Hoofdstuk 5 : De driehoek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 5 : De driehoek"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 5 : De driehoek Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als we deze driehoeken op elkaar passen dan stellen we vast dat : hoekpunt M... met hoekpunt A. Daarom noemen we M en A overeenkomstige hoekpunten. Ook... en... zijn overeenkomstige hoekpunten. Ook... en... zijn overeenkomstige hoekpunten. Overeenkomstige hoekpunten bepalen overeenkomstige hoeken en overeenkomstige zijden. Vermits de driehoek ABC en de driehoek MNP elkaar volkomen kunnen bedekken, zijn de overeenkomstige zijden... en de overeenkomstige hoeken...

2 - 90 Dus: A ˆ =... en AB =... B ˆ =... en BC =... C ˆ =... en AC =... Opgave: Welke driehoek is congruent met ABC?. Merk op: Dit geldt uiteraard voor alle andere veelhoeken. Bij congruente veelhoeken zijn de overeenkomstige zijden... en de overeenkomstige hoeken... Opgave: Welke rechthoek is congruent met de rechthoek ABCD. Welk parallellogram is congruent met het parallellogram ABCD.

3 Congruente driehoeken: Om na te gaan of twee driehoeken congruent zijn, moet je eigenlijk telkens zes grootheden controleren. We onderzoeken of het niet kan volstaan aan te tonen dat drie grootheden van twee driehoeken gelijk zijn om te besluiten dat beide driehoeken zouden congruent zijn. Er zijn zes mogelijkheden:

4 4. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) Besluit: Enkel bij voorbeeld...,... en... zijn de driehoeken congreuent Uit de voorbeelden blijkt dat het niet om het even welke drie voorwaarden volstaan om zeker te zijn dat de driehoeken congruent zijn. Elke drie voorwaarden die wel voldoende zijn om te mogen besluiten dat twee driehoeken congruent zijn, vormen een congruentiekenmerk.

5 Congruentiekenmerken van een driehoek Eerste congruentiekenmerk: ZZZ Als de drie zijden van een driehoek gelijk zijn aan de drie zijden van een andere driehoek, dan zijn die twee driehoeken congruent. Voor ABC en A B C geldt: AB BC AC = = = A' B' B' C' A' C' ABC A' B' C' Tweede congruentiekenmerk : ZHZ Als twee driehoeken twee zijden en de ingesloten hoek gelijk hebben, dan zijn ze congruent. Voor ABC en A B C geldt: AB = A' B' ) ) B = B ' AC = A' C' ABC A' B' C'

6 - 94 Derde congruentiekenmerk : HZH Als twee driehoeken één zijde en de aanliggende hoeken gelijk hebben, dan zijn ze congruent. Voor ABC en A B C geldt: ) A = A' AB = A' B' ) ) B = B' ABC A' B' C' Gevolg: congruentiekenmerk 4 Twee driehoeken zijn congruent als paargewijs één zijde even lang is en één aanliggende hoek en de overstaande hoek even groot zijn. Voor ABC en A B C geldt: ) A = A' AB = A' B' ) ) C = C' ABC A' B' C'

7 - 95 a. Bijzonder congruentiekenmerk voor een rechthoekige driehoek Rechthoekige driehoeken hebben een stapje voor: ze hebben allemaal minstens één hoek gelijk, namelijk de rechte hoek. Zo kan je afleiden dat een rechthoekige driehoek slechts aan twee voorwaarden moet voldoen om congruent te zijn. Als twee rechthoekige driehoeken de schuine zijde en één rechthoekszijde gelijk hebben dan zijn ze congruent. Voor ABC en A B C geldt: ABC is rechthoekig in A A' B' C' is rechthoekig in A' a = a' en b = b' ABC A' B' C' Bewijs : zie boek pag 119 Opgave : boek pag 120 nr. 1 Wegens welk congruentiekenmerk zijn volgende figuren congruent? a.

8 b. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) - 96 c. d. e.

9 - 97 Opgave zie boek pag 121 nr.2 : Waarom zijn de gekleurde driehoeken congruent? a. b. c. d.

