Oefenexamen 2 H1 t/m H13.2 uitwerkingen. A. Smit BSc

Transcriptie

1

2 Oefenexamen H t/m H3. uitwerkingen A. Smit BSc

3 Een bewegend vierkant (naar methode Getal en Ruimte) De baan van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: ቐ x P t = sin t y P t = sin(t 4 π) met 3 4 π t 3 4 π Figuur In Figuur is de baan van P weergegeven. Het lijnstuk PQ met Q(,0) is een zijde van het vierkant PQRS zoals in de figuur getekend. Het punt M is het middelpunt van het vierkant. 7p. De baan van M snijdt de y-as in de punten A en B. Bereken de lengte van het lijnstuk AB. m = Ԧq + QP + QP linksom Ԧq = QP = QP linksom = 0 sin t + sin(t 4 π) sin(t 4 π) sin t + m = ,5sin(t) 0,5sin(t 4 π) 0,5 sin t π + 0,5sin t + 0,5 4 x m t = 0,5 sin t 0,5 sin t π 0,5 4 y m t = 0,5sin t + 0,5 sin t π + 0,5 4 Linksom draaien

4 x m t = 0,5 sin t 0,5 sin t π 0,5 4 y m t = 0,5sin t + 0,5 sin t π + 0,5 4 Snijpunten met de y-as: x = 0 Voer in: y = 0,5 sin x 0,5 sin x π 0,5 4 y = 0 Venster [ 3 π, 3 π] [, ] 4 4 Schets maken en tekenen met potlood en liniaal. CALC INTERSECT geeft x 3,93 y = 0 x 4,45 y = 0 t 3,93 geeft y t 4,45 geeft y 0,5 Dus lengte AB 0,5 0,5

5 Een bewegend vierkant (naar methode Getal en Ruimte) De baan van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: ቐ x P t = sin t y P t = sin(t 4 π) met 3 4 π t 3 4 π GR Minimum Afgeleide =0 Figuur In Figuur is de baan van P weergegeven. Het lijnstuk PQ met Q(,0) is een zijde van het vierkant PQRS zoals in de figuur getekend. Het punt M is het middelpunt van het vierkant. 3p. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de coördinaten van P waarvoor de oppervlakte van vierkant PQRS minimaal is. Opp PQRS = PQ = sin t + + sin (t 4 π) Voer in: y = sin x + + sin (x 4 π) Venster [ 3 π, 3 π] [, ] 4 4 Schets maken en tekenen met potlood en liniaal. t,7 geeft P( 0,75; 0,94) t 5,4 geeft P( 0,75; 0,94) CALC MINIMUM geeft x,776 y 0,94 x 5,364 y 0,94

6 Raaklijn door een perforatie (naar pilot examen WiB 0-II) De functie f wordt gegeven door f x = x 4 x 3 +x met x en x 0. De grafiek van f heeft een perforatie. In Figuur is de grafiek van f met deze perforatie getekend. De raaklijn aan de grafiek in het snijpunt van de grafiek met de x-as gaat door de perforatie. Figuur Raaklijn: Stel k: y = ax + b 7p 3. Toon dit aan met behulp van differentiëren. Stel: k: y = ax + b Snijpunt x-as: f x = 0 x 4 = 0 x = x = Snijpunt met x-as (,0) f x = x x x x 4 = 4 x x 3 k: y = 4 x Invullen (, ) geeft = 4 voldoet voldoet niet f x = x 4 (x + )(x ) x 3 + x = x (x + ) a = f = 4 = x x met x x 0 = Klopt, dus perforatie op k x lim x x = De perforatie zit bij (-,-)

7 6p Maxima en minima (naar examen WiB 08-I) De functie f wordt gegeven door f x = 6 sin x cos(x). De grafiek van f heeft oneindig veel toppen. 4. Bereken exact de x-coördinaten van alle toppen van de grafiek van f. Algebraïsch Dus geen GR! f x = 0 f x = 6 cos x + sin(x) 6 cos x + sin x = 0 6 cos x + 4 sin x cos(x) = 0 Dubbele hoek formule (formuleblad) sin a = sin a cos a afgeleide cos(x) sin(x) sin(x) cos(x) cos x (3 + sin x ) = 0 cos x = 0 sin x = x = π + kπ K. N.

