Samenvatting. Hoofdstuk 4. Machtsfunctie De functie f x x n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n.

Transcriptie

1 Hoofdstuk Samenvatting Machtsfunctie De functie f n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n. Gebroken functie Machtsfuncties waarbij n een negatief geheel getal is heten gebroken functies. Wortelfuncties Machtsfuncties waarbij n een breuk is heten wortelfuncties. Je kunt de vorm van de grafiek van een machtsfuncties met een gehele eponent beschrijven n is een geheel getal n is positief n is negatief n is even n is oneven n is even n is oneven lijnsmmetrie puntsmmetrie lijnsmmetrie puntsmmetrie Je kunt de kenmerken van de grafieken bij wortelfuncties beschrijven Machtsfunctie van de vorm f of n f n met n een positief geheel getal heten wortelfuncties. De grafiek gaat door de punten 0, 0 en,. ij deze functies is het domein 0, als n even is. ls n oneven is, dan is het domein R. f() = f() = 08

2 Hoofdstuk Je kunt machtsfuncties met een negatieve eponent schrijven als een gebroken functie Er geldt f n n Schrijf de functies f() = en g() = 8 zonder negatieve eponenten. f() = en g() = 8 Je kunt de vergelijking n c eact oplossen De vergelijking n c heeft 0, of oplossingen. epaal eerst, eventueel met een plot, het aantal oplossingen. Eén oplossing is c n. ls er twee oplossingen zijn dan is de andere oplossing c n. Los eact op =. In een plot zie je dat er twee oplossingen zijn. De ene oplossing is = =. De andere oplossing is =. Je kunt vergelijkingen met twee machtsfuncties eact oplossen Herleid de vergelijking op 0 en ontbind in factoren. Uit de vorm 0 volgt 0of 0. Los eact op 9 = 6. 9 = = 0 ( ) = 0 = 0 of = = 0 of = of = Je kunt het gedrag verklaren van functies die uit twee machtsfuncties zijn samengesteld ekijk het gedrag voor heel grote waarden van en voor waarden van dicht bij 0. Omschrijf het gedrag van de functie f() = Voor grote waarden van wordt een klein getal. De grafiek van f ligt dan dicht bij de grafiek van g() =. ls je voor een getal dicht bij 0 invult dan wordt een klein getal. De grafiek van f lijkt op de grafiek van h() = 6 g f g h h 6 f 09

3 Hoofdstuk Test jezelf Op de computer vind je ook een Test jezelf met andere opdrachten. T- Gegeven zijn de functies f en g 7. a Welke smmetrie-eigenschappen hebben de grafieken van deze functies? b Onderzoek of de functie h f g te schrijven is als een machtsfunctie h n. Zo ja welke eponent hoort er dan bij? c eantwoord dezelfde vragen voor de functie k f g. Deze opdracht hoort bij paragraaf -. T- Gegeven is de functie f. a lot de grafiek van f en los eact op: f. b Los op: f 00. c Leg uit hoe je aan het functievoorschrift kunt zien dat de grafiek van f de -as niet snijdt. Deze opdracht hoort bij paragraaf -. T- In Noord-merika is een verband geconstateerd tussen de oppervlakte van een leefgebied en het aantal verschillende vogelsoorten dat er voorkomt. De formule die het verband weergeeft is S 0. 6 S is het aantal vogelsoorten en is de oppervlakte van het leefgebied in vierkante mijl. a ereken het aantal vogelsoorten in gebieden met een oppervlakte van 0,75 vierkante mijl en een oppervlakte van 500 vierkante mijl. b In een gebied in Noord-merika komen zo n 50 vogelsoorten voor. ereken de oppervlakte van dat gebied. c De oppervlakte van een gebied wordt tien keer zo groot genomen. Wordt het aantal vogelsoorten ook tien keer zo groot? Verklaar je antwoord met een berekening. d Een klein gebied en een groot gebied worden beide met 50 vierkante mijl uitgebreid. Leg uit in welke van deze twee gevallen het aantal vogelsoorten het meest zal toenemen. e Druk uit in S. f De oppervlakte O in km is te berekenen met de formule O,56. Daaruit volgt dat S c O ereken c. 6 Deze opdracht hoort bij paragraaf -. 0

