Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek

Transcriptie

1 e irkel. iddellijn, koorde en apothema. iddelpuntshoek en omtrekshoek.3 Raaklijn aan een irkel.3. Raaklijn in een punt van een irkel.3. Raaklijnen uit een punt aan een irkel.4 Onderlinge ligging van twee irkels.5 Omgeshreven en ingeshreven irkel van een driehoek.5. Omgeshreven irkel van een driehoek.5. Ingeshreven irkel van een driehoek.6 Regelmatige veelhoeken.6. Regelmatige veelhoeken.6. Omtrek en oppervlakte van een regelmatige veelhoek

2 . iddellijn, koorde en apothema. iddellijn, koorde en apothema e vierhoek is een parallellogram, EFGH is een rehthoek en QRS is een ruit. Van welke van deze vierhoeken liggen de hoekpunten op een irkel? Verklaar waarom dat zo is. Teken het middelpunt en bereken de straal van deze irkel(s). S H G R 4 E 3 F Q e irkel heeft als middelpunt en als straal 8. e koorde snijdt de middellijn m in N en m ^. e afstand van tot is 6. ereken N en N. 6 N 8 m 8

3 e irkel iddellijn, koorde en apothema efinities e irkel met middelpunt en straal r is de verzameling van alle punten die op een afstand r van het punt liggen. We noteren: (,r). Een koorde van een irkel is een lijnstuk dat twee punten van de irkel verbindt. irkelboog koorde Een middellijn van een irkel is een N koorde van de irkel die het middelpunt bevat. Q apothema r e lengte van een middellijn is de van [ Q] diameter van de irkel. e diameter is het dubbele van de straal. middellijn Ook een rehte door het middelpunt noemen we een middellijn van de irkel. R Een irkelboog is een deel van een irkel, begrensd door twee punten. e kleine boog tussen twee punten en Q op de irkel noteren we als Q, de grote boog noteren we als RQ. Het apothema van een koorde is de afstand van het middelpunt van de irkel tot die koorde. Zo is N het apothema van [ Q]. Ook het lijnstuk N noemen we het apothema van die koorde. 9

4 . iddellijn, koorde en apothema Eigenshap e middellijn loodreht op een koorde deelt de koorde middendoor. Gegeven: irkel (,r) m koorde [ Q] S middellijn m ^ Q m snijdt Q in S r Te bewijzen: S = QS r Q ewijs Teken de stralen en Q. Z = Q = r S QS omdat Z S = S 90 S ^ = QS ^ = 90 S = QS gemeenshappelijke zijde gegeven Gevolg Een middellijn van een irkel is een symmetrieas van de irkel. Een irkel heeft dus oneindig veel symmetrieassen en is zo de vlakke figuur met de rijkste symmetrie. 0

5 e irkel 3 Teken in een irkel (,5) een koorde waarvan het apothema 3 m is. ereken. 3 ereken ^. 4 In een irkel (;6,5) is een koorde m lang. ereken het apothema van deze koorde. Verklaar de volgende eigenshap: gelijke koorden hebben gelijke apothema s. 5 onstrueer de koorde van de irkel die voldoet aan de volgende twee voorwaarden: is evenwijdig met de rehte a; wordt door Q middendoor gedeeld. a Q

6 . iddelpuntshoek en omtrekshoek. iddelpuntshoek en omtrekshoek 6 ereken ^ met de gegevens in de figuur. 0 ereken ^ = ^ + ^ met de gegevens in de figuur ereken ^ en ^ met de gegevens in de figuur Welk verband vind je in de drie gevallen tussen ^ en ^?

7 e irkel iddelpuntshoek en omtrekshoek iddelpuntshoek en omtrekshoek van een irkel Een middelpuntshoek van een irkel is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van de irkel. Een omtrekshoek van een irkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de irkel ligt en waarvan beide benen de irkel snijden. ^ is de middelpuntshoek die op de boog staat ^ is een omtrekshoek die op de boog staat Eigenshap Een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat. Gegeven: irkel (,r) irkelboog middelpuntshoek ^ en omtrekshoek ^ Te bewijzen: ^ = ^ ewijs eerste geval: het middelpunt ligt op een been van de omtrekshoek ^+ ^ + ^ = 80 ^+ ^ = 80 ^= 80 - ^ ^= ^ ^ = ^ hoekensom in is gelijkbenig zodat ^= ^ 3

8 . iddelpuntshoek en omtrekshoek tweede geval: het middelpunt ligt binnen de omtrekshoek Teken de middellijn. an geldt: ^ = ^ + ^ ^ = + ^ = ^ + ^ = ^ ( ) eerste geval derde geval: het middelpunt ligt buiten de omtrekshoek Teken de middellijn. an geldt: ^ = ^ - ^ ^ = - ^ = ^ - ^ = ^ ( ) eerste geval Gevolgen Omtrekshoeken die op eenzelfde boog staan, zijn gelijk. Q R ^ ^ ^ ^ Q R = = = 4

9 e irkel Een omtrekshoek die op een halve irkel of op een middellijn staat, is reht. Q ^ = Q ^ = R ^ = ^ = 80 = 90 R 7 ereken de hoeken ^, ^ en ^ als je weet dat de driehoek gelijkzijdig is. 8 ereken de hoeken ^, ^, ^Q en ^S met de gegevens in de figuur. Q 40 S 8 R 9 Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan alle hoekpunten op een irkel liggen. ewijs dat de overstaande hoeken van een koordenvierhoek supplementair zijn. 0 Teken een rehthoekige driehoek waarvan de shuine zijde 6 m meet en de hoogte op de shuine zijde m is. 5

