x y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "x y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b"

Transcriptie

1 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a k: = x gaat door (0, ) ( 0 = ) en (, ) ( = ) l : x = 6 gaat door (0, ) (0 = 6) en (, 0) ( 0 = 6) Zie de lijnen in de figuur hiernaast b = x x = of x = of x = 6 of c x = 6 = x 6 = x l k a k: x = gaat door (0, ) (0 = ) en (, 0) ( 0 = ) Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast b k: x = gaat door A(8, ) ( 8 = = ) k: x = gaat niet door B(, ) ( = ) k: x = gaat door C ( 6, 7 ) ( 6 7 = 8 0 = ) k: x gaat door D( p, = p) ( p ( p) = 6p 6p = ) c x = q en = q invullen in x = q ( q ) = q q = 7q = 8 q = 8 = 7 7 d l : x = c door (, 6) 6 = c = c = c Dus l : x = e m: x = c door ( p, p) p p = c p 8p = c p = c Dus m: x = p k a k: x = snijden met de x -as ( = 0) x 0 = x = 6 snijpunt met de x -as is (6, 0) k: x = snijden met de -as ( x = 0) 0 = = snijpunt met de -as is (0, ) b x = x = x = 6 c k: x = snijden met de x -as ( = 0) x 0 = x = 6 = 6 (de 6 onder de x ) 6 6 k: x = snijden met de -as ( x = 0) 0 = = = (de onder de ) 6 a l : x = snijden met de -as ( 0) x 0 snijpunt met de -as is (, 0) a b = = a = a x a b l : x = snijden met de -as ( x = 0) 0 = = b snijpunt met de -as is (0, b) a b b a k: = ( x ) = x 8 = x rck = b k: = ( x ) gaat door (, ) want = ( ) (immers 0 = 0) c l : A = m( x xa) A = mx mxa = mx mxa A rc l = m l : A = m( x xa) gaat door A( xa, A) want A A = m( xa x A) (immers 0 = m 0) d B A B A m: A = ( x xa) gaat door A( xa, A) want A A = ( xa xa) (immers 0 = m 0) xb xa xb xa B A B A m: A = ( x xa) gaat door B( xb, B ) want x B A = ( x B xa xb x B x A ) A 6 7a 7b x = x = x = ❷ x = 7❸ x = x = in❷ = = 7 = 7 k: x of en : of x l x x = = = = ❸ x = x 6 = 6 x = ❷ x = ❷ = = in x = x = 0 8a k: = ( x ) x x en l : 0 0 ( x ) ( x ) x = = = = = 8b = x = x ❷ = = in = x x = x =

2 a G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / Jan mist de verticale lijn door (0, ), want er is bij = ax geen waarde van a die de lijn x = 0 (de -as) oplevert Harm mist de horizontale lijn door (0, ), want er is bij x p = geen waarde van p die de lijn = oplevert bc Je mist de verticale lijn x = door (, 0) 0a kp: = x p is een lijn met rck = door (0, p) 0b lp: = p( x 6) is een lijn door ( 6, ) met rc l = p 0c m p: px = 6 = px 6 = px is een lijn door (0, ) met rc m = p 0d n : x p = ( p 0) is een lijn door ( p, 0) en (0, p) p p a k p : px = 8 door (, ) p = 8 p = p = b k 8 p : px = 8 door (, 0) p 0 = 8 p = 8 p = c k 6 p : px = 8 evenwijdig met x = 0 k: px = 8 met p = p = 6 p = d k : 8 evenwijdig met x p px = = of x = 0 p = a b ( ) : x p p p p l door (, ) p = = = = p( p ) = ( p ) p p p p p p p p p p( p ) p p = p 6 p p p 6 = 0 ( p 6)( p ) = 0 p = 6 p = : x x ( )( x p p lp = = = p ) = x ( p ) met rc ( gegeven) p p p p p p l = = p p Dus = p = p p = p = p a k: x = 6 gaat door (0, ) (0 = 6) en (, 0) ( 0 = 6) l : x 6 = 8 gaat door (0, ) (0 6 = 8) en (, ) ( 6 = 8) Zie de lijnen in de figuur hiernaast b x = 6 x 6 = x 6 = 8❷ x 6 = 8❷ 0 = 6 (heeft geen oplossing) c = 6 l ❸ k k l a b k: = x gaat door (0, ) en (, ) ( = ) l : = x gaat door (0, ) en (, ) ( = ) Zie de lijnen in de figuur hiernaast Richting van k: naar rechts en omhoog Richting van l : naar rechts en omlaag Dus k en l staan loodrecht op elkaar a b 6 kp: x p = en lp: ( p ) x ( p ) = 6 evenwijdig (al dan niet samenvallend) geeft p = p( p ) = ( p ) p p = p p p = 0 ( p 6)( p ) = 0 p = 6 p = p p k p: x p = p = x = x rc k = p p p p p 6 p lp: ( p ) x ( p ) = 6 ( p ) = ( p ) x 6 = x rc p p l = p p p ( p ) kp lp = = ( p ) = p( p ) p = p p p p p( p ) p 7p = 0 met D = 7 = 6 p = p = p q = = p = q = ❷ Uitvolgt dan p = q ❸ q p q p q = q ❸ in ❷ = 6q = q q = q = in ❸ p = = q q

3 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / 7a 7b 8 rc 8 6 AB = rc = = m = midden van AB is 8 (, ) m: = ( x ) of m: = x = (, ) C even ver van A als van B wil zeggen: C op m Dus C is het snijpunt van l en m = x invullen in x = 6 geeft: x ( x ) = 6 x x 7 = 6 x = x = x = invullen in = x geeft: = = 7 = = 8 Dus C (, 8) Het middelpunt van de omgeschreven cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van OAB rc OA = = rc 8 mll = mll OA: = ( x ) of mll OA: = x 7 midden van OA is (, ) rcob = 6 = rc mll = mll : ( ) of mll : OB = x midden van is (, ) OB = x ❷ OB in ❷ geeft: x 7 = x x = (keer ) x = x = ❸ ❸ in geeft: = 7 = 6 87 = Dus het middelpunt van de omgescgreven cirkel van OAB is M(, ) a B op = x 0 Stel nu xb = p dan B = p 0, dus B( p, p 0) b B 0 p 0 B A p 0 p 8 rc OB en rc xb 0 p AB xb x A p 6 p 6 c OBA = 0 rcob rcab = p 0 p 8 = 0 C ligt op de lijn = x C ( p, p ) p p 6 (met p > 0 omdat C boven de x -as ligt) ( p 0)( p 8) = p p p 0 p p( p 6) rc AC = = en rc = = p p BC p 0 p 0 ( p 0)( p 8) = p( p 6) ACB = 0 rc AC rcbc = = x p p 0p 80 = p 6p p p = (met p 0) 0p 60p 80 = 0 p p 0 ( p 0) = p C ( p, p ) p 6p 8 = 0 p 0 = p ( p )( p ) = 0 p = A p = p = p = 7 d p = geeft B(, ) en p = geeft B(, ) Dit geeft C (7, ) B AB = (7 ) ( ) = 6 = 6 = = = = a b d ( A, B ) = ( ) ( ) = 8 6 = 6 6 = 00 = 0 P ( x, ) op m d ( P, A) = d ( P, B) ( x ) ( ) = ( x ) ( ) ( x ) ( ) = ( x ) ( ) x 6x 8 6 = x 0x 6x = Dus m : x = a P ( x, ) op mll m d ( P, A) = d ( P, C ) ( x ) ( ) = ( x ) ( ) ( x ) ( ) = ( x ) ( ) x x = x x 0 x = Dus m : x = 6 x = 6 b x = ❷ = = in❷ x = x = Dus S(, ) c S is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC P ( x, ) op mll n d ( P, B) = d ( P, C ) ( x 7) ( ) = ( x ) ( ) ( x 7) ( ) = ( x ) ( ) x x = x x 0 x = Dus n : x =

