x y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b

Transcriptie

1 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a k: = x gaat door (0, ) ( 0 = ) en (, ) ( = ) l : x = 6 gaat door (0, ) (0 = 6) en (, 0) ( 0 = 6) Zie de lijnen in de figuur hiernaast b = x x = of x = of x = 6 of c x = 6 = x 6 = x l k a k: x = gaat door (0, ) (0 = ) en (, 0) ( 0 = ) Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast b k: x = gaat door A(8, ) ( 8 = = ) k: x = gaat niet door B(, ) ( = ) k: x = gaat door C ( 6, 7 ) ( 6 7 = 8 0 = ) k: x gaat door D( p, = p) ( p ( p) = 6p 6p = ) c x = q en = q invullen in x = q ( q ) = q q = 7q = 8 q = 8 = 7 7 d l : x = c door (, 6) 6 = c = c = c Dus l : x = e m: x = c door ( p, p) p p = c p 8p = c p = c Dus m: x = p k a k: x = snijden met de x -as ( = 0) x 0 = x = 6 snijpunt met de x -as is (6, 0) k: x = snijden met de -as ( x = 0) 0 = = snijpunt met de -as is (0, ) b x = x = x = 6 c k: x = snijden met de x -as ( = 0) x 0 = x = 6 = 6 (de 6 onder de x ) 6 6 k: x = snijden met de -as ( x = 0) 0 = = = (de onder de ) 6 a l : x = snijden met de -as ( 0) x 0 snijpunt met de -as is (, 0) a b = = a = a x a b l : x = snijden met de -as ( x = 0) 0 = = b snijpunt met de -as is (0, b) a b b a k: = ( x ) = x 8 = x rck = b k: = ( x ) gaat door (, ) want = ( ) (immers 0 = 0) c l : A = m( x xa) A = mx mxa = mx mxa A rc l = m l : A = m( x xa) gaat door A( xa, A) want A A = m( xa x A) (immers 0 = m 0) d B A B A m: A = ( x xa) gaat door A( xa, A) want A A = ( xa xa) (immers 0 = m 0) xb xa xb xa B A B A m: A = ( x xa) gaat door B( xb, B ) want x B A = ( x B xa xb x B x A ) A 6 7a 7b x = x = x = ❷ x = 7❸ x = x = in❷ = = 7 = 7 k: x of en : of x l x x = = = = ❸ x = x 6 = 6 x = ❷ x = ❷ = = in x = x = 0 8a k: = ( x ) x x en l : 0 0 ( x ) ( x ) x = = = = = 8b = x = x ❷ = = in = x x = x =

2 a G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / Jan mist de verticale lijn door (0, ), want er is bij = ax geen waarde van a die de lijn x = 0 (de -as) oplevert Harm mist de horizontale lijn door (0, ), want er is bij x p = geen waarde van p die de lijn = oplevert bc Je mist de verticale lijn x = door (, 0) 0a kp: = x p is een lijn met rck = door (0, p) 0b lp: = p( x 6) is een lijn door ( 6, ) met rc l = p 0c m p: px = 6 = px 6 = px is een lijn door (0, ) met rc m = p 0d n : x p = ( p 0) is een lijn door ( p, 0) en (0, p) p p a k p : px = 8 door (, ) p = 8 p = p = b k 8 p : px = 8 door (, 0) p 0 = 8 p = 8 p = c k 6 p : px = 8 evenwijdig met x = 0 k: px = 8 met p = p = 6 p = d k : 8 evenwijdig met x p px = = of x = 0 p = a b ( ) : x p p p p l door (, ) p = = = = p( p ) = ( p ) p p p p p p p p p p( p ) p p = p 6 p p p 6 = 0 ( p 6)( p ) = 0 p = 6 p = : x x ( )( x p p lp = = = p ) = x ( p ) met rc ( gegeven) p p p p p p l = = p p Dus = p = p p = p = p a k: x = 6 gaat door (0, ) (0 = 6) en (, 0) ( 0 = 6) l : x 6 = 8 gaat door (0, ) (0 6 = 8) en (, ) ( 6 = 8) Zie de lijnen in de figuur hiernaast b x = 6 x 6 = x 6 = 8❷ x 6 = 8❷ 0 = 6 (heeft geen oplossing) c = 6 l ❸ k k l a b k: = x gaat door (0, ) en (, ) ( = ) l : = x gaat door (0, ) en (, ) ( = ) Zie de lijnen in de figuur hiernaast Richting van k: naar rechts en omhoog Richting van l : naar rechts en omlaag Dus k en l staan loodrecht op elkaar a b 6 kp: x p = en lp: ( p ) x ( p ) = 6 evenwijdig (al dan niet samenvallend) geeft p = p( p ) = ( p ) p p = p p p = 0 ( p 6)( p ) = 0 p = 6 p = p p k p: x p = p = x = x rc k = p p p p p 6 p lp: ( p ) x ( p ) = 6 ( p ) = ( p ) x 6 = x rc p p l = p p p ( p ) kp lp = = ( p ) = p( p ) p = p p p p p( p ) p 7p = 0 met D = 7 = 6 p = p = p q = = p = q = ❷ Uitvolgt dan p = q ❸ q p q p q = q ❸ in ❷ = 6q = q q = q = in ❸ p = = q q

3 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / 7a 7b 8 rc 8 6 AB = rc = = m = midden van AB is 8 (, ) m: = ( x ) of m: = x = (, ) C even ver van A als van B wil zeggen: C op m Dus C is het snijpunt van l en m = x invullen in x = 6 geeft: x ( x ) = 6 x x 7 = 6 x = x = x = invullen in = x geeft: = = 7 = = 8 Dus C (, 8) Het middelpunt van de omgeschreven cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van OAB rc OA = = rc 8 mll = mll OA: = ( x ) of mll OA: = x 7 midden van OA is (, ) rcob = 6 = rc mll = mll : ( ) of mll : OB = x midden van is (, ) OB = x ❷ OB in ❷ geeft: x 7 = x x = (keer ) x = x = ❸ ❸ in geeft: = 7 = 6 87 = Dus het middelpunt van de omgescgreven cirkel van OAB is M(, ) a B op = x 0 Stel nu xb = p dan B = p 0, dus B( p, p 0) b B 0 p 0 B A p 0 p 8 rc OB en rc xb 0 p AB xb x A p 6 p 6 c OBA = 0 rcob rcab = p 0 p 8 = 0 C ligt op de lijn = x C ( p, p ) p p 6 (met p > 0 omdat C boven de x -as ligt) ( p 0)( p 8) = p p p 0 p p( p 6) rc AC = = en rc = = p p BC p 0 p 0 ( p 0)( p 8) = p( p 6) ACB = 0 rc AC rcbc = = x p p 0p 80 = p 6p p p = (met p 0) 0p 60p 80 = 0 p p 0 ( p 0) = p C ( p, p ) p 6p 8 = 0 p 0 = p ( p )( p ) = 0 p = A p = p = p = 7 d p = geeft B(, ) en p = geeft B(, ) Dit geeft C (7, ) B AB = (7 ) ( ) = 6 = 6 = = = = a b d ( A, B ) = ( ) ( ) = 8 6 = 6 6 = 00 = 0 P ( x, ) op m d ( P, A) = d ( P, B) ( x ) ( ) = ( x ) ( ) ( x ) ( ) = ( x ) ( ) x 6x 8 6 = x 0x 6x = Dus m : x = a P ( x, ) op mll m d ( P, A) = d ( P, C ) ( x ) ( ) = ( x ) ( ) ( x ) ( ) = ( x ) ( ) x x = x x 0 x = Dus m : x = 6 x = 6 b x = ❷ = = in❷ x = x = Dus S(, ) c S is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC P ( x, ) op mll n d ( P, B) = d ( P, C ) ( x 7) ( ) = ( x ) ( ) ( x 7) ( ) = ( x ) ( ) x x = x x 0 x = Dus n : x =

