2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek.
|
|
- Hendrik Verbeek
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 200-II bij vraag Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. Een applet (animatie) hierover is te vinden op bijvoorbeeld: De punten P op de omtrek van de cirkel, aan één kant van koorde AB gelegen, zien alle de boog AB onder dezelfde, constante hoek. Dat geldt ook voor de raaklijn (bij B). P P P raaklijn P A koorde B boog
2 200-II Cirkel en hoogtelijn P Op een cirkel kiezen we drie vaste punten A, B en C, waarbij lijnstuk AB geen middellijn is en punt C op de kortste cirkelboog AB ligt. Een punt P doorloopt dat deel van de langste cirkelboog AB waarvoor driehoek ABP niet stomphoekig is. De hoogtelijn BQ van driehoek ABP snijdt de koorde CP in punt R. Q R In de figuur is een mogelijke positie van P getekend met de bijbehorende punten Q en R. Bij de beweging van P over het hierboven beschreven deel van de cirkelboog AB verandert de grootte van hoek BRC niet. A C B Vraag. Bewijs dit.
3 200-II Cirkel en hoogtelijn P Op een cirkel kiezen we drie vaste punten A, B en C, waarbij lijnstuk AB geen middellijn is en punt C op de kortste cirkelboog AB ligt. Een punt P doorloopt dat deel van de langste cirkelboog AB waarvoor driehoek ABP niet stomphoekig is. De hoogtelijn BQ van driehoek ABP snijdt de koorde CP in punt R. Q R In de figuur is een mogelijke positie van P getekend met de bijbehorende punten Q en R. Bij de beweging van P over het hierboven beschreven deel van de cirkelboog AB verandert de grootte van hoek BRC niet. A C B Vraag. Bewijs dit. BRC = PRQ (overstaande hoeken)
4 200-II Cirkel en hoogtelijn P Op een cirkel kiezen we drie vaste punten A, B en C, waarbij lijnstuk AB geen middellijn is en punt C op de kortste cirkelboog AB ligt. Een punt P doorloopt dat deel van de langste cirkelboog AB waarvoor driehoek ABP niet stomphoekig is. De hoogtelijn BQ van driehoek ABP snijdt de koorde CP in punt R. Q o R In de figuur is een mogelijke positie van P getekend met de bijbehorende punten Q en R. Bij de beweging van P over het hierboven beschreven deel van de cirkelboog AB verandert de grootte van hoek BRC niet. A C B Vraag. Bewijs dit. BRC = PRQ (overstaande hoeken) PRQ = 90 o QPR (hoekensom driehoek)
5 200-II Cirkel en hoogtelijn P Op een cirkel kiezen we drie vaste punten A, B en C, waarbij lijnstuk AB geen middellijn is en punt C op de kortste cirkelboog AB ligt. Een punt P doorloopt dat deel van de langste cirkelboog AB waarvoor driehoek ABP niet stomphoekig is. De hoogtelijn BQ van driehoek ABP snijdt de koorde CP in punt R. Q R o In de figuur is een mogelijke positie van P getekend met de bijbehorende punten Q en R. Bij de beweging van P over het hierboven beschreven deel van de cirkelboog AB verandert de grootte van hoek BRC niet. A C B Vraag. Bewijs dit. BRC = PRQ (overstaande hoeken) PRQ = 90 o QPR (hoekensom driehoek) APC = QPR is een constante hoek (op boog AC)
6 200-II Cirkel en hoogtelijn P Op een cirkel kiezen we drie vaste punten A, B en C, waarbij lijnstuk AB geen middellijn is en punt C op de kortste cirkelboog AB ligt. Een punt P doorloopt dat deel van de langste cirkelboog AB waarvoor driehoek ABP niet stomphoekig is. De hoogtelijn BQ van driehoek ABP snijdt de koorde CP in punt R. Q R o In de figuur is een mogelijke positie van P getekend met de bijbehorende punten Q en R. Bij de beweging van P over het hierboven beschreven deel van de cirkelboog AB verandert de grootte van hoek BRC niet. A C B Vraag. Bewijs dit. BRC = PRQ (overstaande hoeken) PRQ = 90 o QPR (hoekensom driehoek) APC = QPR is een constante hoek (op boog AC) Dus ook BRC is een constante hoek.