4 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a b c d 6a 6b 6c P ( x, ) op m d ( P, A) = d ( P, B) P ( x, ) op n d ( P, A) = d ( P, C ) ( x ) ( ) = ( x 7) ( ) ( x ) ( ) = ( x ) ( ) ( x ) ( ) = ( x 7) ( ) x x 6 = x x 6x 8 = 0 Dus m : x = ( x ) ( ) = ( x ) ( ) x x 6 = x x 8 6 Dus n : x = 0 x = x = 0❷ = = in x = x = x = Dus het middelpunt van de omcirkel is M(, ) De straal r van de omcirkel van driehoek ABC is d ( M, A) = ( ) ( ) = = 6 = = Alle punten met afstand tot M liggen op de cirkel met middelpunt M en straal Dus d ( P, M) = ( x ) ( ) = ( x ) ( ) = ( x ) ( ) = 0 ( x ) ( ) = r door (0, 0) ( x ) ( ) = r 6 = r r = 7 Dus ( x ) ( ) = 7 ( x ) ( ) = is een vergelijking van de cirkel met middelpunt M(, ) en straal r = ( x ) ( ) = r door (, ) ( ) ( ) = r = r r = 6 Dus ( x ) ( ) = 6 ( x ) ( ) = r (maak een schets) door (, 0) r = Dus ( x ) ( ) = B( x, ) op de middelloodl m van PQ d ( B, P ) = d ( B, Q) B( x, ) op de middelloodl n van PR d ( B, P ) = d ( B, R ) ( x ) ( ) = ( x 7) ( ) ( x ) ( ) = ( x ) ( 6) ( x ) ( ) = ( x 7) ( ) ( x ) ( ) = ( x ) ( 6) x x = x x x x = x 6x 6 x = 8 Dus m: x = x 8 = 0 Dus n : x = 0 ❷ Nu in ❷ = 0 = 6 = M = B(, ) en r = d ( B, P ) = ( ) ( ) = = 0 Dit geeft ( x ) ( ) = 0 7a A(, 0) en B(0, ) AB = ( 0) (0 ) = 6 = 0 = = = 7b OA OB = O ( OAB) AB OC = O ( OAB) OA OB = AB OC = OC OC = = = = = 8 l k x = c xp P xp P = c❷ Nu ❷ in l : x = P ( xp, P ) op l Neem bijvoorbeeld k: x = of k: x = l k l : x = c 0 = c = c P (0, ) op l Dus l : x = d ( P, k ) = d ( O, k ) d ( O, B) = = = De formule geeft d ( P, k ) = = = = 6 De gegeven formule klopt dus bij dit voorbeeld A O P k 0 P ( x, ) op een bissectrice van k en l geeft d ( P, k ) = d ( P, l ) x x 6 = x = x 6 x = x 6 x = (x 6) x = 6 x = x 6 x = 6 7x 7 = 8 Dus m: x = 6 en n: 7x 7 = 8 l

5 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a P (0, ) ligt op k : x = (want 0 = ) d ( k, l ) = d ( P, l ) = = = = 0 = b P ( x, ) op de middenparallel van k en l geeft d ( P, k ) = d ( P, l ) x x 8 = x = x 8 x = x 8 x = (x 8) 0 = 0 x = x 8 geen opl 6x 8 = Dus m: x = MAKKELIJKER: De middenparallel van k: x = en l : x = 8 is m: x = 8, dus m: x = a P ( x, ) op afstand van k geeft d ( P, k ) = x x = = x = 0 x = 0 x = 0 x = x = Dus l : x = en m: x = b P ( x, ) op afstand van k geeft d ( P, k ) = x x = = x = x = x = x = 7 x = P op de x -as ( = 0) geeft de punten (, 0) en (, 0) a : x C (,) AB = of x = d ( C, AB) = = = 6 b rc 0 BC = = en rc 6 BC rcad = rc AD = A(0, 8) = x 8 Dus AD: 8 = ( x 0) of = x 8 ( 6) BC : 0 = ( x 6) ofwel = x 7 D AD en BC snijden geeft x 8 = x 7 ( ) x 80 = x 86 6x = x = en = 8 = B(6, 0) Dus D(, 7 ) 6 6 8x = 8 c P ( x, ) op een bissectrice van hoek B geeft d ( P, BA) = d ( P, BC ) C (,) BA: x = en BC : = x 7 ofwel x = 7 x x 7 d ( P, BA) = d ( P, BC ) = E ( ) ( ) A(0, 8) x x 7 x x 7 = = 6 x = x 7 (x ) = (x 7) (x ) = (x 7) x = 60x 60 x = 60x 60 8x 6 = 8 x = 67 x 8 = 6 (snijdt lijnstuk AC niet) 8x = 8 (deze zoeken we) x 8 = 6 AC : 8 = 8 ( x 0) ofwel AC : = x 8 0 B(6, 0) AC snijden met 8x = 8 geeft 8x x 8 = 8 x = 0 x = 0 = 0 en = 0 8 = Dus E ( 0, ) a Vanuit A 6 naar rechts en omhoog heeft dezelfde richting als de richting van A naar B b Vanuit A 600 naar rechts en 00 omhoog heeft dezelfde richting als de richting van A naar B Dus ja Vanuit A 0 naar links en 0 omlaag heeft ook dezelfde richting als de richting van A naar B Dus ja a b r k = : n k = k x = c Het punt (, ) ligt op k = c c = 7 Dus k: x = 7 r l = : n l = = l x = c Het punt (0, ) ligt op l 0 = c c = 6 Dus l : x = 6

6 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 6/ 6a 6b k: x = n k = r k Het punt (0, ) ligt op k k: x λ λ = = = l : x 7 = 0 n 7 l = 7 r l Het punt (0, 0) ligt op l l : x 7 λ λ = = = 7a 7b k: x = λ = 7 λ r k = nk = l k n l = l : x = c 7 = c = = c Dus l : x = P (, 7) op l 7 m evenwijdig met n: 7x = met nn = r m = rn = 7 x P (, 7) op m m: = λ k: x = snijden met m: x = λ = λ λ ( λ) = λ = λ = λ = λ = invullen in de parametervoorstelling van m geeft x = = = = snijpunt (, ) l : x = λ = λ rl = nl = l : x = c = c = 8 = c Dus l : x = 8 (, ) op l x 7 x 8 x P ( x, ) op een bissectrice van k en l geeft d ( P, k ) = d ( P, l ) = 7 x = x 7 = x 8 x 7 = x 8 x 7 = x 8 x = x = ❸ x = x = x = ❷ x = ❷ 7 = = in x = x = x = x = ❹ x = ❷ = in❷ x = x = x = De snijpunten zijn (, ) en (, ) 7 0a Vanuit A(0, ) naar P (, 0) ga je naar rechts en omlaag PQ AP en PQ = AP vanuit P (, 0) ga je naar rechts en omhoog Dus Q(, ) 0b Vanuit A(0, ) naar P (, 0) ga je naar rechts en omlaag PQ AP en PQ = AP vanuit P (, 0) ga je naar rechts en omhoog Dus Q(6, ) 0c Vanuit A(0, ) naar P (8, 0) ga je 8 naar rechts en omlaag PQ AP en PQ = AP vanuit P (8, 0) ga je naar rechts en omhoog Dus Q(0, ) 0d x De lijn door (, ) en (6, ) heeft als parametervoorstelling = λ x 0 Het punt (0, ) ligt op = λ, want = Q ' Q Stel P (0, λ) O = Q ' = 0 A P = 0 A P PQ ' Q AOP (hh) = P P = 0 PQ ' Q AOP en PQ = AP PQ ' = OA = 6 = en QQ ' = OP = λ 0 Dus Q( λ, λ) Q ligt op de lijn met s = en r n = = Een vergelijking van de lijn is x = 8 (want 0 = 8) P λ O A

7 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 7/ Stel P (6 λ, 0), dan is Q(0, λ) Het midden M van PQ is dan ( 6 λ 0, 0 λ) = ( λ, λ) M ligt op de lijn met s = en r n Dus een vergelijking van de lijn is x = = = (want = ) Stel P ( λ, 0) OP = λ en OQ = λ 6 x = λ x Q = λ = λ en 0 Q( x, x ) OQ = x ( x ) = x x = x = x λ λ 0 0 λ Het midden M van PQ is dan (, ) ( λ, Q = x Q = λ = λ = λ 0 0 = λ) 0 0 M ligt op lijn met s = en r n Dus e 0 = = en vergelijking van de lijn: x = 0 (want 0 0 = 0) Stel P ( λ, λ) P ' = Q ' = 0 P A = 0 A P AP ' P PQ ' Q (hh) = P P = 0 PQ ' Q AOP en PQ = AP PQ ' = ( λ) en QQ ' = λ x ' ' 8 8 en ' ' Q = P Q = λ λ = λ Q = OP Q Q = λ λ = λ 8 Dus Q op een lijn met s = en r 0 = n = (want 8 0 Een vergelijking van de lijn is x = 0 = = ) P ' A P Q Q ' = x ( x ) ( ) = (haakjes wegwerken) x 6x = (op nul herleiden) x 6x = 0 6 x b = 0 x ( b) b = 0 x ( b) = b Dit stelt een cirkel voor als b 0 b b b Dus b b 7a 7b 7c 0 0 a 0 b 0 = 0 klopt x ax b = 0 door A(0, 0) a 0b = 0 0a = 00 a = 0 x ax b = 0 door B(, 6) 6 6 a 6b = 0 a 6b = a b = 6 a = 0 0 b = 6 b = 6 b = a b = 6 Dus x 0x = 0 ( x ) ( ) = 0 ( x ) ( ) = 6 Dus een cirkel met M (, ) (en r = 6) x ax b = 0 met a = b ( a > 0 en b > 0) x bx b = 0 ( x b) b ( b) b = 0 ( x b) ( ) = b ( = = r ) b = b = b = b = ( < 0 dus voldoet niet) b = (voldoet) Dus M( b, b) = M(, ) 8a 8b x ax 6 = 0 ( x a) a ( ) 6 6 = 0 ( x a) ( ) = a Dit stelt een cirkel voor als a a 00 a a Dus a a a 0 a 0 a Dit geldt voor elke waarde van a Dus x ax 6 = 0 stelt voor elke a een cirkel voor 8c ( a, ) op k geeft a = 0 a = 0 a = a = 6