4 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a b c d 6a 6b 6c P ( x, ) op m d ( P, A) = d ( P, B) P ( x, ) op n d ( P, A) = d ( P, C ) ( x ) ( ) = ( x 7) ( ) ( x ) ( ) = ( x ) ( ) ( x ) ( ) = ( x 7) ( ) x x 6 = x x 6x 8 = 0 Dus m : x = ( x ) ( ) = ( x ) ( ) x x 6 = x x 8 6 Dus n : x = 0 x = x = 0❷ = = in x = x = x = Dus het middelpunt van de omcirkel is M(, ) De straal r van de omcirkel van driehoek ABC is d ( M, A) = ( ) ( ) = = 6 = = Alle punten met afstand tot M liggen op de cirkel met middelpunt M en straal Dus d ( P, M) = ( x ) ( ) = ( x ) ( ) = ( x ) ( ) = 0 ( x ) ( ) = r door (0, 0) ( x ) ( ) = r 6 = r r = 7 Dus ( x ) ( ) = 7 ( x ) ( ) = is een vergelijking van de cirkel met middelpunt M(, ) en straal r = ( x ) ( ) = r door (, ) ( ) ( ) = r = r r = 6 Dus ( x ) ( ) = 6 ( x ) ( ) = r (maak een schets) door (, 0) r = Dus ( x ) ( ) = B( x, ) op de middelloodl m van PQ d ( B, P ) = d ( B, Q) B( x, ) op de middelloodl n van PR d ( B, P ) = d ( B, R ) ( x ) ( ) = ( x 7) ( ) ( x ) ( ) = ( x ) ( 6) ( x ) ( ) = ( x 7) ( ) ( x ) ( ) = ( x ) ( 6) x x = x x x x = x 6x 6 x = 8 Dus m: x = x 8 = 0 Dus n : x = 0 ❷ Nu in ❷ = 0 = 6 = M = B(, ) en r = d ( B, P ) = ( ) ( ) = = 0 Dit geeft ( x ) ( ) = 0 7a A(, 0) en B(0, ) AB = ( 0) (0 ) = 6 = 0 = = = 7b OA OB = O ( OAB) AB OC = O ( OAB) OA OB = AB OC = OC OC = = = = = 8 l k x = c xp P xp P = c❷ Nu ❷ in l : x = P ( xp, P ) op l Neem bijvoorbeeld k: x = of k: x = l k l : x = c 0 = c = c P (0, ) op l Dus l : x = d ( P, k ) = d ( O, k ) d ( O, B) = = = De formule geeft d ( P, k ) = = = = 6 De gegeven formule klopt dus bij dit voorbeeld A O P k 0 P ( x, ) op een bissectrice van k en l geeft d ( P, k ) = d ( P, l ) x x 6 = x = x 6 x = x 6 x = (x 6) x = 6 x = x 6 x = 6 7x 7 = 8 Dus m: x = 6 en n: 7x 7 = 8 l

5 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a P (0, ) ligt op k : x = (want 0 = ) d ( k, l ) = d ( P, l ) = = = = 0 = b P ( x, ) op de middenparallel van k en l geeft d ( P, k ) = d ( P, l ) x x 8 = x = x 8 x = x 8 x = (x 8) 0 = 0 x = x 8 geen opl 6x 8 = Dus m: x = MAKKELIJKER: De middenparallel van k: x = en l : x = 8 is m: x = 8, dus m: x = a P ( x, ) op afstand van k geeft d ( P, k ) = x x = = x = 0 x = 0 x = 0 x = x = Dus l : x = en m: x = b P ( x, ) op afstand van k geeft d ( P, k ) = x x = = x = x = x = x = 7 x = P op de x -as ( = 0) geeft de punten (, 0) en (, 0) a : x C (,) AB = of x = d ( C, AB) = = = 6 b rc 0 BC = = en rc 6 BC rcad = rc AD = A(0, 8) = x 8 Dus AD: 8 = ( x 0) of = x 8 ( 6) BC : 0 = ( x 6) ofwel = x 7 D AD en BC snijden geeft x 8 = x 7 ( ) x 80 = x 86 6x = x = en = 8 = B(6, 0) Dus D(, 7 ) 6 6 8x = 8 c P ( x, ) op een bissectrice van hoek B geeft d ( P, BA) = d ( P, BC ) C (,) BA: x = en BC : = x 7 ofwel x = 7 x x 7 d ( P, BA) = d ( P, BC ) = E ( ) ( ) A(0, 8) x x 7 x x 7 = = 6 x = x 7 (x ) = (x 7) (x ) = (x 7) x = 60x 60 x = 60x 60 8x 6 = 8 x = 67 x 8 = 6 (snijdt lijnstuk AC niet) 8x = 8 (deze zoeken we) x 8 = 6 AC : 8 = 8 ( x 0) ofwel AC : = x 8 0 B(6, 0) AC snijden met 8x = 8 geeft 8x x 8 = 8 x = 0 x = 0 = 0 en = 0 8 = Dus E ( 0, ) a Vanuit A 6 naar rechts en omhoog heeft dezelfde richting als de richting van A naar B b Vanuit A 600 naar rechts en 00 omhoog heeft dezelfde richting als de richting van A naar B Dus ja Vanuit A 0 naar links en 0 omlaag heeft ook dezelfde richting als de richting van A naar B Dus ja a b r k = : n k = k x = c Het punt (, ) ligt op k = c c = 7 Dus k: x = 7 r l = : n l = = l x = c Het punt (0, ) ligt op l 0 = c c = 6 Dus l : x = 6

6 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 6/ 6a 6b k: x = n k = r k Het punt (0, ) ligt op k k: x λ λ = = = l : x 7 = 0 n 7 l = 7 r l Het punt (0, 0) ligt op l l : x 7 λ λ = = = 7a 7b k: x = λ = 7 λ r k = nk = l k n l = l : x = c 7 = c = = c Dus l : x = P (, 7) op l 7 m evenwijdig met n: 7x = met nn = r m = rn = 7 x P (, 7) op m m: = λ k: x = snijden met m: x = λ = λ λ ( λ) = λ = λ = λ = λ = invullen in de parametervoorstelling van m geeft x = = = = snijpunt (, ) l : x = λ = λ rl = nl = l : x = c = c = 8 = c Dus l : x = 8 (, ) op l x 7 x 8 x P ( x, ) op een bissectrice van k en l geeft d ( P, k ) = d ( P, l ) = 7 x = x 7 = x 8 x 7 = x 8 x 7 = x 8 x = x = ❸ x = x = x = ❷ x = ❷ 7 = = in x = x = x = x = ❹ x = ❷ = in❷ x = x = x = De snijpunten zijn (, ) en (, ) 7 0a Vanuit A(0, ) naar P (, 0) ga je naar rechts en omlaag PQ AP en PQ = AP vanuit P (, 0) ga je naar rechts en omhoog Dus Q(, ) 0b Vanuit A(0, ) naar P (, 0) ga je naar rechts en omlaag PQ AP en PQ = AP vanuit P (, 0) ga je naar rechts en omhoog Dus Q(6, ) 0c Vanuit A(0, ) naar P (8, 0) ga je 8 naar rechts en omlaag PQ AP en PQ = AP vanuit P (8, 0) ga je naar rechts en omhoog Dus Q(0, ) 0d x De lijn door (, ) en (6, ) heeft als parametervoorstelling = λ x 0 Het punt (0, ) ligt op = λ, want = Q ' Q Stel P (0, λ) O = Q ' = 0 A P = 0 A P PQ ' Q AOP (hh) = P P = 0 PQ ' Q AOP en PQ = AP PQ ' = OA = 6 = en QQ ' = OP = λ 0 Dus Q( λ, λ) Q ligt op de lijn met s = en r n = = Een vergelijking van de lijn is x = 8 (want 0 = 8) P λ O A