10 .3 Raaklijn aan een irkel.3 Raaklijn aan een irkel.3. Raaklijn in een punt van een irkel Raaklijn in een punt van een irkel Onderlinge ligging van een rehte en een irkel Een rehte en een irkel kunnen twee, één of geen punten gemeen hebben. s t u T efinities Een snijlijn van een irkel is een rehte die met de irkel twee punten gemeen heeft. e gemeenshappelijke punten zijn de snijpunten van de rehte en de irkel. Een raaklijn aan een irkel is een rehte die met de irkel één punt gemeen heeft. Het gemeenshappelijk punt van de rehte en de raaklijn noemen we het raakpunt. Eigenshap e loodlijn op een middellijn, door een eindpunt ervan, is een raaklijn aan de irkel. Gegeven: irkel (,r) middellijn van a a door en a ^ r Te bewijzen: a is een raaklijn aan ewijs Voor een willekeurig punt op a dat vershillend is van geldt: > In de rehthoekige driehoek is de shuine zijde [ ] de langste zijde. > r ligt buiten is bijgevolg het enige punt dat a en gemeen hebben, zodat a een raaklijn is aan. 6

11 e irkel Gevolg Om een raaklijn in een punt van een irkel te onstrueren, moeten we de loodlijn op de middellijn door dat punt tekenen t t is een raaklijn aan in Omgekeerde eigenshap Een raaklijn aan een irkel staat loodreht op de middellijn door het raakpunt. Gegeven: irkel (,r) raaklijn t aan met raakpunt T t T Q Te bewijzen: t ^ T ewijs Veronderstel dat T niet loodreht op t zou staan.(*) an is er een andere loodlijn uit op t met voetpunt Q π T. Omdat t een raaklijn is aan, is T het enige punt dat t en gemeen hebben. lle andere punten van t liggen dus buiten de irkel, zodat geldt : Q > T. () In de rehthoekige driehoek QT is de shuine zijde [ T ] de langste zijde, zodat geldt: Q < T. () it is in strijd met (). e veronderstelling (*) leidt tot een tegenstrijdigheid en is dus vals. Hieruit volgt: t ^ T. 7

12 .3 Raaklijn aan een irkel Opmerkingen Het bovenstaande bewijs is een voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde. Hierbij veronderstellen we dat het te bewijzen niet waar is en laten we zien dat deze veronderstelling tot een tegenstrijdigheid leidt. Uit de bovenstaande eigenshappen volgt dat er maar één raaklijn is in een punt van een irkel. Vandaar dat we nu kunnen spreken over de raaklijn in een punt van de irkel. esluit In de irkel met middelpunt en straal r= T geldt: t is de raaklijn aan met raakpunt T t t ^ T en t gaat door T Hieruit volgt: r T t is de raaklijn aan met raakpunt T d(,t) = r is een punt op de irkel met middelpunt. onstrueer de raaklijn d aan de irkel in. onstrueer een tweede raaklijn e aan die evenwijdig is met d. In de figuur is T een raaklijn aan de irkel (,0) met T =. ereken x en T^. T x 8

13 e irkel 3 a is een raaklijn aan (,7) met raakpunt. e rehte b is evenwijdig met a en snijdt de irkel in en. e afstand tussen a en b is 8. ereken de zijden en de hoeken van driehoek. a 8 7 b 4 onstrueer een irkel die door gaat en raakt aan de rehte t in. t.3. Raaklijnen uit een punt aan een irkel 5 Hoeveel raaklijnen aan de irkel gaan door?? 3? 9

14 .3 Raaklijn aan een irkel Raaklijnen uit een punt aan een irkel Eigenshap e raaklijnen uit een punt aan een irkel zijn even lang. Onder raaklijnen verstaan we in dit geval de lijnstukken tussen het punt en de raakpunten. Gegeven: irkel (,r) punt buiten raaklijnen [ ] en [ ] aan met raakpunten en Te bewijzen: = ewijs We tekenen en de stralen en. Z = = omdat Z = 90 ^= ^ = 90 = r gemeenshappelijke zijde r een raaklijn staat loodreht op de middellijn door het raakpunt Gevolg ls en raaklijnen zijn aan de irkel (,r) met raakpunten en, dan is de middelloodlijn van. Verklaring e middelloodlijn van een lijnstuk is de verzameling van alle punten die even ver liggen van de uiteinden van dat lijnstuk. ligt op de middelloodlijn van want =. ligt op de middelloodlijn van want = = r. N ijgevolg is de middelloodlijn van [ ] zodat ^ en N = N. 0

15 e irkel 6 en zijn raaklijnen aan de irkel (,5) met raakpunten en. = 3. ereken en. ereken ^. 3 ereken de lengte van de koorde. 5 7 en zijn raaklijnen aan de irkel (,5) met raakpunten en. = 8. ereken ^ en ^. ereken en is een raaklijnenvierhoek van de irkel (;3,5), dit betekent dat elke zijde van de vierhoek een raaklijn is van de irkel. e raakpunten zijn, Q, R en S. Twee zijden van de vierhoek zijn gegeven: 9 = 6 en = 9. R Stel = x en R = y. ruk nu en uit in funtie van x en y. ereken de omtrek van de vierhoek. 3,5 Q 3 ereken de oppervlakte van de vierhoek. S 6

16 .3 Raaklijn aan een irkel onstrutie van raaklijnen uit een punt aan een irkel Om de raaklijnen uit een punt aan een irkel (,r) te onstrueren, kun je als volgt te werk gaan: bepaal het midden van [ ] en teken de irkel (, ); bepaal de snijpunten en van en en teken en. en zijn de gevraagde raaklijnen want ^ = ^ = 90 omdat ze omtrekshoeken op de middellijn zijn. 9 Teken een irkel met straal,5 m. onstrueer de raaklijnen aan die irkel uit een punt dat op 7 m ligt van het middelpunt van. ereken de lengte van deze raaklijnen. 3 ereken de sherpe hoek gevormd door deze raaklijnen.