8 a 0a a b c d G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 8/ x x 6 = 0 ( x ) ( ) = 0 ( x ) ( ) = 7 Dus M(, ) en r = 7 AM = = < 7 A ligt binnen de cirkel = = = = 0 0 = x = 8 ( ) = en = x = 8 ( ) = x x = 0 ( x ) = 0 ( x ) ( 0) = M(, 0) = 0 klopt Dus O(0, 0) ligt op de cirkel Substitutie van = ax in x x = 0 geeft x x ( ax ) = 0 x x a x = 0 ( a ) x x = 0 ( ) x ( a ) x = 0 x = 0 x = a x = 0 = a 0 = 0 (snijpunt O ) en x = = a = a (snijpunt A) a a a a = geeft x 6 A = = = = = ( ) en 8 ( 6, 8 A = = = = = A ) ( ) a 0 = a( x ) geeft = ax a b c d Substitutie van = ax a in x = geeft x ( ax a) = x a x a x a = ( a ) x a x a = 0 met D = ( a ) ( a ) ( a ) = a ( a ) = ( ) a a x = = = x = a = a = a ( a ) ( a ) ( a ) a a x = = 0 en x = a = a a a = a a a a = a a a a = a a a a a a a b x = x = invullen in ( x ) ( ) = 0 ( ) ( ) = 0 ( ) ( ) = 0 0b = 0 8 = 0 met D = ( 8) = 6 a a S a a = geeft het snijpunt S met x S = = = = en = = = = a Er geldt: ( ) ( ) = ofwel = Je krijgt het Pthagoreïsch drietal (,, ) 6 a 7 S 7 6 a 6 P ( λ, 6 λ) op k PM = ( λ ) (6 λ ) = ( λ ) ( λ) PM < 7 ( λ ) ( λ) < 7 λ λ 6λ λ < 7 λ λ < 0 λ λ < 0 ( λ )( λ ) < 0 < λ < 6x = = x invullen geeft x ( x ) 8x ( x ) 0 = 0 x x x 68 8x x 0 = 0 6 x x = 0 6 x 7x = 0 D = ( 7) = 086 D = 0 x = 7 0 = x = 7 0 = 0 0 x = = = 7 en x = = = a = geeft x 6 6 A = = = = = a = geeft x a S = = = 6 = en = = = 6 = 8 a Er geldt: ( ) ( ) = ofwel 8 = 7 Je krijgt het Pthagoreïsch drietal (, 8, 7) 7 7 = ofwel ( ) ( ) = Dus a = a = (**) a a a = a = a 8a = 8 a = a = (voldoet niet aan **) a = (voldoet) a e f ( ) ( ) en 6 8 A = = = = = De snijpunten zijn A( 6, 8) en O (0, 0) x 0 0 P = geeft = a 0a 0 = 0a = a = = 0 a = a = Verder geldt: (omdat P onder de x -as) a P < < < a Dus a = voldoet en a = voldoet niet Een vergelijking van de lijn is = x 0 0 a 0 (omdat a > 0)

9 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / e 708 = ofwel ( 708 ) ( ) = Dus a = 708 a = (**) a a a 708 = 708a 708 = a 6a = a = a = ± a 6 Dus a = (de andere oplossing voldoet niet aan **) a Substitutie van = x in x = 0 geeft x (x ) = 0 x x 0x = 0 x 0x = 0 x x = 0 ( x )( x ) = 0 x = x = x = = = en x = = = b Substitutie van = x in x = 0 geeft x (x ) = 0 x x 0 x 0 = 0 x 0 x 0 = 0 x x 8 = 0 D = ( ) 8 = = 0 Omdat D = 0 is er één oplossing De lijn en de cirkel hebben één punt gemeenschappelijk, dus de lijn raakt de cirkel a m: 0 = ( x 0) m: = x b Stel l : 0 = a( x 0) ofwel = ax 0 a Substitutie van = x in x = 0 geeft Substitutie in x = 0 geeft x ( x ) = 0 x ( ax 0 a) = 0 x x = 0 x a x 0a x 00a = 0 0 ( a ) x 0a x 00a 0 = 0 x = 0 Raken, dus D = 0 x = D = ( 0 a ) ( a ) (00a 0) x = x = = 00a (00a 0a 00a 0) x = = = en = 00a 00a 60a 0 = 60a 0 x = = = D = 0 60a = 0 a = a = ± De raakpunten zijn A(, ) en B(, ) k m door A(, ) k: = x 0 Dus l 0 0 : = x en l : = x k m door B(, ) k: = x 0 x Raaklijn in (raakpunt) (, ) aan met A A x k A x A A A x = r roa = n A OA r k x n = = A k = A k: xa x A = c x door (, ) A A c A x A = A c = r De raaklijn is dus xa x A = r A( xa, A) op x = r xa A = r 6a k: x = 6b 6d Van de cirkel is M(0, 0) en r = Stel l : = x b, dus l : x b = 0 Raken, dus d ( M, l ) = r 0 0 b b = = ( ) ( ) b = = 6 = b = 6 b = 6 Dus l : = x 6 en l : = x 6 Stel n: = a( x ), dus ax a = 0 Raken, dus d ( M, n) = r 0 0 a a = = a ( ) a a = a (kwadrateren) 6c Stel m: 0 = a( x ), dus m: ax a = 0 Raken, dus d ( M, m) = r a 0 0 a = = a ( ) a a = a (kwadrateren) 6 a = a a = a = a = a = Dus m : = ( x ) en m : = ( x ) a 0a = a a 0a = 0 6a a 6 = 0 D = 6 6 = 6 D = a = = 8 = a = = 8 = Dus n : = ( x ) en n : = ( x )

10 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 0/ 7a k: x = 7 7c 7b Van de cirkel is M(0, 0) en r = 7 m loodrecht op l : x = dus m: x = c Raken, dus d ( M, m) = r 0 0 c c = 7 = 7 7 c = c = 7 c = 7 c = 7 Dus m: x = 7 en m: x = 7 Stel n: 7 = a( x 0), dus ax 7 = 0 Raken, dus d ( M, n) = r = 7 = 7 a ( ) a 7 = 7a 7 (kwadrateren) 7 7 = 7a 7 7 = a a = 6 a = a = Dus n: x 7 = 0 en n: x 7 = 0 8a 8b 8c Voor k geldt k: xa x A = r, dus x = Voor l geldt l : xb x B = r, dus x = x = x = 0 x = ❷ x = ❷ = = in x 0 = x = x = Dus P (, ) r AB = nab = Controle: AB: x = c = c c = Dus AB: x = door A(, ) ❸ m: xp x P = r m: x = m: x = Dus lijn m is lijn AB Een voorkeur is persoonlijk Zorg dat je beide methoden beheerst 60a 60b 60c 6a 6b translatie ( xm, M ) c: ( x xm ) ( M ) = r ( x xm xm ) ( M M ) = r dus c: x = r translatie ( xm, M ) P ( xp, P ) P '( xp xm, P M ) Poollijn van P ' ten opzichte van c is k: ( xp xm ) x ( P M ) = r translatie ( xm, M ) k: ( xp xm ) x ( P M ) = r l : ( xp xm ) ( x xm ) ( P M ) ( M ) = r (poollijn van P ' ten opzichte van c ) (poollijn van P ten opzichte van c ) l : ( x x ) ( ) ( ) ( ) P xm P x M x x M P M M = r n l =, dus P r M = PM PM l De poollijn van A(, 8) tov c: x = 0 is x 8 = 0 x 8 = 0 x = 0 ❸ Nu ❸ invullen in ❷ (0 ) = 0 x = 0❷ x = 0❷ 00 0 = = 0 8 = 0 ( )( 6) = 0 = = 6 = in❸ x = 0 = 6 met raaklijn in (6, ) de lijn 6x = 0 of x = 0 = 6 in x = 0 6 = met raaklijn in (, 6) de lijn x 6 = 0 of x = 0 ❸ x x = 0 ( x ) ( ) = 0 ( x ) ( ) = De poollijn van B(, ) tov c: ( x ) ( ) = is ( )( x ) ( )( ) = x = x = 6 Nu ❸ invullen in ❷ ( 6) ( 6) = 0 x = 6 x = 6❸ 6 6 = 0 x x = 0❷ x x = 0❷ = 0 6 = 0 ( )( ) = 0 = = ❸ = in x = 6 = 0 met raaklijn in (poollijn van) (0, ) de lijn (0 )( x ) ( )( ) = dus x = of x = = in❸ x = 6 = met raaklijn in (poollijn van) (, ) de lijn ( )( x ) ( )( ) = dus x =

