2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek."

Transcriptie

1 200-II bij vraag Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. Een applet (animatie) hierover is te vinden op bijvoorbeeld: De punten P op de omtrek van de cirkel, aan één kant van koorde AB gelegen, zien alle de boog AB onder dezelfde, constante hoek. Dat geldt ook voor de raaklijn (bij B). P P P raaklijn P A koorde B boog

2 200-II Cirkel en hoogtelijn P Op een cirkel kiezen we drie vaste punten A, B en C, waarbij lijnstuk AB geen middellijn is en punt C op de kortste cirkelboog AB ligt. Een punt P doorloopt dat deel van de langste cirkelboog AB waarvoor driehoek ABP niet stomphoekig is. De hoogtelijn BQ van driehoek ABP snijdt de koorde CP in punt R. Q R In de figuur is een mogelijke positie van P getekend met de bijbehorende punten Q en R. Bij de beweging van P over het hierboven beschreven deel van de cirkelboog AB verandert de grootte van hoek BRC niet. A C B Vraag. Bewijs dit.

3 200-II Cirkel en hoogtelijn P Op een cirkel kiezen we drie vaste punten A, B en C, waarbij lijnstuk AB geen middellijn is en punt C op de kortste cirkelboog AB ligt. Een punt P doorloopt dat deel van de langste cirkelboog AB waarvoor driehoek ABP niet stomphoekig is. De hoogtelijn BQ van driehoek ABP snijdt de koorde CP in punt R. Q R In de figuur is een mogelijke positie van P getekend met de bijbehorende punten Q en R. Bij de beweging van P over het hierboven beschreven deel van de cirkelboog AB verandert de grootte van hoek BRC niet. A C B Vraag. Bewijs dit. BRC = PRQ (overstaande hoeken)

4 200-II Cirkel en hoogtelijn P Op een cirkel kiezen we drie vaste punten A, B en C, waarbij lijnstuk AB geen middellijn is en punt C op de kortste cirkelboog AB ligt. Een punt P doorloopt dat deel van de langste cirkelboog AB waarvoor driehoek ABP niet stomphoekig is. De hoogtelijn BQ van driehoek ABP snijdt de koorde CP in punt R. Q o R In de figuur is een mogelijke positie van P getekend met de bijbehorende punten Q en R. Bij de beweging van P over het hierboven beschreven deel van de cirkelboog AB verandert de grootte van hoek BRC niet. A C B Vraag. Bewijs dit. BRC = PRQ (overstaande hoeken) PRQ = 90 o QPR (hoekensom driehoek)

5 200-II Cirkel en hoogtelijn P Op een cirkel kiezen we drie vaste punten A, B en C, waarbij lijnstuk AB geen middellijn is en punt C op de kortste cirkelboog AB ligt. Een punt P doorloopt dat deel van de langste cirkelboog AB waarvoor driehoek ABP niet stomphoekig is. De hoogtelijn BQ van driehoek ABP snijdt de koorde CP in punt R. Q R o In de figuur is een mogelijke positie van P getekend met de bijbehorende punten Q en R. Bij de beweging van P over het hierboven beschreven deel van de cirkelboog AB verandert de grootte van hoek BRC niet. A C B Vraag. Bewijs dit. BRC = PRQ (overstaande hoeken) PRQ = 90 o QPR (hoekensom driehoek) APC = QPR is een constante hoek (op boog AC)

6 200-II Cirkel en hoogtelijn P Op een cirkel kiezen we drie vaste punten A, B en C, waarbij lijnstuk AB geen middellijn is en punt C op de kortste cirkelboog AB ligt. Een punt P doorloopt dat deel van de langste cirkelboog AB waarvoor driehoek ABP niet stomphoekig is. De hoogtelijn BQ van driehoek ABP snijdt de koorde CP in punt R. Q R o In de figuur is een mogelijke positie van P getekend met de bijbehorende punten Q en R. Bij de beweging van P over het hierboven beschreven deel van de cirkelboog AB verandert de grootte van hoek BRC niet. A C B Vraag. Bewijs dit. BRC = PRQ (overstaande hoeken) PRQ = 90 o QPR (hoekensom driehoek) APC = QPR is een constante hoek (op boog AC) Dus ook BRC is een constante hoek.

7 200-II Cirkel en hoogtelijn De baan van R die hoort bij de beweging van P over de cirkel, kan getekend worden met behulp van de in vraag genoemde eigenschap. ABP mag niet stomphoekig zijn. Vraag 2. Teken op deze manier de baan van R. Geef de randpunten van de baan, waarbij driehoek ABP rechthoekig is, duidelijk aan. Licht je werkwijze toe. R ligt op een cirkelboog. De randpunten daarvan worden bepaald door de loodlijnen AS en BT. P S Q T R A B C

8 200-II Cirkel en hoogtelijn De baan van R die hoort bij de beweging van P over de cirkel, kan getekend worden met behulp van de in vraag genoemde eigenschap. ABP mag niet stomphoekig zijn Vraag 2. Teken op deze manier de baan van R. Geef de randpunten van de baan, waarbij driehoek ABP rechthoekig is, duidelijk aan. Licht je werkwijze toe. R ligt op een cirkelboog. De randpunten daarvan worden bepaald door de loodlijnen AS en BT en de lijnstukken SC en TC. P Het middelpunt van de cirkelboog kan gevonden worden door de middelloodlijn van RB te snijden met AB (groene stippellijn). S Q R T A B C