10 e. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) - 98 Opgave : boek pag 122 nr.7 In een parallellogram ABCD trekken we de loodlijnen uit B en D op de overstaande zijden. De voetpunten noemen we E en F. Bewijs: ABE CDF

11 Opgave: boek pag 122 nr.8 : - 99 Voor een parallellogram ABCD construeren we: a. Het punt E zó dat A het midden is van [ BE ] b. Het punt F zó dat C het midden is van [ DF ] Bewijs : EAD FCB

12 - 100 Opgave: boek pag 122 nr. 9 In een ruit ABCD trekken we met A als middelpunt een cirkel die [ BC ] en [ ] in E en F. Bewijs: ABE ADF CD snijdt Samenvatting: Congruente figuren zijn figuren die Congruentiekenmerken voor driehoeken : Eerste congruentiekenmerk : ZZZ Tweede congruentiekenmerk : ZHZ Derde congruentiekenmerk : HZH Gevolg: 4 e congruentiekenmerk ZHH Congruentiekenmerk voor een rechthoekige driehoek de... zijde en één... moeten gelijk zijn.

13 Hoogtelijnen van een driehoek (boek pag 126) : De uit een hoekpunt op de zijde noemen we een hoogtelijn van die driehoek. Besluit: de rechte AD is een... het lijnstuk [ AD ] is het... de lengte AD is een... Eigenschap: De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in punt : het 5. Middelloodlijnen van een driehoek ( boek pag 127) Een middelloodlijn van een driehoek is een.. van die... Een driehoek heeft... middelloodlijnen.

14 - 102 Eigenschap: De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in punt. Dus: OA... OB... OC Bijgevolg is dit punt het middelpunt van een cirkel die door de drie... gaat: de Bissectrices (deellijn) van een driehoek ( boek pag 127) Een bissectrice (deellijn) van een driehoek is een bissectrice van een... van die driehoek. Een driehoek heeft... bissectrices. Eigenschap: De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in punt. Dit punt ligt op gelijke afstand van de dragers van de zijden. ID... IE... IF Bijgevolg is dit punt het middelpunt van een... die de drie zijden... : de...

15 Taak: Maak de volgende constructies ( zie ook CABRI) a. De drie hoogtelijnen: d. De drie hoogtelijnen b. De drie bissectrices en incirkel: e. De drie bissectrices en incirkel: c. De drie middelloodlijnen en de omcirkel: f. De drie middelloodlijnen en de omcirkel:

16 - 104 Opgave : boek pag 128 nr. 36 Een driehoek ABC heeft H als hoogtepunt. Bepaal de hoogtepunten van de driehoeken ABH,AHC en HBC Hoogtepunt ABH :... Hoogtepunt AHC :... Hoogtepunt HBC :... Wat merk je? Opgave: boek pag 128 nr. 38 Voor een driehoek ABC geldt: De drie bissectrices snijden elkaar in het punt I. Bereken BIC ˆ, CIA ˆ en AIˆ B ) ˆ o o o A = 80, B = 60 en C = 40 ˆ

17 7. Bissectricestelling ( boek pag 129) De rechte AD is een bissectrice van ABC. Meet de volgende lijnstukken in cm [ AB ],[ AC ],[ BD ] en [ DC ] AB AC BD DC =... =... =... =... BD Bereken : =... DC AB AC =... Besluit: BD DC... AB AC We noemen dit de bissectricestelling: Een bissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de overstaande zijde in stukken waarvan de lengten evenredig zijn met de lengten van de aanliggende zijden. of met symbolen: ABC x is bis sec trice van Aˆ D snijpunt van x en BC BD DC = AB AC

18 - 106 Bewijs: ( boek pag 129) Laat uit D een loodlijn neer op AB en noem het voetpunt E Laat uit D een loodlijn neer op AC en noem het voetpunt F We weten DE... DF Construeer het hoogtelijnstuk [ AG ] AG is de hoogte van ABC is ook de hoogte van is ook de hoogte van Opp ABD = Opp ABD = Opp ADC = Opp ADC = Opp ABD Opp ADC = Opp ABD Opp ADC = Besluit:

19 - 107 Opgave: boek pag 130 nr 42 De bissectrices door het hoekpunt A van ABC snijdt de zijde [ BC ] in een punt D. Gegeven is : Bereken : AB AC = 8 cm, BD = 4,5 cm, DC = 3cm Opgave: boek pag 130 nr. 44 Voor een ABC geldt: BC = 18 en AB = AC = 41 De bissectrice van Bˆ snijdt het hoogtelijnstuk [ AD ] in E. Bereken : AE, ED

20 7. Zwaartelijnen van een driehoek (boek pag 130) Een rechte die door het gaat en door het.. van de... zijde noemen we een... van die driehoek. Een zwaartelijn is dus een... Het lijnstuk begrensd door het hoekpunt en het midden van de overstaande zijde noemen we het... Een driehoek heeft... zwaartelijnen. Besluit: de rechte AM is een... het lijnstuk [ AM ] is... Eigenschap: De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in punt : het 8. Merkwaardige rechten van een gelijkbenige driehoek (boek pag 131) De symmetrieas van een gelijkbenige driehoek is tevens.van de basis en.,... en... door de top.