11 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / 6a k: = x x = x = 0 6b De poollijn van P ( xp, P ) tov c: x = 0 is xp x P = 0 Als k: x = 0 de poollijn is van P tov c: x = 0, dan is P (, ) 6c Poollijn l : = x x = x = 0 Dus pool Q(, ) 6a 6b 6c 6a 6b De poollijn van A( r, 0) tov c: x = r is rx 0 = r Dus rx = r x = r x = r Nu in ( ) ❷ r = r r = r = r = ± r = ± r x = r ❷ De raaklijn in ( r, r ) is de lijn rx r = r ofwel x = r De raaklijn in ( r, r ) is de lijn rx r = r ofwel x = r De poollijn van B(0, r) tov c: x = r is 0x r = r Dus r = r = r = r Nu in ( ) ❷ x r = r x r = r x = r x = ± r = ± r x = r ❷ De raaklijn in ( r, r) is de lijn rx r = r ofwel x = r De raaklijn in ( r, r) is de lijn rx r = r ofwel x = r De poollijn van C ( r, r) tov c: x = r is rx r = r Dus x = r x = r Nu in ❷ ( r ) = r r r = r r = 0 ( r) = 0 x r = ❷ = 0 in x = r 0 = r en de raaklijn in ( r, 0) is de lijn rx 0 = r ofwel x = r = r in x = r r = r en de raaklijn in ( r, r) is de lijn rx r = r ofwel x = r x 8x 6 0 = 0 Nu in ❷ ( ) ( ) = ( x ) 6 ( ) 0 = 0 6 = 6 ( x ) ( ) = 7 = 0 6 De poollijn van O(0, 0) tov c: ( x ) ( ) = is 0 80 = 0 (0 )( x ) (0 )( ) = x 6 = 6 = 0 x = 0 D = ( ) 6 = 6 D = 6 x = 0 = 6 = in x = = = x = 0 6 = = in x = = = 0 ( x ) ( ) = ❷ Raaklijn in (, ) (door pool O ) is ( )( x ) ( )( ) = x 8 = x = 0 Raaklijn in (, ) (door pool O ) is ( )( x ) ( )( ) = x 8 6 = x = 0 De poollijn van A(, 0) tov c: ( x ) ( ) = is Nu in ❷ ( ) ( ) = ( )( x ) (0 )( ) = 6 6 = x = = 0 x = 8 x = 8 = 0 x = 8 ( )( ) = 0 = in x = 8 = ( x ) ( ) = ❷ = in x = 8 = Raaklijn in (, ) is ( )( x ) ( )( ) = x 8 = x = 6 x = 6 Raaklijn in (, ) is ( )( x ) ( )( ) = x 6 = x = 6a 6b x 0x = 0 De poollijn van A( 6, ) tov c: ( x ) ( ) = is ( x ) ( ) = 0 ( 6 )( x ) ( )( ) = x = ( x ) ( ) = x = 6 ofwel poollijn p: x = 6 De raaklijn k in (poollijn van) B(8, 6) is (8 )( x ) (6 )( ) = x 8 = k: x = 8

12 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / k: x = 8 snijdt de -as ( x = 0) in C (0, ) De poollijn van C (0, ) is (0 )( x ) ( )( ) = x 0 0 = p: x = 0 x = Nu in ❷ ( ) ( ) = ( x ) ( ) = ❷ 6 8 = 0 60 = 0 8 = 0 ( 6)( ) = 0 = 6 in geeft x = 6 = 8 wat hoort bij B(8, 6) en = in geeft x = = 0 Dus D(, 0) 66a 66b 66c x 6x = 0 ( x ) ( ) = 0 ( x ) ( ) = Dus M (, ) (en r = ) PM = ( ) ( ) = 6 = = PM r = ( ) = = 0 6 = 0 De uitkomsten zijn gelijk 66d x ax b c = 0 ( x a) a ( b) b c = 0 ( x a) ( b) = a b c Dus M( a, b) (en r = a b c ) PM r = ( ( xp a) ( ) ) ( ) P b a b c = ( xp a) ( ) P b a b c x = P axp a P bp b a b c = xp P axp bp c 67a 67b 68 Voor r van c geldt: r = ( ) 8 0 = = Dus c: ( x ) ( ) = Voor r van c geldt: r = (6 ) ( ) = = 7 Dus c: ( x 6) ( ) = 7 c: x 8x = 0 c: ( x ) 6 ( ) = 0 c: ( x ) ( ) = M(, ) en r = Voor r van de cirkel c met middelpunt M(, ) die c loodrecht snijdt, geldt: r = 8 = 6 = r = Dus cirkel c is cirkel c cirkel c en cirkel c snijden elkaar loodrecht 6a P op de x -as ( = 0) stel P ( λ, 0) P ( λ, 0) heeft gelijke machten ten opzichte van c en c: ( λ ) (0 ) 0 = ( λ 7) (0 ) λ λ 0 = λ λ 6λ = λ = Dus P (, 0) 6b P op x = 6 stel P ( λ, 6 λ) P ( λ, 6 λ) heeft gelijke machten ten opzichte van c en c : λ (6 λ) 8 = λ (6 λ) λ λ 6 λ λ 8 = λ 6 λ λ λ λ = λ = Dus P (, ) 70a 70b 70c c: x x 8 0 = 0 c: ( x ) ( ) 0 = 0 c: ( x ) ( ) = M(, ) Voor r van de cirkel c met middelpunt M(, ) die c loodrecht snijdt, geldt: r = ( ) ( ) 6 = 6 8 = Dus c: ( x ) ( ) = c: x 6x = 0 c: ( x ) ( ) = 0 c: ( x ) ( ) = M(, ) De lijn door M (, ) en M(, ) heeft als vergelijking: = ( x ) ofwel = ( x ) ofwel = x P op = x stel P ( λ, λ ) P ( λ, λ ) heeft gelijke machten ten opzichte van c en c: λ ( λ ) 6λ ( λ ) = λ ( λ ) λ 8( λ ) 0 6λ λ = λ 8λ 6 0 0λ = λ = = Dus P (, ) 0 P ( x, ) heeft macht 0 tov c x 6x = 0

13 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / 7 Stel c: ( x xm ) ( M ) = r en c: ( x xm ) ( M ) = r met r r P ( xp, P ) heeft gelijke machten ten opzichte van c en c: ( xp xm ) ( P M ) r = ( xp xm ) ( P M ) r r = r r = r in tegenspraak met de veronderstelling 7a P ( xp, P ) heeft gelijke machten ten opzichte van c en c: xp P = xp P 8xP 8P 0 8xP 8P = xp P = 7 7b Uit x 7 volgt dat op de lijn 7 ofwel 7 P P = P x = = x ligt 7c P ( xp, P ) heeft gelijke machten ten opzichte van c en c: xp P axp bp c = xp P pxp qp r axp bp c = pxp qp r axp pxp bp qp c r = 0 ( a p) xp ( b q) P c r = 0 Dus P op de lijn ( a p) x ( b q) c r = 0 7 De machtlijn k van c en c is k: x = en de raaklijn in A(, ) aan c is l : x = x = x = x = ❷ x = 0❸ 8 = = in❷ x = x = 8 60 Dus M(, ) en r = ( ) ( ) = Dit geeft c : ( x ) ( ) = De machtlijn k van c en c is k: 8x 6 = 0 ofwel x = x = invullen in c : x = geeft ( ) = = 6 = = 0 = 0 met D = ( ) = 80 = 6 D = 8 = 8 = in x = = = Dit geeft het snijpunt (, ) 0 = 8 = in x = = = = Dit geeft het snijpunt (, ) a p 7 De machtlijn van en is : ( ) ( ) 0 ofwel c r a p k c c k a p x b q c r = = x met rc k = b q b q b q c: x ax b c = 0 en c: x px q r = 0 c: ( x a) a ( b) b c = 0 c : ( x p) p ( q) q c = 0 c : ( x a) ( b) = a b c c : ( x p) ( q) = p q r Dus M( a, b) (en r = a b c ) Dus M (en ( p, q) r = p q r ) q b q b b q De lijn door M en M heeft richtingscoëfficiënt rc M M = = = p a p a a p a p b q Nu is rck rcm Hieruit volgt dat M = = k M M b q a p 76 De machtlijn k van c en c is k: x 6 = 0 ofwel = x Stel P ( λ, λ ) heeft macht 6 tov c (en c) : λ ( λ ) = 6 λ λ 0λ = 6 λ 0λ = 0 λ λ = 0 ( λ )( λ ) = 0 λ = λ = Dus A(, ) en B(, )

