HZH: c, α en β ZZR: a, b en β

Transcriptie

1 EETKUNE e hoekpunten van een driehoek of vierhoek geven we met HOOFLETTER aan. Lijnen krijgen een kleine letter en voor hoeken gebruiken we vaak Griekse letters. Het Griekse alfabet begint met de letters alfa (), bèta () en gamma (). Tegenover hoekpunt (hoek ) ligt zijde a, tegenover (hoek ) ligt b, tegenover (hoek ) ligt zijde c. telling: e congruentiegevallen Een driehoek ligt vast, als er drie elementen (zijden/hoeken) onder bepaalde voorwarden gegeven zijn, in de volgende gevallen. Twee driehoeken zijn congruent (notatie ) als ze de volgende drie overeenkomstige zijden / hoeken gelijk hebben. ls ze congruent zijn, hebben ze alle andere zijden/hoeken ook gelijk. b c a ZHZ: HZH: Twee zijden en de b Een zijde en de ingesloten hoek aanliggende hoeken b, c en c, en β c c β ZZZ: e drie zijden a b ZZR: Twee zijden en een a, b en c rechte hoek tegenover één van die zijden c a, b en β a β b Opmerking: ZZH (hoek niet recht) met a, b en is geen congruentie geval. an zijn er nl. twee mogelijkheden. Zie de plaatjes hiernaast. b a b a ij het leveren van een bewijs mag je alleen datgene gebruiken wat gegeven is, plus de definities en stellingen die daarvóór behandeld zijn. Hieronder een voorbeeld van hoe je een stelling stap-voor-stap kunt bewijzen: telling: Tegenover gelijke zijden in een driehoek staan gelijke hoeken Gegeven: e gegevens staan in de bovenste figuur getekend. is gelijkbenig: = (dat zijn de gelijke zijden). Te bewijzen: e hoeken (tegenover ) en (tegenover ) zijn gelijk: = Het bewijs van deze stelling kan als volgt verlopen: Kies punt in het midden van. us =. (aangegeven in de figuur daaronder). ("is congruent met") (ZZZ) want: =, = en =. lle overeenkomstige elementen van de driehoeken zijn gelijk, dus = ("hetgeen bewezen moest worden") URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

2 Hier begint een serie meetkunde opgaven, beginnend met, waarin je telkens iets moet bewijzen. telling: Tegenover gelijke hoeken in een driehoek staan gelijke zijden ewijs dit. Gegeven: e hoeken en zijn gelijk: = Te bewijzen: e driehoek is gelijkbenig: =. (Hint: trek de hoogtelijn N en gebruik congruentie.) efinitie: e afstand van een punt tot een lijn is de lengte van de loodlijn vanuit dat punt op die lijn. Q = 90 o. Punt P ligt op een afstand PQ van lijn m. Notaties: vaak laat men de absoluutstrepen weg: PQ = PQ. Ook wel genoteerd als d (P, Q). d = "distance" P Q m efinitie: Een bissectrice van een hoek deelt die hoek doormidden Lever nu zelf stap-voor-stap met congruentie de volgende bewijzen. 3 ewijs: Elk punt op een bisectrice van een hoek heeft gelijke afstanden tot de benen van die hoek. ewijs: Elk punt dat gelijke afstanden heeft tot de benen van een hoek ligt op de (een) bissectrice. efinitie: e middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn die dat lijnstuk loodrecht middendoor deelt 4 5 ewijs: Elk punt van een middelloodlijn heeft gelijke afstand tot de eindpunten van het lijnstuk. ewijs: Elk punt met gelijke afstand tot de eindpunten van een lijnstuk ligt op de middelloodlijn van dat lijnstuk. 6 telling: e middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt. ( is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van die driehoek). ewijs dit. Hint. egin als volgt (zie de figuur hiernaast): m a (= is de middelloodlijn van a) snijdt de middelloodlijn van b ( = m b ) in punt. m a m b ewijs nu (via opgave 4) dat ook op de derde middelloodlijn m c ligt. Opmerking: = = zijn drie stralen van de cirkel die door, en gaat. URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