21 - 109 Eigenschap: Construeer de zwaartelijnstukken : [ AM ], [ BN ] en[ CP ] Geef het zwaartepunt de naam z. Meet nu en noteer de lengte van volgende lijnstukken: AZ =... en ZM =... BZ CZ =... en ZN =... =... en ZP =... Welke verhouding kan je vinden tussen de eerste meting en de tweede meting AZ en ZM :... BZ en ZN :... CZ en ZP :... Besluit: Het zwaartepunt verdeelt elk zwaartelijnstuk in twee lijnstukken waarvan het ene dubbel zo lang is als het andere.

22 - 110 Voor nevenstaande figuur wil dit zeggen : AZ =... BZ =... CZ =... ZM ZN ZP Stelling met symbolen: [ BN ] [ CP ] ABC met zwaartelijnstukken, Z snijpunt BN en CP M snijpunt van AZ en BZ AZ AZ BZ zwaartelijn = 2 ZM = 2 ZN van ABC, CZ = 2 ZP Bewijs: We verlengen [ AZ ] met een leven lang lijnstuk : [ ZD ] In de ADC is [ ZN ] een... Dus DC... ZN en DB =... ZN (1) Dus geldt ook : DC... BZ (2) In de ABD is [ ZP ] een... Dus BD... PZ en DB =... PZ (3) Dus geldt ook : BD... CZ (4) Uit (2) en (4) volgt: BZCD is een... Dus En CD... BZ (5) BD... CZ (6) In een delen de. elkaar middendoor. BM... MC (7) en ZM... MD (8) Uit (7) volgt: AZ is een van de ABC Uit (8) volgt: ZD = 2 ZM maar : ZD = AZ (volgens constructie) AZ = 2 ZM Analoog: uit (1) en (5) => BZ... 2 ZN en uit (4) en (6) => CZ... 2 ZP

23 Opgave: boek pag 135 nr. 65 Een ABC heeft zwaartelijnstukken [ AM ],[ BN ],[ CP ] met : AM = 9 cm BN = 12 cm CP = 15 cm Hoe ver ligt het zwaartepunt van A, B en C? Opgave: boek pag 136 nr. 67 Verleng de diagonaal [ DB ] van een parallellogram ABCD met een even lang lijnstuk [ BE ]. Wat is het punt B voor ACE? Bewijs je vermoeden.

24 Zwaartelijnstuk in een rechthoekige driehoek (boek pag 136): Meet de lengten van de volgende lijnstukken : AM =... (zwaartelijnstuk) BC =... Welke verhouding kan je vinden? Besluit: AM =... BC De lengte van een zwaartelijnstuk naar de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is de helft van de lengte van die schuine zijde.

25 Stelling met symbolen: ABC met Aˆ = 90 M is het midden van Bewijs: (zie boek pag 137) o [ BC ] AM = 1 2 BC We verlengen [ AM ] met een even lang lijnstuk [ MD ] Dan is ABCD een parallellogram omdat... We kunnen zelfs zeggen dat ABCD een rechthoek is omdat... In een rechthoek zijn de... even lang Dus: AD... BC Gevolg: Voor het punt M geldt : We delen beide leden door 2: 1 1 AD... BC 2 2 maar volgens constructie geldt: AD dus : AM = 1 2 MA... MB... BC MC = 2 AM Maw: Het midden van een schuine zijde van een rechthoekige driehoek het middelpunt is van de omcirkel van die driehoek.

26 - 114 Opgave: boek pag 137 nr. 74 Voor een ABC verbinden we het midden M van [ AB ] met de voetpunten D en E van de hoogtelijnen uit A en B. Bewijs : MD = ME Opgave: boek pag 137 nr. 75 In de vierhoek ABCD zijn de hoeken  en Ĉ recht. Bewijs dat het midden M van de diagonaal [ BD ] even ver van A en C ligt. Bewijs dat er een cirkel door de vier punten A, B, C, D gaat.

