Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig

Transcriptie

1 Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit. )

2 Congruent Definitie (afspraak): Twee figuren zijn congruent als de ene figuur verplaatst kan worden zodat hij de andere precies bedekt. Daarbij mag gespiegeld worden.

3 Congruent Definitie (afspraak): Twee figuren zijn congruent als de ene figuur zo verplaatst kan worden dat hij de andere precies bedekt. Daarbij mag gespiegeld worden. Voorbeeld

4 Congruent Definitie (afspraak): Twee figuren zijn congruent als de ene figuur zo verplaatst kan worden dat hij de andere precies bedekt. Daarbij mag gespiegeld worden. Voorbeeld

5 Congruent Definitie (afspraak): Twee figuren zijn congruent als de ene figuur zo verplaatst kan worden dat hij de andere precies bedekt. Daarbij mag gespiegeld worden. Voorbeeld

6 Congruent Definitie (afspraak): Twee figuren zijn congruent als de ene figuur zo verplaatst kan worden dat hij de andere precies bedekt. Daarbij mag gespiegeld worden. Voorbeeld

7 Congruent Definitie (afspraak): Twee figuren zijn congruent als de ene figuur zo verplaatst kan worden dat hij de andere precies bedekt. Daarbij mag gespiegeld worden. Voorbeeld

8 Zelf doen Opgave 1: Zijn de volgende figuren congruent? Twee cirkels met dezelfde straal. Twee rechthoeken met dezelfde oppervlakte. Twee gelijkbenige driehoeken met dezelfde omtrek. Twee lijnstukken van dezelfde lengte. Twee rechte hoeken.

9 Zelf doen Antwoorden opgave 1: Zijn de volgende figuren congruent? Twee cirkels met dezelfde straal. ja Twee rechthoeken met dezelfde oppervlakte. nee Twee gelijkbenige driehoeken met dezelfde omtrek. nee Twee lijnstukken van dezelfde lengte. ja Twee rechte hoeken. ja Geef voorbeelden van de niet-congruente figuren.

10 Gelijkvormig Definitie (afspraak): Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur door een vergroting of verkleining in de andere kan worden overgevoerd. Daarbij mag verschoven en gespiegeld worden. Voorbeeld

11 Gelijkvormig Definitie (afspraak): Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur door een vergroting of verkleining in de andere kan worden overgevoerd. Daarbij mag verschoven en gespiegeld worden. Voorbeeld

12 Gelijkvormig Definitie (afspraak): Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur door een vergroting of verkleining in de andere kan worden overgevoerd. Daarbij mag verschoven en gespiegeld worden. Voorbeeld De blauwe figuur is een vergroting van de gele met een factor 2.

13 Maak nu opgave 2. Gelijkvormig

14 Congruentie van driehoeken Vier verschillende congruentiekenmerken: ZZZ: drie paar zijden gelijk; ZHZ: twee paar zijden gelijk en ingesloten hoeken gelijk; HZH: twee paar hoeken gelijk en ingesloten zijden gelijk; ZZR: twee paar zijden gelijk en aanliggende rechte hoek.

15 Congruentie van driehoeken ZZH: twee paar zijden gelijk en aanliggende hoek is geen juist congruentiekenmerk.

16 Congruentie van driehoeken ZZH: twee paar zijden gelijk en aanliggende hoek is geen juist congruentiekenmerk. Gegeven: lengtes van twee zijden en een hoek.

17 Congruentie van driehoeken ZZH: twee paar zijden gelijk en aanliggende hoek is geen juist congruentiekenmerk. Gegeven: lengtes van twee zijden en een hoek. Je tekent eerst de hoek. Op een been pas je één zijde af.

18 Congruentie van driehoeken ZZH: twee paar zijden gelijk en aanliggende hoek is geen juist congruentiekenmerk. Gegeven: lengtes van twee zijden en een hoek. Je tekent eerst de hoek. Op een been pas je één zijde af. Dan pas je de andere zijde af. Er zijn twee niet congruente oplossingen.

19 Een bewijs met congruentie Stelling Een gelijkbenige driehoek heeft gelijke basishoeken.

20 Een bewijs met congruentie Stelling Een gelijkbenige driehoek heeft gelijke basishoeken. Gegeven AC = BC (1) Te bewijzen A = B

21 Een bewijs met congruentie Stelling Een gelijkbenige driehoek heeft gelijke basishoeken. Gegeven AC = BC (1) Te bewijzen A = B Bewijs (met congruentie) Kies M als midden van AB. AM = BM (2) CM = CM (3) AMC BMC ( volgt uit (1), (2) en (3) en ZZZ) A = B.

22 Een bewijs met congruentie Stelling Als in een driehoek de zwaartelijn en de hoogtelijn uit een hoek hetzelfde zijn, dan is de driehoek gelijkbenig.

23 Een bewijs met congruentie Stelling (opgave 3a) Als in een driehoek de zwaartelijn en de hoogtelijn uit een hoek hetzelfde zijn, dan is de driehoek gelijkbenig. Bewijs M is het midden van AB. CM is zwaartelijn en CM is hoogtelijn. AMC = BMC is recht. A M C AM = MB en MC = MC AMC is congruent met BMC (ZHZ). AC = BC B

24 Een bewijs met congruentie Stelling (opgave 3b) Als in een driehoek twee hoogtelijnen even lang zijn, dan is de driehoek gelijkbenig.

25 Een bewijs met congruentie Stelling (opgave 3b) Als in een driehoek twee hoogtelijnen even lang zijn, dan is de driehoek gelijkbenig. Gegeven BP en AQ zijn hoogtelijnen. AQ = BP A P Q C B

26 Een bewijs met congruentie Stelling (opgave 3b) Als in een driehoek twee hoogtelijnen even lang zijn, dan is de driehoek gelijkbenig. Gegeven BP en AQ zijn hoogtelijnen. AQ = BP Bewijs B AB = BA en AQ = BP AQB = BAP is recht. ABQ is congruent met BAP (ZZR) ABQ = BAP Driehoek ABC is gelijkbenig (gelijke basishoeken) A P Q C

27 Een bewijs met congruentie Maak nu opgave 4.

28 Argumenten om te gebruiken Bij evenwijdige lijnen: F-hoeken

29 Argumenten om te gebruiken Bij evenwijdige lijnen: Z-hoeken

30 Argumenten om te gebruiken De som van de hoeken in een driehoek: A 1 + B 1 + C 1 = 180 C 1 2 A 1 1 B

31 Argumenten om te gebruiken De stelling van de buitenhoek: C 2 = A 1 + B 1 C 1 2 A 1 1 B

32 Argumenten om te gebruiken De stelling van Pythagoras: In een rechthoekige driehoek geldt dat a 2 + b 2 = c 2. a 2 c 2 b 2

33 Voorbeeld Stelling (opgave 5) Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek de helft is van de overstaande zijde, dan is die hoek recht.

34 Voorbeeld Stelling (opgave 5) Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek de helft is van de overstaande zijde, dan is die hoek recht. Stap 1:Maak een geschikte tekening

35 Voorbeeld Stelling (opgave 5) Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek de helft is van de overstaande zijde, dan is die hoek recht. Stap 1:Maak een geschikte tekening C A M B

36 Voorbeeld Stelling (opgave 5) Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek de helft is van de overstaande zijde, dan is die hoek recht. Stap 1:Maak een geschikte tekening C A Stap 2: Schrijf op wat gegeven is. M B

37 Voorbeeld Stelling (opgave 5) Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek de helft is van de overstaande zijde, dan is die hoek recht. Stap 1:Maak een geschikte tekening C A Stap 2: Schrijf op wat gegeven is. CM = 1 AB = AM = MB 2 M B

38 Voorbeeld Stelling (opgave 5) Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek de helft is van de overstaande zijde, dan is die hoek recht. Stap 1:Maak een geschikte tekening C A Stap 2: Schrijf op wat gegeven is. CM = 1 AB = AM = MB 2 M B Stap 3: Welke stelling of argument kun je gebruiken?

39 Voorbeeld Stelling (opgave 5) Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek de helft is van de overstaande zijde, dan is die hoek recht. Stap 1:Maak een geschikte tekening 1 C 2 Stap 2: Schrijf op wat gegeven is. CM = 1 AB = AM = MB 2 A 1 1 M 2 1 B Stap 3: Welke stelling of argument kun je gebruiken? Δ AMC en Δ BMC zijn gelijkbenig A 1 = C 1 en B 1 = C 2 (1) De som van de hoeken in Δ ABC is 180 (2) C 12 + A 1 + B 1 = C 12 + C 1 + C 2 = 180 (1) en (2) C 12 = 90

40 Parallellogram Definitie Een parallellogram is een vierhoek met evenwijdige overstaande zijden.

41 Parallellogram Definitie Een parallellogram is een vierhoek met evenwijdige overstaande zijden. Stelling (opgave 6a) In een parallellogram zijn de overstaande hoeken gelijk.

42 Parallellogram Definitie Een parallellogram is een vierhoek met evenwijdige overstaande zijden. Stelling In een parallellogram zijn de overstaande hoeken gelijk. Bewijs (Gegeven is de evenwijdigheid van de zijden, gebruik dus eigenschappen van evenwijdigheid) Trek een geschikte hulplijn (een diagonaal). A D B C

43 Parallellogram Definitie Een parallellogram is een vierhoek met evenwijdige overstaande zijden. Stelling In een parallellogram zijn de overstaande hoeken gelijk. 2 Bewijs (Gegeven is de evenwijdigheid van de zijden, gebruik dus eigenschappen van evenwijdigheid) A Trek een geschikte hulplijn (een diagonaal). B 1 = D 1 (Z- hoeken) en B 2 = D 2 (Z- hoeken) en BD = BD. D B C

44 Parallellogram Definitie Een parallellogram is een vierhoek met evenwijdige overstaande zijden. Stelling In een parallellogram zijn de overstaande hoeken gelijk. 2 Bewijs (Gegeven is de evenwijdigheid van de zijden, gebruik dus eigenschappen van evenwijdigheid) A Trek een geschikte hulplijn (een diagonaal). B 1 = D 1 (Z- hoeken) en B 2 = D 2 (Z- hoeken) en BD = BD. DAB is congruent met BCD (HZH). D B C

45 Parallellogram Definitie Een parallellogram is een vierhoek met evenwijdige overstaande zijden. Stelling In een parallellogram zijn de overstaande hoeken gelijk. 2 Bewijs (Gegeven is de evenwijdigheid van de zijden, gebruik dus eigenschappen van evenwijdigheid) A Trek een geschikte hulplijn (een diagonaal). B 1 = D 1 (Z- hoeken) en B 2 = D 2 (Z- hoeken) en BD = BD. DAB is congruent met BCD (HZH). B 12 = D 12 en A = C. D B C

46 Maak nu opgaven 6b en 6c Parallellogram

47 Rechthoek en ruit Definities Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden.

48 Rechthoek en ruit Definities Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden. D Stelling (opgave 9b) In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar. A C B

49 Rechthoek en ruit Definities Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden. D Stelling (opgave 9b) In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar. 1 2 Bewijs ADC is gelijkbenig dus A 1 = C 1 (zo ook A 2 = C 2 ) DAB DCB (ZHZ) dus D 1 = D 2 DSA DSC (HZH) S 1 = S 2 S 1 + S 2 = 180 S 1 = S 2 = 90. A B S 1 2 C

50 Maak nu opgave 9c. Rechthoek en ruit

51 Twee cirkels Stelling (opgave 10) Als twee cirkels elkaar snijden dan staat de verbindingslijn van de snijpunten loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten.

52 Twee cirkels Stelling (opgave 10) Als twee cirkels elkaar snijden dan staat de verbindingslijn van de snijpunten loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten. Bewijs Maak een correcte tekening met de gegevens. P A S B Q

53 Twee cirkels Stelling (opgave 10) Als twee cirkels elkaar snijden dan staat de verbindingslijn van de snijpunten loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten. Bewijs Maak een correcte tekening met de gegevens. Ga op zoek naar congruente driehoeken. A P S B Q

54 Twee cirkels Stelling (opgave 10) Als twee cirkels elkaar snijden dan staat de verbindingslijn van de snijpunten loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten. Bewijs Maak een correcte tekening met de gegevens. Ga op zoek naar congruente driehoeken. APB AQB (ZZZ) PAB = QAB AP = AQ en AS = AS PAS QAS (ZHZ) De hoeken bij S zijn gelijk. Samen zijn ze 180, dus elke hoek is 90 A P Q S B

55 Raakpunten aan een cirkel Maak nu opgave 11.

56 De middenparallel Gegeven In ABC gaat lijn k door het midden M van AC en k is evenwijdig aan AB. N is het snijpunt van k met BC. Stelling N is het midden van BC. A M C N B

57 De middenparallel Gegeven In ABC gaat lijn k door het midden M van AC en k is evenwijdig aan AB. N is het snijpunt van k met BC. Stelling N is het midden van BC. Bewijs Teken de hulplijn door M evenwijdig aan BC met snijpunt S op AB. A = M 2 en C = M 1 (F-hoeken) en AM = CM AMS MCN (HZH) MS = CN en MS = BN (overstaande zijden in parallellogram) CN = NB, dus N is het midden van BC. A M 1 2 S C N B

58 De middenparallel Gegeven In ABC gaat lijn k door het midden M van AC en k is evenwijdig aan AB. N is het snijpunt van k met BC. Stelling N is het midden van BC. Bewijs Teken de hulplijn door M evenwijdig aan BC met snijpunt S op AB. A = M 2 en C = M 1 (F-hoeken) AMS MCN (HZH) MS = CN en MS = BN (overstaande zijden in parallellogram) CN = NB Gevolg: MN = SB = AS en AB = 2 x MN. A M 1 2 S C N B

59 Oefenen Bestuderen: Bladzijde 4 tot en met 8. Maken: De opgaven 1 tot en met 14, in ieder geval de opgaven 7, 8 en 11.

60 Huiswerk Inleveren: opgave 17 van bladzijde 9.