14 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / 77a c: ( x ) ( ) = c: ( x 8) ( ) = 8 c: x x = c: x 6x 6 = 8 c: x x = 0 c: x 6x 60 = 0 De machtlijn k van c en c is k: x 6 60 = 0 ofwel = x 0 77b Stel P ( λ, λ 0) heeft macht 8 tov c (en c) : ( λ ) (λ ) = 8 λ λ λ λ 8 = 0 λ 8λ = 0 met D = ( 8) = 6 D = 8 x = λ = 8 8 =, 6 =, 6 0 =, Dit geeft het snijpunt A(, 6;, ) 0 x = λ = 8 8 = in = 0 = Dit geeft het snijpunt B(, ) 0 77c P ( λ, λ 0) heeft gelijke machten (dus P moet op de machtlijn liggen) tov c (en c) : De macht van P tov c is ( λ ) (λ ) = λ λ λ λ = λ 8λ 0 d = λ 8λ 0 is minimaal als = 0 0λ 8 = 0 0λ = 8 λ =, 8 dλ Dus P (, 8; 0, ) 78a AB = BC = ABM = C = 0 ABM BCN (ZHZ) BM = CN = ABM BCN AMB = BNC BSM BCN (hh) SBM = NBC 78b AM = AB BM = = 6 = 0 AM = 0 = = SM BM SM BSM BCN (zie 78a) = = SM = SM = = = = = CN BN 78c AS = AM SM = = 8 Dus AS : SM = 8 : = ( ) : = : 7 Bij een vergroting met factor k ( k > 0) worden alle lengtes met k vermenigvuldigd, dus blijft DS = AD 80 Zie de figuur hiernaast P is het snijpunt van AM en BN D N C AM: = x en BN : = x Q Los op x = x x = x = 6 x = 6 P ( 6, ) R Q is het snijpunt van AN en DP R is het snijpunt van AC en DP M AN : = x en AC : = x en DP: = 6 x P 6 DP: = x = 0 x 6 Los op x = 6 x B Los op x = 6 A x x = 6 6 x = Midden tussen P ( 6, ) en Q( 6, 6) ligt x = 6 = = 6 6 x 6 6 x = 7 (, ) = ( 8, 6) R( 6, 8) x = = 6 Q( 6, ) Dus R(, ) 7 7 Dus R is niet het midden van PQ 8a H ligt op OC xh = 0 8b Voor de middelloodlijn m van AB geldt m: x = a b H ligt op de hoogtelijn h door B Voor de middelloodlijn m van AC geldt rc a m = c Omdat h AC is rch rcac = met rc c rc c rc a m gaat door het midden ( a, c ) van AC AC = h = h = a a c h: = a m x p : c = a x c q c 0 = a b p p ab door B( b, 0) c = = a a q q = c a = c a c door ( a, c ) c c c x 0 ab Dus (0, ab H = H = H ) x a b a a b c a Dus ( a b, ab c ) c c M = M = c M c c 8c De zwaartelijn z 0 gaat door C (0, c) geldt ( a b, 0) van AB z : c = c ( x 0) = c x c 0 a b a b c 0 a b De zwaartelijn z gaat door B( b, 0) geldt ( a, c ) van AC z : 0 = ( x b) = c ( x b) a b ( ) ( ) ( ) Los op c bc c c c bc c a b c a b x = x c x = c x = ac bc bc a b a b a b a b a b a b ( a b)( a b) a b

15 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / 8d ac bc ac bc x = ac bc ( a b)( a b) a b ac bc x = ac bc ( a b)( a b) a b ( ac bc) x = ac bc ( a b)( a b) a b ac bc ( a b) ( a b) x = = a b a b ( ac bc) x a b in c a b = = c = c c = c = c Dus Z ( a b, c ) a b xa xb xc A B C Algemeen geldt: het zwaartepunt van ABC is Z (, ) We weten: M( a b, ab c ), H (0, ab ) en Z ( a b, c ) c c c ab c a b 0 HZ : ab = ( x 0) ab = c ab x = c ab x ab c c c( a b) c( a b) c Nu nog controleren of M( a b, ab c ) hierop ligt c? ab c c ab a b?? = ab ab c = c ab ab ab c = c ab klopt c c ( a b) c c c c c c 8 Zie Theorie B op blz 8a Assenstel met A( d, 0) en B( d, 0) (gebruik de figuur uit het voorbeeld op blz in het boek) P op de cirkel ( x d ) = r en op de cirkel ( x d ) = ( kr ) x dx d = r x dx d = k r dx = r k r = ( k ) r r = dx in k De cirkel x dx d = dx ofwel x d ( d ) x d = 0 k k 8b Assenstel met A( d, 0) en B( d, 0) P op de cirkel ( x d ) = r en op de cirkel ( x d ) = r x dx d = r x dx d = r dx = 0 ( d 0) x = 0 (de -as en geen cirkel) Dus de punten P liggen op de middelloodlijn van AB 8a 8b 8c C ligt op m: x = en op = ax Dus C (, a) D ligt op c: ( x ) = en op = ax ( x ) a x = x x a x = ( a ) x x = 0 ( ) x ( a ) x = 0 x = 0 met = 0 A(0, 0) x = met = a Dus D(, a ) a a a a ( a ) Er geldt x ofwel a C xe = xd xc xe = xc xd = = = a a a a ( ) Ook geldt ofwel a a a a a Dus ( a, a C E = D C E = C D = a = = E ) a a a a a a a 0 a a a a a ( a ) a BE : 0 = ( x ) = ( x ) = ( x ) = a x a BE snijdt m in F xf = en F = a a = a Dus F (, a ) We weten nu M(, 0), C (, a), F (, a ) en B(, 0) MC = a, MF = a en MB = Er geldt: MC = a en MF MB = a = a Dus MC = MF MB

16 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 6/ Diagnostische toets Da ( x, ) = (, ) voldoet aan px = p p = p p = p p = 6 p = Db Dc Dd px = p evenwijdig met p x = 0 (zet x, en = netjes onder elkaar) = p = px = p evenwijdig met x x = ofwel p = p = p = x = 60 px = p of = px p evenwijdig met x -as ( = 0) of = 0x p = 0 p = 0 Da x p = 6 evenwijdig met p px ( p 6) = p = p = p 8 p p 8 = 0 ( p 6)( p ) = 0 p = 6 p = p p 6 Db kp: x p = 6 lp: px ( p 6) = p Dc kp: x p = 6 kp: p = x 6 lp: ( p 6) = px p p = 6 x = 0 (de -as) 6 p p kp: = x lp: = x lp: px ( p 6) = p p p p 6 p 6 ( p 6) = p ❷ x = 0 (de -as) kp lp rck rc p l = 6 p p = 6 = ❸ p p = p p 6 ( p 6) = p ❷ ( p 6) = p ❷ p = ❸ in ❷ geeft: ( p 6) 6 = p ( p 0) p p( p 6) p = p( p 6) ( p 6) 6 = p( p ) ( p 0) p = p 6p 6p 6 = p p ( p 0) p p = 0 p p 6 = 0 ( p 0) p( p ) = 0 D = ( ) 6 = 60 D = 60 = 6 0 = 0 p = 0 p = 0 0 p = = 0 p = = 0 Da Db Cirkel met middelpunt A(, ) geeft ( x ) ( ) = r Deze cirkel gaat door B(, ) ( ) ( ) = r r = 6 = 6 = 0 De vergelijking van de cirkel met middelpunt A(, ) door B(, ) is ( x ) ( ) = 0 M op mll m van A en B d ( M, A) = d ( M, B) ( x ) ( ) = ( x ) ( ) ( x ) ( ) = ( x ) ( ) x x = x 8x 6 0 x = 6 Dus m: x = De straal r = d ( M, A) = MA = ( ) ( ) = = = 0 M op mll n van A en C d ( M, A) = d ( M, C ) ( x ) ( ) = ( x 6) ( ) ( x ) ( ) = ( x 6) ( ) x x = x x 6 6 8x 8 = 0 Dus n: x = x = x = ❷ = = in x = x = Dus het middelpunt M van de omcirkel van ABC is M(, ) Dc ( ) ❷ Het midden van lijnstuk AB is N, = N (, ) De straal r = d ( N, A) = NA = ( ) ( ) = = = 0 De vergelijking van de cirkel met middelpunt N (, ) en straal r = NA is ( x ) ( ) = 0 Da Db P ( x, ) op een bissectrice van k en l geeft d ( P, k ) = d ( P, l ) x 6 x 0 = x 6 = x 0 x 6 = x 0 x 6 = ( x 0) x = x 6 = x 0 Dus m: x = en n: x = 6 P (0, ) (punten op de -as) op afstand van k geeft d ( P, k ) = 0 6 = 6 = 6 = ± = 6 ± = ± Dit geeft de punten (0, ) en (0, )

17 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 7/ Da De vergelijking van BC is x = Dus d ( A, BC ) = x A = = Db AB: = ( x ) ofwel = ( x ) ofwel = x ofwel x = 0 ofwel x = 0 P ( x, 0) (punten op de x -as) met d ( P, AB) = d ( P, BC ) x 0 x = x = x x = ( x ) x = ( x ) x = x x = x ( ) x = ( ) x = x = = = = = x = = = = = Dit geeft de punten (, 0) en (, 0) D6a D6b D7 D8a D8b x 6 k: x = gaat door (6, 0) en heeft n = r Dus λ 0 = = l : x = λ = λ gaat door (, ) en heeft r = n Dus l : x 7 ( ) = = Stel P ( λ, 0) OP = λ en OQ = λ x = λ x Q = λ = λ en Q( x, x ) OQ = x ( x ) = x x = x = x 6 6 λ λ 0 λ Q = x Het midden M van PQ is dan (, ) ( Q = λ = λ = λ = λ, λ) M ligt op lijn met s = en r n Dus 0 = = een vergelijking van de lijn: x = 0 (want 0 0 = 0) x ax = 0 a 0 ( x a) a ( ) = 0 a ( x a) ( ) = a a 6 Dit stelt een cirkel voor als a 6 Dus a 6 a 6 ( x a) ( ) = a, dus middelpunt M( a, ) l : x = a = a 6 = a = a = M( a, ) op l Als M op l ligt, dan is a = en dat kan niet omdat x ax = 0 alleen een cirkel voorstelt voor a 6 a 6 (zie D8a) Da k: x = 0 of k: x = 0 Dc Db Dd Van de cirkel is M(0, 0) en r = 0 Stel l : = x b, dus l : x b = 0 Raken, dus d ( M, l ) = r 0 0 b b = 0 = 0 ( ) 0 b = 0 b = 0 b = 0 Dus l : = x 0 en l : = x 0 Van de cirkel is M(0, 0) en r = 0 p loodrecht op m: x = 0 dus p: x = c Raken, dus d ( M, p) = r 0 0 c c = 0 = 0 ( ) 0 c = c = 0 c = 0 c = 0 Dus p: x = 0 en p: x = 0 Stel n: = a( x ), dus ax a = 0 Raken, dus d ( M, n) = r 0 0 a a = 0 = 0 a ( ) a a = 0a 0 (kwadrateren) 6a 6a = 0a 0 6a 6a 6 = 0 a 8a = 0 D = ( 8) = 6 6 = 00 D = 0 a = 8 0 = = a = 8 0 = 8 = Dus n 0 : x = 0 en n : x 0 = 0 D0a x 6x = 0 ( x ) ( ) = 0 ( x ) ( ) = De poollijn p van (, ) ten opzichte van de cirkel is p: ( )( x ) ( )( ) = p: 6x 8 = p: 6x =

