Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek"

Transcriptie

1 e irkel. iddellijn, koorde en apothema. iddelpuntshoek en omtrekshoek.3 Raaklijn aan een irkel.3. Raaklijn in een punt van een irkel.3. Raaklijnen uit een punt aan een irkel.4 Onderlinge ligging van twee irkels.5 Omgeshreven en ingeshreven irkel van een driehoek.5. Omgeshreven irkel van een driehoek.5. Ingeshreven irkel van een driehoek.6 Regelmatige veelhoeken.6. Regelmatige veelhoeken.6. Omtrek en oppervlakte van een regelmatige veelhoek

2 . iddellijn, koorde en apothema. iddellijn, koorde en apothema e vierhoek is een parallellogram, EFGH is een rehthoek en QRS is een ruit. Van welke van deze vierhoeken liggen de hoekpunten op een irkel? Verklaar waarom dat zo is. Teken het middelpunt en bereken de straal van deze irkel(s). S H G R 4 E 3 F Q e irkel heeft als middelpunt en als straal 8. e koorde snijdt de middellijn m in N en m ^. e afstand van tot is 6. ereken N en N. 6 N 8 m 8

3 e irkel iddellijn, koorde en apothema efinities e irkel met middelpunt en straal r is de verzameling van alle punten die op een afstand r van het punt liggen. We noteren: (,r). Een koorde van een irkel is een lijnstuk dat twee punten van de irkel verbindt. irkelboog koorde Een middellijn van een irkel is een N koorde van de irkel die het middelpunt bevat. Q apothema r e lengte van een middellijn is de van [ Q] diameter van de irkel. e diameter is het dubbele van de straal. middellijn Ook een rehte door het middelpunt noemen we een middellijn van de irkel. R Een irkelboog is een deel van een irkel, begrensd door twee punten. e kleine boog tussen twee punten en Q op de irkel noteren we als Q, de grote boog noteren we als RQ. Het apothema van een koorde is de afstand van het middelpunt van de irkel tot die koorde. Zo is N het apothema van [ Q]. Ook het lijnstuk N noemen we het apothema van die koorde. 9

4 . iddellijn, koorde en apothema Eigenshap e middellijn loodreht op een koorde deelt de koorde middendoor. Gegeven: irkel (,r) m koorde [ Q] S middellijn m ^ Q m snijdt Q in S r Te bewijzen: S = QS r Q ewijs Teken de stralen en Q. Z = Q = r S QS omdat Z S = S 90 S ^ = QS ^ = 90 S = QS gemeenshappelijke zijde gegeven Gevolg Een middellijn van een irkel is een symmetrieas van de irkel. Een irkel heeft dus oneindig veel symmetrieassen en is zo de vlakke figuur met de rijkste symmetrie. 0

5 e irkel 3 Teken in een irkel (,5) een koorde waarvan het apothema 3 m is. ereken. 3 ereken ^. 4 In een irkel (;6,5) is een koorde m lang. ereken het apothema van deze koorde. Verklaar de volgende eigenshap: gelijke koorden hebben gelijke apothema s. 5 onstrueer de koorde van de irkel die voldoet aan de volgende twee voorwaarden: is evenwijdig met de rehte a; wordt door Q middendoor gedeeld. a Q

6 . iddelpuntshoek en omtrekshoek. iddelpuntshoek en omtrekshoek 6 ereken ^ met de gegevens in de figuur. 0 ereken ^ = ^ + ^ met de gegevens in de figuur ereken ^ en ^ met de gegevens in de figuur Welk verband vind je in de drie gevallen tussen ^ en ^?

7 e irkel iddelpuntshoek en omtrekshoek iddelpuntshoek en omtrekshoek van een irkel Een middelpuntshoek van een irkel is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van de irkel. Een omtrekshoek van een irkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de irkel ligt en waarvan beide benen de irkel snijden. ^ is de middelpuntshoek die op de boog staat ^ is een omtrekshoek die op de boog staat Eigenshap Een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat. Gegeven: irkel (,r) irkelboog middelpuntshoek ^ en omtrekshoek ^ Te bewijzen: ^ = ^ ewijs eerste geval: het middelpunt ligt op een been van de omtrekshoek ^+ ^ + ^ = 80 ^+ ^ = 80 ^= 80 - ^ ^= ^ ^ = ^ hoekensom in is gelijkbenig zodat ^= ^ 3

8 . iddelpuntshoek en omtrekshoek tweede geval: het middelpunt ligt binnen de omtrekshoek Teken de middellijn. an geldt: ^ = ^ + ^ ^ = + ^ = ^ + ^ = ^ ( ) eerste geval derde geval: het middelpunt ligt buiten de omtrekshoek Teken de middellijn. an geldt: ^ = ^ - ^ ^ = - ^ = ^ - ^ = ^ ( ) eerste geval Gevolgen Omtrekshoeken die op eenzelfde boog staan, zijn gelijk. Q R ^ ^ ^ ^ Q R = = = 4

9 e irkel Een omtrekshoek die op een halve irkel of op een middellijn staat, is reht. Q ^ = Q ^ = R ^ = ^ = 80 = 90 R 7 ereken de hoeken ^, ^ en ^ als je weet dat de driehoek gelijkzijdig is. 8 ereken de hoeken ^, ^, ^Q en ^S met de gegevens in de figuur. Q 40 S 8 R 9 Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan alle hoekpunten op een irkel liggen. ewijs dat de overstaande hoeken van een koordenvierhoek supplementair zijn. 0 Teken een rehthoekige driehoek waarvan de shuine zijde 6 m meet en de hoogte op de shuine zijde m is. 5

10 .3 Raaklijn aan een irkel.3 Raaklijn aan een irkel.3. Raaklijn in een punt van een irkel Raaklijn in een punt van een irkel Onderlinge ligging van een rehte en een irkel Een rehte en een irkel kunnen twee, één of geen punten gemeen hebben. s t u T efinities Een snijlijn van een irkel is een rehte die met de irkel twee punten gemeen heeft. e gemeenshappelijke punten zijn de snijpunten van de rehte en de irkel. Een raaklijn aan een irkel is een rehte die met de irkel één punt gemeen heeft. Het gemeenshappelijk punt van de rehte en de raaklijn noemen we het raakpunt. Eigenshap e loodlijn op een middellijn, door een eindpunt ervan, is een raaklijn aan de irkel. Gegeven: irkel (,r) middellijn van a a door en a ^ r Te bewijzen: a is een raaklijn aan ewijs Voor een willekeurig punt op a dat vershillend is van geldt: > In de rehthoekige driehoek is de shuine zijde [ ] de langste zijde. > r ligt buiten is bijgevolg het enige punt dat a en gemeen hebben, zodat a een raaklijn is aan. 6

11 e irkel Gevolg Om een raaklijn in een punt van een irkel te onstrueren, moeten we de loodlijn op de middellijn door dat punt tekenen t t is een raaklijn aan in Omgekeerde eigenshap Een raaklijn aan een irkel staat loodreht op de middellijn door het raakpunt. Gegeven: irkel (,r) raaklijn t aan met raakpunt T t T Q Te bewijzen: t ^ T ewijs Veronderstel dat T niet loodreht op t zou staan.(*) an is er een andere loodlijn uit op t met voetpunt Q π T. Omdat t een raaklijn is aan, is T het enige punt dat t en gemeen hebben. lle andere punten van t liggen dus buiten de irkel, zodat geldt : Q > T. () In de rehthoekige driehoek QT is de shuine zijde [ T ] de langste zijde, zodat geldt: Q < T. () it is in strijd met (). e veronderstelling (*) leidt tot een tegenstrijdigheid en is dus vals. Hieruit volgt: t ^ T. 7

