12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

Transcriptie

1 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde kant van AB ligt als punt C en ADB = ACB, dan liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB.

2 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Definitie: Als A, B en C op een cirkel liggen met middelpunt M, dan is ACB een omtrekshoek op de boog AB waar C niet op ligt. AMB is de bijbehorende middelpuntshoek. Stelling van de omtrekshoek: Een omtrekshoek is de helft van de bijbehorende middelpuntshoek. Stelling boog en koorde: Bij gelijke bogen horen gelijke koorden. Let op: Op pagina 187 staat het overzicht van stellingen/definities dat je bij je examen krijgt; Op pagina staan alle definities en stellingen waarnaar je mag verwijzen bij een examen. Deze krijg je niet bij het examen!!!

3 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Voorbeeld: Bewijs de stelling van de overstaande hoeken. Gegeven: Twee lijnen die elkaar snijden in A. Te bewijzen: A 1 = A 3 en A 2 = A 4 Bewijs: A 1 + A 2 = 180 (gestrekte ) A 3 + A 2 = 180 (gestrekte ) Hieruit volgt: A 1 = A 3 Op dezelfde manier kan bewezen worden: A 2 = A 4 Let op: Schrijf eerst op wat gegeven is; Noteer dan wat je moet bewijzen; Geef dan het bewijs en licht elke stap toe. 3

4 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Opgave 4A: Bewijs de stelling van de constante hoek. Gegeven: De punten C en D op dezelfde cirkelboog AB. Te bewijzen: C = D Aanpak: Merk op dat de punten A, B, C en D op dezelfde cirkel liggen. Teken een punt E op De cirkelboog waarop niet de punten C en D liggen. Bewijs: C + E = 180 (koordenvierhoek AEBC) D + E = 180 (koordenvierhoek ADBE) Hieruit volgt: C = D 4

5 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [2] Opgave 6B: Bewijs dat geldt: ACB = ½ AMB. Gegeven: De punten A, B en C op de cirkel met middelpunt M zoals hiernaast. Te bewijzen: ACB = ½ AMB Aanpak: Het plaatje bevat weinig informatie. Trek de lijn AM door zodat middellijn AD ontstaat. Op deze manier ontstaat een koordenvierhoek. Hier geldt dat: C + D = 180 graden. MBD is gelijkbenig. Op deze manier kan dus een verband gelegd worden Tussen C, D, B 1 en M 1. 5

6 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [2] Opgave 6B: Bewijs dat geldt: ACB = ½ AMB. Bewijs: D = C (koordenvierhoek) B 1 = D (gelijkbenige ) M 1 + D + B 1 = 180 ( -som ) Hieruit volgt: M C C = 180 M 2 = 180 (gestrekte ) Hieruit volgt: M 1 + M 2 - C C = 180 M 12 = 2 C ½ M 12 = C ½ AMB = ACB 6

7 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [3] Opgave 10A: Bewijs dat in het plaatje hiernaast geldt dat de drie omgeschreven cirkels van de gelijkzijdige driehoeken door één punt T gaan. Dit punt ligt binnen ABC. Gegeven: ABC met de naar buiten gerichte gelijkzijdige driehoeken BCP, ACQ en ABR zoals hiernaast. Te bewijzen: De omgeschreven cirkels van de driehoeken BCP, ACQ en ABR gaan door één punt. Aanpak: Teken de omgeschreven cirkels van de driehoeken BCP, ACQ en ABR. Alle hoeken van deze driehoeken zijn gelijk aan 60. Als T het snijpunt is van de omgeschreven cirkels van de driehoeken BCP en ACQ dan zijn PBTC en CTAQ koordenvierhoeken. Nu moet bewezen worden dat ATBR ook een koordenvierhoek is, want dan ligt T op de omgeschreven cirkel van ABR. 7

8 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [3] Opgave 10A: Bewijs dat in het plaatje hiernaast geldt dat de drie omgeschreven cirkels van de gelijkzijdige driehoeken door één punt T gaan. Dit punt ligt binnen ABC. Bewijs: P + BTC = 180 (koordenvierhoek) P = 60 (gelijkzijdige ) Hieruit volgt: BTC = 120 (1) Q + ATC = 180 (koordenvierhoek) Q = 60 (gelijkzijdige ) Hieruit volgt: ATC = 120 (2) Uit (1) en (2) volgt ATB = 120 R = 60 (gelijkzijdige ) en ATB + R = 180 Dus vierhoek ATBR is een koordenvierhoek en T ligt op de omgeschreven cirkel van ABR. 8

9 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [4] Opgave 13A: Bewijs dat in het plaatje hiernaast geldt: APB = ½ ( AMB + CMD) Gegeven: Een cirkel met middelpunt M, de lijn l die de cirkel Snijdt in A en C en de lijn k die de cirkel snijdt in B En D zo, dat het snijpunt P van k en l binnen de cirkel ligt. Te bewijzen: APB = ½ ( AMB + CMD) Aanpak: Teken AB en CD, want dan kun je de stelling van de omtrekshoek gebruiken. (Bij omtrekshoek A hoort middelpuntshoek CMB); Merk op dat de hoeken AMB, CMB, CMD en DMA samen 360 zijn; APB ligt in de gelijknamige driehoek. Als je A en B weet, weet je APB. Via omtrekshoek A kom je bij middelpuntshoek CMB en je weet dat deze samen met drie andere hoeken 360 graden is. 9

10 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [4] Opgave 13A: Bewijs dat in het plaatje hiernaast geldt: APB = ½ ( AMB + CMD) Bewijs: P 1 + A + B = 180 ( -som ) A = ½ BMC (omtrekshoek) B = ½ DMA (omtrekshoek) Hieruit volgt: P 1 + ½ BMC + ½ DMA = 180 AMB + BMC + CMD + DMA = 360 ½ AMB + ½ BMC + ½ CMD + ½ DMA = 180 P 1 + ½ BMC + ½ DMA = ½ AMB + ½ BMC + ½ CMD + ½ DMA = 180 P 1 = ½ AMB + ½ CMD APB = ½ ( AMB + CMD) 10

11 12.2 Bewijzen in driehoeken en cirkels [1] Driehoeksongelijkheid: Als de drie punten A, P en B niet op één lijn liggen, dan geldt AP + PB > AB. (De kortste weg tussen twee punten is een rechte lijn) Voorbeeld: Bewijs dat in elke gelijkzijdige ABC met een punt P op zijde BC, niet samenvallend met B of C, geldt dat BP < AP Gegeven: Een gelijkzijdige ABC met P op BC, niet samenvallend met B of C Te bewijzen: BP < AP Bewijs: AC < AP + PC (driehoeksongelijkheid) AC = BC (gelijkzijdige ) Hieruit volgt: BC < AP + PC BC PC < AP BP <AP 11

12 12.2 Bewijzen in driehoeken en cirkels [2] Voorbeeld 1: Bewijs dat als voor drie punten A, B en C geldt dat AB + BC = AC, dat B dan op de lijn AC ligt. Gegeven: De punten A, B en C met AB + BC = AC Te bewijzen: B ligt op de lijn AC Bewijs: Veronderstel dat punt B niet op de lijn AC ligt. AB + BC > AC (driehoeksongelijkheid). Dit is in tegenspraak met het gegeven AB + BC = AC De veronderstelling dat B niet op de lijn AC ligt is onjuist. Hieruit volgt dat B op de lijn AC ligt. Dit is een bewijs uit het ongerijmde. Je veronderstelt dat hetgeen je moet bewijzen niet juist is. Je toont aan dat dit tot een tegenspraak leidt en dan is het bewijs geleverd. 12

13 12.2 Bewijzen in driehoeken en cirkels [2] Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn aan een cirkel is een lijn die precies één punt gemeenschappelijk Heeft met de cirkel. Stelling van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. Voorbeeld 2: Bewijs de stelling van de raaklijn aan een cirkel. Gegeven: Een cirkel met middelpunt M, punt A op de cirkel en de raaklijn k in A. Te bewijzen: AM loodrecht op k. 13

14 12.2 Bewijzen in driehoeken en cirkels [2] Voorbeeld 2: Bewijs de stelling van de raaklijn aan een cirkel. Bewijs: Veronderstel dat AM niet loodrecht op k staat; Dan is een van de hoeken tussen k en de lijn AB kleiner dan 90 ; Bij deze omtrekshoek BAC hoort een middelpuntshoek BMC op een boog BC die kleiner is dan 180 (Stelling van de omtrekshoek); Op de cirkel is er dus een punt C dat op k ligt en niet samenvalt met A; De lijn k heeft dus nog een punt gemeenschappelijk met de cirkel; Dit is in tegenspraak met het gegeven dat k een raaklijn is; De veronderstelling dat AM niet loodrecht op k staat is dus onjuist; Hiermee is de stelling van de raaklijn van de cirkel bewezen. 14

15 12.2 Bewijzen in driehoeken en cirkels [3] Stelling van Pythagoras: Is in een ABC hoek C recht, dan geldt a 2 + b 2 = c 2 Omgekeerde stelling van Pythagoras: Geldt in ABC dat a 2 + b 2 = c 2, dan is hoek C recht. Stelling van de hoek tussen koorde en raaklijn: De hoek tussen een raaklijn aan een cirkel en een koorde van die cirkel waarvan een eindpunt het raakpunt is, is even groot als de niet-stompe omtrekshoek die bij deze koorde hoort. 15

16 12.2 Bewijzen in driehoeken en cirkels [4] Opgave 26B: Bewijs de stelling van de hoek tussen koorde en raaklijn. Gegeven: Een cirkel met koorde AB, de raaklijn k in A aan de cirkel en een punt D op de grootste boog AB. Te bewijzen: A 1 = D Aanpak: Volgens de stelling van de constante hoek geldt: D = C. BCM is gelijkbenig (BM = CM), dus C = B 1. Volgens de stelling van Thales geldt: B 12 = 90. ABM is gelijkbenig (AM = BM), dus B 2 = A 2. Volgens de stelling van raaklijn aan cirkel geldt: A 12 = 90 16