4 Hoofdstuk T- Los eact op. a b 5 0 c d Deze opdracht hoort bij paragraaf -. e 5 7 f g h T-5 Gegeven is de functie f a ereken eact de coördinaten van het nulpunt van f. b Voor grote waarden van lijkt de grafiek van f op de parabool met vergelijking. Leg met het functievoorschrift van f uit hoe dat komt. c In de buurt van 0 lijkt de grafiek van f op de grafiek van Leg uit hoe dat komt. Deze opdracht hoort bij paragraaf O T-6 Gegeven is de functie f 500 met 0. a Wat gebeurt er met de functiewaarden als de waarde van toeneemt? b lle functiewaarden van f liggen boven een bepaalde waarde. eredeneer met het functievoorschrift welke waarde dat is. c Los eact op: f 6. T-7a b Geef een voorbeeld van een machtsfunctie met domein 0,. Geef een voorbeeld van een machtsfunctie met domein, 0. T-8 Gegeven zijn de functies f en g. a Los eact op f 0. Hoe kun je de oplossingen van g 0 hieruit afleiden? b Gegeven is de functie h a met h 5. ereken de eacte waarde van h c Los eact op: g h. T-9 Van de functies f a b is gegeven dat de grafiek de -as niet snijdt. Wat weet je van de getallen a en b?

5 Hoofdstuk 5 Samenvatting Definitie Met een definitie leg je een begrip vast. Daarvoor gebruik je uitsluitend reeds bekende begrippen. Stelling Een stelling is een bewezen bewering of eigenschap. Je mag bewezen stellingen gebruiken bij een volgend bewijs. Implicatie en implicatieteken ls je uit een aantal gegevens een conclusie trekt kun je dit weergeven met het implicatieteken. Daarbij staan de gegevens links van een accolade en het implicatieteken. Dus: gegevens of definities nieuwe eigenschap = = 0 = = 80 Equivalent en equivalentieteken Eigenschappen of definities zijn equivalent gelijkwaardig als je uitgaande van de ene de andere kunt bewijzen en omgekeerd. Dus: oude eigenschap of definitie nieuwe eigenschap of definitie ewijzen Om een bewijs van een eigenschap of een stelling te vinden moet je meestal de hiernaast genoemde stappen doorlopen. ij het uitschrijven van een bewijs volg je het bewijsschema hiernaast. Gelijkvormigheid Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur een vergroting of een verkleining van de andere is. Dan zijn overeenkomstige hoeken gelijk en is er een vaste verhouding tussen de overeenkomstige zijden. ongruentie Twee driehoeken zijn congruent als overeenkomstige hoeken en overeenkomstige zijden gelijk zijn. Indirect bewijs Een bewijs van een stelling kun je soms indirect geven door gebruik te maken van gevalsonderscheiding. Je bewijst dan dat alle mogelijkheden op één na tot een tegenspraak leiden. ij een bewijs uit het ongerijmde laat je zien dat het geval onwaar tot een tegenspraak leidt. En dus blijft alleen het geval waar over. De onjuistheid van een bewering toon je aan door het geven van tenminste één tegenvoorbeeld. ewijs aanpak Verkennen nalseren Vooruitdenken Terugdenken lan maken ewijs geven ewijsschema Gegeven Te bewijzen ewijs ewijs dat een driehoek hoogstens één stompe hoek heeft. Stel dat in driehoek de hoeken bij en bij stomp zijn. Dan geldt: + + > 80 Dit is in tegenspraak met de stelling van de hoekensom. 8

6 Hoofdstuk 5 Je kunt vaststellen of twee driehoeken gelijkvormig of congruent zijn De meest gebruikte gelijkvormigheidskenmerken voor twee driehoeken zijn: > alle overeenkomstige zijden hebben dezelfde verhouding of > twee paar overeenkomstige hoeken zijn gelijk. Twee driehoeken zijn congruent als ze voldoen aan één van de vijf congruentiegevallen ZZZ, ZHZ, HZH, ZHH of ZZR. Gegeven: driehoek is gelijkbenig, Q = 90 en R = 90. ewijs dat Q R. Q = R (= 90 ) = = R Q R Q R Je kunt bewijzen dat twee definities equivalent zijn Je moet dan uitgaande van de ene definitie de andere definitie als eigenschap bewijzen én uitgaande van de andere definitie de ene als eigenschap bewijzen. gelijkzijdige driehoek Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan alle zijden even lang zijn. gelijkzijdige driehoek Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan alle hoeken gelijk zijn. ewijs de equivalentie van de definities hierboven. ewijs ewijs Gegeven: met = = Gegeven: met = = Te bewijzen: lle hoeken zijn gelijk. Te bewijzen: lle zijden zijn even lang. ewijs: = = ewijs: = = Op dezelfde manier: = = = = Dus alle hoeken zijn gelijk. Dus alle zijden zijn even lang. 9