12 .3 Raaklijn aan een irkel Opmerkingen Het bovenstaande bewijs is een voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde. Hierbij veronderstellen we dat het te bewijzen niet waar is en laten we zien dat deze veronderstelling tot een tegenstrijdigheid leidt. Uit de bovenstaande eigenshappen volgt dat er maar één raaklijn is in een punt van een irkel. Vandaar dat we nu kunnen spreken over de raaklijn in een punt van de irkel. esluit In de irkel met middelpunt en straal r= T geldt: t is de raaklijn aan met raakpunt T t t ^ T en t gaat door T Hieruit volgt: r T t is de raaklijn aan met raakpunt T d(,t) = r is een punt op de irkel met middelpunt. onstrueer de raaklijn d aan de irkel in. onstrueer een tweede raaklijn e aan die evenwijdig is met d. In de figuur is T een raaklijn aan de irkel (,0) met T =. ereken x en T^. T x 8

13 e irkel 3 a is een raaklijn aan (,7) met raakpunt. e rehte b is evenwijdig met a en snijdt de irkel in en. e afstand tussen a en b is 8. ereken de zijden en de hoeken van driehoek. a 8 7 b 4 onstrueer een irkel die door gaat en raakt aan de rehte t in. t.3. Raaklijnen uit een punt aan een irkel 5 Hoeveel raaklijnen aan de irkel gaan door?? 3? 9

14 .3 Raaklijn aan een irkel Raaklijnen uit een punt aan een irkel Eigenshap e raaklijnen uit een punt aan een irkel zijn even lang. Onder raaklijnen verstaan we in dit geval de lijnstukken tussen het punt en de raakpunten. Gegeven: irkel (,r) punt buiten raaklijnen [ ] en [ ] aan met raakpunten en Te bewijzen: = ewijs We tekenen en de stralen en. Z = = omdat Z = 90 ^= ^ = 90 = r gemeenshappelijke zijde r een raaklijn staat loodreht op de middellijn door het raakpunt Gevolg ls en raaklijnen zijn aan de irkel (,r) met raakpunten en, dan is de middelloodlijn van. Verklaring e middelloodlijn van een lijnstuk is de verzameling van alle punten die even ver liggen van de uiteinden van dat lijnstuk. ligt op de middelloodlijn van want =. ligt op de middelloodlijn van want = = r. N ijgevolg is de middelloodlijn van [ ] zodat ^ en N = N. 0

15 e irkel 6 en zijn raaklijnen aan de irkel (,5) met raakpunten en. = 3. ereken en. ereken ^. 3 ereken de lengte van de koorde. 5 7 en zijn raaklijnen aan de irkel (,5) met raakpunten en. = 8. ereken ^ en ^. ereken en is een raaklijnenvierhoek van de irkel (;3,5), dit betekent dat elke zijde van de vierhoek een raaklijn is van de irkel. e raakpunten zijn, Q, R en S. Twee zijden van de vierhoek zijn gegeven: 9 = 6 en = 9. R Stel = x en R = y. ruk nu en uit in funtie van x en y. ereken de omtrek van de vierhoek. 3,5 Q 3 ereken de oppervlakte van de vierhoek. S 6

16 .3 Raaklijn aan een irkel onstrutie van raaklijnen uit een punt aan een irkel Om de raaklijnen uit een punt aan een irkel (,r) te onstrueren, kun je als volgt te werk gaan: bepaal het midden van [ ] en teken de irkel (, ); bepaal de snijpunten en van en en teken en. en zijn de gevraagde raaklijnen want ^ = ^ = 90 omdat ze omtrekshoeken op de middellijn zijn. 9 Teken een irkel met straal,5 m. onstrueer de raaklijnen aan die irkel uit een punt dat op 7 m ligt van het middelpunt van. ereken de lengte van deze raaklijnen. 3 ereken de sherpe hoek gevormd door deze raaklijnen.

17 e irkel.4 Onderlinge ligging van twee irkels 0 Hoeveel gemeenshappelijke punten hebben de irkels, 6 en, 4 als >? 0 =? 0 3 < < 0? 4 =? 5 <? ( ) ( ) ( ) ( ) Welk verband is er tussen, r en r als de irkels, r en, r met r r geen gemeenshappelijke punten hebben? één gemeenshappelijk punt hebben? 3 twee gemeenshappelijke punten hebben? 3

18 .4 Onderlinge ligging van twee irkels Onderlinge ligging van twee irkels Voor de onderlinge ligging van de irkels en met middelpunten en en stralen r en r, met r r, bestaan de volgende mogelijkheden. en liggen volledig buiten elkaar 4 en zijn inwendig rakende irkels met raakpunt T r r r r T > r + r = r - r en zijn uitwendig rakende irkels met raakpunt T 5 en liggen volledig binnen elkaar r r T r r = r + r < r - r 3 en zijn snijdende irkels met snijpunten en 6 en zijn onentrishe irkels r r r r = r - r < < r + r = 0 e gemeenshappelijke middellijn noemen we de entraal van de twee irkels. Ze is een symmetrieas van beide irkels. Omwille van de symmetrie ligt bij rakende irkels het raakpunt op de entraal en zijn bij snijdende irkels de snijpunten elkaars spiegelbeeld ten opzihte van de entraal. 4

19 e irkel Wat is de onderlinge ligging van de irkels (,3) en (,5) als =? 4 = 5? =? 5 = 8? 3 = 3? 6 = 0? 3 rie irkels raken elkaar twee aan twee zoals op de figuur. ls de stralen van de irkels respetievelijk dm, dm en 3 dm lang zijn, hoe groot is dan de oppervlakte van de driehoek met de drie middelpunten als hoekpunten? 4 dm 6 dm 8 dm 0 dm E dm (ron JWO, eerste ronde 006) 4 onstrueer twee irkels met middelpunten en en respetievelijke stralen r en r zodat = r + r. Noem een snijpunt van de irkels. Welke hoek maken de raaklijnen in aan beide irkels? 5

20 .5 Omgeshreven en ingeshreven irkel van een driehoek.5 Omgeshreven en ingeshreven irkel van een driehoek.5. Omgeshreven irkel van een driehoek 5 Teken drie vershillende punten, en. Teken de verzameling van alle punten die even ver liggen van als van. 3 Teken de verzameling van alle punten die even ver liggen van als van. 4 Teken, indien mogelijk, het punt dat even ver ligt van, en. 5 Voor welke ligging van, en is er geen punt dat even ver ligt van deze drie punten? Verklaar. Omgeshreven irkel van een driehoek Eigenshap oor de hoekpunten van een driehoek gaat juist één irkel. Gegeven: driehoek Te bewijzen: er bestaat juist één irkel die door, en gaat ewijs onstrueer de middelloodlijnen m van en n van. Noem het snijpunt van m en n. ligt op m en ligt op n = fl en fl = = fl ( ) e irkel, gaat door, en. e middelloodlijn van een lijnstuk is de verzameling van alle punten die even ver liggen van de eindpunten van dat lijnstuk. angezien m en n één snijpunt hebben, is er maar één punt dat even ver van, en ligt. ( ) e irkel, = is dus enig. m n 6