17 12.2 Bewijzen in driehoeken en cirkels [4] Opgave 26B: Bewijs de stelling van de hoek tussen koorde en raaklijn. Bewijs: B 12 = 90 (Thales) A 12 = 90 (stelling raaklijn cirkel) A 2 = B 2 (gelijkbenige ABM) Hieruit volgt: A 1 = B 1 B 1 = C (gelijkbenige ) Hieruit volgt: A 1 = C C = D (constante hoek, AB liggen vast op de cirkelboog) Hieruit volgt: A 1 = D 17

18 12.3 Meetkundige plaatsen [1] Definitie afstand van punt tot gebied: De afstand van een punt P tot een gebied G is de lengte van het kortste verbindingslijnstuk tussen P en een punt van G. Stelling van afstand punt tot lijn: De afstand van een punt tot een lijn is de lengte van het loodlijnstuk vanuit dat punt op die lijn. Je kunt de afstand van een punt P tot een lijn l vinden door vanuit het punt P een lijn k te tekenen, die loodrecht op lijn l staat. 18

19 12.3 Meetkundige plaatsen [1] Op de middelloodlijn van het lijnstuk AB liggen alle punten met een gelijke afstand tot A en B. Voor een punt P op de middelloodlijn geldt: d(p,a) = d(p,b) Op de bissectrices b 1 en b 2 van de lijnen k en l liggen alle punten met een gelijke afstand tot de lijnen k en l. Voor een punt P op het bissectricepaar geldt: d(p, k) = d(p, l) 19

20 12.3 Meetkundige plaatsen [1] Op de middelparallel van de evenwijdige lijnen k en l liggen alle punten met gelijke afstand tot k en l. Voor een punt P op de middelparallel geldt d(p, k) = d(p, l) Op de cirkel liggen alle punten met een Gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. Voor een punt p op de cirkel geldt d(p, M) = r 20

21 12.3 Meetkundige plaatsen [2] Voorbeeld: Gegeven zijn een lijn l en een punt F dat niet op deze lijn ligt. Geef alle punten die op een gelijke afstand van punt F en lijn l liggen weer. Stap 1: Door een lijn vanuit F loodrecht op l te tekenen Kan het punt B eenvoudig gevonden worden. 21

22 12.3 Meetkundige plaatsen [2] Voorbeeld: Gegeven zijn een lijn l en een punt F dat niet op deze lijn ligt. Geef alle punten die op een gelijke afstand van punt F en lijn l liggen weer. Stap 2: Teken een punt V op de lijn l; Teken door V de loodlijn k op l; Teken de middelloodlijn m van het lijnstuk FV; Het snijpunt van k en m is het punt C; 22

23 12.3 Meetkundige plaatsen [2] Voorbeeld: Gegeven zijn een lijn l en een punt F dat niet op deze lijn ligt. Geef alle punten die op een gelijke afstand van punt F en lijn l liggen weer. Stap 3: Teken een ander punt V op de lijn l; Teken door V de loodlijn k op l; Teken de middelloodlijn m van het lijnstuk FV; Het snijpunt van k en m is het punt D; 23

24 12.3 Meetkundige plaatsen [2] Voorbeeld: Gegeven zijn een lijn l en een punt F dat niet op deze lijn ligt. Geef alle punten die op een gelijke afstand van punt F en lijn l liggen weer. Wanneer je dit een aantal keer herhaalt, zul je zien dat de punten op een parabool liggen. De punten die op een gelijke afstand van punt F en lijn l liggen, liggen op een parabool. 24

25 12.3 Meetkundige plaatsen [2] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. Defintie van een parabool: Een parabool is een verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een lijn en een punt dat niet op een lijn ligt. Let op: Een parabool kun je dus op een meetkundige manier beschrijven, maar ook met behulp van een formule. Oorspronkelijk werd een parabool in de wiskunde meetkundig beschreven. Pas veel later is er hier een formule voor gekomen. 25

26 12.3 Meetkundige plaatsen [2] Voorbeeld: Gegeven is de lijn l en het lijnstuk AB. Teken de meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt d(p, lijnstuk AB) = d(p, l) Aanpak: We willen nu alle punten te weten komen die op gelijke afstand liggen van lijnstuk AB en de lijn l. 1) De punten die op gelijke afstand van punt A en lijn l liggen [d(p,a) = d(p, l)] zijn te vinden door een parabool te tekenen met brandpunt A en richtlijn van de parabool l; 2) De punten die op gelijke afstand van punt B en lijn l liggen [d(p,b) = d(p, l)] zijn te vinden door een parabool te tekenen met brandpunt B en richtlijn van de parabool l; 3) De punten die op gelijke afstand van de lijn AB en de lijn l liggen [d(p,ab) = d(p, l)] zijn te vinden door de bissectrice te tekenen van de (doorgetrokken) lijn AB en de lijn l. 26