7 200-II Cirkel en hoogtelijn De baan van R die hoort bij de beweging van P over de cirkel, kan getekend worden met behulp van de in vraag genoemde eigenschap. ABP mag niet stomphoekig zijn. Vraag 2. Teken op deze manier de baan van R. Geef de randpunten van de baan, waarbij driehoek ABP rechthoekig is, duidelijk aan. Licht je werkwijze toe. R ligt op een cirkelboog. De randpunten daarvan worden bepaald door de loodlijnen AS en BT. P S Q T R A B C
8 200-II Cirkel en hoogtelijn De baan van R die hoort bij de beweging van P over de cirkel, kan getekend worden met behulp van de in vraag genoemde eigenschap. ABP mag niet stomphoekig zijn Vraag 2. Teken op deze manier de baan van R. Geef de randpunten van de baan, waarbij driehoek ABP rechthoekig is, duidelijk aan. Licht je werkwijze toe. R ligt op een cirkelboog. De randpunten daarvan worden bepaald door de loodlijnen AS en BT en de lijnstukken SC en TC. P Het middelpunt van de cirkelboog kan gevonden worden door de middelloodlijn van RB te snijden met AB (groene stippellijn). S Q R T A B C
9 200-II Cirkel en hoogtelijn De baan van R die hoort bij de beweging van P over de cirkel, kan getekend worden met behulp van de in vraag genoemde eigenschap. Vraag 2. Teken op deze manier de baan van R. Geef de randpunten van de baan, waarbij driehoek ABP rechthoekig is, duidelijk aan. Licht je werkwijze toe. R ligt op een cirkelboog. De randpunten daarvan worden bepaald door de loodlijnen AS en BT en de lijnstukken SC en TC. P De cirkelboog UV is hier rood getekend. S Q T R V A U B C
10 200-II Leercurve Het aanleren van een nieuwe handeling kost tijd. Als je een handeling vaker uitvoert, wordt de voor deze handeling benodigde tijd meestal steeds korter. T.P. Wright stelde voor dit leerproces de volgende formule op: T n = T n a Hierin is: T n het aantal seconden dat nodig is als de handeling voor de n-de keer wordt uitgevoerd, T het aantal seconden dat nodig is als de handeling voor de eerste keer wordt uitgevoerd en a een positieve constante die afhangt van de snelheid van het leerproces. Volgens de formule van Wright leidt een verdubbeling van het aantal keer uitvoeren van een zelfde handeling tot een daling van de hoeveelheid benodigde tijd (en dus kosten) van de laatste keer met een vast percentage. Men spreekt van een P%-leercurve als bij verdubbeling van het aantal keer uitvoeren van n T2n P naar 2n de laatste keer nog maar P% kost van de tijd bij de n-de keer. Ofwel: T 00 Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. We markeren op het volgende scherm de relevante begrippen. n
11 200-II Leercurve Het aanleren van een nieuwe handeling kost tijd. Als je een handeling vaker uitvoert, wordt de voor deze handeling benodigde tijd meestal steeds korter. T.P. Wright stelde voor dit leerproces de volgende formule op: T n = T n a Hierin is: T n het aantal seconden dat nodig is als de handeling voor de n-de keer wordt uitgevoerd, T het aantal seconden dat nodig is als de handeling voor de eerste keer wordt uitgevoerd en a een positieve constante die afhangt van de snelheid van het leerproces. Volgens de formule van Wright leidt een verdubbeling van het aantal keer uitvoeren van een zelfde handeling tot een daling van de hoeveelheid benodigde tijd (en dus kosten) van de laatste keer met een vast percentage. Men spreekt van een P%-leercurve als bij verdubbeling van het aantal keer uitvoeren van n T2n P naar 2n de laatste keer nog maar P% kost van de tijd bij de n-de keer. Ofwel: T 00 Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. n
12 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. De waarde van a moet dus berekend worden met behulp van de volgende gegevens: () T T n n a (2) T 2n T n P 00 (3) P 85
13 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. Berekening: a 2n () T T n dus T... n
14 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. Berekening: a n T2n T () T T dus (2 n) n a (vervang ndoor 2 n) T2n P (2) dus... T 00 n
15 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. Berekening: a 2n () T T n dus T T (2 n) n a T2n P T ( 2 n) a P (2) dus T 00 a T n 00 n
16 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. Berekening: a 2n () T T n dus T T (2 n) n a a T2n P T (2 n) P 2n a P a a p (2) dus oftewel ( ) ( machtsregel ( ) ) T 00 a p T n 00 n 00 b b n p
17 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. Berekening: a 2n () T T n dus T T (2 n) n T2n P T (2 n) P 2n a P (2) dus oftewel ( ) T 00 a T n 00 n 00 n (3) P 85 invullen geeft : a a
18 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. Berekening: a 2n () T T n dus T T (2 n) n T2n P T (2 n) P 2n a P (2) dus oftewel ( ) T 00 a T n 00 n 00 n a a (3) P 85 invullen geeft : 2 dus a ln 0,85 a
19 200-II Leercurve Vraag 3. Bereken de waarde van a in de formule van Wright bij een 85%-leercurve. Rond je antwoord af op twee decimalen. Berekening: a 2n () T T n dus T T (2 n) n T2n P T (2 n) P 2n a P (2) dus oftewel ( ) T 00 a T n 00 n 00 n a a (3) P 85 invullen geeft : 2 dus a ln 0,85 a Met het antwoord: a 0,23
20 200-II Leercurve In een bepaald bedrijf voeren mensen een handeling aan de lopende band uit. Deze handeling wordt niet door iedereen op dezelfde manier aangeleerd. In de praktijk komt men onder andere de volgende twee soorten mensen tegen: snelle starters: deze mensen kunnen de handeling de eerste keer al snel uitvoeren, maar het lukt hen daarna niet om dit snel te verbeteren, snelle leerders: de eerste keer duurt bij deze mensen wat langer, maar zij zijn in staat snel vooruitgang te boeken. Voor beide soorten hanteert het bedrijf een formule van Wright: snelle starters: T n = 20 n 0,52 snelle leerders: T n = 40 n 0,328 Vraag 4. Bereken bij de hoeveelste keer uitvoeren een snelle leerder de handeling voor het eerst sneller uitvoert dan een snelle starter.