21 e irkel rie of meer punten die tot eenzelfde rehte behoren, noemen we ollineaire punten. oor drie ollineaire punten, en gaat geen irkel. e middelloodlijnen m en n lopen dan evenwijdig en hebben dus geen snijpunt. m n e vorige eigenshap kunnen we dan ook als volgt formuleren. oor drie niet-ollineaire punten gaat juist één irkel. Uit = volgt dat ook op de middelloodlijn van ligt. rie of meer rehten die door eenzelfde punt gaan, noemen we onurrente rehten. e drie middelloodlijnen van een driehoek zijn onurrent. e irkel die door de hoekpunten van de driehoek gaat, noemen we de omgeshreven irkel van deze driehoek. Het middelpunt van de omgeshreven irkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de driehoek. e straal van de omgeshreven irkel is de afstand van het middelpunt tot een van de hoekpunten van de driehoek. 7

22 .5 Omgeshreven en ingeshreven irkel van een driehoek 6 onstrueer de omgeshreven irkel van een driehoek met zijden = 4m, = 5men = 6m. onstrueer een driehoek met 5 m als straal van de omgeshreven irkel, = 7m en = 9m. 7 e gelijkzijdige driehoek met zijde 6 heeft Z als zwaartepunt. Waarom is Z het middelpunt van de omgeshreven irkel van de driehoek? ereken de straal van. 6 Z 8 onstrueer een gelijkbenige driehoek met = =6m en = 4m. onstrueer de omgeshreven irkel van de driehoek. 3 ereken de straal van. 8

23 e irkel.5. Ingeshreven irkel van een driehoek Ingeshreven irkel van een driehoek Eigenshap Er bestaat juist één irkel die de drie zijden van een driehoek raakt. Gegeven: driehoek Te bewijzen: er bestaat juist één irkel die raakt aan, en ewijs onstrueer de bissetries d van ^ en d van ^. Noem I het snijpunt van d en d. I = IE = IF I ligt even ver van de zijden van de driehoek fl e irkel I, I raakt aan, en. Een rehte waarvan de afstand tot het middelpunt van een irkel gelijk is aan de straal, is een raaklijn aan de irkel. angezien d en d één snijpunt I hebben, is er maar één punt dat even ver van, en ligt. I ligt op d I ( ) ( ) e irkel I, I en is dus enig. I ligt op d ( I, ) = ( I, ) ( I, ) = ( I, ) d d en d d = IE en I = IF e bissetrie van een hoek bestaat uit punten even ver van de benen van de hoek. d E I F d 9

24 .5 Omgeshreven en ingeshreven irkel van een driehoek angezien IE = IF, ligt I ook even ver van als van. I ligt dus ook op de bissetrie d van ^. e drie bissetries van een driehoek zijn onurrent. e irkel die raakt aan de zijden van de driehoek, noemen we de ingeshreven irkel van deze driehoek. Het middelpunt van de ingeshreven irkel is het snijpunt van de bissetries van de driehoek. d I r d e straal van de ingeshreven irkel is de afstand van het middelpunt tot een van de zijden van de driehoek. d 9 onstrueer de ingeshreven irkel van de rehthoekige driehoek. ereken de straal van de ingeshreven irkel ereken de zijde van een gelijkzijdige driehoek waarvan de straal van de ingeshreven irkel 6 is. 30

25 e irkel.6 Regelmatige veelhoeken.6. Regelmatige veelhoeken 3 onstrueer in de irkel (,5) stralen,,, [ ] en [ E ] die de 360 rond in vijf gelijke middelpuntshoeken verdelen. Toon aan dat de zijden en de hoeken van de vijfhoek E gelijk zijn. 5 Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden en alle hoeken gelijk zijn. Een regelmatige driehoek is een gelijkzijdige driehoek. Een regelmatige vierhoek is een vierkant. Een regelmatige veelhoek met n zijden noemen we een regelmatige n-hoek. e zijde van een regelmatige n-hoek noteren we als z n. We kunnen een regelmatige n-hoek onstrueren vertrekkend van de omgeshreven irkel van deze veelhoek met middelpunt. Teken daartoe in deze irkel n stralen,,,... die de 360 rond 360 verdelen in n gelijke middelpuntshoeken van. (ZHZ) volgt dat H en ^ = ^ = =... =... G zodat... een regelmatige n-hoek is. We zeggen dat de regelmatige n-hoek r ingeshreven is in de irkel. N a 8 We noemen het middelpunt, de straal, ^ de middelpuntshoek en d(,) = N regelmatige n-hoek. het apothema a n van de et straal en apothema kunnen we ook het lijnstuk bedoelen. r 45 r 45 z 8 E F 3

26 .6 Regelmatige veelhoeken Vertrekkend van de omgeshreven irkel kun je steeds een regelmatige n-hoek onstrueren waarvan de hoekpunten op deze irkel liggen. Omgekeerd geldt de volgende eigenshap. e hoekpunten van een regelmatige veelhoek liggen op een irkel. Voor een bewijs van deze eigenshap verwijzen we naar opdraht 36. angezien de som van de hoeken van een n-hoek gelijk is aan ( n - ) 80, is elke hoek van een regelmatige n-hoek gelijk aan ( n ) = n n Zo is de hoek van een regelmatige ahthoek 360 gelijk aan 80 - = H G E F 3 EF is een regelmatige zeshoek met omgeshreven irkel (,r). Toon aan dat de zijde z 6 van de zeshoek gelijk is aan de straal r. F E r z 6 aak gebruik van de eigenshap uit om een regelmatige zeshoek te onstrueren in een willekeurige irkel. 3 onstrueer een gelijkzijdige driehoek. 4 onstrueer een regelmatige twaalfhoek. 3

27 e irkel 33 Van twee regelmatige veelhoeken met omgeshreven irkel is telkens een zijde gegeven. Voor welke regelmatige n-hoek, ingeshreven in de irkel, is een zijde? 3 z 6 z 4 z z4 z 5 z 4 34 Een regelmatige vijfhoek en een regelmatige zeshoek hebben een zijde gemeenshappelijk (zie figuur).? Hoe groot is de aangeduide hoek? E 35 (ron JWO, tweede ronde 008) 35 In welke regelmatige veelhoek is de kortste diagonaal even lang als de straal van de omgeshreven irkel? zeshoek ahthoek tienhoek twaalfhoek E vijftienhoek (ron VWO, tweede ronde 997) V 36 E is een regelmatige vijfhoek met zijde 5. onstrueer de irkel die door, en gaat. Toon aan dat die irkel ook door en E gaat. 3 ereken de straal van die omgeshreven irkel van E. 5 E 33

28 .6 Regelmatige veelhoeken.6. Omtrek en oppervlakte van een regelmatige veelhoek 37 ereken de zijde en de omtrek van de regelmatige vijfhoek E met omgeshreven irkel (,4). ereken de oppervlakte van de vijfhoek E. E 4 Omtrek en oppervlakte van een regelmatige veelhoek Omtrek van een regelmatige n-hoek In de regelmatige n-hoek met zijde zn = en omgeshreven irkel (,r) kunnen we z n als volgt uitdrukken in r en n. Teken in de driehoek de zwaartelijn [ N]. angezien de driehoek gelijkbenig is, is de z n driehoek N rehthoekig in N. N an r ovendien is ^ ^ = = =. r () n n zn In N is sin ^ zn = = r r zodat z r ^ n = sin. () Invullen van () in () geeft: zn = 80 r sin n (3) Hieruit volgt een formule voor de omtrek van een regelmatige n-hoek: pn = 80 nr sin n 34

29 e irkel Oppervlakte van een regelmatige n-hoek In de regelmatige n-hoek met zijde zn = kunnen we ook de oppervlakte n uitdrukken in r en n. We verdelen de n-hoek in n driehoeken zodat n n z a n n n = opp =. (4) z n In N met hoek ^ = 80 N an r n vinden we het apothema an = r N uit os ^ an = r zodat a r ^ n = os = 80 ros. (5) n Invullen van (3) en (5) in (4) geeft een formule voor de oppervlakte n van een regelmatige veelhoek: n = nr sin os n n Regelmatige veelhoeken en irkels pn n In de volgende tabel berekenen we en voor steeds grotere waarden van n. r r n pn 80 n = nsin = nsin os r n r n n , , , , , , , , , , , , We vinden steeds betere benaderingen van p = 3, pn n ls n voldoende groot is, dan is p en p of p en n p r n p r. r r We herkennen hierin de formules voor omtrek en oppervlakte van een irkel. Hoe meer hoekpunten een regelmatige veelhoek heeft, hoe beter haar omtrek en oppervlakte die van haar omgeshreven irkel benadert. Vandaar dat je een irkel ook een regelmatige oneindig-hoek zou kunnen noemen. 35

30 .6 Regelmatige veelhoeken 38 Een regelmatige twaalfhoek heeft 5 m als straal van de omgeshreven irkel. ereken de omtrek van deze twaalfhoek. ereken de oppervlakte van deze twaalfhoek. 3 Hoeveel proent van de omgeshreven irkel wordt door de twaalfhoek bedekt? 39 Een dodeaëder is een ruimtefiguur die bestaat uit twaalf regelmatige vijfhoeken. ereken de manteloppervlakte van een dodeaëder met ribbe 5 m. 36

31 e irkel Samenvatting iddellijn, koorde en apothema e irkel met middelpunt en straal r is de verzameling van alle punten die op een afstand r van het punt liggen. We noteren (,r). Een koorde van een irkel is een lijnstuk dat twee punten van de irkel verbindt. Een middellijn van een irkel is een koorde van de irkel die door het middelpunt gaat of een rehte die door het middelpunt gaat. Het apothema van een koorde is de afstand van het middelpunt van de irkel tot die koorde of het bijbehorende lijnstuk. Eigenshap middellijn r koorde apothema van samenvatting e middellijn loodreht op een koorde deelt de koorde middendoor. Gevolg Een middellijn van een irkel is een symmetrieas van de irkel. N m m^ N = N 37

32 Samenvatting iddelpuntshoek en omtrekshoek Een middelpuntshoek van een irkel is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van de irkel. Een omtrekshoek van een irkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de irkel ligt en waarvan beide benen de irkel snijden. samenvatting Eigenshap Een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat. Gevolgen Omtrekshoeken die op eenzelfde boog staan, zijn gelijk. Een omtrekshoek die op een halve irkel of op een middellijn staat, is reht. ^ = ^ 38

33 e irkel Raaklijn aan een irkel Een raaklijn aan een irkel is een rehte die met de irkel één punt gemeen heeft. Eigenshappen e loodlijn op een middellijn, door een eindpunt ervan, is een raaklijn aan de irkel. Een raaklijn aan een irkel staat loodreht op de middellijn door het raakpunt. T t is de raaklijn aan (,r) met raakpunt T t ^ T en t gaat door T d(,t) = r t samenvatting e raaklijnen uit een punt aan een irkel zijn even lang. r [ ] en [ ] zijn raaklijnen aan (,r) fl r = 39

34 Samenvatting samenvatting Onderlinge ligging van twee irkels Voor de onderlinge ligging van de irkels en met middelpunten en en stralen r en r, met r r, bestaan de volgende mogelijkheden. en liggen volledig buiten elkaar 4 en zijn inwendig rakende irkels met raakpunt T r r r r T > r + r = r - r en zijn uitwendig rakende irkels met raakpunt T 5 en liggen volledig binnen elkaar r r T r r = r + r < r - r 3 en zijn snijdende irkels met snijpunten en 6 en zijn onentrishe irkels r r r r = r - r < < r + r = 0 40

35 e irkel Omgeshreven en ingeshreven irkel van een driehoek oor de hoekpunten van een driehoek gaat juist één irkel, de omgeshreven irkel van de driehoek. Het middelpunt van de omgeshreven irkel van een driehoek is het snijpunt van de middelloodlijnen van deze driehoek. e straal van de omgeshreven irkel is de afstand van het middelpunt tot een van de hoekpunten van de driehoek. an de zijden van een driehoek raakt juist één irkel, de ingeshreven irkel van de driehoek. Het middelpunt van de ingeshreven irkel van een driehoek is het snijpunt van de bissetries van deze driehoek. e straal van de ingeshreven irkel is de afstand van het middelpunt tot een van de zijden van de driehoek. d I d d samenvatting Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden en alle hoeken gelijk zijn. Om een regelmatige n-hoek te onstrueren, verdeel je de omgeshreven irkel in n gelijke 360 delen met middelpuntshoek. n e hoek van een regelmatige n-hoek is n e zijde van een regelmatige n-hoek is z. n = 80 rsin n e oppervlakte van een regelmatige n-hoek is n = nr sin 80 os 80. n n z 9 r I H E G F 4

36 Opdrahten Opdrahten. iddellijn, koorde en apothema opdrahten EERSTE REEKS 40 epaal de verzameling van de middelpunten van de irkels die door een gegeven punt gaan en 5 m als straal hebben. 4 onstrueer een koorde van de irkel (,r) zodanig dat het midden is van. 4 In een irkel met middelpunt heeft de koorde een lengte van 6 m. Het apothema van is m. ereken de straal van de irkel. ereken ^. 43 In de irkel (,r) deelt de koorde Q de straal loodreht middendoor. ereken de hoek ^Q. Q r 4

37 e irkel 44 Om een vierkant houten tafeltje te maken, vertrekt men van een ronde boomstam met een diameter van 06 m. Wat is de zijde van het grootste vierkant dat hieruit gezaagd kan worden? TWEEE REEKS 45 Laten we de driehoek T draaien over 80 om de middellijn T van de irkel, dan ontstaat een kegel. ereken de inhoud van de kegel als T = 6dm en N = 4dm. 6 T opdrahten 4 N ERE REEKS 46 Twee evenwijdige koorden in een irkel hebben 0 en 4 als lengte, en hun onderlinge afstand is 6. e koorde, evenwijdig met de gegeven koorden en preies halfweg tussen hen, heeft lengte a. an is a gelijk aan 4 a E 44 (ron VWO, tweede ronde 995) 43

38 Opdrahten. iddelpuntshoek en omtrekshoek EERSTE REEKS opdrahten 47 ereken de hoeken ^, ^, ^, ^, ^ en ^ in de irkel met middelpunt als ^ = 00. ereken de hoeken ^, ^, ^, ^, ^ en ^ in de irkel met middelpunt als ^ = ereken de hoeken ^, ^, ^, ^ en ^ met de gegevens in de figuur

39 e irkel 49 ereken de hoeken ^, ^, ^ 3, ^E, ^E, ^F, ^F en ^ met de gegevens in de irkel met middelpunt. 50 ereken de hoeken ^, ^, ^, ^, ^, ^E, ^E, ^F, ^F, ^ en ^ met de gegevens in de irkel met middelpunt. E F E F opdrahten TWEEE REEKS 5 ereken de hoeken ^, ^, ^ en ^E met de gegevens in de figuur. 4 E F 74 5 ereken de hoeken ^, ^, ^, ^, ^, ^E, ^E, ^F, ^H en ^K met de gegevens aangeduid in de irkel met middelpunt. F H K G 70 E 40 45

40 Opdrahten 53 Is ^Q = K^L? Verklaar. K Q L opdrahten 54 ls twee rehten uit een punt, buiten (figuur ) of binnen (figuur ) een irkel gelegen, deze irkel snijden in en, respetievelijk in en, dan is =. ewijs deze eigenshap. figuur figuur ereken de lengte van de koorde Q van (;7,5) als Q ^, = 3 en =. 3 Q 46

41 e irkel 55 Op de figuur zijn X en Y de middelpunten van de getekende irkelbogen. ereken de hoek a. Y X a 56 ls je in een irkel (O,r) een koorde verlengt met = r en de middellijn trekt, dan is ^O = 3 ^. ewijs deze eigenshap die je terugvindt als stelling 8 in Het boek der lemma s van rhimedes (a. 50 v. hr.). O opdrahten 57 Onder welke hoek zien we de koorde vanuit, Q en R? onstrueer een irkelboog van waaruit een lijnstuk van 5 m gezien wordt onder een hoek van Zijn er nog andere punten van waaruit gezien wordt onder een hoek van 60? Zo ja, welke? 4 Wat is de verzameling van punten van waaruit een lijnstuk [ E F] van 4 m gezien wordt onder een hoek van 90? Q 6 R 58 Een voetbaltrainer wil op een training zijn spelers op doel laten shieten onder eenzelfde shiethoek. Hij weet dat hij hierbij een irkelboog moet laten uitlijnen, waarvan het middelpunt op de middelloodlijn van moet liggen. Op welke afstand van de doellijn ligt als de shiethoek 35 moet bedragen? Hoe groot is de shiethoek en de straal van de irkelboog als op 5 m van de doellijn ligt? 7,3 m 47

42 Opdrahten 59 Een lijnstuk met lengte l is middelevenredig tussen lijnstukken met lengtes a en b als en slehts als l a l = a b of =. l b Verklaar waarom op de onderstaande figuren [ ] middelevenredig is tussen en. opdrahten onstrueer een lijnstuk dat middelevenredig is tussen de gegeven lijnstukken en. l l a b a b 6 m,5 m ERE REEKS 60 ereken de middelpuntshoek ^. S 0? 3 E 48

43 e irkel.3 Raaklijn aan een irkel EERSTE REEKS 6 In de irkel is de middelpuntshoek ^ = 8 en t is een raaklijn aan in. ereken de hoek ^. 8 t opdrahten 6 e rehte t is een raaklijn uit aan de irkel (,r) met raakpunt Q. ereken de hoek Q^R met de gegevens in de figuur. Q t 5 R 63 Wat is de verzameling van de middelpunten van de irkels die een straal van 3 m hebben en raken aan een gegeven rehte a? 64 In de figuur is de irkel (,r) getekend met raaklijnen en. = 7,8 en = 6. ereken de straal van de irkel. ereken de hoek ^. N 49

44 Opdrahten opdrahten 65 Een vliegtuig V vliegt boven de Noordpool N. is één van de zihtbare plaatsen op aarde met de grootste reikwijdte. ereken de hoogte h waarop het vliegtuig zih boven de aarde bevindt, als op 87 N ligt. e straal van de aarde is 6378 km. h V N TWEEE REEKS 66 e planeten Venus (V) en aarde () beshrijven bij benadering irkelvormige banen rond de zon (Z). Teken een stand van V en een stand van waarbij de hoek V^Z het grootst is. Herhaalde metingen van de hoek V^Z laten toe te besluiten dat de maximale grootte van deze hoek 46 is. ereken hieruit de straal van de Venusbaan, als je weet dat de afstand tussen de aarde en de zon 50 miljoen kilometer bedraagt. Z V 50

45 e irkel 67 e rehte a is een raaklijn in aan de irkel die de hoekpunten van de driehoek bevat. ereken de hoek a met de gegevens in de figuur. a Een vierkant heeft als zijde 0. Een irkel (,r) gaat door en en raakt aan. ereken de straal r van de irkel. a 80 0 opdrahten 69 Een satelliet blijft boven hetzelfde punt op de evenaar als de aarde draait. ls de aarde gezien wordt onder een hoek van 8, welk deel van de evenaar is dan zihtbaar vanuit de satelliet? 8 5

46 Opdrahten ERE REEKS 70 Twee zijden van de driehoek raken aan een halve irkel met middelpunt. = 3, = 4 en = 5. ereken E. opdrahten 7 E T S ( ) ( ) Gegeven zijn de irkels ; 45, en, waarbij = 8. e twee irkels hebben twee uitwendig gemeenshappelijke raaklijnen die elkaar snijden in S en twee inwendig gemeenshappelijke raaklijnen die elkaar snijden in T. Omdat de gemeenshappelijke middellijn een symmetrie-as is van de beide irkels, liggen S en T op deze middellijn. ereken S en T. ereken de hoeken ^S en ^T, gevormd door deze uitwendige en inwendige gemeenshappelijke raaklijnen, waaronder de beide irkels gezien worden vanuit S en T. 7 Hoe lang zijn de rehte stukken van een fietsketting die loopt over een groot kamwiel met straal 9,5 m en met een klein kamwiel met straal 3,5 m als de middelpunten van beide kamwielen 46 m uit elkaar staan? 5

47 e irkel.4 Onderlinge ligging van twee irkels EERSTE REEKS 73 Vervolledig de volgende tabel. r r onderlinge stand van (,r ) en (,r ) opdrahten inwendig rakend uitwendig rakend 74 Wat is de verzameling van de middelpunten van de irkels die een straal van 3 m hebben en die raken aan een gegeven irkel met middelpunt en straal 4 m? 75 Een irkel met straal 4 en een irkel met straal 5 raken elkaar uitwendig en beide raken inwendig aan een irkel met straal. epaal de omtrek van de driehoek gevormd door de middelpunten van deze drie irkels E 6 (ron JWO, eerste ronde 009) 53

48 Opdrahten 76 onstrueer een irkel die de irkels en uitwendig raakt. onstrueer een irkel die de irkels en inwendig raakt. opdrahten TWEEE REEKS 77 Noem en de snijpunten van de irkels en met middelpunten en. Waarom is de middelloodlijn van? Twee irkels (,8) en (,5) snijden elkaar in en. ereken als =. 78 innen een irkel met straal bevinden zih twee even grote irkels met straal die elkaar uitwendig raken en de grote irkel inwendig raken. uiten de twee kleine irkels en binnen de grote irkel bevindt zih een kleinere irkel die de andere drie irkels raakt. ereken de straal van die kleinste irkel. (ron Nederlandse Wiskunde Olympiade, eerste ronde 003) 54

49 e irkel ERE REEKS 79 e irkels (,r ) en (,r ) raken elkaar uitwendig in. Een gemeenshappelijke snijlijn door snijdt in Q en in R. Is de raaklijn in Q aan evenwijdig met de raaklijn in R aan? Verklaar. 80 Twee irkels snijden elkaar in en in en de gemeenshappelijke koorde heeft als lengte 0. Het lijnstuk dat de middelpunten van de irkels verbindt, snijdt de irkels in en in Q. Q = 3 en de straal van één van de irkels is 3. ereken de straal van de andere irkel. opdrahten 55

50 Opdrahten.5 Omgeshreven en ingeshreven irkel van een driehoek EERSTE REEKS opdrahten 8 onstrueer de omgeshreven en de ingeshreven irkel van de driehoek met zijden = 5m, = 6m en = 7m. 8 In een stad zijn drie basissholen, en. e ouders sturen hun kinderen naar de dihtstbijzijnde shool. Waar wonen de ouders die kunnen kiezen tussen de drie sholen? onstrueer deze woonplaats op de figuur. reer het gebied waar de ouders wonen die hun kinderen naar shool sturen. 83 Een gelijkbenige driehoek heeft als tophoek ^ = 48. ls O het middelpunt is van de ingeshreven irkel, dan is de hoek ^O gelijk aan E 3 48 O (ron JWO, eerste ronde 008) 84 e straal van de ingeshreven irkel van een gelijkzijdige driehoek is 0. ereken de straal van de omgeshreven irkel van deze driehoek. 56

51 e irkel TWEEE REEKS 85 onstrueer de irkel die raakt aan de zijde van de driehoek en aan de verlengden [ en [E van de andere zijden van deze driehoek. We noemen deze irkel de aangeshreven irkel van de driehoek. 86 ls a, b en de zijden zijn van driehoek en r is de straal van de omgeshreven irkel, dan is ab opp =. 4r ewijs. b r E opdrahten a ERE REEKS 87 onstrueer een rehthoekige driehoek die een hoek van 60 heeft en waarvan de straal van de ingeshreven irkel m is. ereken de zijden van deze driehoek. 88 In de gelijkzijdige driehoek met zijde 0 zijn drie ongruente irkels getekend. Elk van deze irkels raakt aan twee zijden van de driehoek en aan de twee andere irkels. ereken de straal van deze irkels. 0 57

52 Opdrahten opdrahten.6 Regelmatige veelhoeken EERSTE REEKS 89 Een voetbal bestaat uit 0 regelmatige zeshoeken en regelmatige vijfhoeken. Om een voetbal te maken worden de vijfhoeken en zeshoeken met de goede kant tegen elkaar gelegd en aan elkaar genaaid. er naad zijn er 8 steken. Hoeveel steken zijn er nodig om een voetbal volledig diht te naaien? 90 Van welke regelmatige n-hoek zijn de hoeken 6? 9 Voor een gegeven regelmatige vijfhoek E kan een irkel met middelpunt getekend worden die raakt aan in en aan in. ereken de hoek ^. E 9 ereken de gekleurde oppervlakte in de regelmatige ahthoek met zijde

53 e irkel TWEEE REEKS 93 Een wandelaar gaat 00 m in rehte lijn, draait dan preies 0 naar rehts, gaat dan weer 00 m rehtdoor, draait dan weer 0 naar rehts en marheert zo verder tot hij terug in zijn beginpunt komt. Welke regelmatige veelhoek heeft hij beshreven? Hoe lang duurde zijn wandeling als hij een gemiddelde snelheid van 4 km/h haalde? 3 Hoeveel bedraagt de grootste afstand tussen de wandelaar en zijn startpunt? 94 ls een regelmatige zeshoek ingeshreven is in een irkel met straal r, dan is de lengte van een diagonaal die niet door het middelpunt gaat gelijk aan 3r r r 3 r E r 5 (ron VWO, eerste ronde 996) opdrahten ERE REEKS 95 E is een regelmatige vijfhoek met middelpunt waarbij en N = = 4. 3 Wat is de verhouding van de geareerde oppervlakte tot de totale oppervlakte van de vijfhoek? E N 3 7 E (ron JWO, tweede ronde 008) 59

54 Opdrahten 96 Onderzoeksopdraht et regelmatige veelhoeken zijn veel vlakvullingen mogelijk. Zo kun je met regelmatige zeshoeken een vlakvulling maken waarbij in elk hoekpunt drie zeshoeken samenkomen. We noemen dit een of 6 3 vlakvulling. opdrahten Verklaar waarom we de nevenstaande vlakvulling een vlakvulling noemen Teken zelf een stuk van een a vlakvulling. b 8 4 vlakvulling. 3 Geef zelf nog enkele vlakvullingen die mogelijk zijn met regelmatige veelhoeken. 97 Onderzoeksopdraht oor een regelmatige veelhoek EF te spiegelen t.o.v. één van zijn zijden, vervolgens het spiegelbeeld weer te spiegelen t.o.v. één van zijn zijden, enzovoort, krijgen we een krans van regelmatige veelhoeken. F a E a = 60 b Hiernaast zie je een krans die bestaat uit zes regelmatige zeshoeken (bijenellen). Het is gelukt om die krans te tekenen omdat de hoek a (= 60 ) tussen twee opeenvolgende spiegelassen a en b een geheel aantal keren (6 maal) past in

55 e irkel Onderzoek met een dynamish meetkundepakket of je een dergelijke krans kunt maken met vijfhoeken, zevenhoeken, ahthoeken, negenhoeken, tienhoeken, elfhoeken en twaalfhoeken. Verklaar telkens waarom de onstrutie mogelijk is of niet. We gaan nu op zoek naar alle regelmatige veelhoeken, waarvoor het lukt om een krans te maken met een regelmatig veelhoekig gat in het midden. aarom zoek je een verband tussen twee variabelen n en k met n: het aantal zijden van de regelmatige veelhoek k: het aantal veelhoeken van de krans, d.i. het aantal zijden van de inwendige veelhoek Is a de hoek tussen twee opeenvolgende spiegelassen, dan weet je dat er een krans mogelijk is als er een natuurlijk getal k bestaat zó dat k a = 360. it getal k is dan het aantal veelhoeken van de krans. Om hieruit een verband tussen n en k af te leiden, moet je a berekenen in funtie van n. it verband kun je berekenen in drie stappen a, b en. a epaal eerst een verband tussen a, de hoek tussen twee opeenvolgende b spiegelassen en b, de hoek van de regelmatige veelhoek zelf. Voor regelmatige vijfhoeken zie je op a de nevenstaande tekening dat a + 3b = 360. as deze formule nu aan voor een zeshoek, een zevenhoek,... en veralgemeen voor een n-hoek. b ruk b uit in funtie van n. Substitueer nu de uitdrukking voor b die je in b vond, in de formule voor a die je in a vond en je vindt een verband tussen a en n. Toon aan dat je dit verband kunt hershrijven als k a = 360 met n k =. n 4 ls je het verband tussen k en n gevonden hebt, is het vinden van kransen teruggebraht tot een rekenkundig probleem: bij welke waarden van n is k een natuurlijk getal groter of gelijk aan 3? aak nu een lijst van alle mogelijke kransen en zet er een tekening bij. opdrahten 6

56 Herhalingsopdrahten Herhalingsopdrahten 98 Teken alle irkels met straal 3 m die als koorde hebben. herhalingsopdrahten 99 ereken de hoeken ^, ^, ^, ^, ^E, ^F en ^ met de gegevens aangeduid in de irkel met middelpunt. 00 Gegeven de irkel (,6) met ^ = ^ = ^ 3. Toon aan dat = = =6. Toon aan dat S = S ( = x) en S = S ( = y). 3 ereken x en y. x S F y E 0 Een olievat dat neerligt heeft een diameter van 50 m. Om een shans te maken, legt men er een plank op. Wat is de hoek die de plank maakt met de grond? m 0 Twee irkels en hebben hetzelfde middelpunt en als straal 4 m en 6 m. Een raaklijn aan de kleinste irkel bepaalt een koorde van de grootste irkel. ereken. 6

57 e irkel 03 In de trapzaal van een flatgebouw bevindt zih een prismavormige ruimte, met een rehthoekige driehoek als grond- en bovenvlak. In die ruimte komt een ilindervormige stortkoker voor huisvuil. ereken de diameter van de grootst mogelijke stortkoker. 04 e irkel heeft als middelpunt O en als straal. ereken met de gegevens in de figuur. m,4 m herhalingsopdrahten O 5 05 In de figuur zijn 7 rakende irkels getekend en een zeshoek waarvan de hoekpunten de middelpunten van 6 irkels zijn. e oppervlakte van elk van de irkels is gelijk aan m. ereken de oppervlakte van het geareerde gebied. ereken de omtrek van de zeshoek. 3 ereken de oppervlakte van de zeshoek. 63

58 Herhalingsopdrahten 06 Lies staat midden voor een gebouw dat 48 m breed is. ls ze 5 m dihter bij het gebouw staat, ziet ze dat onder een twee keer zo grote hoek. Hoe ver staat Lies in beide gevallen van het gebouw af? Onder welke hoeken ziet ze dan in beide gevallen het gebouw? herhalingsopdrahten 07 In de gelijkbenige driehoek QR is Q = 8 en R = QR = 5. ereken de straal van de ingeshreven irkel van de driehoek QR. ereken de straal van de irkel die raakt aan de zijden R en QR en de irkel uitwendig raakt. R J 5 5 I 8 Q 64

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één

Nadere informatie

Hoofdstuk 11B - Meetkundig redeneren

Hoofdstuk 11B - Meetkundig redeneren Voorkennis V-1a = 180 80 35 = 65 E = 360 90 90 10 = 78 J = 360 107 73 107 = 73 De tegenover elkaar liggende hoeken van deze vierhoek zijn gelijk, dus deze vierhoek is een parallellogram. V-a V-3a Figuur

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : De Cirkel

Hoofdstuk 8 : De Cirkel - 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 86 Verdieping Regelmatige figuren 1a e figuur heeft 12 hoekpunten. lke hoek is 150. Ja, ze zijn allemaal 150. d e zijden zijn 2,5 m. e Ja, ze zijn allemaal even lang. 2a en regelmatige driehoek is een

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Definities en stellingen

Hoofdstuk 5 - Definities en stellingen Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 V-a 50 60 = 80 50 60 = 70 d Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één punt:

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Cirkeleigenschappen

Hoofdstuk 6 - Cirkeleigenschappen Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: hoeken en irkels ladzijde 56 V-a 68 ; dus S 80 SE. us SE S 56 ES 80 56 0. us SE 78. V- 60. Ook geldt 60. us. V-a 80 Er geldt:

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door

Nadere informatie

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-I

wiskunde B vwo 2017-I wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,

Nadere informatie

Diagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling =

Diagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling = P Q M N R l M ˆ N M ˆ N 4M ˆ 4N ZZZ dus M ˆ N ˆ QP ˆ P ˆ M stelling van de omtrekshoek M ˆ N Q R ˆ 80 koordenvierhoekstelling R ˆ N stelling van de omtrekshoek Q PQ ˆ 80 gestrekte hoek Hieruit volgt dat

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 1,71 5,61 π,116 1 ls a a 17 a m = a 006, met a R + \{0, 1}, dan is m gelijk

Nadere informatie

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Opdracht 1. Teken in de figuren hieronder alle symmetrieassen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Opdracht 2. A. Welke

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN

BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN Brugpakket 8: Vlakke figuren 1 Vlakke figuren 1.1 Vlakke figuren: Veelhoeken en niet-veelhoeken Een veelhoek is enkel begrensd door rechte lijnen. OEFENING Zet een kruisje

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a / V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P Zie e figuur hieroven. In vierhoek

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

Neem [pr]=[ps] en beschrijf uit r en s twee cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar in c snijden. [cp] is de loodlijn op [ab].

Neem [pr]=[ps] en beschrijf uit r en s twee cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar in c snijden. [cp] is de loodlijn op [ab]. Met a en b als middelpunt en met straal groter dan de helft van [ab] trekt men met dezelfde straal twee cirkelbogen, die elkaar snijden in c en d; cd is de middelloodlijn en m het midden van [ab] Neem

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde Opstap eellijn, hoogtelijn, samen 180 en samen 360 O-1a P 60º R d O-2a O-3a d P x x Q e drie deellijnen van de driehoek gaan inderdaad door één punt. M O Zie opdraht O-2a. U S V T UV is de hoogtelijn op

Nadere informatie

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2015-II

wiskunde B vwo 2015-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie

HZH: c, α en β ZZR: a, b en β

HZH: c, α en β ZZR: a, b en β EETKUNE e hoekpunten van een driehoek of vierhoek geven we met HOOFLETTER aan. Lijnen krijgen een kleine letter en voor hoeken gebruiken we vaak Griekse letters. Het Griekse alfabet begint met de letters

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] 2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen

Nadere informatie

Eigenschappen van driehoeken

Eigenschappen van driehoeken 5 igenschappen van driehoeken it kun je al een hoek meten de verschillende soorten driehoeken definiëren 3 de verschillende soorten hoeken definiëren 4 de eigenschappen van de verschillende soorten hoeken

Nadere informatie

Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde Junior Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde 1 Op de figuur stellen de getallen de grootte van de hoeken voor De waarde van x in graden is gelijk aan 2x 90 x 24 (A) 22 (B) 1 (C) (D) 8 (E) 57 2 Welke

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Conflictlijnen

Hoofdstuk 3 - Conflictlijnen Hoofdstuk 3 - onflitlijnen Voorkennis: eetkundige plaatsen ladzijde 78 V-1a ligt op middelloodlijn van, dus =. Verder ligt op middelloodlijn van, dus is ook =. Hieruit volgt dat = en ligt dus ook op de

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen Voorkennis: hoeken en irkels ladzijde 56 V-a = = = 68 ; dus = S = 80 = = SE us SE = S = 56 ES = 80 56 = 0 us SE = 78 V- + α = 60 Ook geldt + + + = 60 us α= + + V-a = 80

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 00-0: eerste ronde. e uitdrukking a b 4 is gelijk aan () ab () ab () ab 6 () ab 8 (E) ab 6. e uitdrukking (a b) is gelijk aan () a b () (b a) () a + b ab () a + b + ab (E) (a

Nadere informatie

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek.

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek. Bij het uitrekenen van een lengte, een oppervlakte of een inhoud moet je altijd het volgende opschrijven: de formule - de tussenstap - het antwoord - de eenheid. 1. rechthoek. Kenmerken: alle hoeken zijn

Nadere informatie

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte

Nadere informatie

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant D zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier

Nadere informatie

Verdieping - De Lijn van Wallace

Verdieping - De Lijn van Wallace Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is

Nadere informatie

Bijkomende Oefeningen: Les 1

Bijkomende Oefeningen: Les 1 1 Inhoudstafel ijkomende Oefeningen: Les 1...2 ijkomende Oefeningen: Les 2...3 ijkomende Oefeningen: Les 3...4 ijkomende Oefeningen: Les 4...5 ijkomende Oefeningen: Les 5...6 ijkomende Oefeningen: Les

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 990-99: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een offiiële foreign oordinator voor de welekende AHSME-ompetitie (Amerian High Shool Mathematis Examination - USA en Canada)

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a Gelijkvormigheid ladzijde QR is een vergroting van dus de driehoeken en QR zijn gelijkvormig Q Vergrotingsfator: 7 e twee driehoeken zijn een vergroting van elkaar; alle zijden zijn dus met 7 7 7 dezelfde

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 99 99 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per

Nadere informatie

Extra oefeningen: de cirkel

Extra oefeningen: de cirkel Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 99-99 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Dinsdag 22 juni uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Dinsdag 22 juni uur Wiskunde rofi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag juni 13.30 16.30 uur 19 99 Dit eamen bestaat uit 15 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

UITWERKINGEN VOOR HET VWO

UITWERKINGEN VOOR HET VWO UITWERKINGEN VOOR HET VWO EEL HOOFSTUK 5 GRENZEN Kern FSTNEN a) b) Nee. e zijden a en b zijn samen even lang. b a c ) a) Teken diagonaal In geldt ( ) In geldt 0 ( ) us is b) ijv. ) Te bewijzen: ewijs:

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2008-2009: eerste ronde 1 Hoeveel is 2 5 7? (A) 10 21 (B) 25 7 (C) 7 10 (D) 1 15 (E) 29 21 2 Welke van volgende sommen is gelijk aan 10? (A), + 5,555 (B) 2,222 + 6,666 (C),

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Kegelsneden

Hoofdstuk 4 - Kegelsneden oorkennis: Conflitlijnen ladzijde 0 -a T l m = d(, ) + r en d(, m) = T = + T = d(, l) + r. ls d(, ) = d(, l) dan is = d(, ) + r = d(, l) + r = d(, m). De onflitlijn van en l (irkel en lijn) kan dus worden

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994-1995 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination

Nadere informatie

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.

Nadere informatie

Samenvatting. Hoofdstuk 4. Machtsfunctie De functie f x x n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n.

Samenvatting. Hoofdstuk 4. Machtsfunctie De functie f x x n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n. Hoofdstuk Samenvatting Machtsfunctie De functie f n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n. Gebroken functie Machtsfuncties waarbij n een negatief geheel getal

Nadere informatie

UITWERKINGEN VOOR HET VWO

UITWERKINGEN VOOR HET VWO UITWKINGN VOO HT VWO HOOFTUK IHOKN & VIHOKN Kern N IKL O N IHOK a) chets van om a) 6 5 3 mll 0 (,5 3) mll 0 b) iddelpunt in 3 traal is 3 5 c) is het snijpunt van de middenloodlijnen van O en O Om de radius

Nadere informatie

Cabri-werkblad Negenpuntscirkel

Cabri-werkblad Negenpuntscirkel Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde. Syllabus voortentamen Wiskunde B

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde. Syllabus voortentamen Wiskunde B Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Syllabus voortentamen Wiskunde B Deze syllabus bevat een beschrijving van het programma van het voortentamen Wiskunde B dat wordt afgenomen door de Centrale Commissie

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

handleiding pagina s 434 tot Handleiding 1.2 Huistaken huistaak 12: bladzijde Werkboek

handleiding pagina s 434 tot Handleiding 1.2 Huistaken huistaak 12: bladzijde Werkboek week 13 les 5 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 434 tot 443 nuttige informatie 1 Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina s 374 en 375: vierhoeken pagina 376: eigenschappen van diagonalen in vierhoeken

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II ier tappen ij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een

Nadere informatie

Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde Junior Wiskunde lympiade 200-20: eerste ronde. Waaraan is xyz + xyz + xyz gelijk? () 3xyz () 27xyz () x 3 y 3 z 3 () 3x 3 y 3 z 3 () 27x 3 y 3 z 3 2. Welke van volgende ongelijkheden is waar? () 2 > 0,5

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Lijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014

Lijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014 Lijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014 Punt Pu1 Zorg dat Toon assen aan staat. Teken een punt in het vlak. Wijzig de naam naar X (hoofdletter!) (rechtsklikken op het punt voor openen snelmenu). Sleep

Nadere informatie

BETALES. Wiskunde B. Examenoefeningen VWO. A. Smit BSc 3/14/2017

BETALES. Wiskunde B. Examenoefeningen VWO. A. Smit BSc 3/14/2017 BETALES Wiskunde B Examenoefeningen VWO A. Smit BSc 3/14/2017 Examenopdrachten op basis van oude examens van www.examenblad.nl. Ieder examen in deze bundel moet in 3h gemaakt kunnen worden, gelijk aan

Nadere informatie

Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel.

Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Construeer

Nadere informatie

Pienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7

Pienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7 Extra oefeningen hoofdstuk 7: Vlakke figuren 1 Teken binnen een cirkel met straal 6 cm een tweede cirkel met straal 2 cm. Wat is de kleinste en wat is de grootst mogelijke afstand tussen beide middelpunten?

Nadere informatie

2 Hoeken en bogen 77

2 Hoeken en bogen 77 2 Hoeken en bogen 77 1 De stand van zaken In deze paragraaf wordt je gevraagd wat je weet van de zijden, hoeken en diagonalen van verschillende soorten vierhoeken. En omgekeerd, wat voor speciaal type

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen Kern Meetkundige plaatsen a Zie afbeelding rechts. b In het niet-gearceerde deel. c Op de middenparallel. l m 2 a Teken lijn m en lijn n, beide evenwijdig aan l en op een afstand van 3 cm van l. b Punten

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 199 1994 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

7.1 Symmetrie[1] Willem-Jan van der Zanden

7.1 Symmetrie[1] Willem-Jan van der Zanden 7.1 Symmetrie[1] Al de drie figuren hierboven zijn lijnsymmetrisch; Je kunt ze op één of meerdere manieren dubbelvouwen zodat de ene helft het spiegelbeeld van de andere helft is; De vouwlijn heet de symmetrieas/spiegelas;

Nadere informatie