7 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 7/ Stel P (6 λ, 0), dan is Q(0, λ) Het midden M van PQ is dan ( 6 λ 0, 0 λ) = ( λ, λ) M ligt op de lijn met s = en r n Dus een vergelijking van de lijn is x = = = (want = ) Stel P ( λ, 0) OP = λ en OQ = λ 6 x = λ x Q = λ = λ en 0 Q( x, x ) OQ = x ( x ) = x x = x = x λ λ 0 0 λ Het midden M van PQ is dan (, ) ( λ, Q = x Q = λ = λ = λ 0 0 = λ) 0 0 M ligt op lijn met s = en r n Dus e 0 = = en vergelijking van de lijn: x = 0 (want 0 0 = 0) Stel P ( λ, λ) P ' = Q ' = 0 P A = 0 A P AP ' P PQ ' Q (hh) = P P = 0 PQ ' Q AOP en PQ = AP PQ ' = ( λ) en QQ ' = λ x ' ' 8 8 en ' ' Q = P Q = λ λ = λ Q = OP Q Q = λ λ = λ 8 Dus Q op een lijn met s = en r 0 = n = (want 8 0 Een vergelijking van de lijn is x = 0 = = ) P ' A P Q Q ' = x ( x ) ( ) = (haakjes wegwerken) x 6x = (op nul herleiden) x 6x = 0 6 x b = 0 x ( b) b = 0 x ( b) = b Dit stelt een cirkel voor als b 0 b b b Dus b b 7a 7b 7c 0 0 a 0 b 0 = 0 klopt x ax b = 0 door A(0, 0) a 0b = 0 0a = 00 a = 0 x ax b = 0 door B(, 6) 6 6 a 6b = 0 a 6b = a b = 6 a = 0 0 b = 6 b = 6 b = a b = 6 Dus x 0x = 0 ( x ) ( ) = 0 ( x ) ( ) = 6 Dus een cirkel met M (, ) (en r = 6) x ax b = 0 met a = b ( a > 0 en b > 0) x bx b = 0 ( x b) b ( b) b = 0 ( x b) ( ) = b ( = = r ) b = b = b = b = ( < 0 dus voldoet niet) b = (voldoet) Dus M( b, b) = M(, ) 8a 8b x ax 6 = 0 ( x a) a ( ) 6 6 = 0 ( x a) ( ) = a Dit stelt een cirkel voor als a a 00 a a Dus a a a 0 a 0 a Dit geldt voor elke waarde van a Dus x ax 6 = 0 stelt voor elke a een cirkel voor 8c ( a, ) op k geeft a = 0 a = 0 a = a = 6

8 a 0a a b c d G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 8/ x x 6 = 0 ( x ) ( ) = 0 ( x ) ( ) = 7 Dus M(, ) en r = 7 AM = = < 7 A ligt binnen de cirkel = = = = 0 0 = x = 8 ( ) = en = x = 8 ( ) = x x = 0 ( x ) = 0 ( x ) ( 0) = M(, 0) = 0 klopt Dus O(0, 0) ligt op de cirkel Substitutie van = ax in x x = 0 geeft x x ( ax ) = 0 x x a x = 0 ( a ) x x = 0 ( ) x ( a ) x = 0 x = 0 x = a x = 0 = a 0 = 0 (snijpunt O ) en x = = a = a (snijpunt A) a a a a = geeft x 6 A = = = = = ( ) en 8 ( 6, 8 A = = = = = A ) ( ) a 0 = a( x ) geeft = ax a b c d Substitutie van = ax a in x = geeft x ( ax a) = x a x a x a = ( a ) x a x a = 0 met D = ( a ) ( a ) ( a ) = a ( a ) = ( ) a a x = = = x = a = a = a ( a ) ( a ) ( a ) a a x = = 0 en x = a = a a a = a a a a = a a a a = a a a a a a a b x = x = invullen in ( x ) ( ) = 0 ( ) ( ) = 0 ( ) ( ) = 0 0b = 0 8 = 0 met D = ( 8) = 6 a a S a a = geeft het snijpunt S met x S = = = = en = = = = a Er geldt: ( ) ( ) = ofwel = Je krijgt het Pthagoreïsch drietal (,, ) 6 a 7 S 7 6 a 6 P ( λ, 6 λ) op k PM = ( λ ) (6 λ ) = ( λ ) ( λ) PM < 7 ( λ ) ( λ) < 7 λ λ 6λ λ < 7 λ λ < 0 λ λ < 0 ( λ )( λ ) < 0 < λ < 6x = = x invullen geeft x ( x ) 8x ( x ) 0 = 0 x x x 68 8x x 0 = 0 6 x x = 0 6 x 7x = 0 D = ( 7) = 086 D = 0 x = 7 0 = x = 7 0 = 0 0 x = = = 7 en x = = = a = geeft x 6 6 A = = = = = a = geeft x a S = = = 6 = en = = = 6 = 8 a Er geldt: ( ) ( ) = ofwel 8 = 7 Je krijgt het Pthagoreïsch drietal (, 8, 7) 7 7 = ofwel ( ) ( ) = Dus a = a = (**) a a a = a = a 8a = 8 a = a = (voldoet niet aan **) a = (voldoet) a e f ( ) ( ) en 6 8 A = = = = = De snijpunten zijn A( 6, 8) en O (0, 0) x 0 0 P = geeft = a 0a 0 = 0a = a = = 0 a = a = Verder geldt: (omdat P onder de x -as) a P < < < a Dus a = voldoet en a = voldoet niet Een vergelijking van de lijn is = x 0 0 a 0 (omdat a > 0)

9 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / e 708 = ofwel ( 708 ) ( ) = Dus a = 708 a = (**) a a a 708 = 708a 708 = a 6a = a = a = ± a 6 Dus a = (de andere oplossing voldoet niet aan **) a Substitutie van = x in x = 0 geeft x (x ) = 0 x x 0x = 0 x 0x = 0 x x = 0 ( x )( x ) = 0 x = x = x = = = en x = = = b Substitutie van = x in x = 0 geeft x (x ) = 0 x x 0 x 0 = 0 x 0 x 0 = 0 x x 8 = 0 D = ( ) 8 = = 0 Omdat D = 0 is er één oplossing De lijn en de cirkel hebben één punt gemeenschappelijk, dus de lijn raakt de cirkel a m: 0 = ( x 0) m: = x b Stel l : 0 = a( x 0) ofwel = ax 0 a Substitutie van = x in x = 0 geeft Substitutie in x = 0 geeft x ( x ) = 0 x ( ax 0 a) = 0 x x = 0 x a x 0a x 00a = 0 0 ( a ) x 0a x 00a 0 = 0 x = 0 Raken, dus D = 0 x = D = ( 0 a ) ( a ) (00a 0) x = x = = 00a (00a 0a 00a 0) x = = = en = 00a 00a 60a 0 = 60a 0 x = = = D = 0 60a = 0 a = a = ± De raakpunten zijn A(, ) en B(, ) k m door A(, ) k: = x 0 Dus l 0 0 : = x en l : = x k m door B(, ) k: = x 0 x Raaklijn in (raakpunt) (, ) aan met A A x k A x A A A x = r roa = n A OA r k x n = = A k = A k: xa x A = c x door (, ) A A c A x A = A c = r De raaklijn is dus xa x A = r A( xa, A) op x = r xa A = r 6a k: x = 6b 6d Van de cirkel is M(0, 0) en r = Stel l : = x b, dus l : x b = 0 Raken, dus d ( M, l ) = r 0 0 b b = = ( ) ( ) b = = 6 = b = 6 b = 6 Dus l : = x 6 en l : = x 6 Stel n: = a( x ), dus ax a = 0 Raken, dus d ( M, n) = r 0 0 a a = = a ( ) a a = a (kwadrateren) 6c Stel m: 0 = a( x ), dus m: ax a = 0 Raken, dus d ( M, m) = r a 0 0 a = = a ( ) a a = a (kwadrateren) 6 a = a a = a = a = a = Dus m : = ( x ) en m : = ( x ) a 0a = a a 0a = 0 6a a 6 = 0 D = 6 6 = 6 D = a = = 8 = a = = 8 = Dus n : = ( x ) en n : = ( x )

10 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 0/ 7a k: x = 7 7c 7b Van de cirkel is M(0, 0) en r = 7 m loodrecht op l : x = dus m: x = c Raken, dus d ( M, m) = r 0 0 c c = 7 = 7 7 c = c = 7 c = 7 c = 7 Dus m: x = 7 en m: x = 7 Stel n: 7 = a( x 0), dus ax 7 = 0 Raken, dus d ( M, n) = r = 7 = 7 a ( ) a 7 = 7a 7 (kwadrateren) 7 7 = 7a 7 7 = a a = 6 a = a = Dus n: x 7 = 0 en n: x 7 = 0 8a 8b 8c Voor k geldt k: xa x A = r, dus x = Voor l geldt l : xb x B = r, dus x = x = x = 0 x = ❷ x = ❷ = = in x 0 = x = x = Dus P (, ) r AB = nab = Controle: AB: x = c = c c = Dus AB: x = door A(, ) ❸ m: xp x P = r m: x = m: x = Dus lijn m is lijn AB Een voorkeur is persoonlijk Zorg dat je beide methoden beheerst 60a 60b 60c 6a 6b translatie ( xm, M ) c: ( x xm ) ( M ) = r ( x xm xm ) ( M M ) = r dus c: x = r translatie ( xm, M ) P ( xp, P ) P '( xp xm, P M ) Poollijn van P ' ten opzichte van c is k: ( xp xm ) x ( P M ) = r translatie ( xm, M ) k: ( xp xm ) x ( P M ) = r l : ( xp xm ) ( x xm ) ( P M ) ( M ) = r (poollijn van P ' ten opzichte van c ) (poollijn van P ten opzichte van c ) l : ( x x ) ( ) ( ) ( ) P xm P x M x x M P M M = r n l =, dus P r M = PM PM l De poollijn van A(, 8) tov c: x = 0 is x 8 = 0 x 8 = 0 x = 0 ❸ Nu ❸ invullen in ❷ (0 ) = 0 x = 0❷ x = 0❷ 00 0 = = 0 8 = 0 ( )( 6) = 0 = = 6 = in❸ x = 0 = 6 met raaklijn in (6, ) de lijn 6x = 0 of x = 0 = 6 in x = 0 6 = met raaklijn in (, 6) de lijn x 6 = 0 of x = 0 ❸ x x = 0 ( x ) ( ) = 0 ( x ) ( ) = De poollijn van B(, ) tov c: ( x ) ( ) = is ( )( x ) ( )( ) = x = x = 6 Nu ❸ invullen in ❷ ( 6) ( 6) = 0 x = 6 x = 6❸ 6 6 = 0 x x = 0❷ x x = 0❷ = 0 6 = 0 ( )( ) = 0 = = ❸ = in x = 6 = 0 met raaklijn in (poollijn van) (0, ) de lijn (0 )( x ) ( )( ) = dus x = of x = = in❸ x = 6 = met raaklijn in (poollijn van) (, ) de lijn ( )( x ) ( )( ) = dus x =

11 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / 6a k: = x x = x = 0 6b De poollijn van P ( xp, P ) tov c: x = 0 is xp x P = 0 Als k: x = 0 de poollijn is van P tov c: x = 0, dan is P (, ) 6c Poollijn l : = x x = x = 0 Dus pool Q(, ) 6a 6b 6c 6a 6b De poollijn van A( r, 0) tov c: x = r is rx 0 = r Dus rx = r x = r x = r Nu in ( ) ❷ r = r r = r = r = ± r = ± r x = r ❷ De raaklijn in ( r, r ) is de lijn rx r = r ofwel x = r De raaklijn in ( r, r ) is de lijn rx r = r ofwel x = r De poollijn van B(0, r) tov c: x = r is 0x r = r Dus r = r = r = r Nu in ( ) ❷ x r = r x r = r x = r x = ± r = ± r x = r ❷ De raaklijn in ( r, r) is de lijn rx r = r ofwel x = r De raaklijn in ( r, r) is de lijn rx r = r ofwel x = r De poollijn van C ( r, r) tov c: x = r is rx r = r Dus x = r x = r Nu in ❷ ( r ) = r r r = r r = 0 ( r) = 0 x r = ❷ = 0 in x = r 0 = r en de raaklijn in ( r, 0) is de lijn rx 0 = r ofwel x = r = r in x = r r = r en de raaklijn in ( r, r) is de lijn rx r = r ofwel x = r x 8x 6 0 = 0 Nu in ❷ ( ) ( ) = ( x ) 6 ( ) 0 = 0 6 = 6 ( x ) ( ) = 7 = 0 6 De poollijn van O(0, 0) tov c: ( x ) ( ) = is 0 80 = 0 (0 )( x ) (0 )( ) = x 6 = 6 = 0 x = 0 D = ( ) 6 = 6 D = 6 x = 0 = 6 = in x = = = x = 0 6 = = in x = = = 0 ( x ) ( ) = ❷ Raaklijn in (, ) (door pool O ) is ( )( x ) ( )( ) = x 8 = x = 0 Raaklijn in (, ) (door pool O ) is ( )( x ) ( )( ) = x 8 6 = x = 0 De poollijn van A(, 0) tov c: ( x ) ( ) = is Nu in ❷ ( ) ( ) = ( )( x ) (0 )( ) = 6 6 = x = = 0 x = 8 x = 8 = 0 x = 8 ( )( ) = 0 = in x = 8 = ( x ) ( ) = ❷ = in x = 8 = Raaklijn in (, ) is ( )( x ) ( )( ) = x 8 = x = 6 x = 6 Raaklijn in (, ) is ( )( x ) ( )( ) = x 6 = x = 6a 6b x 0x = 0 De poollijn van A( 6, ) tov c: ( x ) ( ) = is ( x ) ( ) = 0 ( 6 )( x ) ( )( ) = x = ( x ) ( ) = x = 6 ofwel poollijn p: x = 6 De raaklijn k in (poollijn van) B(8, 6) is (8 )( x ) (6 )( ) = x 8 = k: x = 8

12 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / k: x = 8 snijdt de -as ( x = 0) in C (0, ) De poollijn van C (0, ) is (0 )( x ) ( )( ) = x 0 0 = p: x = 0 x = Nu in ❷ ( ) ( ) = ( x ) ( ) = ❷ 6 8 = 0 60 = 0 8 = 0 ( 6)( ) = 0 = 6 in geeft x = 6 = 8 wat hoort bij B(8, 6) en = in geeft x = = 0 Dus D(, 0) 66a 66b 66c x 6x = 0 ( x ) ( ) = 0 ( x ) ( ) = Dus M (, ) (en r = ) PM = ( ) ( ) = 6 = = PM r = ( ) = = 0 6 = 0 De uitkomsten zijn gelijk 66d x ax b c = 0 ( x a) a ( b) b c = 0 ( x a) ( b) = a b c Dus M( a, b) (en r = a b c ) PM r = ( ( xp a) ( ) ) ( ) P b a b c = ( xp a) ( ) P b a b c x = P axp a P bp b a b c = xp P axp bp c 67a 67b 68 Voor r van c geldt: r = ( ) 8 0 = = Dus c: ( x ) ( ) = Voor r van c geldt: r = (6 ) ( ) = = 7 Dus c: ( x 6) ( ) = 7 c: x 8x = 0 c: ( x ) 6 ( ) = 0 c: ( x ) ( ) = M(, ) en r = Voor r van de cirkel c met middelpunt M(, ) die c loodrecht snijdt, geldt: r = 8 = 6 = r = Dus cirkel c is cirkel c cirkel c en cirkel c snijden elkaar loodrecht 6a P op de x -as ( = 0) stel P ( λ, 0) P ( λ, 0) heeft gelijke machten ten opzichte van c en c: ( λ ) (0 ) 0 = ( λ 7) (0 ) λ λ 0 = λ λ 6λ = λ = Dus P (, 0) 6b P op x = 6 stel P ( λ, 6 λ) P ( λ, 6 λ) heeft gelijke machten ten opzichte van c en c : λ (6 λ) 8 = λ (6 λ) λ λ 6 λ λ 8 = λ 6 λ λ λ λ = λ = Dus P (, ) 70a 70b 70c c: x x 8 0 = 0 c: ( x ) ( ) 0 = 0 c: ( x ) ( ) = M(, ) Voor r van de cirkel c met middelpunt M(, ) die c loodrecht snijdt, geldt: r = ( ) ( ) 6 = 6 8 = Dus c: ( x ) ( ) = c: x 6x = 0 c: ( x ) ( ) = 0 c: ( x ) ( ) = M(, ) De lijn door M (, ) en M(, ) heeft als vergelijking: = ( x ) ofwel = ( x ) ofwel = x P op = x stel P ( λ, λ ) P ( λ, λ ) heeft gelijke machten ten opzichte van c en c: λ ( λ ) 6λ ( λ ) = λ ( λ ) λ 8( λ ) 0 6λ λ = λ 8λ 6 0 0λ = λ = = Dus P (, ) 0 P ( x, ) heeft macht 0 tov c x 6x = 0

13 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / 7 Stel c: ( x xm ) ( M ) = r en c: ( x xm ) ( M ) = r met r r P ( xp, P ) heeft gelijke machten ten opzichte van c en c: ( xp xm ) ( P M ) r = ( xp xm ) ( P M ) r r = r r = r in tegenspraak met de veronderstelling 7a P ( xp, P ) heeft gelijke machten ten opzichte van c en c: xp P = xp P 8xP 8P 0 8xP 8P = xp P = 7 7b Uit x 7 volgt dat op de lijn 7 ofwel 7 P P = P x = = x ligt 7c P ( xp, P ) heeft gelijke machten ten opzichte van c en c: xp P axp bp c = xp P pxp qp r axp bp c = pxp qp r axp pxp bp qp c r = 0 ( a p) xp ( b q) P c r = 0 Dus P op de lijn ( a p) x ( b q) c r = 0 7 De machtlijn k van c en c is k: x = en de raaklijn in A(, ) aan c is l : x = x = x = x = ❷ x = 0❸ 8 = = in❷ x = x = 8 60 Dus M(, ) en r = ( ) ( ) = Dit geeft c : ( x ) ( ) = De machtlijn k van c en c is k: 8x 6 = 0 ofwel x = x = invullen in c : x = geeft ( ) = = 6 = = 0 = 0 met D = ( ) = 80 = 6 D = 8 = 8 = in x = = = Dit geeft het snijpunt (, ) 0 = 8 = in x = = = = Dit geeft het snijpunt (, ) a p 7 De machtlijn van en is : ( ) ( ) 0 ofwel c r a p k c c k a p x b q c r = = x met rc k = b q b q b q c: x ax b c = 0 en c: x px q r = 0 c: ( x a) a ( b) b c = 0 c : ( x p) p ( q) q c = 0 c : ( x a) ( b) = a b c c : ( x p) ( q) = p q r Dus M( a, b) (en r = a b c ) Dus M (en ( p, q) r = p q r ) q b q b b q De lijn door M en M heeft richtingscoëfficiënt rc M M = = = p a p a a p a p b q Nu is rck rcm Hieruit volgt dat M = = k M M b q a p 76 De machtlijn k van c en c is k: x 6 = 0 ofwel = x Stel P ( λ, λ ) heeft macht 6 tov c (en c) : λ ( λ ) = 6 λ λ 0λ = 6 λ 0λ = 0 λ λ = 0 ( λ )( λ ) = 0 λ = λ = Dus A(, ) en B(, )

14 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / 77a c: ( x ) ( ) = c: ( x 8) ( ) = 8 c: x x = c: x 6x 6 = 8 c: x x = 0 c: x 6x 60 = 0 De machtlijn k van c en c is k: x 6 60 = 0 ofwel = x 0 77b Stel P ( λ, λ 0) heeft macht 8 tov c (en c) : ( λ ) (λ ) = 8 λ λ λ λ 8 = 0 λ 8λ = 0 met D = ( 8) = 6 D = 8 x = λ = 8 8 =, 6 =, 6 0 =, Dit geeft het snijpunt A(, 6;, ) 0 x = λ = 8 8 = in = 0 = Dit geeft het snijpunt B(, ) 0 77c P ( λ, λ 0) heeft gelijke machten (dus P moet op de machtlijn liggen) tov c (en c) : De macht van P tov c is ( λ ) (λ ) = λ λ λ λ = λ 8λ 0 d = λ 8λ 0 is minimaal als = 0 0λ 8 = 0 0λ = 8 λ =, 8 dλ Dus P (, 8; 0, ) 78a AB = BC = ABM = C = 0 ABM BCN (ZHZ) BM = CN = ABM BCN AMB = BNC BSM BCN (hh) SBM = NBC 78b AM = AB BM = = 6 = 0 AM = 0 = = SM BM SM BSM BCN (zie 78a) = = SM = SM = = = = = CN BN 78c AS = AM SM = = 8 Dus AS : SM = 8 : = ( ) : = : 7 Bij een vergroting met factor k ( k > 0) worden alle lengtes met k vermenigvuldigd, dus blijft DS = AD 80 Zie de figuur hiernaast P is het snijpunt van AM en BN D N C AM: = x en BN : = x Q Los op x = x x = x = 6 x = 6 P ( 6, ) R Q is het snijpunt van AN en DP R is het snijpunt van AC en DP M AN : = x en AC : = x en DP: = 6 x P 6 DP: = x = 0 x 6 Los op x = 6 x B Los op x = 6 A x x = 6 6 x = Midden tussen P ( 6, ) en Q( 6, 6) ligt x = 6 = = 6 6 x 6 6 x = 7 (, ) = ( 8, 6) R( 6, 8) x = = 6 Q( 6, ) Dus R(, ) 7 7 Dus R is niet het midden van PQ 8a H ligt op OC xh = 0 8b Voor de middelloodlijn m van AB geldt m: x = a b H ligt op de hoogtelijn h door B Voor de middelloodlijn m van AC geldt rc a m = c Omdat h AC is rch rcac = met rc c rc c rc a m gaat door het midden ( a, c ) van AC AC = h = h = a a c h: = a m x p : c = a x c q c 0 = a b p p ab door B( b, 0) c = = a a q q = c a = c a c door ( a, c ) c c c x 0 ab Dus (0, ab H = H = H ) x a b a a b c a Dus ( a b, ab c ) c c M = M = c M c c 8c De zwaartelijn z 0 gaat door C (0, c) geldt ( a b, 0) van AB z : c = c ( x 0) = c x c 0 a b a b c 0 a b De zwaartelijn z gaat door B( b, 0) geldt ( a, c ) van AC z : 0 = ( x b) = c ( x b) a b ( ) ( ) ( ) Los op c bc c c c bc c a b c a b x = x c x = c x = ac bc bc a b a b a b a b a b a b ( a b)( a b) a b

15 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / 8d ac bc ac bc x = ac bc ( a b)( a b) a b ac bc x = ac bc ( a b)( a b) a b ( ac bc) x = ac bc ( a b)( a b) a b ac bc ( a b) ( a b) x = = a b a b ( ac bc) x a b in c a b = = c = c c = c = c Dus Z ( a b, c ) a b xa xb xc A B C Algemeen geldt: het zwaartepunt van ABC is Z (, ) We weten: M( a b, ab c ), H (0, ab ) en Z ( a b, c ) c c c ab c a b 0 HZ : ab = ( x 0) ab = c ab x = c ab x ab c c c( a b) c( a b) c Nu nog controleren of M( a b, ab c ) hierop ligt c? ab c c ab a b?? = ab ab c = c ab ab ab c = c ab klopt c c ( a b) c c c c c c 8 Zie Theorie B op blz 8a Assenstel met A( d, 0) en B( d, 0) (gebruik de figuur uit het voorbeeld op blz in het boek) P op de cirkel ( x d ) = r en op de cirkel ( x d ) = ( kr ) x dx d = r x dx d = k r dx = r k r = ( k ) r r = dx in k De cirkel x dx d = dx ofwel x d ( d ) x d = 0 k k 8b Assenstel met A( d, 0) en B( d, 0) P op de cirkel ( x d ) = r en op de cirkel ( x d ) = r x dx d = r x dx d = r dx = 0 ( d 0) x = 0 (de -as en geen cirkel) Dus de punten P liggen op de middelloodlijn van AB 8a 8b 8c C ligt op m: x = en op = ax Dus C (, a) D ligt op c: ( x ) = en op = ax ( x ) a x = x x a x = ( a ) x x = 0 ( ) x ( a ) x = 0 x = 0 met = 0 A(0, 0) x = met = a Dus D(, a ) a a a a ( a ) Er geldt x ofwel a C xe = xd xc xe = xc xd = = = a a a a ( ) Ook geldt ofwel a a a a a Dus ( a, a C E = D C E = C D = a = = E ) a a a a a a a 0 a a a a a ( a ) a BE : 0 = ( x ) = ( x ) = ( x ) = a x a BE snijdt m in F xf = en F = a a = a Dus F (, a ) We weten nu M(, 0), C (, a), F (, a ) en B(, 0) MC = a, MF = a en MB = Er geldt: MC = a en MF MB = a = a Dus MC = MF MB

16 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 6/ Diagnostische toets Da ( x, ) = (, ) voldoet aan px = p p = p p = p p = 6 p = Db Dc Dd px = p evenwijdig met p x = 0 (zet x, en = netjes onder elkaar) = p = px = p evenwijdig met x x = ofwel p = p = p = x = 60 px = p of = px p evenwijdig met x -as ( = 0) of = 0x p = 0 p = 0 Da x p = 6 evenwijdig met p px ( p 6) = p = p = p 8 p p 8 = 0 ( p 6)( p ) = 0 p = 6 p = p p 6 Db kp: x p = 6 lp: px ( p 6) = p Dc kp: x p = 6 kp: p = x 6 lp: ( p 6) = px p p = 6 x = 0 (de -as) 6 p p kp: = x lp: = x lp: px ( p 6) = p p p p 6 p 6 ( p 6) = p ❷ x = 0 (de -as) kp lp rck rc p l = 6 p p = 6 = ❸ p p = p p 6 ( p 6) = p ❷ ( p 6) = p ❷ p = ❸ in ❷ geeft: ( p 6) 6 = p ( p 0) p p( p 6) p = p( p 6) ( p 6) 6 = p( p ) ( p 0) p = p 6p 6p 6 = p p ( p 0) p p = 0 p p 6 = 0 ( p 0) p( p ) = 0 D = ( ) 6 = 60 D = 60 = 6 0 = 0 p = 0 p = 0 0 p = = 0 p = = 0 Da Db Cirkel met middelpunt A(, ) geeft ( x ) ( ) = r Deze cirkel gaat door B(, ) ( ) ( ) = r r = 6 = 6 = 0 De vergelijking van de cirkel met middelpunt A(, ) door B(, ) is ( x ) ( ) = 0 M op mll m van A en B d ( M, A) = d ( M, B) ( x ) ( ) = ( x ) ( ) ( x ) ( ) = ( x ) ( ) x x = x 8x 6 0 x = 6 Dus m: x = De straal r = d ( M, A) = MA = ( ) ( ) = = = 0 M op mll n van A en C d ( M, A) = d ( M, C ) ( x ) ( ) = ( x 6) ( ) ( x ) ( ) = ( x 6) ( ) x x = x x 6 6 8x 8 = 0 Dus n: x = x = x = ❷ = = in x = x = Dus het middelpunt M van de omcirkel van ABC is M(, ) Dc ( ) ❷ Het midden van lijnstuk AB is N, = N (, ) De straal r = d ( N, A) = NA = ( ) ( ) = = = 0 De vergelijking van de cirkel met middelpunt N (, ) en straal r = NA is ( x ) ( ) = 0 Da Db P ( x, ) op een bissectrice van k en l geeft d ( P, k ) = d ( P, l ) x 6 x 0 = x 6 = x 0 x 6 = x 0 x 6 = ( x 0) x = x 6 = x 0 Dus m: x = en n: x = 6 P (0, ) (punten op de -as) op afstand van k geeft d ( P, k ) = 0 6 = 6 = 6 = ± = 6 ± = ± Dit geeft de punten (0, ) en (0, )

17 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 7/ Da De vergelijking van BC is x = Dus d ( A, BC ) = x A = = Db AB: = ( x ) ofwel = ( x ) ofwel = x ofwel x = 0 ofwel x = 0 P ( x, 0) (punten op de x -as) met d ( P, AB) = d ( P, BC ) x 0 x = x = x x = ( x ) x = ( x ) x = x x = x ( ) x = ( ) x = x = = = = = x = = = = = Dit geeft de punten (, 0) en (, 0) D6a D6b D7 D8a D8b x 6 k: x = gaat door (6, 0) en heeft n = r Dus λ 0 = = l : x = λ = λ gaat door (, ) en heeft r = n Dus l : x 7 ( ) = = Stel P ( λ, 0) OP = λ en OQ = λ x = λ x Q = λ = λ en Q( x, x ) OQ = x ( x ) = x x = x = x 6 6 λ λ 0 λ Q = x Het midden M van PQ is dan (, ) ( Q = λ = λ = λ = λ, λ) M ligt op lijn met s = en r n Dus 0 = = een vergelijking van de lijn: x = 0 (want 0 0 = 0) x ax = 0 a 0 ( x a) a ( ) = 0 a ( x a) ( ) = a a 6 Dit stelt een cirkel voor als a 6 Dus a 6 a 6 ( x a) ( ) = a, dus middelpunt M( a, ) l : x = a = a 6 = a = a = M( a, ) op l Als M op l ligt, dan is a = en dat kan niet omdat x ax = 0 alleen een cirkel voorstelt voor a 6 a 6 (zie D8a) Da k: x = 0 of k: x = 0 Dc Db Dd Van de cirkel is M(0, 0) en r = 0 Stel l : = x b, dus l : x b = 0 Raken, dus d ( M, l ) = r 0 0 b b = 0 = 0 ( ) 0 b = 0 b = 0 b = 0 Dus l : = x 0 en l : = x 0 Van de cirkel is M(0, 0) en r = 0 p loodrecht op m: x = 0 dus p: x = c Raken, dus d ( M, p) = r 0 0 c c = 0 = 0 ( ) 0 c = c = 0 c = 0 c = 0 Dus p: x = 0 en p: x = 0 Stel n: = a( x ), dus ax a = 0 Raken, dus d ( M, n) = r 0 0 a a = 0 = 0 a ( ) a a = 0a 0 (kwadrateren) 6a 6a = 0a 0 6a 6a 6 = 0 a 8a = 0 D = ( 8) = 6 6 = 00 D = 0 a = 8 0 = = a = 8 0 = 8 = Dus n 0 : x = 0 en n : x 0 = 0 D0a x 6x = 0 ( x ) ( ) = 0 ( x ) ( ) = De poollijn p van (, ) ten opzichte van de cirkel is p: ( )( x ) ( )( ) = p: 6x 8 = p: 6x =

18 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 8/ D0b De poollijn p van (, ) ten opzichte van de cirkel is p: ( )( x ) ( )( ) = uitgeschreven p: x 0 = of p: x = 0 = x x 6x = 0❷ in❷ 0 = = 0 ( ) = 0 = 0 = = 0 x = 0 De raaklijn in (0, 0) is (0 )( x ) (0 )( ) = x =, dus x = 0 = x = De raaklijn in (, ) is ( )( x ) ( )( ) = x 6 6 =, dus x = Da Db Voor r van c geldt: r = ( ) ( ) 6 8 = 6 = Dus c: ( x ) ( ) = ( λ) ( λ) 6( λ) 8( λ) = λ λ 6 8λ λ 8 λ 8λ = λ = 0 λ = λ = λ = De punten zijn (, = ) en (, = ) D De machtlijn van c en c is m: x x = ( x ) ( ) m: x x = x 8x 6 m: x 6 = 0 ofwel x = (de machtlijn gaat door de snijpunten van de cirkels) x = Nu in ❷ ( ) ( ) = 0 x x = 0❷ = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 = = 0 x = en = x = De snijpunten zijn (, 0) en (, ) D Noem het raakpunt P ( x, ) P ( x, ) OP MP rcop rcmp = = x x 0 = O x 0x = x 0x x 0x = 0 ( x ) = 0 ( x ) = Alle punten liggen op een cirkel met M(, 0) en r = M 0

19 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / Ga Gb Ge Ga Gb Gemengde opgaven Lijnen en cirkels kp lp rck = rc p l Gc Snijden met de x -as ( = 0) geeft p p p kp: ( p ) x = en lp: ( p ) x = 6 = p p ofwel kp: px x = en lp: px x = 6 ( p )( p ) = ( p )( p ) px x = p 6p = p 6p 8 6 p = px x = ❷ p = = x = x = in geeft p = p = 6 p = 6 p = 6 = kp lp rck rc p l = Gd Snijden met de -as ( x = 0) geeft p p p kp: ( p ) = en lp: ( p ) = 6 = p p ofwel kp: p = en lp: p = 6 ( p )( p ) = ( p )( p ) p = p p = ( p p 0) p = 6❷ p p = p p 0 7 = = in ❷ geeft p = p = 7 7 p = 6 p = p = p = = p = 7 p = p p p p p k p en mp, q vallen samen als = = dus = en = p p q p p p q p p p = en = ❷ p p p q ( p )( p ) = ( p )( p ) in ❷ geeft q q p 6p = p 6p 8 = q = q = q = = p = Dus p = en q = p = = Stel P ( x, ) x x x d ( P, l ) = = = d ( P, A) = ( x ) ( ) x d ( P, A) = ( x ) ( ) = d ( P, l ) = = x = (kwadrateren geeft) ( x ) ( ) = x = x = x = = x x = = x ( ) ( ) x = ( x ) ( ) = ❷ ( x ) ( ) = ( x ) ( ) = in ❷ geeft ( x ) ( x ) = ❸ in ❷ geeft ( x ) ( x 7) = x x x 78 x 6 = x x x x 6 = x x 67 = 0 x 8 x = x x 67 = 0 x 8x = 0 D = 686 D = D < 0 hier geen oplossingen x = = = 67 x = = 0 = in = in = 8 = 7 Dus de punten zijn: ( 67, ) en (, 7) Stel P ( x, ) Gc Stel P ( x, ) d ( P, l ) = d ( P, A) met = geeft d ( P, l ) = d ( P, A) geeft x x = ( x ) ( ) = ( x ) ( ) x = ( x ) x = ( x ) ( ) x = x (x ) = (( x ) ( ) ) x = x 0 x = x 0 x x 6 = ( x x 6 ) x = 8x = x x 6 = x 00x 00 0 x = x = 6x x 00x 0 = 0 Dus de punten zijn: (, ) en (, ) P op de kromme: 6x x 00x 0 = 0 ❸ ❷

20 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 0/ Ga Gb Gc Gd Ge Gf Ga Gb Gc c: x 8x = 0 c: x 6x = De machtlijn van c en c is x 8x = x 6x dus x = x = x = geeft 8 0 x x = x 8x = 0❷ in ❷ geeft ( ) 8( ) = = 0 0 = 0 met D = 0 < 0 er zijn geen reële oplossingen De machtlijn van c en c en cirkel c hebben geen punten gemeenschappelijk c en c ook geen punten gemeen c: x 8x = 0 ( x ) 6 ( ) = 0 ( x ) ( ) = 6 c is de cirkel met M(, ) en c is de cirkel met M(, ) M M de cirkels zijn niet concentrisch d ( M, A) = ( ) ( ) = = > r A ligt buiten c De macht A(, ) van ten opzichte van c is ( ) ( ) = = M = M(, ) (gegeven) en voor r van c geldt: r = ( ) ( ) = ( r de macht is van M tov van c) Dus c : ( x ) ( ) = M c c x = 0 B(0, ) op c Raaklijn in B(0, ) aan c: (0 )( x ) ( )( ) = 6 x = 6 x = 0 x = 0 invullen in x = geeft 0 = = = Dus M (0, ) en r = 0 ( ) 8 0 = 0 = 0 Dus c : x ( ) = 0 ligt op de machtlijn van en Deze machtlijn is: = ( x 8x = ( x ) ( ) ) c: ( x ) ( ) = De poollijn van Q(, ) tov de cirkel is: ( )( x ) ( )( ) = x 7 00 = x = 0 = x ❷ in ❷ geeft ( x ) ( x ) = ( x ) ( x ) = x 6x x x = x 0x = 0 x x 6 = 0 ( x 6)( x ) = 0 x = 6 x = in A(6, 8) en B(, ) (hiernaast verder) Het middelpunt van de omcirkel van ABQ is het snijpunt van de middelloodlijnen van ABQ Het midden van AB is (, ) = (, ) en r 7 AB = 7 = Middelloodlijn van AB: x = c door (, ) x = = Het midden van AQ is (, ) en r 7 AQ = = De mll van AQ is x = c door ( 6, 7) x = 7 x = 7❸ = 7 x❺ x 7 x 7 = ❹ = ❹ ❺ in ❹ x x = 7 7 x = x = in ❸ = Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van ABQ is N (, ) en de straal van de omgeschreven cirkel is d ( N, A) = d ( N, B) r = ( ) ( ) = 0 = 6 = 6 8 Het midden van AB is (, ) = (, ) en r = d ( A, B) = ( 6) ( 8) = 7 7 = 7 = r = d ( A, B) = Dus c : ( x ) ( ) = ( ) ofwel c : ( x ) ( ) = De machtlijn van c en c is: x = (( x ) ( ) = ( x ) ( ) ) De raaklijn in P (7, 7) aan c: (7 )( x ) (7 )( ) = x = x = x = x = 8❸ x = ❷ x = ❷ 7 = 7 = 7 in x = Dus M(, 7) Verder is r = MP = (7 ) (7 ) = ( ) ( ) = = c : ( x ) ( ) = 7 7 Ga De gevraagde punten liggen op de middelloodlijn m van AB, dat is de lijn door de middelpunten van c en c c: x 6x = 0 ofwel ( x ) ( 7) = 0 M(, 7) c: ( x ) ( ) = M(, ) De lijn door M 7 6 en M: = ( x ) = ( x ) = ( x ) = x = x

21 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / Nu de lijn MM: = x snijden met c: x 6x = 0 ❷ in x ( x ) 6x ( x ) = 0 x x x 6x x 8 = 0 ❷ 60 ± 0 0x 60x = 0 met D = 60 0 = 60 D = 60 = 6 0 = 0 x = x = = 7 0 in geeft = ( 7 0) = 7 0 ( 7 0, 7 0) en x = = 7 0 in geeft = ( 7 0) = 7 0 ( 7 0, 7 0) Gb De gevraagde punten liggen op de poollijn van P tov c: ( )( x ) (0 7)( 7) = 0 6 Nu de poollijn x 7 = 6 ofwel = x snijden met c 7 7 : x 6x = 0 ❷ 6 in ❷ x ( x ) 6x ( x 6) = x x 86 x 6 6x 68 x 0 = x x 6 = 0 x x 6 = 0 met D = 6 = 8 76 D = 8 76 = 76 x = ± x = 76 = in geeft = 0 raakpunt (, 0) en 86 x = 76 = 7 in geeft = 06 raakpunt ( 7, 06) 86 Gc De machtlijn van c en c: x 6 = 0 ofwel x = ( x 6x = ( x ) ( ) ) Stel een punt P op de machtlijn (λ, λ), dan moet de macht van P tov ( c en) c 8 zijn: (λ ) ( λ ) = 8 (λ ) ( λ ) = 8 λ 8λ λ λ = 8 0λ 0λ 80 = 0 λ λ 8 = 0 ( λ )( λ ) = 0 λ= λ = λ = in C (8, ) en λ = in D( 0, ) G6a G6b G6c G7a AM = OA OM = a m (Pthagoras in OAM met O = 0 ) met CM = AM = r CM = AM = a m PM = OP OM = p m (Pthagoras in OPM met O = 0 ) PM = PC CM (Pthagoras in PCM met C = 0 ) PC = PM CM = p m ( a m ) = p a PA = p a en PB = p a = p a PA PB = ( p a)( p a) = p a (zie ook G6a) Dus PA PB = PC De macht van P (, 0) tov de cirkel x = 0 is 0 0 = 0 = B Volgens de machtstelling geldt: PA PB =, dus PA ( PA ) = PA PA = 0 A ± D = ( ) = 0 60 = 80 D = 80 = PA = P 6 PA = = (voldoet) PA 0 0 = = (vold niet) PA = A op de cirkel met M = P en r = (gegeven: A ook op cirkel x = 0) x = 0 x = 0 ( x ) = ( ) x 0x = 0x = 0x = 0 x = in = 0 = = ± De twee punten A zijn A(, ) en A(, ) B op de cirkel met middelpunt P en r = (gegeven: B ook op cirkel x = 0) x = 0 x = 0 ( x ) = ( ) x 0x = 0x = 0x = 0 x = in = 0 = = ± Dus A(, ) met daarbij B(, ) of de mogelijkheid: A(, ) met daarbij B(, ) 0 Zwaartelijn z door A( a, 0) en het midden D( b, ) van BC is 0 = ( x a) ofwel = ( x a) a b a 0 Zwaartelijn z door B( b, 0) en het midden ( a, ) van AC is 0 = ( x b) ofwel = ( x b) ❷ b a b Zwaartelijn z 0 6 door C (0, ) en midden ( a b, 0) van AB is 0 = ( x a b ) ofwel = ( x a b ) ❸ a b 0 a b in ❷ ( x a) = ( x b) x a = x b b a a b b a b a a b a b a b ( a b) ( b a) a( a b) b( b a) ( ) x = x = b a a b b a a b ( b a)( a b) ( b a)( a b) b a

22 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a( a b) b( b a) a( a b) b( b a) a ab b ab a b ( a b)( a b) x = = = = = = a b in ( a b) ( b a) ( a b) ( b a) a b b a a b ( a b) = ( a b a) = ( a b a ) = a b a = b a = Dus Z ( a b, ) is snijpunt van z b a b a en z b a b a 6 6 ( a b) ( a b) Z ( a b, ) voldoet ook aan, immers ( a b a b ❸ ) = ( ) = 6 a b = klopt a b a b 6 6 a b 6 Dus z, z en z snijden elkaar in Z ( a b, ) de (drie) zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt d ( A, Z ) = a a b 0 = a a b = a b = a ab b = a ab b G7b ( ) ( ) ( ) ( ) b a b b b a ( ) ( ) ( ) ( ) ( a b) d ( D, Z ) = = = = b ab a = a ab b Hier staat te lezen dat: d ( A, Z ) = d ( D, Z ) AZ = DZ AZ : ZD = : G8 Stel P (0, λ) en noem Q het punt (0, 0) Pthagoras: PQ AQ = AP (0 λ) AQ = 0 AQ = 00 (0 λ) Dus A( 00 (0 λ), 0) 00 (0 λ) 0 Het midden M van AP is het punt M(, 0 λ) 00 (0 λ) x = en = λ x = 00 (0 λ) en λ = 0❷ ❷ in x = 00 (0 0) (kwadrateren) x = ( 00 (0 )) = ( 00 (00 80 )) = ( )) = 7 0 x 0 7 = 0 x ( 0) 00 7 = 0 x ( 0) = Dus M ligt op de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal r = G x 0 Het midden van is het punt ( P, P Q AP Q ) x Q = x en en P Q = P xp = xq P = Q Voor P (op de eenheidscirkel) geldt: xp P = ❸ Nu en ❷ in ❸ (xq ) ( Q ) = ( xq ) Q = (delen door ) ( x Q ) Q = Dus Q ligt op de cirkel met middelpunt (, 0) en straal r = ❷ G0 rc l = m en l door A(0, ) l : = mx l snijdt de x -as ( = 0) in P P (, 0) m k l en k door A(0, ) k: = x m p x -as en p door P (, 0) p: x = m m k en p snijden elkaar in S, dus voor S geldt: = x m = x x = x x = = x m m Dus alle punten S liggen op de parabool = x Ga Gb d ( P, A) = d ( P, B) ( x 6) ( ) = ( x ) ( ) (kwadrateren) (( x 6) ( ) ) = ( x ) ( ) ( x x 6 ) = x x x 8x 8 = x x x x = 0 x 8x = 0 ( x ) 6 ( ) = 0 ( x ) ( ) = 0 De punten P liggen op de cirkel met middelpunt (, ) en straal r = 0 = d ( P, C ) = ( x ) ( ) = (kwadrateren) ( x ) ( ) = 6 x x = 6 x x = 8 x 8x = 0 (zie Ga) x 8 = 8 x = x = = x in x 8 x ( x ) ( x ) = 0 x 8x x x 6x = 0 x x = 0 x 0x = 0 met D = ( 0) = 0 0 ± 0 x = = 0 ± x = = x = = x = in geeft = en x = 6 in geeft = De punten zijn (, ) en ( 6, )