18 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 8/ D0b De poollijn p van (, ) ten opzichte van de cirkel is p: ( )( x ) ( )( ) = uitgeschreven p: x 0 = of p: x = 0 = x x 6x = 0❷ in❷ 0 = = 0 ( ) = 0 = 0 = = 0 x = 0 De raaklijn in (0, 0) is (0 )( x ) (0 )( ) = x =, dus x = 0 = x = De raaklijn in (, ) is ( )( x ) ( )( ) = x 6 6 =, dus x = Da Db Voor r van c geldt: r = ( ) ( ) 6 8 = 6 = Dus c: ( x ) ( ) = ( λ) ( λ) 6( λ) 8( λ) = λ λ 6 8λ λ 8 λ 8λ = λ = 0 λ = λ = λ = De punten zijn (, = ) en (, = ) D De machtlijn van c en c is m: x x = ( x ) ( ) m: x x = x 8x 6 m: x 6 = 0 ofwel x = (de machtlijn gaat door de snijpunten van de cirkels) x = Nu in ❷ ( ) ( ) = 0 x x = 0❷ = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 = = 0 x = en = x = De snijpunten zijn (, 0) en (, ) D Noem het raakpunt P ( x, ) P ( x, ) OP MP rcop rcmp = = x x 0 = O x 0x = x 0x x 0x = 0 ( x ) = 0 ( x ) = Alle punten liggen op een cirkel met M(, 0) en r = M 0

19 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / Ga Gb Ge Ga Gb Gemengde opgaven Lijnen en cirkels kp lp rck = rc p l Gc Snijden met de x -as ( = 0) geeft p p p kp: ( p ) x = en lp: ( p ) x = 6 = p p ofwel kp: px x = en lp: px x = 6 ( p )( p ) = ( p )( p ) px x = p 6p = p 6p 8 6 p = px x = ❷ p = = x = x = in geeft p = p = 6 p = 6 p = 6 = kp lp rck rc p l = Gd Snijden met de -as ( x = 0) geeft p p p kp: ( p ) = en lp: ( p ) = 6 = p p ofwel kp: p = en lp: p = 6 ( p )( p ) = ( p )( p ) p = p p = ( p p 0) p = 6❷ p p = p p 0 7 = = in ❷ geeft p = p = 7 7 p = 6 p = p = p = = p = 7 p = p p p p p k p en mp, q vallen samen als = = dus = en = p p q p p p q p p p = en = ❷ p p p q ( p )( p ) = ( p )( p ) in ❷ geeft q q p 6p = p 6p 8 = q = q = q = = p = Dus p = en q = p = = Stel P ( x, ) x x x d ( P, l ) = = = d ( P, A) = ( x ) ( ) x d ( P, A) = ( x ) ( ) = d ( P, l ) = = x = (kwadrateren geeft) ( x ) ( ) = x = x = x = = x x = = x ( ) ( ) x = ( x ) ( ) = ❷ ( x ) ( ) = ( x ) ( ) = in ❷ geeft ( x ) ( x ) = ❸ in ❷ geeft ( x ) ( x 7) = x x x 78 x 6 = x x x x 6 = x x 67 = 0 x 8 x = x x 67 = 0 x 8x = 0 D = 686 D = D < 0 hier geen oplossingen x = = = 67 x = = 0 = in = in = 8 = 7 Dus de punten zijn: ( 67, ) en (, 7) Stel P ( x, ) Gc Stel P ( x, ) d ( P, l ) = d ( P, A) met = geeft d ( P, l ) = d ( P, A) geeft x x = ( x ) ( ) = ( x ) ( ) x = ( x ) x = ( x ) ( ) x = x (x ) = (( x ) ( ) ) x = x 0 x = x 0 x x 6 = ( x x 6 ) x = 8x = x x 6 = x 00x 00 0 x = x = 6x x 00x 0 = 0 Dus de punten zijn: (, ) en (, ) P op de kromme: 6x x 00x 0 = 0 ❸ ❷

20 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg 0/ Ga Gb Gc Gd Ge Gf Ga Gb Gc c: x 8x = 0 c: x 6x = De machtlijn van c en c is x 8x = x 6x dus x = x = x = geeft 8 0 x x = x 8x = 0❷ in ❷ geeft ( ) 8( ) = = 0 0 = 0 met D = 0 < 0 er zijn geen reële oplossingen De machtlijn van c en c en cirkel c hebben geen punten gemeenschappelijk c en c ook geen punten gemeen c: x 8x = 0 ( x ) 6 ( ) = 0 ( x ) ( ) = 6 c is de cirkel met M(, ) en c is de cirkel met M(, ) M M de cirkels zijn niet concentrisch d ( M, A) = ( ) ( ) = = > r A ligt buiten c De macht A(, ) van ten opzichte van c is ( ) ( ) = = M = M(, ) (gegeven) en voor r van c geldt: r = ( ) ( ) = ( r de macht is van M tov van c) Dus c : ( x ) ( ) = M c c x = 0 B(0, ) op c Raaklijn in B(0, ) aan c: (0 )( x ) ( )( ) = 6 x = 6 x = 0 x = 0 invullen in x = geeft 0 = = = Dus M (0, ) en r = 0 ( ) 8 0 = 0 = 0 Dus c : x ( ) = 0 ligt op de machtlijn van en Deze machtlijn is: = ( x 8x = ( x ) ( ) ) c: ( x ) ( ) = De poollijn van Q(, ) tov de cirkel is: ( )( x ) ( )( ) = x 7 00 = x = 0 = x ❷ in ❷ geeft ( x ) ( x ) = ( x ) ( x ) = x 6x x x = x 0x = 0 x x 6 = 0 ( x 6)( x ) = 0 x = 6 x = in A(6, 8) en B(, ) (hiernaast verder) Het middelpunt van de omcirkel van ABQ is het snijpunt van de middelloodlijnen van ABQ Het midden van AB is (, ) = (, ) en r 7 AB = 7 = Middelloodlijn van AB: x = c door (, ) x = = Het midden van AQ is (, ) en r 7 AQ = = De mll van AQ is x = c door ( 6, 7) x = 7 x = 7❸ = 7 x❺ x 7 x 7 = ❹ = ❹ ❺ in ❹ x x = 7 7 x = x = in ❸ = Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van ABQ is N (, ) en de straal van de omgeschreven cirkel is d ( N, A) = d ( N, B) r = ( ) ( ) = 0 = 6 = 6 8 Het midden van AB is (, ) = (, ) en r = d ( A, B) = ( 6) ( 8) = 7 7 = 7 = r = d ( A, B) = Dus c : ( x ) ( ) = ( ) ofwel c : ( x ) ( ) = De machtlijn van c en c is: x = (( x ) ( ) = ( x ) ( ) ) De raaklijn in P (7, 7) aan c: (7 )( x ) (7 )( ) = x = x = x = x = 8❸ x = ❷ x = ❷ 7 = 7 = 7 in x = Dus M(, 7) Verder is r = MP = (7 ) (7 ) = ( ) ( ) = = c : ( x ) ( ) = 7 7 Ga De gevraagde punten liggen op de middelloodlijn m van AB, dat is de lijn door de middelpunten van c en c c: x 6x = 0 ofwel ( x ) ( 7) = 0 M(, 7) c: ( x ) ( ) = M(, ) De lijn door M 7 6 en M: = ( x ) = ( x ) = ( x ) = x = x

