Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen"

Christiana van de Brink
6 jaren geleden
Aantal bezoeken:

We doen dat aan de hand van een voorbeeld. Voorbeeld1 Neem de vectoren v = ( 1 ) en w = (3 1 ) a. Bereken en teken de lengte van v. b.

1 Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Les 1 : Vectoren tekenen Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren tekenen en berekenen. We doen dat aan de hand van een voorbeeld. Voorbeeld1 Neem de vectoren v = ( 1 ) en w = (3 1 ) a. Bereken en teken de lengte van v. b. Teken en bereken v + w en v +w c. Teken en bereken v - w. Oplossing1 a. Lengte van vector x x = a + b = (i) Tekenen geeft (ii) x = 1 + = 5 b. (i) Tekenen geeft (ii) v + w = ( 4 1 ) en v + w =(1 ) + (3 1 ) = (7 4 ) c. (i) Tekenen geeft (ii) v - w =( 1 ) (3 1 ) = ( 1 ) v -w w

2 Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina van 13 Les : Vectorvoorstelling Definities bij een vectorvoorstelling: Vectorvoorstelling = { vergelijking van de lijn in vectoren uitgedrukt } Vectorvoorstelling = startvector + α richtingsvector Startvector = b Richtingsvector = a b Voorbeeld Neem de vectoren v = ( 1 ) en w = (3 1 ) a. Stel een vergelijking op van de lijn l door v en w (= vectorvoorstelling van l ) b. Bepaal het snijpunt met de y-as van lijn l. Oplossing a. Startvector = w = ( 3 ) en Richtingsvector = v w = ( 1 3 ) Vectorvoorstelling: l = w + α (v w) = ( 3 α ) + α ( ) = ( α ) b. Snijpunt y-as, dan is de x = 0 ( 3 α 1 3α ) = (0 ) 3 - α = 0 α = 1,5 l = ( ) = ( )

3 Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 3 van 13 Paragraaf 10. : Afstanden bij Lijnen en Cirkels Les 1 Afstand punt tot lijn Definitie Afstand punt tot lijn Gegeven punt P=(x, y) en lijn k : ax + by = c. Dan geldt dat de afstand van punt P tot lijn k geldt : d(p, k) = ax p+by p c a +b Voorbeeld 1 Gegeven zijn lijn k : 3x +4y = 5 en het punt P = (, 4). a. Bepaal de afstand van lijn k tot P. b. Bepaal alle lijnen die op afstand van lijn k liggen. c. Bepaal alle lijnen die door P gaan en op afstand van punt Q = (-1, 5) liggen. Oplossing a. d(p,k) = 3, x 4y 5 3x 4y 5 b. d(k,l) = x 4y x + 4y 5 = 10 v 3x + 4y 5 = -10 3x + 4y = 15 v 3x + 4y = -5

4 Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 4 van 13 c. Eerst een plaatje. Noem de lijn door P lijn m : (1) De vergelijking van lijn m is y = ax + b. Je weet dat P = (, 4) erop ligt: 4 = a + b b = 4 a Dus y = ax + 4 a ax y + 4 a = 0 () De afstand van Q tot m bepalen d(q, m) = a a = a + ( 1) 3a 1 a + 1 = Dit geeft : 3a 1 = a + 1 9a + 6a + 1 = 4(a + 1) 9a + 6a + 1 = 4a + 4 5a + 6a 3 = 0 Oplossen : D = = 96 D = 96 = 4 6 a = = 0,6 + 0,4 6 of a = 0,6 0,4 6 (3) Vul de a in in de vergelijking y = ax + 4 a : y = ( 0,6 + 0,4 6)x + 4 ( 0,6 + 0,4 6) y = ( 0,6 + 0,4 6)x + 5, 0,8 6 of y = ( 0,6 0,4 6)x + 4 ( 0,6 0,4 6) y = ( 0,6 0,4 6)x + 5, + 0,8 6

Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 5 van 13 Les Raaklijnen aan cirkels Stappenplan raaklijn k aan cirkel bepalen (1) Bepaal de

(3) Los de vergelijking d(m, k) = r op en schrijf de raaklijn op Voorbeeld 1 Gegeven is de cirkel met vergelijking de x + y + x - 3y = 8. a.

Eerst de cirkelvergelijking omschrijven (1) (x + 1) 1 + (y 1 1 ) 1 4 = 8 (x + 1) + (y 1 1 ) = 11 1 = 4 r M = ( 1,1 1 ) en r = 45 4 () y = ax + b en

5 Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 5 van 13 Les Raaklijnen aan cirkels Stappenplan raaklijn k aan cirkel bepalen (1) Bepaal de straal r en het middelpunt M van de cirkel. () Bepaal de vergelijking van raaklijn k. (3) Los de vergelijking d(m, k) = r op en schrijf de raaklijn op Voorbeeld 1 Gegeven is de cirkel met vergelijking de x + y + x - 3y = 8. a. Bepaal de vergelijking van de raaklijnen door (, 3). b. Bepaal de vergelijking van de raaklijnen als de rc =. Oplossing 1 a. Eerst de cirkelvergelijking omschrijven (1) (x + 1) 1 + (y 1 1 ) 1 4 = 8 (x + 1) + (y 1 1 ) = 11 1 = 4 r M = ( 1,1 1 ) en r = 45 4 () y = ax + b en (,3) 3 = a + b b = 3 a Dus lijn k heeft vergelijking y = ax + 3 a y ax 3 + a = 0 (3) d(m, k) = 11 a 1 3+a = 45 ( a) +1 4 Dit geeft : a = 45 4 a + 1 9a 9a = (a + 1) 1 4 a + 9a + 9 = 0 a + 4a + 4 = 0 (a + ) = 0 a = Dit geeft : y = x + 7

6 Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 6 van 13 b. De cirkelvergelijking weet je al (1) (x + 1) + (y 1 1 ) = 11 1 = 4 r M = ( 1,1 1 ) en r = 45 4 () y = x + b y x b = 0 (3) d(m, k) = 11 1 b ( ) +1 = 45 4 Dit geeft : 3 1 b = b = v 3 1 b = b = 7 1 v 3 1 b = 7 1 b = 4 v b = 11 b = 4 v b = 11 (4) y = x + 11 v y = x 4 Voorbeeld : Vraag 30a voormaken

7 Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 7 van 13 Paragraaf 10.3 : Vectoren en Hoeken Les 1 : Inproduct en Hoeken Definities Het inproduct van de vectoren a = ( a 1 a ) en b = ( b 1 b ) is gedefinieerd als a b = a 1 b 1 + a b De hoek α tussen twee vectoren a en b is gedefinieerd als cos α = a b met 0 α 90 a b Voorbeeld 1 Gegeven zijn de vectoren a = ( 3 ) en b = (5 1 ) a. Bereken het inproduct van a en b. b. Bereken de hoek tussen de vectoren a en b. Maak eerst een schets. Gegeven zijn ook de lijnen l 1 : ( x y ) = (0 3 ) + θ (1 1 ) en l 1 : ( x y ) = (8 9 ) + μ ( 3 ) c. Bereken de hoek tussen de lijnen l1 en l. Oplossing 1 a. a b = = 17 b. a = 3 + = 13 en b = = 6 cos α = α = a b a b = = 0,946 c. De hoek tussen de twee lijnen wordt bepaald door de richtingsvectoren!!! r 1 r = = 1 r 1 = = en r = + ( 3) = 13 cos α = α = 101 a b a b = 1 13 = 0,196 Omdat α > 90 geldt dat de hoek = 180 α = = 79

8 Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 8 van 13 Les : Normaalvector en vergelijking van een lijn Definities Als een vector a loodrecht staat op een vector b dan geldt dat α = 90 graden cos(α) = cos(90) = 0 cos α = a b a b = 0 a b = 0 Dus het inproduct is nul als de vectoren loodrecht op elkaar staan. Een Normaalvector n van vector a = { een vector die loodrecht staat op a } Dat betekent n a n a = 0 Voorbeeld 1 Gegeven zijn de vectoren a = ( 3 ) en b = (5 1 ). a. Bepaal een vergelijking van deze lijn k in vectoren. b. Bepaal de vergelijking van de lijn k in de vorm ax + by = c c. Bepaal de normaalvector van deze lijn k. Wat valt je op? d. Bepaal een andere manier om de lijn ax + by = c op te stellen. Gegeven is ook lijn l 1 : ( x y ) = (7 9 ) + μ ( 3 ) e. Bepaal het snijpunt van deze twee lijnen Oplossing 1 a. r = a b = ( ) = ( 1 ) en s = (5 1 ) lijn l 1 : ( x y ) = (5 ) + θ ( 1 1 ) b. rc = Δy Δx = = 1 = 1 y = 1 x + b en punt (5,1) 1 = b b = 3 1 Dus y = 1 x x + y = 3 1 x + y = 7 oftewel oftewel

9 Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 9 van 13 c. Normaalvector staat loodrecht op de richtingsvector, dus n r = 0 Dus n r = n 1 + n 1 = 0 Dus n = ( 1 ) (of een veelvoud daarvan) d. (1) n = ( 1 ) dus ax + by = c x + y = c () Punt (5,1) = c c = 7 (3) Dus x + y = 7 e. x = 7 + μ en y = 9 3μ. Deze kun je invullen in x + y = 7. Dit geeft : 7 + μ + (9 3μ) = μ μ = 7 4μ = 18 μ = 4 1 Dit geeft ( x y ) = (7 9 ) ( 3 ) = ( ) = Snijpunt S

10 Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 10 van 13 Paragraaf 10.4 : Vectoren en Rotaties Definitie 1. De richtingsvector als je loopt van A naar B is : r = eindpunt startpunt = B A. Als de richtingsvector r = ( a ) dan is : b r = ( b ) de vector die 90 graden naar links draait a r = ( b ) de vector die 90 graden naar rechts draait a Voorbeeld 1 Gegeven is de vector AB = B A = ( 3 4 ) ( 1 ) = (1 3 ) Bepaal de vectoren ABR en ABL en leg uit wat dit voor de draaiingshoek betekent. Oplossing 1 (1) Draai 90 graden naar rechts : AB R = B R A = ( 5 0 ) ( 1 ) = ( 3 1 ) = ( b a ) () Draai 90 graden naar links : AB L = B L A = ( 1 ) ( 1 ) = ( 3 1 ) = ( b a )

11 Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 11 van 13 Voorbeeld Gegeven is het ABCD, met D = (4,0) en B = (5,5). a. Bereken de coördinaten van punt C. De lijn BE is de diagonaal van vierkant BPEQ met yq > 5. Punt E = (8,6) b. Bepaal de lengte van de zijde van vierkant BPEQ. Oplossing a. Aanpak : Bepaal eerst het midden M en bepaal daarna de richting vanuit punt M om in C te komen. 1 (1) M = 1 ((5 5 ) + (4 0 )) = (4 1 ) () Bepaal de richting van BD : r BD = B D = ( 5 5 ) (4 0 ) = (1 5 ) (3) r BD r AC r AC = ( 5 b ) { je wil naar rechts draaien dus r = ( 1 a ) } (4) C = M + 1 r AC = ( ) + 1 ( 5 1 ) = (7 ) LET OP : Als je bij r AC = ( 5 1 ) moet je om C te berekenen M 1 r AC doen!!!! b. Aanpak : Bepaal eerst het midden N en Q waarmee je de lengte kunt berekenen. 1 (1) N = 1 ((5 5 ) + (8 6 )) = (6 5 1 ) () Bepaal de richting van BE : r BE = E B = ( 8 6 ) (5 5 ) = (3 1 ) (3) r BD r PQ r PQ = ( 1 ) { je wil naar links draaien dus r = ( b 3 a ) } (4) Q = N + 1 r AC = ( ) + 1 ( 1 3 ) = (6 7 ) (5) QE = (6 5) + (7 5) = 5 Opm : Dit had ook véél sneller gekund QE = BE = (6 5) +(8 5) = 10 = 5

12 Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 10.6 : Snelheid en Versnelling Definities (Baan)snelheid bij Krommen : v = (x (t)) + (y (t)) Verticale raaklijn : y (t) = 0 { en x (t) 0 } Horizontale raaklijn : x (t) = 0 { en y (t) 0 } Baanversnelling { ab(t) } : a b (t) = v a v met v = ( x (t) ) en a = (x (t) y (t) y (t) ) Voorbeeld 1 Gegeven is de kromme { x = t 4 y = 3t t. a. Bereken de snijpunten met de y-as. b. Bereken de snelheid op t = 1. c. Bereken de punten waar de raaklijn verticaal is. d. Bereken de minimale baansnelheid in decimalen. e. Bereken de baanversnelling op t = 3 Oplossing 1 a. x = 0 t 4 = 0 t = v t = t = y = 3 = dus (0, ) t = y = 3 ( ) = 10 dus (0, 10) x (t) = t b. { y (t) = 3 t { x (1) = y (1) = 3 = 1 v = (x (1)) + (y (1)) = = c. Verticale raaklijn : y (t) = 0 3t t = 0 t(3 t) = 0 t = 0 v t = 3 Controleer of : x (t) 0 x (t) = t : x (3) = 6 0 (klopt) : x (0) = 0 (klopt niet) Dus alleen verticale raaklijn bij t = 3 x = 5 Dus x = 5 is de verticale raaklijn d. Baansnelheid bij Krommen v = (x (t)) + (y (t)) = (t) + (3 t) Y 1 = (t) + (3 t) cal min geeft y = 0,75 dus de minimale snelheid is 0,75.

13 Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 13 van 13 e. Baanversnelling : a b (t) = v a v x (t) = t v = { y (t) = 3 t { x (3) = 6 y (3) = 3 6 = 3 a = { x (t) = y (t) = { x (3) = y (3) = v a = ( 6 3 ) ( ) = = = 18 v = (x(3)) + (y(3)) = = 5 Dus a b (t) = v a v = 18 5 = 3 3 5

Vergelijkbare documenten

Les 1 : Vectoren. Hoofdstuk 6 Vectormeetkunde (H4 Wiskunde D) Pagina 1 van 14. Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog.

Les 1 : Vectoren. Hoofdstuk 6 Vectormeetkunde (H4 Wiskunde D) Pagina 1 van 14. Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. Hoofdstuk 6 Vectormeetkunde (H4 Wiskunde D) Pagina 1 van 14 Les 1 : Vectoren Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren tekenen en berekenen. We doen dat aan de