8 Maxima en minima (naar examen WiB 08-I) De functie f wordt gegeven door f x = 6 sin x cos(x). De grafiek van f heeft oneindig veel toppen. Algebraïsch Een van de toppen is het punt P( π, 5). De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de verticale lijn door P. 5p 5. Toon dit aan. Formule lijnsymmetrie in (x = a): f a p = f a + p Formule lijnsymmetrie in (x = π): f π p = f π + p f π p = 6 sin π p cos π p = 6 sin π p cos 3π p f π + p = 6 sin π + p cos π + p = 6 sin π + p cos 3π + p

9 Formule lijnsymmetrie in (x = π): f π p = f π + p f π p = 6 sin π p cos π p = 6 sin π p cos 3π p = 6 sin π p cos π p sin a + π = sin(a) = 6 sin π + p cos π + p sin a = sin( a) = 6 sin π + p cos π + p sin a = sin(a + π) = 6 sin π + p cos 3π + p cos a = cos(a + 4π) f π + p = 6 sin π + p cos π + p = 6 sin π + p cos 3π + p Dus lijnsymmetrisch is x = π

10 Formule lijnsymmetrie in (x = π): f π p = f π + p f π p = 6 sin π p cos π p = 6 sin π p cos 3π p sin a b = sin a cos b cos a sin(b) cos a b = cos a cos b + sin a sin(b) = 6 sin π cos p cos π sin p cos 3π cos p + sin 3π sin p = 6 cos p 0 sin p cos p + 0 sin p = 6 cos p + cos(p) f π + p = 6 sin π + p cos π + p = 6 sin π + p cos 3π + p sin a + b = sin a cos b + cos a sin(b) cos a + b = cos(a) cos b sin a sin(b) = 6 sin π cos p + cos π sin p cos 3π cos p sin 3π sin p = 6 cos p + 0 sin p cos p 0 sin p = 6 cos p + cos(p) Dus lijnsymmetrisch is x = π

11 Maxima en minima (naar examen WiB 08-I) De functie f wordt gegeven door f x = 6 sin x cos(x). De grafiek van f heeft oneindig veel toppen. Een van de toppen is het punt P( π, 5). De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de verticale lijn door P. Boven P wordt een horizontaal lijnstuk van lengte geplaatst, waarvan de eindpunten op de grafiek van f liggen. Zie Figuur 3. Figuur 3 Zelf kiezen GR op einde sws 4p 6. Bereken de afstand van P tot het horizontale lijnstuk. Rond je eindantwoord af op twee decimalen. Hoogte van het lijnstuk zit bij f( π ) (of f( π + )) f π 3,657 Dus de gevraagde afstand is gelijk aan 5 3,657,34.

12 Rakende grafieken (naar examen WiB 07-I) De functie f en g zijn gegeven door: f x = ln(x) en g x = e x Algebraïsch Een gemeenschappelijk punt (= raakpunt) Afgeleide in dat punt gelijk 5p 7. Ga na met exacte berekening of de grafieken van f en g elkaar raken. Raken in punt A(x A, y A ), dus f x A = g x A f x A = g (x A ) f x = x g x = e x f x = g(x) ln(x) = e x f x = g (x) x = e x x = e x = e Algebraïsch niet op te lossen voldoet voldoet niet f e = ln e = g e = e e = Dus de grafieken raken elkaar.

13 Anderhalf keer zo groot (naar examen WiB 08-II) De functie f is gegeven door f x = x. De raaklijn aan de grafiek van f in een punt P(p, p ) met p > 0 snijdt de x-as in een punt A. Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f en de lijn OP. Zie Figuur 4. Figuur 4 b is snijpunt y-as l 8p 8. Bewijs dat de oppervlakte van driehoek OAP anderhalf keer zo groot is als de oppervlakte V. Stel: k: y = ax + b Door P(p, p ) f x = x p = p p + b p = p + b b = p k a = f p = p Dus k: y = px p Punt A: px p = 0 Stel: l: y = ax + b x A = p Door P(p, p ) en O a = Δy Δx = p p = p Dus l: y = px Dus A( p, 0) b = 0

14 Opp OAP = p p Figuur 4 = 4 p3 l: y = px p Opp(V) = න 0 px x dx p = px 3 x3 0 = p3 3 p3 (0 0) = 6 p3 ( p, 0) k: y = px p (dus de oppervlakte van V is,5x zo groot als de oppervlakte van driehoek OAP.)

15 Brandwerendheid van Peter (naar examen WiB 07-I) Dhr. Smit heeft een model gemaakt van de luchttemperatuur als de stoel van Peter vlam vat tijdens het practicum met theelichtjes. Deze temperatuur wordt beschreven met het volgende model: T peter t = e ln t +6 ln t 9 Hierin is T peter de temperatuur in C en t de tijd in minuten vanaf het begin van de brand. De bijbehorende grafiek is weergegeven in Figuur 5. Figuur 5 is te zien dat de temperatuur een maximum bereikt. Figuur 5 Algebraïsch f x = 0 5p 9. Bereken exact deze maximale temperatuur. T peter t = 050e ln t +6 ln t 9 T peter t = 0 ln t + 6 t t = 0 ln t + 6 = 0 ln t = 3 ln t t + 6 t Maximale temperatuur: T = e = e 0 = = 070 C

16 50/50 punten gehaald (Klaar )