21 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / Nu de lijn MM: = x snijden met c: x 6x = 0 ❷ in x ( x ) 6x ( x ) = 0 x x x 6x x 8 = 0 ❷ 60 ± 0 0x 60x = 0 met D = 60 0 = 60 D = 60 = 6 0 = 0 x = x = = 7 0 in geeft = ( 7 0) = 7 0 ( 7 0, 7 0) en x = = 7 0 in geeft = ( 7 0) = 7 0 ( 7 0, 7 0) Gb De gevraagde punten liggen op de poollijn van P tov c: ( )( x ) (0 7)( 7) = 0 6 Nu de poollijn x 7 = 6 ofwel = x snijden met c 7 7 : x 6x = 0 ❷ 6 in ❷ x ( x ) 6x ( x 6) = x x 86 x 6 6x 68 x 0 = x x 6 = 0 x x 6 = 0 met D = 6 = 8 76 D = 8 76 = 76 x = ± x = 76 = in geeft = 0 raakpunt (, 0) en 86 x = 76 = 7 in geeft = 06 raakpunt ( 7, 06) 86 Gc De machtlijn van c en c: x 6 = 0 ofwel x = ( x 6x = ( x ) ( ) ) Stel een punt P op de machtlijn (λ, λ), dan moet de macht van P tov ( c en) c 8 zijn: (λ ) ( λ ) = 8 (λ ) ( λ ) = 8 λ 8λ λ λ = 8 0λ 0λ 80 = 0 λ λ 8 = 0 ( λ )( λ ) = 0 λ= λ = λ = in C (8, ) en λ = in D( 0, ) G6a G6b G6c G7a AM = OA OM = a m (Pthagoras in OAM met O = 0 ) met CM = AM = r CM = AM = a m PM = OP OM = p m (Pthagoras in OPM met O = 0 ) PM = PC CM (Pthagoras in PCM met C = 0 ) PC = PM CM = p m ( a m ) = p a PA = p a en PB = p a = p a PA PB = ( p a)( p a) = p a (zie ook G6a) Dus PA PB = PC De macht van P (, 0) tov de cirkel x = 0 is 0 0 = 0 = B Volgens de machtstelling geldt: PA PB =, dus PA ( PA ) = PA PA = 0 A ± D = ( ) = 0 60 = 80 D = 80 = PA = P 6 PA = = (voldoet) PA 0 0 = = (vold niet) PA = A op de cirkel met M = P en r = (gegeven: A ook op cirkel x = 0) x = 0 x = 0 ( x ) = ( ) x 0x = 0x = 0x = 0 x = in = 0 = = ± De twee punten A zijn A(, ) en A(, ) B op de cirkel met middelpunt P en r = (gegeven: B ook op cirkel x = 0) x = 0 x = 0 ( x ) = ( ) x 0x = 0x = 0x = 0 x = in = 0 = = ± Dus A(, ) met daarbij B(, ) of de mogelijkheid: A(, ) met daarbij B(, ) 0 Zwaartelijn z door A( a, 0) en het midden D( b, ) van BC is 0 = ( x a) ofwel = ( x a) a b a 0 Zwaartelijn z door B( b, 0) en het midden ( a, ) van AC is 0 = ( x b) ofwel = ( x b) ❷ b a b Zwaartelijn z 0 6 door C (0, ) en midden ( a b, 0) van AB is 0 = ( x a b ) ofwel = ( x a b ) ❸ a b 0 a b in ❷ ( x a) = ( x b) x a = x b b a a b b a b a a b a b a b ( a b) ( b a) a( a b) b( b a) ( ) x = x = b a a b b a a b ( b a)( a b) ( b a)( a b) b a

22 G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a( a b) b( b a) a( a b) b( b a) a ab b ab a b ( a b)( a b) x = = = = = = a b in ( a b) ( b a) ( a b) ( b a) a b b a a b ( a b) = ( a b a) = ( a b a ) = a b a = b a = Dus Z ( a b, ) is snijpunt van z b a b a en z b a b a 6 6 ( a b) ( a b) Z ( a b, ) voldoet ook aan, immers ( a b a b ❸ ) = ( ) = 6 a b = klopt a b a b 6 6 a b 6 Dus z, z en z snijden elkaar in Z ( a b, ) de (drie) zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt d ( A, Z ) = a a b 0 = a a b = a b = a ab b = a ab b G7b ( ) ( ) ( ) ( ) b a b b b a ( ) ( ) ( ) ( ) ( a b) d ( D, Z ) = = = = b ab a = a ab b Hier staat te lezen dat: d ( A, Z ) = d ( D, Z ) AZ = DZ AZ : ZD = : G8 Stel P (0, λ) en noem Q het punt (0, 0) Pthagoras: PQ AQ = AP (0 λ) AQ = 0 AQ = 00 (0 λ) Dus A( 00 (0 λ), 0) 00 (0 λ) 0 Het midden M van AP is het punt M(, 0 λ) 00 (0 λ) x = en = λ x = 00 (0 λ) en λ = 0❷ ❷ in x = 00 (0 0) (kwadrateren) x = ( 00 (0 )) = ( 00 (00 80 )) = ( )) = 7 0 x 0 7 = 0 x ( 0) 00 7 = 0 x ( 0) = Dus M ligt op de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal r = G x 0 Het midden van is het punt ( P, P Q AP Q ) x Q = x en en P Q = P xp = xq P = Q Voor P (op de eenheidscirkel) geldt: xp P = ❸ Nu en ❷ in ❸ (xq ) ( Q ) = ( xq ) Q = (delen door ) ( x Q ) Q = Dus Q ligt op de cirkel met middelpunt (, 0) en straal r = ❷ G0 rc l = m en l door A(0, ) l : = mx l snijdt de x -as ( = 0) in P P (, 0) m k l en k door A(0, ) k: = x m p x -as en p door P (, 0) p: x = m m k en p snijden elkaar in S, dus voor S geldt: = x m = x x = x x = = x m m Dus alle punten S liggen op de parabool = x Ga Gb d ( P, A) = d ( P, B) ( x 6) ( ) = ( x ) ( ) (kwadrateren) (( x 6) ( ) ) = ( x ) ( ) ( x x 6 ) = x x x 8x 8 = x x x x = 0 x 8x = 0 ( x ) 6 ( ) = 0 ( x ) ( ) = 0 De punten P liggen op de cirkel met middelpunt (, ) en straal r = 0 = d ( P, C ) = ( x ) ( ) = (kwadrateren) ( x ) ( ) = 6 x x = 6 x x = 8 x 8x = 0 (zie Ga) x 8 = 8 x = x = = x in x 8 x ( x ) ( x ) = 0 x 8x x x 6x = 0 x x = 0 x 0x = 0 met D = ( 0) = 0 0 ± 0 x = = 0 ± x = = x = = x = in geeft = en x = 6 in geeft = De punten zijn (, ) en ( 6, )

Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels. Het voordeel van de laatste is dat (a,0) en (0,b) de snijpunten met de assen zijn!!

Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels. Het voordeel van de laatste is dat (a,0) en (0,b) de snijpunten met de assen zijn!! Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels Les 1 Lijnen Een lijn kun je op verschillende manieren weergeven = a + b p + q = r 1 (niet zelfde a en b van manier 1) a b Het voordeel van de laatste

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie

dan liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB (constante hoek) dus A, B, C en D liggen op één cirkel, dus ABCD is een koordenvierhoek

dan liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB (constante hoek) dus A, B, C en D liggen op één cirkel, dus ABCD is een koordenvierhoek . Omtrekshoeken en middelpuntshoeken Opgave : ACB is constant Opgave : a. * b. * c. ACB AMB Opgave 3: a. * b. de drie cirkels gaan door één punt c. de drie lijnstukken gaan door één punt Opgave 4: a. Teken

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking. G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c

Nadere informatie

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS G&R havo B deel Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg / a x = x =. b x = x x =. c d x (x ) 0 x = 0 =. 9. e f x 0 x ( x ) 0. x x = x x ( x )( x + ). TOETS VOORKENNIS a ( x + ) = x c x e

Nadere informatie

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ² 1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.

Nadere informatie

Extra oefeningen: de cirkel

Extra oefeningen: de cirkel Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25 C. von Schwartzenberg 1/ 1 I, II, IV en V zijn tweedegraadsvergelijkingen. (de hoogste macht van is steeds ; te zien na wegwerken haakjes?) (III is een eerstegraadsvergelijking en VI is een derdegraadsvergelijking)

Nadere informatie

m: y = 0, 5x + 21 snijden met de x -as ( y = 0) 0 = 0, 5x , 5x = 21 x = 42. Snijpunt met x -as: (42, 0).

m: y = 0, 5x + 21 snijden met de x -as ( y = 0) 0 = 0, 5x , 5x = 21 x = 42. Snijpunt met x -as: (42, 0). C. von Schwartzenberg 1/1 1a In 1 minuut zakt het watereil 1 0 = cm (in 10 minuten zakt het water 0 cm). 10 Na 1 minuut is de waterhoogte 0 = 6 cm en na minuen is de waterhoogte 0 = cm. 1b II h = 0 t,

Nadere informatie

3 Hoeken en afstanden

3 Hoeken en afstanden Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst

Nadere informatie

= cos245 en y P = sin245.

= cos245 en y P = sin245. G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos =

Nadere informatie

Uitwerkingen Hoofdstuk 25 deel vwob1,2 6. Meetkundige plaatsen.

