2 Lijnen en hoeken. De lijn

Transcriptie

1 1 Inleiding In het woord meetkunde zitten twee woorden verborgen: meten en kunnen. Deze periode gaat dan ook over het kunnen meten. Meetkunde is een oeroude kennis die al duizenden jaren geleden voorkwam in China, Perzië en Egypte. Het land moest eerlijk verdeeld worden (met het 12-knopentouw) en heilige gebouwen moesten precies volgens bepaalde wetten worden gebouwd (denk maar aan de piramides). De Grieken waren vanaf 600 jaar voor Christus de eersten die de meetkunde niet alleen praktisch gebruikten maar er een wetenschap op zich van maakten. Wij houden ons deze periode bezig met de verschillende soorten drie- en vierhoeken, cirkeldelingen, de basisconstructies, hoeken meten en construeren en de stelling van Pythagoras. Bij meetkunde werken we heel precies: Altijd met een scherp geslepen schetspotlood, een schone gum, onbeschadigde liniaal en stevige passer.

2 2 Lijnen en hoeken De lijn De lijn kan het beste opgevat worden als de grens tussen een zwart vlakdeel en een wit vlakdeel. Een lijn komt vanuit het oneindige, scheert over ons papier en verdwijnt weer naar het oneindige Lijnen geven we namen als k, l, m enz, steeds gebruiken we kleine letters. Een punt Een punt in de meetkunde is een oneindig kleine plaats. We geven het in een figuur weer met een stip, maar we moeten het oneindig klein denken. We geven punten namen als A, B C enz, steeds gebruiken we hoofdletters. Het lijnstuk Een lijnstuk is een deel van een lijn, dag begrensd wordt door twee punten, weergegeven met twee stippen. Het stuk tussen de punten A en B heet lijnstuk. Halve lijn Een halve lijn is een lijn die aan één kant begrensd wordt door een punt weergegeven met een stip genaamd A ontstaat. Aan de andere kant gaat de lijn onbegrensd door. Hoeken

3 Definitie: Een hoek is een figuur die gevormd wordt door twee halve lijnen, die hun eindpunt gemeenschappelijk hebben (punt A) Soorten hoeken: De gestrekte hoek De gestrekte hoek is een hoek, waarvan de benen in elkaars verlengde liggen. Eigenlijk is het geen hoek, maar een lijn met een punt erop. Maar soms is het toch handig om dit toch een hoek te noemen. De rechte hoek De rechte hoek is de helft van een gestrekte hoek. De scherpe hoek De scherpe hoek is kleiner dan de rechte hoek. De stompe hoek De stompe hoek is groter dan een rechte hoek, maar kleiner dan de gestrekte hoek. Graden Een graad is een negentigste deel van een rechte hoek. Het symbool voor graden is (een klein rondje schuin rechts boven het aantal graden) Dus 45 betekent vijfenveertig graden, enz. Omdat een rechte hoek 90 is, dan is het duidelijk dat een gestrekte hoek 180 bedraagt. 1graad = 1

4 De graad wordt onderverdeeld in 60 delen, deze worden minuten genoemd. Deze minuten hebben echter niets te maken met de tijdsaanduiding minuut. 1 graad = 60 minuten (heeft hier dus niets met de klok te maken!) Of te wel schrijfwijze: 1 = 60 (minuten krijgt een klein streepje rechts boven het getal) 1 minuut = 60 seconden (heeft ook weer niets met de klok te maken!) Of te wel schrijfwijze 1 = 60 (seconden krijgt twee streepjes rechts boven het getal) Dus 1 graad = 60 minuten = 3600 seconden Of te wel schrijfwijze 1 = 60 = 3600 Hiernaast zie je een kwartcirkel. Deze is verdeeld in veschillende sectoren. Van onderaf zie je eerst een kleine hoek. Dat is 1. Weer van onderaf gerekend zie je dan hoeken van 5 en 10. Daarna komen de hoeken die heel veel voor zullen komen: 30 ; 45 en 60. De hele kwartcirkel is 90. Nu kunnen we verschillende soorten hoeken ook beschrijven met het aantal graden: De gestrekte hoek De gestrekte hoek is 180 De rechte hoek De rechte hoek is 90 De scherpe hoek De scherpe hoek is kleiner dan 90 De stompe hoek De stompe hoek is groter dan 90, maar kleiner dan 180 Aanduiding van hoeken Steeds gebruik je het teken als afkorting van het woord hoek 1. door één hoofdletter. Bijv. A of B of C enz. Dus: A 2. door één hoofdletter + indexcijfer, bij een gemeenschappelijk hoekpunt. Dus: A 1 en A 2 (Het indexcijfer is klein en staat rechts schuin onder de letter.

5 3. door drie hoofdletters. (de middelste letter is steeds het hoekpunt) B.v. ACE. Vergis je niet. Met ACE geven we de hele driehoek ACE aan en met ACE bedoelen we alleen de hoek bij C 3 Supplement en complement van een hoek 1. Het supplement van een hoek is de aanvulling tot 180 In de afbeelding: H is een (scherpe) hoek. De hoek C geeft de aanvulling aan van hoek H tot 180. Die aanvulling heet het supplement. C + H = Het complement van een hoek is de aanvulling tot 90 In de afbeelding: H is een (scherpe) hoek. Hoek C geeft de aanvulling aan van hoek H tot 90. Die aanvulling heet het complement. C + H = 90 In de afbeelding zie je : De hoek H. C = complement van H, verder: S = supplement van H. Trek nu beide hoeken van elkaar af. S C = 90 Eigenschap 1 Supplement en complement van een hoek verschillen altijd 90 Eigenschap 2 Twee hoeken, die hetzelfde supplement hebben, zijn gelijk Eigenschap 3 Twee hoeken, die hetzelfde complement hebben, zijn gelijk

6 Nevenhoeken: Nevenhoeken zijn hoeken, die één been gemeenschappelijk hebben en waarvan het andere been in elkaars verlengde ligt. In de afbeelding, bovenste deel: A 1 en A 2 hebben één been gemeen en de andere benen liggen in elkaars verlengde. Dus zijn het nevenhoeken. De hoeken B en C zijn wel samen 180, maar de benen liggen niet in elkaars verlengde dus het zijn geen nevenhoeken. Eigenschap 4 Nevenhoeken zijn altijd elkaars supplement, of te wel nevenhoeken zijn altijd samen 180 Opmerking over het onderste deel van de afbeelding: Het omgekeerde van Eigenschap 4 hoeft niet altijd te gelden: Hoeken die elkaars supplement zijn hoeven niet altijd nevenhoeken te zijn. Op het onderste deel van de afbeelding zie je twee hoeken ( B en C), die wel samen 180 zijn, maar toch geen nevenhoeken zijn! Overstaande hoeken: Overstaande hoeken zijn hoeken waarvan de beide benen in elkaars verlengde liggen. Eigenschap 5 Overstaande hoeken zijn gelijk. In een cirkel kan je ook hoeken tekenen middelpuntshoek Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt in het middelpunt ligt omtrekshoek Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkelrand ligt

7 In de figuur hiernaast is M 3 = 90 De boog van M 3 heeft dan ook 90 booggraden. Een M 1 heeft een boog van evenveel graden als hoek M 1 zelf. Eigenschap 6 Een middelpuntshoek is gelijk aan de boog waarop hij staat. (D.w.z. het aantal hoekgraden = het aantal booggraden)

8 4 Evenwijdige lijnen Evenwijdige lijnen zijn lijnen, die geen enkel punt gemeen hebben. In plaats van evenwijdig gebruiken we ook het woord parallel. Heel vaak gebruiken we de volgende notatie k m. In de tekening geven we aan dat lijnen evenwijdig zijn door dezelfde pijltjes op de lijnen te tekenen. Snijdende lijnen zijn lijnen, die één enkel punt gemeenschappelijk hebben. Als twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde lijn, dan ontstaan er 8 hoeken. Namen van de hoeken: 3, 4, 5 en 6 heten binnenhoeken 1, 2, 7 en 8 heten buitenhoeken 1, 4, 5 en 8 zijn hoeken aan dezelfde kant van de snijlijn (2,3,6 en 7 zijn ook hoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. overeenkomstige hoeken. Zijn: 1 en 5 2 en 6 4 en 8 3 en 7 Overeenkomstige hoeken worden ook wel F-hoeken genoemd. verwisselende binnenhoeken zijn: 4 en 6 3 en 5 Verwisselende binnenhoeken worden ook wel Z-hoeken genoemd.

9 verwisselende buitenhoeken zijn: 1 en 7 2 en 8 binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn: 4 en 5 3 en 6 Buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn: 1 en 8 2 en 7 Eigenschap 7 Wanneer twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde dan zijn: 1. overeenkomstige hoeken gelijk 2. twee verwisselende binnenhoeken gelijk 3. twee verwisselende buitenhoeken gelijk 4. twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn samen twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn samen 180 Eigenschap 8 Als twee lijnen gesneden worden door een derde, dan zijn die lijnen evenwijdig als aan minstens één van de volgende voorwaarden zijn voldaan: 1. twee overeenkomstige hoeken zijn gelijk (F-hoeken) 2. twee verwisselende binnenhoeken zijn gelijk (Z-hoeken) 3. twee verwisselende buitenhoeken zijn gelijk 4. twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn 180 Eigenschap 9 Lopen de benen van twee hoeken evenwijdig, dan zijn gelijksoortige hoeken gelijk en de ongelijksoortige hoeken zijn elkaars supplement. In de figuur hiernaast lopen de benen van de hoeken 1 en 3 evenwijdig aan elkaar. A 1 = B 3 = B 5 en verder geldt natuurlijk: A 1 + B 4 = 180 en A 1 + B 2 = 180

10 Eigenschap 10 Staan de benen van twee hoeken loodrecht op elkaar, dan zijn gelijksoortige hoeken gelijk en ongelijksoortige elkaars supplement. In de figuur hiernaast staan de benen van hoeken 1 en 2 loodrecht op elkaar.deze twee hoeken zijn dus even groot.

11 5 Driehoeken Een driehoek is een figuur, die ontstaat wanneer men 3 punten, die niet op een rechte lijn liggen, met elkaar verbindt. In de figuur: zijde c heet basis ; de hoek C heet tophoek. De hoeken A en B heten de basishoeken. De zijden a en b noemt noemt men opstaande zijden. De omtrek van een driehoek is de som van de lengtes van de zijden: omtrek = a + b + c Hoekpunten A, B en C en zijden a, b en c zijn de 6 elementen waaruit de driehoek bestaat. Namen: 3 hoekpunten, A, B en C 3 hoeken: A, B en C 3 zijden: a, b en c. Maar de zijden noem je ook AB, AC en BC Eén van de zijden noem je de basis. Dat is meestal de horizontale zijde. De andere zijden heten opstaande zijden. De hoek tegenover de basis heet tophoek. Het hoekpunt van de tophoek heet toppunt of top. De som van de drie zijden heet de omtrek. Noemt men de hoeken A, B en C binnenhoeken, dan zijn de nevenhoeken hiervan buitenhoeken. A 2 is een nevenhoek van A 1 Hetzelfde zie je bij de hoeken B en C.

12 Eigenschap 11: De som van de hoeken van een driehoek is 180 Bewijs: Trek door de top C van de driehoek ABC een lijn evenwijdig aan de basis AB. Zie de figuur hiernaast. Nu geldt dat A 2 = C 1 (Z-hoeken). Er geldt ook dat B 1 = C 3 (Z-hoeken). De drie hoeken bij C vormen een gestrekte hoek: C 1 + C 2 + C 3 = 180 Dus dan geldt ook dat A 2 + B 1 + C 2 = 180 Eigenschap 12: Een buitenhoek is gelijk aan de som van de niet aanliggende binnenhoeken. Bewijs: } A + B 1 + C = 180 B 1 + B 2 = 180 B 2 = A + C

13 Soorten driehoeken (verdeling naar zijden) a Een willekeurige driehoek is een driehoek met ongelijke zijden b Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met 2 gelijke zijden c Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met 3 gelijke zijden Soorten driehoeken (verdeling naar hoeken) 1. Scherphoekige driehoeken Een scherphoekige driehoek is een driehoek met 3 scherpe hoeken 2. Rechthoekige driehoeken Een rechthoekige driehoek is een driehoek met 1 rechte hoek. 3. Stomphoekige driehoeken Een stomphoekige driehoek is een driehoek met 1 stompe hoek

14 Bijzondere driehoeken 1. Gelijkbenig-rechthoekige driehoek (geodriehoek) Dat is een rechthoekige driehoek waarvan twee zijden gelijk zijn. 2. Gelijkbenig-stomphoekige driehoek Dat is een stomphoekige driehoek waarvan twee zijden gelijk zijn. De gelijkbenige driehoek Bij een gelijkbenige driehoek heten de gelijke zijden de benen en de derde zijde de basis. De hoeken aan de basis heten de basishoeken. Eigenschap 13: In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk. De gelijkzijdige driehoek In een gelijkzijdige driehoek is elke hoek 60

15 De rechthoekige driehoek De zijden om de rechte hoek heten de rechthoekszijden. De zijde tegenover de rechte hoek heet schuine zijde of hypotenusa. Eigenschap 14: In een rechthoekige driehoek zijn de scherpe hoeken samen 90 (Of anders gezegd: ze zijn elkaars complement) B + C = 90 De rechthoekig gelijkbenige driehoek De scherpe hoeken zijn gelijk, dus ieder 45

16 De willekeurige driehoek Zoals het woord al zegt is een willekeurige driehoek er een waarbij de grootte van de hoeken en/of de lengtes van de zijden willekeurig gekozen worden. Maar als je zomaar een driehoek tekent dan kunnen andere lijnen in die figuur wel eens onhandig uitkomen. Daarom spreken we nu af hoe je een willekeurige driehoek tekent: 1. teken een basis van 9 cm De uiteinden zijn de hoekpunten A en B 2. pas daarop 3 cm van links (of van rechts dat maakt niet uit) 3. teken daarop (heel dun) een lijntje van 5 cm. Dat is de top C.