9 200-II Cirkel en hoogtelijn De baan van R die hoort bij de beweging van P over de cirkel, kan getekend worden met behulp van de in vraag genoemde eigenschap. Vraag 2. Teken op deze manier de baan van R. Geef de randpunten van de baan, waarbij driehoek ABP rechthoekig is, duidelijk aan. Licht je werkwijze toe. R ligt op een cirkelboog. De randpunten daarvan worden bepaald door de loodlijnen AS en BT en de lijnstukken SC en TC. P De cirkelboog UV is hier rood getekend. S Q T R V A U B C

10 200-II Leercurve Het aanleren van een nieuwe handeling kost tijd. Als je een handeling vaker uitvoert, wordt de voor deze handeling benodigde tijd meestal steeds korter. T.P. Wright stelde voor dit leerproces de volgende formule op: T n = T n a Hierin is: T n het aantal seconden dat nodig is als de handeling voor de n-de keer wordt uitgevoerd, T het aantal seconden dat nodig is als de handeling voor de eerste keer wordt uitgevoerd en a een positieve constante die afhangt van de snelheid van het leerproces. Volgens de formule van Wright leidt een verdubbeling van het aantal keer uitvoeren van een zelfde handeling tot een daling van de hoeveelheid benodigde tijd (en dus kosten) van de laatste keer met een vast percentage. Men spreekt van een P%-leercurve als bij verdubbeling van het aantal keer uitvoeren van n T2n P naar 2n de laatste keer nog maar P% kost van de tijd bij de n-de keer. Ofwel: T 00 Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. We markeren op het volgende scherm de relevante begrippen. n

11 200-II Leercurve Het aanleren van een nieuwe handeling kost tijd. Als je een handeling vaker uitvoert, wordt de voor deze handeling benodigde tijd meestal steeds korter. T.P. Wright stelde voor dit leerproces de volgende formule op: T n = T n a Hierin is: T n het aantal seconden dat nodig is als de handeling voor de n-de keer wordt uitgevoerd, T het aantal seconden dat nodig is als de handeling voor de eerste keer wordt uitgevoerd en a een positieve constante die afhangt van de snelheid van het leerproces. Volgens de formule van Wright leidt een verdubbeling van het aantal keer uitvoeren van een zelfde handeling tot een daling van de hoeveelheid benodigde tijd (en dus kosten) van de laatste keer met een vast percentage. Men spreekt van een P%-leercurve als bij verdubbeling van het aantal keer uitvoeren van n T2n P naar 2n de laatste keer nog maar P% kost van de tijd bij de n-de keer. Ofwel: T 00 Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. n

12 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. De waarde van a moet dus berekend worden met behulp van de volgende gegevens: () T T n n a (2) T 2n T n P 00 (3) P 85

13 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. Berekening: a 2n () T T n dus T... n

14 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. Berekening: a n T2n T () T T dus (2 n) n a (vervang ndoor 2 n) T2n P (2) dus... T 00 n

15 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. Berekening: a 2n () T T n dus T T (2 n) n a T2n P T ( 2 n) a P (2) dus T 00 a T n 00 n

16 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. Berekening: a 2n () T T n dus T T (2 n) n a a T2n P T (2 n) P 2n a P a a p (2) dus oftewel ( ) ( machtsregel ( ) ) T 00 a p T n 00 n 00 b b n p

17 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. Berekening: a 2n () T T n dus T T (2 n) n T2n P T (2 n) P 2n a P (2) dus oftewel ( ) T 00 a T n 00 n 00 n (3) P 85 invullen geeft : a a

18 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. Berekening: a 2n () T T n dus T T (2 n) n T2n P T (2 n) P 2n a P (2) dus oftewel ( ) T 00 a T n 00 n 00 n a a (3) P 85 invullen geeft : 2 dus a ln 0,85 a

19 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. Berekening: a 2n () T T n dus T T (2 n) n T2n P T (2 n) P 2n a P (2) dus oftewel ( ) T 00 a T n 00 n 00 n a a (3) P 85 invullen geeft : 2 dus a ln 0,85 a Met het antwoord: a 0,23

20 200-II Leercurve In een bepaald bedrijf voeren mensen een handeling aan de lopende band uit. Deze handeling wordt niet door iedereen op dezelfde manier aangeleerd. In de praktijk komt men onder andere de volgende twee soorten mensen tegen: snelle starters: deze mensen kunnen de handeling de eerste keer al snel uitvoeren, maar het lukt hen daarna niet om dit snel te verbeteren, snelle leerders: de eerste keer duurt bij deze mensen wat langer, maar zij zijn in staat snel vooruitgang te boeken. Voor beide soorten hanteert het bedrijf een formule van Wright: snelle starters: T n = 20 n 0,52 snelle leerders: T n = 40 n 0,328 Vraag 4. Bereken bij de hoeveelste keer uitvoeren een snelle leerder de handeling voor het eerst sneller uitvoert dan een snelle starter.

