Open het programma Geogebra. Het beginscherm verschijnt. Klik voordat je verder gaat met je muis ergens in het

Transcriptie

1 Practicum I Opgave 1 Tekenen van een driehoek In de opgave gaan we op twee verschillende manieren een driehoek tekenen. We doen dit door gebruik te maken van de werkbalk (macrovenster) en van het invoerveld. Open het programma Geogebra. Het beginscherm verschijnt. Klik voordat je verder gaat met je muis ergens in het tekenvenster: rechtermuisknop >> gemakkelijker om coördinaten in te tekenen.. Het tekenvenster is nu van een rooster (raster) voorzien. Dit is MANIER1: WERKBALK: (a) Kies in de werkbalk de optie (Veelhoek). Klik vervolgens driemaal in het tekenvenster om de coördinaten van A(1, 1), B(4, 2) en C(2, 5) te plaatsen. Doe dit in die specifieke volgorde. De lijnen en de letters worden automatisch erbij gezet. De driehoek sluit je door wederom op het eerste punt A te klikken. (b) Je ziet dat in het algebravenster drie Vrije objecten en vier Afhankelijke objecten zijn verschenen. Zie hiernaast. Heb je een vermoeden wat de vier Afhankelijke objecten voorstellen? (c) Klik eenmaal op (Verplaatsen) en versleep C naar (1, 5) en B naar (4, 1). Heb je nu een vermoeden wat deze vier Afhankelijke objecten voorstellen? (d) Versleep C en B wederom naar de beginsituatie en toon aan (met een berekening) dat de waarden die de vier Afhankelijke objecten hebben inderdaad kloppen. OPMERKING: Mocht je bijvoorbeeld de coördinaten van C niet op (2, 5) kunnen krijgen (zie hieronder), dubbelklik dan op in het algebravenster op C =(1.86,4.96) en verander de coördinaten in (2, 5). Sla het geheel op als p1_opgave1_1.ggb Kies vervolgens Bestand >> Nieuw venster. MANIER2: INVOERVELD: (e) Vul in het invoerscherm het volgende in:. Druk daarna op ENTER. Je ziet dat dit punt getekend wordt. (f) Laat ook de coördinaten van B(2, 5) en C(4, 2) zien. (g) Vul in het invoerscherm het commando Veelhoek[A,B,C] in. Druk daarna op ENTER. Er wordt een driehoek (veelhoek) getekend. Je ziet overigens in het algebravenster dezelfde Vrije objecten en de Afhankelijke objecten staan. OPMERKING: Je kunt de twee manieren (invoerveld en werkbalk) altijd met elkaar combineren; een stukje werkbalk en daarna invoerveld. Sla het geheel op als p1_opgave1_2.ggb

2 Opgave 2 Tekenen van een parallellogram Een definitie van een parallellogram (zie Moderne Wiskunde deel 2: blz. 139) is: Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden. (a) Teken in het tekenvenster met de optie drie punten A, B en C mee en teken vervolgens met de lijnstukken AB en BC. (b) Teken met door A een lijn evenwijdig aan het lijnstuk BC. Klik daarvoor eerst op lijnstuk BC en daarna op het punt A. Idem door C een lijn evenwijdig aan AB. (c) Klik op >> om het snijpunt (D) tussen deze 2 lijnen aan te geven. Doe dit door deze 2 objecten een voor een aan te klikken. (d) Klik op een van de lijnen: rechtermuisknop >> Object tonen. Je ziet dat die lijn niet zichtbaar meer is. De lijn is er echter wel! Doe dit ook voor de andere lijn. (e) Teken vervolgens de twee lijnstukken AD en CD. Je kunt dit doen met het commando s lijnstuk[a, D] en lijnstuk[c, D] of door gebruik te maken van. Sla het geheel op als p1_opgave2.ggb 1.1. Vrije objecten en onafhankelijke objecten In het programma wordt onderscheid gemaakt tussen Vrije objecten en Afhankelijke objecten. Er zijn een aantal verschillen tussen deze twee objecten. Een vrij object is direct van waarde te veranderen. Dit geldt niet voor een afhankelijk object. Deze is namelijk afhankelijk van de waarden die de vrije objecten op dat moment hebben. Opgave 3 Tekenen van een cirkel (1) (a) Teken met >> een cirkel met het middelpunt in (2, 2) en straal 10. Zorg ervoor dat je de cirkel geheel in beeld hebt. Dit doe je door gebruik te maken van het neuswiel van je muis of met >> (b) Noem het middelpunt M (dus hernoem de letter A). Ga met met je rechtermuisknop op A staan. Klik op Naam wijzigen. (c) Hoeveel vrije objecten zijn er? Hoeveel afhankelijke objecten zijn er? Kun je de waarde van de afhankelijke objecten veranderen? En die van het vrije object? Hoe zit het met de straal? (d) Teken met een driehoek waarbij de hoekpunten alle op de cirkel liggen. Worden dit vrije of afhankelijke objecten? Kun je de gehele driehoek ergens anders heen verplaatsen? Kun je de hoekpunten over de cirkel bewegen? (e) Klik eenmaal op. Verplaats het middelpunt naar (-2, 3). Zie wat er gebeurt met de objecten. Sla het geheel op als p1_opgave3.ggb

3 Opgave 4 Tekenen van een cirkel (2) (a) Teken met een cirkel met het middelpunt in de Oorsprong en neem als punt op de cirkel de coördinaten (4, 0). Noem het middelpunt tot M en het punt op de cirkel tot P. PS: Indien je M plaats in (0,0) met de knop dan ziet het programma dit als afhankjelijk object (snijpunt tussen x-as en y-as). Je kunt M dan niet meer bewegen!! Gebruik het invoerscherm om M in (0,0) te plaatsen. (b) Geef de vergelijking van deze cirkel. Zie algebravenster. (c) Verplaats M naar (4,3). Schrijf de nieuwe vergelijking op. Kun je de verandering van de vergelijking verklaren met behulp van de wiskunde die je hebt gehad? (d) Verplaats P naar (6, 0) en schuif M terug naar de Oorsprong. Geef de vergelijking van de cirkel. (e) Stel dat je P verplaatst naar (12, 0). Geef de nieuwe vergelijking. Controleer je antwoord met Geogebra. (f) Verplaats P naar (10, 6) en laat M in (0, 0). Bereken MP. Geef de vergelijking van de cirkel. Controleer je antwoord met geogebra. Sla het geheel op als p1_opgave4.ggb Opgave 5 (a) Geef de vergelijking van een cirkel met het middelpunt in de Oorsprong met straal 7. (b) Geef een vergelijking van een cirkel met het middelpunt in (2, 5) en straal 3. (c) Een cirkel heeft als het middelpunt M(1, -3). Verder is gegeven dat deze door P(4, 2) gaat. Geef een vergelijking van deze cirkel. Opgave 6 (a) Teken twee lijnen (a en b) met op ieder van de lijnen drie punten zoals hieronder is weergegeven. (b) Teken vervolgens de lijnstukken AD, AF, BC, BF, EC en ED met de punten G, H en I. (c) Teken een lijn ( ) door de punten G en H. (d) Versleep de vrije objecten. Welk vermoeden krijg je over de ligging van de punten G, H en I? Sla het geheel op als p1_opgave6.ggb 1.2. Vermoeden en bewijs Geogebra is een prima hulpmiddel om een meetkundig probleem mee te verkennen en een bepaald vermoeden te deponeren. Bij opgave 6 krijg je het vermoeden dat de punten G, H en I alle op één lijn liggen, ongeacht de posities van de andere punten. Echter een vermoeden is nog geen bewijs. Het programma kan jullie helaas geen bewijs leveren. Dit zal je zelf moeten doen. Maar een eerste stap in de goede richting is gezet.

4 Opgave 7 Vermoeden: Hoekensom bij een driehoek is (a) Teken een willekeurige driehoek PQR. (b) Klik op >>. Om P te bepalen, klik je achter eenvolgens de punten Q P R aan. Hoeveel graden is P? Zorg ervoor dat de grootte van hoek goed zichtbaar is. OPMERKING: In Geogebra worden hoeken tegen de wijzers van de klok in gemeten. Het is dus essentieel welk punt je als eerste en als derde aanklikt. Zou je de volgorde R P Q aanklikken dan zie je >> Dit is vrij gemakkelijk te herstellen. Dubbelklik op de hoek (of met rechtermuisknop) >> Eigenschappen. Ga naar het tabblad Basis en vink Hoeken tussen 0 0 en toelaten uit. De hoek wordt dan omgezet in een waarde tussen 0 0 en (c) Hoeveel graden zijn Q en R? (d) Hoeveel graden is P + Q + R? (e) Versleep de punten P, Q of R. Wat gebeurt er met P + Q + R? Het is irritant om zelf de hoekensom P + Q + R uit te rekenen. (f) Klik op >>. Een dialoogvenster opent zich. Tekst (statische tekst) zet je tussen aanhallingstekens. Wil je dit combineren met een variabele dan maak je gebruik van het plusteken +. Zie hieronder. PS: de hoek bij P heet (in dit geval). Om dit te zien ga je op de hoek staan: rechtermuisknop >> Eigenschappen en kies tabblad Basis. Je ziet de naam. Je kunt overigens ook HOEK[P,Q,R] gebruiken. Klik op OK. (g) Om de hoeken bij elkaar te tellen,vullen we bij het invoerscherm het volgende in:. Deze variabele is nu zichtbaar in het algebravenster en bruikbaar in het hele programma. Maak nu het programma af (zie hieronder) en probeer het uit. Sla het geheel op als p1_opgave7.ggb

5 Opgave 8 Vermoeden: Stelling van Thales (a) Teken twee willekeurige punten A en B. Duidt het punt daartussen ( >> ) aan met M. (b) Teken een cirkel met middelpunt M door B (of A). (c) Teken de driehoek ABC waarbij ook C op de cirkel ligt en geef de grootte van C. (d) Beweeg C over de cirkel. Welk vermoeden krijg je? (e) Nu andersom. Teken twee punten A en B en klik op >>. Klik achtereenvolgens op B en A. Geef je grootte van de hoek 90 0 aan. Het punt B verschijnt. (f) Teken ABB. (g) Duid het punt midden tussen B en B aan met M en teken de cirkel met middelpunt M die door B gaat. (h) Ligt het punt A ook op die cirkel? Sla het geheel op als p1_opgave8.ggb 1.3. Constructies Opgave 9 Constructie middelloodlijn (1) (a) Teken een willekeurig lijnstuk AB. (b) Teken een cirkel met als middelpunt A die door B gaat en een cirkel met als middelpunt B die door A gaat. (c) Bepaal met >> de twee snijpunten van de cirkels. Teken vervolgens een lijn door deze twee snijpunten. Noem deze lijn m. (d) Noem M het snijpunt van het lijnstuk AB en m en controleer met en of de lijn m inderdaad een middelloodlijn is. Sla het geheel op als p1_opgave9.ggb Bij de bovenstaande opgave heb je de middelloodlijn van het lijnstuk AB geconstrueerd. Geogebra heeft echter een aantal standaardconstructies (elementaire constructies) in het pakket waardoor dit gemakkelijker en sneller gaat, zoals: 1. Middelloodlijn tussen twee punten: 2. Loodlijn op andere lijn: 3. Deellijn (bissectrice) van een hoek: 4. Een lijn door een punt evenwijdig aan een andere lijn: 5. Raaklijn door een punt aan een cirkel: 6. In de onderstaande opgave zie je een van deze standaard ingebouwde constructies. Opgave 10 Constructie middelloodlijn (2) (a) Teken een willekeurig lijnstuk AB. (b) Teken met >> de middelloodlijn van AB. (c) Noem M het snijpunt van het lijnstuk AB en m en controleer met en of de lijn m inderdaad een middelloodlijn is. Sla het geheel op als p1_opgave10.ggb

6 Met het programma Geogebra is het mogelijk om constructies stap voor stap te laten zien. Hoe dat gaat, wordt in de onderstaande opgave duidelijk gemaakt. Opgave 11 Constructie zwaartepunt Gegeven is een willekeurige driehoek ABC. De zwaartelijn van een driehoek gaat door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde. Zie afbeelding hiernaast. Je ziet de zwaartelijn door C. De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt (hoef je nu niet te bewijzen). We noemen dit het zwaartepunt. (a) Construeer in Geogebra het zwaartepunt Z van een driehoek ABC met behulp van de drie zwaartelijnen. Maak gebruik van >>. (b) Klik in de menubalk op Beeld >> Navigatiebalk voor constructieoverzicht. Er verschijnt een scherm met het overzicht van de stappen die je hebt gezet. Je kunt de constructie stap voor stap (handmatig) afspelen. Je ziet dan de constructiestappen die je hebt gedaan. (c) Klik in het constructieoverzicht tweemaal op de eerst rij. Met de pijlentoetsen en kun je je stap voor stap de constructie laten zien. Hiernaast zie je een totaal overzicht om door de constructie stappen heen te lopen. Sla het geheel op als p1_opgave11.ggb Opgave 12 Constructie ingeschreven cirkel (a) Teken een willekeurige driehoek ABC. (b) Construeer twee van de drie deellijnen van de driehoek. Noem het snijpunt van de twee lijnen S. (c) Construeer de loodlijn vanuit S naar een van de zijden van de driehoek. (d) Teken de ingeschreven cirkel. (e) Laat de constructiestappen een voor een zien. (f) Construeer de ingeschreven cirkel aan de driehoek ABC waarbij A(2, 4), B(8,1) en C(6, 10). Sla het geheel op als p1_opgave12.ggb Opgave 13 (a) Teken een willekeurige scherphoekige driehoek ABC. (b) Construeer C de hoogtelijn, de deellijn en de zwaartelijn. (c) Versleep C van de driehoek zodat een van de bovengenoemde lijnen buiten de driehoek komt te liggen. Welke lijn is dat? Hoe heet de zo verkregen driehoek? Sla het geheel op als p1_opgave13.ggb Opgave 14 Gegeven is een lijn k met daarop een punt P en een punt A buiten de lijn k. Zie hiernaast. Construeer in Geogebra de rechthoekige driehoek ABC met: 1) AP de zwaartelijn is vanuit A; 2) k de middelloodlijn op BC; 3) De rechte hoek bevindt zich in C. Laat de constructiestappen stap voor stap zien. Sla het geheel op als p1_opgave14.ggb A P k

7 Opgave 15 Raaklijn(en) aan een cirkel Een raaklijn aan een cirkel is een lijn die de cirkel slechts in één punt snijdt. Een stelling over de raaklijn zegt dat deze loodrecht staat op de verbindingslijn van het middelpunt van de cirkel en het raakpunt. (a) Selecteer in de werkbalk en teken een cirkel c met middelpunt M. Teken ook een punt P buiten die cirkel. (b) Teken het lijnstuk PM en noem het midden C. (c) Teken een cirkel door P met C als middelpunt en bepaal de snijpunten D en E van beide cirkels. (d) Teken de lijnen door P en D en door P en E. (e) Waarom geldt DM PD en ME PE? Sla het geheel op als p1_opgave15_1.ggb (f) Doe hetzelfde als hierboven maar nu met de standaardconstructie van Geogebra. Sla het geheel op als p1_opgave15_2.ggb