7 Hoofdstuk 5 Test jezelf Op de computer vind je ook een Test jezelf met andere opdrachten. T- Gegeven is een scherphoekige driehoek met daarin de hoogtelijnen D en E. Deze hoogtelijnen snijden elkaar in punt H. a ewijs dat de driehoeken HE en HD gelijkvormig zijn. b ewijs dat D E. Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-. E H D T- In driehoek is lijn m de middelloodlijn van. Lijn m snijdt in D. De bissectrice van snijdt de lijn m in punt S. ewijs dat DS 90. Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-. m D T- Van driehoek is gegeven dat, 5 en 80. a Teken een driehoek die aan de gegevens voldoet. b Did en Marijke tekenen elk een driehoek volgens de gegevens. Zijn hun driehoeken congruent? Zo ja, op grond van welk congruentiegeval? Zo nee, teken een andere driehoek die ook aan de gegevens voldoet. c eantwoord dezelfde vragen voor driehoek DEF met DE, EF 5en F 0. Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-. S T- In de figuur hiernaast snijden de benen van en elkaar in de punten, F, G en H. Gegeven is dat. Te bewijzen: EF DGF 50 a b c d Zie je direct een bewijs, geef dat dan. nalseren: vooruitdenken Je weet niets over afstanden. Dus congruentie? Gegeven is In welke stellingen komen gelijke hoeken voor? nalseren: terugdenken Welke hoek is gelijk aan EF? En welke hoek is gelijk aan DGF? Maak een plan en geef het bewijs. Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-. E F H G D

8 Hoofdstuk 5 T-5 Toon aan dat de onderstaande definities van een rechthoek equivalent zijn. rechthoek Een vierhoek met vier rechte hoeken is een rechthoek. rechthoek Een parallellogram met een rechte hoek is een rechthoek. rechthoek Een paralllellogram met gelijke diagonalen is een rechthoek. Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-5. T-6 In de figuur worden de lijnen l en m gesneden door een derde lijn. ls Z-hoeken gelijk zijn dan zijn l en m twee evenwijdige lijnen. Waarschijnlijk heb je dit zonder bewijs geaccepteerd. Maar je kunt het ook bewijzen! a b Geef een definitie van twee evenwijdige lijnen. ewijs dat als Z-hoeken gelijk zijn dat dan l en m evenwijdig zijn. Geef een bewijs uit het ongerijmde. Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-6. l m T-7a b c d Voer de volgende constructie uit met GeoGebra. Teken twee punten M en en teken de cirkel c met middelpunt M en straal M. Neem punt Q op de cirkel en teken de lijnstukken M, MQ en Q. Neem een punt N op lijnstuk M en teken cirkel c met middelpunt N en N als straal. Deze cirkel snijdt Q in K. Teken de lijn l door K evenwijdig aan M. Lijn l snijdt MQ in L. Welk soort vierhoek is vierhoek KLMN? ontroleer door hoeken of lengten te meten. Versleep punt N langs M. lijf je dezelfde vierhoek zien? ewijs je vermoeden omtrent vierhoek KLMN. Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-7. Q L K M c c N l T-8 Gegeven is een parallellogram D. unt is het midden van zijde en punt Q is het midden van zijde D. a ewijs dat Q een parallellogram is. Maak hierbij gebruik van congruente driehoeken en van één van de definities van een parallellogram. b ewijs dat vierhoek Q een parallellogram is. c ewijs dat vierhoek RS een parallellogram is. d ewijs dat vierhoek RQS een parallellogram is. e ewijs: ls vierhoek RQS een ruit is, dan is D een rechthoek. T-9 ls je de middens van de zijden van een willekeurige vierhoek D verbindt krijgt je vierhoek QRS. a Wat kun je zeggen van D als QRS een ruit is? b En als QRS een rechthoek is? D Q S R 5

9 Hoofdstuk Samenvatting Transformatie Een transformatie is bijvoorbeeld een verschuiving translatie, spiegeling of vermenigvuldiging van een grafiek, of een combinatie hiervan. Door een transformatie van een grafiek verandert het functievoorschrift. Verschuiven ls de grafiek van een functie f over een afstand d omhoog wordt verschoven heeft het functievoorschrift van de nieuwe grafiek de vorm g f c. ls de grafiek van een functie f naar over een afstand c naar rechts wordt verschoven is het functievoorschrift van de nieuwe grafiek g f c. Vermenigvuldigen ls je bij een grafiek de afstand van elk punt tot de -as a keer zo groot maakt wordt het nieuwe functievoorschrift g a f. ls je bij een grafiek de afstand van elk punt tot de -as b keer zo klein maakt vervang je in een functievoorschrift de door b. ls a of b negatief is komen de punten bovendien aan de andere kant van respectievelijk de -as of de -as te liggen. Standaardgrafieken De grafieken van de functies hiernaast heten standaardgrafieken. Van deze grafieken moet je de kenmerken kennen. arameter Een familie van functies beschrijf je handig door gebruik te maken van een hulpvariabele of parameter. Standaardfuncties f() =, g() =, h() =, k() =, n() =, p() =, s() = sin, c() = cos, m() = en l() = log Je kunt het functievoorschrift aanpassen na een vermenigvuldiging of translatie Gegeven is de functie f() = 0,5 Wat zijn de functievoorschriften van de beeldgrafiek als de grafiek van f een afstand omhoog en naar links wordt verschoven? ls de grafiek naar links schuift, vervang je de door +. ls de grafiek omhoog schuift, moet je bij het functievoorschrift optellen. Het nieuwe functievoorschrift wordt dus: g() = 0,5( + ) ( + ) +. 5 O 5 5

10 Hoofdstuk Gegeven zijn de functies f() =, g() = en h() = Hoe zijn de grafieken van g en h ontstaan uit de grafiek van f? Omdat g() =. f() is de afstand van elk punt op de grafiek van g vermenigvuldigd met ten opzichte van de -as. Door het min-teken is er bovendien gespiegeld in de -as. Omdat h() = f() is de afstand van elk punt op de grafiek van f vermenigvuldigd met ten opzichte van de -as. Je kunt het functievoorschrift opstellen bij een grafiek die uit een standaardgrafiek is ontstaan Kijk welke standaardgrafiek in aanmerking komt. Let op randpunten, asmptoten en toppen om te ontdekken welke translaties ten opzichte van de standaardgrafiek hebben plaatsgevonden Stel vast of de standaardgrafiek horizontaal of verticaal moet worden vermenigvuldigd om de gegeven grafiek te krijgen. Stel het functievoorschrift op en controleer het met een plot. De grafiek van f hiernaast is ontstaan uit een standaardgrafiek. Wat is het voorschrift van de grafiek van f? De grafiek is ontstaan uit de grafiek van h() =. Het punt (0, 0) is verplaatst naar (, ), dus het functievoorschrift van f heeft de vorm f() = a( + ). Het punt (, ) ligt op de grafiek van f, dus = a( + ) = 8a. Hieruit volgt 8a = dus a = f() = ( + ) O 5 5

11 Hoofdstuk Test jezelf Op de computer vind je ook een Test jezelf met andere opdrachten. O 5 O O 5 T- ovenstaande grafieken zijn door translaties uit standaardgrafieken ontstaan. Welke standaardgrafieken zijn dit en welke translaties zijn toegepast? Deze opdracht hoort bij paragraaf -. T- Gegeven zijn de functies f, g 7 en h log 5. a Maak een schets van de grafiek van bovenstaande functies. Geef randpunten, asmptoten en andere bijzondere punten aan in de grafiek. b Geef bij elke functie aan hoe de grafiek uit een standaardgrafiek kan ontstaan. Deze opdracht hoort bij paragraaf -. T- Welke vermenigvuldigingen zijn er nodig om de grafieken van onderstaande functies te laten ontstaan uit een standaardgrafiek? a f log b g 0, c d h 7 k Deze opdracht hoort bij paragaaf -. T- Welke vermenigvuldigingen zijn er nodig om de grafieken van onderstaande functies te laten ontstaan uit een standaardgrafiek? a r b s log log 8 c r Deze opdracht hoort bij paragaaf -. T-5 De uitwijking van de slinger hiernaast wordt gegeven door de formule u sin t. Hierbij is u de uitwijking in cm ten opzichte van een verticale lijn en t is de tijd in seconden. a Een tweede slinger heeft dezelfde slingertijd maar een twee maal zo grote uitwijking. Welke formule past bij de uitwijking van deze slinger? b Van een derde slinger is de maimale uitwijking gelijk aan die van de eerste slinger maar de slingertijd is twee maal zo groot. Geef een formule bij de uitwijking van deze slinger. c Teken de grafieken van de uitwijkingen van de drie slingers in één figuur. u(t) 5

12 Hoofdstuk 5 O 5 O T-6a b Geef aan hoe de getekende grafieken door transformaties uit een standaardgrafiek kunnen ontstaan. Stel functievoorschriften op die bij deze grafieken passen. T-7 De grafiek van wordt naar links en naar beneden verschoven. Daarna wordt de beeldgrafiek ten opzichte van de -as vermenigvuldigd met factor. Zo ontstaat de grafiek van een functie g. a Ga uit van het punt 0, 0. Waarheen wordt dit punt na elke transformatie verplaatst? b eantwoord opdracht a ook voor het punt,. c Teken de grafiek van g. d Geef het functievoorschrift van g. T-8 Op de standaardgrafiek worden de volgende transformaties toegepast. Geef steeds een functievoorschrift bij de beeldgrafiek. a De translatie van naar rechts gevolgd door de vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met factor. b De vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met factor gevolgd door de translatie van naar rechts. c De translatie van naar boven gevolgd door de vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met factor. d De vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met factor gevolgd door de translatie van naar boven. T-9 De grafiek van f 5 is ontstaan uit de grafiek van Welke transformaties zijn daarbij gebruikt? 55

13 Hoofdstuk Samenvatting Riemann-som en integraal Met een Riemann-som benader je de oppervlakte van het gebied tussen een grafiek en de -as op het interval a,b door dat gebied in rechthoekjes te verdelen en de oppervlakten daarvan op te tellen. Hoe groter het aantal rechthoekjes des te nauwkeuriger wordt de benadering. b De eacte oppervlakte bereken je met de integraal f d. a b Het berekenen van f d heet integreren. a rimitieve functie De functie F is een primitieve van de functie f als geldt F f. Hoofdstelling van de integraalrekening b f d F b F a a Je kunt met behulp van een Riemann-som een oppervlakte benaderen Verdeel het integratie-interval in een aantal deelintervallen en kies op elk deelinterval een functiewaarde. Een Riemann-som bereken je door steeds de gekozen functiewaarde met de lengte van het deelinterval te vermenigvuldigen en alle uitkomsten op te tellen. enader de oppervlakte tussen de grafiek van f() = en de -as op het interval [0, ] met het gemiddelde van een ondersom en een bovensom. Gebruik zes deelintervallen van gelijke breedte. 6 De ondersom is gelijk aan (0 0,5 + 0,5 0,5 + 0,5 +,5 0,5 + 0,5 +,5 0,5),5. De bovensom is gelijk aan: (0,5 0,5 + 0,5 +,5 0,5 + 0,5 +,5 0,5 + 0,5) 6,89. Het gemiddelde van onder- en bovensom 5,. O 6

14 Hoofdstuk Je kunt een machtsfunctie primitiveren Gebruik hierbij de volgende regel: ls f a dan is F a a met a. Geef de primitieve functies van f() = Je kunt schrijven f() = De primitieven zijn dan de functies F() = + + = Je kunt functies van het tpe k f a primitiveren, als f een lineaire functie is robeer als primitieve functie K p f a en bereken K. ereken vervolgens de waarde van p waarvoor geldt K k. Geef de primitieve functies van f() = ( ) 5. robeer als primitieve F() = a( ) 6. F'() = a 6( ) 5 = a ( ) 5. Daaruit volgt dat a =, dus a = De primitieven zijn de functies F() = ( ) 6 +. Je kunt de oppervlakte tussen grafieken eact berekenen Maak een schets van de grafieken en geef het gebied aan waarvan je de oppervlakte moet berekenen. ereken eact de snijpunten van de grafieken en stel een integraal op. Let goed op welke grafiek boven ligt. ereken de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van f() = en g() =. g De snijpunten van beide grafieken vind je door de vergelijking = op te lossen. Je vindt de punten (0, 0) en (, ). De oppervlakte van het gebied is gelijk aan ( ( ))d = ( )d = [ ] = f O 7

15 Hoofdstuk Test jezelf Op de computer vind je ook een Test jezelf met andere opdrachten. T- Gegeven is de functie f 0 met domein 0, 0. Hieronder staat de grafiek. O 0 a ereken de ondersom en de bovensom die in de figuur zijn aangegeven. b ereken opnieuw onder- en bovensom, neem nu intervallen met lengte. c Is het verschil tussen onder- en bovensom nu groter of kleiner dan bij opdracht a? Waarom kon je deze uitkomst verwachten? d Neem nu intervallen met lengte 0,. Leg uit dat het midden van het k-de deelinterval het getal 0, k is. e Stel de Riemann-som op die bij opdracht d hoort en bereken die som met je rekenmachine. Deze opdracht hoort bij paragraaf -. T- ereken de volgende integralen met behulp van je rekenmachine. Schets daarna de grafiek van de integrand en arceer het bij de integraal behorende gebied. a b 6 d 8 d Deze opdracht hoort bij paragraaf -. T- Gegeven zijn de functies f en g. a De grafieken van beide functies en de -as sluiten een gebied in. Geef met één of meer integralen de oppervlakte van dit gebied weer en benader de oppervlakte met je rekenmachine. Rond af op twee decimalen. b ereken de eacte oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g en de -as. Deze opdracht hoort bij paragraaf -. 8

16 Hoofdstuk T- Geef primitieven van de volgende functies. a f 5 b f Deze opdracht hoort bij paragraaf -. c f d f 5 T-5 Gegeven is de functie f. Hiernaast zijn de grafiek van f en de lijn a getekend. De grafiek van f en de beide assen sluiten links van de -as een gebied in. De grafiek van f en de beide assen en de lijn a sluiten rechts van de -as een gebied in. ereken a als gegeven is dat de oppervlakten van beide gebieden even groot zijn Rond je antwoord af op twee decimalen. Deze opdracht hoort bij paragraaf O = a T-6 Gegeven zijn de functies f 8 eng. eide functies hebben als domein 0,. De grafieken van beide functies raken elkaar in het punt,. ereken eact de oppervlakte van het gebied dat door beide grafieken en de -as wordt ingesloten: f g (, ) O T-7 Gegeven zijn de functies f 8 6 en g a ereken de coördinaten van het snijpunt van beide grafieken. b ereken de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door beide grafieken en de lijn. c Het gebied begrensd door de lijnen, a met a, de grafiek van f en de -as wordt door de grafiek van g verdeeld in twee delen met gelijke oppervlakte. ereken a. 9

17 Hoofdstuk 5 Samenvatting Meetkundige plaats De verzameling van alle punten met dezelfde eigenschap heet een meetkundige plaats. Middelloodlijn, deellijn, middenparallel, koorde De middelloodlijn van lijnstuk is de lijn die loodrecht op staat en door het midden van gaat. unten op de middelloodlijn hebben gelijke afstand tot en. Een deellijn of bissectrice van een hoek is de halve lijn die een hoek middendoor deelt. unten op de deellijn van een hoek hebben gelijke afstand tot de benen van die hoek. Een middenparallel van twee evenwijdige lijnen l en m is de lijn die evenwijdig loopt aan l en m en die op gelijke afstand van l en m ligt. Een koorde is het verbindingslijnstuk van twee punten op een cirkel. Je kunt de omgeschreven en ingeschreven cirkel van een driehoek tekenen Het snijpunt van de middelloodlijnen van een driehoek is het middelpunt van de omgeschreven driehoek. Het snijpunt van de deellijnen van de hoeken van een driehoek is het middelpunt van de ingeschreven driehoek. Q E R M N D 50

18 Hoofdstuk 5 Je kunt de eigenschap van een meetkundige plaats bewijzen F ligt op l F heeft eigenschap X Je bewijst beide implicaties apart: F ligt op l F heeft eigenschap X F heeft eigenschap X F ligt op l Gegeven is. Te bewijzen: ligt op de middelloodlijn van is gelijkbenig. ewijs: ligt op de middelloodlijn van = is gelijkbenig. is gelijkbenig = ligt op de middelloodlijn van. Je kunt punten construeren die aan twee of meer voorwaarden voldoen Omschrijf welke meetkundige plaats bij elke voorwaarde hoort en teken deze meetkundige plaatsen. Gegeven de lijnen k, l en m. onstrueer de middelpunten van de cirkels c die k en l raken en waarvan het middelpunt M op afstand cm van de lijn m ligt. d(m, k) = d(m, l) d(m, m) = cm. M ligt op een deellijn d van k en l. M ligt op een lijn n m met d(n, m) = cm. Teken de deellijnen d en d en de lijnen n en n. Geef vier mogelijke punten voor M aan. k n M M n d M M m l d 5

19 Hoofdstuk 5 Test jezelf Op de computer vind je ook een Test jezelf met andere opdrachten. T- ewijs de volgende stelling: ls twee cirkels elkaar snijden in twee punten en Q dan is de lijn door de twee middelpunten de middelloodlijn van de gemeenschappelijke koorde Q. Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-. m M M Q T- Gegeven is een driehoek, de deellijn van, ende deellijnen van de buitenhoeken van en. a ewijs dat deze drie deellijnen door één punt gaan. b Er is een cirkel M, r die raakt aan en aan de verlengden van de zijden en. Leg uit hoe je punt M kunt construeren. Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-. T- Gegeven zijn twee punten en. a Teken een lijn l door en teken vervolgens het beeldpunt van bij spiegeling in lijn l. b Teken een andere lijn m door en teken het beeldpunt van bij spiegeling in lijn m. c Onderzoek wat de meetkundige plaats is van de beeldpunten van bij spiegeling in lijnen door het punt. d ewijs je vermoeden uit opdracht c. Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-. I T- Gegeven zijn twee snijdende lijnen p en q. onstrueer alle cirkels met straal die de lijnen p en q raken. Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-. T-5 Hiernaast staat een deel van een cirkel getekend. Je gaat het middelpunt construeren. a Schrijf op wat je weet van de ligging van het middelpunt van een cirkel. b onstrueer het middelpunt. 5

20 Hoofdstuk 5 T-6 Stelling: In een gelijkbenige driehoek is de bissectrice van de buitenhoek van de tophoek evenwijdig met de basis. a Maak een analsefiguur en bewijs deze stelling. b Formuleer het omgekeerde van deze stelling als een implicatie. c Ga na of deze omgekeerde stelling waar is. Zo ja, geef hiervoor dan het bewijs. Zo nee, licht je antwoord toe met een voorbeeld. T-7 Gegeven is driehoek met bissectrice D. In deze driehoek geldt D D. a Teken een analsefiguur en geef daarin gelijke hoeken en gelijke lengten aan. b Door de gegevens ligt de vorm van de driehoek en dus de grootte van de hoeken, en volledig vast. Zoek verschillende verbanden tussen deze hoeken. c ereken de grootte van deze drie hoeken. T-8 Teken twee snijdende lijnen l en m en noem het snijpunt S. a onstrueer vier cirkels met gelijke stralen die de lijnen l en m raken. b De middelpunten van de cirkels uit opdracht a zijn M, M, M en M. Hoe moet je l en m tekenen zodat deze middelpunten op een cirkel liggen met middelpunt S? Geef hiervoor een bewijs. T-9 De lijnen m en n zijn evenwijdig. Lijn l is de middenparallel van de lijnen m en n. unt ligt op n en punt Q ligt op m. ewijs dat het snijpunt van de deellijnen van de hoeken en Q op de lijn l ligt. n l Q m T-0a Heeft elk parallellogram een omgeschreven cirkel?? b Wat weet je van een parallellogram als dit een omgeschreven cirkel heeft? c eschrijf hoe de verzameling punten met een vaste afstand tot een lijnstuk er uit ziet. 5

21 Hoofdstuk 6 Samenvatting Middelpuntshoeken, omtrekshoeken en bogen Een middelpuntshoek is een hoek waarvan het hoekpunt op het middelpunt van de cirkel ligt. Een omtrekshoek is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en de benen de cirkel snijden of raken. Een boog is een gedeelte van een cirkel. D E M Stelling van de omtrekshoek Elke omtrekshoek is gelijk aan de helft van de bijbehorende middelpuntshoek. De meetkundige plaats van een constante hoek De meetkundige plaats van alle punten waarvoor geldt dat, bestaat uit twee cirkelbogen. α bg = M = bg DE α α Koordenvierhoek Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen. De som van twee overstaande hoeken in een koordenvierhoek is 80. Omgekeerd geldt: als de som van twee overstaande hoeken in een vierhoek 80 is, dan is de vierhoek een koordenvierhoek. Je kunt beweringen over middelpuntshoeken, omtrekshoeken en bogen bewijzen ij bewijzen over hoeken in cirkels speelt, naast het gelijk zijn van bogen, de hoekensom van een driehoek vaak een rol. α Twee cirkels met middelpunten M en N snijden elkaar in S. De lijnen NS en MS snijden de cirkels in de punten respectievelijk. ewijs dat MS = NS. M MS = 80 SM (hoekensom en M = MS ) NS = 80 SN (hoekensom en N = NS ) SM = SN (overstaande hoeken) dus geldt SM = NS. S N 7

22 Hoofdstuk 6 In een cirkel met middelpunt M is een middellijn en is een raaklijn. snijdt de cirkel in D. ewijs dat = E. D = 90 = 90 bg D E = bg D = (bg D bg D) = (80 bg D) = 90 bg D dus = E. M E Je kunt nagaan of een vierhoek een koordenvierhoek is Met behulp van één van de eigenschappen hieronder kun je nagaan of je te maken hebt met een koordenvierhoek: > De som van een paar overstaande hoeken is 80. > De meetkundige plaats van de constante hoek. > Drie middelloodlijnen van de zijden gaan door één punt. In de figuur is I het middelpunt van de ingeschreven cirkel en J is het middelpunt van een aangeschreven cirkel van. Te bewijzen: vierhoek JI is een koordenvierhoek. Het middelpunt I is het snijpunt van de bissectrices van en. Het middelpunt J ligt op de bissectrice van en op de bissectrices van de buitenhoeken van de driehoek bij en bij. Deze bissectrices staan loodrecht op elkaar. Dus geldt dat IJ = 90 en IJ = 90. Maar dan is de som van twee overstaande hoeken 80 en daarmee is JI een koordenvierhoek. I J Je kunt nagaan of een meetkundige plaats een cirkelboog is ls je de stelling van de constante hoek kunt toepassen dan is de meetkundige plaats een cirkelboog. Vanuit punt buiten een cirkel snijdt een lijn l de cirkel in de punten en. Het midden van is. Welke baan beschrijft als l om draait? Omdat het midden is van koorde geldt M = 90. Volgens de stelling van Thales geldt dat op de cirkel met middenlijn M ligt. M 7

23 Hoofdstuk 6 Test jezelf Op de computer vind je ook een Test jezelf met andere opdrachten. T- In de tekening hiernaast is driehoek gelijkbenig met 70. De zijde is een middellijn van de cirkel met middelpunt M. a Verklaar met behulp van omtrekshoeken dat bg D 0. b ereken bg D en bg DE. c Neem de figuur over en teken ook de lijnstukken MD en ME en verklaar met behulp van middelpuntshoeken dat bg E 70. d e Neem nu. Welke eis moet je daarbij aan stellen? Druk de hoeken van vierhoek ED uit in. Deze opdracht hoort bij paragraaf 6-. D 70 M E T- In de figuur zie je driehoek met de omgeschreven cirkel. De bissectrice van snijdt de cirkel in D, de bissectrice van snijdt de cirkel in E. Lijn ED snijdt in Q en in. ewijs dat Q. Deze opdracht hoort bij paragraaf 6-. E Q D D Q T- In de figuur snijden twee cirkels elkaar in de punten en Q. Een lijn door snijdt de cirkels in en en een lijn door Q snijdt de cirkels in en D. Te bewijzen: // D. a Welke koordenvierhoeken tref je in deze figuur aan? b Zoek gelijke hoeken en bewijs dat // D. Deze opdracht hoort bij paragraaf 6-. T- In de figuur is willekeurig op één van de cirkels een punt T gekozen. De lijnen T en T snijden de andere cirkel in en Q. a Waarom is T constant? b Teken koorde Q en leg uit waarom QT constant is. c d Q ewijs dat Q constant is. Wat kun je nu zeggen over de lengte van Q? Deze opdracht hoort bij paragraaf 6-. T 7

24 Hoofdstuk 6 T-5 De cirkels c en k snijden elkaar in de punten en. unt Q ligt op cirkel c. De lijn Q snijdt cirkel k behalve in ook in punt. De lijn snijdt cirkel c behalve in ook in punt R. Lijn t is de raaklijn in punt aan cirkel k. Te bewijzen: t // QR. a Er komen cirkels voor: kun je koordenvierhoeken of gelijke omtrekshoeken ontdekken? b an welke hoek zou T gelijk moeten zijn als de twee lijnen evenwijdig zijn? c eide hoeken moet je aan elkaar zien te koppelen. Welke hoek bij of zou als tussenschakel kunnen dienen? d Geef het bewijs dat t // QR. Deze opdracht hoort bij paragraaf 6-5. T R t k Q c T-6 In de figuur zijn de koorden en even lang. Ook de koorden en D zijn even lang. ewijs dat de lijnen en D evenwijdig zijn. T-7 Van een driehoek is zijde even lang als de straal van de omgeschreven cirkel. Hoe groot is hoek? D T-8 In de figuur hiernaast is de cirkel met middelpunt M en straal R de omgeschreven cirkel van driehoek. ewijs dat R a sin. b M a α c D T-9 In de figuur zie je koordenvierhoek D waarvan de verlengde zijden elkaar snijden in de punten en Q. De bissectrices van en DQ snijden elkaar in punt S. a ewijs dat Q Q D. b ewijs dat S 90 D D. c Druk ook QS uit in de hoeken van vierhoek D. d ewijs dat de bissectrices S en QS elkaar loodrecht snijden. D S Q 75