3 Gelijkvormigheid e gelijkvormigheidsgevallen noteren we met kleine letters, om ze te onderscheiden van de congruentiegevallen. Twee driehoeken zijn gelijkvormig, genoteerd met, als: twee hoeken gelijk zijn, de derde hoek is dan automatisch gelijk, (hh) of als twee zijden evenredig zijn en de ingesloten hoek gelijk is (zhz) of als de drie zijden evenredig zijn (zzz). e stelling van de middenparallel Gegeven: en E zijn de middens van en. Te bewijzen: E // en E. ewijs: E is gelijkvormig met E (zhz), want de zijden van zijn twee keer zo lang en de ingesloten hoek () is dezelfde. us zijn er gelijke F-hoeken, waaruit E // volgt, en tevens is = E. E e zwaartelijnen verdelen elkaar in een verhouding : Gegeven: e zwaartelijnen en E. Te bewijzen: en E verdelen elkaar in stukken met verhouding :. ewijs: is het snijpunt van en E. e driehoeken en E zijn gelijkvormig vanwege de gelijke Z-hoeken en de verhouding :. e zijden van zijn keer zo groot als die van E. aaruit volgt : = E : = E : = :. E telling: telling: telling: e drie hoogtelijnen gaan door één punt (het hoogtepunt) e drie zwaartelijnen gaan door één punt (het zwaartepunt) e drie (binnen)bissectrices gaan door één punt Het bewijs van deze stelling verloopt als volgt. Gegeven: ligt op de bissectrices van en van. E E, F en zijn loodlijnen op, en. Te bewijzen: x x ligt op de bissectrice van. F ewijs: Uit E = F en F = volgt: E =. ligt dus op de bissectrice van. N.. Het snijpunt van de bissectrices is het middelpunt van de ingeschreven cirkel (plaatje rechts). URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

4 Gegeven: e rechthoekige driehoek. = = 90 is de hoogtelijn h op de hypotenusa. Te bewijzen: e driehoeken, en zijn gelijkvormig. ewijs: = 80 (hoekensom) us + = 90 (zijn elkaars complement). e volgende hoeken zijn ook elkaars complement: + = 90 en + = 90 en + = 90. us zijn de drie rechthoekige driehoeken gelijkvormig (hh). 7 ewijs (zie de driehoek hiernaast) dat ab = hc en h = pq a h p b q 8 e bissectrice van een hoek in een driehoek verdeelt de overstaande zijde in stukken die zich verhouden als de aanliggende zijden. ewijs dit. Te bewijzen: p : q = b : a (zie de figuur hiernaast). b p a p anwijzing: trek een lijn door evenwijdig aan de bissectrice. eze snijdt het verlengde van in een punt. Zoek nu naar gelijkvormige driehoeken. p P q 9 e hoeken bij en zijn 90 o. = 4 en = 9. ereken.? Hoek = hoek. = 6 en = 5. ereken. 6 5 Gegeven: zie de figuur. F // en FE // Gegeven is ook: = ; = 6; F = 9; F = 8 ereken: F ( = x) en E ( = y) 6 x y E 9 8 F [ ex 04 I: 0, en ] [ ex 04 II: 6 ] URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