17 e irkel.4 Onderlinge ligging van twee irkels 0 Hoeveel gemeenshappelijke punten hebben de irkels, 6 en, 4 als >? 0 =? 0 3 < < 0? 4 =? 5 <? ( ) ( ) ( ) ( ) Welk verband is er tussen, r en r als de irkels, r en, r met r r geen gemeenshappelijke punten hebben? één gemeenshappelijk punt hebben? 3 twee gemeenshappelijke punten hebben? 3

18 .4 Onderlinge ligging van twee irkels Onderlinge ligging van twee irkels Voor de onderlinge ligging van de irkels en met middelpunten en en stralen r en r, met r r, bestaan de volgende mogelijkheden. en liggen volledig buiten elkaar 4 en zijn inwendig rakende irkels met raakpunt T r r r r T > r + r = r - r en zijn uitwendig rakende irkels met raakpunt T 5 en liggen volledig binnen elkaar r r T r r = r + r < r - r 3 en zijn snijdende irkels met snijpunten en 6 en zijn onentrishe irkels r r r r = r - r < < r + r = 0 e gemeenshappelijke middellijn noemen we de entraal van de twee irkels. Ze is een symmetrieas van beide irkels. Omwille van de symmetrie ligt bij rakende irkels het raakpunt op de entraal en zijn bij snijdende irkels de snijpunten elkaars spiegelbeeld ten opzihte van de entraal. 4

19 e irkel Wat is de onderlinge ligging van de irkels (,3) en (,5) als =? 4 = 5? =? 5 = 8? 3 = 3? 6 = 0? 3 rie irkels raken elkaar twee aan twee zoals op de figuur. ls de stralen van de irkels respetievelijk dm, dm en 3 dm lang zijn, hoe groot is dan de oppervlakte van de driehoek met de drie middelpunten als hoekpunten? 4 dm 6 dm 8 dm 0 dm E dm (ron JWO, eerste ronde 006) 4 onstrueer twee irkels met middelpunten en en respetievelijke stralen r en r zodat = r + r. Noem een snijpunt van de irkels. Welke hoek maken de raaklijnen in aan beide irkels? 5

20 .5 Omgeshreven en ingeshreven irkel van een driehoek.5 Omgeshreven en ingeshreven irkel van een driehoek.5. Omgeshreven irkel van een driehoek 5 Teken drie vershillende punten, en. Teken de verzameling van alle punten die even ver liggen van als van. 3 Teken de verzameling van alle punten die even ver liggen van als van. 4 Teken, indien mogelijk, het punt dat even ver ligt van, en. 5 Voor welke ligging van, en is er geen punt dat even ver ligt van deze drie punten? Verklaar. Omgeshreven irkel van een driehoek Eigenshap oor de hoekpunten van een driehoek gaat juist één irkel. Gegeven: driehoek Te bewijzen: er bestaat juist één irkel die door, en gaat ewijs onstrueer de middelloodlijnen m van en n van. Noem het snijpunt van m en n. ligt op m en ligt op n = fl en fl = = fl ( ) e irkel, gaat door, en. e middelloodlijn van een lijnstuk is de verzameling van alle punten die even ver liggen van de eindpunten van dat lijnstuk. angezien m en n één snijpunt hebben, is er maar één punt dat even ver van, en ligt. ( ) e irkel, = is dus enig. m n 6

21 e irkel rie of meer punten die tot eenzelfde rehte behoren, noemen we ollineaire punten. oor drie ollineaire punten, en gaat geen irkel. e middelloodlijnen m en n lopen dan evenwijdig en hebben dus geen snijpunt. m n e vorige eigenshap kunnen we dan ook als volgt formuleren. oor drie niet-ollineaire punten gaat juist één irkel. Uit = volgt dat ook op de middelloodlijn van ligt. rie of meer rehten die door eenzelfde punt gaan, noemen we onurrente rehten. e drie middelloodlijnen van een driehoek zijn onurrent. e irkel die door de hoekpunten van de driehoek gaat, noemen we de omgeshreven irkel van deze driehoek. Het middelpunt van de omgeshreven irkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de driehoek. e straal van de omgeshreven irkel is de afstand van het middelpunt tot een van de hoekpunten van de driehoek. 7

22 .5 Omgeshreven en ingeshreven irkel van een driehoek 6 onstrueer de omgeshreven irkel van een driehoek met zijden = 4m, = 5men = 6m. onstrueer een driehoek met 5 m als straal van de omgeshreven irkel, = 7m en = 9m. 7 e gelijkzijdige driehoek met zijde 6 heeft Z als zwaartepunt. Waarom is Z het middelpunt van de omgeshreven irkel van de driehoek? ereken de straal van. 6 Z 8 onstrueer een gelijkbenige driehoek met = =6m en = 4m. onstrueer de omgeshreven irkel van de driehoek. 3 ereken de straal van. 8

23 e irkel.5. Ingeshreven irkel van een driehoek Ingeshreven irkel van een driehoek Eigenshap Er bestaat juist één irkel die de drie zijden van een driehoek raakt. Gegeven: driehoek Te bewijzen: er bestaat juist één irkel die raakt aan, en ewijs onstrueer de bissetries d van ^ en d van ^. Noem I het snijpunt van d en d. I = IE = IF I ligt even ver van de zijden van de driehoek fl e irkel I, I raakt aan, en. Een rehte waarvan de afstand tot het middelpunt van een irkel gelijk is aan de straal, is een raaklijn aan de irkel. angezien d en d één snijpunt I hebben, is er maar één punt dat even ver van, en ligt. I ligt op d I ( ) ( ) e irkel I, I en is dus enig. I ligt op d ( I, ) = ( I, ) ( I, ) = ( I, ) d d en d d = IE en I = IF e bissetrie van een hoek bestaat uit punten even ver van de benen van de hoek. d E I F d 9