21 200-II Leercurve In een bepaald bedrijf voeren mensen een handeling aan de lopende band uit. Deze handeling wordt niet door iedereen op dezelfde manier aangeleerd. In de praktijk komt men onder andere de volgende twee soorten mensen tegen: snelle starters: deze mensen kunnen de handeling de eerste keer al snel uitvoeren, maar het lukt hen daarna niet om dit snel te verbeteren, snelle leerders: de eerste keer duurt bij deze mensen wat langer, maar zij zijn in staat snel vooruitgang te boeken. Voor beide soorten hanteert het bedrijf een formule van Wright: snelle starters: T n = 20 n 0,52 snelle leerders: T n = 40 n 0,328 Vraag 4. Bereken bij de hoeveelste keer uitvoeren een snelle leerder de handeling voor het eerst sneller uitvoert dan een snelle starter. T n is het aantal nodige seconden als de handeling voor de n-de keer wordt uitgevoerd Dus de ongelijkheid 40 n 0,328 < 20 n 0,52 moet opgelost worden. Mag met de GR, doe dus bijvoorbeeld:
22 200-II Leercurve In een bepaald bedrijf voeren mensen een handeling aan de lopende band uit. Deze handeling wordt niet door iedereen op dezelfde manier aangeleerd. In de praktijk komt men onder andere de volgende twee soorten mensen tegen: snelle starters: deze mensen kunnen de handeling de eerste keer al snel uitvoeren, maar het lukt hen daarna niet om dit snel te verbeteren, snelle leerders: de eerste keer duurt bij deze mensen wat langer, maar zij zijn in staat snel vooruitgang te boeken. Voor beide soorten hanteert het bedrijf een formule van Wright: snelle starters: T n = 20 n 0,52 snelle leerders: T n = 40 n 0,328 Vraag 4. Bereken bij de hoeveelste keer uitvoeren een snelle leerder de handeling voor het eerst sneller uitvoert dan een snelle starter. T n is het aantal nodige seconden als de handeling voor de n-de keer wordt uitgevoerd Dus de ongelijkheid 40 n 0,328 < 20 n 0,52 moet opgelost worden. Zet de grafieken van Y = 40X^.328 en Y2 = 20X^.52 op het scherm (0 X 00) en doe intersect. Het antwoord is: vanaf de 52-ste handeling (n 52)
23 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). y T() De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0, Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden.
24 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. Dit is de wiskunde op z n kop. De tekening met de rechthoeken staat er, het is nu voor de hand liggend en simpel om met een computer (of rekenmachine) de som te berekenen. Om dit te te doen door een eacte integraal achteraf met een GR te benaderen is onzinnig. Met de TI-83 of TI-84 in de hand gaat het veel sneller (en zonder nadenken) via: sum(seq(20x^-.52, X,, 00)) = 62.83
25 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. Primitiveren : F ( )
26 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. 0,52 Primitiveren : F( ) 20 23,585 0,52 0,848
27 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. Primitiveren : F( ) 20 23,585 0,52 0,52 0,848 Integreren : Opp
28 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. Primitiveren : F( ) 20 23,585 0,52 0,52 0,848 00,5 0,52 Integreren : Opp 20 d 23, 585 0,5 0,52 0,848 00,5 0,5 Uitgewerkt : Opp
29 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. Primitiveren : F( ) 20 23,585 0,52 0,52 0,848 00,5 0,52 0,848 Integreren : Opp 20 d 23,585 0,52 00,5 0,5 0,5 0,848 0,848 Uitgewerkt : Opp 23,585 (00,5 0,5 ) 63
30 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. Primitiveren : F( ) 20 23,585 0,52 0,52 0,848 00,5 0,52 0,848 Integreren : Opp 20 d 23,585 0,52 00,5 0,5 0,5 0,848 0,848 Uitgewerkt : Opp 23,585 (00,5 0,5 ) 63 Dus de gemiddelde tijdsduur is
31 200-II Leercurve Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T +T 2 +T T 00, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale oppervlakte van 00 rechthoeken met breedte en hoogtes T, T 2, T 3,, T 00. (een aantal van deze rechthoeken is getekend). De oppervlakte van de 00 rechthoeken kan goed benaderd worden met een oppervlakte onder de grafiek van de functie T die gegeven is door T()=20 0,52. Vraag 5. Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van T met behulp van primitiveren en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 00 handelingen gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel aantal seconden. Primitiveren : F( ) 20 23,585 0,52 0,52 0,848 00,5 0,52 0,848 Integreren : Opp 20 d 23,585 0,52 00,5 0,5 0,5 0,848 0,848 Uitgewerkt : Opp 23,585 (00,5 0,5 ) 63 Dus de gemiddelde tijdsduur is 63 / 00 =,63 seconden (afgerond 2 seconden)
32 200-II Eponentiële functie A 8 Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A.
33 200-II Eponentiële functie A 8 Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. Gebruik de quotiëntregel:
34 200-II Eponentiële functie A Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) 8 e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. Gebruik de quotiëntregel: 8e 8e f( ) 2 (e )
35 200-II Eponentiële functie A Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) 8 e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. Gebruik de quotiëntregel: 8e 8e 8e ( ) 8e ( ) f( ) (e ) e e e e 8( ) e 2
36 200-II Eponentiële functie A Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. Gebruik de quotiëntregel: Nulstellen geeft A =. 8 e 8e 8e 8e ( ) 8 e ( ) 8( ) f( ) 2 (e ) e e e e e
37 200-II Eponentiële functie A Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) 8 e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. Gebruik de quotiëntregel: 8e 8e 8e ( ) 8 e ( ) 8( ) f( ) 2 (e ) e e e e e Nulstellen geeft A =. zijde 2 Vraag 7. Onderzoek via een berekening of een vierkant met zijde 2, waarvan één zijde op de -as ligt, onder de grafiek past.
38 200-II Eponentiële functie A Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) 8 e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. y = 2 Gebruik de quotiëntregel: 8e 8e 8e ( ) 8 e ( ) 8( ) f( ) 2 (e ) e e e e e Nulstellen geeft A =. zijde 2 Vraag 7. Onderzoek via een berekening of een vierkant met zijde 2, waarvan één zijde op de -as ligt, onder de grafiek past. Oplossing: bepaal de snijpunten (bijv. via intersect) met de lijn y = 2. De -coördinaten daarvan zijn
39 200-II Eponentiële functie A Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) 8 e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. y = 2 Gebruik de quotiëntregel: 8e 8e 8e ( ) 8 e ( ) 8( ) f( ) 2 (e ) e e e e e Nulstellen geeft A =. 0,4 2,2 Vraag 7. Onderzoek via een berekening of een vierkant met zijde 2, waarvan één zijde op de -as ligt, onder de grafiek past. Oplossing: bepaal de snijpunten (bijv. via intersect) met de lijn y = 2. De -coördinaten daarvan zijn (ongeveer) 0,36 en 2,5
40 200-II Eponentiële functie A Getekend is voor 0 de grafiek van f( ) 8 e Vraag 6. Bereken eact de -coördinaat van de top A. y = 2 Gebruik de quotiëntregel: 8e 8e 8e ( ) 8 e ( ) 8( ) f( ) 2 (e ) e e e e e Nulstellen geeft A =. Vraag 7. Onderzoek via een berekening of een vierkant met zijde 2, waarvan één zijde op de -as ligt, onder de grafiek past. Oplossing: bepaal de snijpunten (bijv. via intersect) met de lijn y = 2. De -coördinaten daarvan zijn (ongeveer) 0,36 en 2,5 Het verschil daartussen is,8 dat is minder dan 2. Conclusie: zo n vierkant pas niet onder de grafiek.
41 200-II Eponentiële functie We bekijken nu voor positieve waarden van n met n de functie g n () die is gegeven door g n 8n ( ) n e De grafieken van g n () snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n nog een ander snijpunt. In een tabel staat voor enkele waarden van n de -coördinaat van dit andere snijpunt. Hieruit ontstaat het vermoeden dat de formule positieve waarde van n met n. Vraag 8. Toon aan dat dit vermoeden juist is. snijpunt ln n n 8 f( ) e voor snijpunt klopt voor elke
42 200-II Eponentiële functie We bekijken nu voor positieve waarden van n met n de functie g n () die is gegeven door g n 8n ( ) n e De grafieken van g n () snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n nog een ander snijpunt. In een tabel staat voor enkele waarden van n de -coördinaat van dit andere snijpunt. Hieruit ontstaat het vermoeden dat de formule positieve waarde van n met n. Vraag 8. Toon aan dat dit vermoeden juist is. snijpunt ln n n f( ) 8 e voor snijpunt klopt voor elke f ( ) g ( ) geeft: n 8 8n e e n Kruislings uitvermenigvuldigen geeft:
43 200-II Eponentiële functie We bekijken nu voor positieve waarden van n met n de functie g n () die is gegeven door g n 8n ( ) n e De grafieken van g n () snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n nog een ander snijpunt. In een tabel staat voor enkele waarden van n de -coördinaat van dit andere snijpunt. Hieruit ontstaat het vermoeden dat de formule positieve waarde van n met n. Vraag 8. Toon aan dat dit vermoeden juist is. f ( ) g ( ) geeft: 8 8n e e n n snijpunt ln n n Kruislings uitvermenigvuldigen geeft: 8n e 8e. Hierin factoren wegdelen: n voor snijpunt klopt voor elke
44 200-II Eponentiële functie We bekijken nu voor positieve waarden van n met n de functie g n () die is gegeven door g n 8n ( ) n e De grafieken van g n () snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n nog een ander snijpunt. In een tabel staat voor enkele waarden van n de -coördinaat van dit andere snijpunt. Hieruit ontstaat het vermoeden dat de formule positieve waarde van n met n. Vraag 8. Toon aan dat dit vermoeden juist is. f ( ) g ( ) geeft: 8 8n e e n n snijpunt ln n n Kruislings uitvermenigvuldigen geeft: 8n e 8 e. Hierin factoren wegdelen: n 8 n e 8 e dus: n... n voor snijpunt klopt voor elke
45 200-II Eponentiële functie We bekijken nu voor positieve waarden van n met n de functie g n () die is gegeven door g n 8n ( ) n e De grafieken van g n () snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n nog een ander snijpunt. In een tabel staat voor enkele waarden van n de -coördinaat van dit andere snijpunt. Hieruit ontstaat het vermoeden dat de formule positieve waarde van n met n. Vraag 8. Toon aan dat dit vermoeden juist is. f ( ) g ( ) geeft: 8 8n e e n n snijpunt ln n n Kruislings uitvermenigvuldigen geeft: 8n e 8 e. Hierin factoren wegdelen: n n voor snijpunt klopt voor elke n e n n ( ) 8 n e 8 e dus: n e e. En hier links en rechts de l n nemen : e
46 200-II Eponentiële functie We bekijken nu voor positieve waarden van n met n de functie g n () die is gegeven door g n 8n ( ) n e De grafieken van g n () snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n nog een ander snijpunt. In een tabel staat voor enkele waarden van n de -coördinaat van dit andere snijpunt. Hieruit ontstaat het vermoeden dat de formule positieve waarde van n met n. Vraag 8. Toon aan dat dit vermoeden juist is. f ( ) g ( ) geeft: 8 8n e e n n snijpunt ln n n Kruislings uitvermenigvuldigen geeft: 8n e 8 e. Hierin factoren wegdelen: n n e n ( n) n voor snijpunt klopt voor elke 8 n e 8 e dus: n e e. En hier links en rechts de ln nemen : e ln n ( n ) uitwerken tt o:
47 200-II Eponentiële functie We bekijken nu voor positieve waarden van n met n de functie g n () die is gegeven door g n 8n ( ) n e De grafieken van g n () snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n nog een ander snijpunt. In een tabel staat voor enkele waarden van n de -coördinaat van dit andere snijpunt. Hieruit ontstaat het vermoeden dat de formule positieve waarde van n met n. Vraag 8. Toon aan dat dit vermoeden juist is. f ( ) g ( ) geeft: 8 8n e e n n snijpunt ln n n Kruislings uitvermenigvuldigen geeft: 8n e 8 e. Hierin factoren wegdelen: n n e n ( n) n voor snijpunt klopt voor elke 8 n e 8 e dus n e e. En hier links en rechts de ln nemen : e ln n ln n ( n ) uitwerken tot: n ln n n
48 200-II Eponentiële functie 24 8 De grafieken van g3( ) en f( ) f 3 e e sluiten een vlakdeel in. Vraag 9. Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel. Antwoord: Je hoeft niet te primitiveren. g 3
49 200-II Eponentiële functie 24 8 De grafieken van g3( ) en f( ) f 3 e e sluiten een vlakdeel in. Vraag 9. Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel. Antwoord: Je hoeft niet te primitiveren. Blijkens de vorige vraag ligt het snijpunt van de grafieken bij: = 0,5ln 3 0,5493. g 3
50 200-II Eponentiële functie 24 8 De grafieken van g3( ) en f( ) f 3 e e sluiten een vlakdeel in. Vraag 9. Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel. Antwoord: Je hoeft niet te primitiveren. Blijkens de vorige vraag ligt het snijpunt van de grafieken bij: = 0,5ln 3 0,5493. g 3 Het gaat dus om de integraal:
51 200-II Eponentiële functie De grafieken van g sluiten een vlakdeel in. ( ) 24 e 3 3 en f( ) 8 e Vraag 9. Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel. Antwoord: Je hoeft niet te primitiveren. Blijkens de vorige vraag ligt het snijpunt van de grafieken bij: = 0,5ln 3 0,5493. g 3 f Het gaat dus om de integraal 0,5ln ( ) d 3 e e
52 200-II Eponentiële functie De grafieken van g sluiten een vlakdeel in. ( ) 24 e 3 3 en f( ) 8 e Vraag 9. Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel. Antwoord: Je hoeft niet te primitiveren. Blijkens de vorige vraag ligt het snijpunt van de grafieken bij: = 0,5ln 3 0,5493. g 3 f Het gaat dus om de integraal 0,5ln ( ) d 3 e e In TI-84 taal: fnint(24x/e^(3x) 8X/e^X, X, 0, ) Met het antwoord: opp. 0,4637
53 200-II Wortelfuncties f ( ) Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2.
54 200-II Wortelfuncties f ( ) Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) =
55 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken):
56 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2
57 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren:
58 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren: 36( 2) = ( 2) 2
59 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren: 36( 2) = ( 2) 2 = ( 2) ( 2)
60 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren: 36( 2) = ( 2) 2 = ( 2) ( 2) De eerste oplossing is = 2 en de tweede oplossing volgt uit
61 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren: 36( 2) = ( 2) 2 = ( 2) ( 2) De eerste oplossing is = 2 en de tweede oplossing volgt uit 36 = 2 dus = 48. De oppervlakte is:
62 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren: 36( 2) = ( 2) 2 = ( 2) ( 2) De eerste oplossing is = 2 en de tweede oplossing volgt uit 36 = 2 dus = De oppervlakte is : 2 (2 6 2 ) d
63 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren: 36( 2) = ( 2) 2 = ( 2) ( 2) De eerste oplossing is = 2 en de tweede oplossing volgt uit 36 = 2 dus = De oppervlakte is: (2 6 2 ) d 2 4( 2)
64 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n In de figuur is f 2 getekend en de lijn met vergelijking y =. Vraag 0. Bereken eact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn y = en de grafiek van f 2. Eerst het snijpunt berekenen via: ( 2) = De wortel isoleren (vrijmaken): 6 ( 2) = 2 Kwadrateren: 36( 2) = ( 2) 2 = ( 2) ( 2) De eerste oplossing is = 2 en de tweede oplossing volgt uit 36 = 2 dus = De oppervlakte is: (2 6 2 ) d 2 4( 2) Een primitieve van 2 dus ( 2) 2 is: 2 ( 2) ( 2)
65 200-II voorafgaand aan vraag Twee grafieken f en g raken elkaar in het punt (a, b) als op die plaats: De y-coördinaten gelijk zijn: f (a) = g (a) en bovendien g( ) 2 2 f ( ) 2 De hellingen gelijk zijn: f (a) = g (a) Een voorbeeld (zie het plaatje): De grafiek van f ( ) 2 raakt de grafiek van g( ) 2 in het punt (, ) immers: 2 2 f () en g() 2 f () f ( ) dus f () 2 en g( ) 2 dus g() 2 f () 3 3
66 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y = + 9 Vraag. Bewijs dat voor elke waarde van n de grafiek van f n de lijn k raakt in het punt met = n + 9. Oplossing: Voor het raken van grafieken f en g geldt in het raakpunt: f = g en f = g
67 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y = + 9 Vraag. Bewijs dat voor elke waarde van n de grafiek van f n de lijn k raakt in het punt met = n + 9. Oplossing: Voor het raken van grafieken f en g geldt in het raakpunt: f = g en f = g Het punt (n+9, n+8) ligt op beide grafieken want: fn ( n 9) op de lijn k is y = + 9 =...
68 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y = + 9 Vraag. Bewijs dat voor elke waarde van n de grafiek van f n de lijn k raakt in het punt met = n + 9. Oplossing: Voor het raken van grafieken f en g geldt in het raakpunt: f = g en f = g Het punt (n+9, n+8) ligt op beide grafieken want: fn( n 9) n 6 ( n 9) n) n 6 9 n 8 op de lijn k is y = + 9 = n = n + 8
69 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y = + 9 Vraag. Bewijs dat voor elke waarde van n de grafiek van f n de lijn k raakt in het punt met = n + 9. Oplossing: Voor het raken van grafieken f en g geldt in het raakpunt: f = g en f = g Het punt (n+9, n+8) ligt op beide grafieken want: fn( n 9) n 6 ( n 9) n) n 6 9 n 8 op de lijn k is y = + 9 = n = n + 8 De hellingen in dat punt zijn ook gelijk want:
70 200-II Wortelfuncties Voor n =, 2, 3,... is gegeven het stelsel: fn ( ) n 6 n Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y = + 9 Vraag. Bewijs dat voor elke waarde van n de grafiek van f n de lijn k raakt in het punt met = n + 9. Oplossing: Voor het raken van grafieken f en g geldt in het raakpunt: f = g en f = g Het punt (n+9, n+8) ligt op beide grafieken want: fn( n 9) n 6 ( n 9) n) n 6 9 n 8 op de lijn k is y = + 9 = n = n + 8 De hellingen in dat punt zijn ook gelijk want: 3 3 f ( ) dus f ( n 9) n n 9 n en de helling van de lijn y = + 9 is ook
71 200-II Geodriehoek Gegeven: T = S = 90 o, PR = PQ, k // m en P = 90 o. Vraag 2. Bewijs dat PQS congruent is met RPT. Bewijs: T P 2 2 R m PR = PQ (gegeven) (Z) S Q k
72 200-II Geodriehoek Gegeven: T = S = 90 o, PR = PQ, k // m en P = 90 o. Vraag 2. Bewijs dat PQS congruent is met RPT. Bewijs: T P 2 2 R m PR = PQ (gegeven) T = S (gegeven) (Z) (H) S Q k
73 200-II Geodriehoek Gegeven: T = S = 90 o, PR = PQ, k // m en P = 90 o. Vraag 2. Bewijs dat PQS congruent is met RPT. Bewijs: T P 2 2 R m PR = PQ (gegeven) T = S (gegeven) (Z) (H) S Q k We zoeken nu nog een hoek die gelijk is in beide driehoeken. Er geldt: P + 90 o + P2 = 80 o (gestrekte hoek) dus P = 90 o P2.
74 200-II Geodriehoek Gegeven: T = S = 90 o, PR = PQ, k // m en P = 90 o. Vraag 2. Bewijs dat PQS congruent is met RPT. Bewijs: T P 2 2 R m PR = PQ (gegeven) T = S (gegeven) (Z) (H) S Q k We zoeken nu nog een hoek die gelijk is in beide driehoeken. Er geldt: P + 90 o + P2 = 80 o (gestrekte hoek) dus P = 90 o P2 Maar ook: Q = 90 o P2 (hoekensom driehoek)
75 200-II Geodriehoek Gegeven: T = S = 90 o, PR = PQ, k // m en P = 90 o. Vraag 2. Bewijs dat PQS congruent is met RPT. Bewijs: T P 2 2 R m PR = PQ (gegeven) T = S (gegeven) (Z) (H) S Q k We zoeken nu nog een hoek die gelijk is in beide driehoeken. Er geldt: P + 90 o + P2 = 80 o (gestrekte hoek) dus P = 90 o P2 Maar ook: Q = 90 o P2 (hoekensom driehoek) Dus is P = Q (H)
76 200-II Geodriehoek Gegeven: T = S = 90 o, PR = PQ, k // m en P = 90 o. Vraag 2. Bewijs dat PQS congruent is met RPT. Bewijs: T P 2 2 R m PR = PQ (gegeven) T = S (gegeven) (Z) (H) S Q k We zoeken nu nog een hoek die gelijk is in beide driehoeken. Er geldt: P + 90 o + P2 = 80 o (gestrekte hoek) dus P = 90 o P2 Maar ook: Q = 90 o P2 (hoekensom driehoek) Dus is P = Q (H) Volgens geval ZHH is dus PQS congruent met RPT.
77 200-II Geodriehoek m Vraag 3. Getekend zijn zijn twee evenwijdige lijnen k en m met een punt A ertussenin. Teken in deze figuur een geodriehoek waarvan op elk van deze lijnen k en m een hoekpunt ligt en waarvan A het hoekpunt van de rechte hoek is. A k
78 200-II Geodriehoek m Vraag 3. Getekend zijn zijn twee evenwijdige lijnen k en m met een punt A ertussenin. Teken in deze figuur een geodriehoek waarvan op elk van deze lijnen k en m een hoekpunt ligt en waarvan A het hoekpunt van de rechte hoek is. A Uitwerking: Teken door A de loodlijn op k en m. k
79 200-II Geodriehoek m Vraag 3. Getekend zijn zijn twee evenwijdige lijnen k en m met een punt A ertussenin. Teken in deze figuur een geodriehoek waarvan op elk van deze lijnen k en m een hoekpunt ligt en waarvan A het hoekpunt van de rechte hoek is. A Uitwerking: Teken door A de loodlijn op k en m. k Pas gelijke stukken af op k en m, als aangegeven.
80 200-II Geodriehoek m Vraag 3. Getekend zijn zijn twee evenwijdige lijnen k en m met een punt A ertussenin. Teken in deze figuur een geodriehoek waarvan op elk van deze lijnen k en m een hoekpunt ligt en waarvan A het hoekpunt van de rechte hoek is. A Uitwerking: Teken door A de loodlijn op k en m. k Pas gelijke stukken af op k en m, als aangegeven. De grijze driehoek ABC is een geodriehoek, want uit de congruentie volgt: AB = AC en A = 90 o. A B m C k
81 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. y c
82 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: f( T ) y c
83 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: f( T ) a 0 2 T y c
84 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: f ( T ) a 0 dus a 2 T y c
85 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: f ( T ) a 0 dus a 2 2 T T y c
86 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: En ook: yt f ( T ) a 0 dus a 2 2 T T y c
87 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: En ook: y T a T T f ( T ) a 0 dus a 2 2 T T y c
88 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: En ook: y T a T T f ( ) 0 dus T a a 2 2 T T y c Voor het verband tussen T en y T geldt dus: y a... T T 2 T T T T
89 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: En ook: y T a T T f ( T ) a 0 dus a 2 2 T T y c Voor het verband tussen T en y T geldt dus: Dus T y T =... ; de waarde van c is dus... 2 yt a T 2 T T T T T T T
90 200-II Gebroken functie De grafiek van fa ( ) a heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking y=c voor een zekere waarde van c. fa ( ) a Vraag 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking y=c liggen en bereken de waarde van c. Voor een top T (, y) geldt: En ook: y T a T T f ( T ) a 0 dus a 2 2 T T y c Voor het verband tussen T en y T geldt dus: Dus T y T = 2 ; de waarde van c is dus 2. Bij deze hyperbool hoort de functie: 2 g ( ) 2 y a T T 2 T T T T T T T
91 200-II vooraf aan vraag 7: De eenheidscirkel De cirkel rond: 360 o = 2π rad dus 80 o = π rad sin t PQ OP PQ dus PQ sin t t = 0,5π P OQ cos t OP OQ dus OQ cost P heeft de coördinaten: P(cos t, sin t) O t cos t sin t Q t = 0 (,0) Stelling van Pythagoras: (sin t) (cos t) afgekort : sin t cos t
92 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B S T O t R N A(,0) O t R A(,0) In een rechthoekig assenstelsel Oy bekijken we het deel van de eenheidscirkel dat in het eerste kwadrant ligt. Het snijpunt met de -as is A(, 0). Op de kwartcirkel ligt een willekeurig punt B(cos t, in t) met AOB = t rad en 0 < t < 0,5π. Punt R is de loodrechte projectie van B op de -as. We maken nu twee rechthoeken: I. Een rechthoek ONPQ, waarbij N het midden van AR is en P en Q op dezelfde hoogte als B liggen. OQ = sin t en ON =0,5( + cos t). De oppervlakte van deze rechthoek noemen we V(t). I. II. Een rechthoek ATSR, waarbij S het midden van BR is. RS = 0,5sin t en RA = cos t. De oppervlakte van deze rechthoek noemen we W(t).
93 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) In een rechthoekig assenstelsel Oy bekijken we het deel van de eenheidscirkel dat in het eerste kwadrant ligt. Het snijpunt met de -as is A(, 0). Op de kwartcirkel ligt een willekeurig punt B(cos t, in t) met AOB = t rad en 0 < t < 0,5π. Punt R is de loodrechte projectie van B op de -as. We maken nu twee rechthoeken: I. Een rechthoek ONPQ, waarbij N het midden van AR is en P en Q op dezelfde hoogte als B liggen. OQ = sin t en ON =0,5( + cos t). De oppervlakte van deze rechthoek noemen we V(t). I. II. Een rechthoek ATSR, waarbij S het midden van BR is. RS = 0,5sin t en RA = cos t. De oppervlakte van deze rechthoek noemen we W(t).
94 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 5. Bereken eact de waarde van t waarvoor geldt: V(t) = 3 W(t) 2 2 sin t ( cos t) 3 sin t ( cos t)
95 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 5. Bereken eact de waarde van t waarvoor geldt: V(t) = 3 W(t) 2 2 sin t ( cos t) 3 sin t ( cos t) cos t 33cos t
96 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 5. Bereken eact de waarde van t waarvoor geldt: V(t) = 3 W(t) cos t sin t ( cos t) 3 sin t ( cos t) cos t 3 3cos t dus t
97 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 5. Bereken eact de waarde van t waarvoor geldt: V(t) = 3 W(t) t sin t ( cos t) 3 sin t ( cos t) cos t 33cos cos t ds u t π 3
98 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) ON RS Vraag 6. Te bewijzen: dus te bewijzen: OQ RA
99 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 6. Te bewijzen: 2 2 ON RS ( cos ) sin dus te bewijze: n t t OQ RA sin t cos t
100 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 6. Te bewijzen: t 2 2 ON RS ( cos ) sin t dus te bewijzen: OQ RA sin t cost ( cos t)( cos t) sin t 2
101 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 6. Te bewijzen: t 2 2 ON RS ( cos ) sin t dus te bewijzen: OQ RA sin t cost En hier staat de stelling van Pythagoras in de eenheidscirkel: ( cos t)( cos t) sin t cos t sin t 2 2 sin ( t) cos ( t)
102 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 7. Voor een bepaalde waarde van t zijn beide rechthoeken een vierkant. Dan geldt: ON RA OQ RS Bereken van beide vierkanten eact de zijde voor deze waarde van t.
103 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 7. ON RA OQ RS dus: 2 ( cos t) cos t sin t sin t 2 geeft
104 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 7. ON RA OQ RS dus: 2 ( cos t) cos t sin t sin t 2 geeft cos t 4( cos t)
105 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 7. ON RA OQ RS dus: 2 ( cos t) cos t geeft cos t 4( cos t) sin t sint cos t 3 dus cost en ONPQ heeft zijde:
106 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 7. ON RA OQ RS dus: 2 ( cos t) cos t geeft cos t 4( cos t) sin t sint cos t 3 dus cos t en ONPQ heeft zijde: ( cos t) ( )
107 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 7. ON RA OQ RS dus: 2 ( cos t) cos t geeft cos t 4( cos t) sin t sint cos t 3 dus cos t en ONPQ heeft zijde: ( cos t) ( ) ATSR heeft zijde:
108 200-II Kwartcirkel (goniometrie) y y Q B P Q B sin t sin t S T V(t) 0,5sin t W(t) O t cos t R 0,5(+cos t) N A(,0) O t R -cos t A(,0) Vraag 7. ON RA OQ RS dus: 2 ( cos t) cos t geeft cos t 4( cos t) sin t sint cos t 3 dus cos t en ONPQ heeft zijde: ( cos t) ( ) ATSR heeft zijde: cos t
2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:
0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - II
Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo II
Beoordeligsmodel Sijde met ee hoogtelij maximumscore 4 BRC PRQ ; overstaade hoeke PRQ 90 QPR ; hoekesom driehoek Boog AC is costat, dus APC is costat; costate hoek QPR ( APC) is costat, dus BRC is costat
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-II
Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatiewiskunde B vwo 2015-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatiewiskunde B bezem vwo 2018-I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2013-I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieTentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatiewiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieLijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieVerwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieExamen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 08 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 5 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-I
wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 1330-1630 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 16 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen Voor elk
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VW 08 tijdvak maandag 4 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot II
Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosu sintsinu cos( tu) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t11 sin t www - 1 - Een regenton
Nadere informatiewiskunde B vwo 2018-I
Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( t) sin( t)cos( t) cos(
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatiewiskunde B bezem vwo 2018-II
wiskunde bezem vwo 08-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieVlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I
Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2015-I
Hangar Door constructies in de vorm van een bergparabool te gebruiken, kunnen grote gebouwen zonder inwendige steunpilaren gebouwd worden. Deze manier van bouwen werd begin vorige eeuw veel gebruikt voor
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 13 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen
Nadere informatieSamenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)
Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur
Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen; het eamen bestaat uit 4 vragen.
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2016 tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 unten te behalen. Voor
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I
en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =
Nadere informatieBal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.
Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede
Nadere informatieLaat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden
Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I
Sauna Om 5. uur wordt het verwarmingselement van een sauna aangezet. Vanaf dat moment,9t wordt de sauna opgewarmd. Dan geldt: St ( ) 8 e. Hierin is S de temperatuur in de sauna in graden Celsius en t de
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2008-II
Eindeamen wiskunde B- vwo 008-II Een zwaartepunt Van een cirkelschijf met middelpunt (0, 0) en straal is het kwart getekend dat in het eerste kwadrant ligt. De cirkelboog is de grafiek van de functie f
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2008-II
Eindeamen wiskunde B- vwo 8-II Een zwaartepunt Van een cirkelschijf met middelpunt (, ) en straal is het kwart getekend dat in het eerste kwadrant ligt. De cirkelboog is de grafiek van de functie f die
Nadere informatieOefenexamen 2 H1 t/m H13.2 uitwerkingen. A. Smit BSc
Oefenexamen H t/m H3. uitwerkingen A. Smit BSc Een bewegend vierkant (naar methode Getal en Ruimte) De baan van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: ቐ x P t = sin t y P t
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-II
Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 23 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eame VWO 200 tijdvak 2 woesdag 23 jui 3.30-6.30 uur wiskude B Bij dit eame hoort ee uitwerkbijlage. Dit eame bestaat uit 7 vrage. Voor dit eame zij maimaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer staat
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 3 juni 3.30 6.30 uur 0 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen.
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieExtra oefeningen: de cirkel
Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM
Nadere informatieEen symmetrische gebroken functie
Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieDe vergelijking van Antoine
De vergelijking van Antoine Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De
Nadere informatieFormulekaart VWO wiskunde B1 en B2
Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B Profi
Wiskunde B Profi Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak Woensdag 1 juni 13.30 16.30 uur 0 00 Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur
Eamen HAV 019 tijdvak woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed
Nadere informatie15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))
5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I
Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-I
Uit de kust Een kustlijn bestaat uit drie rechte stukken AB, BC en CD, die hoeken van 90 met elkaar maken. De lengte van elk recht stuk is 4 kilometer. Zie figuur. In de figuur zijn twee stippellijnen
Nadere informatieHoofdstuk 8 : De Cirkel
- 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - II
Eidexame wiskude B vwo 200 - II Formules Vlakke meetkude Verwijzige aar defiities e stellige die bij ee bewijs moge worde gebruikt zoder adere toelichtig. Hoeke, lije e afstade: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2016-I
De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2 C liggen op c. Punt Q is het midden van
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Vrijdag 4 mei 3.30 6.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II
ier tappen ij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een
Nadere informatie2012 I Onafhankelijk van a
0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I
Eindexamen wiskunde B- vwo 006-I Beoordelingsmodel Sauna 0,9 00 80 e t 00 beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden de oplossing t,07 het tijdstip 7:0 uur 0,9t S () t 80 0,9 e S () 9, 06 het
Nadere informatieBETALES. Wiskunde B. Examenoefeningen VWO. A. Smit BSc 3/14/2017
BETALES Wiskunde B Examenoefeningen VWO A. Smit BSc 3/14/2017 Examenopdrachten op basis van oude examens van www.examenblad.nl. Ieder examen in deze bundel moet in 3h gemaakt kunnen worden, gelijk aan
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatieHoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden
Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 007 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde 1, ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieExamen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)
Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen
Nadere informatieP is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur
Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten
Nadere informatieOpgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.
3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-I
wiskunde B pilot vwo 07-I Rakende grafieken? maimumscore Er moet gelden f( ) g ( ) en f' ( ) g' ( ) f' ( ) en g' ( ) e Uit f' ( ) g' ( ) volgt e ( e voldoet niet) f ( e ) en ( e ) ( f ( e) g( e) en f '
Nadere informatie8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.
Nadere informatieEerste en derdegraadsfunctie
Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen HAV 2016 tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor
Nadere informatieEerste- en derdegraadsfunctie
Eerste- en derdegraadsfunctie e functies f en g zijn gegeven door f( x) ( x )( x ) en gx ( ) x. e grafieken van f en g snijden beide de y-as in het punt (0, ) en de x-as in het punt (, 0). e grafiek van
Nadere informatieLANDSEXAMEN VWO
LANDSEXAMEN VWO 2017-2018 Eamenprogramma WISKUNDE B (V.W.O.) ( nieuw eamenprogramma*) 1 Het eindeamen Het eindeamen bestaat uit het centraal eamen en het commissie-eamen. Het centraal eamen wordt afgenomen
Nadere informatie