21 200-II Leercurve In een bepaald bedrijf voeren mensen een handeling aan de lopende band uit. Deze handeling wordt niet door iedereen op dezelfde manier aangeleerd. In de praktijk komt men onder andere de volgende twee soorten mensen tegen: snelle starters: deze mensen kunnen de handeling de eerste keer al snel uitvoeren, maar het lukt hen daarna niet om dit snel te verbeteren, snelle leerders: de eerste keer duurt bij deze mensen wat langer, maar zij zijn in staat snel vooruitgang te boeken. Voor beide soorten hanteert het bedrijf een formule van Wright: snelle starters: T n = 20 n 0,52 snelle leerders: T n = 40 n 0,328 Vraag 4. Bereken bij de hoeveelste keer uitvoeren een snelle leerder de handeling voor het eerst sneller uitvoert dan een snelle starter. T n is het aantal nodige seconden als de handeling voor de n-de keer wordt uitgevoerd Dus de ongelijkheid 40 n 0,328 < 20 n 0,52 moet opgelost worden. Mag met de GR, doe dus bijvoorbeeld:

22 200-II Leercurve In een bepaald bedrijf voeren mensen een handeling aan de lopende band uit. Deze handeling wordt niet door iedereen op dezelfde manier aangeleerd. In de praktijk komt men onder andere de volgende twee soorten mensen tegen: snelle starters: deze mensen kunnen de handeling de eerste keer al snel uitvoeren, maar het lukt hen daarna niet om dit snel te verbeteren, snelle leerders: de eerste keer duurt bij deze mensen wat langer, maar zij zijn in staat snel vooruitgang te boeken. Voor beide soorten hanteert het bedrijf een formule van Wright: snelle starters: T n = 20 n 0,52 snelle leerders: T n = 40 n 0,328 Vraag 4. Bereken bij de hoeveelste keer uitvoeren een snelle leerder de handeling voor het eerst sneller uitvoert dan een snelle starter. T n is het aantal nodige seconden als de handeling voor de n-de keer wordt uitgevoerd Dus de ongelijkheid 40 n 0,328 < 20 n 0,52 moet opgelost worden. Zet de grafieken van Y = 40X^.328 en Y2 = 20X^.52 op het scherm (0 X 00) en doe intersect. Het antwoord is: vanaf de 52-ste handeling (n 52)

23 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). y T() De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0, Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden.

24 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. Dit is de wiskunde op z n kop. De tekening met de rechthoeken staat er, het is nu voor de hand liggend en simpel om met een computer (of rekenmachine) de som te berekenen. Om dit te te doen door een eacte integraal achteraf met een GR te benaderen is onzinnig. Met de TI-83 of TI-84 in de hand gaat het veel sneller (en zonder nadenken) via: sum(seq(20x^-.52, X,, 00)) = 62.83

25 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. Primitiveren : F ( )

26 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. 0,52 Primitiveren : F( ) 20 23,585 0,52 0,848

27 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. Primitiveren : F( ) 20 23,585 0,52 0,52 0,848 Integreren : Opp

28 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. Primitiveren : F( ) 20 23,585 0,52 0,52 0,848 00,5 0,52 Integreren : Opp 20 d 23, 585 0,5 0,52 0,848 00,5 0,5 Uitgewerkt : Opp

29 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. Primitiveren : F( ) 20 23,585 0,52 0,52 0,848 00,5 0,52 0,848 Integreren : Opp 20 d 23,585 0,52 00,5 0,5 0,5 0,848 0,848 Uitgewerkt : Opp 23,585 (00,5 0,5 ) 63

30 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. Primitiveren : F( ) 20 23,585 0,52 0,52 0,848 00,5 0,52 0,848 Integreren : Opp 20 d 23,585 0,52 00,5 0,5 0,5 0,848 0,848 Uitgewerkt : Opp 23,585 (00,5 0,5 ) 63 Dus de gemiddelde tijdsduur is

31 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. Primitiveren : F( ) 20 23,585 0,52 0,52 0,848 00,5 0,52 0,848 Integreren : Opp 20 d 23,585 0,52 00,5 0,5 0,5 0,848 0,848 Uitgewerkt : Opp 23,585 (00,5 0,5 ) 63 Dus de gemiddelde tijdsduur is 63 / 00 =,63 seconden (afgerond 2 seconden)

32 200-II Eponentiële functie A 8 Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A.

33 200-II Eponentiële functie A 8 Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. Gebruik de quotiëntregel:

34 200-II Eponentiële functie A Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) 8 e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. Gebruik de quotiëntregel: 8e 8e f( ) 2 (e )

35 200-II Eponentiële functie A Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) 8 e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. Gebruik de quotiëntregel: 8e 8e 8e ( ) 8e ( ) f( ) (e ) e e e e 8( ) e 2

36 200-II Eponentiële functie A Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. Gebruik de quotiëntregel: Nulstellen geeft A =. 8 e 8e 8e 8e ( ) 8 e ( ) 8( ) f( ) 2 (e ) e e e e e

37 200-II Eponentiële functie A Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) 8 e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. Gebruik de quotiëntregel: 8e 8e 8e ( ) 8 e ( ) 8( ) f( ) 2 (e ) e e e e e Nulstellen geeft A =. zijde 2 Vraag 7. Onderzoek via een berekening of een vierkant met zijde 2, waarvan één zijde op de -as ligt, onder de grafiek past.

38 200-II Eponentiële functie A Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) 8 e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. y = 2 Gebruik de quotiëntregel: 8e 8e 8e ( ) 8 e ( ) 8( ) f( ) 2 (e ) e e e e e Nulstellen geeft A =. zijde 2 Vraag 7. Onderzoek via een berekening of een vierkant met zijde 2, waarvan één zijde op de -as ligt, onder de grafiek past. Oplossing: bepaal de snijpunten (bijv. via intersect) met de lijn y = 2. De -coördinaten daarvan zijn

39 200-II Eponentiële functie A Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) 8 e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. y = 2 Gebruik de quotiëntregel: 8e 8e 8e ( ) 8 e ( ) 8( ) f( ) 2 (e ) e e e e e Nulstellen geeft A =. 0,4 2,2 Vraag 7. Onderzoek via een berekening of een vierkant met zijde 2, waarvan één zijde op de -as ligt, onder de grafiek past. Oplossing: bepaal de snijpunten (bijv. via intersect) met de lijn y = 2. De -coördinaten daarvan zijn (ongeveer) 0,36 en 2,5

40 200-II Eponentiële functie A Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) 8 e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. y = 2 Gebruik de quotiëntregel: 8e 8e 8e ( ) 8 e ( ) 8( ) f( ) 2 (e ) e e e e e Nulstellen geeft A =. Vraag 7. Onderzoek via een berekening of een vierkant met zijde 2, waarvan één zijde op de -as ligt, onder de grafiek past. Oplossing: bepaal de snijpunten (bijv. via intersect) met de lijn y = 2. De -coördinaten daarvan zijn (ongeveer) 0,36 en 2,5 Het verschil daartussen is,8 dat is minder dan 2. Conclusie: zo n vierkant pas niet onder de grafiek.

41 200-II Eponentiële functie We bekijken nu voor positieve waarden van n met n de functie g n () die is gegeven door g n 8n ( ) n e De grafieken van g n () snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n nog een ander snijpunt. In een tabel staat voor enkele waarden van n de -coördinaat van dit andere snijpunt. Hieruit ontstaat het vermoeden dat de formule positieve waarde van n met n. Vraag 8. Toon aan dat dit vermoeden juist is. snijpunt ln n n 8 f( ) e voor snijpunt klopt voor elke

42 200-II Eponentiële functie We bekijken nu voor positieve waarden van n met n de functie g n () die is gegeven door g n 8n ( ) n e De grafieken van g n () snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n nog een ander snijpunt. In een tabel staat voor enkele waarden van n de -coördinaat van dit andere snijpunt. Hieruit ontstaat het vermoeden dat de formule positieve waarde van n met n. Vraag 8. Toon aan dat dit vermoeden juist is. snijpunt ln n n f( ) 8 e voor snijpunt klopt voor elke f ( ) g ( ) geeft: n 8 8n e e n Kruislings uitvermenigvuldigen geeft:

43 200-II Eponentiële functie We bekijken nu voor positieve waarden van n met n de functie g n () die is gegeven door g n 8n ( ) n e De grafieken van g n () snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n nog een ander snijpunt. In een tabel staat voor enkele waarden van n de -coördinaat van dit andere snijpunt. Hieruit ontstaat het vermoeden dat de formule positieve waarde van n met n. Vraag 8. Toon aan dat dit vermoeden juist is. f ( ) g ( ) geeft: 8 8n e e n n snijpunt ln n n Kruislings uitvermenigvuldigen geeft: 8n e 8e. Hierin factoren wegdelen: n voor snijpunt klopt voor elke

44 200-II Eponentiële functie We bekijken nu voor positieve waarden van n met n de functie g n () die is gegeven door g n 8n ( ) n e De grafieken van g n () snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n nog een ander snijpunt. In een tabel staat voor enkele waarden van n de -coördinaat van dit andere snijpunt. Hieruit ontstaat het vermoeden dat de formule positieve waarde van n met n. Vraag 8. Toon aan dat dit vermoeden juist is. f ( ) g ( ) geeft: 8 8n e e n n snijpunt ln n n Kruislings uitvermenigvuldigen geeft: 8n e 8 e. Hierin factoren wegdelen: n 8 n e 8 e dus: n... n voor snijpunt klopt voor elke

45 200-II Eponentiële functie We bekijken nu voor positieve waarden van n met n de functie g n () die is gegeven door g n 8n ( ) n e De grafieken van g n () snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n nog een ander snijpunt. In een tabel staat voor enkele waarden van n de -coördinaat van dit andere snijpunt. Hieruit ontstaat het vermoeden dat de formule positieve waarde van n met n. Vraag 8. Toon aan dat dit vermoeden juist is. f ( ) g ( ) geeft: 8 8n e e n n snijpunt ln n n Kruislings uitvermenigvuldigen geeft: 8n e 8 e. Hierin factoren wegdelen: n n voor snijpunt klopt voor elke n e n n ( ) 8 n e 8 e dus: n e e. En hier links en rechts de l n nemen : e

46 200-II Eponentiële functie We bekijken nu voor positieve waarden van n met n de functie g n () die is gegeven door g n 8n ( ) n e De grafieken van g n () snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n nog een ander snijpunt. In een tabel staat voor enkele waarden van n de -coördinaat van dit andere snijpunt. Hieruit ontstaat het vermoeden dat de formule positieve waarde van n met n. Vraag 8. Toon aan dat dit vermoeden juist is. f ( ) g ( ) geeft: 8 8n e e n n snijpunt ln n n Kruislings uitvermenigvuldigen geeft: 8n e 8 e. Hierin factoren wegdelen: n n e n ( n) n voor snijpunt klopt voor elke 8 n e 8 e dus: n e e. En hier links en rechts de ln nemen : e ln n ( n ) uitwerken tt o:

47 200-II Eponentiële functie We bekijken nu voor positieve waarden van n met n de functie g n () die is gegeven door g n 8n ( ) n e De grafieken van g n () snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n nog een ander snijpunt. In een tabel staat voor enkele waarden van n de -coördinaat van dit andere snijpunt. Hieruit ontstaat het vermoeden dat de formule positieve waarde van n met n. Vraag 8. Toon aan dat dit vermoeden juist is. f ( ) g ( ) geeft: 8 8n e e n n snijpunt ln n n Kruislings uitvermenigvuldigen geeft: 8n e 8 e. Hierin factoren wegdelen: n n e n ( n) n voor snijpunt klopt voor elke 8 n e 8 e dus n e e. En hier links en rechts de ln nemen : e ln n ln n ( n ) uitwerken tot: n ln n n

48 200-II Eponentiële functie 24 8 De grafieken van g3( ) en f( ) f 3 e e sluiten een vlakdeel in. Vraag 9. Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel. Antwoord: Je hoeft niet te primitiveren. g 3

49 200-II Eponentiële functie 24 8 De grafieken van g3( ) en f( ) f 3 e e sluiten een vlakdeel in. Vraag 9. Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel. Antwoord: Je hoeft niet te primitiveren. Blijkens de vorige vraag ligt het snijpunt van de grafieken bij: = 0,5ln 3 0,5493. g 3

50 200-II Eponentiële functie 24 8 De grafieken van g3( ) en f( ) f 3 e e sluiten een vlakdeel in. Vraag 9. Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel. Antwoord: Je hoeft niet te primitiveren. Blijkens de vorige vraag ligt het snijpunt van de grafieken bij: = 0,5ln 3 0,5493. g 3 Het gaat dus om de integraal:

51 200-II Eponentiële functie De grafieken van g sluiten een vlakdeel in. ( ) 24 e 3 3 en f( ) 8 e Vraag 9. Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel. Antwoord: Je hoeft niet te primitiveren. Blijkens de vorige vraag ligt het snijpunt van de grafieken bij: = 0,5ln 3 0,5493. g 3 f Het gaat dus om de integraal 0,5ln ( ) d 3 e e

52 200-II Eponentiële functie De grafieken van g sluiten een vlakdeel in. ( ) 24 e 3 3 en f( ) 8 e Vraag 9. Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel. Antwoord: Je hoeft niet te primitiveren. Blijkens de vorige vraag ligt het snijpunt van de grafieken bij: = 0,5ln 3 0,5493. g 3 f Het gaat dus om de integraal 0,5ln ( ) d 3 e e In TI-84 taal: fnint(24x/e^(3x) 8X/e^X, X, 0, ) Met het antwoord: opp. 0,4637

53 200-II Wortelfuncties f ( ) Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2.

54 200-II Wortelfuncties f ( ) Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) =

55 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken):

56 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2

57 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren:

58 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren: 36( 2) = ( 2) 2

59 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren: 36( 2) = ( 2) 2 = ( 2) ( 2)

60 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren: 36( 2) = ( 2) 2 = ( 2) ( 2) De eerste oplossing is = 2 en de tweede oplossing volgt uit

61 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren: 36( 2) = ( 2) 2 = ( 2) ( 2) De eerste oplossing is = 2 en de tweede oplossing volgt uit 36 = 2 dus = 48. De oppervlakte is:

62 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren: 36( 2) = ( 2) 2 = ( 2) ( 2) De eerste oplossing is = 2 en de tweede oplossing volgt uit 36 = 2 dus = De oppervlakte is : 2 (2 6 2 ) d

63 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren: 36( 2) = ( 2) 2 = ( 2) ( 2) De eerste oplossing is = 2 en de tweede oplossing volgt uit 36 = 2 dus = De oppervlakte is: (2 6 2 ) d 2 4( 2)

64 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren: 36( 2) = ( 2) 2 = ( 2) ( 2) De eerste oplossing is = 2 en de tweede oplossing volgt uit 36 = 2 dus = De oppervlakte is: (2 6 2 ) d 2 4( 2) Een primitieve van 2 dus ( 2) 2 is: 2 ( 2) ( 2)

65 200-II voorafgaand aan vraag Twee grafieken f en g raken elkaar in het punt (a, b) als op die plaats: De y-coördinaten gelijk zijn: f (a) = g (a) en bovendien g( ) 2 2 f ( ) 2 De hellingen gelijk zijn: f (a) = g (a) Een voorbeeld (zie het plaatje): De grafiek van f ( ) 2 raakt de grafiek van g( ) 2 in het punt (, ) immers: 2 2 f () en g() 2 f () f ( ) dus f () 2 en g( ) 2 dus g() 2 f () 3 3

66 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y = + 9 Vraag. Bewijs dat voor elke waarde van n de grafiek van f n de lijn k raakt in het punt met = n + 9. Oplossing: Voor het raken van grafieken f en g geldt in het raakpunt: f = g en f = g

67 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y = + 9 Vraag. Bewijs dat voor elke waarde van n de grafiek van f n de lijn k raakt in het punt met = n + 9. Oplossing: Voor het raken van grafieken f en g geldt in het raakpunt: f = g en f = g Het punt (n+9, n+8) ligt op beide grafieken want: fn ( n 9) op de lijn k is y = + 9 =...

68 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y = + 9 Vraag. Bewijs dat voor elke waarde van n de grafiek van f n de lijn k raakt in het punt met = n + 9. Oplossing: Voor het raken van grafieken f en g geldt in het raakpunt: f = g en f = g Het punt (n+9, n+8) ligt op beide grafieken want: fn( n 9) n 6 ( n 9) n) n 6 9 n 8 op de lijn k is y = + 9 = n = n + 8

69 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y = + 9 Vraag. Bewijs dat voor elke waarde van n de grafiek van f n de lijn k raakt in het punt met = n + 9. Oplossing: Voor het raken van grafieken f en g geldt in het raakpunt: f = g en f = g Het punt (n+9, n+8) ligt op beide grafieken want: fn( n 9) n 6 ( n 9) n) n 6 9 n 8 op de lijn k is y = + 9 = n = n + 8 De hellingen in dat punt zijn ook gelijk want:

70 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y = + 9 Vraag. Bewijs dat voor elke waarde van n de grafiek van f n de lijn k raakt in het punt met = n + 9. Oplossing: Voor het raken van grafieken f en g geldt in het raakpunt: f = g en f = g Het punt (n+9, n+8) ligt op beide grafieken want: fn( n 9) n 6 ( n 9) n) n 6 9 n 8 op de lijn k is y = + 9 = n = n + 8 De hellingen in dat punt zijn ook gelijk want: 3 3 f ( ) dus f ( n 9) n n 9 n en de helling van de lijn y = + 9 is ook

71 200-II Geodriehoek Gegeven: T = S = 90 o, PR = PQ, k // m en P = 90 o. Vraag 2. Bewijs dat PQS congruent is met RPT. Bewijs: T P 2 2 R m PR = PQ (gegeven) (Z) S Q k

72 200-II Geodriehoek Gegeven: T = S = 90 o, PR = PQ, k // m en P = 90 o. Vraag 2. Bewijs dat PQS congruent is met RPT. Bewijs: T P 2 2 R m PR = PQ (gegeven) T = S (gegeven) (Z) (H) S Q k

73 200-II Geodriehoek Gegeven: T = S = 90 o, PR = PQ, k // m en P = 90 o. Vraag 2. Bewijs dat PQS congruent is met RPT. Bewijs: T P 2 2 R m PR = PQ (gegeven) T = S (gegeven) (Z) (H) S Q k We zoeken nu nog een hoek die gelijk is in beide driehoeken. Er geldt: P + 90 o + P2 = 80 o (gestrekte hoek) dus P = 90 o P2.

74 200-II Geodriehoek Gegeven: T = S = 90 o, PR = PQ, k // m en P = 90 o. Vraag 2. Bewijs dat PQS congruent is met RPT. Bewijs: T P 2 2 R m PR = PQ (gegeven) T = S (gegeven) (Z) (H) S Q k We zoeken nu nog een hoek die gelijk is in beide driehoeken. Er geldt: P + 90 o + P2 = 80 o (gestrekte hoek) dus P = 90 o P2 Maar ook: Q = 90 o P2 (hoekensom driehoek)

75 200-II Geodriehoek Gegeven: T = S = 90 o, PR = PQ, k // m en P = 90 o. Vraag 2. Bewijs dat PQS congruent is met RPT. Bewijs: T P 2 2 R m PR = PQ (gegeven) T = S (gegeven) (Z) (H) S Q k We zoeken nu nog een hoek die gelijk is in beide driehoeken. Er geldt: P + 90 o + P2 = 80 o (gestrekte hoek) dus P = 90 o P2 Maar ook: Q = 90 o P2 (hoekensom driehoek) Dus is P = Q (H)

76 200-II Geodriehoek Gegeven: T = S = 90 o, PR = PQ, k // m en P = 90 o. Vraag 2. Bewijs dat PQS congruent is met RPT. Bewijs: T P 2 2 R m PR = PQ (gegeven) T = S (gegeven) (Z) (H) S Q k We zoeken nu nog een hoek die gelijk is in beide driehoeken. Er geldt: P + 90 o + P2 = 80 o (gestrekte hoek) dus P = 90 o P2 Maar ook: Q = 90 o P2 (hoekensom driehoek) Dus is P = Q (H) Volgens geval ZHH is dus PQS congruent met RPT.

77 200-II Geodriehoek m Vraag 3. Getekend zijn zijn twee evenwijdige lijnen k en m met een punt A ertussenin. Teken in deze figuur een geodriehoek waarvan op elk van deze lijnen k en m een hoekpunt ligt en waarvan A het hoekpunt van de rechte hoek is. A k

78 200-II Geodriehoek m Vraag 3. Getekend zijn zijn twee evenwijdige lijnen k en m met een punt A ertussenin. Teken in deze figuur een geodriehoek waarvan op elk van deze lijnen k en m een hoekpunt ligt en waarvan A het hoekpunt van de rechte hoek is. A Uitwerking: Teken door A de loodlijn op k en m. k

79 200-II Geodriehoek m Vraag 3. Getekend zijn zijn twee evenwijdige lijnen k en m met een punt A ertussenin. Teken in deze figuur een geodriehoek waarvan op elk van deze lijnen k en m een hoekpunt ligt en waarvan A het hoekpunt van de rechte hoek is. A Uitwerking: Teken door A de loodlijn op k en m. k Pas gelijke stukken af op k en m, als aangegeven.

80 200-II Geodriehoek m Vraag 3. Getekend zijn zijn twee evenwijdige lijnen k en m met een punt A ertussenin. Teken in deze figuur een geodriehoek waarvan op elk van deze lijnen k en m een hoekpunt ligt en waarvan A het hoekpunt van de rechte hoek is. A Uitwerking: Teken door A de loodlijn op k en m. k Pas gelijke stukken af op k en m, als aangegeven. De grijze driehoek ABC is een geodriehoek, want uit de congruentie volgt: AB = AC en A = 90 o. A B m C k

81 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. y c

82 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: f( T ) y c

83 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: f( T ) a 0 2 T y c

84 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: f ( T ) a 0 dus a 2 T y c

85 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: f ( T ) a 0 dus a 2 2 T T y c

86 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: En ook: yt f ( T ) a 0 dus a 2 2 T T y c