27 Opgave: boek pag 137 nr. 76 Een driehoek ABC is rechthoekig in A. We geven a=20 en b = 16. Bereken de maatgetallen van de lengten van de drie zwaartelijnstukken Opgave : boek pag 138 nr. 77 In een rechthoekige driehoek met een scherpe hoek van 60 o verdeelt de zwaartelijn naar de schuine zijde de driehoek in twee driehoeken waarvan de ene gelijkzijdig en de andere gelijkbenig is. Bewijs dit

28 Bewijs aan de hand van de vorige tekening nu ook dat de sin 30 o =

29 Samenvatting: Soorten lijnen in een driehoek Een hoogtelijn van een driehoek is de.. uit een hoekpunt van de driehoek op de... zijde. De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in punt : het... Een middelloodlijn van een driehoek is een.. van die... De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in Een bissectrice (deellijn) van een driehoek is een bissectrice van een... van die driehoek De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in punt. Een zwaartelijn is een rechte die door een gaat en door het.. van de... zijde van die driehoek. De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in punt : het...

30 - 118 Samenvatting: Eigenschappen van de lijnen in een driehoek Bissectricestelling : Een bissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de... zijde in stukken waarvan de lengten... zijn met de lengten van... zijden. ABC x is bis sec trice van Aˆ D snijpunt van x en BC BD DC = AB AC Stelling van het zwaartelijnstuk: Het zwaartepunt verdeelt elk... in twee... waarvan het ene...zo lang is als het andere [ BN ] [ CP ] ABC met zwaartelijnstukken, Z snijpunt BN en CP M snijpunt van AZ en BZ AZ AZ BZ zwaartelijn = 2 ZM = 2 ZN van ABC, CZ = 2 ZP Zwaartelijnstuk in een rechthoekige driehoek De... van een zwaartelijnstuk naar de... zijde van een rechthoekige driehoek is de... van de lengte van die schuine zijde. ABC met Aˆ = 90 M is het midden van o [ BC ] AM = 1 2 BC

31 - 119 Opgave: boek pag 132 nr. 52 In een parallellogram ABCD trekken we een rechte door A en het midden M van [ BC ]. Deze rechte snijdt de diagonaal [ BD ] in een punt E. Welk bijzonder punt is is E voor de ABC? Bewijs je vermoeden Opgave: boek pag 132 nr. 53 De ruiten ABCD, ADEF, AFGB hebben alle A als hoekpunt en elke twee ruiten hebben een zijde gemeenschappelijk. a) Welk bijzonder punt is A voor BDF?... Bewijs je vermoeden. b) Welk bijzonder punt is A voor CEG?... Bewijs je vermoeden

32 - 120

33 Opgave: boek pag 133 nr Deel a: Een piramide TABCD heeft een rechthoek ABCD als grondvlak en gelijkbenige driehoeken als opstaande zijvlakken. We noemen S het snijpunt van de diagonalen van het grondvlak. Bewijs dat TS loodrecht staat op SA, SB, SC,SD. GEG : TABCD : priamide ABCDٱ is een rechthoek TAD TDC gelijkbenig TBC TAB S snijpunt van de diagonalen van het grondvlak Bewijs TB : TS SA, TS SA TS SA, TS SA 1 TAD is... =>... (1) TDC is...=>...(2) Uit (1) en (2) volgt :... Dus : TS snijdt [AC] in het midden S dus is TS de... (3) TAC is... (4) Uit (3) en (4) volgt dat TS ook de... is van de TAC dus TS... AC => TS... SA en TS...SC Analoog bewijzen voor TS SB en TS SD

34 deel b: Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) De piramide van Cheops is een dergelijke piramide Met als grondvlak een vierkant ABCD met zijden van 236 m. De top T ligt precies 137 m boven het symmetriemiddelpunt S van het vierkant ABCD. We noemen M het midden van [ CD ]. Sonja beklimt de piramide langs [ AT ], Ingrid langs [ MT ]. a) Bereken voor ieder de af te leggen afstand. b) Bereken de hoekgrootten α en β. GEG : TABCD : priamide ABCDٱ is een vierkant AB = 216 m TS = 137 m M is het midden van [DC] Gevr: : TA =? TM =? α =? β.=? a. De lengte van de zijde die Sonja beklimt : TA en de hoek α Bepalen van de lengte van AS In het grondvlak ABCD is ACD is een rechthoekige driehoek dus :