5 Hoekensomstelling: e som van de hoeken in een driehoek is 80 o Gegeven: met hoeken, en. Te bewijzen: + + = 80 ewijs: Trek een lijn door // c. at geeft gelijke Z-hoeken en bij. e gestrekte hoek bij is 80, dus ook + + = 80. c uitenhoekstelling: Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de niet aanliggende binnenhoeken. Gegeven: met hoeken, en. Te bewijzen: uitenhoek = + ewijs: + + = 80 (hoekensom) + = 80 (gestrekte hoek) dus hoek = +. Een voorbeeldopgave. Gebruik alleen wat gegeven is en schrijf alle tussenstappen op. riehoek is congruent met driehoek. snijdt in. a) ewijs dat driehoek congruent is met driehoek. b) ewijs dat evenwijdig is aan. 4 3 a) Geef je bewijs in stappen, verwijzend naar de betreffende stellingen. In de rechter figuur staan wat tekens om de uitleg te vergemakkelijken. at bewijs zou bijvoorbeeld als volgt kunnen verlopen. Gegeven:. Te bewijzen: ewijs: volgens congruentiegeval... (Z) = (volgt uit het gegeven) (H)... =... (want...) (H)... =... (want...) b) Zie de rechter figuur. Te bewijzen: // ewijs: () =, want... () us... =... = (zie fig.) ij staan twee buitenhoeken van, (3) dus 4 = =... aar 4 is tevens buitenhoek van... (4) is ook gelijkbenig, immers... (volgt uit vraag a) (5) us = = = (6) onclusie: //, want... Zie de vorige opgave. In de tekening lijkt hoek 90 o. Onderzoek of dat bewezen kan worden. URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

6 3 e driehoeken en zijn congruent. In nevenstaande illustratie is =. is het snijpunt van en. ewijs dat loodrecht staat op. oe dat volgens een soortgelijk sjabloon ( protocol ) als in opgave. β 4 In is hoek recht. en E liggen op en met: E // ; = 3; E = 4 en = 9. is het snijpunt van E en. ereken achtereenvolgens, E, en E E 5 Hieronder getekend is driehoek met hoeken, en. en E liggen op het verlengde van en zo dat = en E =. Hierdoor ontstaat een "grote" driehoek E. ruk de hoeken van E uit in, en. E [ ex 0 II: 6 ] [ ex 0 I: 6 ] 6 In driehoek (hiernaast) zijn H en H hoogtelijnen en snijdt de bissectrice van hoek deze hoogtelijnen in en T. ewijs dat H = HT. T H URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

7 IRKEL Een cirkel is de verzameling van de punten die een vaste afstand r hebben tot een vast punt. r is de straal, is het middelpunt van de cirkel. Een cirkelboog PQ wordt uitgedrukt in graden, het aantal graden van de bijbehorende midddelpuntshoek PQ. telling : ij gelijke koorden horen gelijke bogen (en omgekeerd). Gegeven: irkel met middelpunt : bg = bg Te bewijzen: koorde = koorde ewijs: = 3 (gegeven) = = = (de straal) us (ZHZ), waaruit de gelijkheid volgt van de koorden: =. 3 [ e omgekeerde betrekking is te bewijzen met ZZZ ] telling : e loodlijn vanuit op een koorde deelt die koorde doormidden. Gegeven: N staat loodrecht op koorde (N ) Te bewijzen: N is het midden van (N = N) ewijs: = (stralen van de cirkel) N = N N = N = 90 (gegeven) us N N (ZZR) us N = N. N telling 3: Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. ewijs: Een raaklijn heeft maar één punt gemeen met de cirkel. is een punt van de cirkel. e loodlijn in op heeft maar één punt (namelijk ) gemeen met de cirkel, want elk ander punt () van de loodlijn ligt verder af van, volgens de stelling van Pythagoras: = +. is dus groter dan de straal van de cirkel, ligt buiten de cirkel en niet op de cirkel. e loodlijn is dus een raaklijn. loodlijn Een omtrekshoek heeft zijn hoekpunt op de cirkelomtrek. telling 4: Gegeven: Te bewijzen: Een omtrekshoek is half zo groot als als de bijbehorende middelpuntshoek. Omtrekshoek en middelpuntshoek staan op dezelfde boog. = ewijs: Voor geldt: uitenhoek = + (buitenhoekstelling) = = straal cirkel dus = onclusie: =. Hetzelfde geldt voor : 3 =. Tel de hoeken op en er komt: =. [ ls tussen en ligt, moet je de hoeken van elkaar aftrekken ] 3 URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

8 Recreatie () Het verhaal. Je zit op een onbewoond eiland en hebt genoeg materiaal om een schuilhut te bouwen. e vraag is, op welke plek die hut het best gebouwd kan worden. Het eiland heeft de vorm van een gelijkzijdige driehoek. e drie zijden (prachtige zandstranden) zijn kilometer lang. Elke ochtend en elke avond wil je (met een surfplank) alle drie de stranden een keer bezoeken volgens de kortste, loodrechte verbinding en je wilt daarbij in totaal zo min mogelijk (kilo)meters afleggen. Kies je antwoord uit:. Op een hoekpunt. In het midden van een zijde. In het middelpunt van de ingeschreven cirkel. In het middelpunt van de omgeschreven cirkel E. Op een-derde van een hoogtelijn F. Op de helft van een hoogtelijn G. Op een willekeurige plek otiveer je antwoord. URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

9 telling 5: e hoek tussen een raaklijn en een koorde naar het raakpunt is gelijk aan de bij die koorde behorende omtrekshoek (koorde-raaklijn stelling) Gegeven: Te bewijzen: Omtrekshoek staat op koorde. ligt op. is raaklijn ( ). = ewijs: = (buitenhoek gelijkbenige ) is gelijkbenig met + = 80, dus = 90, is het complement van. aar is ook het complement van. onclusie: = =. We zeggen: Omtrekspunt 'kijkt uit' op koorde.; de raaklijn ziet koorde onder dezelfde hoek. telling 4 en 5 beschrijven de meetkundige plaats van de constante omtrekshoek: e punten die een lijnstuk onder een constante hoek 'zien', liggen op een cirkelboog met als koorde. at komt doordat bij een vaste koorde een vaste middelpuntshoek hoort die het dubbele is van de omtrekshoeken op die koorde. Noem die constante hoek (phi). ls < 90 is, is bg > 80 ls > 90 is, is bg < 80 ls = 90 is, is bg = 80 (een halve cirkel) in dat bijzondere geval krijg je de stelling van Thales. e punten aan de andere kant van, zien onder 80. koorde 80- raaklijn telling 6: Een omtrekspunt ziet een middellijn onder 90 o. e omgekeerde stelling van Thales zegt dat de punten () die een lijnstuk onder een hoek van 90 zien, op een cirkel liggen met als middellijn. e omtrekshoek, horend bij een middelpuntshoek van 80, is de helft van 80 (dus 90 ). e rechthoekige driehoek is de helft van de rechthoek, waarvan de diagonalen elkaar doormidden delen. Het middelpunt () van de omgeschreven cirkel van die rechthoekige driehoek ligt op het midden van de hypotenusa (). telling 7: ls en het lijnstuk onder dezelfde hoek zien, is een koordenvierhoek. Let op de gelijke hoeken in de koordenvierhoek rechts: URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

10 7 Een oefening met (bijna) alle stellingen. Er zijn verschillende manieren. is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van. Hoek = 60 o en hoek = 50 o. Op de omgeschreven cirkel ligt punt R zo, dat R op het verlengde ligt van. Getekend is ook de raaklijn in R aan de cirkel. ereken alle 6 aangegeven hoeken bij,,, en R. Gebruik hierbij de volgende stellingen, eventueel ter controle. o o o o o o o o iddelpuntshoek = keer omtrekshoek onstante omtrekshoek Omtrekshoek raaklijn-koorde Raaklijn loodrecht straal Thales Hoekensom driehoek Gelijkbenige driehoek uitenhoekstelling [ ex 0 I: 7, 6, 7 ] 3 60 o 4 3 R o 3 Raaklijn URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

