UITWERKINGEN VOOR HET VWO

Transcriptie

1 UITWKINGN VOO HT VWO HOOFTUK IHOKN & VIHOKN Kern N IKL O N IHOK a) chets van om a) mll 0 (,5 3) mll 0 b) iddelpunt in 3 traal is 3 5 c) is het snijpunt van de middenloodlijnen van O en O Om de radius r te berekenen gebruik je de stelling van ythagoras a) b) y c) e lengte van de koorde door 0 en 0 3 gaat door het middelpunt lengte traal r 0 chets bij om ) werd gemaakt onder LinuX met LTX en L Y X Typ&andere fouten&blunders graag elden!

2 3a&b) ythagoras plaatje bij om 3) 3 ) Gegeven: te ewijzen: ewijs: traal van de irkel is iddelpunt van de irkel 5a) Gegeven: Zie laatje 8 5! " 5 3 5b) te ewijzen: 90 ewijs: o 90 o 90 o! #$ vlgs hh 5c) plaatje van som 5) ''&& 3 5 O % 6, plaatje bij om 6) 30 o 0 lijn l lijn m 6a) Zie chets 6b) sin30 o 6c) sin5 o sin30 o 5 0! 0 sin5 o 0 5,- us 5 ()+ us li jn l ligt 5 van a f li jn m ligt 5 van a f li jn l ligt 0 5 van a f li jn m ligt 0 5 van a f

3 8 9 7a) Vanwege de symmetrie ligt het raakpunt T op de diagonaal. T T! 7b) W Z is een half vierkant met Z W ZW chuinezi jde / ZW W Z 0 ZW c) UT T UT is een half vierkant met UT T ( T U 5 o UT 5 o UV UT T UV 0 UV 8 8 plaatje bij om 7) V Z plaatje bij om 8) T W m l U k 8a/b) Zie laatje 8c) Het is vermoeden is gerechtvaardigd dat de middelloodlijnen door een enkel punt gaan. aar met deze schets is dat nog niet bewezen...denk aan de dikte van een potloodlijn... 9a) l bevat alle punten die evenver van als van ligt. 9b) ligt op k ligt op l! 9c) Neem een willekeurig punt op m m is middelloodli jn van! 9d) Gegeven: met middelloodlijnen k% l en m te ewijzen: k% l en m snijden elkaar in één punt. ewijs: Laat het snijpunt zijn van k en l an Geldt op k 67 onclusie op l! k% l en m gaan allemaal door 5 ligt op middelloodli jn m 0a&b)Zie schetsje 0c) e middelloodlijnen snijden elkaar in het midden van V T Gegeven: k en l snijden elkaar in te ewijzen: ligt in het midden van V T ewijs: N is een echthoek/ N T N Verder Geldt : V V 9 V zhz VT V VT ligt op TV en wel in het midden. 6 3 plaatje bij som 0 a&b) V lijn l lijn k N T 3

4 (: N 3 3 0d) ythagoras N a) lke echthoek b) lk parallellogram zonder rechte hoeken is een goed voorbeeld ) / Opgave 9) 3a) Gegeven: te ewijzen: ewijs: Teken door de lijn k Lijn k snijdt in N N Hieruit volgt: N,) us 3b) 8 3 5! < Geval = hh want is gemeenschappelijk en N is het idden van en daarom is k de middenloodlijn van N 6/6 e traal is r 7 8 plaatje bij som 3) plaatje van om ) N ) ls de driehoek een tompe hoek bevat, lig met middelpunt van de omschreven cirkel buiten deze driehoek. 5) middelloodlijn k van gaat door is het nijpunt van k en de middelloodlijn l van 60 o (halve tophoek in gelijkbenige ) is gelijkzijdig 8 e straal van de Omschreven riehoek is 8 60 o < Hoekensom riehoek

5 6a) 6 chets bij om 6) Teken iddelloodlijn van 5 r=8 r=5 Teken vanuit een cirkel met straal r 5 Het snijpunt van mll en irkel is Teken cirkel met iddelpunt en r 5 Teken cirkel met iddelpunt en r 8 8 > l k 6 5 r=5 nijpunten zijn de twee plaatsen en b) ls 90 o 0 (telling van ythagoras) Te bewijzen: 90 o ewijs: Teken door middelloodlijnen k van en l van. is het snijpunt van k met en is het snijpunt van l met? (t. van yth) en 3 (t. van yth.) (congruentiegevalzzz (Z-hoeken) 90 o (hoekensom driehoek ) conclusie: 90 o. 5

6 7a) % 6 KN HOOGTLIJNN 8) chetsen bij om 8) 7b) N N % 8 3 3,5,5 3,5 chets bij om 7) ~,6 U 3,5 3 en zijn ook hoogtelijnen!!! 6 N~,8 3 T N 9) Zie schets te ewijzen: ewijs: 90 o 90 o om vande hoeken van Overstaande Hoeken om van de hoeken van plaatje bij om 9) plaatje bij om 0) 0a) (hoogtelijn) ligt op middenloodlijn van aarom moet de middenloodlijn zijn van Op dezelfde manier is te bewijzen dat de middenloodlijn is van en dat de middenloodlijn is van 0b) Omdat deze middenloodlijnen elkaar in één punt snijden, en de drie hoogtelijnen in dit geval samenvallen met deze drie middenloodlijnen, snijden dus in dit geval de drie hoogtelijnen elkaar ook in één punt. 6

7 a) is een parallellogram, want volgens de constructie geldt b) is een parallellogram, in elke parallellogram zi jn de overstaande Zi jden evenlang!!! want volgens de constructie geldt c)! d) F is het midden van F F is middelloodli jn e) Op gelijkewijze valt te bewijzen dat het midden is van en dat, verder valt te bewijzen dat het midden is van en dat... aarom is de middenlloodlijn van en de middenlloodlijn van. f) e hoogtelijnen in snijden elkaar in één punt, omdat ze samenvallen met de middenlloodlijnen van en die snijden elkaar in één punt. chets bij om ) chetsje bij om ) F F is is een us F is middelloodlijn is is een us is middelloodlijn van Zelfde verhaal voor en de drie middelloodlijnen gaan door één punt, dan gaan de hoogtelijnen ook door één punt. 7

8 3) 90 o 90 o! 90 o 3 90 o! 90 o 5 90 o! Overstaande Hoeken, us F chets bij om 3) V chets bij om ) Gegeven : en zie figuur Te bewijzen: a t/m e) ) ) is Geli jkbenig deelt iddendoor 90 o 3) Geli jkbenig GG en V H V ) de 3 hoeken van V en V T zi jn geli jk! V! V V 8

9 F f) Gegeven:Zie schets V chets bij om f) te ewijzen: ewijs:i < I 90 o 90 o Zie aj tk m ej Geli jkbenige riehoek Overstaande Hoeken V V V! V V V 9

10 KN 3 LLIJNN IN N IHOK 5) chets bij om 5) + + # # 80o Gestrekte Hoek binnen en buitenste deellijnen bij staan loodrecht op elkaar. Op analoge wijze is de stelling te bewijzen voor de hoekpunten en F hoek 6) L 90 o 3 80 o 80 3 o 80 o 80 o 5 / is geli jkbenig 7b) < Volgens Kenmerk hh 6 is gemeenschappelijk FN Hoek < O 7c) Vergrotingsfactor 9 9 7d) = en 7N chets bij om 7a) plaatje bij om 8a) lijn m 3 lijn n 5 7 8a) Gegeven: ligt op de deellijn van te ewijzen: ewijs: zie ook plaatje 8a) Teken de loodlijnen vanuit op l en m 0

11 Volgens HHZ 90 o α geldt Waaruit volgt: 8b) Gegeven: te ewijzen: ligt op deellijn van ewijs: zie ook plaatje Volgens ZZ geldt (, ligt op de deellijn van plaatje bij om 8b) chets bij om 9) k l 9) te ewijzen: e innendeelli jnen van een riehoek sni jden elkaar in één unt ewijs: ligt op de deellijn van d d I Uit I eni volgt:d d d /, us de deellijnen van % en gaan door één unt 30) Gegeven: eellijn van is k eellijn van uitenhoek is l l k Zie ook plaatje te ewijzen: eellijn van uitenhoek van gaat door ewijs: d d % k is deelli jn van d d l is deelli jn van buitenhoek van! ligt op de deellijn van de buitenhoek chets bij om 30) ligt op de deellijn d % d % d % Zie plaatje: ligt op de deellijn van d d,i d : afstand/distantie en k l

12 3) e loodlijnstukken zijn de afstanden van punt I naar de drie zijden: I op k I IF I op l I I! I I IF plaatje van om 3 plaatje van som 33a) 33a) zie plaatje 33b) Gegeven: F te ewijzen: Vierhoek heeft een ingeschreven cirkel ewijs: geval ZHZ $= hoogtelijnstukken uit zijn allemaal even lang Vierhoek heeft een ingeschreven cirkel 33c) Neen, alleen als

13 KN VLHOKN 3a) Geli jkzi jdige riehoek : lle Hoeken zi jn 60 o gelijkbenige riehoek: 80 o N 0 o 70 o lle hoeken samen:0 o 60 o 30 o 360 o 3b) e gespiegelde hoek is ook 0 o e gespiegelde hoek is ook 70 o at geldt ook voor amen zijn de hoeken: 0 o 0 o 300 o 70 o 60 o 0 o 0 o 360 o plaatje van som 3) o plaatje bij om 35) 0 60 o o 70 60o o 70 o 60 36) e som van de hoeken : 80 o 80 o 80 o,, e om van de hoeken chetsen van om 36) 80 o 80 o 80 o 3 80 o 50 o,) e om van de hoeken 3 80 o 50 o 3

14 37) F Gegeven: T telling: e overstaande Zijden van zijn venwijdig F ewijs: Zijn naloog bewijs < Volgens 6U ZHZ < G Overstaande Hoeken / plaatje bij om 37) plaatje bij om 38a) 38a) Gegeven: is een parallelllogramv Overstaande zijden zijn venwijdig te ewijzen: arallellogram : de iagonal e delen elkaar oormidden Z Z en hoek! V lgs ZHZ en ZN hoeken,, en onclusie: de diagonalen snijden elkaar middendoor 38b) < ZN hoeken 39) Gegeven: is een parallellogram de diagonalen delen elkaar middendoor te ewijzen: arallellogram : Overstaande Zi jden zi jn venwi jdig ewijs: Zie opgave plaatje bij om 39) plaatje bij om 0b)

15 0a) te ewijzen :twee overstaande zijden zijn gelijk en evenwijdig eide paren overstaande zijden zijn evenwijdig (us uit (3) volgt () ) te bewijzen : eide paren overstaande zijden zijn evenwijdig twee overstaande zijden zijn gelijk en evenwijdig. (us uit () volgt (3) ) 0b) te ewijzen: 0d) Z te Z hoeken ewijs: Geval ZHZ plaatje bij om 0d) ) We hebben bewezen dat: quivalent is met / Opgave 38% 39 3 quivalent is met / Opgave 0! L Hieruit Volgt dat quivalent is met 3 ) ls je van een vierhoek weet dat bijvoorbeeld de diagonalen elkaar middendoor snijden, is dit een kenmerk van en arallellogram en mag je Zonder ewijs gebruik maken van alle bekende eigenschappen van een arallelllogram. amengevat zijn alle kenmerken van een arallellogram: Overstaande zijden zijn venwijdig Overstaande zijden zijn venlang iagonalen snijden elkaar middendoor 5

16 3a) Gegeven: arallellogram heeft één rechte hoek te ewijzen: andere hoeken zijn ook recht ewijs: Overstaande zijden zijn evenwijdig 90! o =W$ hoekensom riehoek 80 o 80 o XWX hoekensom Vierhoek 360 Y o 360 N o 80 o 80 J o 80 o 90 o en 90 o plaatje bij om 3a) plaatje bij om 3b) 3b) Gegeven: 90 o te ewijzen: is een parallellogram ewijs: 90 o 90 < o Gestrekte G ZN Hoek < FN Hoek < a) () en () zijn quivalent, want een vierhoek met vier rechte hoeken (90 o ) is een parallellogram met een rechte hoek (zie opgave 3b) en in een parallellogram met één rechte hoek zijn alle hoeken recht (zie opgave 3a) b) Uit () volgt (3), want een vierhoek met vier rechte hoeken is een parallelllogram en ZHZ Uit (3) volgt (), want is een parallellogram Z en Omdat en < ZZZ Hoekensom Vierkant 360o [[ plaatje bij om 5a) H F G 90 o plaatje bij om 5b) \]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\ ^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^]^ H F G 5a) zie ook plaatje 6

17 F is een parallellogram Gegeven: is het idden van F is het midden van te bewijzen: HFG is een parallellogram ewijs: Volgens ZHZ F _ 6 _ en en F Omdat: F ZN Hoek < # en dus uit: F F =[ Volgt F Geval ZHZ 67 F Omdat: ZN Hoek F < # en dus uit: F F =[ Volgt F F geli jkefn Hoeken ` venwi jdige li jnen W] geli jkefn Hoeken ` venwi jdige li jnen onclusie:fgh is een parallellogram (overstaande zijden evenwijdig) Gegeven: zie ook plaatje te ewijzen: HG ewijs: F en F zijn parallellogrammen F is dus een vergroting van H met Factor is dus een vergroting van G met Factor is gemeenschappeli jk 5c) FH H geldt alleen als de diagonalen F en gelijk zijn it is het geval als 90 o FG G H H en G G < zhz HG 6) Gegevens volgens de figuur. a) Te bewijzen: FGH is een parallellogram ewijs: Omdat alle hoeken recht zijn, is een parallellogram. Het bewijs is verder letterlijk hetzelfde als bij opgave 5a) b) ewijs: F (geval ZHZ) F en F dus H H. In parallellogram F snijden de diagonalen elkaar middendoor, dwz FH H en H H Omdat H H geldt dus H FH. Omdat in een parallellogram overstaande zijden gelijk zijn, geldt dus dat alle zijden in parallellogram FGH gelijk zijn. c) FGH is een vierkant als H 90 o. at is het geval als in de gelijkbenige driehoek H de basishoeken 5 o zijn, en dat is het geval als F en half vierkant is. FGH is dus een vierkant als? 7a) neen 7b) ja chets bij om 7) om 8) iagonalen sni jden elkaar middendoor a H is gelijkbenig, 30 o 7

18 9) Zie ook schetsje te ewijzen: plaatje bij om 9) () is equivalent met (): () We hebben een parallellogram met vier gelijke zijden een parallellogram waarvan een diagonaal een hoek middendoor deelt. ewijs: is geli jkbenig Z hoek! deelt middendoor! arallellogram waarvan de diagonaal een hoek middendoor deelt parallellogram met vier gelijke zijden ewijs: Z hoeken gegeven is gelijkbenig Omdat overstaande zijdenvan een parallellogram gelijk zijn volgt nu dat alle vier zijden gelijk zijn. conclusie: () is equivalent met () te ewijzen: () is equivalent met (3) 3 parallellogram met vier gelijke zijden ewijs: volgens geval ZHZ 90 o gemeenschappeli jk hierboven reeds ewezen onclusie: snijdt loodrecht 3 parallellogram met loodrecht snijdende diagonalen ewijs: parallellogram met loodrechte snijdende diagonalen Want in elke parallellogram sni jdende diagonalen elkaar middendoor is de middenloodlijn van parallellogram met vier gelijke zijden volgens ZHZ bc gemeenschappeli jkd d hoeken bi j zi jn echt Omdat overstaande zijden van een parallellogram gelijk zijn, volgt nu dat alle vier zijden gelijk zijn. onclusie: () is equivalent met (3) te bewijzen: () is equivalent met (). () () parallellogram met vier gelijke zijden ewijs : triviaal. vierhoek met vier gelijke zijden. 8

19 () () vierhoek met vier gelijke zijden parallellogram met vier gelijke zijden. ewijs: volgens geval Z-hoeken gelijk) Z-hoeken gelijk). Hieruit volgt dat een parallellogram is. onclusie : () is equivalent met (). Hiermee is bewezen dat de vier definities onderling equivalent zijn, omdat (), (3) en () allemaal equivalent zijn aan (). 50) a) Waar volgens definitie () b) Niet waar. c) Waar. d) Waar. 5) plaatje bij om 5) H k]k l]l i]i j]j e]e f]fgg]gh Gegevens volgens de figuur. te bewijzen: FGH is een rechthoek. ewijs: G in G is recht, want 80 o 80 o 90 o F G 90 o (hoekensom driehoek) naloog is te bewijzen dat de hoeken bij % F en H recht zijn. Vierhoek FGH is dus een rechthoek. 80 o (G en G zijn deellijnen) 9

20 5) plaatje bij om 5) lijn l Te bewijzen: () () wz. voor elke op l geldt dat ewijs: volgens geval ZHZ ( % is gemeenschappelijk, de hoeken bij zijn recht) Te bewijzen: () () wz. als voor elke op l geldt dat % dan snijdt l loodrecht middendoor. ewijs: is het snijpunt van l met? an geldt % omdat op l ligt. erste conclusie: l snijdt middendoor. is een willekeurig punt op l. volgens geval ZZZ ( % en is gemeenschappelijk) Hieruit volgt dat. aar 80 o (gestrekte hoek) 90 o Tweede conclusie: l snijdt loodrecht 0

21 plaatje bij om 53a) lijn l plaatje bij om 53b) lijn k lijn l lijn k 53a) efinities deellijn: () en deellijn van een hoek deelt de hoek in twee gelijke hoeken. () en deellijn van een hoek bevat punten die even ver liggen van de twee benen van de hoek. Te bewijzen: () () ewijs: Laat een willekeurig punt op de deellijn van zijn. Teken k en l. volgens geval HHZ ( en is gemeenschappelijk) % % dwz. ligt even ver van de twee benen. Te bewijzen: () ewijs: Laat een punt zijn dat even ver ligt van de benen k en l van % dwz. en de hoeken bij en zijn recht. Teken lijn? volgens geval ZZ ( % gemeenschappelijk, hoeken bij en zijn recht) ligt op de deellijn van. b) efinities van een gelijkkbenige driehoek. en driehoek is gelijkbenig als () Twee zijden gelijk zijn () Twee hoeken gelijk zijn (3) een hoekpunt ligt op de middelloodlijn van de overstaande zijde () () want als dan geldt: volgens geval ZHZ Hieruit volgt dat () () want als dan geldt: volgens geval HZH () 3) want als dan ligt per definitie op de middelloodlijn van (3) () want als op de middelloodlijn van ligt dan geldt per definitie dat

22 HHLING plaatje bij om 5a) plaatje van om ) plaatje bij om b) N lij o i 7 F plaatje bij om 5c) plaatje bij om 6) 3 5 N N N d lijn l

23 plaatje bij om Ha) OOWKING plaatje bij om H) plaatje bij om H3) plaatje bij om H5) plaatje bij om H) 70 o plaatje bij om H6) T lijn m plaatje bij om H7) V lijn l x x 3

24 plaatje bij om H8) 3 V T U plaatje bij om H9) plaatje bij om Ha) nm opqr ts vu G H F plaatje bij om H) plaatje bij om H)