35 - 123 Bepalen van de lengte van AT Bepalen van de hoek α b. De lengte van de zijde die Ingrid beklimt : TM en de hoek β Bepalen van de lengte van SM [ SM ] is... van ACD dus : Bepalen van de lengte van TM Bepalen van de hoek β

36 opgave: boek pag 133 nr. 63 Voor een balk ABCDA B C D geldt: AD DC DD' = = 5 5 cm cm = 10 cm In het zijvlak AA D D trekken we door D een rechte die een hoek 60 o maakt met AD en AA in een punt M snijdt. Zo trekken we ook in het zijvlak DD C C door D een rechte die de hoek van 60 o maakt met DC en CC snijdt in een punt N.. Bereken de oppervlakte van DMN. AMD. CND Want A ˆ =... AD =... A DM ˆ =... Dus : AM =... In de AA CC vinden we AM. CN en AM = Dus mogen we zeggen dat: AMCN is een... Dus MN =......

37 - 125 cos Dˆ... = MD... =... =... =... =... Uit AMD. CND volgt : MD =... =... cm Dus DMN is een driehoek In DMN nemen we het midden van de basis [ MN ]. Dan geldt DP... MN In DMN geldt: DP =... =... Opp DMN = =. =. =.

38 - 126

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is

Nadere informatie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33)

Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) - 1- Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) Hoekeenheden (boek pag 1) Hoofdeenheid om hoeken te meten is de grootte van de rechte hoek de graad :...... notatie :... de minuut :...

Nadere informatie

Voorkennis meetkunde (tweede graad)

Voorkennis meetkunde (tweede graad) Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige

Nadere informatie

Kleur de congruente vierhoeken in onderstaand mozaïek in eenzelfde kleur.

Kleur de congruente vierhoeken in onderstaand mozaïek in eenzelfde kleur. VRAAG 1 Kleur de congruente vierhoeken in onderstaand mozaïek in eenzelfde kleur. VRAAG 2 Duid in de onderstaande figuur de overeenkomstige zijden en hoeken van de congruente driehoeken aan met eenzelfde

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] 2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales - 127 1. Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34)

Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34) - 39- Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34) Som hoekgrootten van een driehoek ( boek pag 35) Stelling: Voor ABC geldt: A ˆ + Bˆ + Cˆ = 180 o Bewijs: Trek door het punt A een rechte

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 -

Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 - Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 - De driehoek : Congruentiekenmerken van een driehoek kennen Soorten lijnen in een driehoek kennen Bissectricestelling kennen Stelling van het zwaartelijnstuk

Nadere informatie

Katern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12

Katern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12 Katern 3 Meetkunde Inhoudsopgave 1 Hoeken 2 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4 3 Driehoeken 8 4 Vierhoeken 12 5 Lijnen in een driehoek 15 Inleiding De vlakke meetkunde is de meetkunde die zich afspeelt

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I - 1-1. Bewerkingen met hoeken kunnen uitvoeren met een ZRM: vb : 45 o 15 17 + 65 o 65 39 = 110 80 56 = 111 20 56 75 o 15 17-65 o 65 39 = 74 74 77 65 65 39 = 9 9 38 45 o 15 17 : 15 o 01 39 = = (162000 +

Nadere informatie

Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk

Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructie 1 Het lijnstuk AB Neem vanuit A een afstand tussen de benen van de passer die wat groter is dan van A tot het geschatte midden

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Vermoeden: De drie deellijnen gaan door 1 punt. 33c. Vermoeden: De drie zwaartelijnen gaan door 1 punt. 33d.

Vermoeden: De drie deellijnen gaan door 1 punt. 33c. Vermoeden: De drie zwaartelijnen gaan door 1 punt. 33d. 17 Vermoeden: De drie deellijnen gaan door 1 punt. 33c. Vermoeden: De drie zwaartelijnen gaan door 1 punt. 33d. 18 Vermoeden: De drie hoogtelijnen gaan door 1 punt 34. a. De drie middelloodlijnen van een

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 006-007: tweede ronde 1 In een rechthoekige driehoek verdeelt de bissectrice uit een scherpe hoek de overstaande zijde in twee stukken met lengten 4 en 5 (zie figuur) De oppervlakte

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Vlakke meetkunde en geogebra

Vlakke meetkunde en geogebra Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ² 1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

IMO-selectietoets I vrijdag 6 juni 2014

IMO-selectietoets I vrijdag 6 juni 2014 IMO-selectietoets I vrijdag 6 juni 04 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave. Bepaal alle paren (a, b) van positieve gehele getallen waarvoor a + b a b + a en b a ab + b. Oplossing.

Nadere informatie

Lijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014

Lijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014 Lijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014 Punt Pu1 Zorg dat Toon assen aan staat. Teken een punt in het vlak. Wijzig de naam naar X (hoofdletter!) (rechtsklikken op het punt voor openen snelmenu). Sleep

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : De Cirkel

Hoofdstuk 8 : De Cirkel - 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Dag van de wiskunde. Ideeën voor de klaspraktijk. Kortrijk 26 november Spreker: E. Jennekens

Dag van de wiskunde. Ideeën voor de klaspraktijk. Kortrijk 26 november Spreker: E. Jennekens Dag van de wiskunde Kortrijk 26 november 2009 Ideeën voor de klaspraktijk Spreker: E. Jennekens 1. De provincie West-Vlaanderen is 3144 km² groot. Kun je de hele wereldbevolking, 6,7 miljard, verwelkomen

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

7.1 Symmetrie[1] Willem-Jan van der Zanden

7.1 Symmetrie[1] Willem-Jan van der Zanden 7.1 Symmetrie[1] Al de drie figuren hierboven zijn lijnsymmetrisch; Je kunt ze op één of meerdere manieren dubbelvouwen zodat de ene helft het spiegelbeeld van de andere helft is; De vouwlijn heet de symmetrieas/spiegelas;

Nadere informatie

CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus

CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...

Nadere informatie

Cabri-werkblad Negenpuntscirkel

Cabri-werkblad Negenpuntscirkel Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Pienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7

Pienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7 Extra oefeningen hoofdstuk 7: Vlakke figuren 1 Teken binnen een cirkel met straal 6 cm een tweede cirkel met straal 2 cm. Wat is de kleinste en wat is de grootst mogelijke afstand tussen beide middelpunten?

Nadere informatie

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN

BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN Brugpakket 8: Vlakke figuren 1 Vlakke figuren 1.1 Vlakke figuren: Veelhoeken en niet-veelhoeken Een veelhoek is enkel begrensd door rechte lijnen. OEFENING Zet een kruisje

Nadere informatie

3.1 Soorten hoeken [1]

3.1 Soorten hoeken [1] 3.1 Soorten hoeken [1] Let op: Een lijn heeft geen eindpunt; Een halve lijn heeft één eindpunt Een lijnstuk heeft twee eindpunten; Het plaatje is een bovenaanzicht; De persoon kan het gedeelte binnen de

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. 1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

Vlakke Analytische Meetkunde

Vlakke Analytische Meetkunde Vlakke Analytische Meetkunde L. Van Maldeghem L. Van Hyfte Handleiding voor 3 Latijn-Wiskunde, 3 Grieks-Latijn 5 3 Moderne Talen-Wiskunde, 3 Economie-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Vectoren en transformaties 1.1

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-I

wiskunde B vwo 2017-I wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2015-II

wiskunde B vwo 2015-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008 Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Apollonius-cirkels

Cabri-werkblad. Apollonius-cirkels Cabri-werkblad Apollonius-cirkels 1. Doel We zullen in dit werkblad kennismaken met de zogenoemde Apollonius-cirkels [1] van een driehoek. Daarvoor moeten ook enkele eigenschappen van (binnen- en buiten)bissectrices

Nadere informatie

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen Kern Meetkundige plaatsen a Zie afbeelding rechts. b In het niet-gearceerde deel. c Op de middenparallel. l m 2 a Teken lijn m en lijn n, beide evenwijdig aan l en op een afstand van 3 cm van l. b Punten

Nadere informatie

7 a. 8 a. de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE HAVO 1

7 a. 8 a. de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE HAVO 1 H GONIOMETRIE HAVO.0 INTRO a : 00 (het touw is in de tekening 6 cm) a 6 km : 00.000 = 6 cm b 6 a Schaal :. b 9. TEKENEN OP SCHAAL a 7 a (moeilijk nauwkeurig te meten) b : 000 c Ik meet cm dus in werkelijkheid

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:

Nadere informatie

Diagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling =

Diagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling = P Q M N R l M ˆ N M ˆ N 4M ˆ 4N ZZZ dus M ˆ N ˆ QP ˆ P ˆ M stelling van de omtrekshoek M ˆ N Q R ˆ 80 koordenvierhoekstelling R ˆ N stelling van de omtrekshoek Q PQ ˆ 80 gestrekte hoek Hieruit volgt dat

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

10 Afstanden. rood. even ver van A als van C even ver van A, van C en van E. 10 m. blauw

10 Afstanden. rood. even ver van A als van C even ver van A, van C en van E. 10 m. blauw 28 1 10 fstanden even ver van als van C even ver van, van C en van E 10 m Q ligt even ver van P als van Q, net zo. Dus is middelloodlijn van lijnstuk PQ, dus lijn staat loodrecht op lijn. 180 + = 90 2

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen). Jozef Hoekmeters bevindt zich op de top van een berg die hoog uit zee rijst (zie figuur ). Aan de overkant van het water ziet hij een appartementsgebouw vlakbij

Nadere informatie

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant D zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde. Syllabus voortentamen Wiskunde B

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde. Syllabus voortentamen Wiskunde B Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Syllabus voortentamen Wiskunde B Deze syllabus bevat een beschrijving van het programma van het voortentamen Wiskunde B dat wordt afgenomen door de Centrale Commissie

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek.

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek. Bij het uitrekenen van een lengte, een oppervlakte of een inhoud moet je altijd het volgende opschrijven: de formule - de tussenstap - het antwoord - de eenheid. 1. rechthoek. Kenmerken: alle hoeken zijn

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

dan liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB (constante hoek) dus A, B, C en D liggen op één cirkel, dus ABCD is een koordenvierhoek

dan liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB (constante hoek) dus A, B, C en D liggen op één cirkel, dus ABCD is een koordenvierhoek . Omtrekshoeken en middelpuntshoeken Opgave : ACB is constant Opgave : a. * b. * c. ACB AMB Opgave 3: a. * b. de drie cirkels gaan door één punt c. de drie lijnstukken gaan door één punt Opgave 4: a. Teken

Nadere informatie

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer. Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. 7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door

Nadere informatie

Open het programma Geogebra. Het beginscherm verschijnt. Klik voordat je verder gaat met je muis ergens in het

Open het programma Geogebra. Het beginscherm verschijnt. Klik voordat je verder gaat met je muis ergens in het Practicum I Opgave 1 Tekenen van een driehoek In de opgave gaan we op twee verschillende manieren een driehoek tekenen. We doen dit door gebruik te maken van de werkbalk (macrovenster) en van het invoerveld.

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 99 99 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per

Nadere informatie

Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje

Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje Opgave 1. Gegeven de lijnen m en n met vectorvoorstellingen 6 8 x = 7 + µ 0. Bepaal de afstand tussen m en n. 16 0 4 x = 2 + λ 1 en Opgave 2. Bewijs

Nadere informatie

PARADOXEN 6 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 6 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN 6 Dr. Luc Gheysens EUCLIDES OP DE HELLING Omstreeks 300 v. Chr. tekende Euclides in 13 boeken 465 stellingen op. Deze Elementen van Euclides gelden als één van de meest invloedrijke werken uit

Nadere informatie

Congruentie. Dit heb je nodig leerwerkboek p oefenboek nr geodriehoek passer groene en rode pen kleurpotloden

Congruentie. Dit heb je nodig leerwerkboek p oefenboek nr geodriehoek passer groene en rode pen kleurpotloden 4 ongruentie it kun je al 1 een figuur spiegelen, verschuiven of draaien de eigenschappen herkennen van de verschuiving, de spiegeling en de draaiing 3 de middelloodlijn en de bissectrice van een hoek

Nadere informatie

Eigenschappen van driehoeken

Eigenschappen van driehoeken 5 igenschappen van driehoeken it kun je al een hoek meten de verschillende soorten driehoeken definiëren 3 de verschillende soorten hoeken definiëren 4 de eigenschappen van de verschillende soorten hoeken

Nadere informatie

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur 4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie