Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen

Transcriptie

1 Kern Meetkundige plaatsen a Zie afbeelding rechts. b In het niet-gearceerde deel. c Op de middenparallel. l m 2 a Teken lijn m en lijn n, beide evenwijdig aan l en op een afstand van 3 cm van l. b Punten P met het kenmerk d( P, m) = d( P, n) 3 a 4 a M b irkel met middelpunt M en straal 2 irkel met middelpunt M en straal 4 c Op de middelloodlijn van lijnstuk. Noordhoff Uitgevers bv

2 5 a Even ver van als van middelloodlijn van lijnstuk. P M b Punt P is het punt op dat even ver van als van af ligt. c Even ver van als van middelloodlijn van lijnstuk. Het snijpunt M van beide middelloodlijnen is het gevraagde punt. 6 a Zie afbeelding rechts. Middelloodlijn van lijnstuk, getekend blauw. b Teken de cirkel met straal 3 en middelpunt. Teken de cirkel met straal 3 en middelpunt. De cirkels snijden in 2 punten, dat zijn de gevraagde punten P. c Teken de cirkel met straal 3 en middelpunt. P Q Q 2 P 2 in Teken de middenparallel van l en m. middenparallel snijdt de cirkel op twee plaatsen, dat zijn de gevraagde punten Q. De Noordhoff Uitgevers bv 2

3 Kern 2 Middelloodlijnen 7 a d( P, ) = d( P, ) b d( P, ) = d( P, ) c d( P, ) = d( P, ) = d( P, ) d Omdat voor alle punten van m geldt dat d( P, ) = d( P, ) 8 a R S P Q b S ligt op de middelloodlijn, dus geldt d( SP, ) = d( SQ, ) c ΔRPQ ~ Δ SMQ, want P = M = 90 en RQP = SQM, dat is geval hh. Omdat geldt MQ = PQ volgt dat SQ = RQ, dus is S het midden van RQ. 2 2 d d( SQ, ) = d( SR, ) (S is het midden van QR) d( SQ, ) = d( SP, ) (S ligt op de middelloodlijn) S is het snijpunt van de drie middelloodlijnen omdat d( SQ, ) = d( SR, ) = d( SP, ) PS = SQ = RQ e 2 9 a S S is het snijpunt van de drie middelloodlijnen. bc De cirkel met S als middelpunt. Er is slechts één mogelijkheid. Noordhoff Uitgevers bv 3

4 0 a M is het midden van de schuine zijde. Het lijnstuk dat het hoekpunt van de rechte hoek verbindt met M is gelijk aan de helft van de schuine zijde, dus geldt d( M, ) = d( M, ) = d( M, ) = straal van de cirkel. b De schuine zijde is 7 (Pythagoras). De straal is 8 2 a M b Deze driehoeken hebben een stompe hoek. c ls de driehoek scherphoekig is. 2 a M b Δ is gelijkbenig, dus is de middelloodlijn tevens hoogtelijn en gaat door. c Zie tekening. d De middelloodlijn van deelt in twee gelijke hoeken van 60. De straal is M = = 8. Noordhoff Uitgevers bv 4

5 3 Noordhoff Uitgevers bv 5

6 Kern 3 Deellijnen 4 ab m l c Op de deellijn van hoek. 5 S M a De punten die even ver van zijde als van zijde afliggen, liggen op de deellijn van hoek. b Het snijpunt van de deellijn uit a en is het punt S. c Het snijpunt van de deellijnen van,, en, punt M. 6 Omdat het verlengde van PQ bij Q een gestrekte hoek vormt, geldt o+ o + + = 80 Hieruit volgt o + = 90, dus de deellijnen staan loodrecht op elkaar. 7 a d( P, ) = d( P, ) b d( P, ) = d( P, ) c d( P, ) = d( P, ) = d( P, ) d Omdat d( P, ) = d( P, ) 8 Voor alle punten P op k geldt d( P, ) = d( P, ) Voor alle punten P op l geldt d( P, ) = d( P, ) Voor het snijpunt S van k en l geldt dus d( S, ) = d( S, ) = d( S, ) Voor alle punten P op m geldt dat d( P, ) = d( P, ), dus S ligt op m. Noordhoff Uitgevers bv 6

7 9 o+ o + + = 80 (lijn m vormt een gestrekte hoek) Daaruit volgt dat + = 90 () l x x m = 80 (lijn l vormt een gestrekte hoek) Daaruit volgt dat + = 90 (2) ombineer () en (2), je vindt dan = 80, dus de twee verticale deellijnen vormen een bissectricepaar en bovendien = (3) = 80 (lijn m vormt een gestrekte hoek) Daaruit volgt dat + = 90 (4) ombineer dit met (2), dan vind je dat de twee horizontale deellijnen ook een bissectricepaar vormen. 20 a d( I, ) = d( I, ) = d( I, ) De afstand van I tot de zijden wordt loodrecht gemeten, dus is gelijk aan de lengte van de loodlijnstukken. bc Er is slechts één zo n cirkel. Het middelpunt van de cirkel is punt I, de straal is de lengte van de loodlijnstukken. I 2 a I c b Voor de andere twee aangeschreven cirkels ga je op dezelfde manier te werk. Verleng aan de kant van en aan de kant van. Teken nu van de twee buitenhoeken die zo ontstaan de deellijnen. Het snijpunt van deze twee lijnen is het middelpunt van de aangeschreven cirkel (de cirkel raakt aan ). naloog vind je de aangeschreven cirkel die raakt aan. Noordhoff Uitgevers bv 7

8 22 a D b Ja, de diagonalen van een ruit delen de ruit in vier congruente driehoeken, met alle vier dus dezelfde hoogte. Het middelpunt van de cirkel is het snijpunt van de diagonalen. De straal van de ingeschreven cirkel is gelijk aan de lengte van de hoogtelijnen van de driehoeken vanuit het snijpunt van de diagonalen. c Nee, alleen als de diagonalen even lang zijn, en de ruit dus ook een vierkant is. Noordhoff Uitgevers bv 8

9 Kern 4 Hoogtelijnen en zwaartelijnen 23 a OΔ = D = 6 4= b De hoogte van ΔM is 4, de basis is M = 3 O ΔM = 4 3= 6 2 Ook geldt O Δ M = 6 c Omdat de hoogte van Δ gemeten wordt vanuit en loodrecht op. Omdat M de driehoek verdeelt in twee even grote, en dus even zware driehoeken. 24 a R R P Q P Q U U S T S T Noordhoff Uitgevers bv 9

10 b De hoogtelijnen snijden elkaar steeds in één punt. ij een stomphoekige driehoek valt dit punt buiten de driehoek. ij een rechthoekige driehoek valt dit punt samen met de rechte hoek. De zwaartelijnen snijden elkaar steeds in één punt. 25 a Zie afbeelding in boek. b = Q en = P Q = P c // PQ en F F PQ d Omdat D net als F een hoogtelijn is en QR // net als // PQ e De middelloodlijnen van ΔPQR gaan door één punt. De middelloodlijnen van Δ PQR zijn de hoogtelijnen van Δ Daaruit volgt dat de hoogtelijnen van Δ door één punt gaan. 26 a b Teken door de hoekpunten van stap het bewijs van opgave 25. Δ lijnen evenwijdig met de overstaande zijden. Volg stap voor 27 a - b Δ ~ Δ FD (geval zhz) : FD = : D = : F = 2 : ΔZ ~ Δ DZF (geval hh) Z : DZ = Z : ZF = : DF = 2 : onclusie: zwaartelijnen D en F snijden elkaar in één punt. Daarbij verdelen ze elkaar in stukken die zich verhouden als 2 : c naloog d Z ligt op 2 van F (vanuit ) 3 Dat geldt zowel bij het snijpunt van F en D als bij het snijpunt van F en E. Noordhoff Uitgevers bv 0

11 28 a Vermoeden: OΔZ : OΔ = :3 ewijs: ZF is zwaartelijn van Δ Z OΔFZ = OΔ FZ = O ZD is zwaartelijn van Δ Z OΔDZ = OΔ DZ = O2 ZE is zwaartelijn van Δ Z OΔEZ = OΔ E = O3 Omdat F zwaartelijn is van Δ, geldt O + O3 + O3 = O + O2 + O2 O2 = O3 Omdat D zwaartlijn is van Δ geldt O + O + O2 = O3 + O3 + O2 O = O3 Nu we weten dat O = O2 = O3 = O 6 Δ volgt OΔZ : OΔ = : 3 b Vermoeden: OFZE : O Δ = : 3 ewijs: OFZE : OΔ = ( O + O2): OΔ = O : :3 3 Δ OΔ = Noordhoff Uitgevers bv