24 .5 Omgeshreven en ingeshreven irkel van een driehoek angezien IE = IF, ligt I ook even ver van als van. I ligt dus ook op de bissetrie d van ^. e drie bissetries van een driehoek zijn onurrent. e irkel die raakt aan de zijden van de driehoek, noemen we de ingeshreven irkel van deze driehoek. Het middelpunt van de ingeshreven irkel is het snijpunt van de bissetries van de driehoek. d I r d e straal van de ingeshreven irkel is de afstand van het middelpunt tot een van de zijden van de driehoek. d 9 onstrueer de ingeshreven irkel van de rehthoekige driehoek. ereken de straal van de ingeshreven irkel ereken de zijde van een gelijkzijdige driehoek waarvan de straal van de ingeshreven irkel 6 is. 30

25 e irkel.6 Regelmatige veelhoeken.6. Regelmatige veelhoeken 3 onstrueer in de irkel (,5) stralen,,, [ ] en [ E ] die de 360 rond in vijf gelijke middelpuntshoeken verdelen. Toon aan dat de zijden en de hoeken van de vijfhoek E gelijk zijn. 5 Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden en alle hoeken gelijk zijn. Een regelmatige driehoek is een gelijkzijdige driehoek. Een regelmatige vierhoek is een vierkant. Een regelmatige veelhoek met n zijden noemen we een regelmatige n-hoek. e zijde van een regelmatige n-hoek noteren we als z n. We kunnen een regelmatige n-hoek onstrueren vertrekkend van de omgeshreven irkel van deze veelhoek met middelpunt. Teken daartoe in deze irkel n stralen,,,... die de 360 rond 360 verdelen in n gelijke middelpuntshoeken van. (ZHZ) volgt dat H en ^ = ^ = =... =... G zodat... een regelmatige n-hoek is. We zeggen dat de regelmatige n-hoek r ingeshreven is in de irkel. N a 8 We noemen het middelpunt, de straal, ^ de middelpuntshoek en d(,) = N regelmatige n-hoek. het apothema a n van de et straal en apothema kunnen we ook het lijnstuk bedoelen. r 45 r 45 z 8 E F 3

26 .6 Regelmatige veelhoeken Vertrekkend van de omgeshreven irkel kun je steeds een regelmatige n-hoek onstrueren waarvan de hoekpunten op deze irkel liggen. Omgekeerd geldt de volgende eigenshap. e hoekpunten van een regelmatige veelhoek liggen op een irkel. Voor een bewijs van deze eigenshap verwijzen we naar opdraht 36. angezien de som van de hoeken van een n-hoek gelijk is aan ( n - ) 80, is elke hoek van een regelmatige n-hoek gelijk aan ( n ) = n n Zo is de hoek van een regelmatige ahthoek 360 gelijk aan 80 - = H G E F 3 EF is een regelmatige zeshoek met omgeshreven irkel (,r). Toon aan dat de zijde z 6 van de zeshoek gelijk is aan de straal r. F E r z 6 aak gebruik van de eigenshap uit om een regelmatige zeshoek te onstrueren in een willekeurige irkel. 3 onstrueer een gelijkzijdige driehoek. 4 onstrueer een regelmatige twaalfhoek. 3

27 e irkel 33 Van twee regelmatige veelhoeken met omgeshreven irkel is telkens een zijde gegeven. Voor welke regelmatige n-hoek, ingeshreven in de irkel, is een zijde? 3 z 6 z 4 z z4 z 5 z 4 34 Een regelmatige vijfhoek en een regelmatige zeshoek hebben een zijde gemeenshappelijk (zie figuur).? Hoe groot is de aangeduide hoek? E 35 (ron JWO, tweede ronde 008) 35 In welke regelmatige veelhoek is de kortste diagonaal even lang als de straal van de omgeshreven irkel? zeshoek ahthoek tienhoek twaalfhoek E vijftienhoek (ron VWO, tweede ronde 997) V 36 E is een regelmatige vijfhoek met zijde 5. onstrueer de irkel die door, en gaat. Toon aan dat die irkel ook door en E gaat. 3 ereken de straal van die omgeshreven irkel van E. 5 E 33

28 .6 Regelmatige veelhoeken.6. Omtrek en oppervlakte van een regelmatige veelhoek 37 ereken de zijde en de omtrek van de regelmatige vijfhoek E met omgeshreven irkel (,4). ereken de oppervlakte van de vijfhoek E. E 4 Omtrek en oppervlakte van een regelmatige veelhoek Omtrek van een regelmatige n-hoek In de regelmatige n-hoek met zijde zn = en omgeshreven irkel (,r) kunnen we z n als volgt uitdrukken in r en n. Teken in de driehoek de zwaartelijn [ N]. angezien de driehoek gelijkbenig is, is de z n driehoek N rehthoekig in N. N an r ovendien is ^ ^ = = =. r () n n zn In N is sin ^ zn = = r r zodat z r ^ n = sin. () Invullen van () in () geeft: zn = 80 r sin n (3) Hieruit volgt een formule voor de omtrek van een regelmatige n-hoek: pn = 80 nr sin n 34

29 e irkel Oppervlakte van een regelmatige n-hoek In de regelmatige n-hoek met zijde zn = kunnen we ook de oppervlakte n uitdrukken in r en n. We verdelen de n-hoek in n driehoeken zodat n n z a n n n = opp =. (4) z n In N met hoek ^ = 80 N an r n vinden we het apothema an = r N uit os ^ an = r zodat a r ^ n = os = 80 ros. (5) n Invullen van (3) en (5) in (4) geeft een formule voor de oppervlakte n van een regelmatige veelhoek: n = nr sin os n n Regelmatige veelhoeken en irkels pn n In de volgende tabel berekenen we en voor steeds grotere waarden van n. r r n pn 80 n = nsin = nsin os r n r n n , , , , , , , , , , , , We vinden steeds betere benaderingen van p = 3, pn n ls n voldoende groot is, dan is p en p of p en n p r n p r. r r We herkennen hierin de formules voor omtrek en oppervlakte van een irkel. Hoe meer hoekpunten een regelmatige veelhoek heeft, hoe beter haar omtrek en oppervlakte die van haar omgeshreven irkel benadert. Vandaar dat je een irkel ook een regelmatige oneindig-hoek zou kunnen noemen. 35

30 .6 Regelmatige veelhoeken 38 Een regelmatige twaalfhoek heeft 5 m als straal van de omgeshreven irkel. ereken de omtrek van deze twaalfhoek. ereken de oppervlakte van deze twaalfhoek. 3 Hoeveel proent van de omgeshreven irkel wordt door de twaalfhoek bedekt? 39 Een dodeaëder is een ruimtefiguur die bestaat uit twaalf regelmatige vijfhoeken. ereken de manteloppervlakte van een dodeaëder met ribbe 5 m. 36

31 e irkel Samenvatting iddellijn, koorde en apothema e irkel met middelpunt en straal r is de verzameling van alle punten die op een afstand r van het punt liggen. We noteren (,r). Een koorde van een irkel is een lijnstuk dat twee punten van de irkel verbindt. Een middellijn van een irkel is een koorde van de irkel die door het middelpunt gaat of een rehte die door het middelpunt gaat. Het apothema van een koorde is de afstand van het middelpunt van de irkel tot die koorde of het bijbehorende lijnstuk. Eigenshap middellijn r koorde apothema van samenvatting e middellijn loodreht op een koorde deelt de koorde middendoor. Gevolg Een middellijn van een irkel is een symmetrieas van de irkel. N m m^ N = N 37

32 Samenvatting iddelpuntshoek en omtrekshoek Een middelpuntshoek van een irkel is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van de irkel. Een omtrekshoek van een irkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de irkel ligt en waarvan beide benen de irkel snijden. samenvatting Eigenshap Een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat. Gevolgen Omtrekshoeken die op eenzelfde boog staan, zijn gelijk. Een omtrekshoek die op een halve irkel of op een middellijn staat, is reht. ^ = ^ 38

33 e irkel Raaklijn aan een irkel Een raaklijn aan een irkel is een rehte die met de irkel één punt gemeen heeft. Eigenshappen e loodlijn op een middellijn, door een eindpunt ervan, is een raaklijn aan de irkel. Een raaklijn aan een irkel staat loodreht op de middellijn door het raakpunt. T t is de raaklijn aan (,r) met raakpunt T t ^ T en t gaat door T d(,t) = r t samenvatting e raaklijnen uit een punt aan een irkel zijn even lang. r [ ] en [ ] zijn raaklijnen aan (,r) fl r = 39

34 Samenvatting samenvatting Onderlinge ligging van twee irkels Voor de onderlinge ligging van de irkels en met middelpunten en en stralen r en r, met r r, bestaan de volgende mogelijkheden. en liggen volledig buiten elkaar 4 en zijn inwendig rakende irkels met raakpunt T r r r r T > r + r = r - r en zijn uitwendig rakende irkels met raakpunt T 5 en liggen volledig binnen elkaar r r T r r = r + r < r - r 3 en zijn snijdende irkels met snijpunten en 6 en zijn onentrishe irkels r r r r = r - r < < r + r = 0 40

35 e irkel Omgeshreven en ingeshreven irkel van een driehoek oor de hoekpunten van een driehoek gaat juist één irkel, de omgeshreven irkel van de driehoek. Het middelpunt van de omgeshreven irkel van een driehoek is het snijpunt van de middelloodlijnen van deze driehoek. e straal van de omgeshreven irkel is de afstand van het middelpunt tot een van de hoekpunten van de driehoek. an de zijden van een driehoek raakt juist één irkel, de ingeshreven irkel van de driehoek. Het middelpunt van de ingeshreven irkel van een driehoek is het snijpunt van de bissetries van deze driehoek. e straal van de ingeshreven irkel is de afstand van het middelpunt tot een van de zijden van de driehoek. d I d d samenvatting Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden en alle hoeken gelijk zijn. Om een regelmatige n-hoek te onstrueren, verdeel je de omgeshreven irkel in n gelijke 360 delen met middelpuntshoek. n e hoek van een regelmatige n-hoek is n e zijde van een regelmatige n-hoek is z. n = 80 rsin n e oppervlakte van een regelmatige n-hoek is n = nr sin 80 os 80. n n z 9 r I H E G F 4

36 Opdrahten Opdrahten. iddellijn, koorde en apothema opdrahten EERSTE REEKS 40 epaal de verzameling van de middelpunten van de irkels die door een gegeven punt gaan en 5 m als straal hebben. 4 onstrueer een koorde van de irkel (,r) zodanig dat het midden is van. 4 In een irkel met middelpunt heeft de koorde een lengte van 6 m. Het apothema van is m. ereken de straal van de irkel. ereken ^. 43 In de irkel (,r) deelt de koorde Q de straal loodreht middendoor. ereken de hoek ^Q. Q r 4

37 e irkel 44 Om een vierkant houten tafeltje te maken, vertrekt men van een ronde boomstam met een diameter van 06 m. Wat is de zijde van het grootste vierkant dat hieruit gezaagd kan worden? TWEEE REEKS 45 Laten we de driehoek T draaien over 80 om de middellijn T van de irkel, dan ontstaat een kegel. ereken de inhoud van de kegel als T = 6dm en N = 4dm. 6 T opdrahten 4 N ERE REEKS 46 Twee evenwijdige koorden in een irkel hebben 0 en 4 als lengte, en hun onderlinge afstand is 6. e koorde, evenwijdig met de gegeven koorden en preies halfweg tussen hen, heeft lengte a. an is a gelijk aan 4 a E 44 (ron VWO, tweede ronde 995) 43

38 Opdrahten. iddelpuntshoek en omtrekshoek EERSTE REEKS opdrahten 47 ereken de hoeken ^, ^, ^, ^, ^ en ^ in de irkel met middelpunt als ^ = 00. ereken de hoeken ^, ^, ^, ^, ^ en ^ in de irkel met middelpunt als ^ = ereken de hoeken ^, ^, ^, ^ en ^ met de gegevens in de figuur

39 e irkel 49 ereken de hoeken ^, ^, ^ 3, ^E, ^E, ^F, ^F en ^ met de gegevens in de irkel met middelpunt. 50 ereken de hoeken ^, ^, ^, ^, ^, ^E, ^E, ^F, ^F, ^ en ^ met de gegevens in de irkel met middelpunt. E F E F opdrahten TWEEE REEKS 5 ereken de hoeken ^, ^, ^ en ^E met de gegevens in de figuur. 4 E F 74 5 ereken de hoeken ^, ^, ^, ^, ^, ^E, ^E, ^F, ^H en ^K met de gegevens aangeduid in de irkel met middelpunt. F H K G 70 E 40 45

40 Opdrahten 53 Is ^Q = K^L? Verklaar. K Q L opdrahten 54 ls twee rehten uit een punt, buiten (figuur ) of binnen (figuur ) een irkel gelegen, deze irkel snijden in en, respetievelijk in en, dan is =. ewijs deze eigenshap. figuur figuur ereken de lengte van de koorde Q van (;7,5) als Q ^, = 3 en =. 3 Q 46

41 e irkel 55 Op de figuur zijn X en Y de middelpunten van de getekende irkelbogen. ereken de hoek a. Y X a 56 ls je in een irkel (O,r) een koorde verlengt met = r en de middellijn trekt, dan is ^O = 3 ^. ewijs deze eigenshap die je terugvindt als stelling 8 in Het boek der lemma s van rhimedes (a. 50 v. hr.). O opdrahten 57 Onder welke hoek zien we de koorde vanuit, Q en R? onstrueer een irkelboog van waaruit een lijnstuk van 5 m gezien wordt onder een hoek van Zijn er nog andere punten van waaruit gezien wordt onder een hoek van 60? Zo ja, welke? 4 Wat is de verzameling van punten van waaruit een lijnstuk [ E F] van 4 m gezien wordt onder een hoek van 90? Q 6 R 58 Een voetbaltrainer wil op een training zijn spelers op doel laten shieten onder eenzelfde shiethoek. Hij weet dat hij hierbij een irkelboog moet laten uitlijnen, waarvan het middelpunt op de middelloodlijn van moet liggen. Op welke afstand van de doellijn ligt als de shiethoek 35 moet bedragen? Hoe groot is de shiethoek en de straal van de irkelboog als op 5 m van de doellijn ligt? 7,3 m 47

42 Opdrahten 59 Een lijnstuk met lengte l is middelevenredig tussen lijnstukken met lengtes a en b als en slehts als l a l = a b of =. l b Verklaar waarom op de onderstaande figuren [ ] middelevenredig is tussen en. opdrahten onstrueer een lijnstuk dat middelevenredig is tussen de gegeven lijnstukken en. l l a b a b 6 m,5 m ERE REEKS 60 ereken de middelpuntshoek ^. S 0? 3 E 48

43 e irkel.3 Raaklijn aan een irkel EERSTE REEKS 6 In de irkel is de middelpuntshoek ^ = 8 en t is een raaklijn aan in. ereken de hoek ^. 8 t opdrahten 6 e rehte t is een raaklijn uit aan de irkel (,r) met raakpunt Q. ereken de hoek Q^R met de gegevens in de figuur. Q t 5 R 63 Wat is de verzameling van de middelpunten van de irkels die een straal van 3 m hebben en raken aan een gegeven rehte a? 64 In de figuur is de irkel (,r) getekend met raaklijnen en. = 7,8 en = 6. ereken de straal van de irkel. ereken de hoek ^. N 49

44 Opdrahten opdrahten 65 Een vliegtuig V vliegt boven de Noordpool N. is één van de zihtbare plaatsen op aarde met de grootste reikwijdte. ereken de hoogte h waarop het vliegtuig zih boven de aarde bevindt, als op 87 N ligt. e straal van de aarde is 6378 km. h V N TWEEE REEKS 66 e planeten Venus (V) en aarde () beshrijven bij benadering irkelvormige banen rond de zon (Z). Teken een stand van V en een stand van waarbij de hoek V^Z het grootst is. Herhaalde metingen van de hoek V^Z laten toe te besluiten dat de maximale grootte van deze hoek 46 is. ereken hieruit de straal van de Venusbaan, als je weet dat de afstand tussen de aarde en de zon 50 miljoen kilometer bedraagt. Z V 50

45 e irkel 67 e rehte a is een raaklijn in aan de irkel die de hoekpunten van de driehoek bevat. ereken de hoek a met de gegevens in de figuur. a Een vierkant heeft als zijde 0. Een irkel (,r) gaat door en en raakt aan. ereken de straal r van de irkel. a 80 0 opdrahten 69 Een satelliet blijft boven hetzelfde punt op de evenaar als de aarde draait. ls de aarde gezien wordt onder een hoek van 8, welk deel van de evenaar is dan zihtbaar vanuit de satelliet? 8 5

46 Opdrahten ERE REEKS 70 Twee zijden van de driehoek raken aan een halve irkel met middelpunt. = 3, = 4 en = 5. ereken E. opdrahten 7 E T S ( ) ( ) Gegeven zijn de irkels ; 45, en, waarbij = 8. e twee irkels hebben twee uitwendig gemeenshappelijke raaklijnen die elkaar snijden in S en twee inwendig gemeenshappelijke raaklijnen die elkaar snijden in T. Omdat de gemeenshappelijke middellijn een symmetrie-as is van de beide irkels, liggen S en T op deze middellijn. ereken S en T. ereken de hoeken ^S en ^T, gevormd door deze uitwendige en inwendige gemeenshappelijke raaklijnen, waaronder de beide irkels gezien worden vanuit S en T. 7 Hoe lang zijn de rehte stukken van een fietsketting die loopt over een groot kamwiel met straal 9,5 m en met een klein kamwiel met straal 3,5 m als de middelpunten van beide kamwielen 46 m uit elkaar staan? 5

47 e irkel.4 Onderlinge ligging van twee irkels EERSTE REEKS 73 Vervolledig de volgende tabel. r r onderlinge stand van (,r ) en (,r ) opdrahten inwendig rakend uitwendig rakend 74 Wat is de verzameling van de middelpunten van de irkels die een straal van 3 m hebben en die raken aan een gegeven irkel met middelpunt en straal 4 m? 75 Een irkel met straal 4 en een irkel met straal 5 raken elkaar uitwendig en beide raken inwendig aan een irkel met straal. epaal de omtrek van de driehoek gevormd door de middelpunten van deze drie irkels E 6 (ron JWO, eerste ronde 009) 53

48 Opdrahten 76 onstrueer een irkel die de irkels en uitwendig raakt. onstrueer een irkel die de irkels en inwendig raakt. opdrahten TWEEE REEKS 77 Noem en de snijpunten van de irkels en met middelpunten en. Waarom is de middelloodlijn van? Twee irkels (,8) en (,5) snijden elkaar in en. ereken als =. 78 innen een irkel met straal bevinden zih twee even grote irkels met straal die elkaar uitwendig raken en de grote irkel inwendig raken. uiten de twee kleine irkels en binnen de grote irkel bevindt zih een kleinere irkel die de andere drie irkels raakt. ereken de straal van die kleinste irkel. (ron Nederlandse Wiskunde Olympiade, eerste ronde 003) 54

49 e irkel ERE REEKS 79 e irkels (,r ) en (,r ) raken elkaar uitwendig in. Een gemeenshappelijke snijlijn door snijdt in Q en in R. Is de raaklijn in Q aan evenwijdig met de raaklijn in R aan? Verklaar. 80 Twee irkels snijden elkaar in en in en de gemeenshappelijke koorde heeft als lengte 0. Het lijnstuk dat de middelpunten van de irkels verbindt, snijdt de irkels in en in Q. Q = 3 en de straal van één van de irkels is 3. ereken de straal van de andere irkel. opdrahten 55

50 Opdrahten.5 Omgeshreven en ingeshreven irkel van een driehoek EERSTE REEKS opdrahten 8 onstrueer de omgeshreven en de ingeshreven irkel van de driehoek met zijden = 5m, = 6m en = 7m. 8 In een stad zijn drie basissholen, en. e ouders sturen hun kinderen naar de dihtstbijzijnde shool. Waar wonen de ouders die kunnen kiezen tussen de drie sholen? onstrueer deze woonplaats op de figuur. reer het gebied waar de ouders wonen die hun kinderen naar shool sturen. 83 Een gelijkbenige driehoek heeft als tophoek ^ = 48. ls O het middelpunt is van de ingeshreven irkel, dan is de hoek ^O gelijk aan E 3 48 O (ron JWO, eerste ronde 008) 84 e straal van de ingeshreven irkel van een gelijkzijdige driehoek is 0. ereken de straal van de omgeshreven irkel van deze driehoek. 56

51 e irkel TWEEE REEKS 85 onstrueer de irkel die raakt aan de zijde van de driehoek en aan de verlengden [ en [E van de andere zijden van deze driehoek. We noemen deze irkel de aangeshreven irkel van de driehoek. 86 ls a, b en de zijden zijn van driehoek en r is de straal van de omgeshreven irkel, dan is ab opp =. 4r ewijs. b r E opdrahten a ERE REEKS 87 onstrueer een rehthoekige driehoek die een hoek van 60 heeft en waarvan de straal van de ingeshreven irkel m is. ereken de zijden van deze driehoek. 88 In de gelijkzijdige driehoek met zijde 0 zijn drie ongruente irkels getekend. Elk van deze irkels raakt aan twee zijden van de driehoek en aan de twee andere irkels. ereken de straal van deze irkels. 0 57

52 Opdrahten opdrahten.6 Regelmatige veelhoeken EERSTE REEKS 89 Een voetbal bestaat uit 0 regelmatige zeshoeken en regelmatige vijfhoeken. Om een voetbal te maken worden de vijfhoeken en zeshoeken met de goede kant tegen elkaar gelegd en aan elkaar genaaid. er naad zijn er 8 steken. Hoeveel steken zijn er nodig om een voetbal volledig diht te naaien? 90 Van welke regelmatige n-hoek zijn de hoeken 6? 9 Voor een gegeven regelmatige vijfhoek E kan een irkel met middelpunt getekend worden die raakt aan in en aan in. ereken de hoek ^. E 9 ereken de gekleurde oppervlakte in de regelmatige ahthoek met zijde

53 e irkel TWEEE REEKS 93 Een wandelaar gaat 00 m in rehte lijn, draait dan preies 0 naar rehts, gaat dan weer 00 m rehtdoor, draait dan weer 0 naar rehts en marheert zo verder tot hij terug in zijn beginpunt komt. Welke regelmatige veelhoek heeft hij beshreven? Hoe lang duurde zijn wandeling als hij een gemiddelde snelheid van 4 km/h haalde? 3 Hoeveel bedraagt de grootste afstand tussen de wandelaar en zijn startpunt? 94 ls een regelmatige zeshoek ingeshreven is in een irkel met straal r, dan is de lengte van een diagonaal die niet door het middelpunt gaat gelijk aan 3r r r 3 r E r 5 (ron VWO, eerste ronde 996) opdrahten ERE REEKS 95 E is een regelmatige vijfhoek met middelpunt waarbij en N = = 4. 3 Wat is de verhouding van de geareerde oppervlakte tot de totale oppervlakte van de vijfhoek? E N 3 7 E (ron JWO, tweede ronde 008) 59

54 Opdrahten 96 Onderzoeksopdraht et regelmatige veelhoeken zijn veel vlakvullingen mogelijk. Zo kun je met regelmatige zeshoeken een vlakvulling maken waarbij in elk hoekpunt drie zeshoeken samenkomen. We noemen dit een of 6 3 vlakvulling. opdrahten Verklaar waarom we de nevenstaande vlakvulling een vlakvulling noemen Teken zelf een stuk van een a vlakvulling. b 8 4 vlakvulling. 3 Geef zelf nog enkele vlakvullingen die mogelijk zijn met regelmatige veelhoeken. 97 Onderzoeksopdraht oor een regelmatige veelhoek EF te spiegelen t.o.v. één van zijn zijden, vervolgens het spiegelbeeld weer te spiegelen t.o.v. één van zijn zijden, enzovoort, krijgen we een krans van regelmatige veelhoeken. F a E a = 60 b Hiernaast zie je een krans die bestaat uit zes regelmatige zeshoeken (bijenellen). Het is gelukt om die krans te tekenen omdat de hoek a (= 60 ) tussen twee opeenvolgende spiegelassen a en b een geheel aantal keren (6 maal) past in

55 e irkel Onderzoek met een dynamish meetkundepakket of je een dergelijke krans kunt maken met vijfhoeken, zevenhoeken, ahthoeken, negenhoeken, tienhoeken, elfhoeken en twaalfhoeken. Verklaar telkens waarom de onstrutie mogelijk is of niet. We gaan nu op zoek naar alle regelmatige veelhoeken, waarvoor het lukt om een krans te maken met een regelmatig veelhoekig gat in het midden. aarom zoek je een verband tussen twee variabelen n en k met n: het aantal zijden van de regelmatige veelhoek k: het aantal veelhoeken van de krans, d.i. het aantal zijden van de inwendige veelhoek Is a de hoek tussen twee opeenvolgende spiegelassen, dan weet je dat er een krans mogelijk is als er een natuurlijk getal k bestaat zó dat k a = 360. it getal k is dan het aantal veelhoeken van de krans. Om hieruit een verband tussen n en k af te leiden, moet je a berekenen in funtie van n. it verband kun je berekenen in drie stappen a, b en. a epaal eerst een verband tussen a, de hoek tussen twee opeenvolgende b spiegelassen en b, de hoek van de regelmatige veelhoek zelf. Voor regelmatige vijfhoeken zie je op a de nevenstaande tekening dat a + 3b = 360. as deze formule nu aan voor een zeshoek, een zevenhoek,... en veralgemeen voor een n-hoek. b ruk b uit in funtie van n. Substitueer nu de uitdrukking voor b die je in b vond, in de formule voor a die je in a vond en je vindt een verband tussen a en n. Toon aan dat je dit verband kunt hershrijven als k a = 360 met n k =. n 4 ls je het verband tussen k en n gevonden hebt, is het vinden van kransen teruggebraht tot een rekenkundig probleem: bij welke waarden van n is k een natuurlijk getal groter of gelijk aan 3? aak nu een lijst van alle mogelijke kransen en zet er een tekening bij. opdrahten 6

56 Herhalingsopdrahten Herhalingsopdrahten 98 Teken alle irkels met straal 3 m die als koorde hebben. herhalingsopdrahten 99 ereken de hoeken ^, ^, ^, ^, ^E, ^F en ^ met de gegevens aangeduid in de irkel met middelpunt. 00 Gegeven de irkel (,6) met ^ = ^ = ^ 3. Toon aan dat = = =6. Toon aan dat S = S ( = x) en S = S ( = y). 3 ereken x en y. x S F y E 0 Een olievat dat neerligt heeft een diameter van 50 m. Om een shans te maken, legt men er een plank op. Wat is de hoek die de plank maakt met de grond? m 0 Twee irkels en hebben hetzelfde middelpunt en als straal 4 m en 6 m. Een raaklijn aan de kleinste irkel bepaalt een koorde van de grootste irkel. ereken. 6

57 e irkel 03 In de trapzaal van een flatgebouw bevindt zih een prismavormige ruimte, met een rehthoekige driehoek als grond- en bovenvlak. In die ruimte komt een ilindervormige stortkoker voor huisvuil. ereken de diameter van de grootst mogelijke stortkoker. 04 e irkel heeft als middelpunt O en als straal. ereken met de gegevens in de figuur. m,4 m herhalingsopdrahten O 5 05 In de figuur zijn 7 rakende irkels getekend en een zeshoek waarvan de hoekpunten de middelpunten van 6 irkels zijn. e oppervlakte van elk van de irkels is gelijk aan m. ereken de oppervlakte van het geareerde gebied. ereken de omtrek van de zeshoek. 3 ereken de oppervlakte van de zeshoek. 63

58 Herhalingsopdrahten 06 Lies staat midden voor een gebouw dat 48 m breed is. ls ze 5 m dihter bij het gebouw staat, ziet ze dat onder een twee keer zo grote hoek. Hoe ver staat Lies in beide gevallen van het gebouw af? Onder welke hoeken ziet ze dan in beide gevallen het gebouw? herhalingsopdrahten 07 In de gelijkbenige driehoek QR is Q = 8 en R = QR = 5. ereken de straal van de ingeshreven irkel van de driehoek QR. ereken de straal van de irkel die raakt aan de zijden R en QR en de irkel uitwendig raakt. R J 5 5 I 8 Q 64