11 telling 8a: In een koordenvierhoek is de som van de overstaande hoeken 80 Gegeven: is koordenvierhoek Te bewijzen: + = + = 80. ewijs: is de halve boog, is de halve boog. amen zijn de bogen + gelijk aan de boog = 360. us de omtrekshoeken en zijn samen 80. [ Zelfde voor de hoeken en ] telling 8b: ls de overstaande hoeken in een vierhoek samen 80 zijn, is het een koordenvierhoek. Gegeven: vierhoek met + = + = 80. Te bewijzen: is een koordenvierhoek. ewijs: tel dat niet op de omgeschreven cirkel van ligt. Verleng, het snijpunt met de omgeschreven cirkel van is E. Omdat + = 80 is (gegeven) en ook + E = 80 is (namelijk E ligt op de omgeschreven cirkel) krijg je een tegenspraak. moet dus samenvallen met E en er gaat één cirkel door,, en. Hier is, wat men noemt, een bewijs uit het ongerijmde gebruikt. E Overzicht van stellingen Overstaande hoeken zijn gelijk (overstaande hoeken). F-hoeken en Z-hoeken zijn gelijk bij evenwijdige lijnen (en omgekeerd). e som van de hoeken in een driehoek is 80 (hoekensom). e som van de hoeken in een vierhoek is 360 (hoekensom vierhoek). Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken (buitenhoek). Tegenover gelijke hoeken in een driehoek staan gelijke zijden en omgekeerd (gelijkbenige driehoek) Twee driehoeken zijn congruent ( of ) in de gevallen: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ en ZZR. Twee driehoeken zijn gelijkvormig () als de hoeken gelijk zijn (hh) of als twee zijden evenredig zijn en de ingesloten hoek gelijk is (zhz) of als de drie zijden evenredig zijn (zzz). ij gelijke bogen horen gelijke koorden (en omgekeerd). e loodlijn vanuit het middelpunt op een koorde deelt die koorde middendoor (loodlijn op koorde). Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de bijbehorende straal (raaklijn eigenschap). telling van de omtrekshoek: Elke omtrekshoek is half zo groot al de bijbehorende middelpuntshoek. telling van Thales: ls punt P op een cirkel met middellijn ligt, dan is P = 90 (en omgekeerd: als P = 90 dan is het middelpunt van de omgeschreven cirkel het midden van ). telling van de constante hoek: ls punt P over de cirkelboog tussen de punten en beweegt, verandert de grootte van P niet. eze hoek is gelijk aan de hoek tussen en de raaklijn in (of ) aan de cirkel. (stelling van de constante hoek) e raaklijn-koorde stelling: de hoek tussen raaklijn en koorde is gelijk aan de omtrekshoek op die koorde. ls en aan dezelfde kant van lijnstuk liggen en = dan liggen en op dezelfde cirkelboog en is een koordenvierhoek (e koordenvierhoekstelling). ls P en Q aan weerszijden van lijnstuk liggen en P = Q dan is PQ is een koordenvierhoek (e koordenvierhoekstelling). URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

12 8 e cirkels c en c met middelpunten en N snijden elkaar in en. snijdt (na verlenging) c in ; N snijdt (na verlenging) c in. ewijs dat, N, en op één cirkel liggen (een koordenvierhoek vormen). N [ ex 0-II: 8 ] c c 9 In de driehoek hiernaast zijn de hoogtelijnen getekend. a) Waarom is F een koordenvierhoek? b) Geef de andere (vijf) koordenvierhoeken in deze driehoek. E H F 0 Gegeven is driehoek. e hoogtelijn uit snijdt in. e cirkel met als middellijn snijdt in E en in F. ewijs dat FE een koordenvierhoek is. E F [ ex 0 II: 6 en 7 ] [ ex 03 II: 5 en 6 ] [ ex 04 I: 8 ] [ ex 04 II: 6 en 7 ] In de figuur hiernaast is = = 90 ; en N zijn het midden van en. ewijs dat vierhoek N een koordenvierhoek is. P N doorloopt de omgeschreven cirkel van ; P ligt op het verlengde van, zo dat P =. Zie de figuur rechts. eschrijf de baan van het punt P. URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

13 Recreatie () Raaklijnen aan cirkels P Hulpstelling raaklijn en koorde: Gegeven een cirkel met een punt P daarbuiten. Een lijn door P snijdt de cirkel in en ; een andere lijn door P raakt de cirkel in Q. ewijs: P P = PQ. Q Raaklijn en snijlijn Zie de figuur. Twee cirkels snijden elkaar in en ; een lijn l raakt beide cirkels, in P en Q. Lijn snijdt lijn l in N. ewijs dat N het midden is van PQ. Gebruik de vorige hulpstelling. Q l N P URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

14 3 en T zijn de snijpunten van twee cirkels. Punt P doorloopt de cirkel rechts. P en PT snijden de andere cirkel in Q en R. ewijs dat de lengte van QR constant is. Q P [ ex 03 I: 9 en 0 ] R T 4 Hieronder is van de omgeschreven cirkel getekend. e raaklijnen aan de cirkel in en snijden elkaar in. = 60 o. a. ewijs dat gelijkzijdig is. is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. b. ewijs dat een koordenvierhoek is. 60 o 5 Zie de tekening hiernaast. is middellijn van een cirkel, waar ook punt op ligt. e raaklijnen aan de cirkel in en snijden elkaar in. ewijs dat =. URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

15 eetkundige plaatsen. 'eetkundige plaats' is het ouderwetse woord voor 'puntverzameling'. e verzameling van alle punten die dezelfde afstand hebben tot twee gegeven punten en is de middelloodlijn van het lijnstuk (middelloodlijn). e verzameling van alle punten binnen een hoek die dezelfde afstand hebben tot de benen van die hoek is de deellijn (bissectrice) van die hoek (deellijn). e verzameling van alle punten die dezelfde afstand hebben tot twee elkaar snijdende lijnen, is het deellijnenpaar (bissectricepaar) van die twee lijnen (deellijnenpaar). e verzameling van alle punten die afstand r tot een gegeven punt hebben, is de cirkel met middelpunt en straal r (cirkel). e verzameling van alle punten die dezelfde afstand hebben tot twee evenwijdige lijnen, is de middenparallel van dat lijnenpaar (middenparallel). e verzameling van alle punten die gelijke afstand hebben tot een lijn l en een punt F is de parabool met braandpunt F en richtlijn l (parabool). e letter F komt van focus (= brandpunt). Parabool Om het woord parabool begrijpelijk te maken geven we een punt F de coördinaten (0, ) en bepalen algebraïsch de verzameling van de punten P (x, y) die gelijke afstand hebben tot het gegeven punt F en de x-as (de richtlijn). Zie de figuur hiernaast. e afstand van P (x, y) tot F (0, ) is volgens Pythagoras: PF x ( y ). e afstand van P tot de x-as is simpelweg de y-coördinaat van P. Er geldt dus: d (P, F) = d (P, x-as) = y. Na kwadrateren staat hier: x ( y ) y waarvoor na F(0,) wegwerken van de haakjes geschreven kan worden: x 4y 4 oftewel y x 4. it is inderdaad wat we in de analyse een parabool genoemd hebben. Het punt F (van 'focus') heet het brandpunt van de parabool, de x-as heet in dit voorbeeld de richtlijn van de parabool. x x P(x,y) y- y Je kunt een parabool met passer en liniaal niet precies op het papier krijgen. Wel kun je bij een schets gebruik maken van een een aantal steunpunten waarmee je de parabool 'opspant'. egin met de top midden tussen brandpunt en richtlijn en gebruik de gestippelde vierkanten om de punten en te tekenen. Een paar andere steunpunten kun je via middelloodlijnen vinden van lijnstukjes FV en FU (V en U zijn punten op de richtlijn l ). F V U l Een alternatieve constructie begint met een lijn te tekenen evenwijdig aan l op een willekeurig afstand r en die lijn te snijden met een cirkel met middelpunt F en straal r. it snijpunt heeft inderdaad gelijke afstand (namelijk r) tot F en l. URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

16 Opgaven over afstanden [ ex 03 I: 8 en 9 ] 6 Neem een stuk papier met vierkantjes van centimeter. Teken een assenstelsel met punt F (0,). Teken een cirkel met straal 5 (cm) en snijdt die cirkel met de lijnen x = 4 en x = 4. e gevonden snijpunten liggen op een parabool met brandpunt F en richtlijn de x-as. ewijs dit. 7 Een rechthoekig stuk land moet zo eerlijk mogelijk verdeeld worden tussen eigenaar en eigenaar. Het gebied van eigenaar wordt begrensd door de rechthoekszijden en, dat van eigenaar wordt begrensd door en. Onder "eerlijk" verstaan we volgens het "naaste-buur principe", dat de punten die het dichtst bij de grenslijn liggen, naar eigenaar gaan en de punten die het dichtst bij de grenslijn liggen naar eigenaar gaan. e punten die even ver afliggen van het land van beide eigenaars, liggen op de conflictlijn. Teken deze conflictlijn. Welke meetkundige plaatsen spelen hierbij een rol? Eigenaar Eigenaar Eigenaar Eigenaar e vorige opgave ging over een gebiedsverdeling tussen twee stukken land. Ook tussen punten (denk aan steden) kan een gebied verdeeld worden. e conflictlijnen daarbij zijn middelloodlijnen. 8 e stippellijnen in de driehoek hiernaast zijn middelloodlijnen. Het land rond de drie steden, en wordt verdeeld volgens het naaste-buur principe. Hoe gaan de grenslijnen lopen? P Q R 9 In de figuur hiernaast. Punt P beweegt langs de conflictlijn van het lijnstuk met eindpunt en de rechthoek met hoekpunt. Q nders geformuleerd: Teken de verzameling van de punten die gelijke afstand hebben tot de lijnstukken Q en O. P O(0,0) (7,0) Teken en beschrijf de baan van P. URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

17 Recreatie (3) In de figuur hieronder. Een conflichtlijn is de verzameling punten met gelijke afstand tot twee gebieden. Een isolijn is de verzameling punten met een vatse afstand tot een gebied. Teken in het roosterpatroon de conflictlijn tussen de twee rechthoeken ten opzichte van de vet getekende grenslijnen. egin bij punt (4, ). enoem de gebruikte meetkundige plaatsen. Er is een punt dat een afstand,5 heeft tot zowel E als tot lijnstuk. Teken dat punt en bereken de coordinaten van dat punt. F(0,6) E(0,4) O(0,0) (,0) (0,0) (4,0) URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF

18 onstructies Een voorbeeld. We construeren de middelloodlijn van een gegeven lijnstuk bijvoorbeeld als volgt. Trek twee (halve) cirkels met straal, met de passerpunt als middelpunt in en in. at geeft twee snijpunten en T. Verbind nu en T, dat is de middelloodlijn van. Het is niet perse nodig om als straal te gebruiken. Elke andere straal (mits groter dan ) is ook goed, als de stukken en (en T en T) maar gelijk zijn. Zulk soort constructies (met alleen maar een passer en een latje zonder schaalverdeling) vormden oorspronkelijk in de Euclidische meetkunde een belangrijk onderwerp. In de huidig examens is dat niet meer zo belangrijk. Wij zullen ons beperken tot een vijftal constructie-opgaven. T 30 Teken een flink grote stomphoekige driehoek en construeer met passer en liniaal (zonder gebruik te maken van een schaalverdeling) de omgeschreven cirkel van die driehoek. 3 Teken twee lijnen l en m en construeer met een passer en liniaal (zonder schaalverdeling) de bissectrice van de scherpe hoek tussen l en m. 3 Neem de nevenstaande tekening over. e lijnen l en m zijn evenwijdig. Hoeveel cirkels zijn er die aan alle drie de lijnen raken? Teken deze cirkels. Je mag een geodriehoek gebruiken. l m l 33 Teken een cirkel met een straal van 4 cm. onstrueer de meetkundige plaats van de punten die cm afstand hebben tot die cirkel. 34 Teken een lijn l met daarop een punt P en teken buiten l een punt Q. onstrueer met behulp van een geo-driehoek en een passer de cirkel die door Q gaat en lijn l in het punt P raakt. URUOEK WIK VWO H. PFLTZGRFF