Uitwerkingen Hoofdstuk 25 deel vwob1,2 6. Meetkundige plaatsen. Uitwerkingen Hoofdstuk 25 deel vwob1,2 6 1 Meetkundige plaatsen. 1 Punt F(0, 1) en de lijn l : y = -1 a. Voor de oorsprong O geldt: d( O, F) = d( O, l) = 1 ben c. c. Waarschijnlijk liggen de gevraagde

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Apollonius-cirkels

Cabri-werkblad. Apollonius-cirkels Cabri-werkblad Apollonius-cirkels 1. Doel We zullen in dit werkblad kennismaken met de zogenoemde Apollonius-cirkels [1] van een driehoek. Daarvoor moeten ook enkele eigenschappen van (binnen- en buiten)bissectrices

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen. Cursus voor de vrije ruimte

Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen. Cursus voor de vrije ruimte Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Meetkundige plaatsen 1.1 Herhaling: analytische meetkunde 1.1.1 Affiene

Nadere informatie

80 is het vaste bedrag. (moet je betalen onafhankelijk van het aantal km)

80 is het vaste bedrag. (moet je betalen onafhankelijk van het aantal km) C. von Schwartzenberg 1/1 1a 1b 1c 1d t = 10 A = 0, 8 10 + 3 = 8 + 3 = 26 (miljoen ha). Bij halverwege 1985 hoort t = 15, 5 A = 0, 8 15, 5 + 3 = 21, 6 (miljoen ha). Het snijpunt met de verticale as is

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : De Cirkel

Hoofdstuk 8 : De Cirkel - 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales - 127 1. Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte Vlakke Ruimtemeetkunde

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. 1 (dus de oppervlakte. van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk ) 1

Vraag Antwoord Scores. 1 (dus de oppervlakte. van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk ) 1 Beoordelingsmodel Vraag Antwoord Scores Gelijke oervlakte maximumscore f' ( x) = x x = geeft x = Dit geeft x = ( ) ( ) f = = (dus de coördinaten van T zijn ( ) maximumscore 6 De oervlakte van V is ( )

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Neem [pr]=[ps] en beschrijf uit r en s twee cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar in c snijden. [cp] is de loodlijn op [ab].

Neem [pr]=[ps] en beschrijf uit r en s twee cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar in c snijden. [cp] is de loodlijn op [ab]. Met a en b als middelpunt en met straal groter dan de helft van [ab] trekt men met dezelfde straal twee cirkelbogen, die elkaar snijden in c en d; cd is de middelloodlijn en m het midden van [ab] Neem

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen Kern Meetkundige plaatsen a Zie afbeelding rechts. b In het niet-gearceerde deel. c Op de middenparallel. l m 2 a Teken lijn m en lijn n, beide evenwijdig aan l en op een afstand van 3 cm van l. b Punten

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Katern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12

Katern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12 Katern 3 Meetkunde Inhoudsopgave 1 Hoeken 2 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4 3 Driehoeken 8 4 Vierhoeken 12 5 Lijnen in een driehoek 15 Inleiding De vlakke meetkunde is de meetkunde die zich afspeelt

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 : De driehoek

Hoofdstuk 5 : De driehoek Hoofdstuk 5 : De driehoek - 89 1. Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als

Nadere informatie

Inversie. r 2 P Q. P Q =

Inversie. r 2 P Q. P Q = Inversie Zij O een punt in het vlak en zij r > 0 een reëel getal. De inversie I O,r met centrum O en straal r is de afbeelding vlak \ {O} vlak \ {O} die als volgt wordt gedefinieerd: I O,r (P ) het unieke

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Analytische meetkunde

Analytische meetkunde Analytische meetkunde Inhoudsopgave Analytische meetkunde Introductie analytische meetkunde. Waar ligt de schat?. Cartesisch assenstelsel.3 Terug naar de schat 4.4 Het begrip vergelijking 5 Meer over lijnen

Nadere informatie

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast

Nadere informatie

De Stelling van Pascal Inhoud

De Stelling van Pascal Inhoud De Stelling van Pascal Inhoud 1 Inleiding De stelling van Pascal voor een cirkel en ellips 3 De stelling van Pascal voor hyperbolen en parabolen 4 De stelling van Pappus 5 Een bewijs van Jan van IJzeren

Nadere informatie

RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want

RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want ANALYTISCHE MEETKUNDE: HERHALING DERDE JAAR OEFENINGEN Lees eerst de formules op het andere blad, en los vervolgens de oefeningen van het bijbehorende deel op. Wanneer je alles hebt opgelost, maak je de

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00

Nadere informatie

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2016 tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 unten te behalen. Voor

Nadere informatie

Opgave 1: a. als je vanuit punt A 1 naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te 5 0 2,5

Opgave 1: a. als je vanuit punt A 1 naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te 5 0 2,5 Hoofdstuk 6: De afgeleide functie 6. Hellinggrafieken Opgave : als je vanuit punt A naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te komen, dus rc 6 b. c. d. x 0 4 helling 6,5 0, 5, 5 0,5 Opgave

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Analytische meetkunde. Les 4 Kwadratische vergelijkingen (Deze les sluit aan bij de paragraaf 3.1 van Analytische meetkunde van de Wageningse Methode)

Analytische meetkunde. Les 4 Kwadratische vergelijkingen (Deze les sluit aan bij de paragraaf 3.1 van Analytische meetkunde van de Wageningse Methode) Analytische meetkunde Les 4 Kwadratische vergelijkingen (Deze les sluit aan bij de paragraaf 3.1 van Analytische meetkunde van de Wageningse Methode) De vergelijking van een cirkel De cirkel heeft middelpunt

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg 1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Goniometrie

Vlakke Meetkunde Goniometrie Vlakke Meetkunde Goniometrie L. Van Maldeghem Cursus voor de tweede graad Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Moderne Talen-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Het euclidische vlak 1.1 Herhaling 1.1.1 Het begrip

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B Analytische meetkunde Inhoud.. Coördinaten in het vlak.. Vergelijkingen van lijnen.3. Vergelijkingen van cirkels.4. Snijden.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte

Nadere informatie

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B Profi (oude stijl) Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs. Tijdvak 1

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B Profi (oude stijl) Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs. Tijdvak 1 Wiskunde B Profi (oude stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs 0 0 ijdvak 0006 CV7 Begin Regels voor de beoordeling Het werk van de kandidaten wordt beoordeeld met inachtneming

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I Eindexamen wiskunde B- vwo 006-I Beoordelingsmodel Sauna 0,9 00 80 e t 00 beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden de oplossing t,07 het tijdstip 7:0 uur 0,9t S () t 80 0,9 e S () 9, 06 het

Nadere informatie

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5 2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook

Nadere informatie

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008 Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Errata Moderne wiskunde 9e editie VWO B deel 2 hoofdboek

Errata Moderne wiskunde 9e editie VWO B deel 2 hoofdboek Onderstaande verbeteringen zijn gebaseerd op de eerste druk van deze titel. In bijdrukken worden fouten hersteld. Het is dus goed mogelijk, dat hier verbeteringen staan, die bij een nieuwe druk al zijn

Nadere informatie

wiskunde B pilot havo 2016-I

wiskunde B pilot havo 2016-I De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2 C liggen op c. Punt Q is het midden van

Nadere informatie

Antwoorden SpiroSporen

Antwoorden SpiroSporen Antwoorden SpiroSporen Paragraaf 2 Tanden, toppen, toeren 1 1200 : (3,14 0,7) = 546. 2 2 keer. 3 a. 4 keer. b,c,d 4 a. b. c. Een sterachtige kromme, draaisymmetrisch van orde n. 5 Een lijnstuk door het

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening - Basis B- Van ABC is de asis BC = en de hoogte AD =. De oppervlakte van ABC is : = 9. Van KLM is de asis KM = 5 + 9 = en de hoogte NL. B-a KN = 5 NL = KL = 5 + 69 NL = = De oppervlakte

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

De orthoptische cirkel van een ellips (de Monge-cirkel)

De orthoptische cirkel van een ellips (de Monge-cirkel) De orthoptische cirkel van een ellips (de Monge-cirkel) DICK KLINGENS (e-mail: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (Nederland) 31 januari 007 In hetgeen volgt zullen we enkele

Nadere informatie

Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 -

Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 - Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 - De driehoek : Congruentiekenmerken van een driehoek kennen Soorten lijnen in een driehoek kennen Bissectricestelling kennen Stelling van het zwaartelijnstuk

Nadere informatie

5 Lijnen en vlakken. Verkennen. Uitleg

5 Lijnen en vlakken. Verkennen. Uitleg 5 Lijnen en vlakken Verkennen Lijnen en vlakken Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Je ziet hoe een vlak kan worden beschreven met behulp van een vergelijking in x, en z. In de applet kun je de drie

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eerste en derdegraadsfunctie

Eerste en derdegraadsfunctie Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Gerichte lengtes spelen o.a. een rol bij de stelling van Ceva en Menelaos en komen in deel 3 aan de orde.

Gerichte lengtes spelen o.a. een rol bij de stelling van Ceva en Menelaos en komen in deel 3 aan de orde. Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi, gerichte lengtes Trainingsweekend, 16 februari 2008 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Een symmetrische gebroken functie

Een symmetrische gebroken functie Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie