OEFENTOETS VWO B DEEL 3

Transcriptie

1 OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 MEETKUNDE MET VECTOREN OPGAVE Gegeven zijn de vectoren a, b en c die vanuit O de hoekpunten van driehoek ABC aanwijzen. Het punt P is het midden van AB, het punt Q is het midden van BC en het punt R is het midden van AC. Stel met de vectoren a, b en c een vectorvoorstelling op van de lijn a k door C en P b l door A en het midden van BQ c m door B en het midden van QR. A R C O P Q B OPGAVE Gegeven zijn de punten A (, 3) en B (6,). 5p a Stel vergelijkingen op van de lijnen k en k met richtingscoëfficiënt waarvoor geldt d( A, k) d( B, k). 6p b Stel vergelijkingen op van de lijnen l en l die door A gaan en waarvoor geldt d( B, l ) d( B, l ). OPGAVE 3 Gegeven is de cirkel c: y 4 6y 8 0. De cirkel snijdt de y-as in de punten A en B met y y. 6p a Stel een vergelijking op van de lijn k die c raakt in A. 5p b Stel vergelijkingen op van de lijnen l en l die door het punt C (3, 0) gaan en c raken. A B OPGAVE 4 Gegeven zijn de lijnen k: 3 y λ en l:5 3y 5. 4p a Bereken in graden in één decimaal nauwkeurig de hoek tussen k en l. 3p a De lijn m gaat door O en staat loodrecht op l. Bereken de coördinaten van het snijpunt S van k en m. NOORDHOFF 06 OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0

2 OPGAVE 5 Gegeven is het parallellogram OABC met Aa (, 0) en B( b, c ). Het punt M is het midden van BC. Op de zijden AB en BC zijn de vierkanten ABPQ en MBRS geplaatst. Zie de figuur. y S R C M N B(b, c) P O A(a, 0) 7p Druk de coördinaten van het midden N van PR uit in a, b en c. Q OPGAVE 6 De baan van een punt P is gegeven door de y bewegingsvergelijkingen ( t) t t 3 y( t) t t 5t 6 D De baan snijdt de -as in de punten A(, 0) en B (4, 0) en de y-as in de punten C en D. Zie de A figuur. O B 6p a Onderzoek of de raaklijn aan de baan in het punt D horizontaal is. 5p b Stel een vergelijking op van de lijn k die de baan raakt in het punt A. 5p c Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt B en bereken de hoek φ waaronder dit gebeurt. C 3p d Bereken eact de baanversnelling in het punt C. 4p e Bereken in drie decimalen nauwkeurig de minimale baansnelheid van P. 5p f De lijn y 6 snijdt de baan in de punten E, F en G met. Bereken eact de lengte van het lijnstuk FG. E F G NOORDHOFF 06 OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0

3 Scorevoorstel oefenproefwerk vwo B deel 3 Hoofdstuk 0 Meetkunde met vectoren Opgave totaal 6p a k: c ( p c) met p ( a b) y p k: c ( a b c) p y 3 b ( ), dus het midden van geeft ( ( )) 4 q b c M BQ m b b c b c p 3 l: a ( m a) a ( b c a) p y 4 c q ( b c) en r ( a c), dus het midden N van QR geeft n ( ( b c) ( a c)) a b c p m: b ( n b) b ( 4 a 4 b c) y p Opgave totaal p a stel k: y b ofwel y b 0 p 6 b 6 b d( A, k) d( B, k) geeft 5 5 p b 5 b 4 geeft b 5 4b 8 b 5 4b 8 p b 3 6b 3, dus b 6 b p k: y 6 en k: y p b l: y a b door A(, 3), dus b 3 a p l: y a 3 a ofwel a y 3 a 0 p 6a 3 a 5a d( B, l) geeft, dus a a 5a a geeft 5a 0a 4 4a 4 p a 0a 0 ofwel a(a 0) 0, dus a 0 a p 0 l : y 3 en l : y 3 p 0 0 p NOORDHOFF 06 OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 3

4 Opgave 3 totaal p a 4 y 6y 8 0 geeft ( ) ( y 3) 5 p c heeft middelpunt M(, 3) en straal 5 p c snijden met de y-as geeft ( y 3) p y 3 y 3, dus y 4 y en A(0, ) p 3 lijn door M en A heeft rc, dus rck 0 p k: y b door A(0, ), dus k: y p b l: y a b door C(3, 0), dus b 3a en dit geeft l: y a 3a ofwel a y 3a 0 p a33a d( M, l) r geeft a 5 p a a a a a geeft , dus 4a 6a 4 0 ofwel a 3a 0 p D 5, dus a a 4 4 p l : y en l : y 6 p Opgave 4 totaal 7p 5 3 nl, dus rl p 3 5 a 3 3 cos( ( k, l)) ( kl, ) 77,5 p nl 5 3, dus nm, dus m:3 5y p substitutie van 3en y in 3 5y 0 geeft 3( 3 ) 5( ) 0 ofwel p 4 geeft, dus S(, ) p b NOORDHOFF 06 OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 4

5 Opgave 5 totaal 7p p b BP b BAL p a b c BA a b, dus BAL p c a b b c b c c a b a b c p r b BM R p a 0 b 0 b BM, dus BM R en r 0 a c a a c p b c b b c n ( p r) a b c a c a b c b c 3 n 3, dus N( b c, 4 a b c) 4a b c p p p Opgave 6 totaal 8p a ( t) 0 geeft t t 0 ofwel ( t )( t ) 0, dus t t p t y C 3 geeft 56 8, dus (0, 8) p t y D 3 geeft ( ) ( ) 5 6 4, dus (0, 4) p 3 y( t) t t 5t 6 geeft y'( t) 3t 4t 5 p y'( ) 3 ( ) 4 5 p y'( ) 0, dus de raaklijn in Dis niet horizontaal p b ( t) geeft t t ofwel t t 0 p t( t ) 0 geeft t 0t t 0 geeft het punt (, 6) en t geeft het punt A(, 0) p ( t) t t geeft '( t) t p stel k: a by c '( ) 6 rk, dus nk y '( ) p k: 6 y c door A(, 0) geeft c, dus k: 6 y p c 4 geeft t t 4 ofwel t t 6 0 en dit geeft ( t )( t 3) 0, dus t t 3 p t 3 geeft y en 3 t 3 geeft y ( 3) ( 3) p t geeft het punt (4, 0) en t 3 geeft het punt (4, 0), dus de baan snijdt zichzelf in het punt B(4, 0) p '() 5 t geeft v() y '() '( 3) 3 5 t 3 geeft v( 3) y '( 3) 3 ( 3) p cos( ), dus 45 p NOORDHOFF 06 OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 5

6 d t t t r( t) 3 geeft v( t) en a( t) t t 5t 6 3t 4t 5 6t 4 3 v() a() ab () ( 3) v() p e f v( t) ( '( t)) ( y '( t)) (t ) (3t 4t 5) p invoeren van y ( ) (3 4 5) p de optie minimum geeft = 0,77... en y =, p de minimale baansnelheid is,504 p 3 3 y 6 geeft t t 5t 6 6, dus t t 5t 0 p t( t t 5) 0 geeft t 0 t 6 t 6 p t 0 geeft het punt (, 6), t 6 geeft het punt (4 6, 6) en t 6 geeft het punt (4 6, 6) dus F(4 6, 6) en G(4 6, 6) en FG 4 6 (4 6) 6 p NOORDHOFF 06 OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 6