87 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: En ook: y T a T T f ( T ) a 0 dus a 2 2 T T y c

88 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: En ook: y T a T T f ( ) 0 dus T a a 2 2 T T y c Voor het verband tussen T en y T geldt dus: y a... T T 2 T T T T

89 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: En ook: y T a T T f ( T ) a 0 dus a 2 2 T T y c Voor het verband tussen T en y T geldt dus: Dus T y T =... ; de waarde van c is dus... 2 yt a T 2 T T T T T T T

90 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: En ook: y T a T T f ( T ) a 0 dus a 2 2 T T y c Voor het verband tussen T en y T geldt dus: Dus T y T = 2 ; de waarde van c is dus 2. Bij deze hyperbool hoort de functie: 2 g ( ) 2 y a T T 2 T T T T T T T

91 200-II vooraf aan vraag 7: De eenheidscirkel De cirkel rond: 360 o = 2π rad dus 80 o = π rad sin t PQ OP PQ dus PQ sin t t = 0,5π P OQ cos t OP OQ dus OQ cost P heeft de coördinaten: P(cos t, sin t) O t cos t sin t Q t = 0 (,0) Stelling van Pythagoras: (sin t) (cos t) afgekort : sin t cos t

92 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B S T O t R N A(,0) O t R A(,0) In een rechthoekig assenstelsel Oy bekijken we het deel van de eenheidscirkel dat in het eerste kwadrant ligt. Het snijpunt met de -as is A(, 0). Op de kwartcirkel ligt een willekeurig punt B(cos t, in t) met AOB = t rad en 0 < t < 0,5π. Punt R is de loodrechte projectie van B op de -as. We maken nu twee rechthoeken: I. Een rechthoek ONPQ, waarbij N het midden van AR is en P en Q op dezelfde hoogte als B liggen. OQ = sin t en ON =0,5( + cos t). De oppervlakte van deze rechthoek noemen we V(t). I. II. Een rechthoek ATSR, waarbij S het midden van BR is. RS = 0,5sin t en RA = cos t. De oppervlakte van deze rechthoek noemen we W(t).

93 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) In een rechthoekig assenstelsel Oy bekijken we het deel van de eenheidscirkel dat in het eerste kwadrant ligt. Het snijpunt met de -as is A(, 0). Op de kwartcirkel ligt een willekeurig punt B(cos t, in t) met AOB = t rad en 0 < t < 0,5π. Punt R is de loodrechte projectie van B op de -as. We maken nu twee rechthoeken: I. Een rechthoek ONPQ, waarbij N het midden van AR is en P en Q op dezelfde hoogte als B liggen. OQ = sin t en ON =0,5( + cos t). De oppervlakte van deze rechthoek noemen we V(t). I. II. Een rechthoek ATSR, waarbij S het midden van BR is. RS = 0,5sin t en RA = cos t. De oppervlakte van deze rechthoek noemen we W(t).

94 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 5. Bereken eact de waarde van t waarvoor geldt: V(t) = 3 W(t) 2 2 sin t ( cos t) 3 sin t ( cos t)

95 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 5. Bereken eact de waarde van t waarvoor geldt: V(t) = 3 W(t) 2 2 sin t ( cos t) 3 sin t ( cos t) cos t 33cos t

96 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 5. Bereken eact de waarde van t waarvoor geldt: V(t) = 3 W(t) cos t sin t ( cos t) 3 sin t ( cos t) cos t 3 3cos t dus t

97 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 5. Bereken eact de waarde van t waarvoor geldt: V(t) = 3 W(t) t sin t ( cos t) 3 sin t ( cos t) cos t 33cos cos t ds u t π 3

98 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) ON RS Vraag 6. Te bewijzen: dus te bewijzen: OQ RA

99 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 6. Te bewijzen: 2 2 ON RS ( cos ) sin dus te bewijze: n t t OQ RA sin t cos t

100 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 6. Te bewijzen: t 2 2 ON RS ( cos ) sin t dus te bewijzen: OQ RA sin t cost ( cos t)( cos t) sin t 2

101 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 6. Te bewijzen: t 2 2 ON RS ( cos ) sin t dus te bewijzen: OQ RA sin t cost En hier staat de stelling van Pythagoras in de eenheidscirkel: ( cos t)( cos t) sin t cos t sin t 2 2 sin ( t) cos ( t)

102 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 7. Voor een bepaalde waarde van t zijn beide rechthoeken een vierkant. Dan geldt: ON RA OQ RS Bereken van beide vierkanten eact de zijde voor deze waarde van t.

103 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 7. ON RA OQ RS dus: 2 ( cos t) cos t sin t sin t 2 geeft

104 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 7. ON RA OQ RS dus: 2 ( cos t) cos t sin t sin t 2 geeft cos t 4( cos t)

105 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 7. ON RA OQ RS dus: 2 ( cos t) cos t geeft cos t 4( cos t) sin t sint cos t 3 dus cost en ONPQ heeft zijde:

106 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 7. ON RA OQ RS dus: 2 ( cos t) cos t geeft cos t 4( cos t) sin t sint cos t 3 dus cos t en ONPQ heeft zijde: ( cos t) ( )

107 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 7. ON RA OQ RS dus: 2 ( cos t) cos t geeft cos t 4( cos t) sin t sint cos t 3 dus cos t en ONPQ heeft zijde: ( cos t) ( ) ATSR heeft zijde:

108 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 7. ON RA OQ RS dus: 2 ( cos t) cos t geeft cos t 4( cos t) sin t sint cos t 3 dus cos t en ONPQ heeft zijde: ( cos t) ( ) ATSR heeft zijde: cos t

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel

Nadere informatie

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2015-II

wiskunde B vwo 2015-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-I

wiskunde B vwo 2017-I wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 1330-1630 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 16 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen Voor elk

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 13 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 13 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2016 tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 unten te behalen. Voor

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen; het eamen bestaat uit 4 vragen.

Nadere informatie

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I Sauna Om 5. uur wordt het verwarmingselement van een sauna aangezet. Vanaf dat moment,9t wordt de sauna opgewarmd. Dan geldt: St ( ) 8 e. Hierin is S de temperatuur in de sauna in graden Celsius en t de

Nadere informatie

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2. Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2008-II Eindeamen wiskunde B- vwo 8-II Een zwaartepunt Van een cirkelschijf met middelpunt (, ) en straal is het kwart getekend dat in het eerste kwadrant ligt. De cirkelboog is de grafiek van de functie f die

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 23 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 23 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eame VWO 200 tijdvak 2 woesdag 23 jui 3.30-6.30 uur wiskude B Bij dit eame hoort ee uitwerkbijlage. Dit eame bestaat uit 7 vrage. Voor dit eame zij maimaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer staat

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Extra oefeningen: de cirkel

Extra oefeningen: de cirkel Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eidexame wiskude B vwo 200 - II Formules Vlakke meetkude Verwijzige aar defiities e stellige die bij ee bewijs moge worde gebruikt zoder adere toelichtig. Hoeke, lije e afstade: gestrekte hoek, rechte

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : De Cirkel

Hoofdstuk 8 : De Cirkel - 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt

Nadere informatie

Een symmetrische gebroken functie

Een symmetrische gebroken functie Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] 2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I Eindexamen wiskunde B- vwo 006-I Beoordelingsmodel Sauna 0,9 00 80 e t 00 beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden de oplossing t,07 het tijdstip 7:0 uur 0,9t S () t 80 0,9 e S () 9, 06 het

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B Profi

Examen VWO. Wiskunde B Profi Wiskunde B Profi Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak Woensdag 1 juni 13.30 16.30 uur 0 00 Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 3 juni 3.30 6.30 uur 0 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen.

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Vrijdag 4 mei 3.30 6.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.

Nadere informatie

wiskunde B pilot havo 2016-I

wiskunde B pilot havo 2016-I De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2 C liggen op c. Punt Q is het midden van

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II ier tappen ij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een

Nadere informatie

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.

Nadere informatie

BETALES. Wiskunde B. Examenoefeningen VWO. A. Smit BSc 3/14/2017

BETALES. Wiskunde B. Examenoefeningen VWO. A. Smit BSc 3/14/2017 BETALES Wiskunde B Examenoefeningen VWO A. Smit BSc 3/14/2017 Examenopdrachten op basis van oude examens van www.examenblad.nl. Ieder examen in deze bundel moet in 3h gemaakt kunnen worden, gelijk aan

Nadere informatie

Verdieping - De Lijn van Wallace

Verdieping - De Lijn van Wallace Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is

Nadere informatie

Eerste en derdegraadsfunctie

Eerste en derdegraadsfunctie Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 19 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 19 juni uur Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 2016 tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 007 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde 1, ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B, Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 6 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Beoordelingsmodel wiskunde B1 VWO 2006-I. Sauna. Maximumscore e t = 100. het tijdstip 17:02 uur 1. Maximumscore 4

Beoordelingsmodel wiskunde B1 VWO 2006-I. Sauna. Maximumscore e t = 100. het tijdstip 17:02 uur 1. Maximumscore 4 Beoordelingsmodel wiskunde B VWO 006-I Antwoorden Sauna 0,9 00 0 e t = 00 beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden de oplossing t,07 het tijdstip 7:0 uur 0,9t S () t = 0 0,9 e S () 39, 06

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 8 tijdvak woensdag 8 juni 3.3-6.3 uur wiskunde B, Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 18 mei uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 18 mei uur Eamen VW 016 tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur wiskunde (pilot) it eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h Eindexamen vwo wiskunde B 0 - II Een regenton maximumscore 5 h V= ( rx ( )) d x 0 00 ( rx ( )) ( 5 5x 5x ) = + Een primitieve van 5+ 5x 5x is 5x+ 7 x 5x Dus = ( 5 + 7 5 ) V h h h 00 V = h+ h h = h+ h h

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VWO 008 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B1 Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2008-II Een eponentiële functie De functie f is gegeven door f( ) = e. is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. B is het snijpunt van de raaklijn aan de grafiek van f in met de -as. Zie figuur 1. figuur

Nadere informatie

6.1 Rechthoekige driehoeken [1]

6.1 Rechthoekige driehoeken [1] 6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-II Voedselbehoefte In een zeker gebied wordt een grote toename van de bevolking voorzien. Om de daarmee gepaard gaande problemen het hoofd te kunnen bieden, heeft men een schatting nodig van de grootte van

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2005-II

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2005-II Eindeamen wiskunde B vwo 2005-II Twee benaderingen van sin Met domein [0, ] is gegeven de functie f() = sin. De grafiek van f snijdt de -as in en en heeft als top T. Zie figuur. figuur T Gegeven is verder

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-I Eindexamen wiskunde B- vwo -I 4 Antwoordmodel Uit de kust De isoafstandslijn bestaat uit drie lijnstukken en een cirkelboog De lijnstukken hebben lengte 4 x, 4 x en 4 De lengte van de cirkelboog is 4 πx

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie