiernaast is een driehoekje getekend met zijden x en y. Er staan 5=0 van zulke driehoekjes in de x-richting en 3=6 in de y-richting. Er geldt dus: x cos( α) x dus x cos( α) en l 0cos( α) y sin( α) y dus y sin( α) en b 6sin( α) ½a x y

28 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. P Dus: 0cos( α) 8 en

29 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P

30 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: sin ( α)+cos ( α)= sin ( α) P

31 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P 4 9 sin ( α)+ cos ( α)= sin ( α) cos ( α)= ( ) dus 5 5

32 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P 4 9 sin ( α)+ cos ( α)= sin ( α) cos ( α)= ( ) dus sin( α)

33 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P sin ( α)+ cos ( α)= sin ( α) cos ( α)= ( 4 ) 9 dus sin( α) Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. de afgeleide van bis: b de afgeleide van lis: l

34 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P sin ( α)+ cos ( α)= sin ( α) cos ( α)= ( 4 ) 9 dus sin( α) Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. de afgeleide van bis: b de afgeleide van lis: l Vergeet hier het minteken

35 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P sin ( α)+ cos ( α)= sin ( α) cos ( α)= ( 4 ) 9 dus sin( α) Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. de afgeleide van bis: b 3cos( α) de afgeleide van l is : l 5sin( α) gelijkstellen: kettingregel : 6 cos( α) kettingregel : 0 sin( α)

36 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P sin ( α)+ cos ( α)= sin ( α) cos ( α)= ( 4 ) 9 dus sin( α) Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. plossen met intersect 3cos(X)=5sin(X) of via de tangens de afgeleide van bis: b 3cos( α) de afgeleide van l is: l5sin( α) sin gelijkstellen : 3cos( α) 5 ( α)

37 00-I vraag 4 t/m 8 Er geldt: l 0cos( α) en b6sin( α) Q Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 0cos( α) 8 en cos( α) 0 5 m sin( α) uit te rekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: P sin ( α)+ cos ( α)= sin ( α) cos ( α)= ( 4 ) 9 dus sin( α) Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. plossen met intersect 3cos(X)=5sin(X) of via de tangens ( delen door cos( α) ) geeft de afgeleide van bis: b 3cos( α) de afgeleide van l is: l5sin( α) gelijkstellen: 3cos( α) 5sin( α) sin( α) 3 tan( α) 0, 6 met de oplossing: α,08 radialen! cos( α) 5

38 00-I vraag 4 t/m 8 Q Vraag 7. Toon aan: Q 4 5sin ( α) P plossing: stapjes in de x-richting = 3 stapjes in de y-richting = 3sin( α) cos( α)

39 00-I vraag 4 t/m 8 Q Vraag 7. Toon aan: Q 4 5sin ( α) P plossing: stapjes in de x-richting = 3 stapjes in de y-richting = cos( α) 3sin( α) Gebruik Pythagoras in de rode rechthoek: 3sin( α) cos( α)

40 00-I vraag 4 t/m 8 Q Vraag 7. Toon aan: Q 4 5sin ( α) P plossing: stapjes in de x-richting = 3 stapjes in de y-richting = cos( α) 3sin( α) Gebruik Pythagoras in de rode rechthoek: Q (3sin( α)) ( cos( α)) 9sin ( α) 4 cos ( α) 3sin( α) cos( α)

41 00-I vraag 4 t/m 8 Q Vraag 7. Toon aan: Q 4 5sin ( α) P plossing: stapjes in de x-richting = 3 stapjes in de y-richting = cos( α) 3sin( α) Gebruik Pythagoras in de rode rechthoek: Q (3sin( α)) (cos( α)) 9sin ( α) 4cos ( α) 3sin( α) dus: Q 9sin ( α) 4( sin ( α)) 9sin ( α) 4 4sin ( α) sin + cos = cos( α)

42 00-I vraag 4 t/m 8 Q Vraag 7. Toon aan: Q 4 5sin ( α) P plossing: stapjes in de x-richting = 3 stapjes in de y-richting = cos( α) 3sin( α) Gebruik Pythagoras in de rode rechthoek: Q (3sin( α)) (cos( α)) 9sin ( α) 4cos ( α) 3sin( α) dus: Q 9sin ( α) 4( sin ( α)) 9sin ( α) 4 4sin ( α) dus: Q 4 5sin ( α) cos( α)

43 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. (afronden op decimalen) P

44 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: P = Q P

45 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: P = Q P ftewel : 5cos( α) 4 5sin ( α)

46 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: P = Q P ftewel: 5cos( α) 4 5sin ( α) Kwadrateren:

47 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: P = Q P ftewel: 5cos( α) 4 5sin ( α) Kwadrateren: 5cos ( α) 4 5sin ( α) Pythagoras:

48 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: P = Q P ftewel: 5cos( α) 4 5sin ( α) Kwadrateren: 5cos ( α) 4 5sin ( α) Pythagoras: 5 ( sin ( α) ) 4 5sin ( α)

49 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: P = Q P ftewel: 5cos( α) 4 5sin ( α) Kwadrateren: 5cos ( α) 4 5sin ( α) Pythagoras: 5 ( sin ( α)) 4 5sin ( α) 30sin ( α) sin( α) 0,7

50 00-I vraag 4 t/m 8 Q Uit de vorige vraag: x Q 4 5sin ( α) en cos( α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: P = Q P ftewel: 5cos( α) 4 5sin ( α) Kwadrateren: 5cos ( α) 4 5sin ( α) Pythagoras: 5 ( sin ( α)) 4 5sin ( α) 30sin ( α) sin( α) 0,7 0,5α sin ( 0,7) antwoord: α,99 ( rad) [ mag ook met GR, bijvoorbeeld via intersect ]

51 00-I Cirkel en rechthoek C Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. p c ligt een vast punt. We bekijken rechthoeken met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en D 4 cm lang zijn. D M E B Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe.

52 00-I Cirkel en rechthoek C Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. p c ligt een vast punt. We bekijken rechthoeken met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en D 4 cm lang zijn. D M E B Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe. E ligt op de middelloodlijn van D middelloodlijn

53 00-I Cirkel en rechthoek E C Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. p c ligt een vast punt. We bekijken rechthoeken met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en D 4 cm lang zijn. D M E B Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe. E ligt op de middelloodlijn van D Cirkel D om het punt Middelloodlijn van nieuwe zijde D Geeft tweede punt E en roodgestippelde rechthoek middelloodlijnen

54 00-I Cirkel en rechthoek E C Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. p c ligt een vast punt. We bekijken rechthoeken met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en D 4 cm lang zijn. Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe. D E E M E B E ligt op de middelloodlijn van D Cirkel D om het punt Middelloodlijn van nieuwe zijde D Geeft tweede punt E en roodgestippelde rechthoek an de andere kant van de twee rechthoeken snijden de middelloodlijnen de cirkel ook

55 00-I Cirkel en rechthoek C Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. p c ligt een vast punt. We bekijken rechthoeken met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en D 4 cm lang zijn. D E M B Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe. E E ligt op de middelloodlijn van D Cirkel D om het punt Middelloodlijn van nieuwe zijde D Geeft tweede punt E en roodgestippelde rechthoek an de andere kant van de twee rechthoeken snijden de middelloodlijnen de cirkel ook Dat geeft nog eens twee rechthoeken (groen en blauw)

56 00-I Cirkel en rechthoek E C Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. p c ligt een vast punt. We bekijken rechthoeken met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en D 4 cm lang zijn. D E M E B Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe. E E ligt op de middelloodlijn van D Cirkel D om het punt Middelloodlijn van nieuwe zijde D Geeft tweede punt E en roodgestippelde rechthoek an de andere kant van de twee rechthoeken snijden de middelloodlijnen de cirkel ook Dat geeft nog eens twee rechthoeken (groen en blauw) Er zijn dus 4 punten E. En vier verschillende oplossingen (4 rechthoeken die de cirkel raken).

57 00-I Cirkel en rechthoek C Vooraf de definitie van een parabool. De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. M P Q p B

58 00-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. D N C De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur. M p E B Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 0. Bewijs dat CMD = 90 o.

59 00-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. D N C De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur. M p E B Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 0. Bewijs dat CMD = 90 o. Bewijs: N ligt op p dus NM = NC.

60 00-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. D N C De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur. M p E B Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 0. Bewijs dat CMD = 90 o. Bewijs: N ligt op p dus NM = NC. Gegeven is verder dat ND = NC.

61 00-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. D N C De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur. M p E B Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 0. Bewijs dat CMD = 90 o. Bewijs: N ligt op p dus NM = NC. Gegeven is verder dat ND = NC. Dus NM = ND = NC wat betekent, dat de cirkel door D, M en C, punt N als middelpunt heeft. DC is middellijn van deze cirkel.

62 00-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. D N C De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten, B, C en D waarvan en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur. M p E B Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 0. Bewijs dat CMD = 90 o. Bewijs: N ligt op p dus NM = NC. Gegeven is verder dat ND = NC. Dus NM = ND = NC wat betekent, dat de cirkel door D, M en C, punt N als middelpunt heeft. DC is middellijn van deze cirkel. En volgens de stelling van Thales is dus CMD = 90 o.

63 Voorbeeld van een vraagstuk met heel veel tekst: 00-I vraag -3 Lees eerst de tekst globaal door en pik er de getallen, variabelen en formules uit: hier met [ rood ] aangegeven. [ De uitwerking staat verderop ] Een condensator is een elektrische component waarin je elektrische lading kunt opslaan. Iemand heeft een elektrisch circuit met één condensator gemaakt waarin geldt: als de lege condensator wordt opgeladen, neemt de condensatorspanning toe van 0 tot een limietspanning [horizontale asymptoot] volgens de formule t 000C U ( e ) Hierin is: U de condensatorspanning in volt, t de oplaadtijd in seconden en C de capaciteit van de condensator in farad. Een condensator met een capaciteit van 0,0 farad [C = 0,0] wordt in dit circuit opgeladen. Voor deze condensator in dit circuit geldt dus: [want 000 0,0 = 0] t 0C U ( e )

64 U 0 50 t t 0C U ( e ) Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,0 farad toeneemt op tijdstip t = 0. Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,0 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is.

65 U 0 50 t t 0C U ( e ) [ ls t heel groot wordt, gaat de e-macht naar nul, dus de H.. is U = ] Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,0 farad toeneemt op tijdstip t = 0. Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,0 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is.

66 U 0 50 t t 0C U ( e ) [ ls t heel groot wordt, gaat de e-macht naar nul, dus de H.. is U = ] Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus du/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,0 farad [ C = 0,0 ] toeneemt op tijdstip t = 0. Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,0 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is.

67 U 0 50 t t 0C U ( e ) [ ls t heel groot wordt, gaat de e-macht naar nul, dus de H.. is U = ] Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus du/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,0 farad [ C = 0,0 ] toeneemt op tijdstip t = 0. Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,0 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is. [ U is 90% van is 0,8 ]

68 Soms heb je niet direct de beschikking over een condensator met de juiste capaciteit. m een kleinere capaciteit te krijgen, kun je meerdere condensatoren in serie schakelen. Een serieschakeling van n condensatoren met capaciteiten C,, C n heeft dezelfde werking als één condensator met capaciteit C s, waarbij... C C C s n Zo hebben bijvoorbeeld twee in serie geschakelde condensatoren met een capaciteit van 0,0 farad dezelfde werking als één condensator met een capaciteit van 0,005 farad. We willen in het bovengenoemde circuit binnen een tijd van 0 seconden een condensatorspanning van minstens 0 volt verkrijgen. We beschikken over een groot aantal lege condensatoren, elk met een capaciteit van 0,0 farad. 3 nderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken.

69 Soms heb je niet direct de beschikking over een condensator met de juiste capaciteit. m een kleinere capaciteit te krijgen, kun je meerdere condensatoren in serie schakelen. Een serieschakeling van n condensatoren met capaciteiten C,, C n heeft dezelfde werking als één condensator met capaciteit C s, waarbij... C C C s n Zo hebben bijvoorbeeld twee in serie geschakelde condensatoren met een capaciteit van 0,0 farad dezelfde werking als één condensator met een capaciteit van 0,005 farad. [ controle: ] 0,0 0,0 0,0 0,005 We willen in het bovengenoemde circuit binnen een tijd van 0 seconden [t = 0] een condensatorspanning van minstens 0 volt [ U = 0 ] verkrijgen. We beschikken over een groot aantal [ stel n stuks ] lege condensatoren, elk met een capaciteit van 0,0 farad. [... n n 00 00n ] C 0,0 0,0 0,0 3 nderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken. [ t = 0 en U = 0 ]

70 Uitgewerkte antwoorden Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus du/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,0 farad [ C = 0,0 ] toeneemt op tijdstip t = 0. plossing: Je moet de spanning, dus U, differentiëren. U t t 0 0 ( e ) e differentiëren :

71 Uitgewerkte antwoorden Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus du/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,0 farad [ C = 0,0 ] toeneemt op tijdstip t = 0. plossing: Je moet de spanning, dus U, differentiëren. U t t 0 0 ( e ) e differentiëren met de kettingregel: du dt t t 0 0 e 0,6 e 0

72 op t = 0: 0 Uitgewerkte antwoorden Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus du/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,0 farad [ C = 0,0 ] toeneemt op tijdstip t = 0. plossing: Je moet de spanning, dus U, differentiëren. U t t 0 0 ( e ) e differentiëren met de kettingregel: du dt t t 0 0 e 0,6 e 0 dt e 0,6 0,6 du

73 Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,0 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is. [ U is 90% van is 0,8 ] plossing: t 0 U ( e ) 0,9 U e 0 0,9 t

74 Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,0 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is. [ U is 90% van is 0,8 ] plossing: t 0 U ( e ) 0,9 U e 0 0,9 t U t 0 t e 0, ln 0, 0

75 Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,0 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is. [ U is 90% van is 0,8 ] plossing: t 0 U ( e ) 0,9 U e 0 0,9 t U t 0 t e 0, ln 0, 0 t ln 0, ln0 dus t 0ln0 46 0

76 3 nderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken. [ t = 0 en U = 0 ]... n n 00 00n C 0,0 0,0 0,0 plossing: Doe WINDW 0<X<3 en 0<Y< en dan intersect: ( e^-x) 0

77 3 nderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken. [ t = 0 en U = 0 ]... n n 00 00n C 0,0 0,0 0,0 plossing: Doe WINDW 0<X<3 en 0<Y< en dan intersect: ( e^-x) 0 geeft X =.79 daarna: 0 000C.79

78 3 nderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken. [ t = 0 en U = 0 ]... n n 00 00n C 0,0 0,0 0,0 plossing: Doe WINDW 0<X<3 en 0<Y< en dan intersect: ( e^-x) 0 geeft X =,79 daarna: met C = 0,0079 geeft: 0 000C n [ 3.58] 0, 0079 dus minstens 4 condensatoren nodig

79 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 4. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½. plossing:

80 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 4. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½. plossing: pp. (3 p)( ) p Haakjes wegwerken

81 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 4. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½. plossing: pp. (3 p)( ) p 3 3 p p

82 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 4. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½. plossing: 3 p pp. (3 p)( ) 3 p p p

83 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 4. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½. plossing: 3 p pp. (3 p)( ) 3 p 6 p 6 p p 0 p 7 p6 0 p p

84 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 4. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½. plossing: 3 p pp. (3 p)( ) 3 p 6 p 6 p p 0 p 7 p 6 0 p p De abc-formule geeft twee oplossingen:

85 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 4. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½. plossing: 3 p pp. (3 p)( ) 3 p 6 p 6 p p 0 p 7 p 6 0 p p De abc-formule geeft twee oplossingen: p = ½ en p =.

86 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. De som van de grijze oppervlakten is: 4 3 som ( p 4 ) 3 p /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 5. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is. plossing. De afgeleide nul stellen:

87 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. De som van de grijze oppervlakten is: 4 3 som ( p 4 ) 3 p /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 5. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is. plossing. De afgeleide nul stellen: 4 ( 3 ) 0 3 p

88 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. De som van de grijze oppervlakten is: 4 3 som ( p 4 ) 3 p /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 5. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is. plossing. De afgeleide nul stellen: ( ) 0 3 p

89 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. De som van de grijze oppervlakten is: 4 3 som ( p 4 ) 3 p /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 5. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is. plossing. De afgeleide nul stellen: ( ) p p p

90 00-I De punten (, ) en B(3, /3) liggen op de grafiek van y = /x. We bekijken de rechthoek waarvan en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, /p) ligt op de grafiek, tussen en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. De som van de grijze oppervlakten is: 4 3 som ( p 4 ) 3 p /p /3 y = / x P p 3 B Vraag 5. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is. plossing. De afgeleide nul stellen: p ( ) p 0 p 3 p p 3

91 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p

92 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p plossing: B =

93 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p plossing: B = f (p) g(p) = 4 ln p (ln p) 4. fgeleide nulstellen geeft:

94 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p plossing: B = f (p) g(p) = 4 ln p (ln p) 4. fgeleide nulstellen geeft: 3 4 4(ln p) 0 p p kettingregel Uitwerken:

95 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p plossing: B = f (p) g(p) = 4 ln p (ln p) 4. fgeleide nulstellen geeft: 3 4 4(ln p) 0 p p Uitwerken: 4 ( (ln p) 3 ) 0 p

96 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p plossing: B = f (p) g(p) = 4 ln p (ln p) 4. fgeleide nulstellen geeft: 3 4 4(ln p) 0 p p Uitwerken: 4 ( (ln ) 3 ) 0 (ln ) 3 p p du s ln p p

97 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p plossing: B = f (p) g(p) = 4 ln p (ln p) 4. fgeleide nulstellen geeft: 3 4 4(ln p) 0 p p Uitwerken: 4 ( (ln ) 3 ) 0 (ln ) 3 p p dus ln p p De maximum lengte van B is:

98 00-I vraag 6 T De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4 ln x en g(x) =(ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. f g Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in en de grafiek van g in B. Vraag 6. Bereken exact de maximale lengte van B. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. S B x = p plossing: B = f (p) g(p) = 4 ln p (ln p) 4. fgeleide nulstellen geeft: 3 4 4(ln p) 0 p p Uitwerken: 4 ( (ln ) 3 ) 0 (ln ) 3 p p dus ln p p De maximum lengte van B is: 4 () 4 = 3

99 00-I vraag 7 en 8 m Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt er tussenin. Je kunt op elk van de twee gegeven lijnen een punt tekenen zo dat deze punten samen met punt de hoekpunten zijn van een rechthoekige, gelijkbenige driehoek. Een dergelijke driehoek noemen we een geodriehoek. Er zijn verschillende gevallen mogelijk. In deze opgave bekijken we de situatie waarbij het hoekpunt van de rechte hoek van de geodriehoek rechts van punt op k ligt. Hieronder staat eerst een constructie. Daarna wordt aan je gevraagd te bewijzen dat het resultaat inderdaad een geodriehoek is. p k zijn de punten B en C getekend zo dat B BC en B = BC. Punt D is op m getekend met DC C. p k is vervolgens punt E getekend zo dat DE=45. B C E 45 o D k m k

100 00-I vraag 7 en 8 m Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt er tussenin. Je kunt op elk van de twee gegeven lijnen een punt tekenen zo dat deze punten samen met punt de hoekpunten zijn van een rechthoekige, gelijkbenige driehoek. Een dergelijke driehoek noemen we een geodriehoek. Er zijn verschillende gevallen mogelijk. In deze opgave bekijken we de situatie waarbij het hoekpunt van de rechte hoek van de geodriehoek rechts van punt op k ligt. Hieronder staat eerst een constructie. Daarna wordt aan je gevraagd te bewijzen dat het resultaat inderdaad een geodriehoek is. p k zijn de punten B en C getekend zo dat B BC en B = BC. Punt D is op m getekend met DC C. p k is vervolgens punt E getekend zo dat DE=45. B C E 45 o D k m k Vraag 7. Bewijs dat vierhoek CED een koordenvierhoek is.

101 00-I vraag 7 en 8 Vraag 7. Bewijs dat vierhoek CED een koordenvierhoek is. 45 o D m Gegeven: B BC en B = BC, DC C, DE = 45. Bewijs: B C E k BC is gelijkbenig en rechthoekig, dus CB =

102 00-I vraag 7 en 8 Vraag 7. Bewijs dat vierhoek CED een koordenvierhoek is. 45 o D m Gegeven: B BC en B = BC, DC C, DE = 45. Bewijs: B C E k BC is gelijkbenig en rechthoekig, dus CB = 45 o. BCE =

103 00-I vraag 7 en 8 Vraag 7. Bewijs dat vierhoek CED een koordenvierhoek is. 45 o D m Gegeven: B BC en B = BC, DC C, DE = 45. Bewijs: B C E k BC is gelijkbenig en rechthoekig, dus CB = 45 o. BCE = 80 o (gestrekte hoek) =

104 00-I vraag 7 en 8 Vraag 7. Bewijs dat vierhoek CED een koordenvierhoek is. 45 o D m Gegeven: B BC en B = BC, DC C, DE = 45. Bewijs: B C E k BC is gelijkbenig en rechthoekig, dus CB = 45 o. BCE = 80 o (gestrekte hoek) = 45 o + 90 o + DCE, dus DCE = en CE =.

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-I

wiskunde B vwo 2017-I wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2016-I

wiskunde B vwo 2016-I wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2015-II

wiskunde B vwo 2015-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: 14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

wiskunde B bezem vwo 2018-I

wiskunde B bezem vwo 2018-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-II

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-II Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

wiskunde B bezem vwo 2018-II

wiskunde B bezem vwo 2018-II wiskunde bezem vwo 08-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x)) 5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)

Nadere informatie

Examen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 08 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 5 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II ier tappen ij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 007 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde 1, ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek.

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. 200-II bij vraag Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. Een applet (animatie) hierover is te vinden op bijvoorbeeld: http://home.planet.nl/~hietb062/java3.htm#constantehoek De punten P op

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte

Nadere informatie

Een symmetrische gebroken functie

Een symmetrische gebroken functie Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen; het eamen bestaat uit 4 vragen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2016-II

wiskunde B vwo 2016-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2016 tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 unten te behalen. Voor

Nadere informatie

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan. Gevaar op zee Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 08 tijdvak maandag 4 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Vlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i 16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van de

Nadere informatie

Eerste en derdegraadsfunctie

Eerste en derdegraadsfunctie Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks 4 - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling

Nadere informatie

Paragraaf 11.0 : Voorkennis

Paragraaf 11.0 : Voorkennis Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 19 december Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 19 december Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Datum: 19 december 2018 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Tentamen Wiskunde B Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2014 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-I

wiskunde B vwo 2017-I Rakende grafieken? maximumscore 5 Er moet gelden f( x) = gx ( ) en f'x ( ) = g'x ( ) f' ( x ) = en g' ( x) = x x e Uit f'x ( ) = g'x ( ) volgt x = e ( x = e voldoet niet) f ( e ) = en ( e ) ( f ( e) =

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2. Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte

Nadere informatie

Oefenexamen 2 H1 t/m H13.2 uitwerkingen. A. Smit BSc

Oefenexamen 2 H1 t/m H13.2 uitwerkingen. A. Smit BSc Oefenexamen H t/m H3. uitwerkingen A. Smit BSc Een bewegend vierkant (naar methode Getal en Ruimte) De baan van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: ቐ x P t = sin t y P t

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur Examen HAVO 011 tijdvak woensdag juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2017-I

wiskunde B pilot vwo 2017-I wiskunde B pilot vwo 07-I Rakende grafieken? maimumscore Er moet gelden f( ) g ( ) en f' ( ) g' ( ) f' ( ) en g' ( ) e Uit f' ( ) g' ( ) volgt e ( e voldoet niet) f ( e ) en ( e ) ( f ( e) g( e) en f '

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek.

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek. Een spiraal In deze opgave bekijken we rechthoekige stroken van breedte en oneven lengte:, 3, 5,..., 99. Door deze stroken op een bepaalde manier aan elkaar te leggen, maken we een spiraal. In figuur is

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2017-II

wiskunde B pilot vwo 2017-II wiskunde B pilot vwo 017-II Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin(

Nadere informatie

OEFENPROEFWERK VWO B DEEL 3

OEFENPROEFWERK VWO B DEEL 3 Formules OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK GONIOMETRISCHE FORMULES cos( t u) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( A) sin( A)cos( A) sin( t u) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( t u) cos( t)cos( u) sin(

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correctievoorschrift VWO tijdvak wiskunde B Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vaksecifieke regels Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

De vergelijking van Antoine

De vergelijking van Antoine De vergelijking van Antoine Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 2019 tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b

Nadere informatie

Voorbeeldtentamen Wiskunde B

Voorbeeldtentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Datum: Najaar 2018 Tijd: 3 uur Aantal opgaven: 6 Voorbeeldtentamen Wiskunde B Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot II

Eindexamen vwo wiskunde B pilot II Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosu sintsinu cos( tu) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t11 sin t www - 1 - Een regenton

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 1330-1630 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 16 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen Voor elk

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2002-II

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2002-II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur Eamen VW 017 tijdvak woensdag 1 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 74 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde

Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Getal & Ruimte editie 11 Goniometrie in rechthoekige driehoeken Stap 1: Zoek de rechthoekige driehoeken Figuur 1: Ga na dat in dit voorbeeld alleen ADC en DBC

Nadere informatie